Autokorelace náhodných složek

Transkript

1 Auokorlac náhodných složk Druhou nsnází, krá provází odhad zobcněného linárního rgrsního modlu, případná auokorlac náhodných složk rgrsní rovnic no dos časý úkaz s vsku dalko časěi u dnorovnicového modlu, hož pozorování voří časové řad (u průřzových údaů pozorován vzácně) Jho důsldkm, ž odhad paramrů modlu pořízné občnou modou nmnších čvrců OLS sic zůsávaí nsranné, al zrácí vdanos Při znalosi kovarianční maic náhodných složk pro získání vdaného odhadu nuno uplani zobcněnou modu nmnších čvrců GLS Odhad s rozplu náhodných složk σ modou OLS však vchýlný Indikac příomnosi auokorlovanosi náhodných složk O příomnosi auokorlac náhodných složk (ichž orické hodno nznám) s lz přsvědči n npřímo, všřním rziduálních hodno Vlmi názorný obrázk o míř auokorlovanosi náhodných složk podává () A) Durbin-Wasonův koficin auokorlac rziduí určný výrazm DW ( ) krý dfinován ako podíl souču čvrců difrncí dvou po sobě doucích rziduálních hodno a souču čvrců všch rziduí Rozsah přípusných hodno DWkoficinu s pohbu v rozmzí <, 4 >, přičmž obě kraní hodno signalizuí maimální možnou korlovanos dvou náslduících rziduálních hodno Pro případ DW d o kladnou auokorlaci řádu, v případě DW 4 o zápornou auokorlaci, zaímco prosřdní hodnoa DW znamná npříomnos auokorlac řádu Poznámka Po umocnění výrazu v čiali vzorc pro DW vidím, ž a) při npříomnosi auokorlac rziduí bud skalární součin vkorů a blízký nul, akž zbk čial bud přibližně rovný dvonásobku mnoval b) při silné kladné auokorlaci bud no skalární součin blízký výraz bud přibližně rovn souču - ( + ) a c) končně při silné záporné auokorlaci bud zmíněný skalární součin blízký a výraz a ( + ) budou přibližně sné co do absoluní vlikosi i co do znaménk Příčinou zménao, ž v průřzových vzorcích sou hodno dnolivých případů/pozorování řazn zpravidla nahodil, akž nní sbmnší důvod usuzova, ž můž isova souvislos (krá závisí na pořadí) mzi nimi (s akoukoliv náhodnou záměnou pořadí pozorování b s ao souvislos musla nuně změni) odno pozorování v časových řadách sou naproi omu řazn chronologick

2 Vš plaí za přdpokladu, ž rozdíl v poču člnu sumací (v mnovali o čln víc) nbud při dosačně počném daovém vzorku podsaný Poznámka Zřlná kladná auokorlac (řádu) charakrisická dlšími řězci shodných znaménk rziduálních hodno lžícími sřídavě nad a pod vrovnávaící rgrsní nadrovinou Silná záporná auokorlac (řádu) naopak pická éměř pravidlným sřídáním znaménk rziduálních hodno ( zřlnou oscilací dvou po sobě doucích rziduálních hodno kolm vrovnávaící rgrsní nadrovin) Nvýhodou Durbin-Wasonova koficinu však skučnos, ž mpirick získanou hodnou DW nlz v úplnosi saisick sova (rozdělní sové saisik závisí na prvcích maic X, kré sou rozdílné pro každý saisický výběr) V důsldku oho obsahu inrval přípusných hodno pro DW-koficin <, 4 > dvě hluché oblasi, v nichž nlz rozhodnou, zda hpoéza o npříomnosi auokorlac řádu bud zamínua v prospěch někré z alrnaiv (kladná či záporná auokorlovanos) ak v inrvalu <,dd > s zamíá hpoéza nauokorlovanosi v prospěch alrnaiv: isnc kladné auokorlac řádu v inrvalu < d, > nlz s rigorózně vhodnoi v inrvalu < d d D, 4 d > s nzamíá (přiímá) hpoéza nauokorlovanosi v inrvalu < 4 d, 4 d > nlz s rigorózně vhodnoi D v inrvalu < 4 d D, 4 > s zamíá hpoéza nauokorlovanosi v prospěch alrnaiv: isnc záporné auokorlac řádu Mzní hranic d d D, lz spočía pro libovolný poč supňů volnosi (-k) a pro obvklé hladin významnosi (α, nbo,5) Příslušné hodno sou ablován Poznámka DW s nní přímo použilný v případě sování sériové korlac všších řádů nbo při nlinární formě auokorlac náhodných složk Někré modifikac k zmírnění problému v ěcho siuacích navrhli Nrlov, Wallis, hil, Nagar a Gar

3 Posup vdoucí k liminaci auokorlovanosi náhodných složk B) COCRANE-ORCUova procdura krou lz popsa ímo iraivním opakováním náslduících ří fází () B) Přdsupněm iračního procsu výpoč paramrů b modlu v původní spcifikaci občnou modou nmnších čvrců OLS a násldné sanovní vrovnaných hodno ŷ závisl proměnné a hodno rziduí B) Formulum auorgrsní schéma řádu pro rzidua v varu () + v kd ν příslušný bílý šum auorgrsního procsu řádu (ho ralizac sou cnrované, nkorlované, homoskdasické a sně rozdělné náhodné vličin) K zachování sacionari procsu, ak známo, nuné splnění podmínk < B) Odhad ˆ koficinu auokorlac řádu získám pomocí výrazu () při dodfinování ˆ B) ako získaný odhad ˆ s použi v modifikovaném rgrsním modlu Modifikac přdsavována úpravou dnolivých modlových proměnných pomocí mod zobcněných difrncí V případě např vsvěluících proměnných, kd první vsvěluící proměnnou přdsavu vkor dničk, má no vzah podobu (pro,,, ) (4) β( ˆ ) + β ( ˆ ) + β( ˆ ) + + ε ˆ ε ˆ,, Nasazním občné OLS na ako modifikovaný modl získám upravný ( ) odhad ˆ β vkoru paramrů β no odhad s dosadí do původního modlu () a násldně s spočou (přs vrovnané hodno) upravná rzidua S ěmi s vsoupí do druhého kroku irační procdur přdsavované opakováním fáz B) Násldu opě skvnc oprací B), B) ad ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) Poé, co v průběžném r-ém kroku získám odhad ˆ β, ˆ, ˆ β β, ˆ, β, β,, ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) porovnám s hodnoami vličin ˆ β, ˆ, ˆ β β, ˆ získanými v přdchozím r ém kroku Jsliž rozdíl v dvou po sobě doucích krocích npřkročí přdpsanou odchlku (sanovnou např v formě maima z odchlk u dnolivých paramrů a nbo ako (v absoluní hodnoě vzaý) rozdíl odhadů auorgrsního koficinu ˆ ( r ) ˆ ( r ), můžm výsldk dosažné v daném iračním kroku považova za uspokoivé a příslušné odhad přvzí ako končné Určiou podobnos s přdchozím posupm vkazu

4 C) DURBINova dvousupňová moda použilná i v případě příomnosi auokorlac všších řádů u náhodných složk C) Modl s nprv obdobně ako v kroku B) přdchozí mod přvd na var zobcněných difrncí (5) β( ) + β(, ) + β(, ) + + ε ε rsp po subsiucích β ( ) γ, β γ, β γ ad a w ε ε získá var (6) + γ + β + γ, + + βk k + γ k k + w, Odud s pomocí mod OLS získá konzisnní odhad auorgrsního koficinu řádu příslušícího zpožděné hodnoě proměnné C) no odhad ˆ s dosadí do výchozího varu modlu (5) a opěovným použiím OLS s získaí zpřsněné odhad βˆ, βˆ, βˆ ad s uspokoivými asmpoickými ( pro vlký rozsah výběru ) vlasnosmi Poznámka Odhad paramru získávaný v prvním kroku procdur Durbinov dvousupňové mod s zd d nprování podl () ako v případě Cochran-Orcuov mod, al rgrsí (6) s maicí vsvěluících proměnných Z varu: k γ k β Z + γ, k γk w w w w Z éo rgrs s použi pouz odhad paramru, zaímco osaní s nuplaní; s poom získávaí až násldně krokm C) z (5) s iž dosazným ˆ Poznámka 4 Nvýhodou ohoo posupu však zřlně zvýšný poč odhadovaných paramrů, krý dosáhn poču k- - k každému původnímu β (,, k) (d až na β ) přísluší nní dvoic paramrů β, γ z nichž dn původní a druhý γ vznikn násobním β hodnoou V případě rlaivně malého poču pozorování v srovnání s počm vsvěluících proměnných rgrsní rovnic k nní d no posup příliš vhodný Nvýhodu sponou s oblasmi nrozhodnulnosi sování závisícími na d, d D u Durbin-Wasonova koficinu odsraňu podobně konsruovaná míra známá ako Koficin auorgrs s v omo případě br iž ako známý 4

5 D) von Numannův koficin (podíl) auokorlac rziduí ao míra dfinována vzahm (7) vn ( ) Lz ukáza, ž sou-li náhodné složk ε, a d i rzidua normálně rozdělna, pak pro dos vlký poč pozorování má saisika vn aké přibližně normální rozdělní Jí sřdní hodnoa a rozpl sou dán výraz (7A) E vn) 4 ( ) ( + )( ) ( D ( vn) Kriické hodno vn -podílu sou pro různá a obvkl používané hladin významnosi ablován V siuacích, kd s mzi vsvěluícími proměnnými obvuí éž zpožděné ndognní proměnné, nní použií Durbin-Wasonova koficinu vhodné Rzidua získaná modou OLS nsou v omo případě nzávisl rozdělna, dokonc ani hd n, sou-li nzávisl rozděln náhodné složk ε o snižu přínos éo saisik při aplikaci v konomrických modlch Příčinou oho, ž DW-koficin ndává při příomnosi vsvěluících zpožděných ndognních proměnných obkivní závěr, skučnos, ž DW-koficin s v omo případě blíží k v důsldku výsku právě ěcho proměnných, nn v důsldku příomných (případně však i nauokorlovaných) náhodných složk Poznámka 5 Z výrazu (7) zřmé, ž mzi oběma charakrisikami plaí Účinněším indikáorm v někrých siuacích VN DW E) Durbinova h-saisika auokorlac rziduí dfinována násldovně (8) h ( DW ) var( b ) / kd var( b ) odhad výběrového rozplu odhadnuého rgrsního koficinu u zpožděné ndognní proměnné Při nulové hpoéz o sériové nzávislosi náhodných složk h-saisika asmpoick normálně rozdělna (s nulovou sřdní hodnoou a dničkovým rozplm) Lz i sova ako normální směrodanou odchlku (alrnaivní hpoézou příomnos auokorlac řádu) Omznos ího použií vplývá z podmínk kladného mnoval var( b ) Zd nuno uplani alrnaivní sovací posup von Numan, John: Disribuion of h raio of h Man Squar Succssiv Diffrnc o h Varianc Annals of Mahmaical Saisics 94 s

6 Poznámka 5 V případě, ž h-saisika nní dfinována, doporuču s (násldně po provdní OLS-rgrs) např dfinova rgrsní rovnici v varu (9) α + α + + η sování hpoéz s přvd na sování saisické významnosi koficinu α v éo rgrsi F) Brnblu-Wbbův s 4 založn na saisic () BW u kd u sou rzidua z rgrs prvních difrncí proměnných (bz konsan) z rgrs na první difrnc vsvěluících () β(,) + β(,) + + βk( k,k) + ς Jmnoval () obvklý SSE, do krého vsupuí původní rzidua z OLS-rgrs () β + β + β + + βkk + ε Poznámka 6 Jn pro upřsnění znační: εˆ a u ςˆ Jsliž původní rovnic obsahu konsanu, můžm uží abulk pro D-W sovou saisiku pro posouzní hodno B-W-saisik BW-saisika navíc uplanilná, i kdž s vskn siuac, kd 5 4 Brnblu, I,I, Wbb, G,I: A Nw s for Auocorrlad Errors in h Linar Rgrssion Modl Journal of h Roal Saisical Soci Vol5/97 s -5 5 Sacionariu procsu, k ímuž zaišění ao podmínka nuná, zaišťu zd uplanění difrncovaných pravosranných proměnných 6

7 7 Jsliž modl homoskdasický a sou-li náhodné složk rgrsní rovnic gnrován auorgrsním schémam řádu, lz zapsa kovarianční maici náhodných složk v náslduící podobě: Σ σ ε ε E ) ', ( V éo maic, ak parno, sou na hlavní diagonál samé dničk a na rovnoběžkách s ouo hlavní diagonálou vžd příslušné mocnin s, kd s rovno rozdílu indů příslušného prvku od souču indů diagonálního prvku (lžícího na sném řádku, rsp sloupci) Při akovémo schémau lz uplani zobcněnou modu nmnších čvrců GLS ak, ž s ransformac původních pozorování provd ak, ž s k éo ransformaci použi maic R v varu R ao maic má nnulové prvk n v dvou řadách dnou hlavní diagonála, krá má všchn prvk rovn až na první prvk, hož hodnoa a druhou nnulovou řadou řada lžící bzprosřdně pod hlavní diagonálou, krá obsazna prvk s hodnoami rovnými Příslušná ransformac s pak proví ím způsobm, ž pozorování sou upravna do éo podob * X, * zn ž -ý sloupc maic X obsazn (vžd až na první prvk) zobcněnými difrncmi 6 6 Někd s no posup nazývá Prais-Winsnovou ransformací