MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems"

Transkript

1 MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy Abstrat Čláe se zabývá teorií hromadé obsluhy, lasifiací systémů hromadé obluhy, matematicými rostředy ro jejich ois vycházejícími z teorie ravděodobosti a Marovových rocesů a odvozeím matematicých modelů záladích tyů. Čláe taé a simulačím říladu uazuje, jaým zůsobem lze očítat charateristiy systému, jestliže ejsou slěy ěteré ředolady, a ichž teoreticá odvozeí jsou ostavea. Abstract This aer deals with the queueig theory, classificatio of queueig systems, mathematical tools for their descritio based o the use of robability theory ad Marov rocesses, ad derives mathematical models of basic tyes. The aer also shows how to comute the system characteristics i a situatio whe some of the assumtios, o which the theoretical derivatios are built, are ot satisfied. Klíčová slova teorie hromadé obsluhy, Poissoův roces, Marovovy řetězce Key words queueig theory, Poisso rocess, Marov chais. ÚVOD Zálady teorie hromadé obsluhy oložil dásý matemati A. K. Erlag, terý racoval ro solečost rovozující telefoicou síť v Kodai a v r. 99 osal aliaci teorie ravděodobosti a roblémy telefoího rovozu. O další rozvoj teorie se zasloužil zejméa rusý matemati A. N. Kolmogorov. Klasifiaci systémů hromadé obsluhy ta, ja ji oužíváme des, zavedl v 5. letech miulého století aglicý matemati D. G. Kedall. Des jde již o lasicou část logistiy, osaou v řadě moografií (Bose, ; Cooer, 98; Gross et al., 8 i vysoošolsých textů (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5; Jablosý, ; Klvaňa, 5; Pelta, Máje, 8; Virtamo, 5. Místo ojmu teorie hromadé obsluhy se taé setáme s termíem teorie frot. Prví termí vychází z rusé termiologie теория массового обслуживания, druhý a z aglicého queueig theory. Protože ěteré systémy hromadé obsluhy frotu eobsahují, je rví termí obecější, a roto se jej budeme držet. Systém hromadé obsluhy (SHO je azače a obr.. Do systému obecě v áhodých oamžicích řichází ožadavy (záazíci a vyžadují obsluhu. Možosti obsluhy mohou být omezey, ař. očtem obslužých lie (ebo taé aálů obsluhy. Jestliže je alesoň jeda obslužá lia rázdá, je ožadave o říchodu do obslužého systému oamžitě zracovává. Doba obsluhy vša má rověž áhodý charater, rotože ožadavy mohou být růzě áročé. Jestliže vša jsou všechy obslužé liy obsazey, a - 6 -

2 se ožadavy (záazíci řadí do froty a musí čeat, až o zracováí ředchozích ožadavů a ě řijde řada. Obr. Strutura systému hromadé obsluhy s aralelím usořádáím obslužých lie Příladem této situace mohou být cestující, teří a letišti čeají a odbaveí a vystaveí alubího lístu a určitý let, dy z jedé froty se dělí e dvěma či více odbavovacím řeážám. Jejich doba obsluhy se může lišit, z důvodu růzého očtu či váhy zavazadel, secificých ožadavů a místo v letadle, řístuu ěolia osob rodiy řeážce ajedou aod. Podobé je to u olade a vlaovém ádraží, dy cestující mají růzé ožadavy a soj, uují více jízdee, ředládají růazy a slevy, často se i iformují a odrobosti vlaového soje, a ta i jejich déla obsluhy se může lišit. Ne vždy vša jsou všechy ožadavy obsloužey, res. řazey do froty a ozdější obsluhu. Nař. telefoicý hovor eí soje, rotože telefoí číslo je obsazeo, oř. volaý účastí má vyutý mobil. Požadave může být i odmítut v říadě, že eslňuje uté ředolady ro obsluhu. Nař. alubí líste a letadlo edostae cestující, terý se eroáže latým cestovím doladem a telefoí hovor eí soje, oud eěží zůstate uživatele mobilu odročil určitou mez. V obr. jsou obslužé liy řazey aralelě a zmíěé řílady tomu odovídají. Stejé je to ař. i v adeřictví, de záazíy čeající a ostříháí obsluhuje ěoli adeřic, ebo u bezíové umy, de motoristé ajíždějí ěolia stojaům ohoých hmot. Existují vša i ofigurace SHO se sériovým řazeím obslužých lie. Příladem mohou být lyžaři, teří asedají za sebou a starší ty vleu ro jedoho lyžaře, oř. výroby rocházející řes výrobí ás v roudové výrobě. Poud se týče froty, ituitivě ji cháeme ve smyslu, ja ji záme třeba z obchodu, tj. do dříve řijde do systému, dříve bude obslouže (FIFO first i, first out. Možá je vša i obsluha LIFO (last i, first out, de aoa je rví obsluhová ožadave, terý do systému vstouil osledí. Nědy bývá strategie LIFO ozačováa i zratou LCFS (last come, first served. Příladem obsluhy LIFO je odběr zboží ze sladu, dy zboží (ař. tabule sla, rabice s televizory, teré bylo a slad dodáo jao rví, je v zadí části sladu, res. asodu hromady, a tedy jao osledí je řístué. Vedle obsluhy FIFO a LIFO se setáme i s áhodým výběrem ožadavu z froty do obslužého systému (SIRO selectio i radom order a obsluhou řízeou rioritou ožadavů (PRI riority. Déla froty může být omezeá, ři dosažeí určitého (ředem defiovaého očtu ožadavů do froty se již další ožadavy odmítou, ař. očet rezervací a ihu v ihově, terá je atuálě vyůjčea; res. eomezeá, ve sutečosti tím cháeme říad, dy maximálí možý očet ožadavů ve frotě je velmi vysoý. Požadavy ve frotě - 7 -

3 mohou mít omezeou ebo eomezeou trělivost. V říadě eomezeé trělivosti ožadavy čeají a obsluhu ta dlouho, doud a ě eřijde řada, v systému s omezeou trělivostí je zařazeí do froty do začé míry závislé a délce froty. Místo dély froty se taé můžeme setat s ojmem aacita systému, terým se míí maximálí očet ožadavů, terý může být v systému řítome. Nyí již můžeme řistouit v lasifiaci systémů hromadé obsluhy. V r. 95 Kedall avrhl lasifiaci SHO odle tří hlavích hledise ve tvaru A/B/C, de A B C charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému, charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba obsluhy ožadavu, je očet aralelě usořádaých obslužých lie (ebo taé očet aálů, tj. jde o řirozeé číslo, v říadě eomezeého (tj. velmi velého očtu lie je obvylé arametr C vyjadřovat číslem. Ja bylo již uvedeo dříve, systém hromadé obsluhy lze charaterizovat větším očtem vlastostí, a roto byla Kedallova lasifiace dále rozšířea a tvar de výzam symbolů D, E, F je ásledující: D E F A/B/C/D/E/F, řirozeé číslo udávající max. očet ožadavů v systému (tj. aacitu systému, eí-li exlicitě omeze, je vyjádře, řirozeé číslo vyjadřující maximálí očet ožadavů ve vstuím roudu (ebo taé ve zdroji ožadavů, oud je eomeze, oět se oužije, ty froty (FIFO/LIFO/SIRO/PRI. Parametr A může abývat ásledujících hodot: M itervaly mezi říchody ožadavů jsou avzájem stochasticy ezávislé a mají exoeciálí rozděleí, to zameá, že vstuí roud rerezetuje Poissoův (Marovovův roces, odroběji viz dále, E Erlagovo rozděleí s arametry a, K rozděleí χ s stui volosti, N ormálí (Gaussovo rozděleí, U rovoměré rozděleí, G obecý říad, doba mezi říchody ožadavů je dáa svou distribučí fucí, D itervaly mezi říchody ožadavů jsou ostatí (mají determiisticý charater. Parametr B může abývat stejé hodoty jao arametr A, tyto hodoty se ale zde vztahuji áhodé veličiě doba obsluhy ožadavu. Protože většia systémů hromadé obsluhy ředoládá, že vstuí roud ožadavů tvoří Poissoův (Marovovův roces, oíšeme jej blíže. Poissoův roces je roud jevů, terý slňuje ásledující vlastosti:. Stacioárost (homogeita v čase očet jevů ve stejě dlouhých časových itervalech je ostatí.. Regulárost (ordiárost ravděodobost výsytu více ež jedoho jevu v dostatečě malém itervalu dély t je zaedbatelě malá. To zameá, že v itervalu (t, t+ t se buď vysyte rávě jede jev s ravděodobostí t aebo s ravděodobostí t se v tomto itervalu žádý jev evysyte. Jia řečeo - 8 -

4 v Poissoově rocesu je možý je řechod systému do ejbližšího vyššího stavu aebo setrváí v témže stavu. 3. Nezávislost řírůstů očet jevů, teré se vysytou v jedom časovém itervalu, ezávisí a očtu jevů v jiých itervalech,. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M////FIFO Uvažujme ejdříve situaci a vstuu systému izolovaě od rocesu obsluhy a zaveďme áhodou veličiu očet ožadavů, teré řišly do systému během itervalu t, t + t, de t (,. Vzhledem e stacioárosti Poissoova rocesu očet ožadavů ezávisí a volbě očátečího oamžiu t a výzam má ouze déla uvažovaého itervalu t. Nechť (t ozačuje ravděodobost toho, že v čase t je v systému rávě ožadavů. Z regulárosti Poissoova rocesu vylývá, že ravděodobost, že v čase t+ t bude v systému ožadavů je rova ravděodobosti toho, že v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t vstouil do systému jede ožadave s ravděodobostí t aebo v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t s ravděodobostí t do systému žádý ový ožadave evstouil. Z ravidel ro výočet ravděodobosti ojuce a disjuce ezávislých jevů odtud lye vztah: (t+ t (t. t + (t.( t,,, ( Pravděodobost, že v čase t+ t v systému eí žádý ožadave je dáa ravděodobostí toho, že tam žádý ožadave ebyl a ai během doby t žádý evstouil, tj. (t+ t (t.( t ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy (3 a (4. ( t + t t ( t + t t ( t ( t ( t,,,... (3 ( t ( t Proveďme yí ve vztazích (3 a (4 rovedeme limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim ( t t t t ( t + t ( t lim lim ( ( t t t t ( t,,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (5, (6: '( t ( t ( t,,,... (5 ( t ( (6 ' t Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy. Je vša zřejmé, že v čase se žádé ožadavy v systému ještě eachází, a tedy (,,,... (7 (4-9 -

5 ( (8 Z teorie obyčejých difereciálích rovic je zámo, že řešeím soustavy rovic (5, (6 s očátečími odmíami (7, (8 je soustava fucí t ( t ( t e,,,,...! Seciálě ro je t ( t e ( (9 Obr. Graficé zobrazeí fucí (t ro,,, 5 a. Ze vztahu (9 je tedy vidět, že v systému M/M/ áhodá veličia očet ožadavů, teré řišly do systému za časový iterval dély t, má Poissoovo rozděleí s arametrem t. Středí hodota této áhodé veličiy je t a seciálě ro t je středí hodota áhodé veličiy očet ožadavů, teré řišly do systému za časovou jedotu rova. Říáme, že je středí itezita vstuu ebo rátce itezita vstuu a vyjadřuje růměrý očet ožadavů, teré do systému vstouily za časovou jedotu. Uážeme ještě, že áhodá veličia iterval mezi říchody ožadavů má exoeciálí rozděleí. Ozačme tuto veličiu T. Pa ravděodobost toho, že o vstuu jedoho ožadavu žádý další ožadave o celou dobu itervalu t do systému evstouil, je rova (t, a tedy odle vztahu ( t P( T > t ( t e ( Odtud již dostáváme distribučí fuci F(t exoeciálího rozděleí s arametrem. t F( t P( T t P( T > t e ( Středí hodota áhodé veličiy T vyjadřující růměrý čas mezi dvěma o sobě jdoucími ožadavy je E(T/ (3 - -

6 Aalogicy můžeme yí zoumat roces obsluhy. Předoládáme, že áhodá veličia doba obsluhy jedoho ožadavu (rátce doba obsluhy má exoeciálí rozděleí. Parametr tohoto rozděleí ozačme, řičemž obecě latí, že. Středí hodota áhodé veličiy doba obsluhy T O je E(T O / (4 a arametr udává středí hodotu očtu ožadavů obsloužeých za časovou jedotu doby ráce aálu, stručěji středí itezitu obsluhy, rátce itezitu obsluhy. Pro odvozeí dalších charateristi systému je výhodé čiost systému hromadé osat grafem řechodů systému. Uzly tohoto grafu ředstavují stavy systému a orietovaé hray řechody z jedoho stavu do druhého a ohodoceí těchto hra je osáo ravděodobostí řechodu z jedoho stavu do druhého. Stav S ro evé t,, řesěji tedy S (t je áhodou veličiou a vyjadřuje, že v čase t je v systému ožadavů. Je-li v systému M/M////FIFO rávě ožadavů,, a jede je v jedié obslužé lice systému (aálu obsluhy obsluhová a zbývajících čeá ve frotě. Přechody mezi stavy, teré se liší očtem ožadavů v systému o jeda, lze cháat jao roces zrodů a záiů, de zrod ředstavuje vstu ožadavu do systému a zái odchod ožadavu ze systému o sočeí jeho obsluhy. Pro daé ředolady Poissoův vstuí roud ožadavů s arametrem a exoeciálí rozděleí času obsluhy s arametrem je možé chováí systému hromadé obsluhy osat omocí Marovových (ebo taé marovsých rocesů. Vzhledem regulárosti (ordiárosti má smysl uvažovat ouze ravděodobosti řechodů P(S i S j, de buď ij ebo i a j se liší o. Nař. ravděodobost řechodu P(S S odovídá ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí; ravděodobost řechodu P(S S, je ravděodobostí jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí a současě jede ožadave bude obslouže a systém oustí; ravděodobost řechodu P(S S, je rova ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí ai z ěj evystouí aebo během tohoto itervalu do systému jede ožadave vstouí a současě jede bude obslouže a systém oustí. Z vlastostí regulárosti a ravidel očítáí výsledé ravděodobosti z dílčích ravděodobostí ojuce a disjuce ezávislých jevů dostáváme ři zaedbáváí moci dély itervalu t ro ravděodobosti řechodů ásledující vztahy: P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (7 P(S S ( t ( t + t t t t + t Υ (+ t (8 P(S S + t ( t t t Υ t (9 Vztahy (7, (8, (9 latí ro,, Graf řechodů systému M/M////FIFO je azače a obr. 3. Pro jedoduchost je obvylé uzly ozačovat je čísly a e symboly S i. Místo obecých ozačeí ravděodobostí řechodů zadáme orétí výrazy určeé vztahy (5-(9. (5 (6 - -

7 P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S + S + P(S S... P(S S + P(S S + P(S + S Obr. 3 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M////FIFO S využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy můžeme určit ravděodobosti (t vyjadřující, že v čase t je v systému rávě ožadavů, tetorát již ioliv izolovaě ro vstu ožadavů a jejich obsluhu, ale dohromady. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t ( (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. t,,, ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy ( a (3. ( t + t t ( t + t ( t ( t + ( t ( ( t ( t ( + ( t + ( t,,,... (3 + t Proveďme yí ve vztazích ( a (3 limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim [ ( t + ( t] t t t ( t + t ( t lim lim [ ( t ( + ( t + + ( t], t t t,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (4, (5: ( t ( t + ( (4 ' t '( t ( t ( + ( t + + ( t,,,... (5 Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy, teré jsou dáy stavem systému v čase t. Je-li v čase t v systému ožadavů, a očátečí odmíy jsou ( (6 (,, (7 V dalším budeme ředoládat, že <, tj. / <. Ozačme oměr / symbolem. Nazýváme jej itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Podmía (8 < (8 - -

8 je utou a ostačující odmíou, aby frota erostla ade všechy meze. Tato odmía taé zajistí, že o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,,κ, (9 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t za ostatí, tj. (t ost (3 Protože derivace ostaty je rova ule, dostáváme z tohoto závěru a ze vztahů (4 a (5 soustavu eoečě moha lieárích algebraicých rovic určeou vztahy (3 a (3. + (3 + Je zřejmé, že latí ( + +,,,... (3 (33 Ze vztahu (3 vyjádříme a dostaeme (34 a z (3 vyjádříme ro. Seciálě ro dostáváme z (3 [ [ + + ( + a obecě ro,, latí + ] ] [ + ( + ] [ + ( + (36 Zbývá ještě určit. K tomu využijeme vztahy (33 a (36. ( ] (35 (37 Protože suma ve vztahu (37 je geometricá řada s vocietem, rvím čleem a součtem, dostáváme z (37, a tedy (38 S využitím vztahu (38 můžeme (36 vyjádřit ve tvaru (,,,... (39 Tyto vztahy umožňují odvodit další důležité charateristiy systému M/M////FIFO, mezi ěž atří ařílad: - 3 -

9 Středí hodota očtu ožadavů v systému: + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ] ( [ ( d d d d d d d N E s s (4. Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: s s s s f f N E ] ( [ ] ( [ ( ( ( (4 3. Středí doba setrváí ožadavu v systému: ( ( s s s t T E (4 4. Středí doba čeáí ožadavu ve frotě: ( ( ( f f f t T E (43 5. Středí doba obsluhy: ( T O E (44 6. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (45 7. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K ( (46 Ze vztahů (4-(43 je vidět, že v systému M/M////FIFO emůže být, res., rotože by to mělo za áslede růst uvedeých arametrů ade všechy meze. 3. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// Stejě jao v ředchozím systému M/M////FIFO budeme ředoládat, že vstuí roud je Poissoův roces s itezitou vstuu, čas obsluhy má exoeciálí rozděleí se

10 středí hodotou t /, itezita obsluhy je. Protože čtvrtý arametr, terý udává max. očet ožadavů v systému, je rove, jde o systému bez čeáí a frota se evytváří, a tedy šestý arametr (ty froty zde emá smysl. Proto taé jsou možé ouze stavy: S systém je volý a S v systému je jede ožadave, terý je rávě obsluhová. Příladem tohoto systému je voláí a telefoí liu, buď je lia volá a volající je soje aebo je obsazeá a e sojeí hovoru edojde. Graf řechodů se začě zjedoduší, ja uazuje obr. 4. Obr. 4 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Z daých ředoladů obdobě jao v ředchozím modelu určíme ravděodobosti řechodů. Vztahy (47, (48 a (49 jsou římou aalogií vztahů (5, (6 a (7. Vztah (5 se vša od vztahu (8 mírě liší, rotože do systému emůže vstouit druhý ožadave, roto ravděodobost řechodu P(S S je rova ravděodobosti jevu, že v systému je jede ožadave a během itervalu dély t jej eoustí aebo během tohoto itervalu bude obslouže a systém oustí a současě do systému jede ožadave vstouí. P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (49 P(S S t + t t t + t Υ t (5 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t a (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (5 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t. ( t (5 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (53 a (54: ( t ( t + ( (53 ' t ( t ( t ( (54 ' t Počátečí odmíy jsou ( (55 ( (56 Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave, latí avíc t + ( t (57 ( P(S S P(S S P(S S P(S S Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity (47 (48-5 -

11 lim ( t,,, (58 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t a (t za ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (53, (54 a (57 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (59 (6 + (6 Řešeím této soustavy rovic sado zísáme výrazy ro a : (6 + (63 + Poměr / azýváme itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Dalšími důležitými charateristiami systému M/M/// jsou:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že v systému je jede ožadave a jediá obslužá lia je obsazea zt (64. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že v systému žádý ožadave eí a říchozí ožadave může být tedy obslouže K r P obsl (65 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (66 4. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om (67 5. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (68 6. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K (69 4. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// V tomto systému se orvé setáváme s více aály. Současě očet ožadavů v systému je omezeý očtem obslužých lie (aálů, to zameá, že aždý ožadave vstuuje do samoté obslužé liy, žádé ožadavy se eřadí do froty a jsou-li všechy - 6 -

12 obsluží liy obsazey, další ožadave je odmítut. Tyicým říladem systému tohoto tyu je telefoí ústředa. Stavem S i budeme oět rozumět áhodou veličiou, terá vyjadřuje, že v daém čase je v systému i ožadavů. To zde současě odovídá očtu obsazeých obslužých lie. Graf řechodů je azače a obr. 5. P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S Obr. 5 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Něteré ravděodobosti řechodů mezi stavy jsou složitější ež u ředchozích systémů. Nařílad P(S + S se rová ravděodobosti, že buď byl obslouže ožadave v. obslužé lice aebo v. lice,, aebo v (+-í lice, tj. P(S + S t + t + + t (+ t. Podobě P(S S se rová ravděodobosti, že ze žádé z obslužých lie žádý ožadave evystouil, vstouit řitom žádý emohl, rotože všechy liy byly již obsazey. To zameá, že P(S S ( t + t + + t t. Všechy otřebé ravděodobosti řechodů uvádí vztahy (7-(73. P(S S t,,, (7 P(S S ( t ( t ( + t + t Υ ( + t,,, (7 P(S + S (+ t,,, (7 P(S S t (73 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t, (t,, (t,, (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (74 (t+ t P(S S + P(S S + P(S S (t. t + (t.[(+ t] + (t. t (75 (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. (+ t (76 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t ( t (77 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (78-(8, teré se azývají Erlagova soustava rovic: (t (t + (t (78 (t (t (+ (t + (t (79-7 -

13 (t (t (+ (t + (+ + (t (8 (t (t (t (8 Počátečí odmíy jsou ( (8 (... ( (83 ( Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave aebo dva ožadavy aebo ožadavů, latí avíc ( t (84 Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,...,, (85 t ravděodobosti (t ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (78-(8 a (84 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (+ + (87 (+ + (+ + (88 (86 (89 (9 Ze vztahu (86 vyjádříme (9 Ze vztahu (87 můžeme vyjádřit + ( + + ( + (9 S využitím reuretí ovahy rovic (86-(89 lze a vyjádřit obecý Erlagův vzorec (93:,,,...,!! Protože vztah (93 triviálě latí i ro, můžeme ze vztahů (9 a (93 sado určit : (93-8 -

14 !!! a odtud Nyí již můžeme uvést charateristiy systému M/M/// vyjadřující uazatele vality obsluhy (charateristiy -3 a uazatele využití obslužých lie (charateristiy 4-8:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že všechy obslužé jsou obsazey (94 zt! (95. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že alesoň jeda z obslužých lie je volá K r zt (96 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (97 4. Středí hodota očtu obsazeých obslužých lie: E( N (98 obs obs 5. Středí hodota očtu volých obslužých lie: E( N (. obs ( obs (99 6. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om ( 7. Koeficiet rostoje obslužého aálu K ( 8. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu z K z, res. K z K ( - 9 -

15 V literatuře lze ajít rozbor moha dalších systémů hromadé obsluhy, ař. v ize (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5 je uvede systém M/M////FIFO a M/M//m/m/FIFO. Postu sestaveí reuretích rovic vychází ze stejých úvah jao u ředchozích modelů. V říadě M/M////FIFO se jedá o systém s ezávislými a rovoceými obslužými liami, de ožadavy čeají ve frotě je tehdy, jsou-li všechy obslužé liy obsazey. Frota je je jeda a je solečá ro všechy obslužé liy. Systémy, de 5. arametr (maximálí očet ožadavů ve zdroji ožadavů je eomezeý (tj. je vyjádře číslem, se ozačují jao otevřeé. Je-li teto arametr dá oečým řirozeým číslem, mluvíme o uzavřeých systémech hromadé obsluhy. Příladem je systém M/M//m/m/FIFO. 5. SIMULACE PROCESU HROMADNÉ OBSLUHY V raxi emusí ěteré ředolady latit a a vzorce, teré jsme odvodili, ejsou úlě řesé. Systémy hromadé obsluhy můžeme vša taé zoumat simulačě metodou Mote Carlo, dy geerujeme áhodá čísla vyjadřující oamži vstuu ožadavu do systému a čas obsluhy. Poud hodoty těchto áhodých veliči mají mít určité ravděodobostí rozděleí, je uté to zajistit. Existuje tomu řada metod, ař. vylučovací metoda a metoda iverzí fuce. Vylučovací metoda je oužitelá e geerováí hodot sojitých áhodých veliči, jejichž hustota ravděodobosti f je a ějaém itervalu a, b ohraičeá a vě tohoto itervalu ulová. Prici metody je založe a tom, že geerujeme áhodé body o souřadicích (x, y s rovoměrým rozděleím v obdélíu a, b, c, de c je maximálí hodota hustoty ravděodobosti f a itervalu a, b. Jestliže vygeerovaý bod je od fucí f, tj. y f(x, a x ovažujeme za vygeerovaou hodotu áhodé veličiy s daým rozděleím; v oačém říadě vygeerovaý bod euvažujeme, tj. z výočtů jej vyloučíme. V metodě iverzí fuce ejdříve z hustoty ravděodobosti f odle vztahu (3 určíme distribučí fuci F rozděleí ravděodobosti. x F ( x f ( t dt (3 Vygeerujeme áhodé číslo r s rovoměrým rozděleím a itervalu,, teré ovažujeme za hodotu distribučí fuce v dosud ezámém bodě x, tj. F(x r. Bod x odtud zísáme odle iverzího vztahu (4: x F (r (4 Při simulačích exerimetech je uté rozhodout, ja vyjádříme dyamicé vlastosti modelu, tj. jaou strategii zvolíme ro zachyceí času. Existují dvě možosti metoda evého časového rou a metoda roměého časového rou. V rvím říadě se vždy o ulyutí evého časového itervalu zjišťuje, jaým změám došlo. V metodě roměého časového rou hraice časových roů ředstavují rávě ty oamžiy, dy dojde e změě v systému, ař. řijde ový ožadave do systému ebo se uočí obsluha ožadavu a ožadave systém oustí. Přílad: Uvažujme systém hromadé obsluhy se dvěma obslužými liami, eomezeým zdrojem trělivých ožadavů, frotou tyu FIFO a romělivým časovým roem daým tabulou

16 čas vstuu ožadavu [hod:mi] Tab. Simulace systému hromadé obsluhy Doba. obslužá lia. obslužá lia rostoj obsluhy začáte oec začáte oec lie [mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [mi] 9: 3 9: 9:3 9:5 9 9:5 9:4 9: 9 9: 9:9 9: 9 9:4 9:3 3 9:4 9 9:9 9:8 5 9:4 6 9:4 9:3 9:34 9 9:34 9:43 4 9:37 9 9:37 9:46 9:38 3 9:43 9:46 5 9:4 9 9:46 9:55 5 9:4 6 9:46 9:5 4 9:5 9 9:5 : 9:53 6 9:55 : 9:56 9 : : 5 9:57 9 : : 4 doba čeáí a obsluhu [mi] Součet dob čeáí a obsluhu 5 ožadavů z tabuly je 33 mi. Odtud statisticy odhademe středí dobu čeáí ožadavu ve frotě 33 E ( T f,mi. 5 Z tabuly určíme časové itervaly, v ichž se eměí očet ožadavů. Výslede je obsaže v tabulce. Vidíme, že celem o +4 6 mi z celových 7 mi v systému žádý ožadave eí, odtud odhademe ravděodobost. 6,857 7 Obdobě odhademe až ,,, 3857, 3,, 4, 43, 5, Středí hodota očtu ožadavů v systému a je: E ( N s.,857 +., +., , + 4., ,43, Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: E( N f ( ( , +., ,43,

17 Tab. Výsledy výočtů časový doba, o terou je v systému hromadé obsluhy očet ožadavů [mi] iterval : 9:3 3 9:3 9:5 9:5 9: 5 9: 9: 9: 9:9 8 9:9 9:3 4 9:3 9:4 9:4 9:8 4 9:8 9:3 9:3 9:34 4 9:34 9:37 3 9:37 9:38 9:38 9:4 3 9:4 9:4 9:4 9:43 9:43 9:46 3 9:46 9:53 7 9:53 9:55 9:55 9:56 9:56 9:57 9:57 : 4 : : 9 6. ZÁVĚR V řísěvu jsou studováy systémy hromadé obsluhy, teré mají četé aliace v logistice, ař. v armádích oeracích, teleomuiačích řeosech, ale i v běžém životě u obslužých lie čeracích staic, řeáže a ádražích, oštách aod. Jsou odrobě rozebráy zůsoby lasifiace systémů a odvozeí matematicých modelů za určitých ředoladů ravděodobostího rozděleí áhodých veliči doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému a doba obsluhy ožadavu. Protože tyto ředolady v raxi emusí být utě slěy, je uázá i simulačí řístu ro řešeí uvedeých úloh. Literatura Bose, S.K.: A Itroductio to Queueig Systems. - Sriger-Verlag, Berli,. Cooer, R.B.: Itroductio to Queueig Theory. - North Hollad, New Yor, 98. Gross, D., Shortle, J.F., Thomso, J.M., Harris, C.M.: Fudametals of Queueig Theory. - Joh Wiley & Sos, New Yor, 8. Hrubia, K., Jadlovsá, A., Hrehová, S.: Algoritmy otimalizačých metod s využitím rogramových systémov. - Techicá uiverzita v Košiciach, Prešov-Košice, 5. Jablosý, J.: Oeračí výzum. - Vysoá šola eoomicá, Faulta iformatiy a statistiy, Praha,

18 Klvaňa, J.: Modelováí. - Česé vysoé učeí techicé, Faulta stavebí, Praha, 5. Pelta, K., Máje, V.: Oeračí výzum ve vojeství. - Uiverzita obray, Bro, 8. Virtamo, J.: Queueig Theory. - Lecture Notes, Helsii Uiversity of Techology, 5. Recezoval Prof. Ig. Vladimír Straoš, DrSc

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Záadočesá uverzta FKULT PLIKOVNÝCH VĚD Obsah: Pravděodobostí modelováí očítačových systémů geerováí a využtí áhodých čísel (Mote Carlo metody), matematcé (marovsé) modely 3 Zálady teore systémů hromadé

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24

TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24 TECHNICKÝ POPIS STRUKTURY FORMÁTU VÝPISU MT940 PRO SLUŽBU BUSINESS 24 Obsah 1. Pois formátu výisu MT940 ro BUSINESS 24...2 1.1. Obecé odmíky... 2 1.2. Záhlaví souboru... 2 1.3. Struktura zázamu... 2 1.4.

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu Apliace margiálích áladů Oceňováí ztrát v distribučím rozvodu Učebí text předmětu MES Doc. Ig. J. Vastl, CSc. Celové ročí álady a ztráty N P ( T ) z z sj z wj Kč de N z celové ročí álady a ztráty *Kč+

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma : Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha Vysoká škola ekoomcká v Praze Fakulta formatky a statstky Vyšší odborá škola formačích služeb v Praze Lukáš Kleňha egresí aalýza acetovy rogrese o rví hostalzac s CHOPN 0 Prohlášeí Prohlašuj, že jsem

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

ISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec

ISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec SŠT Mělník Číslo rojektu Označení materiálu ázev školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace CZ..07/.5.00/34.006 VY_3_OVACE_H..05 ntegrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 566, 76 0 Mělník

Více

MIČKAL, Karel. Technická mechanika II: pro střední odborná učiliště. Vyd. 3., nezm. Praha: Informatorium, 1998c1990, 118 s. ISBN 80-860-7323-8.

MIČKAL, Karel. Technická mechanika II: pro střední odborná učiliště. Vyd. 3., nezm. Praha: Informatorium, 1998c1990, 118 s. ISBN 80-860-7323-8. Idenifiáor maeriálu: ICT 1 9 Regisrační číslo rojeu Název rojeu Název říjemce odory název maeriálu (DUM) Anoace Auor Jazy Očeávaný výsu Klíčová slova Druh učebního maeriálu Druh ineraiviy Cílová suina

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí Chb měřeí Druh chb

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

RNDr. Michal Horák, CSc. Mikroelektronické prvky a struktury

RNDr. Michal Horák, CSc. Mikroelektronické prvky a struktury RNr. Michal Horák, Sc. Mikroelektroické rvky a struktury Vysoké učeí techické v rě 11 eto učebí text byl vyracová v rámci rojektu vroského sociálího fodu č. Z.1.7/../7.391 s ázvem ovace a moderizace bakalářského

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Statistická analýza dat - Indexní analýza

Statistická analýza dat - Indexní analýza Statistiká analýza dat Indexní analýza Statistiká analýza dat - Indexní analýza Index mohou být:. Stejnorodýh ukazatelů. Nestejnorodýh ukazatelů Index se skládají ze dvou složek:... intenzita (úroveň znaku)...

Více

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročík LVII 28 Číslo 5, 2009 ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ L. Papírík

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I VYSOKÉ UČNÍ CHNICKÉ V BRNĚ FAKUA SAVBNÍ JOSF WIG ORI CHYB A VYROVNÁVACÍ POČ I G4_ ĚŘICKÉ CHYBY SUDIJNÍ OPORY PRO SUDIJNÍ PROGRAY S KOBINOVANOU FOROU SUDIA CHVP ěřcé chb eto tet eroše jazovou a redačí úravou.

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman ASYNCHRONNÍ STROJE Obsah. Pricip čiosti asychroího motoru. Náhradí schéma asychroího motoru. Výko a momet asychroího motoru 4. Spouštěí trojfázových asychroích motorů 5. Řízeí otáček asychroích motorů

Více

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti DLUHOISY - dlouhodobý obchodovatelý ceý papír - má staoveou dobu splatost - vyadřue závaze emteta oblgace (dlužía) vůč matel oblgace (věřtel) Tříděí z hledsa doby splatost - rátodobé : splatost do 1 rou

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými

Pokud světlo prochází prostředím, pak v důsledku elektromagnetické interakce s částicemi obsaženými 1 Pracovní úkoly 1. Změřte závislost indexu lomu vzduchu na tlaku n(). 2. Závislost n() zracujte graficky. Vyneste také závislost závislost vlnové délky sodíkové čáry na indexu lomu vzduchu λ(n). Proveďte

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Všeobecné instrukce pro instalaci, použití a údržbu

Všeobecné instrukce pro instalaci, použití a údržbu Všeobecé istruce pro istalaci, použití a údržbu SPORÁKY PLYNOVÉ MODELY CG-2002 CG-1502 CG-1002 2 3 4 5 Tabula techicých parametrů (č. 1) VNĚJŠÍ ROZMĚRY ROZMĚRY TROUBY POČET Ů NOMINÁLNÍ SPOTŘEBA CELKOVÝ

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

(způsobený emisí nových peněz). To znamená, že stát na aukci přichází s

(způsobený emisí nových peněz). To znamená, že stát na aukci přichází s ažebé ve pojité čae Petr ach, yoá šola eooicá Toáš Hazá, ateatico-fyziálí faulta Uiverzity Karlovy Úvod Jedí ze způobů zíáí veřejého příju je eie ově vytištěých peěz Protože eií peěz edochází tvorbě bohattví,

Více