MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems"

Transkript

1 MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy Abstrat Čláe se zabývá teorií hromadé obsluhy, lasifiací systémů hromadé obluhy, matematicými rostředy ro jejich ois vycházejícími z teorie ravděodobosti a Marovových rocesů a odvozeím matematicých modelů záladích tyů. Čláe taé a simulačím říladu uazuje, jaým zůsobem lze očítat charateristiy systému, jestliže ejsou slěy ěteré ředolady, a ichž teoreticá odvozeí jsou ostavea. Abstract This aer deals with the queueig theory, classificatio of queueig systems, mathematical tools for their descritio based o the use of robability theory ad Marov rocesses, ad derives mathematical models of basic tyes. The aer also shows how to comute the system characteristics i a situatio whe some of the assumtios, o which the theoretical derivatios are built, are ot satisfied. Klíčová slova teorie hromadé obsluhy, Poissoův roces, Marovovy řetězce Key words queueig theory, Poisso rocess, Marov chais. ÚVOD Zálady teorie hromadé obsluhy oložil dásý matemati A. K. Erlag, terý racoval ro solečost rovozující telefoicou síť v Kodai a v r. 99 osal aliaci teorie ravděodobosti a roblémy telefoího rovozu. O další rozvoj teorie se zasloužil zejméa rusý matemati A. N. Kolmogorov. Klasifiaci systémů hromadé obsluhy ta, ja ji oužíváme des, zavedl v 5. letech miulého století aglicý matemati D. G. Kedall. Des jde již o lasicou část logistiy, osaou v řadě moografií (Bose, ; Cooer, 98; Gross et al., 8 i vysoošolsých textů (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5; Jablosý, ; Klvaňa, 5; Pelta, Máje, 8; Virtamo, 5. Místo ojmu teorie hromadé obsluhy se taé setáme s termíem teorie frot. Prví termí vychází z rusé termiologie теория массового обслуживания, druhý a z aglicého queueig theory. Protože ěteré systémy hromadé obsluhy frotu eobsahují, je rví termí obecější, a roto se jej budeme držet. Systém hromadé obsluhy (SHO je azače a obr.. Do systému obecě v áhodých oamžicích řichází ožadavy (záazíci a vyžadují obsluhu. Možosti obsluhy mohou být omezey, ař. očtem obslužých lie (ebo taé aálů obsluhy. Jestliže je alesoň jeda obslužá lia rázdá, je ožadave o říchodu do obslužého systému oamžitě zracovává. Doba obsluhy vša má rověž áhodý charater, rotože ožadavy mohou být růzě áročé. Jestliže vša jsou všechy obslužé liy obsazey, a - 6 -

2 se ožadavy (záazíci řadí do froty a musí čeat, až o zracováí ředchozích ožadavů a ě řijde řada. Obr. Strutura systému hromadé obsluhy s aralelím usořádáím obslužých lie Příladem této situace mohou být cestující, teří a letišti čeají a odbaveí a vystaveí alubího lístu a určitý let, dy z jedé froty se dělí e dvěma či více odbavovacím řeážám. Jejich doba obsluhy se může lišit, z důvodu růzého očtu či váhy zavazadel, secificých ožadavů a místo v letadle, řístuu ěolia osob rodiy řeážce ajedou aod. Podobé je to u olade a vlaovém ádraží, dy cestující mají růzé ožadavy a soj, uují více jízdee, ředládají růazy a slevy, často se i iformují a odrobosti vlaového soje, a ta i jejich déla obsluhy se může lišit. Ne vždy vša jsou všechy ožadavy obsloužey, res. řazey do froty a ozdější obsluhu. Nař. telefoicý hovor eí soje, rotože telefoí číslo je obsazeo, oř. volaý účastí má vyutý mobil. Požadave může být i odmítut v říadě, že eslňuje uté ředolady ro obsluhu. Nař. alubí líste a letadlo edostae cestující, terý se eroáže latým cestovím doladem a telefoí hovor eí soje, oud eěží zůstate uživatele mobilu odročil určitou mez. V obr. jsou obslužé liy řazey aralelě a zmíěé řílady tomu odovídají. Stejé je to ař. i v adeřictví, de záazíy čeající a ostříháí obsluhuje ěoli adeřic, ebo u bezíové umy, de motoristé ajíždějí ěolia stojaům ohoých hmot. Existují vša i ofigurace SHO se sériovým řazeím obslužých lie. Příladem mohou být lyžaři, teří asedají za sebou a starší ty vleu ro jedoho lyžaře, oř. výroby rocházející řes výrobí ás v roudové výrobě. Poud se týče froty, ituitivě ji cháeme ve smyslu, ja ji záme třeba z obchodu, tj. do dříve řijde do systému, dříve bude obslouže (FIFO first i, first out. Možá je vša i obsluha LIFO (last i, first out, de aoa je rví obsluhová ožadave, terý do systému vstouil osledí. Nědy bývá strategie LIFO ozačováa i zratou LCFS (last come, first served. Příladem obsluhy LIFO je odběr zboží ze sladu, dy zboží (ař. tabule sla, rabice s televizory, teré bylo a slad dodáo jao rví, je v zadí části sladu, res. asodu hromady, a tedy jao osledí je řístué. Vedle obsluhy FIFO a LIFO se setáme i s áhodým výběrem ožadavu z froty do obslužého systému (SIRO selectio i radom order a obsluhou řízeou rioritou ožadavů (PRI riority. Déla froty může být omezeá, ři dosažeí určitého (ředem defiovaého očtu ožadavů do froty se již další ožadavy odmítou, ař. očet rezervací a ihu v ihově, terá je atuálě vyůjčea; res. eomezeá, ve sutečosti tím cháeme říad, dy maximálí možý očet ožadavů ve frotě je velmi vysoý. Požadavy ve frotě - 7 -

3 mohou mít omezeou ebo eomezeou trělivost. V říadě eomezeé trělivosti ožadavy čeají a obsluhu ta dlouho, doud a ě eřijde řada, v systému s omezeou trělivostí je zařazeí do froty do začé míry závislé a délce froty. Místo dély froty se taé můžeme setat s ojmem aacita systému, terým se míí maximálí očet ožadavů, terý může být v systému řítome. Nyí již můžeme řistouit v lasifiaci systémů hromadé obsluhy. V r. 95 Kedall avrhl lasifiaci SHO odle tří hlavích hledise ve tvaru A/B/C, de A B C charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému, charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba obsluhy ožadavu, je očet aralelě usořádaých obslužých lie (ebo taé očet aálů, tj. jde o řirozeé číslo, v říadě eomezeého (tj. velmi velého očtu lie je obvylé arametr C vyjadřovat číslem. Ja bylo již uvedeo dříve, systém hromadé obsluhy lze charaterizovat větším očtem vlastostí, a roto byla Kedallova lasifiace dále rozšířea a tvar de výzam symbolů D, E, F je ásledující: D E F A/B/C/D/E/F, řirozeé číslo udávající max. očet ožadavů v systému (tj. aacitu systému, eí-li exlicitě omeze, je vyjádře, řirozeé číslo vyjadřující maximálí očet ožadavů ve vstuím roudu (ebo taé ve zdroji ožadavů, oud je eomeze, oět se oužije, ty froty (FIFO/LIFO/SIRO/PRI. Parametr A může abývat ásledujících hodot: M itervaly mezi říchody ožadavů jsou avzájem stochasticy ezávislé a mají exoeciálí rozděleí, to zameá, že vstuí roud rerezetuje Poissoův (Marovovův roces, odroběji viz dále, E Erlagovo rozděleí s arametry a, K rozděleí χ s stui volosti, N ormálí (Gaussovo rozděleí, U rovoměré rozděleí, G obecý říad, doba mezi říchody ožadavů je dáa svou distribučí fucí, D itervaly mezi říchody ožadavů jsou ostatí (mají determiisticý charater. Parametr B může abývat stejé hodoty jao arametr A, tyto hodoty se ale zde vztahuji áhodé veličiě doba obsluhy ožadavu. Protože většia systémů hromadé obsluhy ředoládá, že vstuí roud ožadavů tvoří Poissoův (Marovovův roces, oíšeme jej blíže. Poissoův roces je roud jevů, terý slňuje ásledující vlastosti:. Stacioárost (homogeita v čase očet jevů ve stejě dlouhých časových itervalech je ostatí.. Regulárost (ordiárost ravděodobost výsytu více ež jedoho jevu v dostatečě malém itervalu dély t je zaedbatelě malá. To zameá, že v itervalu (t, t+ t se buď vysyte rávě jede jev s ravděodobostí t aebo s ravděodobostí t se v tomto itervalu žádý jev evysyte. Jia řečeo - 8 -

4 v Poissoově rocesu je možý je řechod systému do ejbližšího vyššího stavu aebo setrváí v témže stavu. 3. Nezávislost řírůstů očet jevů, teré se vysytou v jedom časovém itervalu, ezávisí a očtu jevů v jiých itervalech,. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M////FIFO Uvažujme ejdříve situaci a vstuu systému izolovaě od rocesu obsluhy a zaveďme áhodou veličiu očet ožadavů, teré řišly do systému během itervalu t, t + t, de t (,. Vzhledem e stacioárosti Poissoova rocesu očet ožadavů ezávisí a volbě očátečího oamžiu t a výzam má ouze déla uvažovaého itervalu t. Nechť (t ozačuje ravděodobost toho, že v čase t je v systému rávě ožadavů. Z regulárosti Poissoova rocesu vylývá, že ravděodobost, že v čase t+ t bude v systému ožadavů je rova ravděodobosti toho, že v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t vstouil do systému jede ožadave s ravděodobostí t aebo v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t s ravděodobostí t do systému žádý ový ožadave evstouil. Z ravidel ro výočet ravděodobosti ojuce a disjuce ezávislých jevů odtud lye vztah: (t+ t (t. t + (t.( t,,, ( Pravděodobost, že v čase t+ t v systému eí žádý ožadave je dáa ravděodobostí toho, že tam žádý ožadave ebyl a ai během doby t žádý evstouil, tj. (t+ t (t.( t ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy (3 a (4. ( t + t t ( t + t t ( t ( t ( t,,,... (3 ( t ( t Proveďme yí ve vztazích (3 a (4 rovedeme limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim ( t t t t ( t + t ( t lim lim ( ( t t t t ( t,,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (5, (6: '( t ( t ( t,,,... (5 ( t ( (6 ' t Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy. Je vša zřejmé, že v čase se žádé ožadavy v systému ještě eachází, a tedy (,,,... (7 (4-9 -

5 ( (8 Z teorie obyčejých difereciálích rovic je zámo, že řešeím soustavy rovic (5, (6 s očátečími odmíami (7, (8 je soustava fucí t ( t ( t e,,,,...! Seciálě ro je t ( t e ( (9 Obr. Graficé zobrazeí fucí (t ro,,, 5 a. Ze vztahu (9 je tedy vidět, že v systému M/M/ áhodá veličia očet ožadavů, teré řišly do systému za časový iterval dély t, má Poissoovo rozděleí s arametrem t. Středí hodota této áhodé veličiy je t a seciálě ro t je středí hodota áhodé veličiy očet ožadavů, teré řišly do systému za časovou jedotu rova. Říáme, že je středí itezita vstuu ebo rátce itezita vstuu a vyjadřuje růměrý očet ožadavů, teré do systému vstouily za časovou jedotu. Uážeme ještě, že áhodá veličia iterval mezi říchody ožadavů má exoeciálí rozděleí. Ozačme tuto veličiu T. Pa ravděodobost toho, že o vstuu jedoho ožadavu žádý další ožadave o celou dobu itervalu t do systému evstouil, je rova (t, a tedy odle vztahu ( t P( T > t ( t e ( Odtud již dostáváme distribučí fuci F(t exoeciálího rozděleí s arametrem. t F( t P( T t P( T > t e ( Středí hodota áhodé veličiy T vyjadřující růměrý čas mezi dvěma o sobě jdoucími ožadavy je E(T/ (3 - -

6 Aalogicy můžeme yí zoumat roces obsluhy. Předoládáme, že áhodá veličia doba obsluhy jedoho ožadavu (rátce doba obsluhy má exoeciálí rozděleí. Parametr tohoto rozděleí ozačme, řičemž obecě latí, že. Středí hodota áhodé veličiy doba obsluhy T O je E(T O / (4 a arametr udává středí hodotu očtu ožadavů obsloužeých za časovou jedotu doby ráce aálu, stručěji středí itezitu obsluhy, rátce itezitu obsluhy. Pro odvozeí dalších charateristi systému je výhodé čiost systému hromadé osat grafem řechodů systému. Uzly tohoto grafu ředstavují stavy systému a orietovaé hray řechody z jedoho stavu do druhého a ohodoceí těchto hra je osáo ravděodobostí řechodu z jedoho stavu do druhého. Stav S ro evé t,, řesěji tedy S (t je áhodou veličiou a vyjadřuje, že v čase t je v systému ožadavů. Je-li v systému M/M////FIFO rávě ožadavů,, a jede je v jedié obslužé lice systému (aálu obsluhy obsluhová a zbývajících čeá ve frotě. Přechody mezi stavy, teré se liší očtem ožadavů v systému o jeda, lze cháat jao roces zrodů a záiů, de zrod ředstavuje vstu ožadavu do systému a zái odchod ožadavu ze systému o sočeí jeho obsluhy. Pro daé ředolady Poissoův vstuí roud ožadavů s arametrem a exoeciálí rozděleí času obsluhy s arametrem je možé chováí systému hromadé obsluhy osat omocí Marovových (ebo taé marovsých rocesů. Vzhledem regulárosti (ordiárosti má smysl uvažovat ouze ravděodobosti řechodů P(S i S j, de buď ij ebo i a j se liší o. Nař. ravděodobost řechodu P(S S odovídá ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí; ravděodobost řechodu P(S S, je ravděodobostí jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí a současě jede ožadave bude obslouže a systém oustí; ravděodobost řechodu P(S S, je rova ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí ai z ěj evystouí aebo během tohoto itervalu do systému jede ožadave vstouí a současě jede bude obslouže a systém oustí. Z vlastostí regulárosti a ravidel očítáí výsledé ravděodobosti z dílčích ravděodobostí ojuce a disjuce ezávislých jevů dostáváme ři zaedbáváí moci dély itervalu t ro ravděodobosti řechodů ásledující vztahy: P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (7 P(S S ( t ( t + t t t t + t Υ (+ t (8 P(S S + t ( t t t Υ t (9 Vztahy (7, (8, (9 latí ro,, Graf řechodů systému M/M////FIFO je azače a obr. 3. Pro jedoduchost je obvylé uzly ozačovat je čísly a e symboly S i. Místo obecých ozačeí ravděodobostí řechodů zadáme orétí výrazy určeé vztahy (5-(9. (5 (6 - -

7 P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S + S + P(S S... P(S S + P(S S + P(S + S Obr. 3 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M////FIFO S využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy můžeme určit ravděodobosti (t vyjadřující, že v čase t je v systému rávě ožadavů, tetorát již ioliv izolovaě ro vstu ožadavů a jejich obsluhu, ale dohromady. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t ( (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. t,,, ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy ( a (3. ( t + t t ( t + t ( t ( t + ( t ( ( t ( t ( + ( t + ( t,,,... (3 + t Proveďme yí ve vztazích ( a (3 limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim [ ( t + ( t] t t t ( t + t ( t lim lim [ ( t ( + ( t + + ( t], t t t,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (4, (5: ( t ( t + ( (4 ' t '( t ( t ( + ( t + + ( t,,,... (5 Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy, teré jsou dáy stavem systému v čase t. Je-li v čase t v systému ožadavů, a očátečí odmíy jsou ( (6 (,, (7 V dalším budeme ředoládat, že <, tj. / <. Ozačme oměr / symbolem. Nazýváme jej itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Podmía (8 < (8 - -

8 je utou a ostačující odmíou, aby frota erostla ade všechy meze. Tato odmía taé zajistí, že o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,,κ, (9 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t za ostatí, tj. (t ost (3 Protože derivace ostaty je rova ule, dostáváme z tohoto závěru a ze vztahů (4 a (5 soustavu eoečě moha lieárích algebraicých rovic určeou vztahy (3 a (3. + (3 + Je zřejmé, že latí ( + +,,,... (3 (33 Ze vztahu (3 vyjádříme a dostaeme (34 a z (3 vyjádříme ro. Seciálě ro dostáváme z (3 [ [ + + ( + a obecě ro,, latí + ] ] [ + ( + ] [ + ( + (36 Zbývá ještě určit. K tomu využijeme vztahy (33 a (36. ( ] (35 (37 Protože suma ve vztahu (37 je geometricá řada s vocietem, rvím čleem a součtem, dostáváme z (37, a tedy (38 S využitím vztahu (38 můžeme (36 vyjádřit ve tvaru (,,,... (39 Tyto vztahy umožňují odvodit další důležité charateristiy systému M/M////FIFO, mezi ěž atří ařílad: - 3 -

9 Středí hodota očtu ožadavů v systému: + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ] ( [ ( d d d d d d d N E s s (4. Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: s s s s f f N E ] ( [ ] ( [ ( ( ( (4 3. Středí doba setrváí ožadavu v systému: ( ( s s s t T E (4 4. Středí doba čeáí ožadavu ve frotě: ( ( ( f f f t T E (43 5. Středí doba obsluhy: ( T O E (44 6. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (45 7. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K ( (46 Ze vztahů (4-(43 je vidět, že v systému M/M////FIFO emůže být, res., rotože by to mělo za áslede růst uvedeých arametrů ade všechy meze. 3. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// Stejě jao v ředchozím systému M/M////FIFO budeme ředoládat, že vstuí roud je Poissoův roces s itezitou vstuu, čas obsluhy má exoeciálí rozděleí se

10 středí hodotou t /, itezita obsluhy je. Protože čtvrtý arametr, terý udává max. očet ožadavů v systému, je rove, jde o systému bez čeáí a frota se evytváří, a tedy šestý arametr (ty froty zde emá smysl. Proto taé jsou možé ouze stavy: S systém je volý a S v systému je jede ožadave, terý je rávě obsluhová. Příladem tohoto systému je voláí a telefoí liu, buď je lia volá a volající je soje aebo je obsazeá a e sojeí hovoru edojde. Graf řechodů se začě zjedoduší, ja uazuje obr. 4. Obr. 4 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Z daých ředoladů obdobě jao v ředchozím modelu určíme ravděodobosti řechodů. Vztahy (47, (48 a (49 jsou římou aalogií vztahů (5, (6 a (7. Vztah (5 se vša od vztahu (8 mírě liší, rotože do systému emůže vstouit druhý ožadave, roto ravděodobost řechodu P(S S je rova ravděodobosti jevu, že v systému je jede ožadave a během itervalu dély t jej eoustí aebo během tohoto itervalu bude obslouže a systém oustí a současě do systému jede ožadave vstouí. P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (49 P(S S t + t t t + t Υ t (5 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t a (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (5 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t. ( t (5 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (53 a (54: ( t ( t + ( (53 ' t ( t ( t ( (54 ' t Počátečí odmíy jsou ( (55 ( (56 Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave, latí avíc t + ( t (57 ( P(S S P(S S P(S S P(S S Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity (47 (48-5 -

11 lim ( t,,, (58 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t a (t za ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (53, (54 a (57 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (59 (6 + (6 Řešeím této soustavy rovic sado zísáme výrazy ro a : (6 + (63 + Poměr / azýváme itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Dalšími důležitými charateristiami systému M/M/// jsou:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že v systému je jede ožadave a jediá obslužá lia je obsazea zt (64. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že v systému žádý ožadave eí a říchozí ožadave může být tedy obslouže K r P obsl (65 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (66 4. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om (67 5. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (68 6. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K (69 4. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// V tomto systému se orvé setáváme s více aály. Současě očet ožadavů v systému je omezeý očtem obslužých lie (aálů, to zameá, že aždý ožadave vstuuje do samoté obslužé liy, žádé ožadavy se eřadí do froty a jsou-li všechy - 6 -

12 obsluží liy obsazey, další ožadave je odmítut. Tyicým říladem systému tohoto tyu je telefoí ústředa. Stavem S i budeme oět rozumět áhodou veličiou, terá vyjadřuje, že v daém čase je v systému i ožadavů. To zde současě odovídá očtu obsazeých obslužých lie. Graf řechodů je azače a obr. 5. P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S Obr. 5 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Něteré ravděodobosti řechodů mezi stavy jsou složitější ež u ředchozích systémů. Nařílad P(S + S se rová ravděodobosti, že buď byl obslouže ožadave v. obslužé lice aebo v. lice,, aebo v (+-í lice, tj. P(S + S t + t + + t (+ t. Podobě P(S S se rová ravděodobosti, že ze žádé z obslužých lie žádý ožadave evystouil, vstouit řitom žádý emohl, rotože všechy liy byly již obsazey. To zameá, že P(S S ( t + t + + t t. Všechy otřebé ravděodobosti řechodů uvádí vztahy (7-(73. P(S S t,,, (7 P(S S ( t ( t ( + t + t Υ ( + t,,, (7 P(S + S (+ t,,, (7 P(S S t (73 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t, (t,, (t,, (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (74 (t+ t P(S S + P(S S + P(S S (t. t + (t.[(+ t] + (t. t (75 (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. (+ t (76 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t ( t (77 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (78-(8, teré se azývají Erlagova soustava rovic: (t (t + (t (78 (t (t (+ (t + (t (79-7 -

13 (t (t (+ (t + (+ + (t (8 (t (t (t (8 Počátečí odmíy jsou ( (8 (... ( (83 ( Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave aebo dva ožadavy aebo ožadavů, latí avíc ( t (84 Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,...,, (85 t ravděodobosti (t ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (78-(8 a (84 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (+ + (87 (+ + (+ + (88 (86 (89 (9 Ze vztahu (86 vyjádříme (9 Ze vztahu (87 můžeme vyjádřit + ( + + ( + (9 S využitím reuretí ovahy rovic (86-(89 lze a vyjádřit obecý Erlagův vzorec (93:,,,...,!! Protože vztah (93 triviálě latí i ro, můžeme ze vztahů (9 a (93 sado určit : (93-8 -

14 !!! a odtud Nyí již můžeme uvést charateristiy systému M/M/// vyjadřující uazatele vality obsluhy (charateristiy -3 a uazatele využití obslužých lie (charateristiy 4-8:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že všechy obslužé jsou obsazey (94 zt! (95. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že alesoň jeda z obslužých lie je volá K r zt (96 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (97 4. Středí hodota očtu obsazeých obslužých lie: E( N (98 obs obs 5. Středí hodota očtu volých obslužých lie: E( N (. obs ( obs (99 6. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om ( 7. Koeficiet rostoje obslužého aálu K ( 8. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu z K z, res. K z K ( - 9 -

15 V literatuře lze ajít rozbor moha dalších systémů hromadé obsluhy, ař. v ize (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5 je uvede systém M/M////FIFO a M/M//m/m/FIFO. Postu sestaveí reuretích rovic vychází ze stejých úvah jao u ředchozích modelů. V říadě M/M////FIFO se jedá o systém s ezávislými a rovoceými obslužými liami, de ožadavy čeají ve frotě je tehdy, jsou-li všechy obslužé liy obsazey. Frota je je jeda a je solečá ro všechy obslužé liy. Systémy, de 5. arametr (maximálí očet ožadavů ve zdroji ožadavů je eomezeý (tj. je vyjádře číslem, se ozačují jao otevřeé. Je-li teto arametr dá oečým řirozeým číslem, mluvíme o uzavřeých systémech hromadé obsluhy. Příladem je systém M/M//m/m/FIFO. 5. SIMULACE PROCESU HROMADNÉ OBSLUHY V raxi emusí ěteré ředolady latit a a vzorce, teré jsme odvodili, ejsou úlě řesé. Systémy hromadé obsluhy můžeme vša taé zoumat simulačě metodou Mote Carlo, dy geerujeme áhodá čísla vyjadřující oamži vstuu ožadavu do systému a čas obsluhy. Poud hodoty těchto áhodých veliči mají mít určité ravděodobostí rozděleí, je uté to zajistit. Existuje tomu řada metod, ař. vylučovací metoda a metoda iverzí fuce. Vylučovací metoda je oužitelá e geerováí hodot sojitých áhodých veliči, jejichž hustota ravděodobosti f je a ějaém itervalu a, b ohraičeá a vě tohoto itervalu ulová. Prici metody je založe a tom, že geerujeme áhodé body o souřadicích (x, y s rovoměrým rozděleím v obdélíu a, b, c, de c je maximálí hodota hustoty ravděodobosti f a itervalu a, b. Jestliže vygeerovaý bod je od fucí f, tj. y f(x, a x ovažujeme za vygeerovaou hodotu áhodé veličiy s daým rozděleím; v oačém říadě vygeerovaý bod euvažujeme, tj. z výočtů jej vyloučíme. V metodě iverzí fuce ejdříve z hustoty ravděodobosti f odle vztahu (3 určíme distribučí fuci F rozděleí ravděodobosti. x F ( x f ( t dt (3 Vygeerujeme áhodé číslo r s rovoměrým rozděleím a itervalu,, teré ovažujeme za hodotu distribučí fuce v dosud ezámém bodě x, tj. F(x r. Bod x odtud zísáme odle iverzího vztahu (4: x F (r (4 Při simulačích exerimetech je uté rozhodout, ja vyjádříme dyamicé vlastosti modelu, tj. jaou strategii zvolíme ro zachyceí času. Existují dvě možosti metoda evého časového rou a metoda roměého časového rou. V rvím říadě se vždy o ulyutí evého časového itervalu zjišťuje, jaým změám došlo. V metodě roměého časového rou hraice časových roů ředstavují rávě ty oamžiy, dy dojde e změě v systému, ař. řijde ový ožadave do systému ebo se uočí obsluha ožadavu a ožadave systém oustí. Přílad: Uvažujme systém hromadé obsluhy se dvěma obslužými liami, eomezeým zdrojem trělivých ožadavů, frotou tyu FIFO a romělivým časovým roem daým tabulou

16 čas vstuu ožadavu [hod:mi] Tab. Simulace systému hromadé obsluhy Doba. obslužá lia. obslužá lia rostoj obsluhy začáte oec začáte oec lie [mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [mi] 9: 3 9: 9:3 9:5 9 9:5 9:4 9: 9 9: 9:9 9: 9 9:4 9:3 3 9:4 9 9:9 9:8 5 9:4 6 9:4 9:3 9:34 9 9:34 9:43 4 9:37 9 9:37 9:46 9:38 3 9:43 9:46 5 9:4 9 9:46 9:55 5 9:4 6 9:46 9:5 4 9:5 9 9:5 : 9:53 6 9:55 : 9:56 9 : : 5 9:57 9 : : 4 doba čeáí a obsluhu [mi] Součet dob čeáí a obsluhu 5 ožadavů z tabuly je 33 mi. Odtud statisticy odhademe středí dobu čeáí ožadavu ve frotě 33 E ( T f,mi. 5 Z tabuly určíme časové itervaly, v ichž se eměí očet ožadavů. Výslede je obsaže v tabulce. Vidíme, že celem o +4 6 mi z celových 7 mi v systému žádý ožadave eí, odtud odhademe ravděodobost. 6,857 7 Obdobě odhademe až ,,, 3857, 3,, 4, 43, 5, Středí hodota očtu ožadavů v systému a je: E ( N s.,857 +., +., , + 4., ,43, Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: E( N f ( ( , +., ,43,

17 Tab. Výsledy výočtů časový doba, o terou je v systému hromadé obsluhy očet ožadavů [mi] iterval : 9:3 3 9:3 9:5 9:5 9: 5 9: 9: 9: 9:9 8 9:9 9:3 4 9:3 9:4 9:4 9:8 4 9:8 9:3 9:3 9:34 4 9:34 9:37 3 9:37 9:38 9:38 9:4 3 9:4 9:4 9:4 9:43 9:43 9:46 3 9:46 9:53 7 9:53 9:55 9:55 9:56 9:56 9:57 9:57 : 4 : : 9 6. ZÁVĚR V řísěvu jsou studováy systémy hromadé obsluhy, teré mají četé aliace v logistice, ař. v armádích oeracích, teleomuiačích řeosech, ale i v běžém životě u obslužých lie čeracích staic, řeáže a ádražích, oštách aod. Jsou odrobě rozebráy zůsoby lasifiace systémů a odvozeí matematicých modelů za určitých ředoladů ravděodobostího rozděleí áhodých veliči doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému a doba obsluhy ožadavu. Protože tyto ředolady v raxi emusí být utě slěy, je uázá i simulačí řístu ro řešeí uvedeých úloh. Literatura Bose, S.K.: A Itroductio to Queueig Systems. - Sriger-Verlag, Berli,. Cooer, R.B.: Itroductio to Queueig Theory. - North Hollad, New Yor, 98. Gross, D., Shortle, J.F., Thomso, J.M., Harris, C.M.: Fudametals of Queueig Theory. - Joh Wiley & Sos, New Yor, 8. Hrubia, K., Jadlovsá, A., Hrehová, S.: Algoritmy otimalizačých metod s využitím rogramových systémov. - Techicá uiverzita v Košiciach, Prešov-Košice, 5. Jablosý, J.: Oeračí výzum. - Vysoá šola eoomicá, Faulta iformatiy a statistiy, Praha,

18 Klvaňa, J.: Modelováí. - Česé vysoé učeí techicé, Faulta stavebí, Praha, 5. Pelta, K., Máje, V.: Oeračí výzum ve vojeství. - Uiverzita obray, Bro, 8. Virtamo, J.: Queueig Theory. - Lecture Notes, Helsii Uiversity of Techology, 5. Recezoval Prof. Ig. Vladimír Straoš, DrSc

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A IFORMATIKY FACULTY OF MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE OF AUTOMATIO AD COMPUTER SCIECE MODELY HROMADÉ OBSLUHY

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1.

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1. Katedra obecé eletrotechiy Faulta eletrotechiy a iformatiy, VŠB - TU Ostrava EERGETIKA U ŘÍZEÝCH EEKTRICKÝCH POHOŮ Předmět : Rozvody eletricé eergie v dolech a lomech. Úvod: Světový tred z hledisa eletricé

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová Jihočesá uiverzita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rada Glücsmaová Česé Budějovice, rosiec 7 Na tomto místě bych ráda oděovala vedoucímu baalářsé

Více

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah VŠB TU Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra obecé elektrotechiky ASYCHROÍ STROJE Obsah. Výzam a oužití asychroích motorů 2. rici čiosti asychroího motoru 3. Rozděleí asychroích motorů 4.

Více

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY 6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Záadočesá uverzta FKULT PLIKOVNÝCH VĚD Obsah: Pravděodobostí modelováí očítačových systémů geerováí a využtí áhodých čísel (Mote Carlo metody), matematcé (marovsé) modely 3 Zálady teore systémů hromadé

Více

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D.

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D. HROMECHANICKÉ PROCES orava tekti Čeradla a komresory (ředáška) oc. Ig. Tomáš Jirot, Ph.. (e-mail: Tomas.Jirot@fs.cvt.cz, tel.: 435 68) ČERPALA Základy teorie čeradel Základí rozděleí čeradel Hydrostatická

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Regulátor NQR pro nelineární oscilátor s analýzou stability

Regulátor NQR pro nelineární oscilátor s analýzou stability Rulátor NQR ro liárí osilátor s aalýzou stability Pavl Stibaur Mihal Valáš Abstrat: V řísěvu j stručě shruta a řdvší aliováa todoloi ávrhu liárího zětovazbího stavového rulátoru NQR a bhar liárího osilátoru

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu Směrce /0 Stattcké vyhodocováí dat, verze 4 Verze 4 e hodá e Směrcí /0 verze 3, ouze byla rozšířea o robutí aalýzu. Stattcké metody ro zkoušeí zůoblot Cílem tattcké aalýzy výledků zkoušek ř zkouškách zůoblot

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Interakce světla s prostředím

Interakce světla s prostředím Iterakce světla s prostředím světlo dopadající rozptyl absorpce světlo odražeé světlo prošlé prostředím ODRAZ A LOM The Light Fatastic, kap. 2 Light rays ad Huyges pricip, str. 31 Roviá vla E = E 0 cos

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko.

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko. Úol: Měřeí a trojfázovém trasformátoru aprázdo a aráto. 1. Změřte a areslete charateristiy aprázdo trojfázového trasformátoru 2,, P, cos = f ( 1) v rozmezí 4-1 V. Zdůvoděte průběh charateristi 2 = f (

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy Jiří Petržela základí ojmy základí ojmy z oblati elektrických filtrů základí ojmy elektrický filtr je lieárí dvojbra, který bez útlumu roouští je určité kmitočtové ložky, které obahuje vtuí igál rouštěé

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

Dynamické programování

Dynamické programování ALG Dynamické rogramování Nejdelší rostoucí odoslounost Otimální ořadí násobení matic Nejdelší rostoucí odoslounost Z dané oslounosti vyberte co nejdelší rostoucí odoslounost. 5 4 9 5 8 6 7 Řešení: 4 5

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy 6. Vliv zůsobu rovozu uzlu transformátoru na zemní oruchy Zemní oruchou se rozumí sojení jedné nebo více fází se zemí. Zemní orucha může být zůsobena řeskokem na izolátoru, růrazem evné izolace, ádem řetrženého

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II Faulta pedagogcá Techcá uverzta v Lberc DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II Doc. RNDr. Mroslav Koucý CSc. Lberec 4 Úvod Dsrétí ateata resp. její zálady patří jž tradčě ez stadardí téata předášeá a Techcé uverztě v

Více

SA4. Popis konstrukce a funkce STAVEBNICE HYDRAULICKÝCH HC 7100 11/98. pmax 31 MPa Q 0,5-42 dm 3. min -1 Nahrazuje HC 7100 5/95

SA4. Popis konstrukce a funkce STAVEBNICE HYDRAULICKÝCH HC 7100 11/98. pmax 31 MPa Q 0,5-42 dm 3. min -1 Nahrazuje HC 7100 5/95 STAVEBNICE HYDRAULICKÝCH AGREGÁTŮ ŘADY SA4 HC 7100 11/98 max 31 MPa Q 0,5-42 dm 3. mi -1 Nahrazuje HC 7100 5/95 Sestaveí hydraulického agregátu zákazickým zůsobem z tyizovaých odskui Objemy ádrží 10 až

Více

Metoda datových obalů DEA

Metoda datových obalů DEA Metoda datoých obalů DEA Model datoých obalů složí ro hodoceí techické efektiit rodkčích jedotek ssté a základě elosti stů a ýstů. Protože stů a ýstů ůže být íce drhů, řadí se DEA ezi etod icekriteriálího

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24

TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24 TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24 Obsah 1. Pois formátu výisu MT940 ro BUSINESS 24...2 1.1. Obecé odmíky... 2 1.2. Záhlaví souboru... 2 1.3. Struktura zázamu... 2 1.4.

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU

7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7. Výrobní činnost odniku Ekonomika odniku - 2009 7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7.1. Produkční funkce teoretický základ ekonomiky výroby 7.2. Výrobní kaacita Výrobní činnost je tou činností odniku, která

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS

DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS Jiří Tůma & Jiří Kulháek Abstract: The paper deals with the dyamic properties of the electroic gyroscope as a sesor of agular

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více