MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems"

Transkript

1 MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy Abstrat Čláe se zabývá teorií hromadé obsluhy, lasifiací systémů hromadé obluhy, matematicými rostředy ro jejich ois vycházejícími z teorie ravděodobosti a Marovových rocesů a odvozeím matematicých modelů záladích tyů. Čláe taé a simulačím říladu uazuje, jaým zůsobem lze očítat charateristiy systému, jestliže ejsou slěy ěteré ředolady, a ichž teoreticá odvozeí jsou ostavea. Abstract This aer deals with the queueig theory, classificatio of queueig systems, mathematical tools for their descritio based o the use of robability theory ad Marov rocesses, ad derives mathematical models of basic tyes. The aer also shows how to comute the system characteristics i a situatio whe some of the assumtios, o which the theoretical derivatios are built, are ot satisfied. Klíčová slova teorie hromadé obsluhy, Poissoův roces, Marovovy řetězce Key words queueig theory, Poisso rocess, Marov chais. ÚVOD Zálady teorie hromadé obsluhy oložil dásý matemati A. K. Erlag, terý racoval ro solečost rovozující telefoicou síť v Kodai a v r. 99 osal aliaci teorie ravděodobosti a roblémy telefoího rovozu. O další rozvoj teorie se zasloužil zejméa rusý matemati A. N. Kolmogorov. Klasifiaci systémů hromadé obsluhy ta, ja ji oužíváme des, zavedl v 5. letech miulého století aglicý matemati D. G. Kedall. Des jde již o lasicou část logistiy, osaou v řadě moografií (Bose, ; Cooer, 98; Gross et al., 8 i vysoošolsých textů (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5; Jablosý, ; Klvaňa, 5; Pelta, Máje, 8; Virtamo, 5. Místo ojmu teorie hromadé obsluhy se taé setáme s termíem teorie frot. Prví termí vychází z rusé termiologie теория массового обслуживания, druhý a z aglicého queueig theory. Protože ěteré systémy hromadé obsluhy frotu eobsahují, je rví termí obecější, a roto se jej budeme držet. Systém hromadé obsluhy (SHO je azače a obr.. Do systému obecě v áhodých oamžicích řichází ožadavy (záazíci a vyžadují obsluhu. Možosti obsluhy mohou být omezey, ař. očtem obslužých lie (ebo taé aálů obsluhy. Jestliže je alesoň jeda obslužá lia rázdá, je ožadave o říchodu do obslužého systému oamžitě zracovává. Doba obsluhy vša má rověž áhodý charater, rotože ožadavy mohou být růzě áročé. Jestliže vša jsou všechy obslužé liy obsazey, a - 6 -

2 se ožadavy (záazíci řadí do froty a musí čeat, až o zracováí ředchozích ožadavů a ě řijde řada. Obr. Strutura systému hromadé obsluhy s aralelím usořádáím obslužých lie Příladem této situace mohou být cestující, teří a letišti čeají a odbaveí a vystaveí alubího lístu a určitý let, dy z jedé froty se dělí e dvěma či více odbavovacím řeážám. Jejich doba obsluhy se může lišit, z důvodu růzého očtu či váhy zavazadel, secificých ožadavů a místo v letadle, řístuu ěolia osob rodiy řeážce ajedou aod. Podobé je to u olade a vlaovém ádraží, dy cestující mají růzé ožadavy a soj, uují více jízdee, ředládají růazy a slevy, často se i iformují a odrobosti vlaového soje, a ta i jejich déla obsluhy se může lišit. Ne vždy vša jsou všechy ožadavy obsloužey, res. řazey do froty a ozdější obsluhu. Nař. telefoicý hovor eí soje, rotože telefoí číslo je obsazeo, oř. volaý účastí má vyutý mobil. Požadave může být i odmítut v říadě, že eslňuje uté ředolady ro obsluhu. Nař. alubí líste a letadlo edostae cestující, terý se eroáže latým cestovím doladem a telefoí hovor eí soje, oud eěží zůstate uživatele mobilu odročil určitou mez. V obr. jsou obslužé liy řazey aralelě a zmíěé řílady tomu odovídají. Stejé je to ař. i v adeřictví, de záazíy čeající a ostříháí obsluhuje ěoli adeřic, ebo u bezíové umy, de motoristé ajíždějí ěolia stojaům ohoých hmot. Existují vša i ofigurace SHO se sériovým řazeím obslužých lie. Příladem mohou být lyžaři, teří asedají za sebou a starší ty vleu ro jedoho lyžaře, oř. výroby rocházející řes výrobí ás v roudové výrobě. Poud se týče froty, ituitivě ji cháeme ve smyslu, ja ji záme třeba z obchodu, tj. do dříve řijde do systému, dříve bude obslouže (FIFO first i, first out. Možá je vša i obsluha LIFO (last i, first out, de aoa je rví obsluhová ožadave, terý do systému vstouil osledí. Nědy bývá strategie LIFO ozačováa i zratou LCFS (last come, first served. Příladem obsluhy LIFO je odběr zboží ze sladu, dy zboží (ař. tabule sla, rabice s televizory, teré bylo a slad dodáo jao rví, je v zadí části sladu, res. asodu hromady, a tedy jao osledí je řístué. Vedle obsluhy FIFO a LIFO se setáme i s áhodým výběrem ožadavu z froty do obslužého systému (SIRO selectio i radom order a obsluhou řízeou rioritou ožadavů (PRI riority. Déla froty může být omezeá, ři dosažeí určitého (ředem defiovaého očtu ožadavů do froty se již další ožadavy odmítou, ař. očet rezervací a ihu v ihově, terá je atuálě vyůjčea; res. eomezeá, ve sutečosti tím cháeme říad, dy maximálí možý očet ožadavů ve frotě je velmi vysoý. Požadavy ve frotě - 7 -

3 mohou mít omezeou ebo eomezeou trělivost. V říadě eomezeé trělivosti ožadavy čeají a obsluhu ta dlouho, doud a ě eřijde řada, v systému s omezeou trělivostí je zařazeí do froty do začé míry závislé a délce froty. Místo dély froty se taé můžeme setat s ojmem aacita systému, terým se míí maximálí očet ožadavů, terý může být v systému řítome. Nyí již můžeme řistouit v lasifiaci systémů hromadé obsluhy. V r. 95 Kedall avrhl lasifiaci SHO odle tří hlavích hledise ve tvaru A/B/C, de A B C charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému, charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba obsluhy ožadavu, je očet aralelě usořádaých obslužých lie (ebo taé očet aálů, tj. jde o řirozeé číslo, v říadě eomezeého (tj. velmi velého očtu lie je obvylé arametr C vyjadřovat číslem. Ja bylo již uvedeo dříve, systém hromadé obsluhy lze charaterizovat větším očtem vlastostí, a roto byla Kedallova lasifiace dále rozšířea a tvar de výzam symbolů D, E, F je ásledující: D E F A/B/C/D/E/F, řirozeé číslo udávající max. očet ožadavů v systému (tj. aacitu systému, eí-li exlicitě omeze, je vyjádře, řirozeé číslo vyjadřující maximálí očet ožadavů ve vstuím roudu (ebo taé ve zdroji ožadavů, oud je eomeze, oět se oužije, ty froty (FIFO/LIFO/SIRO/PRI. Parametr A může abývat ásledujících hodot: M itervaly mezi říchody ožadavů jsou avzájem stochasticy ezávislé a mají exoeciálí rozděleí, to zameá, že vstuí roud rerezetuje Poissoův (Marovovův roces, odroběji viz dále, E Erlagovo rozděleí s arametry a, K rozděleí χ s stui volosti, N ormálí (Gaussovo rozděleí, U rovoměré rozděleí, G obecý říad, doba mezi říchody ožadavů je dáa svou distribučí fucí, D itervaly mezi říchody ožadavů jsou ostatí (mají determiisticý charater. Parametr B může abývat stejé hodoty jao arametr A, tyto hodoty se ale zde vztahuji áhodé veličiě doba obsluhy ožadavu. Protože většia systémů hromadé obsluhy ředoládá, že vstuí roud ožadavů tvoří Poissoův (Marovovův roces, oíšeme jej blíže. Poissoův roces je roud jevů, terý slňuje ásledující vlastosti:. Stacioárost (homogeita v čase očet jevů ve stejě dlouhých časových itervalech je ostatí.. Regulárost (ordiárost ravděodobost výsytu více ež jedoho jevu v dostatečě malém itervalu dély t je zaedbatelě malá. To zameá, že v itervalu (t, t+ t se buď vysyte rávě jede jev s ravděodobostí t aebo s ravděodobostí t se v tomto itervalu žádý jev evysyte. Jia řečeo - 8 -

4 v Poissoově rocesu je možý je řechod systému do ejbližšího vyššího stavu aebo setrváí v témže stavu. 3. Nezávislost řírůstů očet jevů, teré se vysytou v jedom časovém itervalu, ezávisí a očtu jevů v jiých itervalech,. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M////FIFO Uvažujme ejdříve situaci a vstuu systému izolovaě od rocesu obsluhy a zaveďme áhodou veličiu očet ožadavů, teré řišly do systému během itervalu t, t + t, de t (,. Vzhledem e stacioárosti Poissoova rocesu očet ožadavů ezávisí a volbě očátečího oamžiu t a výzam má ouze déla uvažovaého itervalu t. Nechť (t ozačuje ravděodobost toho, že v čase t je v systému rávě ožadavů. Z regulárosti Poissoova rocesu vylývá, že ravděodobost, že v čase t+ t bude v systému ožadavů je rova ravděodobosti toho, že v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t vstouil do systému jede ožadave s ravděodobostí t aebo v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t s ravděodobostí t do systému žádý ový ožadave evstouil. Z ravidel ro výočet ravděodobosti ojuce a disjuce ezávislých jevů odtud lye vztah: (t+ t (t. t + (t.( t,,, ( Pravděodobost, že v čase t+ t v systému eí žádý ožadave je dáa ravděodobostí toho, že tam žádý ožadave ebyl a ai během doby t žádý evstouil, tj. (t+ t (t.( t ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy (3 a (4. ( t + t t ( t + t t ( t ( t ( t,,,... (3 ( t ( t Proveďme yí ve vztazích (3 a (4 rovedeme limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim ( t t t t ( t + t ( t lim lim ( ( t t t t ( t,,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (5, (6: '( t ( t ( t,,,... (5 ( t ( (6 ' t Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy. Je vša zřejmé, že v čase se žádé ožadavy v systému ještě eachází, a tedy (,,,... (7 (4-9 -

5 ( (8 Z teorie obyčejých difereciálích rovic je zámo, že řešeím soustavy rovic (5, (6 s očátečími odmíami (7, (8 je soustava fucí t ( t ( t e,,,,...! Seciálě ro je t ( t e ( (9 Obr. Graficé zobrazeí fucí (t ro,,, 5 a. Ze vztahu (9 je tedy vidět, že v systému M/M/ áhodá veličia očet ožadavů, teré řišly do systému za časový iterval dély t, má Poissoovo rozděleí s arametrem t. Středí hodota této áhodé veličiy je t a seciálě ro t je středí hodota áhodé veličiy očet ožadavů, teré řišly do systému za časovou jedotu rova. Říáme, že je středí itezita vstuu ebo rátce itezita vstuu a vyjadřuje růměrý očet ožadavů, teré do systému vstouily za časovou jedotu. Uážeme ještě, že áhodá veličia iterval mezi říchody ožadavů má exoeciálí rozděleí. Ozačme tuto veličiu T. Pa ravděodobost toho, že o vstuu jedoho ožadavu žádý další ožadave o celou dobu itervalu t do systému evstouil, je rova (t, a tedy odle vztahu ( t P( T > t ( t e ( Odtud již dostáváme distribučí fuci F(t exoeciálího rozděleí s arametrem. t F( t P( T t P( T > t e ( Středí hodota áhodé veličiy T vyjadřující růměrý čas mezi dvěma o sobě jdoucími ožadavy je E(T/ (3 - -

6 Aalogicy můžeme yí zoumat roces obsluhy. Předoládáme, že áhodá veličia doba obsluhy jedoho ožadavu (rátce doba obsluhy má exoeciálí rozděleí. Parametr tohoto rozděleí ozačme, řičemž obecě latí, že. Středí hodota áhodé veličiy doba obsluhy T O je E(T O / (4 a arametr udává středí hodotu očtu ožadavů obsloužeých za časovou jedotu doby ráce aálu, stručěji středí itezitu obsluhy, rátce itezitu obsluhy. Pro odvozeí dalších charateristi systému je výhodé čiost systému hromadé osat grafem řechodů systému. Uzly tohoto grafu ředstavují stavy systému a orietovaé hray řechody z jedoho stavu do druhého a ohodoceí těchto hra je osáo ravděodobostí řechodu z jedoho stavu do druhého. Stav S ro evé t,, řesěji tedy S (t je áhodou veličiou a vyjadřuje, že v čase t je v systému ožadavů. Je-li v systému M/M////FIFO rávě ožadavů,, a jede je v jedié obslužé lice systému (aálu obsluhy obsluhová a zbývajících čeá ve frotě. Přechody mezi stavy, teré se liší očtem ožadavů v systému o jeda, lze cháat jao roces zrodů a záiů, de zrod ředstavuje vstu ožadavu do systému a zái odchod ožadavu ze systému o sočeí jeho obsluhy. Pro daé ředolady Poissoův vstuí roud ožadavů s arametrem a exoeciálí rozděleí času obsluhy s arametrem je možé chováí systému hromadé obsluhy osat omocí Marovových (ebo taé marovsých rocesů. Vzhledem regulárosti (ordiárosti má smysl uvažovat ouze ravděodobosti řechodů P(S i S j, de buď ij ebo i a j se liší o. Nař. ravděodobost řechodu P(S S odovídá ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí; ravděodobost řechodu P(S S, je ravděodobostí jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí a současě jede ožadave bude obslouže a systém oustí; ravděodobost řechodu P(S S, je rova ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí ai z ěj evystouí aebo během tohoto itervalu do systému jede ožadave vstouí a současě jede bude obslouže a systém oustí. Z vlastostí regulárosti a ravidel očítáí výsledé ravděodobosti z dílčích ravděodobostí ojuce a disjuce ezávislých jevů dostáváme ři zaedbáváí moci dély itervalu t ro ravděodobosti řechodů ásledující vztahy: P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (7 P(S S ( t ( t + t t t t + t Υ (+ t (8 P(S S + t ( t t t Υ t (9 Vztahy (7, (8, (9 latí ro,, Graf řechodů systému M/M////FIFO je azače a obr. 3. Pro jedoduchost je obvylé uzly ozačovat je čísly a e symboly S i. Místo obecých ozačeí ravděodobostí řechodů zadáme orétí výrazy určeé vztahy (5-(9. (5 (6 - -

7 P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S + S + P(S S... P(S S + P(S S + P(S + S Obr. 3 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M////FIFO S využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy můžeme určit ravděodobosti (t vyjadřující, že v čase t je v systému rávě ožadavů, tetorát již ioliv izolovaě ro vstu ožadavů a jejich obsluhu, ale dohromady. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t ( (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. t,,, ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy ( a (3. ( t + t t ( t + t ( t ( t + ( t ( ( t ( t ( + ( t + ( t,,,... (3 + t Proveďme yí ve vztazích ( a (3 limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim [ ( t + ( t] t t t ( t + t ( t lim lim [ ( t ( + ( t + + ( t], t t t,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (4, (5: ( t ( t + ( (4 ' t '( t ( t ( + ( t + + ( t,,,... (5 Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy, teré jsou dáy stavem systému v čase t. Je-li v čase t v systému ožadavů, a očátečí odmíy jsou ( (6 (,, (7 V dalším budeme ředoládat, že <, tj. / <. Ozačme oměr / symbolem. Nazýváme jej itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Podmía (8 < (8 - -

8 je utou a ostačující odmíou, aby frota erostla ade všechy meze. Tato odmía taé zajistí, že o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,,κ, (9 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t za ostatí, tj. (t ost (3 Protože derivace ostaty je rova ule, dostáváme z tohoto závěru a ze vztahů (4 a (5 soustavu eoečě moha lieárích algebraicých rovic určeou vztahy (3 a (3. + (3 + Je zřejmé, že latí ( + +,,,... (3 (33 Ze vztahu (3 vyjádříme a dostaeme (34 a z (3 vyjádříme ro. Seciálě ro dostáváme z (3 [ [ + + ( + a obecě ro,, latí + ] ] [ + ( + ] [ + ( + (36 Zbývá ještě určit. K tomu využijeme vztahy (33 a (36. ( ] (35 (37 Protože suma ve vztahu (37 je geometricá řada s vocietem, rvím čleem a součtem, dostáváme z (37, a tedy (38 S využitím vztahu (38 můžeme (36 vyjádřit ve tvaru (,,,... (39 Tyto vztahy umožňují odvodit další důležité charateristiy systému M/M////FIFO, mezi ěž atří ařílad: - 3 -

9 Středí hodota očtu ožadavů v systému: + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ] ( [ ( d d d d d d d N E s s (4. Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: s s s s f f N E ] ( [ ] ( [ ( ( ( (4 3. Středí doba setrváí ožadavu v systému: ( ( s s s t T E (4 4. Středí doba čeáí ožadavu ve frotě: ( ( ( f f f t T E (43 5. Středí doba obsluhy: ( T O E (44 6. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (45 7. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K ( (46 Ze vztahů (4-(43 je vidět, že v systému M/M////FIFO emůže být, res., rotože by to mělo za áslede růst uvedeých arametrů ade všechy meze. 3. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// Stejě jao v ředchozím systému M/M////FIFO budeme ředoládat, že vstuí roud je Poissoův roces s itezitou vstuu, čas obsluhy má exoeciálí rozděleí se

10 středí hodotou t /, itezita obsluhy je. Protože čtvrtý arametr, terý udává max. očet ožadavů v systému, je rove, jde o systému bez čeáí a frota se evytváří, a tedy šestý arametr (ty froty zde emá smysl. Proto taé jsou možé ouze stavy: S systém je volý a S v systému je jede ožadave, terý je rávě obsluhová. Příladem tohoto systému je voláí a telefoí liu, buď je lia volá a volající je soje aebo je obsazeá a e sojeí hovoru edojde. Graf řechodů se začě zjedoduší, ja uazuje obr. 4. Obr. 4 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Z daých ředoladů obdobě jao v ředchozím modelu určíme ravděodobosti řechodů. Vztahy (47, (48 a (49 jsou římou aalogií vztahů (5, (6 a (7. Vztah (5 se vša od vztahu (8 mírě liší, rotože do systému emůže vstouit druhý ožadave, roto ravděodobost řechodu P(S S je rova ravděodobosti jevu, že v systému je jede ožadave a během itervalu dély t jej eoustí aebo během tohoto itervalu bude obslouže a systém oustí a současě do systému jede ožadave vstouí. P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (49 P(S S t + t t t + t Υ t (5 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t a (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (5 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t. ( t (5 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (53 a (54: ( t ( t + ( (53 ' t ( t ( t ( (54 ' t Počátečí odmíy jsou ( (55 ( (56 Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave, latí avíc t + ( t (57 ( P(S S P(S S P(S S P(S S Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity (47 (48-5 -

11 lim ( t,,, (58 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t a (t za ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (53, (54 a (57 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (59 (6 + (6 Řešeím této soustavy rovic sado zísáme výrazy ro a : (6 + (63 + Poměr / azýváme itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Dalšími důležitými charateristiami systému M/M/// jsou:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že v systému je jede ožadave a jediá obslužá lia je obsazea zt (64. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že v systému žádý ožadave eí a říchozí ožadave může být tedy obslouže K r P obsl (65 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (66 4. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om (67 5. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (68 6. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K (69 4. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// V tomto systému se orvé setáváme s více aály. Současě očet ožadavů v systému je omezeý očtem obslužých lie (aálů, to zameá, že aždý ožadave vstuuje do samoté obslužé liy, žádé ožadavy se eřadí do froty a jsou-li všechy - 6 -

12 obsluží liy obsazey, další ožadave je odmítut. Tyicým říladem systému tohoto tyu je telefoí ústředa. Stavem S i budeme oět rozumět áhodou veličiou, terá vyjadřuje, že v daém čase je v systému i ožadavů. To zde současě odovídá očtu obsazeých obslužých lie. Graf řechodů je azače a obr. 5. P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S Obr. 5 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Něteré ravděodobosti řechodů mezi stavy jsou složitější ež u ředchozích systémů. Nařílad P(S + S se rová ravděodobosti, že buď byl obslouže ožadave v. obslužé lice aebo v. lice,, aebo v (+-í lice, tj. P(S + S t + t + + t (+ t. Podobě P(S S se rová ravděodobosti, že ze žádé z obslužých lie žádý ožadave evystouil, vstouit řitom žádý emohl, rotože všechy liy byly již obsazey. To zameá, že P(S S ( t + t + + t t. Všechy otřebé ravděodobosti řechodů uvádí vztahy (7-(73. P(S S t,,, (7 P(S S ( t ( t ( + t + t Υ ( + t,,, (7 P(S + S (+ t,,, (7 P(S S t (73 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t, (t,, (t,, (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (74 (t+ t P(S S + P(S S + P(S S (t. t + (t.[(+ t] + (t. t (75 (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. (+ t (76 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t ( t (77 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (78-(8, teré se azývají Erlagova soustava rovic: (t (t + (t (78 (t (t (+ (t + (t (79-7 -

13 (t (t (+ (t + (+ + (t (8 (t (t (t (8 Počátečí odmíy jsou ( (8 (... ( (83 ( Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave aebo dva ožadavy aebo ožadavů, latí avíc ( t (84 Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,...,, (85 t ravděodobosti (t ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (78-(8 a (84 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (+ + (87 (+ + (+ + (88 (86 (89 (9 Ze vztahu (86 vyjádříme (9 Ze vztahu (87 můžeme vyjádřit + ( + + ( + (9 S využitím reuretí ovahy rovic (86-(89 lze a vyjádřit obecý Erlagův vzorec (93:,,,...,!! Protože vztah (93 triviálě latí i ro, můžeme ze vztahů (9 a (93 sado určit : (93-8 -

14 !!! a odtud Nyí již můžeme uvést charateristiy systému M/M/// vyjadřující uazatele vality obsluhy (charateristiy -3 a uazatele využití obslužých lie (charateristiy 4-8:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že všechy obslužé jsou obsazey (94 zt! (95. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že alesoň jeda z obslužých lie je volá K r zt (96 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (97 4. Středí hodota očtu obsazeých obslužých lie: E( N (98 obs obs 5. Středí hodota očtu volých obslužých lie: E( N (. obs ( obs (99 6. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om ( 7. Koeficiet rostoje obslužého aálu K ( 8. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu z K z, res. K z K ( - 9 -

15 V literatuře lze ajít rozbor moha dalších systémů hromadé obsluhy, ař. v ize (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5 je uvede systém M/M////FIFO a M/M//m/m/FIFO. Postu sestaveí reuretích rovic vychází ze stejých úvah jao u ředchozích modelů. V říadě M/M////FIFO se jedá o systém s ezávislými a rovoceými obslužými liami, de ožadavy čeají ve frotě je tehdy, jsou-li všechy obslužé liy obsazey. Frota je je jeda a je solečá ro všechy obslužé liy. Systémy, de 5. arametr (maximálí očet ožadavů ve zdroji ožadavů je eomezeý (tj. je vyjádře číslem, se ozačují jao otevřeé. Je-li teto arametr dá oečým řirozeým číslem, mluvíme o uzavřeých systémech hromadé obsluhy. Příladem je systém M/M//m/m/FIFO. 5. SIMULACE PROCESU HROMADNÉ OBSLUHY V raxi emusí ěteré ředolady latit a a vzorce, teré jsme odvodili, ejsou úlě řesé. Systémy hromadé obsluhy můžeme vša taé zoumat simulačě metodou Mote Carlo, dy geerujeme áhodá čísla vyjadřující oamži vstuu ožadavu do systému a čas obsluhy. Poud hodoty těchto áhodých veliči mají mít určité ravděodobostí rozděleí, je uté to zajistit. Existuje tomu řada metod, ař. vylučovací metoda a metoda iverzí fuce. Vylučovací metoda je oužitelá e geerováí hodot sojitých áhodých veliči, jejichž hustota ravděodobosti f je a ějaém itervalu a, b ohraičeá a vě tohoto itervalu ulová. Prici metody je založe a tom, že geerujeme áhodé body o souřadicích (x, y s rovoměrým rozděleím v obdélíu a, b, c, de c je maximálí hodota hustoty ravděodobosti f a itervalu a, b. Jestliže vygeerovaý bod je od fucí f, tj. y f(x, a x ovažujeme za vygeerovaou hodotu áhodé veličiy s daým rozděleím; v oačém říadě vygeerovaý bod euvažujeme, tj. z výočtů jej vyloučíme. V metodě iverzí fuce ejdříve z hustoty ravděodobosti f odle vztahu (3 určíme distribučí fuci F rozděleí ravděodobosti. x F ( x f ( t dt (3 Vygeerujeme áhodé číslo r s rovoměrým rozděleím a itervalu,, teré ovažujeme za hodotu distribučí fuce v dosud ezámém bodě x, tj. F(x r. Bod x odtud zísáme odle iverzího vztahu (4: x F (r (4 Při simulačích exerimetech je uté rozhodout, ja vyjádříme dyamicé vlastosti modelu, tj. jaou strategii zvolíme ro zachyceí času. Existují dvě možosti metoda evého časového rou a metoda roměého časového rou. V rvím říadě se vždy o ulyutí evého časového itervalu zjišťuje, jaým změám došlo. V metodě roměého časového rou hraice časových roů ředstavují rávě ty oamžiy, dy dojde e změě v systému, ař. řijde ový ožadave do systému ebo se uočí obsluha ožadavu a ožadave systém oustí. Přílad: Uvažujme systém hromadé obsluhy se dvěma obslužými liami, eomezeým zdrojem trělivých ožadavů, frotou tyu FIFO a romělivým časovým roem daým tabulou

16 čas vstuu ožadavu [hod:mi] Tab. Simulace systému hromadé obsluhy Doba. obslužá lia. obslužá lia rostoj obsluhy začáte oec začáte oec lie [mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [mi] 9: 3 9: 9:3 9:5 9 9:5 9:4 9: 9 9: 9:9 9: 9 9:4 9:3 3 9:4 9 9:9 9:8 5 9:4 6 9:4 9:3 9:34 9 9:34 9:43 4 9:37 9 9:37 9:46 9:38 3 9:43 9:46 5 9:4 9 9:46 9:55 5 9:4 6 9:46 9:5 4 9:5 9 9:5 : 9:53 6 9:55 : 9:56 9 : : 5 9:57 9 : : 4 doba čeáí a obsluhu [mi] Součet dob čeáí a obsluhu 5 ožadavů z tabuly je 33 mi. Odtud statisticy odhademe středí dobu čeáí ožadavu ve frotě 33 E ( T f,mi. 5 Z tabuly určíme časové itervaly, v ichž se eměí očet ožadavů. Výslede je obsaže v tabulce. Vidíme, že celem o +4 6 mi z celových 7 mi v systému žádý ožadave eí, odtud odhademe ravděodobost. 6,857 7 Obdobě odhademe až ,,, 3857, 3,, 4, 43, 5, Středí hodota očtu ožadavů v systému a je: E ( N s.,857 +., +., , + 4., ,43, Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: E( N f ( ( , +., ,43,

17 Tab. Výsledy výočtů časový doba, o terou je v systému hromadé obsluhy očet ožadavů [mi] iterval : 9:3 3 9:3 9:5 9:5 9: 5 9: 9: 9: 9:9 8 9:9 9:3 4 9:3 9:4 9:4 9:8 4 9:8 9:3 9:3 9:34 4 9:34 9:37 3 9:37 9:38 9:38 9:4 3 9:4 9:4 9:4 9:43 9:43 9:46 3 9:46 9:53 7 9:53 9:55 9:55 9:56 9:56 9:57 9:57 : 4 : : 9 6. ZÁVĚR V řísěvu jsou studováy systémy hromadé obsluhy, teré mají četé aliace v logistice, ař. v armádích oeracích, teleomuiačích řeosech, ale i v běžém životě u obslužých lie čeracích staic, řeáže a ádražích, oštách aod. Jsou odrobě rozebráy zůsoby lasifiace systémů a odvozeí matematicých modelů za určitých ředoladů ravděodobostího rozděleí áhodých veliči doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému a doba obsluhy ožadavu. Protože tyto ředolady v raxi emusí být utě slěy, je uázá i simulačí řístu ro řešeí uvedeých úloh. Literatura Bose, S.K.: A Itroductio to Queueig Systems. - Sriger-Verlag, Berli,. Cooer, R.B.: Itroductio to Queueig Theory. - North Hollad, New Yor, 98. Gross, D., Shortle, J.F., Thomso, J.M., Harris, C.M.: Fudametals of Queueig Theory. - Joh Wiley & Sos, New Yor, 8. Hrubia, K., Jadlovsá, A., Hrehová, S.: Algoritmy otimalizačých metod s využitím rogramových systémov. - Techicá uiverzita v Košiciach, Prešov-Košice, 5. Jablosý, J.: Oeračí výzum. - Vysoá šola eoomicá, Faulta iformatiy a statistiy, Praha,

18 Klvaňa, J.: Modelováí. - Česé vysoé učeí techicé, Faulta stavebí, Praha, 5. Pelta, K., Máje, V.: Oeračí výzum ve vojeství. - Uiverzita obray, Bro, 8. Virtamo, J.: Queueig Theory. - Lecture Notes, Helsii Uiversity of Techology, 5. Recezoval Prof. Ig. Vladimír Straoš, DrSc

6.1 Systémy hromadné obsluhy

6.1 Systémy hromadné obsluhy 6. Systémy hromadé obsluhy Proces usoojováí áhodě i hromadě vziajících ožadavů a obsluhu se azývá roces hromadé obsluhy. Předmětem teorie hromadé obsluhy, ědy taé ozačovaé jao teorie frot (z aglicých slov

Více

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A IFORMATIKY FACULTY OF MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE OF AUTOMATIO AD COMPUTER SCIECE MODELY HROMADÉ OBSLUHY

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1.

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1. Katedra obecé eletrotechiy Faulta eletrotechiy a iformatiy, VŠB - TU Ostrava EERGETIKA U ŘÍZEÝCH EEKTRICKÝCH POHOŮ Předmět : Rozvody eletricé eergie v dolech a lomech. Úvod: Světový tred z hledisa eletricé

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

12. Regrese Teoretické základy

12. Regrese Teoretické základy Regese Jedím z hlavích úolů matematicé statistiy je hledáí a studium závislostí mezi dvěma či více oměými Závisle oměá se zavidla ozačuje Y a ezávisle oměé X,, X i,i Závislosti mezi Y a suiou oměých X

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová Jihočesá uiverzita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rada Glücsmaová Česé Budějovice, rosiec 7 Na tomto místě bych ráda oděovala vedoucímu baalářsé

Více

Teorie hromadné obsluhy

Teorie hromadné obsluhy 4..5 Teorie hromadé obluhy Radim Faraa Podlady pro výuu pro aademicý ro 3/4 Obah Teorie hromadé obluhy Klaiiace ytémů hromadé obluhy Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Sytém hromadé obluhy M/M/// Sytém

Více

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah VŠB TU Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra obecé elektrotechiky ASYCHROÍ STROJE Obsah. Výzam a oužití asychroích motorů 2. rici čiosti asychroího motoru 3. Rozděleí asychroích motorů 4.

Více

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY 6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Dvojný integrál. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti

Dvojný integrál. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti Dvojý itegrál Zatímo itegračím oborem jeorozměrého itegrálu bl iterval, u vojého itegrálu je třeba raovat s vojrozměrými obor. Může to být obélíová oblast, ale i složitější útvar jao ař. ruh, ruhová výseč

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

7 Obyčejné diferenciální rovnice

7 Obyčejné diferenciální rovnice - 9 - Občejé difereciálí rovice 7 Občejé difereciálí rovice 7 Základí ojm Difereciálí rovice Defiice Občejou difereciálí rovicí -tého řádu rozumíme rovici F(,,,, ( ) ) ebo, je-li takzvaě rozřešea vzhledem

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D.

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D. HROMECHANICKÉ PROCES orava tekti Čeradla a komresory (ředáška) oc. Ig. Tomáš Jirot, Ph.. (e-mail: Tomas.Jirot@fs.cvt.cz, tel.: 435 68) ČERPALA Základy teorie čeradel Základí rozděleí čeradel Hydrostatická

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Záadočesá uverzta FKULT PLIKOVNÝCH VĚD Obsah: Pravděodobostí modelováí očítačových systémů geerováí a využtí áhodých čísel (Mote Carlo metody), matematcé (marovsé) modely 3 Zálady teore systémů hromadé

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

A J E J I C H S O U S T A V Y

A J E J I C H S O U S T A V Y O S T R A V S K Á U N I V E R Z I T A P Ř Í R O D O V Ě D E C K Á F A K U L T A O B YČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE A J E J I C H S O U S T A V Y D A N I E L H R I V Ň Á K OSTRAVA 00 O B S A H M O D U L

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Regulátor NQR pro nelineární oscilátor s analýzou stability

Regulátor NQR pro nelineární oscilátor s analýzou stability Rulátor NQR ro liárí osilátor s aalýzou stability Pavl Stibaur Mihal Valáš Abstrat: V řísěvu j stručě shruta a řdvší aliováa todoloi ávrhu liárího zětovazbího stavového rulátoru NQR a bhar liárího osilátoru

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č. Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.

Více

MARKOVOVSKÉ ŘETĚZCE Stochastické procesy Markovovské řetězce s diskrétním časem DTMC Discrete Time Markov Chain...

MARKOVOVSKÉ ŘETĚZCE Stochastické procesy Markovovské řetězce s diskrétním časem DTMC Discrete Time Markov Chain... OBSAH MARKOVOVSKÉ ŘETĚZCE... 2 5.1 Stochasticé procesy... 2 5.2 Marovovsé řetězce s disrétím časem DTMC Discrete Time Marov Chai... 2 5.2.1 Defiice Marovovsého řetězce... 3 5.2.2 Matice přechodu... 4 5.2.3

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více