VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI PORUCHY METODOU PDPV - TEORIE

Transkript

1 VÝPOČET PAVDĚPODOBNOTI POUCHY METODOU PDPV - TEOIE EVALUATION OF POBABILITY OF FAILUE UING PDPV METHOD Petr Jaas Abstract A close orm evaluato o alure lkelhood case o more tha two radom varables s a comlcated task. A lot o owerul stochastc methods have bee develoed or are uder develomet order to maage ths task. The PDPV method allows comutg the robablty o alure or roblems o more tha two radom varables usg drect determed umercal calculato wthout the ad o smulato techques. Úvod Pravděodobost oruchy ro dvě áhodé roměé vstuí velčy odezva zatížeí kostrukce a odolost kostrukce lze schematcky zázort dle obr.. Jsou zde zázorěy křvky hustoty ravděodobost odezvy zatížeí kostrukce a odolost kostrukce. Vzáemá olohy těchto křvek a charakterzue a seckue oblast ve které může vzkat orucha a současě umožňue ravděodobost oruchy vyočíst. Tato oblast e a obr. vyšraováa samostatě ak ro hustotu tak také ro hustotu. Porucha astae bude-l slěa odmíka Z<0 řčemž Z - t. že odolost kostrukce bude meší ež odezva eího zatížeí. Estuí-l růsečíky hustoty s osou s hodotou r m a hustoty s osou s hodotou s ma ak ro lbovolou hodotu s orucha eastae e-l r > s ma 0 může ale emusí astat e-l r m s s ma ro všechy možé hodoty s e řtom ravděodobost oruchy 0 astae vždy e-l r ma < s m. Pozámka: Teoretcky mohou růsečíky vzkout v ekoeču ař. ro arametrcké ormálí rozděleí. Pravděodobost oruchy lze aalytcky vyočíst ze zámého vztahu [4] [5] : d ϕ d 2 kde ϕ e dstrbučí ukce odolost kostrukce. Přímé aalytcké řešeí uvedeého tegrálu e velm obtížé. Pro eho výočet se roto často oužívaí růzé smulačí metody. Metoda PDPV ř využívaí základů ravděodobostího očtu uvedeý tegrál řeší umercky. Doc.Ig. Petr Jaas Cc. VŠB-Techcká uverzta Ostrava Fakulta stavebí Katedra stavebí mechaky etr.aas@vsb.cz

2 s m r m s ma r ma Obr. Křvky hustoty ravděodobost odolost a odezvy zatížeí kostrukce. Př vlastím výočtu e vhodé využít místo křvek hustoty ravděodobost hstogramů obr. 2. Hustota ravděodobost e dáa vztahem: P lm lm 0 0 kde e třída terval hstogramu e očet hodot v říslušém tervalu P e celkový očet všech hodot v hstogramu e ravděodobost hodoty 0. 3 Hstogram Hstogram Obr. 2 s m r m s ma r ma Obr. 2 Hstogramy odolost a odezvy zatížeí kostrukce Chceme-l tegrál 2 řešt umercky ak e možé výraz uravt ásledově: d ϕ d ϕ 4 2

3 Hustota ravděodobost zatížeí e dáa vztahem P a ro dstrbučí ukc ϕ ak latí: P d ϕ P ϕ 5 6 Ve výše uvedeých vztazích 5 a 6 e: de ořadové číslo třídy tervalu hstogramu velkost třídy tervalu v říslušém hstogramu očet hodot ve třídě tervalu říslušého hstogramu P P očet všech hodot v hstogramu říadě ravděodobost hodoty v říslušé třídě. Po dosazeí do 4 e: ϕ Počet tříd tervalů e ve výrazu 7 a ve výrazech výše uvedeých v daém říadě. Otázkou e ak e teto očet vymeze. Lze ostuovat tak že očet tervalů zvolíme solečý ro zatím uvažovaé dva hstogramy. Počet tříd ak bude dá oměrem r s ma m m 8 Numercký výočet oruchy ak bude ostuovat tak že ro každou třídu obou hstogramů vyočteme ostuě ravděodobost a a ásledě dle 7 ravděodobost oruchy. Počet hodot ravděodobost každého hstogramu ak bude m a ř výočtu dle 7 lze algortmus výočtu sestavt tak že očet oerací bude římo úměrý m. Z obr. a 2 e řtom zřemé že řada hodot ravděodobostí bude řtom ulová. Tak ař. ro všechy třídy tervaly hstogramu ro <r m bude 0. Obdobě v hstogramu ro s ma < bude 0. Př výočtu ravděodobost oruchy by ř výše uvedeém ostuu byla řada oerací zbytečá. Na oruše se budou v daém říadě odílet ouze ty třídy které sou ro oba uvažovaé hstogramy solečé. ostatím eí uto ro výočet oruchy uvažovat. Počet tříd odíleících se a vzku oruchy lze určt dle vztahu 9 : s r ma m 9 Do výočtu ravděodobost oruchy ak vstuuí v daém říadě ouze eulové hodoty ravděodobostí v edotlvých třídách uvažovaých hstogramů a výočet se výzamě zkracue eboť zravdla latí << m. Výsledky sou řtom ř obou varatách výočtů detcké. 7 3

4 Př vlastích umerckých výočtech e otázkou ak volt velkost třídy tervalu. Je zřemé že čím e tato hodota meší tím řesěší by měl být výsledek. Ceou e ovšem růst očtu oerací. V zásadě by mělo latt že ř daé kvaltě vstuích údaů by se měl očet tříd hstogramů volt tak aby ech další růst koečý výsledek odstatě eovlvl. Počet voleých tříd může řtom rozhoduícím zůsobem ovlvt soubor dat ze kterého se hstogram sestavue. Každý hstogram vstuuící do výočtu má zravdla é vlastost ý roztyl ý očet údaů atd.. Nemusí být ak vhodé a reálé dělt hstogramy a steé třídy tervaly. Každý hstogram může mít ou hodotu h a růzý očet tříd h. Je-l v hstogramu terval e očet tříd ro celý hstogram : s s ma m m a obdobě e-l v hstogramu terval e očet tříd ro celý hstogram : 0 r r ma m m Pravděodobost oruchy však lze vyočíst o úravě vztahu 7 a tvar 2: 2 Zde se očítá ouze s těm tervaly třídam obou hstogramů které se vzáemě řekrývaí. Počet těchto tervalů v hstogramech a e: s r ma m 3 s r ma m 4 Př výočtu dle 2 se ak ostuue tak že roste od až a hodotu. Hodota se volí ostuě od do hodoty dle vztahu 5 řčemž musí být číslo celé říadě dle vztahu 6 kdy se zaokrouhlue ahoru. 5 6 Je zřemé že výočet ravděodobost oruchy ř volbě očtu tříd dle 5 ebo 6 se bude oěkud lšt. Jeí skutečá hodota se bude zřemě ohybovat v rozmezí hodot vyočteých s dle vztahu 5 a 6. Př dostatečě malé délce tervalů a by ak rozdíl vyočteé hodoty eměl být odstatý. Otmálí e ovšem e-l. 4

5 2 Výočet ravděodobost oruchy metodou PDPV ro dvě áhodé roměé Př výočtu ravděodobost oruchy metodou PDPV lze oužít ěkolk ostuů. Původí a eedodušší sočívá v tom [] že se vyočte hstogram: Z 7 a ásledě se určí ravděodobost oruchy charakterzovaá slěím odmíky t. Z<0 obr.3. Platí řtom že Z Z PZ Z Z kde v 8 e: z očet hodot ve třídě hstogramu Z P Z očet všech hodot v hstogramu Z celkový očet tříd v hstogramu Z celkový očet tříd v hstogramu Z v chž e slěa odmíka Z 0 Z ravděodobost hodoty ve třídě. Je zřemé že v daém říadě e 8 Z Z PZ Z Z 9 Hodota ravděodobost Z ve třídě e dáa součtem součů ravděodobost s hodot s ve třídách hstogramu a ravděodobost r hodot r ve třídách hstogramu obr.3. ozdíl hodot z r -s leží řtom ro všechy dvoce r a s v uvažovaé třídě hstogramu Z. V daé říadě e vhodé volt z. Z s 20 Výše uvedeý ostu e obdobou výočtu ravděodobost oruchy metodou Mote Carlo kdy se rověž sestavue hstogram Z a ásledě se určue ro slěí odmíky ravděodobost oruchy. Takto se u metody PDPV [] ůvodě ostuovalo. Hstogram Z se řtom esestavoval využtím smulačí techky využívaící metodu Mote Carlo. Možost PDPV sou však odstatě šrší. Časově méě áročý e zravdla ostu kdy se eočítá s tervaly které sou mmo vyšraovaou oblast a obr. což e zbytečé. Jestlže hodoty v hstogramu ebo hstogramu sou mmo tuto oblast ak orucha totž emůže kdy astat. Jsou-l hodoty a současě ve vyšraovaé oblast ak orucha ro určté kombace hodot s a r může ale emusí astat. V daém říadě astae ro s > r. U metody PDPV lze ostuovat oět klascky a vyočte se hstogram dle 7 ouze z hodot řekrývaících se tervalů t. ro hstogram a ro hstogram řčemž se ravděodobost oruchy určue oět ze slěí odmíky. Př klasckém ostuu e ř výočtu celého 5

6 hstogramu Z očet oerací úměrý souču M m m kde m s e celkový očet tříd v hstogramu a m e celkový očet tříd v hstogramu. Z - z Z < 0 z Obr.3 chéma výočtu hstogramu Z. Př výočtu zkráceého hstogramu Z ouze z tervalů které se a vzku oruchy mohou ale emusí odílet ak e očet oerací úměrý souču N. Zravdla řtom latí že N<<M. Využtí tohoto ozatku e ř výočtu oruchy velm racoálí. Hstogram Z se určí v tomto říadě ze vztahu 2 řčemž hodoty z hstogramu se uvažuí ouze ro r z tervalu r m r s ma a obdobě hodoty z hstogramu se uvažuí ouze ro hodoty s z tervalu r m s s ma. Ve vztahu 20 sou roto ozačey a. Z 2 Je zřemé že hstogram Z obsahue ouze ěkteré hodoty z hstogramu Z obr.4. Pro Z 0 a ro Z 0 sou však hodoty obou hstogramů detcké a latí tedy: Z Z PZ Z Z Ve meovatel vztahu 22 sou všechy uvažovaé hodoty z hstogramu Z. Pro zkráceý hstogram Z totž latí že eho celková ravděodobost e meší ež 23 obr

7 Z m Z Z m Z Z P P P P 23 Zkráceý hstogram Z z Obr. 4 Zkráceý hstogram Z. I teto ostu lze eště otmalzovat ebo lée řečeo racoalzovat. Počítáme-l ravděodobost oruchy ro zkráceý hstogram Z ak se v zásadě ostuueme tak že ze součtů ravděodobostí možostí všech kombací odečteme ty ro které sou hodoty Z 0. Lze asat že 0 + Z Z 24 z Hstogram Z Obr.5 Část hstogramu Z < 0. Ve vztahu 24 Z ředstavue kvatl zkráceého hstogramu Z a Z 0 kladou část hstogramu Z. Na ravděodobost oruchy se odílí ouze záorá část hstogramu Z. Tu lze určt římo o úravě vztahu 24 ve tvaru: 25 Ide se řtom musí ve vztahu 24 a 25 volt ako celé číslo ve smyslu výše uvedeém. Pro se 24 uraví a tvar 26 detcký s 7: 26 7

8 Je zřemé že racoálí výočet ravděodobost oruchy metodou PDPV využívaící ro dvě ezávslé roměé e detcký s umerckým výočtem zámého aalytckého vztahu e s > r ao e > s ao tsk + s r + ao > s e Obr. 6 Blokové schéma výočtu záoré část hstogramu Z. Výočet ravděodobost oruchy dle vztahu 26 lze realzovat dle blokového schéma a obr. 6. Pro dvě ezávslé velčy e zde očet oerací N ot. což 2 e cca olova oerací ro výočet ravděodobost oruchy ze zkráceého hstogramu Z ř uvažováí všech v úvahu řcházeících kombací. Postu výočtu zázorěý a obr. 6 ro dvě ezávslé roměé vylývá ze vztahu 26. Pro více roměých emusí ostu být ž tak edozačě a edoduše dá. Př výočtu hodoty z část hstogramu Z se zvolí směr tred změ edotlvých roměých velč vstuuících do výočtu ravděodobost oruchy. Př zvoleých všech roměých velčách se ostuě měí ouze eda z ch a to ro všechy hodoty ebo až o dosažeí z > 0. Dále ž emusí výočet ravděodobost oruchy s daou roměou velčou dále robíhat bude-l edozačě latt že odmíka z > 0 e ř zvoleém směru změ daé roměé vždy slěa. Určeí směru tredu změ e velm důležté. Pokud bychom ř výočtu ravděodobost oruchy ro dvě ezávslé roměé bez zalost vztahu 26 ostuoval ak ež e schéma a obr. 6 ak by očet oerací mohl být odstatě větší. Určeí vhodého tredu směru možých změ roměých vstuuících do výočtu e odmíkou úsěšého římého výočtu část hstogramu ozačeou Z. Pro teto ostu otmalzace výočtu oruchy ř alkac metody PDPV se oužl termí tredová otmalzace. 8

9 hreme-l možost výočtu ravděodobost oruchy metodou PDPV ř dvou hstogramech a lze v zásadě realzovat tř ostuy které musí zastt detcký výsledek: Určeí hstogramu Z- a ravděodobost kvatlu tohoto hstogramu slňuící odmíku Z<0. 2 Určeí zkráceého hstogram Z- a ravděodobost kvatlu tohoto hstogramu slňuící odmíku Z<0. 3 Určeí ravděodobost oruchy dle vztahu 25 říadě 26 t sestaveí ouze záoré část hstogramu Z která e ozačea Z. Př uvedeých ostuech výočtu ravděodobost oruchy metodou PDPV e uto zvládout: Ad otřebé očetí oerace s hstogramy v daém říadě odečítáí a určt ravděodobost kvatlu slňuícího ředesaou odmíku. Ad2 vymezeí těch částí hstogramů zó roměých které se a ravděodobost vzky oruchy ebudou kdy odílet oblast 3 a ravděodobost vzky oruchy se mohou a emusí odílet oblast 2 a dále steě ako ad otřebé očetí oerace s hstogramy v daém říadě odečítáí a určt ravděodobost kvatlu slňuícího ředesaou odmíku. Ad3 využtí vymezeí těch částí hstogramů zó roměých které se a vzky oruchy kostrukce mohou a emusí odílet a dále rovést ouze ty ravděodobostí výočty ze všech možých dle ad2 ro které e slěa odmíka že Z<0. Prví uvedeý zůsob e eedodušší eho evýhodou e evětší očet oerací vedoucích k výsledku. Pozámka: Teto očet eí ro dva hstogramy vůbec rozhoduící ukazue se však ako lmtuící ř větším očtu vstuích áhodých velč kdy očet oerací eormě arůstá. Druhý zůsob e složtěší v tom že e ezbyté vymezt část hstogramu které se a vzku oruchy eodíleí kdy ebo se mohou ale emusí odílet. Toto vymezeí e ř dvou hstogramech edoduché. Podstatě složtěší e ř výočtu oruchy kostrukce s více áhodým velčam kdy a ěkterých hstogramech může být avíc oblast která se a vzky oruchy odílí vždy. Př tomto zůsobu se a edotlvých hstogramech musí vymezt edozačě ohračeé oblast dle toho ak se odíleí a vzku oruchy kostrukce. Postu vymezeí edotlvých zó v hstogramech azýváme zoálí aalýza []. Třetí uvedeý zůsob avazue a zoálí aalýzu určue tredy změ edotlvých roměých a azýváme e tredová aalýza. Př dvou roměých e ak bylo výše uvedeo oměrě edoduchý ř více roměých e odstatě složtěší. e však vhodým umerckým ostuem realzovatelý. 3 Výočet ravděodobost oruchy metodou PDPV ř větším očtu áhodých roměých Př větším očtu áhodých velč e ravděodobost oruchy ormálě deováa vztahem 27 [5]: 9

10 27 D X X... X dx dx dx kde D ředstavue oblast oruchy kde latí gx 0 X X 2. X ukc sdružeé hustoty ravděodobost áhodých velč. Výočet tegrálu 27 ravděodobost oruchy v uzavřeé ormě eí ak se uvádí v lteratuře [5] obecě možý. Pro eho zvládutí byla vyvuta a dále se vyvíí řada účých stochastckých metod. Výočet tegrálu 27 lze realzovat umercky metodou PDPV. Možost sou zde shodé s možostm ř výočtu uvedeém ro dva hstogramy. V rví áz rozvoe této metody se ostuovalo výhradě cestou ad t. ř zadaých hstogramech X X 2. X a zadaé ukčí závslost F se edříve vyočetl hstogram Z ro který latí: Z F X X... X 28 2 a ásledě se z hstogramu Z vyočetla ravděodobost oruchy P Z 0 Teto výočet e ř velkém očtu áhodých velč časově velm áročý eboť e-l v hstogramu X očet tervalů tříd ak ř výočtu hstogramu Z e očet oerací úměrý souču N... 2 a hledaly se roto cesty ak teto výočet racoalzovat ř zachováí korektost řešeí [2] [3]. Pozorost byla edříve věováa sžováí očtu tervalů tříd vstuích velč edotlvých hstogramů ř zachováí celého rozsahu každé áhodé vstuí velčy gruováí těch vstuích velč které mohou do výočtu vstuovat solečě a lze ro ě ředem zracovat solečý hstogram ředzracováí musí být korektí a musí zabezečt že solečý hstogram vstuuící do výočtu vede ke steému výsledku ako když do výočtu vstuue každý hstogram samostatě a kombac uvedeých metod. žováí áročost řešeí se vdělo také v tom že statstcky závslé ebo ukčě závslé áhodé romělvé vstuí velčy evstuuí do výočtu samostatě ale sou dle možost vyádřey solečým hstogramem č hstogramy růřezové charakterstky. Využtí této cesty e však velm omezeé. Pracovalo se také a ostuu výše udedeém ad2 kdy se očet tříd tervalů vstuích velč každého do výočtu vstuuícího hstogramu sžoval ř zachováí celkového očtu tříd každého hstogramu. Do výočtu vstuuí v tomto říadě ouze ty třídy které se odíleí a vzku oruchy. Podmíkou využtí tohoto ostuu e zeméa ezbytost ř více áhodých roměých vymezt a každém hstogramu oblast zóy odtud zoálí otmalzace které se a vzku oruchy odíleí vždy zóa mohou a emusí odílet zóa 2 a ř daém zadáí se a vzku oruchy eodíleí zóa 3. Teto ostu se odařlo ošetřt ro ěkteré tyy hstogramů vyvutým W. Alkace zoálí aalýzy umožňue sestavt ro více roměých zkráceý hstogram Z a ř alkac tredové aalýzy ak eom část hstogramu Z dle obr. 5 ehož kvatl e umerckým řešeí tegrálu 27. Náhodé velčy vstuuící do výočtu ravděodobost oruchy emaí z hledska zoálí aalýzu steý charakter. V každém hstogramu mohou v zásadě vzkat ede až tř druhy zó. Pohybue-l se roměá velča v

11 . zóě astae orucha vždy a to ř akýchkolv daých hodotách ostatích roměých velč maících vlv a vzk a velkost ravděodobost oruchy 2. zóě orucha může a emusí astat v závslost a hodotách ostatích roměých velč ovlvňuících vzk a velkost ravděodobost oruchy 3. zóě orucha eastae ř akýchkolv hodotách ostatích roměých velč. Proměé velčy mohou mít dvoí charakter: a odílí se a vzku oruchy edosměrě mootóě t. ř ech změě zleva říadě zrava ravděodobost oruchy ř ak steých vstuích velčách mootóě roste ebo klesá obr. 7. V tomto říadě mohou být v hstogramu zóy 2 ebo 3 řčemž každá z ch se vyskytue mamálě edou. b odílí se a změě oruchy emootóě. Př změě romělvé velčy edím směrem ravděodobost vzku oruchy klesá a ásledě stouá obr. 8. V tomto říadě mohou být v hstogramu oět zóy 2 ebo 3 řčemž alesoň eda z ch se vyskytue v hstogramu mmálě dvakrát. Zatím sme ředokládal že v hstogramu může vzkout mamálě ět zó. tred m>0 v v 2 tred. ma a Obr. 7 Mootóí hstogramy m>0 a 2 0 tred tred ma h Obr. 8 Nemootóí hstogram m<0 h 2 h 3 h 4 ma>0

12 Velkost a očet zó řtom vylývá z řešeé úlohy a ze všech vstuích velč roměým dskrétích vstuuících do výočtu ravděodobost oruchy. V tredové aalýze se ř výočtu oruchy ostuue v zásadě v každém hstogramu od zóy k zóě 3 t. tred změ každé roměé resektue směr číslováí zó. Pravděodobost oruchy ř více roměých velčách lze vyočíst dle vztahu: V 3 e kvatl zóy říadě součet kvatlů zó v hstogramu kde tato zóa říadě zóy estue. Je zřemé že staoveí evyžadue moho očetích oerací. Výočet ravděodobost 2 ředstavue část ravděodobost oruchy vzkaící v zóách 2 ve všech hstogramech roměých odíleících se a vzku oruchy. Teto výočet e ž zravdla oěkud rozsáhleší. Jde e realzovat obdobě ako u dvou roměých tvorbou zkráceého hstogramu Z a výočtem kvatlu s ravděodobostí 2 ro eho část slňuící odmíku Z <0. Vhoděší e ovšem oužtí tredové aalýzy a římé sestaveí část hstogramu Z ehož kvatl e 2. Výočet ravděodobost oruchy dle vztahu 27 ř více roměých lze tedy umercky realzovat ostuem v zásadě shodým s ostuem uvedeým ro dvě roměé. V rvé áz se ve všech hstogramech vytvoří zóy odíleící se růzou váhou a tvorbě oruchy. Alkací tredové aalýzy se ak výočet možých kombací omezí ouze a kombace které se a vzku oruchy odíleí. 2 Závěr Uvedeé ostuy výočtu metodou PDPV Přímý determovaý ravděodobostí výočet sou mlemetováy do výočtového systému ProbCalc [2] [3]. Poděkováí Proekt byl realzová za ačího řsěí MŠMT Č roekt M0579 v rámc čost Cetra tegrovaého avrhováí rogresvích stavebích kostrukcí. Lteratura [] JANA P. KEJA M.: NUMEICKÝ VÝPOČET PAVDĚPODOBNOTI UŽITÍM UEKNUTÝCH HITOGAMŮ KONFEENCE POLEHLIVOT KONTUKCÍ 2002 OTAVA IBN [2] JANA P. KEJA M. KEJA V. TUCTUAL ELIABILITY AEMENT UING DIECT DETEMINED FULLY POBABILITIC CALCULATION. IN INTENATIONAL AANET COLLOQUIUM. MEZINÁODNÍ KONFEENCE. GLAGOW UK IBN / IN ENGLIH. PP 8 A TEXT NA CD. IBN / [3] JANA P. KEJA M. KEJA V. OUČANÉ MOŽNOTI PŘÍMÉHO DETEMINOVANÉHO PAVDĚPODOBNOTNÍHO VÝPOČTU PŘI POUZOVÁNÍ POLEHLIVOTI KONTUKCÍ. IN BONÍK VĚDECKÝCH PACÍ VYOKÉ ŠKOLY BÁŇKÉ - TECHNICKÉ UNIVEZITY OTAVA. ŘADA TAVEBNÍ ČÍLO OK 2006 OČNÍK VI. PP IN ; IBN [4] KÁLIK J. PAVDEPODOBNOTNÁ ANALÝZA OBUTNÝCH POBLÉMOV MKP MTÓDAMI MC I LH A M POD YTÉMOM ANY BONÍK EFEÁTŮ T VII. OČNÍK CELOTÁTNÍ KONFEENCE E ZAHANIČNÍ ÚČATÍ ÚTAM AV Č PAHA DŮM TECHNIKY OTAVA PAHA IBN [5] TEPLÝ B. NOVÁK D. POLEHLIVOT TAVEBNÍCH KONTUKCÍ VUT BNO AKADEMICKÉ NAKLADATELTVÍ CEM..O. BNO 999 IBN X. 2