Přednáška 2: Elementární funkce Mocninné funkce
|
|
- Marcel Kolář
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Předáška : Elemetárí uke Moié uke Moiou ukí je každá uke typu r y, r Rozlišujeme tyto speiálí případy: pro r říkáme uki polyom, pro r lomeá uke, pro r odmoia a pro iraioálí r \ obeá moia Tou se však dále zabývat ebudeme Polyomy Polyomem rozumíme každou uki p : y a a a a, a kde reálá čísla a i stupěm polyomu symbolem i P,,,, azýváme koeiiety polyomu a číslo azýváme p Možiu všeh polyomů stupě v proměé ozačujeme Deiičím oborem každého polyomu je možia všeh reálýh čísel, D Pro polyomy stupě,, a používáme speiálí ázvy: Kostatí uke Kostatí ukí rozumíme polyom stupě, tedy uki ya kost Platí pro i H a, jejím graem je přímka rovoběžá s osou Kostatí uke je sudá, ohraičeá, erostouí a eklesajíí Vzhledem ke grau se ěkdy považuje za speiálí případ lieárí uke, přesto že v tomto případě eplatí, že a Lieárí uke Lieárí ukí rozumíme polyom stupě, p : y a a, tedy uki y k q Jejím graem je přímka Koeiiety kq, mají bezprostředí geometriký výzam: číslo k ta azývaé směrie popisuje odhylku přímky od kladé části osy a číslo q určuje průsečík přímky s osou y Je-li k dostáváme jako speiálí případ kostatí uki V opačém případě, pro k, je lieárí uke prostá, ryze mootóí a jejím graem je přímka růzoběžá s oběma souřadiovými osami, tedy H Pro k je lieárí uke rostouí, pro k je klesajíí Pro q je lieárí uke lihá a popisuje přímou úměrost Její gra prohází počátkem soustavy souřadi
2 Kvadratiké uke Kvadratikou ukí rozumíme polyom stupě, a p : y a a a, y a b, tedy uki Jejím graem je parabola, jejíž osa je rovoběžá s osou y Tvar paraboly závisí a koeiietu a a její umístěí závisí (pro pevě zadaé a ) a koeiieteh b, Fuki lze totiž vždy přepsat do tzv vrholového tvaru b b y a( ) y,, y a 4a, V, y (pozor a zaméka!) je vrhol paraboly kde bod Kvadratiká uke eí ohraičeá, eí mootóí, tedy ai prostá Pro b jde o uki sudou Pro H y, Je klesajíí a itervalu a je kvadratiká uke zdola omezeá, I (, ) a rostouí a J (, ) Pro a je kvadratiká uke shora omezeá, H, y klesajíí a J Je rostouí a itervalu I a 4 Kubiké uke Kubikou ukí rozumíme polyom stupě, p : y a a a a, a Jejím graem je tzv kubiká parabola, jejíž osa je rovoběžá s osou y Platí, že H Nejjedodušší kubikou ukí je ai zdola Pro a je rostouí, pro a je klesajíí : y a, která je prostá, lihá a eí omezeá ai shora 5 Rozklad polyomu a souči kořeovýh čiitelů Je zámo, že kvadratikou uki D b 4a y a b s ezáporým diskrimiatem lze rozložit a souči kořeovýh čiitelů y a( )( ), () kde, jsou kořey rovie a b Pokusíme se teto akt zobeit pomoí tzv Základí věty algebry (Gauss, 799) Ta říká, že každý reálý polyom p ( ) stupě má právě kompleíh kořeů Je-li kompleí číslo z a bi kořeem polyomu p ( ), pak je také kompleě sdružeé číslo z a bi jeho kořeem Souči kořeovýh čiitelů ( z)( z) ( a bi)( a bi) a a b dává polyom druhého stupě s reálými koeiiety a se záporým diskrimiatem Ozačíme-li p a a q a b, dá se polyom p ( ) přepsat v možiě reálýh ukí do tvaru součiu p ( ) a( )( ) ( ) ( p q ) ( p q ) () i j j kde,,, i jsou reálé kořey polyomu p ( ) a ( pi qi) jsou součiy kořeovýh čiitelů příslušýh ke kompleě sdružeým kořeům, apříklad ( )( )( 5)
3 K ověřeí toho, je-li číslo i kořeem polyomu p ( ) se používá tzv Horerovo shema, jeho výklad však přesahuje záběr tohoto tetu a bude se podroběji rozebírat v předmětu Matematika Raioálí lomeé uke Raioálí lomeou ukí rozumíme uki typu p ( ) : y, kde ppm, q P q ( ) Deiičím oborem jsou všeha reálá čísla kromě reálýh kořeů polyomu q, tedy kromě maimálě reálýh čísel,, Každou raioálí lomeou uki lze pomoí děleí polyomů přepsat do tvaru součtu tzv ryze lomeé uke (pro i platí, že stupeň čitatele je meší ež stupeň jmeovatele, tedy m ) a polyomu stupě s : pm y rs q Speiálě se zabýváme lieárími lomeými ukemi a elou záporou moiou 6 Lieárí lomeá uke Nejjedodušším speiálím případem raioálí lomeé uke je lieárí lomeá uke a b y d, kde a ad b d a \ H \ Deiičím oborem je možia D, oborem hodot je Graem lieárí lomeé uke je rovoosá hyperbola Její předpis můžeme vždy přepsat do tzv středového tvaru k y y, ze kterého sado vyčteme souřadie středu hyperboly S y d a,, Její osy d a, y jsou rovoběžé se souřadiovými osami, které rozdělují roviu a čtyři kvadraty Pro k leží větve hyperboly v I a III kvadratu a uke je klesajíí a itervaleh d d, J, I a Pro k leží větve hyperboly ve II a IV kvadratu a uke je rostouí a itervaleh d d, J, I a Pro bd dostáváme lihou uki k y, která modeluje epřímou úměrost Iverzí ukí k lieárí lomeé uki je opět lieárí lomeá uke, dokoe se stejým S y, k, ovšem s jiým středem iv
4 7 Celá záporá moia U ukí y,, rozlišujeme dvě skupiy ukí s rozdílými vlastostmi, a to uke se sudým a s lihým Pro obě skupiy je deiičím oborem Pro sudé jsou to uke sudé, jejih oborem hodot je H, omezeé Na itervalu I, jsou rostouí a a itervalu J, Pro lihé jsou to uke lihé, jejih oborem hodot je itervaleh I, a, J D \ a jsou tedy zdola jsou klesajíí H \ a jsou klesajíí a Fuke odmoiy Pro jedoduhost se zatím omezme a uke y r, kde r,, Tyto uke ozačujeme y a azýváme -tou odmoiou Můžeme je rozdělit a dvě skupiy, pro sudé a lihé, které se podstatě odlišují Pro obě skupiy je společé, že uke jsou rostouí, tedy prosté Na příslušýh deiičíh oboreh to jsou iverzí uke k -té moiě, platí totiž ( ) 8 Sudé odmoiy 4 Pro sudé odmoiy y, y, atd platí, že D H, Graem je jeda větev paraboly -tého stupě, která má osu rovoběžou s osou Fuke jsou zdola omezeé a mají miimum v bodě 9 Lihé odmoiy 5 Pro lihé odmoiy y, y, atd platí, že DH Graem je parabola -tého stupě, která má osu rovoběžou s osou Fuke jsou lihé a eomezeé Obeé moiy s raioálím epoetem Fuke p q y, kde p, q, se sado získají jako uke složeé z p -té moiy y p (polyomu) a lomeé uke /q y Z toho můžeme také odvodit jejih vlastosti pro kokrétí p a q Úplý rozbor pro všehy skupiy ( p kladé a záporé, q sudé a lihé, atd) však přesahuje záběr tohoto tetu, jejih vlastosti budou zkoumáy v ásledujííh vičeíh 4
5 Absolutí hodota Absolutí hodota je ukí deiovaou po částeh: pro, : y pro H, Jde o uki sudou, zdola omezeou, jejím graem je lomeá Platí tedy D, čára Fuke sigum Pomoí absolutí hodoty se také deiuje zaméková uke eboli uke sigum pro, pro, sig pro, pro, pro Epoeiálí uke Epoeiálí ukí o základu a rozumíme uki y a, kde a, a, s deiičím oborem D Proměou zde většiou azýváme epoet Podmíku a klademe proto, že pouze pro kladý základ a je číslo a deiováo pro všeha (apř eí deiováo,, atp) Podmíku a klademe proto, že uke y je kostatí, má tedy vlastosti diametrálě odlišé od ostatíh epoeiálíh ukí, a mezi epoeiálí uke ji ezařazujeme Graem epoeiálí uke je tzv epoeiálí křivka eboli epoeiála, která vždy prohází bodem B,, jelikož totéž a souměré podle osy y Jelikož H, prosté; pro a Epoeiálí křivky 5 y y jsou pro a a a, jsou epoeiálí uke zdola omezeé Dále jsou mootóí, tedy a jsou to uke rostouí, pro, a klesajíí Pro epoeiálí uke platí všeha pravidla pro počítáí s moiami a odmoiami zámá ze středí školy, zejméa rovost a a a, pro všeha D, () ze které se dají ostatí pravidla odvodit, a která epoeiálí uke deiuje Iverzí ukí k epoeiálí uki y a je logaritmiká uke y log a, viz íže, platí tedy loga a, pro, log a( a ), pro (4) V prai se epoeiálí uke používají k popisu ejrůzějšíh yzikálíh, přírodíh, společeskýh a ekoomikýh proesů, od modelováí řetězovýh ukleáríh reakí, absorpe zářeí, přes modelováí rozpadu radioaktivíh izotopů (toho se využívá při datováí kosteríh pozůstatků v arheologii a paleotologii) až ke složeému úrokováí a růstu e
6 Přirozeá epoeiála Obrovský výzam hraje v prai přirozeá epoeiála ye ep( ), tedy epoeiálí uke o základu e,788, ož je tzv Eulerovo číslo deiovaé ejčastěji jako limita poslouposti ebo součet ekoečé řady, a to vztahy e lim ebo e! Jakoukoliv epoeiálí uki lze vyjádřit prostředitvím přirozeé epoeiály, vzhledem k rovii (4) totiž pro a platí a l a l e e a Fuke y e se objevuje sad ve všeh oblasteh matematiky, apříklad v diereiálím počtu je to jediá uke, pro kterou platí, že její derivae v bodě (viz předáška ) je rova ukčí hodotě v bodě Z teorie kompleíh čísel a ukí kompleí proměé plye jako vlastost přirozeé epoeiály asi ejkrásější rovie elé matematiky, Eulerova rovost i e Logaritmiké uke Logaritmikou ukí o základu a rozumíme uki y log a, a, a iverzí k uki y a D H a Hlog D Zvláští Platí tedy, že log, a a ozačeí se používá pro tzv přirozeý logaritmus y l log a tzv dekadiký logaritmus y log log Všehy vlastosti logaritmikýh ukí sado odvodíme z vlastostí epoeiálí uke Graem logaritmiké uke je tzv logaritmiká křivka, kterou lze sestrojit jako obraz příslušé epoeiály při osové souměrosti podle osy y Její gra vždy prohází bodem B, ož je obraz bodu, log, B při této osové souměrosti Z vlastostí (4) plye, že log a, log a Logaritmiké uke jsou stejě jako epoeiálí uke mootóí a tedy prosté Pro a jsou uke y a rostouí, tedy i jejih iverze y log a je uke rostouí Ze stejého důvodu jsou uke y log a pro a, klesajíí Připomeňme, že platí všeha pravidla pro počítáí s logaritmy zámá ze středí školy: Pro, D je log ( ) log ( ) log ( ), a a a loga log a( ) log a( ), log ( ) r log ( ) pro všeha r a r a e a a 6
7 Goiometriké uke Oblouková a stupňová míra, jejih vztah Velikosti úhlů budeme důsledě uvádět v obloukové míře (jedotkou je jede radiá, zkratku rad budeme vyehávat), je pro ázorost ěkdy doplíme vyjádřeí v míře stupňové (jedotkou je stupeň, zkratka ) Oblouková míra úhlu je totiž deiováa geometriky a bezrozměrě (ezávisle a volbě délkové jedotky), jako délka oblouku a jedotkové kružii se středem ve vrholu úhlu To je deiie, která je ezávislá a člověku Také ve yzikálí soustavě jedotek SI se radiá deiuje jako úhel, který a jedotkové kružii se středem ve vrholu úhlu vyte oblouk jedotkové délky Naproti tomu stupňová míra je pouhá dohoda, že bude právě jeda devadesátia úhlu pravého Deiie byla pravděpodobě zavedea již ve starověké Mezopotámii preerujíí šedesátkovou číselou soustavu (plý úhel odpovídá 6, tedy 6 6 ), ož přiáší je další komplikae při převodeh: pro meší jedotky (úhlové miuty a vteřiy ), platí, že 6 6 Pro převod mezi těmito jedotkami si stačí uvědomit, že plému úhlu 6 odpovídá délka elé jedotkové kružie, tedy podle zámého vzore pro obvod kružie o r Zbytek je již jedoduhá trojčleka: 8, kde je velikost úhlu ve stupňové míře a je odpovídajíí velikost v obloukové míře Jedu z těhto dvou veliči máme zadáu, druhou heme vypočítat Pro často používaé úhly (viz tabulka ) se však vyplatí umět je převádět zpaměti rad 6 4 Tabulka Odpovídajíí si velikosti úhlů ve stupňové a obloukové míře Fuke sius a kosius Pro každý zadaý úhel můžeme zvolit kartézskou soustavu souřadi a sestrojit jedotkovou kružii k se středem v počátku Naopak, každému reálému číslu můžeme přiřadit právě jede bod M k M, y Proto můžeme pro všeha o souřadiíh deiovat si ym, os M (5) Tím jsme deiovali uke sius a kosius s deiičími obory D Z kostruke H, a uke jsou periodiké s periodou p Jejih gray sestrojíme vyplývá, že pro, ze souřadi bodu M a dále gra periodiky prodloužíme Graem uke M M 7
8 sius je tzv siusoida, graem uke kosius je tzv kosiusoida, o eí i jiého ež siusoida posuutá o doleva (ve směru záporé poloosy ) Obě uke jsou periodiké s periodou p, obě jsou ohraičeé Fuke sius je lihá, uke kosius sudá, platí tedy si( ) si( ), (6) os( ) os( ) Nejsou to mootóí (tedy ai prosté) uke, uke sius je rostouí a základím itervalu,, Vzhledem k periodičosti se itervaly mootoie a klesajíí a itervalu pravidelě střídají Fuke kosius je rostouí a základím itervalu, a klesajíí a itervalu, Fuke tages a kotages Fuki tages deiujeme jako podíl si ta, pro D \ (k ), k os, (7) tedy a možiě takovýh reálýh čísel, jejihž kosius je růzý od uly Deiičí obor lze apsat jako sjedoeí itervalů (k),(k ), kde k Fuki kotages deiujeme jako podíl os ot, pro D \ k, k, (8) si tedy a možiě takovýh reálýh čísel, jejihž sius je růzý od uly Deiičí obor lze apsat jako sjedoeí itervalů k,( k ), kde k Oborem hodot jsou v obou případeh všeha reálá čísla Obě uke jsou periodiké s periodou p, obě jsou eohraičeé ( H ) a lihé, platí tedy ta( ) ta( ), (9) ot( ) ot( ) Obě uke ejsou mootóí a D, ale jsou mootóí a každém poditervalu v D odpovídajíím elé periodě: uke tages je rostouí a itervaleh (k),(k ), kde k, a uke kotages je klesajíí a itervaleh k,( k ), kde k Hodoty a zaméka goiometrikýh ukí Je velmi účelé si pamatovat ukčí hodoty alespoň uke sius pro často používaé úhly z tabulky : rad 6 4 si Tabulka Důležité ukčí hodoty uke y si 8
9 Posloupost si lze velmi sado zapamatovat ásledujíím memotehikou pomůkou: 4,,,, Tabulku si lze sado doplit pro odpovídajíí úhly ve II IV kvadratu, viz tabulka 4 íže Zpaměti je dobré zát přiejmeším ještě hodoty si(), si, si() Fukčí hodoty ostatíh ukí v těhto bodeh lze potom totiž sado odvodit: rad 6 4 os ta ede ede ot ede ede ede Tabulka Důležité ukčí hodoty ukí kosius, tages a kotages Pro uki kosius jsme spodí řádek tabulky zapsali zprava doleva, pro uki tages jsme vydělili čitatele příslušýh čleů (jmeovatelé se vykrátili):,,,, eí deiováo a pro uki kotages jsme řádek uke tages apsali opět zprava doleva Pro správé určeí ukčí hodoty ( ) goiometriké uke je potřeba určit ve kterém kvadratu leží hodota, a to podle kvadratu, v ěmž leží příslušý bod M jedotkové kružie Podle kvadratu se dopočítá odpovídajíí úhel v prvím kvadratu a také určuje zaméko ukčí hodoty Kvadrat I II III IV úhel si + + os + + ta + + ot + + Tabulka 4 Zaméka hodot goiometrikýh ukí 9
10 Harmoiké uke Harmoikou ukí rozumíme goiometrikou uki typu F : y ( a b), () kde ab,, a je uke sius ebo kosius Harmoiké uke aházejí široké uplatěí ve yzie a tehie, odkud také bereme používaé ázvosloví Číslo určuje amplitudu (rozkmit) uke F, jelikož pro je amplituda rova jedé Číslo a ovlivňuje rekvei uke F : jelikož je pro rekvee rova, je rekvee harmoiké uke F rova F a Koečě číslo b určuje počátečí ázi daé harmoiké uke F Každá ze tří kostat ovlivňuje vzhled grau uke F Jejih pořadí v abeedě je voleo tak, aby odpovídalo pořadí při kostruováí grau F ze základího grau uke : Kostata a ovlivňuje rekvei kmitů uke F (kmity jsou hustější pro a ) Vliv kostaty b se dá zahytit posuutím grau doleva pro kladá (respektive doprava pro záporá ) Řešeí rovie a b ám určuje průsečík s osou u uke sius Koečě vliv kostaty se dá zahytit vyásobeím všeh ukčíh hodot uke ( a b) Vzore pro goiometriké uke Zela výjimečé postaveí má mezi vzori tzv goiometriká jedička, tedy ormule si os () Pro odvozováí vlastostí a vztahů mezi goiometrikými ukemi hraje velkou roli idetita ta ot, k, kde k () ze které plye, že ot ta Velmi často je potřeba vztahů pro dvojásobý argumet si( ) si os, () os( ) os si, a vztahů pro převod mezi druhou moiou a dvojásobým argumetem si os( ), (4) os os( ),
11 Cyklometriké uke Z předhozího víme, že uke : y si je rostouí a itervalu, a prostá a D,, můžeme a tomto itervalu deiovat iverzí uki, kterou azýváme arkussius, : y arsi, D H,, H D,, (5) a to ormulemi si(arsi ), pro, (6) arsi(si ), pro, Její gra zkostruujeme sado z grau uke sius Vzhledem k H jde o uki ohraičeou Jelikož je uke sius a D lihá a rostouí, je uke arkussius také lihá a rostouí Podobě deiujeme iverzi k uki kosius, která je prostá apř a itervalu, D Nazýváme ji arkuskosius : aros, D,, D,, (7) Jelikož je uke kosius a D klesajíí, je arkuskosius také klesajíí Všiměte si, že kosius eí a D sudá, a že pokud by byla sudá, emohla by k í eistovat iverze, která také emůže ikdy být sudá Fuke arkustages je deiováa jako iverze k tedy Jde o uki lihou, rostouí a ohraičeou : y arta, D, H, Fuke arkuskotages je deiováa jako iverze k tedy : y arot, D, H D, y ta a itervalu D,, platí Jde o uki klesajíí a ohraičeou Všiměte si, že arot arta y ot a itervalu D,, platí Vztahy mezi yklometrikými ukemi Pro úplost doplíme ještě tři zajímavé ormule arsi aros pro,, arta arot pro, arta arot pro
Přednáška 8: Elementární funkce. Mocninné funkce. Polynomy 7 / XI / 12, 22:27
Předášk 8: Elemetárí uke V této předáše se věujeme opkováí zámýh ktů o zákldíh typeh elemetáríh ukí Ai emusíme použít přiléhvého leč dehoestujíího ázvu zvěřie ukí jko utorky kihy Mtemtik pro porozuměí
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Více5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.
Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
Vícef x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )
DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceDůkazy Ackermannova vzorce
Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
VíceMocniny. Mocniny, odmocniny, logaritmy, exponenciála. Obecná mocnina. Mocniny. Odmocniny
Mociy Mociy, odmociy, logaritmy, expoeciála Zdeěk Halas KDM MFF UK 07 Počátky logaritmů Základí idea logaritmů Napierovy logaritmy Přirozeé logaritmy Kvadratura hyperboly Expoeciála Zavedeí expoeciály
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Více23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
VíceGeometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019
Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
Více3 - Póly, nuly a odezvy
3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
VícePlochy počítačové grafiky
II Iterpolačí plochy Bezierovy pláty ad obdélíkovou a trojúhelíkovou sítí Recioálí Bezierovy pláty B-splie NURBS Kostrukce a zadáí plochy hraičí křivky sítí bodů Kiematicky vytvořeé křivky rotačí plochy
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
Více1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost
VíceAplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus
Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
Více