Sylvesterovy Hadamardovy, Kravčukovy a Sylvesterovy Kacovy matice

Transkript

1 Sylvesterovy Hadamardovy, Kravčukovy a Sylvesterovy Kacovy matice Martina Štěpánová, Praha Abstrakt Je zcela běžné, že speciální třídy matic jsou pojmenovány podle matematika, který je buď poprvé představil nebo podstatně přispěl k jejich studiu Článek je věnován třem třídám matic nesoucích ve svých názvech jména čtyř matematiků: Sylvesterovým Hadamardovým maticím, Kravčukovým maticím a Sylvesterovým Kacovým maticím Přestože na první pohled nemají uvedené třídy příliš společného, jsou v textu ukázány jejich vzájemné souvislosti Všichni zmínění matematici žili v 19 a 20 století, data narození nejstaršího a nejmladšího z nich dělí bez jednoho měsíce sto let Jedná se o anglického matematika Jamese Josepha Sylvestera ( ), francouzského matematika Jacquese Salomona Hadamarda ( ), ukrajinského matematika Michaila Filipoviče Kravčuka ( ) a matematika Marka Kace ( ), který se narodil na území dnešního Polska a v roce 1943 získal americké občanství 1 Společným pojítkem tří z nich (s výjimkou Michaila Filipoviče Kravčuka) není jen teorie matic, ale i židovský původ V textu budeme symbolem N značit množinu {1, 2, } a symbolem N 0 množinu {0, 1, 2, } 1 Sylvesterovy Hadamardovy matice V roce 1867 publikoval anglický matematik James Joseph Sylvester článek s neobvykle dlouhým názvem Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous signsuccessions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers [19] V textu, od jehož vydání letos uplyne přesně 150 let, představil speciální typy reálných matic: Uvažujme matici prvního, resp druhého řádu S 1 = ( 1 ), resp S 2 = ( Není však jisté, zda je Kacovo datum narození 3 8 uvedené na jeho rodném listě správné Ač Mark Kac narozeniny slavil v tento den, prohlašoval, že se narodil až 16 8 Odchylku dat vysvětloval tím, že místo jeho narození tehdy spadalo pod nadvládu carského Ruska, které používalo juliánský kalendář (informace jsou převzaty z [14]) ) RNDr Martina Štěpánová, PhD, Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Sokolovská 83, Praha 8, stepanov@karlinmffcunicz Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 81 Strana 81 (verze )

2 a dále Kroneckerův součin S 2 S 2, tj matici 2 S 4 = S 2 S 2 = Poté uvažujme Kroneckerovy součiny ( ) S2 S 2 = S 2 S S 8 = S 2 S 4, S 16 = S 2 S 8, S 32 = S 2 S 16,, S 2 k = S 2 S 2 k 1, Na následujícím obrázku jsou schématicky znázorněny matice S 16 a S 32, a to pomocí relativně často používaného způsobu: číslo 1 je nahrazeno černým čtverečkem, zatímco číslo 1 bílým čtverečkem Obr 1 Matice S 16 a S 32 Matice S 2 k, k N 0, mají některé společné vlastnosti zjevné na první pohled: jsou symetrické, mají v prvních řádcích a v prvních sloupcích pouze prvek 1, pro k 1 jsou jejich stopy, tj součty prvků na hlavní diagonále, nulové atd Další zajímavou společnou vlastností jsou počty změn znamének v jednotlivých řádcích Sledujme změny na řádcích konkrétní matice S 16 (obr 1 vlevo) V prvním řádku k žádné změně znaménka nedochází, v druhém řádku se znaménko změní patnáctkrát, ve třetím sedmkrát, Počty změn na jednotlivých řádcích jsou 0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5, 10, kde tučně zvýrazněná čísla odpovídají řádkům, které končí prvkem 1 (tj černým čtverečkem) Ve výčtu počtů změn znamének se vyskytují všechna celá čísla z intervalu 0; 15 Pokud bychom na obr 1 počítali změny i pro matici S 32, naše oči by zřejmě po chvíli vypověděly službu Počty změn znamének na řádcích matice S 32 2 Kroneckerovým součinem A B komplexních matic A a B, kde A = (a ij ) je typu p q a B je typu r s, je bloková matice (a ij B) typu pr qs 82 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 82 (verze )

3 však lze odvodit z počtu změn v matici S 16 Označme p i počet změn znamének na i-tém řádku matice S 16 Potom na i-tém řádku, 1 i 16, matice S 32 bude změn 2p i, končí-li i-tý řádek matice S 16 prvkem 1 (černým čtverečkem), a 2p i + 1, končí-li i-tý řádek matice S 16 prvkem 1 (bílým čtverečkem) Na (i + 16)-tém řádku matice S 32 bude změn 2p i, končí-li i-tý řádek matice S 16 prvkem 1 (bílým čtverečkem), a 2p i +1, končí-li i-tý řádek matice S 16 prvkem 1 (černým čtverečkem) Počty změn znamének na řádcích matice S 32 (odvozené z počtů změn znamének na řádcích matice S 16 ) jsou souhrnně zachyceny v druhém a třetím řádku následující tabulky ř ř Pro každé celé číslo z intervalu 0; 15 tedy dostaneme jak jeho dvojnásobek, tak dvojnásobek zvětšený o 1 Počty změn znamének na řádcích matice S 32 proto budou opět vyjádřeny všemi celými čísly z intervalu 0; n 1 = 0; 31 Stejnou úvahu můžeme použít pro libovolné n = 2 k, k N 0 Dospěli jsme tedy k závěru, že uvedenou vlastnost mají všechny zkonstruované matice S n, tj zobrazení, které každému řádkovému indexu přiřazuje odpovídající počet znaménkových změn, je bijekcí množiny {1, 2, 3,, n} na množinu {0, 1, 2,, n 1} 3 Pro další výklad však budou nejpodstatnější jiné dvě společné vlastnosti matic S 2 k: 1) prvky matic jsou z množiny { 1; 1}; 2) skalární součiny 4 dvou různých řádků (a obdobně sloupců) matice jsou rovny 0 (tj řádky, resp sloupce jsou navzájem kolmé) Naskýtá se otázka, zda existují matice také jiných (i když třeba ne všech) řádů, které splňují obě charakteristiky Odpověď na otázku lze nalézt v článku francouzského matematika Jacquese Salomona Hadamarda Résolution d une question relative aux déterminants [4], který je datován rokem 1893, či v následujících odstavcích Definice 1 Čtvercová matice, jejíž prvky jsou buď 1 či 1 a libovolné dva různé řádky jsou na sebe kolmé, se nazývá Hadamardova Hadamardova matice řádu 2 k, kterou lze vytvořit výše uvedeným způsobem (S 2 k = S 2 S 2 k 1), se nazývá Sylvesterova Hadamardova Je zřejmé, že pro Hadamardovu matici H řádu n platí HH T = ni, kde I značí jednotkovou matici řádu n Po vynásobení tohoto vztahu maticí H 1 zleva dostaneme rovnost H T = nh 1 a z ní vynásobením maticí H zprava ekvivalentní rovnost H T H = ni Odtud plyne, že Hadamardova matice má nejen ortogonální řádky, ale i sloupce Hadamardovy matice jsou zobecněním matic Sylvesterových Hadamardových Zobecněním Hadamardových matic jsou tzv komplexní Hadamardovy matice, jejichž 3 Odlišný důkaz uvedeného tvrzení lze nalézt v [13] Vlastnost, že počty změn znamének na řádcích matic S 2 k jsou různá nezáporná celá čísla z intervalu 0; 2 k 1, se v uvedeném textu nazývá full sign spectrum 4 Skalárním součinem přitom rozumíme středoškolský skalární součin, tj zobrazení množiny C n C n do C, kde pro u = (u 1, u 2,, u n) C n, v = (v 1, v 2,, v n) C n n je u v = i=1 u i v i Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 83 Strana 83 (verze )

4 prvky jsou vybírány z množiny {1, 1, i, i}, a jejich zobecněním jsou tzv Hadamardovy matice Butsonova typu, jejichž prvky jsou m-té odmocniny z 1 pro pevně zvolené přirozené číslo m 5 Následující matice jsou příklady Hadamardových matic řádů 1, 2 a 4, které nejsou Sylvesterovy Hadamardovy: ( ( ) 1 1 1, 1 1 ), Pokud bychom se snažili vymyslet Hadamardovu matici řádu 3, budeme neúspěšní Je zřejmé, že dvojice řádků (sloupců) matice řádu n 2 musí vždy mít n 2 stejných prvků a n 2 rozdílných (a tedy opačných) prvků, a proto Hadamardova matice musí mít vždy sudý řád Existence Hadamardových matic různých řádů je stále aktuálním tématem Než pro zajímavost uvedeme několik informací z této oblasti, zavedeme dva nové pojmy Definice 2 Hadamardovu matici, která má v prvním řádku a v prvním sloupci pouze prvek 1, nazýváme Hadamardovou normalizovanou maticí Dvě Hadamardovy matice nazýváme ekvivalentní, jestliže lze z jedné získat druhou pouze použitím následujících operací: permutací řádků (sloupců) a vynásobením některých řádků (sloupců) číslem 1 Každá Hadamardova matice je evidentně ekvivalentní s Hadamardovou normalizovanou maticí Věta 1 Řád Hadamardovy matice je 1, 2 nebo násobek čísla 4 Důkaz: Příklady Hadamardových matic řádů 1 a 2 byly uvedeny výše, lichý řád byl jednoduchou úvahou vyloučen Uvažujme proto dále Hadamardovu matici, pro jejíž řád n je n 4 Převedeme-li ji na ekvivalentní Hadamardovu normalizovanou matici, lze její sloupce přeuspořádat tak, aby její první tři řádky byly } {{ } a } {{ } b } {{ } c } {{ } d kde počty sloupců v první, druhé, třetí a čtvrté skupině jsou nezáporná celá čísla a, b, c, d Potom a + b + c + d = n, a + b c d = 0, a b + c d = 0, a b c + d = 0 5 Nutno však podotknout, že terminologie je v této problematice nejednotná Existují např přístupy, v nichž jsou naopak komplexní Hadamardovy matice (prvky matice jsou jakákoliv čísla ležící na jednotkové kružnici) zobecněním Hadamardových matic Butsonova typu, 84 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 84 (verze )

5 Druhá, resp třetí, resp čtvrtá rovnice soustavy plyne z ortogonality vektorů v 1 a 2, resp v 1 a 3, resp v 2 a 3 řádku matice Sečtením rovnic dostaneme n = 4a, čímž je důkaz hotov 6 Již Hadamard předpokládal, že pro každé n dělitelné čtyřmi existuje Hadamardova matice řádu n Tato tzv Hadamardova domněnka se považuje za platnou i dnes Nejnižším násobkem čísla 4, který nelze vyjádřit jako 2 k, k N, je číslo 12 Hadamardovu matici tohoto řádu a rovněž řádu 20 sestavil roku 1893 přímo Jacques Hadamard v již zmíněné práci [4] Tyto matice jsou znázorněny na obr 2 opět pomocí čtverečků (existuje jedna, resp tři třídy navzájem ekvivalentních Hadamardových matic řádu 12, resp 20) Obr 2 Hadamardovy matice řádů 12 a 20 Z metod, které roku 1933 v roce své předčasné smrti představil v článku On orthogonal matrices [15] anglický matematik Raymond Edward Alan Christopher Paley ( ), vyplývá existence Hadamardových matic řádů s + 1 a 2(t + 1), kde s, t jsou mocniny prvočísel, 7 s 3 (mod 4) a t 1 (mod 4) Vzhledem k existenci Sylvesterovy, resp Paleyových konstrukcí, resp na základě zobecnění Sylvesterovy konstrukce 8 tak platí následující tvrzení: Věta 2 Hadamardova matice řádu n existuje pro každé přirozené číslo n = 2 k, k N 0 Jestliže jsou matice H p, H q Hadamardovy matice řádů p, q, potom H p H q je také Hadamardova matice, a to řádu pq Jestliže s i, t j jsou mocniny prvočísel, s i 3 (mod 4), t j 1 (mod 4), potom existuje Hadamardova matice řádu 2 (s i + 1) (t j + 1) i,j 6 Dodejme, že rovněž n = 4b = 4c = 4d 7 Nejmenší mocniny prvočísel jsou 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 8 Viz opět [4] Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 85 Strana 85 (verze )

6 Protože přirozené mocniny čísla 2 náležejí množině {2, 4, 8, 16, 32, 64, } a jelikož je zřejmě s i + 1 {4, 8, 12, 20, 24, 28, 32, 44, 48, 60, 68, 72, 80, 84, }, resp 2 (t j + 1) {12, 20, 28, 36, 52, 60, 76, 84, }, existuje pět přirozených čísel dělitelných čtyřmi a menších než 100, které nepatří ani do jedné z uvedených množin: 40, 56, 88, 92 a 96 S výjimkou čísla 92 je však lze zapsat jako součin čísel, které v množinách figurují Protože řád 92 je jedním z mnoha řádů, k nimž nelze na základě věty 2 Hadamardovu matici sestrojit, bylo k potvrzení Hadamardovy domněnky nutné hledat další metody konstrukcí Snahy matematiků o objevení Hadamardovy matice řádu n pro některá relativně malá n trvaly dlouho Například ještě 100 let po vydání Hadamardova článku [4], tj roku 1993, byly Hadamardovy matice pro n dělitelné čtyřmi známy jen pro n < 428 Matice H 428 nebyla známa ani na přelomu tisíciletí, ke změně došlo až díky výsledkům článku A Hadamard matrix of order 428 [8], který roku 2005 publikovali 9 Hadi Kharaghani a Behruz Tayfeh-Rezaie Poté se pozornost obrátila k dalšímu problematickému číslu dělitelnému čtyřmi, a to k číslu 668 Tento problém zůstává nevyřešen zřejmě dodnes Totéž platí vybíráme-li mezi čísly dělitelnými čtyřmi a menšími než 1000 ještě pro čísla 716 a 892 Rozlučme se dočasně s Hadamardovými maticemi krátkým přehledem několika jejich dalších vlastností: 10 Norma každého vektoru v řádku či sloupci Hadamardovy matice H řádu n je n Matice Ĥ = H/ n je zřejmě unitární, neboť je ĤT = Ĥ 1 Hadamardovy matice jsou úzce spjaty s tzv Hadamard s maximum determinant problem, v němž se hledají obecně komplexní matice řádu n s prvky a ij, a ij 1, jejichž determinant je v absolutní hodnotě maximální možný Hadamard dokázal, že tato největší hodnota je n n 2 a že mezi maticemi s prvky z množiny { 1; 1} splňují rovnost det H = n n 2 pouze Hadamardovy matice 2 Kravčukovy matice Na úvod této části zopakujme několik vzorečků, které v mnohých z nás vyvolají vzpomínky na léta strávená ve škamnách na základní škole (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a + b) (a b) = a 2 b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, (a + b) 2 (a b) = a 3 + a 2 b ab 2 b 3, (a + b) (a b) 2 = a 3 a 2 b ab 2 + b 3, (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 9 Výsledek však byl oznámen již v červnu roku Zájemce o další studium odkazujeme například na práce [5], [16] či [12] 86 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 86 (verze )

7 Je zřejmé, že pokud za a zvolíme 1, získáme polynomy druhého či třetího stupně proměnné b Volme tedy a = 1 a zobecněme exponent na libovolné n N 0 Potom (1 + b) n j (1 b) j = do matice (pro pevné j do j-tého sloupce), získáme čtver- Umístíme-li koeficienty k (n) ij covou matici řádu n + 1 n i=0 k (n) ij bi, j = 0, 1,, n (1) ( Definice 3 Nechť n N 0 Potom Kravčukovou maticí K n = řádu n + 1, jejíž prvky k (n) ij jsou koeficienty ze vztahu (1) k (n) ij ) rozumíme matici Právě definovaný, nepříliš známý pojem se v české literatuře vyskytuje i pod názvem Krawtchoukovy matice Příjmení Krawtchouk se běžně používá v anglických textech na základě jména, které je uvedeno na Kravčukových francouzsky psaných pracích Michail Kravčuk ale své matice vůbec nestudoval, zavedeny byly až více než čtyřicet let po jeho smrti V krátkých článcích Sur une généralisation des polynomes d Hermite [10] a Sur la distribution des racines des polynomes orthogonaux [11] z let 1929 a 1933 se však zabýval tzv Kravčukovými polynomy, které mají úzkou souvislost s řádky Kravčukovy matice Tyto matice představil původem indický matematik Nirmal Kumar Bose ( ) až roku 1985 v knize Digital filters: theory and applications [1] Řádkové, resp sloupcové indexy Kravčukových matic budeme dále označovat čísly 0, 1, 2,, n místo používanějšího značení 1, 2,, n+1 a hovořit budeme o nultém až n-tém řádku, resp sloupci Kravčukovy matice nejnižších řádů jsou K 3 = K 0 = (1), K 1 = K 5 = ( ), K 2 =, K 4 = , , Jestliže nulté sloupce Kravčukových matic K n, n N 0, zapíšeme vycentrovaně pod sebe, dostaneme notoricky známý Pascalův trojúhelník:, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 87 Strana 87 (verze )

8 j = 0 n = 0 1 n = n = n = n = n = Prvky v nultých sloupcích Kravčukových matic jsou totiž binomické koeficienty, konkrétně k (n) i0 = ( n i) Prvky v posledních, tj n-tých sloupcích jsou v absolutní hodnotě opět tyto koeficienty, ale lišící se pro lichý řádkový index i znaménkem, tj k (n) in = ( ( 1)i n i) V nultých řádcích je pouze prvek 1, v n-tých řádcích se pravidelně střídají prvky 1 a 1 Kravčukovy matice jsou také až na znaménko symetrické podle středu : absolutní hodnoty čtyř prvků v i-tém či (n i)-tém řádku a současně v j-tém a (n j)-tém sloupci jsou shodné, přesněji = k (n) = k (n) ij i,n j k (n) n i,j = k (n) Kravčukova matice má proto pro libovolné n N 0 tvar n i,n j K n = ( n 1) ( ) n ( n 2) ( n n 2 ( n n 1 ) ) k (n) ij ±k (n) ij ±k (n) ij ±k (n) ij 1 ( n 2) ( 1) n 2( n n 2 ( 1) n 1( n n ( 1) n 2 ( 1) n 1 ( 1) n ) ) Je přirozené se ptát, zda lze vyplnit dosud prázdná místa bez výpočtů koeficientů polynomů (1+b) n j (1 b) j Výraz (1+b) n j (1 b) j je možné roznásobit a z rovnosti (1) zjistit, že pro prvky Kravčukovy matice platí k (n) ij = i ( )( ) ( 1) r n j j (2) i r r r=0 Postupovat však můžeme jednodušším způsobem; lze využít tzv čtvercové identity K jejímu důkazu bude vhodné znát několik vztahů Je všeobecně známo, že součtem dvou sousedních prvků na řádku Pascalova trojúhelníku je prvek, který leží bezprostředně pod (a mezi) nimi (při neexistenci jednoho 88 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 88 (verze )

9 ze sčítanců přičítáme k jednomu prvku číslo 0) V naší symbolice tedy platí vztah k (n) i 1,0 + k(n) i,0 = k(n+1) i,0 Obdobný vztah však platí i pro j 0 Uvažujme tedy i trojúhelníky vytvořené ze sloupců Kravčukových matic K n, n N 0, s indexy j = 1, 2, ; říkejme jim např zobecněné Pascalovy trojúhelníky Dva takové trojúhelníky (pro j = 1 a j = 2) jsou znázorněny níže (na místech, kde n < j, je symbol ): j = 1 n = 0 n = n = n = n = n = j = 2 n = 0 n = 1 n = n = n = n = V následující větě vyjádříme nejen součet dvou sousedních prvků na témže řádku libovolného (zobecněného) Pascalova trojúhelníku, ale představíme také tři vztahy, které platí pro prvky různých trojúhelníků Dále přitom budeme prvky k (n) 1,j a k(n) n+1,j pokládat rovny 0 ( Věta 3 Nechť K n = k (n) ij ) ( a K n+1 = k (n+1) ij ) jsou Kravčukovy matice Potom platí (i) k (n) i 1,j + k(n) ij = k (n+1) ij, (iii) k (n+1) ij + k (n+1) i,j+1 = 2k(n) ij, (ii) k (n) ij k (n) i 1,j = k(n+1) i,j+1, (iv) k(n+1) ij k (n+1) i,j+1 = 2k(n) i 1,j Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 89 Strana 89 (verze )

10 Důkaz: (i) Dle (1) je (1 + b) n+1 j (1 b) j = n+1 k (n+1) ij b i, j = 0, 1,, n + 1 (3) i=0 Vypočítáme levou stranu vztahu (3): (1 + b) n+1 j (1 b) j = (1 + b)(1 + b) n j (1 b) j = = (1 + b) n i=0 k (n) ij bi = n i=0 k (n) ij bi + b n i=0 = k (n) 0j b0 + k (n) 1j b + k(n) 2j b2 + + k (n) nj bn k (n) ij bi = + k (n) 0j b + k(n) 1j b2 + + k (n) n 1,j bn + k (n) nj bn+1 = n+1 ( ) = k (n) i 1,j + k(n) ij b i i=0 Vzhledem k pravé straně vztahu (3) je k (n) i 1,j + k(n) ij = k (n+1) ij (ii) Postupujeme zcela analogicky jako v důkazu části (i), pouze uvážíme, že což je ekvivalentní rovnosti (1 + b) n+1 (j+1) (1 b) j+1 = (1 b) (1 + b) n j (1 b) j, n+1 k (n+1) i,j+1 bi = (1 b) i=0 n i=0 k (n) ij b i (iii) Postačí sečíst rovnosti (i) a (ii) (iv) Postačí odečíst od rovnosti (i) rovnost (ii) Vztah (i) je notoricky známý Pro každou ze zbývajících rovností uvedeme příklad pro konkrétní hodnoty indexů (jednotlivá čísla jsou pro lepší orientaci čtenáře zvýrazněna ve výše uvedených zobecněných Pascalových trojúhelnících): (ii) k (2) 11 k (2) 01 = k (3) 12, 0 1 = 1, (iii) k (5) 41 + k (5) 42 = 2k (4) 41, = 2 ( 1), (iv) k (5) 21 k (5) 22 = 2k (4) 11, 2 ( 2) = 2 2 Půvabné zobecnění Pascalových trojúhelníků uvedl Jerzy Kocik v pojednání Krawtchouk matrices, Feynman path integral and the split quaternions [9] Jestliže Kravčukovy matice poskládáme na sebe, získáme jehlan, kterému budeme říkat Kravčukova pyramida (obr 3) Množinu prvků k (n) ij se stejným indexem n nazývejme patro pyramidy (patro pro n = 3 je na obr 3 zvýrazněno šedě) 90 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 90 (verze )

11 Obr 3 Kravčukova pyramida; prvky k (n) ij se stejným indexem n = 3 Obr 4 Prvky k (n) ij se stejným indexem i = 1 (vlevo) a j = 2 (vpravo) Na obrázcích 3 a 4 jsou viditelné vždy dvě stěny Kravčukovy pyramidy (přesněji řečeno její části) levá a přední Levá stěna obsahuje prvky Pascalova trojúhelníku Řezy pyramidou rovinami rovnoběžnými s touto stěnou získáme zobecněné Pascalovy trojúhelníky pro jednotlivé indexy j (na obr 4 vpravo jsou šedě zvýrazněny prvky s indexem j = 2) Řezy rovnoběžnými se zadní stěnou pyramidy získáme prvky se stejnými indexy i (na obr 4 vlevo jsou šedě zvýrazněny prvky s indexem i = 1) Na Kravčukově pyramidě lze hezky znázornit i vztahy z věty 3 Označíme-li kvůli úspoře místa v obrázku a = k (n) i 1,j, b = k(n) i,j, c = k(n+1) i,j, d = k (n+1) i,j+1, lze rovnosti z věty 3 přepsat takto: (i) a + b = c, (iii) c + d = 2b, (ii) b a = d, (iv) c d = 2a Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 91 Strana 91 (verze )

12 Obr 5 Znázornění rovností (i) (iv) z věty 3 Vybereme-li z pyramidy čtyři stavební kameny odpovídající prvkům a, b, c, d a pro jednotlivé rovnosti obarvíme kameny, s nimiž operujeme, světle šedou barvou a výsledek tmavě šedou barvou, lze vztahy znázornit tak, jak je tomu na obrázku 5 Ve všech čtyřech vztazích sčítáme (odčítáme) prvky ze stejného patra pyramidy, výsledek nacházíme o patro níže (rovnosti (i) a (ii), na obr 5 vlevo), nebo o patro výše (rovnosti (iii) a (iv), na obr 5 vpravo) V případě vztahu (i), resp (ii) se pohybujeme v rovinách rovnoběžných s levou, resp pravou stěnou pyramidy V rovnosti (iii), resp (iv) se pohybujeme v rovinách rovnoběžných se zadní, resp přední stěnou pyramidy Nyní můžeme přistoupit k formulaci a důkazu výše zmíněné čtvercové identity Věta 4 Nechť K n = k (n) i 1,j k (n) i,j k (n) i 1,j+1 k (n) i,j+1 je Kravčukova matice pro i = 1, 2,, n a j = 0, 1, n 1 Potom k (n) i,j = k(n) i 1,j + k(n) i 1,j+1 + k(n) i,j+1, tj pro čtyři navzájem sousedící prvky Kravčukovy matice K n platí: prvek v levém dolním rohu je součtem tří prvků zbývajících Důkaz: S využitím rovností (i) a (iii) předchozí věty dostaneme ( ) ( ) k (n) i 1,j + k(n) ij + k (n) i 1,j+1 + k(n) i,j+1 = k (n+1) ij + k (n+1) i,j+1 = 2k(n) ij, a tudíž k (n) i 1,j + k(n) i 1,j+1 + k(n) i,j+1 = k(n) ij 92 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 92 (verze )

13 K sestavení Kravčukovy matice K n tedy stačí napsat na její nultý řádek (n + 1)-krát prvek 1, do posledního sloupce binomické koeficienty se střídajícími se znaménky a zbývající prvky vyplnit (od pravého horního rohu k levému dolnímu rohu matice) pomocí čtvercové identity: ւ ւ ( ) n K n = ւ 1 ( n 2 ) ( 1) n Také s Kravčukovými maticemi se na chvíli rozloučíme, tak jako u předcházející třídy matic, uvedením jejich další zajímavé vlastnosti: 11 Jestliže K n je Kravčukova matice, potom (K n ) 2 = 2 n I U Kravčukových matic tedy na sebe obecně nejsou kolmé dva různé řádky či dva různé sloupce, ale navzájem kolmé jsou dvojice řádek sloupec s výjimkou dvojic se stejným indexem 3 Sylvesterovy Kacovy matice V roce 1854 se výše zmíněný James Joseph Sylvester zabýval v práci Théorème sur les déterminants de M Sylvester [18] determinanty λ λ 1, 1 λ, λ 1 0 λ λ λ λ, 3 λ λ λ 3, 0 3 λ λ λ λ Tím si zajistil, že se jeho příjmení dostalo do názvu další třídy matic Definice 4 Nechť n N Potom Sylvesterova Kacova matice C n je čtvercová matice řádu n + 1 tvaru n n C n = n n Podrobnější informace o Kravčukových maticích lze nalézt v publikacích již zmíněného Jerzyho Kocika a dále Philipa Feinsilvera, kolegů z Southern Illinois University v Carbondale Na základě jejich textů byla sepsána tato část právě čteného článku Z konkrétních prací uvedených autorů jmenujme [2] a [3] Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 93 Strana 93 (verze )

14 Příjmení Marka Kace je v pojmenování těchto matic především na počest jeho úspěšného důkazu věty o vlastních číslech matic C n (viz níže věta 5) a nalezení příslušných vlastních vektorů Stalo se tak roku 1946 v průběhu jeho přednášek v souvislosti s Brownovým pohybem 12 Z Kacových publikací jmenujme Random walk and the theory of Brownian motion [6] z roku 1947 a Probability and related topics in the physical sciences [7] z roku 1959 Sylvesterovy Kacovy matice jsou relativně často nazývány pouze Kacovy matice Pro označení řádkových, resp sloupcových indexů budeme i u těchto matic dále používat čísla 0, 1,, n Při této úmluvě je Sylvesterova Kacova matice C n čtvercovou maticí, pro jejíž prvky c (n) ij je c (n) ij = j, jestliže i = j 1, n j, jestliže i = j + 1, 0 v ostatních případech Několik prvních Sylvesterových Kacových matic je tedy ( ) 0 1 C 1 =, C =, C 3 = C 4 = , C 5 = ,, Jak říká následující věta, vlastní čísla Sylvesterovy Kacovy matice jsou prvky aritmetické posloupnosti s diferencí 2 Věta 5 Vlastní čísla Sylvesterovy Kacovy matice C n jsou n, n 2, n 4,, (n 4), (n 2), n Větou 5 jsme se zabývali již v minulém ročníku tohoto časopisu v článku Olga Taussky-Todd: z Olomouce do Pasadeny [20] Reprodukovali jsme i jeden její jednoduchý důkaz, který lze v mírně modifikované podobě nalézt v článku Another look at a matrix of Mark Kac [21] manželů Olgy Taussky-Todd ( ) a Johna Todda ( ) Důkaz již opakovat nebudeme, jen připomeneme, že jsme pouze vyjádřili determinant charakteristické matice C n λi, kde I je jednotková matice řádu n + 1, a provedli běžné řádkové či sloupcové úpravy, resp rozvinuli determinant podle jeho řádku Dospěli jsme k rovnosti ( ) det(c n λi) = (n λ) det C n 1 (λ + 1)I 12 Hodnoty vlastních čísel matic C n byly tušeny již dvacet let před Kacovým prvním důkazem O důkaz se roku 1926 neúspěšně snažil rakouský fyzik Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger ( ) v třetí části textu [17] 94 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 94 (verze )

15 ( ) Protože je det(c 1 λi) = (λ 1)(λ+1) a det C 1 (λ+1)i = λ(λ+2), je vyjádření charakteristických polynomů Sylvesterových Kacových matic, a tedy i důkaz věty 5, již jen mechanickou záležitostí Pro náš další výklad však budou více než důkaz věty důležitější její triviální důsledky: vlastní čísla Sylvesterových Kacových matic jsou navzájem různá, Jordanův kanonický tvar J n matice C n je diagonální matice řádu n+1 s prvky n, n 2, n 4,, (n 4), (n 2), n na diagonále a sloupce matice A ze vztahu J n = A 1 C n A jsou tvořeny n + 1 vlastními vektory matice C n Pokusme se na matici A nezapomenout Napadla vás nyní otázka, zda se s ní ještě v dalším textu potkáme, že? Nebo jsme s ní již byli seznámeni? Kdo si počká, ten se dočká! Neodhalujme nyní tajemství a uveďme některé zajímavé vlastnosti matice C n Prvky Sylvesterovy Kacovy matice C n jsou nezáporná čísla a součty prvků ve všech jejích sloupcích jsou n Je proto velmi jednoduché získat z této matice matici sloupcově stochastickou, tj matici, jejíž prvky jsou nezáporné a součty prvků ve všech jejích sloupcích jsou rovny 1 Stačí vzít matici C n = 1 n C n Pro n = 4 například dostáváme C 4 = = Prvky stochastické matice vyjadřují pravděpodobnosti změny jisté situace z jednoho stavu do druhého Uvažujme dva klobouky L a P, v nichž je celkem n koulí Náhodně vybereme libovolnou kouli a přemístíme ji z jednoho klobouku do druhého Symbolem k označme stav, kdy je v klobouku L právě k koulí (tj v klobouku P je n k koulí) Potom prvek c (n) ij vyjadřuje pravděpodobnost, že se po přesunu jedné koule změní stav j na stav i Na obrázku 6 jsou znázorněny klobouky s n = 4 koulemi, tj situace odpovídá matici C 4 Hodnota 3 4 prvku c(4) 21 vyjadřuje pravděpodobnost, že ze stavu 1 přejdeme přemístěním libovolné koule do stavu 2 Při výběru přemisťované koule totiž máme celkem čtyři možnosti (jedna koule v klobouku L a tři v klobouku P ), avšak jen při výběru jedné ze tří koulí v klobouku P budou v klobouku L dvě koule, tj pravděpodobnost přechodu ze stavu 1 do stavu 2 je skutečně 3 4 Sylvesterovu Kacovu matici C n lze také jednoduchou transformací převést na matici symetrickou Věta 6 Pro Sylvesterovu Kacovu matici C n existuje podobná matice Ĉn, která je symetrická Za matici D n ze vztahu Ĉ n = Dn 1 C nd n lze volit například diagonální matici řádu n + 1 s prvky d ii = na diagonále (n i), i = 0, 1,, n, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 95 Strana 95 (verze )

16 Obr 6 Přemisťování koulí mezi dvěma klobouky Důkaz: Evidentně je ĉ (n) ij = 1 ( n i) c(n) i = 0, 1,, n 1, budou prvky ĉ (n) ij Protože c (n) i,i+1 (n ij j nulové = i + 1, platí pro prvky ĉ(n) i,i+1 (n ĉ (n) i,i+1 = 1 i ) (i + 1) ) S výjimkou prvků ĉ (n) i,i+1 a ĉ(n) (v linii ihned nad diagonálou) ( ) n = (n i) (i + 1) i + 1 Jelikož c (n) i+1,i = n i, platí pro prvky ĉ(n) i+1,i (v linii ihned pod diagonálou) (n ) ĉ (n) i+1,i = 1 ( n ) (n i) = (n i) (i + 1) i i+1 i+1,i, a důkaz je hotov Např pro n = 3 je ĉ (3) 01 = ĉ(3) 10 = 3, ĉ (3) 12 = ĉ(3) 21 = 2 a ĉ(n) 23 = ĉ(n) 32 = 3, 96 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 96 (verze )

17 o čemž se můžeme přesvědčit i vypočítáním součinu D3 1 C 3D 3 : = Vztahy mezi třídami matic = Představili jsme tři třídy matic, které spolu na první pohled příliš nesouvisí Nejvýraznějšími společnými rysy jsou zcela jistě skutečnosti, že se jedná o matice čtvercové a že jejich prvky jsou celá čísla Nyní ukážeme, že jsou v rodině matic blízkými příbuznými a že vztahy mezi nimi jsou relativně důvěrné Používejme dále řádkové i sloupcové indexy všech matic, tedy i Sylvesterových Hadamardových, z množiny {0, 1, } 13 Uvažujme Kravčukovu matici K n Víme, že až na znaménka je středově souměrná Převeďme ji jednoduchou operací na matici symetrickou Definice 5 Symetrickou Kravčukovou maticí M n budeme rozumět matici M n = K n B n řádu n+1, kde B n je čtvercová diagonální matice řádu n+1, jejíž prvky b ii na diagonále jsou binomické koeficienty ( n i) Násobíme tedy j-tý sloupec Kravčukovy matice binomickým koeficientem ( n j) Např M 3 = = ( Početní ověření, že přívlastek symetrická je v názvu matice M n = místě, tj že platí m (n) ij = m (n) ji, necháváme na čtenáři14 m (n) ij ) zcela na Protože M n = K n B n, je K n = M n Bn 1 Pokud bychom tedy naopak chtěli ze symetrické Kravčukovy matice M n získat Kravčukovu matici K n, stačí matici M n vynásobit zprava diagonální maticí s prvky b 1 ii = 1/ ( n i) 13 Sylvesterova Hadamardova matice S 2 k je řádu 2 k, její řádkové a sloupcové indexy jsou z množiny { 0, 1,, 2 k 1 } ; Kravčukova matice K n je řádu n + 1, indexy jsou z množiny {0, 1,, n} atd 14 Pro zájemce přidáváme nápovědu: prvky m (n) ij a m (n) ji a k (n) ji, poté zapsat pomocí vztahu (2) a výsledky porovnat stačí vyjádřit v závislosti na prvcích k (n) ij Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 97 Strana 97 (verze )

18 Právě zavedená symetrická Kravčukova matice nám umožní propojit Sylvesterovy Hadamardovy matice S 2 k s Kravčukovými maticemi K n, a to i pro n 2 Pro nejnižší řády je přímo S 1 = K 0 a S 2 = K 1 Definice 6 Nechť n N 0 a n = l d l2 l (binární rozvoj čísla n) Potom zobrazení f : N 0 N 0 nazveme dvojkovou přeřazovací funkcí, jestliže f(n) = l d l Jelikož prvky d l mohou nabývat jen hodnot 0 nebo 1, je hodnota f(n) rovna počtu jedniček jakožto koeficientů v binárním rozvoji čísla n V následující tabulce je několik hodnot f(n) pro nejmenší n n f(n) 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = Je zřejmé, že f(2 k ) = 1 a že f(2 k + t) = 1 + f(t) pro 0 t < 2 k Přidáme-li k poslednímu vztahu údaj f(0) = 0, získáme rekurzivní zavedení funkce f Platnost rovnosti f(2 k + t) = 1 + f(t) je názorně vidět v posledním sloupci tabulky: je-li n = 2 k, sníží se hodnota f(n) na 1 a počet koeficientů d l = 1 se načítá jakoby znovu od začátku Nejprve se zopakují hodnoty f(2 k 1 ) až f(2 k 1) a poté se tyto hodnoty zvětší o jedničku Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 98 (verze )

19 Věta 7 Nechť S 2 k = (s qr ) je Sylvesterova Hadamardova matice Potom pro prvky m (k) ij symetrické Kravčukovy matice M k řádu k + 1 platí m (k) ij = k f(q)=i f(r)=j Při hledání prvků symetrické Kravčukovy matice tedy postupujeme takto: ohodnotíme řádky a sloupce matice S 2 k pomocí funkce f a prvky m (k) ij poté získáme sečtením všech prvků s qr, které leží v řádcích a sloupcích, jejichž ohodnocení je i a j Potřebujeme přitom znát hodnoty prvků m (k) ij pro všechna i, j = 0, 1,, k Čísla m (k) ij pomocí vztahu uvedeného ve větě 7 doopravdy získáme, neboť f(2 k 1) = k, a tedy { f(0), f(1),, f(2 k 1) } = {0, 1,, k} s qr Postup ukážeme na přechodu od konkrétní matice S 2 3 = S 8 k symetrické Kravčukově matici M 3 řádu 4 Matice S 8 spolu s ohodnocením řádků a sloupců je Například prvek m (3) 21 je součtem prvků v řádcích ohodnocených 2 (q = 3, 5, 6) a současně ve sloupcích ohodnocených 1 (r = 1, 2, 4), tj m (3) 21 = s 31 + s 32 + s 34 + s 51 + s 52 + s 54 + s 61 + s 62 + s 64 = 3 Po výpočtu zbývajících prvků získáme skutečně matici M 3 = a po vynásobení této matice zprava diagonální čtvercovou maticí s prvky 1, 1 3, 1 3, 1 na diagonále i matici K 3 Pojďme ještě odhalit vztah Kravčukových a Sylvesterových Kacových matic, čímž dokončíme propojení všechny tříd matic uvedených v článku Vzpomínáte na neodtajněné tajemství? Na transformační matici A ze vztahu AJ n = C n A tvořenou vlastními vektory Sylvesterovy Kacovy matice C n? Matici A již známe, není to totiž nic jiného než Kravčukova matice K n! Složky každého z n + 1 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 99 Strana 99 (verze )

20 vlastních vektorů matice C n jsou, vybereme-li vlastní vektory začínající prvkem 1, právě koeficienty Kravčukovy matice pro j = 0, 1,, n Například pro n = 3 tedy platí K 3 J 3 = C 3 K 3 : Závěr = = Zavzpomínejme na závěr na všechny definované třídy matic Představme si je jako města na mapě a projděme znovu cesty, po nichž můžeme tato místa navštívit Za výchozí stanoviště pro zdolání túry je dobré zvolit Sylvesterovy Hadamardovy matice S 2 n řádu 2 n, které jsou součástí aglomerace matic Hadamardových Od matic S 2 n lze s pomocí dvojkové přeřazovací funkce vystoupat k symetrickým Kravčukovým maticím M n řádu n + 1, od nichž vede nenáročná cesta s jedinou překážkou v podobě násobení vhodnou diagonální maticí ke Kravčukovým maticím K n řádu n+1 Do cíle, ke Sylvesterovým Kacovým maticím C n řádu n+1, dospějeme nepříliš znaveni pomocí vztahu C n = K n J n Kn 1, kde Jordanovy kanonické tvary J n sestavíme velice jednoduše s využitím věty o vlastních číslech matic C n Poděkování Děkuji touto cestou doc Antonínu Slavíkovi, doc Jindřichu Bečvářovi a rovněž mně neznámému recenzentovi za přečtení předchozí verze textu a za následné cenné připomínky L i t e r a t u r a [1] Bose, N: Digital filters: theory and applications North-Holland, Amsterdam, 1985 [2] Feinsilver, P, Kocik, J: Krawtchouk matrices from classical and quantum random walks In Viana, M A G, Richards, D P (eds): Algebraic Methods in Statistics and Probability, AMS, 2001, [3] Feinsilver, P, Kocik, J: Krawtchouk polynomials and Krawtchouk matrices In Baeza- Yates, R, Glaz, J, Gzyl, H, Hüsler, J, Palacios, J L (eds): Recent Advances in Applied Probability, Springer-Verlag, Boston, 2005, [4] Hadamard, J: Résolution d une question relative aux déterminants Bull des Sci Math 17 (1893), [5] Horadam, K J: Hadamard matrices and their applications Princeton University Press, Princeton, 2006 [6] Kac, M: Random walk and the theory of Brownian motion Amer Math Monthly 54 (1947), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 100 (verze )

21 [7] Kac, M: Probability and related topics in physical sciences Interscience Publishers, New York, 1959 [8] Kharaghani, H, Tayfeh-Rezaie, B: A Hadamard matrix of order 428 J Comb Des 13 (2005), [9] Kocik, J: Krawtchouk matrices, Feynman path integral and the split quaternions In Budzban, G, Hughes, H R, Schurz, H (eds): Probability on algebraic and geometric structures, AMS, 2016, [10] Krawtchouk, M: Sur une généralisation des polynomes d Hermite C R Acad Sci 189 (1929), [11] Krawtchouk, M: Sur la distribution des racines des polynomes orthogonaux C R Acad Sci 196 (1933), [12] Lampio, P H J: Classificaton of difference matrices and complex Hadamard matrices Aalto University publication series Doctoral dissertations 177/2015, Helsinki, 2015 [13] Mitrouli, M: Sylvester Hadamard matrices revisited Spec Matrices 2 (2014), [14] O Connor, J J, Robertson, E F: Mark Kac Dostupné z [15] Paley, R E A C: On orthogonal matrices J Math Phys 12 (1933), [16] Seberry, J, Yamada, M: Hadamard matrices, sequences, and block designs In Stinson, D J, Dinitz, J (eds): Contemporary Design Theory A Collection of Surveys, John Wiley, 1992, [17] Schrödinger, R: Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung) Ann Phys 80 (1926), [18] Sylvester, J J: Théorème sur les déterminants Nouvelles Ann Math 13 (1854), 305 [19] Sylvester, J J: Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous signsuccessions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton s rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers Phil Mag 34 (1867), [20] Štěpánová, M: Olga Taussky-Todd: z Olomouce do Pasadeny PMFA 61 (2016), [21] Taussky-Todd, O, Todd, J: Another look at a matrix of Mark Kac Linear Algebra Appl 150 (1991), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 101 (verze )

22 Nobelova cena s dobře definovanou topologií Tomáš Rauch, Halle-Wittenberg; Milan Orlita, Grenoble, Praha Abstrakt Od publikace původních teoretických prací Davida Thoulesse, Duncana Haldana a Michaela Kosterlitze věnovaných topologii ve fyzice pevných látek uplynulo již více než třicet let Během této doby se studium tzv topologických materiálů stalo jedním z nejvýznamnějších směrů současné teoretické i experimentální fyziky A právě v minulém roce se autory těchto prací rozhodla ocenit švédská Královská akademie věd udělením Nobelovy ceny za fyziku V následujícím textu se pokusíme čtenářům ve zjednodušené podobě přiblížit roli topologie ve fyzice pevných látek i přínos laureátů Za první experimentální realizaci systému s netriviální topologií je dnes považován kvantový Hallův jev [16], [21], [2], který počátkem osmdesátých let minulého století objevil Klaus von Klitzing v grenobelské laboratoři silných magnetických polí při studiu elektrických vlastností kovových vrstev s tloušťkou nepřesahující několik nanometrů Pod vlivem magnetického pole dochází při průchodu proudu takto tenkou vrstvou k vytvoření Hallova napětí (obr 1a a 1b), které je stejně jako u klasického Hallova jevu přímo úměrné protékajícímu proudu Příslušná konstanta úměrnosti však u kvantového Hallova jevu nabývá pouze diskrétních hodnot, je tedy kvantována Toto kvantování dalo vzniknout samotnému názvu tohoto jevu, pro nás však bude důležitější si povšimnout, že elektrický proud vrstvou protéká pouze skrz jednosměrně vodivé kanály vytvořené působením magnetického pole na jejích hranách (obr 1c) Pokud jsou kraje vzorku zakřivené nebo pokud se na něm vyskytují nepravidelnosti či znečištění, tak se pro elektrický proud nic nezmění vždy bude přesně kopírovat hranu vzorku Díky tomuto prostorovému vymezení proudu, které je dáno tvarem (tedy topologií) zkoumaného systému, lze tenkou kovovou vrstvu v režimu kvantového Hallova jevu označit za topologický izolátor Toto pojmenování se dnes ve fyzice pevných látek vžilo pro třídu systémů, které mají podobně jako běžné izolátory zanedbatelnou elektrickou vodivost uvnitř materiálu, zato však dokáží vést elektrický proud svým povrchem (obr 2) V plochých, dvojrozměrných materiálech mají tyto povrchové vodivé stavy formu jednorozměrných kanálů, přičemž celková vodivost topologického izolátoru je pak dána jejich počtem A zde právě vstupuje do hry ona topologie, která objekty klasifikuje podle určitých kritérií měnících se pouze skokově Často používaný příklad je klasifikace geometrických objektů podle počtu děr Koule a krychle patří do jedné kategorie, nemají žádné díry Torus podobající se pneumatice spadá do jiné kategorie, protože má jednu díru Počet děr je v tomto případě topologickým invariantem veličinou, která zůstává při deformaci daného objektu konstantní Její hodnota se Dr rer nat Tomáš Rauch, Institute of Physics, Martin Luther University Halle-Wittenberg, Německo, tomasrauch@physikuni-hallede; RNDr Milan Orlita, PhD, Národní laboratoř silných magnetických polí, CNRS, Grenoble, Francie, Fyzikální ústav Univerzity Karlovy, Praha, Česká republika, milanorlita@lncmicnrsfr 102 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 102 (verze )

23 Obr 1 Geometrie měření Hallova jevu v tenkých vrstvách (a) Magnetické pole B kolmé k povrchu vzorku ovlivňuje protékající elektrický proud I za vzniku příčného Hallova napětí U H (b) Při běžném Hallově jevu je proud elektronů odkloněn magnetickým polem, přičemž na kraji vzorku vzniká elektrický náboj (c) V kvantovém Hallově jevu elektrický proud teče pouze jednosměrnými kanály na kraji vzorku, uvnitř materiálu elektrický proud neprochází Obr 2 Topologické izolátory jsou vodivé pouze podél svého okraje (viz dvojrozměrný případ vlevo) nebo na svém povrchu (trojrozměrný případ vpravo) může změnit, pouze když vznikne nová díra (nebo stará zmizí), je však vyloučeno, aby počet děr v daném objektu dosahoval například hodnoty n = ( ± ) [7] Topologické invarianty tedy nabývají, na rozdíl od řady jiných ve fyzice studovaných veličin, pouze celočíselných hodnot V roce 1982 David Thouless se svými kolegy ukázal, že oním topologickým invariantem je v případě kvantového Hallova jevu takzvané Chernovo číslo, celočíselná veličina, kterou je možné stanovit, jsou-li známé vlastnosti elektronů uvnitř studovaného materiálu [23] Chernovo číslo se při malé změně magnetického pole nemění Skoková změna jeho hodnoty je možná pouze při větších změnách magnetického pole, čímž se pozorovaný systém přesune do nové topologické kategorie, charakterizované novou celočíselnou hodnotou Chernova čísla Dále Thouless a kolegové ukázali, že Chernovo číslo je úměrné příčné vodivosti, jejíž kvantování objevil Klaus von Klitzing Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 103 (verze )

24 v roce 1980 V následujících letech pak bylo dokázáno, že Chernovo číslo je přesně rovno počtu vodivých povrchových kanálů [9] Tím se celý kruh uzavírá: měřené skokové hodnoty příčné vodivosti jsou dány Chernovým číslem, které zároveň odpovídá počtu povrchových kanálů Příčná vodivost v kvantovém Hallově jevu je tedy dána pouze povrchovými kanály, zatímco uvnitř zůstává měřený vzorek izolující Tento princip, typický pro všechny topologické izolátory, se v anglicky psané literatuře nazývá bulkboundary correspondence a popisuje propojení elektronových stavů uvnitř materiálu (charakterizovaných Chernovým číslem) s vodivými stavy na jeho povrchu (s daným počtem povrchových kanálů) [8] Dalším krokem na cestě k dnešním topologickým materiálům byla práce Duncana Haldana z roku 1988, ve které na příkladu zjednodušeného modelu ukázal, že teorie nevylučuje možnost realizovat kvantový Hallův jev i bez přítomnosti vnějšího magnetického pole [6] V Haldanově modelu existují malé oblasti se střídajícím se směrem magnetizace Celková magnetizace ale zůstává nulová, podobně jako u antiferomagnetických materiálů Haldane ukázal, že u elektronů v jím uvažovaném modelu může Chernovo číslo nabývat pouze hodnot C = 0, ±1 To znamená, že je tedy buď kompletně izolující (pro C = 0), nebo na jeho kraji existuje jeden kanál, ve kterém elektrony obíhají systém v matematicky kladném (C = 1) nebo záporném (C = 1) směru Vyneseme-li závislost Chernova čísla na vnitřních parametrech Haldanova modelu, dostaneme topologický fázový diagram, ve kterém jsou jednotlivé oblasti (tzv topologické fáze) charakterizovány určitou hodnotou Chernova čísla V dané topologické fázi je studovaný systém vždy uvnitř izolantem a případně má vodivé kanály na svém okraji Pouze na hranici mezi dvěma topologickými fázemi se během topologického fázového přechodu nakrátko stane vodivým celý systém Tato vlastnost je opět typická pro všechny druhy pozorovaných topologických izolátorů Aktuální směr výzkumu topologických materiálů byl dále ovlivněn poznatky o novém způsobu přenosu informace spinu Zatímco v běžné elektronice se využívá transportu náboje elektronů, který je pro všechny elektrony identický (q = e), cílem nového oboru, spintroniky, je využití transportu spinu, který (zjednodušeně) může nabývat hodnot ±s (obr 3a) V nemagnetických materiálech je počet elektronů se spinem +s a s stejný, a pohybují-li se tyto elektrony stejným směrem, vzniká elektrický proud (obr 3b) Pokud se ale podaří poslat elektrony s opačným spinem do opačných směrů, vznikne spinový proud, zatímco elektrický proud je nulový (obr 3c) Toho se dá dosáhnout například ve spinovém Hallově jevu, který je obdobou klasického Hallova Obr 3 (a) Všechny elektrony nesou stejný náboj e, ale mohou mít různý spin ±s (b) Dva elektrony s opačným spinem se pohybují stejným směrem Výsledkem je elektrický proud I c (c) Dva elektrony s opačným spinem se pohybují opačným směrem Výsledkem je spinový proud I s 104 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 104 (verze )

25 Obr 4 Kvantový spinový Hallův jev Elektrony se pohybují po okraji vzorku, směr pohybu závisí na orientaci spinu jevu s tím rozdílem, že podélný elektrický proud v tomto případě v tenkém materiálu vyvolává příčný proud spinový [3] Spinový Hallův jev lze pozorovat v polovodičových strukturách [15], [24], ale také v těžkých kovech, například v mědi nebo platině První topologický izolátor dnes nejběžnějšího typu, tedy kompletně bez magnetizace nebo vnějšího magnetického pole, byl navržen v roce 2005 Charlesem Kanem a Eugenem Melem [14] V této důležité práci její autoři navázali na výsledky Duncana Haldana Zjednodušeně se Kaneův Meleho model, jak je dnes běžně nazýván, skládá ze dvou kopií Haldanova modelu, z nichž každá popisuje elektrony s opačným směrem spinu Výsledkem je topologický izolátor, jehož topologické fáze jsou charakterizovány takzvaným Z 2 topologickým invariantem ν Symbol Z 2 značí, že povolené jsou pouze dvě celočíselné hodnoty ν = 0 nebo 1 V případě ν = 0 model popisuje normální izolátor bez speciálních povrchových kanálů Pro ν = 1 mají elektrony uvnitř systému izolující vlastnosti, avšak na jeho okraji opět existují robustní vodivé kanály, které není možné jednoduše zničit Na rozdíl od kvantového Hallova jevu zde povrchové kanály vždy existují v párech Elektrony se spinem +s systém obíhají v jednom směru, zatímco elektrony se spinem s se pohybují v opačném směru (obr 4) Je tedy realizována situace z obr 3c, kde je možné pozorovat spinový proud, zatímco elektrický proud je nulový V tomto typu topologických izolátorů je tedy prakticky realizován kvantový spinový Hallův jev Ještě ve stejném roce Kane a Mele navrhli grafen jako materiál, ve kterém by bylo možné tento jev pozorovat [13] Jejich návrh se však neukázal jako experimentálně schůdný, neboť vyžadoval provedení experimentů za extrémně nízkých teplot, navíc na nereálně kvalitním grafenu První topologický izolátor existující za nulového magnetického pole tak byl realizován ve zcela jiném systému v tenkých vrstvách polokovu HgTe při teplotě rovné 30 mk Podařilo se to na univerzitě ve Würzburgu ve skupině vedené Laurensem Molenkampem [17], která prokázala existenci jednorozměrných vodivých kanálů s vlastnostmi odpovídajícími předpovědím Kanea a Meleho Za další milník ve fyzice topologických materiálů lze určitě považovat rok 2007, kdy došlo k zobecnění konceptu topologického izolátoru do tří dimenzí [5], [19] Topologická klasifikace trojrozměrných materiálů je možná za pomoci čtyř Z 2 invariantů (ν 0 ; ν 1 ν 2 ν 3 ) Jsou-li všechny invarianty nulové, jedná se o běžný izolátor bez specifických povrchových stavů V případě ν 0 = 1 pak obvykle mluvíme o tzv silném topologickém izolátoru, kdy trojrozměrný materiál nevede žádný elektrický proud svým Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 105 (verze )

26 Obr 5 Lineární disperze povrchového stavu v Bi 2Te 3 [20] Energie E v závislosti na vlnovém vektoru k = (k x, k y) na povrchu Bi 2Te 3 (pro volné částice je vlnový vektor přímo úměrný hybnosti) objemem, ale přesto zůstává vodivým na celém svém povrchu (obr 2 vpravo) Jiné kombinace nenulových invariantů pak mohou dát vzniknout slabému topologickému izolátoru, kdy se vodivé stavy vyskytují pouze na části povrchu Elektrony nacházející se v těchto povrchových stavech vykazují řadu neočekávaných vlastností Závislost jejich energie na hybnosti (disperze) není kvadratická, jak je obvyklé v klasické fyzice, ale lineární (obr 5) Podobně jako v grafenu tak elektrony na povrchu trojrozměrných topologických izolátorů připomínají nehmotné relativistické částice Na rozdíl od grafenu však není jejich pohyb nezávislý na projekci spinu elektrony pohybující se opačným směrem vykazují opačnou orientaci spinu Pravděpodobně nejznámějšími zástupci silných topologických izolátorů jsou polovodiče s relativně úzkým pásem zakázaných energií jako Bi x Sb 1 x, Bi 2 Te 3 a Bi 2 Se 3 [10], [25], [28] Paradoxně se jedná o materiály známé ve fyzice pevných látek minimálně několik desítek let a intenzivně zkoumané kvůli neobvyklým termoelektrickým vlastnostem Existence jejich zajímavých povrchových stavů však zůstala překvapivě dlouho utajena Jedním z nejdůležitějších konceptů, které je potřeba při studiu topologických materiálů zohlednit, je symetrie V případě výše diskutovaných typů topologických izolátorů se jedná o symetrii obrácení času Přítomnost magnetického pole tuto symetrii narušuje Elektron pohybující se v magnetickém poli po kruhové trajektorii se při obrácení času nebude pohybovat po této trajektorii zpět, jak by tomu bylo při zachování této symetrie Narušení symetrie obrácení času je jednou ze základních podmínek pro existenci kvantového Hallova jevu Pokud je tato symetrie zachována, potom pro Chernovo číslo vždy dostaneme pouze triviální hodnotu C = 0 Zachování symetrie obrácení času je ale podmínkou pro existenci silných a slabých topologických izolátorů Narušení této symetrie magnetickým polem zruší možnost definovat Z 2 topologické invarianty Ukazuje se, že různé symetrie zkoumaného systému jsou pevně spojeny s existencí topologických invariantů, které daný systém topologicky klasifikují Kromě symetrie obrácení času se v kontextu topologických izolátorů velmi často diskutují také 106 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 106 (verze )

27 symetrie krystalické mřížky [4], nejčastěji zrcadlová symetrie, jež umožňuje izolátory klasifikovat podle dalšího topologického invariantu: zrcadlového Chernova čísla [22] I v případě těchto takzvaných topologických krystalických izolátorů existují na některých jejich površích povrchové elektrony se zajímavými vlastnostmi Jedná se například o relativně jednoduchou možnost narušení krystalických symetrií deformací krystalu Potom je možné studovat vliv narušení symetrie na topologické vlastnosti a povrchové elektrony topologických izolátorů Jedním z nejčastěji studovaných zástupců této třídy topologických izolátorů je SnTe [11] Dalším významným krokem je nedávný objev kovových materiálů s netriviální topologií elektronových stavů, konkrétně trojrozměrných Diracových a Weylových polokovů Ačkoliv tyto materiály, podobně jako topologické izolátory, vykazují charakteristické povrchové stavy dané jejich topologií, pozornost se soustřeďuje především na elektronové stavy uvnitř těchto krystalů, které jsou na rozdíl od topologických izolátorů schopné vést elektrický proud Elektrony v Diracových polokovech (např v Cd 3 As 2 nebo Na 3 Bi [18], [12]) totiž připomínají nehmotné částice v kvantové relativistické elektrodynamice (analogie je u těchto trojrozměrných systémů výrazně hlubší než u dvojrozměrného grafenu) a jejich pohyb je popsán Diracovou rovnicí Pohyb elektronů ve Weylových polokovech (např TaAs nebo NbAs [27, 26]) je naproti tomu popsán rovnicí Weylovou, která v kvantové teorii pole popisuje částice s poločíselným spinem a definovanou helicitou (chiralitou) Takové částice dosud nebyly ve skutečném světě relativistických částic objeveny a jejich realizace v pevné látce přináší překvapivou možnost testování některých specifických teoretických předpovědí kvantové teorie pole (např chirální anomálie [1]) v laboratořích fyziky pevných látek V nedávné době se stalo neblahým zvykem posuzovat význam vědeckých objevů především dopadem jejich využití v praxi, a to nejlépe v podobě kvalifikovaných odhadů růstu hrubého domácího produktu Využijme tedy příležitosti a zdůrazněme, že původní práce laureátů Nobelovy ceny za fyziku pro rok 2016, motivované pouze a jen vědeckou zvědavostí a intuicí, by se tehdy v této optice nutně musely jevit jako zcela nepraktické nebo snad dokonce zbytečné S odstupem více než třiceti let se však ukazuje, že právě tyto nepraktické výsledky dnes výrazně proměňují náš pohled na pevné látky Umožnily hlubší pochopení mnohých jejich vlastností a vedly také k objevu řady nových fyzikálních jevů Bez přehánění tak lze říci, že pochopení topologických vlastností látek bude mít zásadní dopad na budoucí aplikační výstupy fyziky pevné fáze, ať již budou jakékoliv Ostatně již dnes existují užitečné aplikace topologických materiálů Snad nejznámějším je realizace etalonu elektrického odporu na základě kvantového Hallova jevu L i t e r a t u r a [1] Adler, S L: Axial-vector vertex in spinor electrodynamics Phys Rev 177 (1969), [2] Avron, J E, Osadchy, D, Seiler, R: A topological look at the quantum Hall effect Physics Today 56 (2003), [3] D yakonov, M I, Perel, V I: Possibility of orienting electron spins with current Sov Phys JETP Lett 13 (1971), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 107 (verze )

28 [4] Fu, L: Topological crystalline insulators Phys Rev Lett [online] 106 (2011), paper No [5] Fu, L, Kane, C, Mele, E: Topological insulators in three dimensions Phys Rev Lett [online] 98 (2007), paper No [6] Haldane, F D M: Model for a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed- -matter realization of the parity anomaly Phys Rev Lett 61 (1988), [7] Haldane, F D M: Topological states of quantum condensed matter Plenary talk at APS March Meeting (2017) [8] Hasan, M, Kane, C: Colloquium: topological insulators Rev Modern Phys 82 (2010), [9] Hatsugai, Y: Chern number and edge states in the integer quantum Hall effect Phys Rev Lett 71 (1993), [10] Hsieh, D, Qian, D, Wray, L, Xia, Y, Hor, Y S, Cava, R J, Hasan, M Z: A topological Dirac insulator in a quantum spin Hall phase Nature 452 (2008), [11] Hsieh, T H, Lin, H, Liu, J, Duan, W, Bansil, A, Fu, L: Topological crystalline insulators in the SnTe material class Nature Comms [online] 3 (2012), paper No 982 [12] Jeon, S, Zhou, B B, Gyenis, A, Feldman, B E, Kimchi, I, Potter, A C, Gibson, Q D, Cava, R J, Vishwanath, A, Yazdani, A: Landau quantization and quasiparticle interference in the three-dimensional Dirac semimetal Cd 3As 2 Nature Mater 13 (2014), [13] Kane, C L, Mele, E J: Quantum spin Hall effect in graphene Phys Rev Lett [online] 95 (2005), paper No [14] Kane, C L, Mele, E J: Z 2 topological order and the quantum spin Hall effect Phys Rev Lett [online] 95 (2005), paper No [15] Kato, Y K, Myers, R C, Gossard, A C, Awschalom, D D: Observation of the spin Hall effect in semiconductors Science 306 (2004), [16] Klitzing, K von, Dorda, G, Pepper, M: New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance Phys Rev Lett 45 (1980), [17] König, M, Wiedmann, S, Brüne, C, Roth, A, Buhmann, H, Molenkamp, L W, Qi, X-L, Zhang, S-C: Quantum spin Hall insulator state in HgTe quantum wells Science 318 (2007), [18] Liu, Z K, Zhou, B, Zhang, Y, Wang, Z J, Weng, H M, Prabhakaran, D, Mo, S-K, Shen, Z X, Fang, Z, Dai, X, Hussain, Z, Chen, Y L: Discovery of a three-dimensional topological Dirac semimetal, Na 3Bi Science 343 (2014), [19] Moore, J E, Balents, L: Topological invariants of time-reversal-invariant band structures Phys Rev B [online] 75 (2007), paper No [20] Rauch, T, Flieger, M, Henk, J, Mertig, I, Ernst, A: Dual topological character of chalcogenides: theory for Bi 2Te 3 Phys Rev Lett [online] 112 (2014), paper No [21] Středa, P: Kvantové Hallovy jevy PMFA 44 (1999), [22] Teo, J, Fu, L, Kane, C: Surface states and topological invariants in three-dimensional topological insulators: Application to Bi 1 xsb x Phys Rev B [online] 78 (2008), paper No Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 108 (verze )

29 [23] Thouless, D J, Kohmoto, M, Nightingale, M P, Nijs, M den: Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential Phys Rev Lett 49 (1982), [24] Wunderlich, J, Kaestner, B, Sinova, J, Jungwirth, T: Experimental observation of the spin-hall effect in a two-dimensional spin-orbit coupled semiconductor system Phys Rev Lett [online] 94 (2005), paper No [25] Xia, Y, Qian, D, Hsieh, D, Wray, L, Pal, A, Lin, H, Bansil, A, Grauer, D, Hor, Y S, Cava, R J, Hasan, M Z: Observation of a large-gap topological-insulator class with a single Dirac cone on the surface Nature Phys 5 (2009), [26] Xu, S-Y, Alidoust, N, Belopolski, I, Yuan, Z, Bian, G, Chang, T-R, Zheng, H, Strocov, V N, Sanchez, D S, Chang, G, Zhang, C, Mou, D, Wu, Y, Huang, L, Lee, C-C, Huang, S-M, Wang, B, Bansil, A, Jeng, H-T, Neupert, T, Kaminski, A, Lin, H, Jia, S, Hasan, M Z: Discovery of a Weyl fermion state with Fermi arcs in niobium arsenide Nature Phys 11 (2015), [27] Yang, L X, Liu, Z K, Sun, Y, Peng, H, Yang, H F, Zhang, T, Zhou, B, Zhang, Y, Guo, Y F, Rahn, M, Prabhakaran, D, Hussain, Z, Mo, Z-K, Felser, C, Yan, B, Chen, Y L: Weyl semimetal phase in the non-centrosymmetric compound TaAs Nature Phys 11 (2015), [28] Zhang, H, Liu, C-X, Qi, X-L, Dai, X, Fang, Z, Zhang, S-C: Topological insulators in Bi 2Se 3, Bi 2Te 3 and Sb 2Te 3 with a single Dirac cone on the surface Nature Phys 5 (2009), Poznámka redakce: O Nobelově ceně pro D J Thoulesse, F D M Haldana a J M Kosterlitze jsme čtenáře informovali v předchozím čísle PMFA v článku J Rose: Nobelova cena za fyziku v roce 2016 podivné jevy v plochém světě Příspěvek Nobelova cena s dobře definovanou topologií přináší poněkud odlišný úhel pohledu na tzv topologické materiály Pochází od autorů, kteří se v problematice dobře orientují: M Orlita působí jako vědecký pracovník v Laboratoři silných magnetických polí CNRS v Grenoblu a na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy, kde se zabývá experimentálním studiem magneto-optických vlastností materiálů s topologicky netriviální strukturou elektronových stavů T Rauch je vědecký pracovník ve Fyzikálním institutu Univerzity Martina Luthera v německém Halle Pomocí teoretických modelů hledá materiály s netriviálními topologickými vlastnostmi; počítá jejich topologické invarianty, ověřuje existenci povrchových stavů a zkoumá jejich chování při změně okolních podmínek (např deformace materiálu nebo působení magnetického pole) Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 109 (verze )

30 Mince zajímají nejen numismatiky Ľubomíra Dvořáková, Marie Dohnalová, Praha Abstrakt V článku představíme dva druhy úloh týkajících se platby mincemi, které souvisejí s optimalitou počtu použitých mincí V případě problému platby (říká se také rozměňování anglicky change making problem), tj skládání částky z mincí bez možnosti vracení, jsou úlohy spojené s optimalitou dobře prozkoumané Analogické úlohy zformulujeme pro směnu, tj skládání částky z mincí s možností vracení Zde zůstává naopak řada problémů otevřená Úvod Už jste někdy přemýšleli o výhodách a nevýhodách hodnot českých mincí? Platíme každou částku relativně nízkým počtem mincí? Lze takové výhodné platby provádět hladovým algoritmem? Nevyplatilo by se do českého systému nějakou minci přidat? Bylo výhodné ukončit v roce 2008 platnost padesátníku? A co když porovnáme české koruny s americkými centy, eury nebo některými exotickými měnami? Budou v nějakých ohledech české koruny výhodnější? Tyto a podobné otázky si klade první z autorek [2] Ke studiu této problematiky byl inspirací článek M Klebera a kol [6] V tomto textu se ovšem téměř odpoutáme od běžně používaných systémů mincí a budeme studovat problematiku obecněji V první části se budeme věnovat reprezentaci částek při platbě, zavedeme a prozkoumáme optimální reprezentaci a s ní související optimální systémy mincí Dále se budeme zabývat hladovou reprezentací a s ní spjatými optimálními hladovými systémy Vyšetříme vztah mezi optimálními a hladovými reprezentacemi u běžně používaných systémů mincí Dále uvedeme některé výsledky týkající se výpočetní složitosti nejznámějších platebních problémů Ve druhé části definujeme směnu a zformulujeme pro ni analogické pojmy jako pro platbu Uvedeme, které problémy zůstávají v případě směny otevřené, a zmíníme, jaké výsledky z teorie numeračních systémů by mohly pomoci při jejich řešení 1 Platba Platbou rozumíme, vágně řečeno, skládání částky pomocí mincí o předepsaných hodnotách Definice 1 Mějme D N, e 1, e 2,, e D N (mince), kde 1 = e 1 < e 2 < < e D, a dále n N 0 (částka) Pokud n = D i=1 a ie i, kde a i N 0, pak konečnou posloupnost (a D,, a 2, a 1 ) nazveme reprezentací částky n (při platbě) 1 Říkáme, že tato reprezen- 1 Často budeme pro jednoduchost nazývat reprezentací přímo zápis ve tvaru D i=1 a ie i Doc Ing Ľubomíra Dvořáková, PhD, Katedra matematiky FJFI ČVUT v Praze, Trojanova 13, Praha 2, lubomiradvorakova@fjficvutcz, Marie Dohnalová, gymnázium EDUCAnet Praha, Roztylská 1, Praha 4, mariedohnalova21@gmailcom 110 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 110 (verze )

31 tace je optimální (nebo minimální ), pokud součet koeficientů D i=1 a i je minimální mezi všemi reprezentacemi částky n Příklad 1 Uvažujeme-li české mince o hodnotách e 1 = 1, e 2 = 2, e 3 = 5, e 4 = 10, e 5 = 20 a e 6 = 50 korun, pak 30 = = 30 1, tedy (0, 1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 0, 30) jsou příklady reprezentací částky 30 Kč, přičemž první z nich je optimální Jak uvidíme za chvíli, v případě českých korun má každá částka jedinou optimální reprezentaci Nemusí tomu tak ovšem být vždy Máme-li mince o hodnotách e 1 = 1, e 2 = 2, e 3 = 3, e 4 = 4, potom 5 = = , tedy optimální reprezentace částky 5 jsou (1, 0, 0, 1) i (0, 1, 1, 0) Pro zajištění jednoznačnosti optimální reprezentace se obvykle definice doplňuje tak, že optimání reprezentací rozumíme lexikograficky největší 2 z reprezentací, které obsahují minimální počet mincí V předchozím příkladě je tedy optimální reprezentací částky 5 při takto rozšířené definici reprezentace (1, 0, 0, 1) Přirozenou úlohou je hledání systémů mincí, kde průměrný počet mincí použitých v optimálních reprezentacích je minimální Zavedeme takové systémy formálně Definice 2 Mějme D N a dále N N Pak systém e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < < e 2 < < e D, nazveme optimální (pro platbu), jestliže minimalizuje hodnotu výrazu N 1 1 (počet mincí v optimální reprezentaci n pro mince e 1, e 2,, e D ) N n=0 Minimální hodnotu výše uvedeného výrazu označíme P opt (D, N) Autoři [6] v běžně používaných systémech mincí volí za N hodnotu nejnižší bankovky Pro české mince je tedy N = 100, pro americké centy taktéž N = 100 (kovový dolar je spíše raritou) My se této konvence přidržíme (Samozřejmě by bylo možné nerozlišovat mince a bankovky a např pro český peněžní systém položit N = 5000) Právě fakt, že pro čtyři mince a částky 0 až 99 je optimální systém složen z mincí o hodnotách 1, 5, 18, 25 (viz tab 1), vysvětluje název článku What this country needs is an 18 piece [6] V americkém systému mincí o hodnotách 1, 5, 10, 25 centů by pro zajištění optimality stačilo nahradit desetník hodnotou 18 Dá se ale očekávat, že k tomu nikdo jiný než matematici nebude svolný Hledat optimální reprezentace částek není obvykle jednoduchá úloha K její výpočetní složitosti se zanedlouho dostaneme Představme nyní jeden typ reprezentací, které se hledají snadno Definice 3 Mějme D N, e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < e D, a dále n N 0 Reprezentaci (a D,, a 2, a 1 ) nazveme hladovou reprezentací částky n (při platbě), pokud je získaná následujícím hladovým algoritmem: 2 Říkáme, že posloupnost (a D,, a 2, a 1 ) je lexikograficky větší než (b D,, b 2, b 1 ), pokud jsou tyto posloupnosti navzájem různé a nejvyšší index j, kde se liší, splňuje a j > b j Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 111 (verze )

32 počet mincí D hodnoty P opt (D, 100) 3 1, 12, 19 5,15 4 1, 5, 18, 25 3,89 4 1, 5, 18, 29 3,89 5 1, 5, 16, 23, 33 3,29 6 1, 4, 6, 21, 30, 37 2,92 6 1, 5, 8, 20, 31, 33 2,92 Tab 1 Optimální systémy pro platbu částek 0 až 99 (N = 100) pro počet mincí D {3, 4, 5, 6} získané počítačovým programem 1 Položíme i = D, a D = = a 1 = 0 2 Vypočítáme celočíselný podíl k = n e i a položíme a i = k 3 Určíme zbytek n a i e i 4 Pokud je zbytek nenulový, položíme n rovno zbytku, snížíme i o jedničku a pokračujeme bodem 2, jinak jsme našli hladovou reprezentaci Hladová reprezentace je vždy jediná Z popsaného algoritmu je vidět, že hladová reprezentace je lexikograficky největší ze všech reprezentací Příklad 2 Uvažujeme-li české koruny, pak hladovým algoritmem dostaneme 30 = , tj hladová reprezentace částky 30 je rovna (0, 1, 1, 0, 0, 0) a splývá s optimální reprezentací Tato situace nastává pro všechny částky, což lze ověřit pomocí Pearsonova algoritmu (viz část 11) V jiných systémech mincí ale nemusí být optimální a hladová reprezentace vždy totožné Například pro optimální systém čtyř mincí e 1 = 1, e 2 = 5, e 3 = 18, e 4 = 25 máme 36 = 2 18 = , přičemž první reprezentace (0, 2, 0, 0) je optimální a druhá (1, 0, 2, 1) je hladová Opět se nabízí úloha hledat systémy mincí, kde průměrný počet mincí použitých v hladových reprezentacích je minimální Definujme takové systémy formálně Definice 4 Mějme D, N N Pak systém e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < < e D, nazveme optimální hladový (pro platbu), jestliže minimalizuje hodnotu výrazu N 1 1 (počet mincí v hladové reprezentaci n pro mince e 1, e 2,, e D ) N n=0 Minimální hodnotu výše uvedeného výrazu označíme P hlad (D, N) V tab 2 uvádíme optimální hladové systémy pro 3 až 6 mincí Zajímavou úlohou je zkoumat systémy mincí, v nichž splývá optimální a hladová reprezentace každé částky V příkladu 2 jsme zmiňovali, že pro české koruny tomu 112 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 112 (verze )

33 počet mincí D hodnoty P hlad (D, 100) 3 1, 5, 22 (23) 5,26 4 1, 3, 11, 37 (38) 4,10 5 1, 3, 7, 16, 40 (41) 3,46 5 1, 3, 7, 18, 44 (45) 3,46 5 1, 3, 8, 20, 44 (45) 3,46 6 1, 2, 5, 11, 25, 62 (63) 3,13 6 1, 2, 5, 13, 29, 64 (65) 3,13 Tab 2 Optimální hladové systémy pro platbu částek 0 až 99 (N = 100) pro počet mincí D {3, 4, 5, 6} získané počítačovým programem Když existuje více optimálních hladových systémů a liší se pouze v nejvyšší minci, uvádíme hodnotu různých variant nejvyšší mince v závorce Žádný ze systémů není zároveň optimální tak je, ale uváděli jsme zároveň příklad systému, kde tomu tak není V dalším textu představíme Pearsonův algoritmus, který umožňuje pro daný systém mincí efektivně rozhodnout, zda se optimální a hladová reprezentace vždy shodují Právě tento algoritmus nám umožnil prozkoumat chování běžně používaných systémů mincí Vyšetřovali jsme systémy mincí celkem 195 států (těch, které USA uznávají za nezávislé státy) a zdá se, že podmínka, aby optimální reprezentace šlo počítat hladovým algoritmem, tj aby optimální a hladové reprezentace všech částek splývaly, hraje důležitou roli při volbě systémů mincí K neshodě optimálních a hladových reprezentací dochází pouze pro: západoafrický frank (např Benin, Burkina Faso, Pobřeží slonoviny): mince jsou v hodnotách 1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 250 a 500 franků a k neshodě dochází poprvé pro částku 400 franků, jejíž optimální reprezentace je a hladová reprezentace je ; jamajský dolar: mince jsou v hodnotách 1, 10, 25, 50 centů a 1, 5, 10, 20 dolarů a k neshodě dochází poprvé pro částku 30 centů, jejíž optimální reprezentace je 3 10 a hladová reprezentace je ; malgašský ariar (Madagaskar): mince jsou v hodnotách 1 a 2 iraimbilanja a 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50 ariary, přičemž 1 ariar = 5 iraimbilanja, a k neshodě dochází poprvé pro částku 8 ariarů, jejíž optimální reprezentace je 2 4 a hladová reprezentace je ; somoni (Tádžikistán): mince jsou v hodnotách 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50 diramů a 1, 3, 5 somoni, přičemž 1 somoni = 100 diramů, a k neshodě dochází poprvé pro částku 40 diramů, jejíž optimální reprezentace je 2 20 a hladová reprezentace je Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 113 (verze )

34 11 Složitost některých platebních problémů Hledat optimální reprezentace a optimální systémy mincí je časově náročná úloha O výpočetní složitosti těchto problémů jsou známy následující skutečnosti (detaily jsou k nalezení v [6]): Otázka: Mějme D N, e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < e D, a n N Jak těžké je najít optimální reprezentaci n? Odpověď: Pokud za velikost vstupu považujeme délku binárního zápisu n, pak není znám rychlý algoritmus Lueker [8] dokázal, že tento problém je NP-těžký Pokud ovšem za velikost vstupu považujeme přímo číslo n, pak pomocí dynamického programování získáme algoritmus výpočetní složitosti O(nD) s paměťovou náročností O(n) operující s čísly velikosti O(n) (např Wright [10]) Otázka: Mějme D N, e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < e D, a n N Jak těžké je rozhodnout, zda je stejná optimální a hladová reprezentace n? Odpověď: Podobně jako v předchozí otázce záleží na tom, zda uvažujeme délku binárního zápisu či velikost n V prvním případě není znám rychlý algoritmus Kozen a Zachs [7] dokázali, že tento problém je conp-úplný Ve druhém případě samozřejmě z předchozí odpovědi plyne, že pomocí dynamického programování získáme algoritmus výpočetní složitosti O(nD) s paměťovou náročností O(n) operující s čísly velikosti O(n) Otázka: Mějme D N, e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < e D Jak těžké je zjistit, zda je stejná optimální a hladová reprezentace každé částky n N? (Takovým systémům mincí se někdy říká kanonické) Odpověď: Existuje Pearsonův algoritmus, který provádí O(D 3 ) aritmetických operací s čísly velikosti O(e D ) Tato odpověď možná překvapí Jsou k tomu dva důvody Algoritmus neklade žádné omezení na reprezentované částky n A dále je zajímavé, že rozhodování pro jednu konkrétní částku n (viz předchozí otázku) je složitější než rozhodování pro všechny částky Popišme stručně, jak Pearsonův algoritmus [9] funguje: Pokud nesplývá pro každou částku optimální a hladová reprezentace, pak existují i, j N, kde 1 j i < D, taková, že a j,, a i jsou koeficienty určené hladovou reprezentací e i+1 1 = i k=1 a ke k a optimální reprezentace nejmenšího protipříkladu je tvaru: { a i e i + + a j+1 e j+1 + (a j + 1)e j pro j < i, n = (1) (a j + 1)e j pro j = i Testujeme tedy všechna i, j připadající v úvahu a hledáme nejmenší n ve tvaru (1), pro které počet mincí v hladové reprezentaci je větší než počet mincí v reprezentaci (1), tj než (a j + 1) + a j a i Pokud takové n najdeme, pak jde o nejmenší částku, jejíž optimální a hladová reprezentace nesplývá Pokud takové n nenajdeme, pak splývají optimální a hladové reprezentace všech částek 114 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 114 (verze )

35 Příklad 3 V příkladu 2 jsme ukazovali, že v optimálním systému čtyř mincí e 1 = 1, e 2 = 5, e 3 = 18, e 4 = 25 nejsou optimální a hladová reprezentace vždy totožné Konkrétně jsme jako protipříklad uváděli částku 36 centů Nyní vyšetříme Pearsonovým algoritmem, zda je tento protipříklad minimální Máme 1 j i < 4, tedy je třeba uvažovat uspořádané dvojice (j, i) {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3)} Podtržením jsme zvýraznili kandidáty na protipříklad částku n a její eventuální optimální reprezentaci: Pro i = 1 máme hladovou reprezentaci e i+1 1 = 4 = 4 1, tj a i = 4 Zřejmě platí j = 1, tudíž a j = a i = 4 a n = 5 = 5 1 Pro i = 2 máme hladovou reprezentaci e i+1 1 = 17 = , tj a i = 3 Dále rozlišíme dva případy: { 1, pak a i = a j+1 = 3, a j = 2 a n = 18 = , j = 2, pak a i = a j = 3 a n = 20 = 4 5 Pro i = 3 máme hladovou reprezentaci e i+1 1 = 24 = , tj a i = 1 Dále rozlišíme tři případy: 1, pak a i = a j+2 = 1, a j+1 = 1, a j = 1 a n = 25 = , j = 2, pak a i = a j+1 = 1, a j = 1 a n = 28 = , 3, pak a i = a j = 1 a n = 36 = 2 18 Pouze v případech částek 28 a 36 používá hladová reprezentace více mincí než reprezentace z výše uvedeného seznamu kandidátů Hladová reprezentace částky 28 je totiž rovna , tedy používá čtyři mince, zatímco reprezentace 28 = používá tři mince a je optimální Částka 28 je tudíž nejmenší částkou, pro niž hladová a optimální reprezentace nesplývají Příklad 4 Ukažme si využití Pearsonova algoritmu k zodpovězení otázky, zda splývají optimální a hladové reprezentace všech částek pro systém mincí v hodnotách 1, b, b 2,, b D 1, kde b > 1 Pokud by existovala částka, pro niž se liší optimální a hladová reprezentace, pak by nejmenší takový protipříklad měl tvar: { (b 1)e i + + (b 1)e j+1 + be j pro j < i, n = (2) be j pro j = i, protože hladová reprezentace e i+1 1 = b i 1 je i 1 k=0 (b 1)bk = i k=1 (b 1)e k Není těžké si rozmyslet, že n = e i+1 Odtud ale plyne, že hladová (i optimální) reprezentace n obsahuje jedinou minci, a to e i+1, což je méně než b+(b 1)(i j) (počet mincí v reprezentaci (2)) Proto optimální i hladové reprezentace všech částek splývají Ještě efektivnější algoritmus výpočetní složitosti O(D 2 ) pracující s čísly velikosti O(e D ) rozhodující, zda je daný systém mincí kanonický, je popsán v [3] Rozhodne ovšem pouze pro systémy, pro něž minimální částka mající odlišnou optimální a hladovou reprezentaci je velikosti alespoň e D Dále jsou zde popsány nutné a postačující podmínky rozhodující o tom, zda daný systém čtyř či pěti mincí je kanonický Postačující podmínky pro kanoničnost systémů o libovolném počtu mincí jsou uvedeny v [1] a [3] Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 115 (verze )

36 2 Směna Dalším problémem souvisejicím s placením mincemi je také směna, kdy připouštíme i možnost vracení Definice 5 Mějme D N, e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < e D, a n N 0 Pokud n = D i=1 a ie i, kde a i Z, pak (a D,, a 2, a 1 ) nazveme reprezentací částky n (při směně) Říkáme, že tato reprezentace je optimální, pokud D i=1 a i je minimální mezi všemi reprezentacemi částky n Příklad 5 Optimální reprezentace dané částky při směně používá samozřejmě méně nebo stejně mincí jako optimální reprezentace této částky při platbě Např pro české koruny máme: 8 = = ( 1) 2, přičemž první reprezentace je optimální při platbě a potřebuje tři mince a druhá je optimální při směně a potřebuje jen dvě mince Optimální reprezentace nemusí být jednoznačná Jednak může nejednoznačnost plynout už z nejednoznačnosti při platbě Navíc může nejednoznačnost vzniknout připuštěním širší množiny koeficientů Např pro české mince je optimální reprezentace každé částky při platbě jednoznačná, ale optimální reprezentace částky 15 při směně má dvě možné podoby: 15 = ( 1) 5 = Navíc už není jasné, proč upřednostnit mezi všemi optimálními reprezentacemi lexikograficky největší Proč by např pro mince 1, 2, 98, 100 měla mít přednost reprezentace 2 = ( 1) 98 před 2 = 2 1? Poznamenejme, že pro optimální i hladovou reprezentaci při platbě platí následující tvrzení [9]: Jsou-li (a D,, a 2, a 1 ) a (b D,, b 2, b 1 ) posloupnosti s členy z N 0, a i b i pro každé i {1, 2,, D} a je-li (a D,, a 2, a 1 ) optimální, resp hladová reprezentace, potom (b D,, b 2, b 1 ) je také optimální, resp hladová reprezentace Tato vlastnost se při směně nezachovává a není známa žádná podobná vlastnost Analogicky jako v případě platby nás mohou zajímat systémy mincí, kde průměrný počet mincí použitých v optimálních reprezentacích je minimální Definice 6 Mějme D, N N Pak systém e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < < e D, nazveme optimální (pro směnu), jestliže minimalizuje hodnotu výrazu N 1 1 (počet mincí v optimální reprezentaci n při směně pro mince e 1, e 2,, e D ) N n=0 Minimální hodnotu výše uvedeného výrazu označíme P opt-směna (D, N) V tab 3 uvádíme optimální systémy pro směnu pro 3 až 6 mincí Opět platí, že pro hledání optimální reprezentace nemáme k dispozici rychlý algoritmus, proto se pokusíme najít jednoduchou reprezentaci, která se nabízí jako analogie hladové reprezentace 116 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 116 (verze )

37 počet mincí D hodnoty P opt-směna (D, 100) 3 1, 18, 29 3,96 3 1, 20, 28 3,96 4 1, 21, 26, 35 3,12 5 1, 7, 25, 42, 47 2,74 5 1, 9, 22, 42, 48 2,74 5 1, 11, 27, 44, 47 2,74 5 1, 11, 31, 44, 48 2,74 5 1, 11, 34, 40, 49 2,74 5 1, 15, 26, 43, 49 2,74 5 1, 26, 30, 40, 47 2,74 5 1, 27, 31, 36, 48 2,74 6 1, 8, 21, 38, 44, 49 2,49 Tab 3 Optimální systémy pro směnu částek 0 až 99 (N = 100) pro počet mincí D {3, 4, 5, 6} získané počítačovým programem Definice 7 Mějme D N, e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < e D, a n N 0 Reprezentaci (a D,, a 2, a 1 ) nazveme hladovou reprezentací částky n (při směně), pokud je získaná následujícím zobecněným hladovým algoritmem: 1 Položíme a D = = a 1 = 0 a e D+1 = + 2 Pokud n = 0, máme hladovou reprezentaci n a končíme 3 Je-li n kladné, najdeme j {1,, D} takové, že e j n e j+1, a rozlišíme tři případy: pokud n e j < e j+1 n, zvětšíme a j o jedničku a zbytek položíme roven n e j, pokud n e j > e j+1 n, zvětšíme a j+1 o jedničku a zbytek položíme roven n e j+1, pokud n e j = e j+1 n, pak buď zvětšíme a j o jedničku a zbytek bude n e j, nebo zvětšíme a j+1 o jedničku a zbytek bude n e j+1 4 Je-li n záporné, najdeme j {1,, D} takové, že e j n e j+1, a rozlišíme tři případy: pokud n e j < e j+1 n, zmenšíme a j o jedničku a zbytek položíme roven n + e j, pokud n e j > e j+1 n, zmenšíme a j+1 o jedničku a zbytek položíme roven n + e j+1, pokud n e j = e j+1 n, pak buď zmenšíme a j o jedničku a zbytek bude n + e j, nebo zmenšíme a j+1 o jedničku a zbytek bude n + e j+1 5 Položíme n rovno zbytku a pokračujeme bodem 2 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 117 (verze )

38 Zobecněný hladový algoritmus v každém kroku reprezentuje absolutní hodnotu zbývající částky nejbližší větší či menší mincí (na rozdíl od hladového algoritmu, který v každém kroku bere nejbližší menší minci) Příklad 6 Hladová reprezentace při směně už nemusí být jednoznačná Uvažujeme-li například české koruny, pak hladové reprezentace částky 35 jsou hned čtyři: 35 = , 35 = ( 1) 5, 35 = ( 1) 10 + ( 1) 5, 35 = ( 1) Čtenář si ale snadno dokáže (třeba pomocí indukce), že pro danou částku obsahuje každá hladová reprezentace stejný počet mincí Zatímco každá reprezentace při platbě je zároveň reprezentací při směně, a tudíž optimální reprezentace dané částky při směně používá maximálně tolik mincí jako optimální reprezentace této částky při platbě, pro hladovou reprezentaci už toto není pravda Existují systémy mincí takové, že některé částky obsahují v hladové reprezentaci při směně více mincí než v hladové reprezentaci při platbě Např pro systém mincí e 1 = 1, e 2 = 3, e 3 = 5, e 4 = 10 máme 8 = , 8 = ( 2) 1 = ( 1) , přičemž první reprezentace obsahuje dvě mince a je hladová při platbě a další dvě obsahují tři mince a jsou hladové při směně Opět jsme vyšetřovali systémy mincí, kde průměrný počet mincí použitých v hladových reprezentacích při směně je minimální Definice 8 Mějme D, N N Pak systém e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < < e D, nazveme optimální hladový (pro směnu), jestliže minimalizuje hodnotu výrazu N 1 1 (počet mincí v hladové reprezentaci n při směně pro mince e 1, e 2,, e D ) N n=0 Minimální hodnotu výše uvedeného výrazu označíme P hlad-směna (D, N) V tab 4 uvádíme optimální hladové systémy pro směnu pro 3 až 6 mincí 3 Podobně jako v případě platby by nás mohlo zajímat, kdy splývá optimální a hladová reprezentace při směně Protože nyní není ani optimální ani hladová reprezentace 3 Údaje ve všech tabulkách byly získány pomocí počítačových programů v jazyce Java V případě optimálních hladových systémů trval výpočet pro 3 až 6 mincí řádově minuty Pro optimální systémy byly výsledky pro 3 a 4 mince získány v řádu minut, pro 5 mincí v řádu desítek minut, pro 6 mincí v řádu hodin Pro hledání optimálních reprezentací bylo využito dynamické programování založené na faktu, že chceme-li získat optimální reprezentaci částky n, bude to optimální reprezentace některé z částek n e i, kde i {1,, D}, po přidání mince v hodnotě e i Postupně jsme tedy přidávali po jedné minci k již nalezeným optimálním reprezentacím a získávali tak optimální reprezentace vyšších částek, přičemž stačilo zaznamenávat počty mincí v reprezentacích 118 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 118 (verze )

39 počet mincí D hodnoty P hlad-směna (D, 100) 3 1, 6, 31 (32, 33) 4,14 4 1, 4, 13, 47 (48) 3,31 4 1, 4, 14, 47 3,31 4 1, 4, 15, 47 (48) 3,31 5 1, 2, 7, 23, 74 2,92 6 1, 2, 7, 12, 41, 70 (80) 2,69 6 1, 2, 7, 12, 51, 80 2,69 Tab 4 Optimální hladové systémy pro směnu částek 0 až 99 (N = 100) pro počet mincí D {3, 4, 5, 6} získané počítačovým programem Když existuje více optimálních hladových systémů a liší se pouze v nejvyšší minci, uvádíme hodnotu různých variant nejvyšší mince v závorce dána jednoznačně, je nejprve třeba upřesnit, co budeme vlastně vyšetřovat Uvažujme D N, systém e 1, e 2,, e D N, kde 1 = e 1 < e 2 < < e D, a částku n N 0 Shrňme si, co víme, a závěrem z poznatků odvodíme otázky ke zkoumání Je zřejmé z definice 6, že každá optimální reprezentace n při směně obsahuje stejný počet mincí; označme jej K Zmiňovali jsme, že každá hladová reprezentace n při směně obsahuje stejný počet mincí; označme jej M Pokud K = M, potom každá hladová reprezentace n je zároveň optimální Pokud K < M, potom žádná hladová reprezentace n není optimální Nyní můžeme zkoumat, který z následujících případů pro částku n platí: 1 K = M a existuje optimální reprezentace, která není hladová (řekneme, že optimální a hladové reprezentace částky n splývají částečně) 2 K = M a navíc množina optimálních reprezentací a množina hladových reprezentací jsou stejné (optimální a hladové reprezentace částky n splývají zcela) 3 K < M (optimální a hladové reprezentace částky n nesplývají ) Příklad 7 Uvažujme mince e 1 = 1, e 2 = 3, e 3 = 5, e 4 = 10 Potom 8 = je optimální reprezentace při směně, která není hladová při směně (K = 2) Dále 8 = ( 2) 1 je hladová reprezentace při směně, která není optimální při směně (M = 3) Pro částku 8 nastává tedy případ 3 Příklad 8 Uvažujme mince e 1 = 1, e 2 = 2, e 3 = 3, e 4 = 5, e 5 = 8 Potom 7 = ( 1) 1 je hladová reprezentace při směně, která je zároveň optimální při směně (K = M = 2) Zároveň ale 7 = je optimální reprezentace při směně, která není hladová při směně Pro částku 7 nastává případ 1 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 119 (verze )

40 21 Otevřené problémy pro směnu Článek zakončíme shrnutím otázek týkajících se směny, na něž nám nejsou známy odpovědi 1 Existuje analogie Pearsonova algoritmu pro směnu? Tedy existuje efektivní algoritmus, který pro daný systém rozhodne, zda splývají optimální a hladové reprezentace všech částek (ať už zcela, nebo částečně)? 2 Splývá optimální a hladová reprezentace každé částky při směně: (a) v systému mincí 1, b, b 2,, b D 1, kde b > 1 (ať už zcela, nebo částečně)? Algoritmus pro hledání jedné optimální reprezentace každé částky je známý [5] (b) v systému mincí v hodnotách Fibonacciho čísel 1, 2, 3, 5, 8, (a to částečně, protože zcela nesplývají, viz příklad 8)? Algoritmus pro hledání jedné optimální reprezentace každé částky je známý [4] 3 Lze najít postup pro výpočet reprezentace s vlastnostmi lepšími než hladová reprezentace? Lepšími vlastnostmi rozumíme: (a) Reprezentace bude vždy používat menší nebo stejný počet mincí jako hladová reprezentace při platbě dané částky (b) Postup pro získání reprezentace bude jednoznačný a efektivně proveditelný Poděkování Děkujeme recenzentům za podnětné připomínky, jež pomohly podstatně zlepšit srozumitelnost článku, a to zejména v oblasti týkající se výpočetní složitosti L i t e r a t u r a [1] Adamaszek, M, Niewiarowska, A: Combinatorics of the change-making problem Eur J Comb 31 (2010), [2] Balková, Ľ, Šťastná, A: Jsou české mince optimální? Rozhledy matematicko-fyzikální 90 (2015), [3] Cai, X: Canonical coin systems for change-making problems International Conference on Hybrid Intelligent Systems 1 (2009), [4] Heuberger, C: Minimal expansions in redundant number systems: Fibonacci bases and greedy algorithms Period Math Hung 49 (2004), [5] Heuberger, C, Prodinger, H: On minimal expansions in redundant number systems: Algorithms and quantitative analysis Computing 66 (2001), [6] Kleber, M, Shallit, J, Vakil, R: What this country needs is an 18 piece Math Intell 25 (2003), [7] Kozen, D, Zaks, S: Optimal bounds for the change-making problem Theoret Comput Sci 123 (1994), [8] Lueker, G S: Two NP-complete problems in nonnegative integer programming Technical Report TR-178, Computer Science Laboratory, Department of Electrical Engineering, Princeton University, March 1975 [9] Pearson, D: A polynomial-time algorithm for the change-making problem Oper Res Lett 33 (2005), [10] Wright, J W: The change-making problem J Assoc Comput Mach 22 (1975), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 120 (verze )

41 Role polymerních membrán v obnovitelných zdrojích energie Martin Tomáš, Tomáš Remiš, Plzeň Abstrakt První syntézy polymerů otevřely širokou oblast nových materiálů, které mají řadu pozoruhodných vlastností Polymery se snadno uplatnily v našem každodenním životě, příkladem může být teflon, polystyren či polyethylentereftalát (PET láhve) Cílem tohoto článku je ukázat možnosti využití polymerních membrán, které často tvoří nedílnou součást velmi zajímavých a perspektivních zařízení Článek se soustředí na polymerní membrány (PEM proton exchange membrane) používané ve vodíkových palivových článcích, elektrolyzérech, v jednotkách pro výrobu ozónu a ve vanadových bateriích Syntéza a modifikace těchto materiálů jsou z fyzikálního pohledu nad rámec tohoto článku, akcentován bude spíše princip činnosti jednotlivých zařízení 1 Vodíkové palivové články Základní informace o vodíkových palivových článcích byly publikovány například ve skvělé Larminieho knize [10], v češtině pak i v tomto časopise [15] Ústřední komponentu palivových článků obvykle tvoří porézní polymerní membrána ve formě tenkého filmu na bázi teflonu, která odděluje část redukční od části oxidační Jen z tohoto popisu je zřejmé, že membrána je vystavena chemicky agresivnímu prostředí Odolnost vůči těmto vlivům je zásadním požadavkem, který polymerní membrána musí splňovat Podstatné jsou ale její elektrické vlastnosti Pro elektrony musí tvořit neprostupnou bariéru, zatímco kladně nabité částice (v tomto případě protony) musí odvádět z anodické části na katodickou Stěny pórů membrány obsahují záporně nabité skupiny SO 3, které umožňují pohyb kladně nabitých částic Na pohybu částic se podílejí i další mechanismy, jako je difuze či elektroosmóza Palivový článek funguje na základě rozkladu molekul vodíku na anodické části, kde se oddělují elektrony a jádra vodíku (protony) Elektrony jsou odváděny do vnějšího okruhu a mohou konat práci Na katodické části dochází, díky elektronům z vnějšího okruhu, k podobnému rozkladu molekul kyslíku, které se v přítomnosti přivedených vodíkových protonů a elektronů slučují do elektricky neutrálních molekul vody Vznikající voda je důležitou součástí fungování palivového článku Nezavlhčená membrána není protonově vodivá Přílišné množství vznikající vody však může ucpat přívody paliva a článek tak neposkytuje požadovaný výkon Nároky na membránu jsou tedy poměrně značné V současnosti se jako standard v této oblasti používá membrána typu Nafion, která je tvořena dlouhými řetězci tetrafluoretylénu se začleněnými postranními perfluorovinyleterovými skupi- PhDr Martin Tomáš, PhD, Mgr Tomáš Remiš, Nové technologie výzkumné centrum, Západočeská univerzita v Plzni, Veleslavínova 42, Plzeň, {mtomas,tremis}@ntczcucz Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 121 (verze )

42 nami ([11] a odkazy v této publikaci) Jednotlivé boční řetězce jsou zakončeny skupinou SO 3, která tvoří povrch pórů uvnitř membrány Póry jsou za provozu vyplněny vodou, a tak je umožněn přenos protonů z anody na katodu Vznikající voda může být při vysokých výkonech problematická, byla tedy vyvinuta membrána, která odolá teplotám nad 100 C, což umožní vodě snadno opustit palivový článek ve formě páry Membrána Nafion se pro tyto účely nehodí, protože není nad teplotou 120 C stabilní Využit byl tedy mimo jiné další polymer polybenzimidazol (PBI) [18] Tento polymer skvěle odolává zvýšeným teplotám a dokonce se používal jako ochranný materiál v hasičských oblecích či ve skafandrech pro pobyt v kosmu Vysoké protonové vodivosti se dosahuje dopováním PBI kyselinou fosforečnou Vysokoteplotní vodíkové palivové články jsou výhodnějším typem palivového článku, protože zvýšení teploty pozitivně ovlivňuje kinetiku chemických reakcí, toleranci k nečistotám (např oxid uhelnatý) a využitelnost odpadního tepla [8] Membrány v palivových článcích jsou vystaveny některým problémům, které limitují jejich využití [4] Především se jedná o chemickou stabilitu membrány Během reakcí uvnitř palivového článku dochází k tvorbě nežádoucích produktů, jako jsou peroxid vodíku či kyselina sírová Tyto sloučeniny mohou narušit strukturu membrány a vytvořit drobné trhliny, kde dochází k přímému styku vodíku a kyslíku Palivo reaguje silně exotermickou reakcí, což ještě dále zhoršuje situaci Trhlina se tak šíří a vede k fatálnímu selhání palivového článku Během činnosti palivového článku dochází též k tzv Fentonově reakci, což je produkce velmi reaktivních hydroxylových a hydroperoxylových radikálů Tyto radikály napadají makromolekuly polymeru a způsobují jejich rozpad Dlouhodobý vliv těchto radikálů vede k úplné degradaci materiálu membrány 2 PEM elektrolýza Elektrolýza vody je jedním ze způsobů výroby vodíku a kyslíku Reakce vedoucí k rozdělení molekuly vody není energeticky příliš výhodná, vodík je tedy pro účely palivových článků a dalších aplikací vyráběn jiným procesem Příkladem může být reformace zemního plynu, která ovšem produkuje vodík s malým množstvím nečistot (sirovodík, oxid uhelnatý a oxid uhličitý) Tyto nečistoty jsou pro palivový článek silně toxické a způsobují tzv otravu článku V budoucnu se předpokládá využití vodíku, který bude produkován vysokoteplotní elektrolýzou během činnosti jaderných reaktorů 4 generace Vysokoteplotní elektrolýza umožní přeměnu přebytečného tepla z reaktoru a jeho udržení v optimálních provozních podmínkách Nevýhodnost reakce je vyvážena pozitivními dopady zařazení tohoto typu elektrolýzy do systému Klasická elektrolýza využívá vysokých proudových hustot k výrobě vodíku a kyslíku, a proto se o jejím uplatnění hovoří především v souvislosti s obnovitelnými zdroji elektrické energie [2] Princip jednotek pro elektrolýzu je stejný jako v případě palivových článků [6] Celé zařízení jen funguje opačně (obr 1) Molekuly vody jsou rozděleny na ionty kyslíku a vodíku, přičemž vodíkový proton opět putuje přes membránu Výsledné produkty se tak tvoří v oddělených oblastech a není problém je jímat a uskladňovat Oba produkované plyny navíc dosahují vysoké čistoty Pro reakci je však nutné dodávat elektrický proud a složení elektrod je v případě jednotek pro elektrolýzu odlišné od elektrod pro palivové články Nicméně i v tomto směru byl učiněn pokrok a byl sestaven tzv regenerativní palivový článek [1], který kombinuje obě zařízení V případě dodávání 122 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 122 (verze )

43 Obr 1 Schematický popis PEM elektrolýzy elektrického proudu článek produkuje vodík a kyslík, zatímco při zásobování pracovními plyny vyrábí článek elektrický proud Tyto regenerativní palivové články mají ovšem problémy s životností a pro praktické aplikace se tak stále používají oddělené palivové články a elektrolyzéry U všech těchto zařízení je možné zvyšovat účinnost snižováním tloušťky membrány Proto jsou užívány membrány s typickou tloušťkou cca 50 µm Tyto membrány jsou pak velmi náchylné k mechanickému poškození a tvorbě trhlin V případě elektrolyzéru je velmi důležitým parametrem čistota vstupní vody I velmi malé množství minerálů či kovových částic vede k prudkému poklesu životnosti membrány Technologicky výhodné je spojení elektrolyzéru, palivového článku a solární či větrné elektrárny do systému, který nezatěžuje rozvodnou elektrickou síť takovým způsobem jako samotné obnovitelné zdroje bez implementovaných vodíkových technologií [9] Například u větrných elektráren vedou příznivé povětrnostní podmínky k vysokému výkonu dodávanému do rozvodné sítě, přičemž hrozí její kolaps Naopak, poptávka po elektrické energii nemusí být uspokojena za bezvětří Tento problém lze řešit konverzí elektrické energie na vodík pomocí elektrolyzéru V případě nedostatku elektrické energie lze dříve vyrobený vodík opět využít v palivovém článku a produkovat elektrickou energii pro pokrytí aktuální poptávky Výhodou uvedeného systému konverze na vodík je možnost uskladnění a odložení spotřeby, což je u samotné elektrické energie z obnovitelných zdrojů ze zřejmých důvodů vyloučeno Nezbytným předpokladem pro fungování takového systému je schopnost skladování velkého množství vodíku za vysokých tlaků Kupodivu i při řešení tohoto problému se mohou uplatnit polymerní membrány Pomineme-li náročnou konstrukci nádoby ke skladování vodíku, pak dalším problematickým bodem bývá ukládání vodíku do nádoby pod požadovaným vysokým tlakem Pro velké objemy vodíku se stále jeví jako nejvýhodnější varianta využití klasického Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 123 (verze )

44 Obr 2 Schéma vodíkového kompresoru mechanického kompresoru Pomocí polymerní membrány ale můžeme sestrojit kompresor (obr 2) neobsahující žádné pohyblivé části a založený na elektrochemických reakcích popsaných v předchozím textu Uprostřed kompresoru je opět membrána typu Nafion či PBI s anodickou katalytickou vrstvou rozkládající dvouatomové molekuly vodíku na protony a elektrony Pokud je do zařízení dodáván elektrický proud, protony putují přes membránu na katodickou stranu, kde v katalytické vrstvě tvoří opět molekuly vodíku Dochází tak k akumulaci vodíku na katodické straně a mimo jiné k produkci vodíku bez nečistot Vysoký gradient tlaku způsobuje tzv zpětnou difúzi vodíku, která snižuje účinnost kompresoru Při zapojení několika jednotek do série lze dosáhnout skutečně vysokých tlaků (patentováno bylo zařízení s výstupním tlakem 857 bar [12]) 3 Vanadové baterie Dalším typem zařízení, kde nacházejí uplatnění polymerní membrány, jsou vanadové průtočné baterie Tento typ baterií využívá kapalného elektrolytu s obsahem vanadu, který se vyskytuje ve čtyřech oxidačních stavech [14] Elektrolyt proudí k aktivní oblasti ze zásobníku a cirkulace je zajištěna čerpadly (obr 3) Celé zařízení funguje na základě změny oxidačních stavů vanadu a elektrolyt tedy tvoří směs různých stavů téže látky oddělených polymerní membránou Mezi jednotlivými oxidačními stavy dochází 124 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 124 (verze )

45 k přechodům, které uvolňují či spotřebovávají protony resp elektrony Můžeme je zapsat chemickými rovnicemi VO 2+ + H 2 O e VO H+, E 0 = 0,99V vs SHE, (1) V 3+ + e V 2+, E 0 = 0,26V vs SHE, (2) kde E 0 značí standardní elektrodový potenciál a SHE standardní vodíkovou elektrodu Velmi zjednodušeně můžeme tento potenciál chápat jako elektrické napětí mezi elektrodou umístěnou v elektrolytu a etalonem (SHE), podrobnější popis nalezne čtenář například v publikaci [3] Reakce jsou řízeny nutným přechodem protonů přes polymerní membránu a pohybem elektronů ve vnějším okruhu Základním principem vanadových baterií je oddělení nosiče energie (elektrolytu) a oblasti, která poskytuje požadovaný výkon (elektrochemický článek obsahující membránu) [17] Elektrolyt je rozdělen na anolyt a katolyt a k jejich styku dochází kontrolovaně v elektrochemickém článku Chemické reakce (3) (6) spočívající ve změně oxidačního stavu jsou vratné a proces lze tedy libovolně měnit, což odpovídá nabíjení a vybíjení baterie (obr 3) Obecně lze chemické rovnice v baterii zapsat jako A n+ + xe A (n x)+ anoda, nabíjení, (3) A (n x)+ A n+ + xe anoda, vybíjení, (4) B m+ ye B (m+y)+ katoda, nabíjení, (5) B (m+y)+ B m+ ye katoda, vybíjení, (6) přičemž písmeny A a B označujeme oxidační stav vanadu (například A n+ = V 3+ ) Obr 3 Vanadová baterie se žlutě naznačenými čerpadly Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 125 (verze )

46 Kapacita vanadové baterie je dána velikostí nádob s elektrolytem a její výkon závisí na velikosti elektrochemického článku a jeho uspořádání Tato skutečnost vede k vysoké variabilitě baterií, které mohou velice efektivně skladovat i velké množství energie Opět se nabízí kombinace s obnovitelnými zdroji elektrické energie, jejichž aktuální výkon nelze predikovat [17] Jedna z výhod vanadové baterie spočívá v tom, že anolytem i katolytem jsou stejné materiály lišící se pouze oxidačními stavy Takové uspořádání nevede v případě průsaku z anodické strany na katodickou k nijak bouřlivým reakcím, pouze se sníží kapacita celé baterie K dalším výhodám patří možnost konstrukce baterií téměř libovolných rozměrů V neposlední řadě je potřeba zmínit skutečnost, že vanadové baterie dosahují skvělé odezvy a hodí se v situacích, kdy je potřeba do systému rychle dodat elektrickou energii Zařazením vanadové baterie dokáže systém reagovat na poptávku elektrické energie v řádu milisekund V úvahách o konstrukci soběstačných budov se plánuje využití tohoto typu baterie k vyrovnání výkonových špiček, kdy například vodíkový palivový článek není schopen dostatečně rychle dodat potřebnou energii [9] 4 Ozónolýza vody Poměrně závažným problém současnosti je biologická kontaminace vody V ČR je kvalita pitné vody na velmi vysoké úrovni, nicméně některé výrobní procesy vedou k znečištění vody biologickými polutanty, které je potřeba odstranit K těmto účelům se využívá mnoho typů filtrace, jedním z nejzajímavějších způsobů je však využití ozónu Molekula ozónu se rychle rozpadá a vzniklé vysoce reaktivní radikály napadají buněčnou stěnu biologických polutantů [7] Rozpadem ozónu (20 90 minut v závislosti na podmínkách) dochází i k odstranění čistící látky a vodu tedy není potřeba dále zpracovávat [5] Pokud je voda čištěna chlórem, hrozí navázání tohoto plynu na další látky ve vodě Výhodné je i rozpuštění ozónu přímo ve vodě, které je daleko efektivnější, než v případě výroby ozónu ve vzduchu a až následného sycení vody V současnosti jsou možnosti využití ozónu k čištění vody velmi dobře prozkoumány Ozón samotný se obvykle vyrábí tichým výbojem, okolo kterého proudí vzduch nebo čistý kyslík Koncentrace takto vyrobeného ozónu dosahuje v případě kyslíku přibližně 15 % hmotnosti v produkovaném plynu Je-li použit vzduch, klesá koncentrace na přibližně 2 % hmotnosti a hrozí vznik oxidů dusíku Průmyslová výroba ozónu a jeho následná distribuce je prakticky vyloučena, protože ve vysokých koncentracích je ozón silně výbušný a transport by byl příliš nebezpečný Ozón se tak vyrábí přímo v místech, kde bude využit Výroba ozónu s využitím polymerní membrány a vhodných elektrod je výhodnější než výroba tichým výbojem nebo UV absorpcí Princip elektrochemické výroby ozónu se příliš neliší od elektrolýzy Výroba kyslíku a vodíku z vody probíhá za nižších anodických potenciálů (7), se zvyšujícím se elektrodovým potenciálem začne převládat reakce (8): 2H 2 O O 2 + 4H + + 4e, E 0 = 1,229V, (7) 3H 2 O O 3 + 6H + + 6e, E 0 = 1,511V (8) Elektrody ve styku s polymerní membránou jsou obvykle kovové [16] V prvních pokusech byla využívána platina, další výzkum se soustředil na α-pbo 2 (ortorombická forma) a β-pbo 2 (tetragonální forma) Pro širší rozšíření elektrochemické ozónolýzy je 126 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 126 (verze )

47 platina nevhodná z důvodu vysoké ceny Skvělé vlastnosti oxidů olova poněkud zastiňuje zjištěné stopové množství olova ve vyčištěné vodě, což diskvalifikuje tento způsob čištění k získání pitné vody V současnosti se tedy využívají méně běžné materiály jako skelný uhlík či borem dopovaný diamant [13] 5 Závěr Polymerní membrány typu Nafion či PBI jsou součástí mnoha zajímavých zařízení a můžeme očekávat jejich další rozšíření Další odklon od fosilních paliv a snaha o stavbu soběstačných budov povede k širšímu využití vlastností těchto materiálů Kromě aplikací polymerních membrán v oblasti obnovitelných zdrojů energie je lze využít i při čištění vody či skladování vodíku Poděkování Autoři srdečně děkují recenzentům PMFA za jejich cenné připomínky, které výrazně zlepšily kvalitu výsledného textu Tento výsledek vznikl v rámci projektu CENTEM, reg č CZ105/2100/030088, který je spolufinancován z ERDF v rámci programu MŠMT OP VaVpI, a v jeho navazující fázi udržitelnosti je podpořen projektem CENTEM PLUS (LO1402) financovaným v rámci programu MŠMT NPU I L i t e r a t u r a [1] Barbera, O, et al: Energy and provision management study: A research activity on fuel cell design and breadboarding for lunar surface application supported by European Space Agency Int J Hydrogen Energ 39 (2014), [2] Barbir, F: PEM electrolysis for production of hydrogen from renewable energy sources Sol Energy 78 (2005), [3] Bard, A J, Inzelt, G, Scholz, F: Electrochemical dictionary Springer, Berlin, 2008 [4] Collier, A, et al: Degradation of polymer electrolyte membranes Int J Hydrogen Energ 31 (2006), [5] da Silva, A M, Santana, M H P, Boodts, J F C: Electrochemistry and green chemical processes: electrochemical ozone production Quim Nova 26 (2003), [6] Grigoriev, S A, Porembsky, V I, Fateev, V N: Pure hydrogen production by PEM electrolysis for hydrogen energy Int J Hydrogen Energ 31 (2006), [7] Han, S-D, et al: Electrochemical generation of ozone using solid polymer electrolyte Indian J Chem 43A (2004), [8] Chandan, A, et al: High temperature (HT) polymer electrolyte membrane fuel cells (PEMFC) A review J Power Sources 231 (2013), [9] Ipsakis, D, et al: Power management strategies for a stand-alone power system using renewable energy sources and hydrogen storage Int J Hydrogen Energ 34 (2009), [10] Larminie, D, Dicks, A: Fuel cell systems explained John Wiley, Chichester, 2003 [11] Mauritz, K A, Moore, R B: State of understanding nafion Chem Rev 104 (2004), [12] National Research Council of Canada: Electrochemical hydrogen compressor Wong, T Y H, Girard, F, Vanderhoek, T P K, č patentu WO 03/075379, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 127 (verze )

48 [13] Park, S G, et al: Use of boron-doped diamond electrode in ozone generation J New Mat Electrochem Systems 8 (2005), [14] Perry, M L, Weber, A Z: Advanced redox-flow batteries: a perspective J Electrochem Soc 163 (2016), A5064 A5067 [15] Tomáš, M, Novotný, P: Poznatky ze současného vývoje palivových článků PMFA 58 (2013), [16] Wang, Y-H, Chen, Q-Y: Anodic materials for electrocatalytic ozone generation Int J Hydrogen Energ 2013 (2013) [17] Weber, A Z, et al: Redox flow batteries: a review J Appl Electrochem 11 (2011), [18] Zhang, J, et al: High temperature PEM fuel cells J Power Sources 160 (2006), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 128 (verze )

49 Rozhovor s prof Vlastimilem Dlabem Jindřich Bečvář, Praha Abstrakt Rozhovor s jedním z našich nejúspěšnějších matematiků o jeho cestě životem a matematikou Vzpomínky na dětství, obecnou školu ve Bzí, gymnázium v Turnově, na studia na Přírodovědecké a Matematicko-fyzikální fakultě UK, na dlouhodobé pracovní pobyty v Súdánu a v Austrálii a na celoživotní působení na Carleton University v Kanadě O velice respektované výzkumné, výchovné i organizační práci v matematice, nejvýznamnějších matematických výsledcích a o přátelství se světovými matematiky postaveném na matematice a nejen na ní, ale také o vynucené ztrátě vazeb na domov a nepříliš zdařilých pokusech o jejich nové navázání Profesor Vlastimil Dlab se narodil 5 srpna 1932 v historické obci Bzí, která je dnes částí Železného Brodu 1 Po absolvování Matematicko-fyzikální fakulty UK v roce 1956 byl krátkou dobu zaměstnán v Československé akademii věd, v letech 1957 až 1970 byl asistentem, odborným asistentem a docentem MFF UK Roku 1959 obhájil kandidátskou disertační práci, roku 1961 se habilitoval, roku 1966 obhájil doktorskou disertační práci V letech 1959 až 1964 pracoval na univerzitě v Chartúmu (Súdán), kde získal PhD Ve školním roce 1964/65 přednášel na MFF základní kurs algebry a vedl seminář pro mladé pracovníky fakulty V letech 1965 až 1968 pracoval na Institute of Advanced Studies (Canberra, Austrálie), kam byl pozván profesorem Neumannem Jeho profesorské řízení mělo proběhnout na zasedání vědecké rady MFF UK v prosinci 1968 Vzhledem k anonymním udáním, která se mezitím objevila, se na cestě do vlasti rozhodl svůj návrat oddálit a přijmout nabídku profesorského místa na Carleton University (Ottawa, Kanada) s úkolem vybudovat zde postgraduální studium V letech 1971 až 1974 na Carletonu založil a vedl moderní katedru matematiky, která se stala brzy známou svými mezinárodně uznávanými úspěchy v algebře, pravděpodobnosti a statistice Roku 1977 byl zvolen řádným členem Kanadské akademie věd (Fellow of the Royal Society of Canada) Teprve počátkem osmdesátých let se mu podařilo jako cizinci vrátit se do vlasti, aby se setkal s vážně nemocným otcem Po roce 1989 přednesl na MFF UK cyklus přednášek určený studentům z celého Československa, roku 1991 zde organizoval mezinárodní Algebra Day Jeho druhé profesorské řízení proběhlo úspěšně na MFF UK v červnu roku 1992, ale završeno jmenováním nebylo V letním semestru 1998/99 profesor Dlab přednášel na MFF UK kurz M694 Teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber, aby se seznámil se zdejší úrovní výuky algebry V letech 2008 až 2012 vedl základní kurs algebry na Katedře didaktiky matematiky MFF UK 1 V D: Můj český pas nyní tvrdí, že jsem se narodil v Železném Brodě, pouze kanadský ukazuje, že jsem se narodil ve Bzí, na což jsem hrdý Doc RNDr Jindřich Bečvář, CSc, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Sokolovská 83, Praha 8, becvar@karlinmffcunicz Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 129 (verze )

50 Dlabovy matematické výsledky se týkají řady algebraických témat, pro většinu z nich znamenaly zásadní přínos Vyzvedněme zde jeho explicitní popis dědičných algeber a jejich bezprostředního vztahu k Dynkinovým diagramům, který byl průlomovým bodem celé teorie a stal se součástí základů teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber Dlabovy pozdější práce se věnují teorii reprezentací graduovaných algeber; pomocí pojmu stratifikace popisují jejich vztah k reprezentacím Lieových algeber Tyto výsledky přinesly prof Dlabovi pozvání k přednáškám na univerzitách všech kontinentů V letech 1973 až 1977 byl Vlastimil Dlab předsedou Research Committee Kanadské matematické společnosti Pracoval v řadě redakčních rad matematických časopisů V letech 1987 až 1994 byl vedoucím redaktorem časopisu Canadian Mathematical Journal, v letech 1997 až 2005 vedoucím redaktorem časopisu Comptes Rendus Mathematical Reports of the Canadian Academy of Science, který uvedl do současné podoby Stále pracuje v redakčních radách časopisů Algebras and Representation Theory, Algebra and Discrete Mathematics a Czechoslovak Mathematical Journal Pokroky matematiky, fyziky a astronomie přejí profesoru Dlabovi hodně zdraví, energie a životní pohody Zveřejňují rozhovor, který s ním v dubnu 2017 vedl Jindřich Bečvář 2 * * * * * * Milý Vlasto, rád bych Ti položil u příležitosti Tvého životního jubilea několik otázek Myslím, že Tvá životní pouť světem a matematikou je natolik pestrá, že bude zajímavá i pro čtenáře Pokroků Začali bychom v té nejvzdálenější době, ve Tvém dětství a raném mládí Jaká byla Tvá cesta ke vzdělání a hlavně k matematice? Velice rád si s Tebou popovídám Jen Tě musím varovat, že mi paměť již neslouží tak, jak jsem býval zvyklý Prosím Tě tedy o pochopení, že si na některé podrobnosti již nevzpomenu Zacházet do detailů však stejně není možné kvůli času a místu v časopisu Co se týče mého dětství, měl jsem to štěstí, že jsem je prožíval v širokém rodinném kruhu Moji sourozenci jsou mladší, takže v raném dětství byli mými kamarády strýc Pepík a strýc Jarka, kteří byli starší o 7 a 12 let Můj pradědeček pan Brožek, vrchní zahradník frýdlantského zámku, vybudoval ve Bzí známé zahradnictví, což bylo pro malého kluka království Vzpomínám na úžasnou volnost pohybu po celé jeho zahradě, na posezení ve vytápěném skleníku Chodíval jsem po zahradě, psal si nějaké poznámky (zda byly čitelné, už nevím), organizoval krámek s ovocem a s čímkoliv, co jsem sehnal Pradědeček zemřel, když mi byly čtyři roky V těch letech byl pro mne obrovsky inspirativní Pepíkův školní atlas, nad nímž jsem trávil téměř denně dlouhé hodiny Rodičům děkuji za mnoho Přivedli mě k tomu, abych se rád učil nové věci, takže když jsem šel v šesti letech do školy, uměl jsem již číst, psát a patrně dobře počítat Myslím, že mi proto první třída mnoho nového nedala Pamatuji ty nekonečné hodiny strávené opakovaným čtením krátkých pohádek, které jsem již uměl nazpaměť Asi mě to nudilo, vyrušoval jsem a od třídní a zároveň řídící učitelky Brožové jsem dostával 2 Připomeňme článek L Procházka: Šedesátiny profesora Vlastimila Dlaba, Mathematica Bohemica 117 (1992), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 130 (verze )

51 Obr 1 V Dlab s rodiči u rodného domu ve Bzí (1984) tresty Nicméně jsme ve škole cvičili paměť, což bylo mimořádně důležité i pro mou pozdější práci v matematice Od druhé třídy to již bylo zajímavější, naše třída byla spojena s vyššími ročníky (trojtřídka), a tak se ve vyučování dělo pro mne mnoho zajímavého Paní učitelka Hubená zavedla metodu soutěžení, a to udržovalo můj zájem Získávali jsme barevné čtverečky, které byly řazeny a vystavovány ve třídě na zdi; mohl jsem se srovnávat se staršími spolužáky Po čtyřech letech strávených ve škole ve Bzí jsem jeden rok chodil do hlavní školy v sousedním Huntířově, kde opět vládla soutěživost To už byl ve Bzí novým, osvíceným řídícím učitelem František Rieger Velkým přínosem školy však bylo podle mého názoru rozvíjení vztahů v dětské komunitě, zejména přátelských, které jsou důležité pro život, a pak také soutěživosti, která podmiňuje růst všestranné aktivity dítěte Myslím, že se dnes na tyto aspekty výuky a výchovy často zapomíná Největší vliv na mé začátky měl otec, který byl sklářem Naše soupeření v každém ohledu, ať to byly šachy, ping-pong, cokoliv jiného, ale především louskání různých příkladů a záhad, bylo mnohdy hodně napínavé a poučné Vzpomínám si, jak jsme spolu budovali pravidla zacházení se zlomky 3 3 Podotkněme, že i dnes dávají zlomky didaktikům možnost porovnávat schopnosti a kvality učitelů v různých zemích Z časopisu Matematika-fyzika-informatika 24 (2015), , se dozvídáme o studii provedené na univerzitě v Berkeley v San Francisku, podle níž dělení čísla 1 3/4 zlomkem 1/2 a vysvětlení výsledku 3 1/2 zvládlo pouze 5 procent amerických učitelů, zatímco v Číně 90 procent učitelů Autor uvádí, že podle jeho zjištění to v Česku zvládlo 35 procent učitelů Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 131 (verze )

52 Jak tehdy vypadalo studium na gymnáziu? Někdy v červnu/červenci 1943 byl v Pojizerských listech vyhlášen konkurs na pět míst v sekundě Turnovského gymnázia 4 Pan řídící Rieger přesvědčil otce, aby mne přihlásil Na malé vesnici Bzí, kde o gymnáziu nikdo nevěděl, to bylo velmi neobvyklé Přijímací zkoušky ze všech předmětů (včetně tělocviku 5 a náboženství) byly náročné Jedním předmětem, z něhož jsem měl dělat zkoušku, byla matematika To slovo jsem slyšel poprvé, ani otec nevěděl, co znamená V předcházejících ročnících jsme totiž měli Počty s naukou o tvarech měřických ( ), resp Počty s jednoduchým účetnictvím/rechnen in Verbindung mit einfacher Buchführung (1942/43) Teprve na gymnáziu byl předmět Mathematik (1943/44) Při zkoušce jsem obstál, byl jsem sice na 6 místě, ale přesto jsem mohl nastoupit; vzali mne však do primy, což se ukázalo jako ideální řešení Studium na gymnáziu pro mne, tehdy jedenáctiletého, znamenalo každý den absolvovat kromě cesty vlakem (z Líšného či Železného Brodu do Turnova a nazpět) více než 12 km pěšky, ať byl sníh a mráz, ať pršelo Vstával jsem kolem páté hodiny a přicházel domů pozdě odpoledne Během války byly tvrdé podmínky na známkování (šest stupňů) Ve třídě směly být na vysvědčení z jednotlivých předmětů jen dvě jedničky (sehr gut), a to my, kluci z vesnice, neměli šanci Myslím, že jsem tento hendikep vůči spolužákům z městské elity překonával určitým sebevědomím podloženým znalostmi, kterých jsem si byl vědom První gymnaziální jedničku jsem měl na vysvědčení až na konci sekundy, to bylo po válce, a omezující podmínka na počet jedniček neplatila Jsem velice vděčný svým učitelům, zejména skvělým učitelům matematiky (Vincent Maršálek, Josef Pour, Jaroslav Volf a především Tomáš Augustin) a fyziky (Václav Pelant) Vzpomínám však i na kulhavého profesora němčiny, jmenoval se Klouček, ale říkalo se mu Hefaist, který na nás pouštěl hrůzu: Když řeknu, že tabule je bílá, budete opakovat, že je bílá! Profesor Maršálek, když mě v roce 1943 zkoušel u přijímaček, patrně poznal, že i když slovo matematika neznám, počítat umím Později, při psaní hodinových matematických kompozic, mě po patnácti, dvaceti minutách s potěšením ze třídy vykazoval na chodbu, abych nepodporoval opisování S profesorem Volfem jsme v tercii celý rok počítali prakticky zaměřené příklady, především z fyziky, které vůbec nebyly triviální Byla to dobrá lekce směřující k praxi, k získání dobrého vztahu k předmětu Skvostem sboru byl profesor Augustin, který mne zavedl do říše matematiky nejdále Půjčoval mi kvalitní staré učebnice, podporoval mne v tom, abych k maturitě přiložil svou první matematickou práci Číslo kombinační klíčem k aritmetickým řadám vyšších stupňů; byla pozitivně ohodnocena na Karlově univerzitě Pamatuji se, že jsem v té době propočítal celou Bydžovského Sbírku úloh z matematiky a snažil se studovat Vojtěchovy Základy matematiky Maturovalo se povinně z pěti předmětů (čeština, ruština, občanská nauka, matematika, deskriptiva) Já maturoval navíc z fyziky, jelikož jsem uvažoval o jejím následném studiu Nakonec, patrně z lenosti, jsem se rozhodl pro matematiku Opakuji, z lenosti, neboť gymnazijní matematika může být jedním z nejlehčích předmětů, zábavou, stejně 4 Za války bylo české školství utlumeno V severní části protektorátu byla gymnázia v Turnově, Mladé Boleslavi, v Jičíně a Hradci Králové; v Jilemnici bylo zrušeno, protože se tam objevilo zesměšňování tehdy povinného pozdravu (hajlování) Každé gymnázium mělo v každém ročníku jen jednu třídu (30 žáků), nebyly paralelky 5 Z tělocviku jsem byl zkoušen z pravidel košíkové a z házení míče na koš Přitom jsem nevěděl, co je košíková 132 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 132 (verze )

53 jako luštění různých hádanek či sudoku Předpokládá však podporu plně kvalifikovaného učitele Velmi důležitým přínosem pro mé budoucí povolání byly kondice z matematiky, které jsem dával od kvarty Naučil jsem se vysvětlovat, nalézat různé způsoby znázornění jednoduchých i těžších faktů Finance z kondicí a odměny za účinkování v otcově tanečním orchestru (piano, klarinet, tenorsaxofon) posilovaly rodinný rozpočet Na jaře 1951 jsem maturoval a rozhodl se studovat fyziku, jak mi také radil profesor Augustin Silnou motivací pro mne bylo vítězství (bez jakýchkoli konzultací) v matematicko-fyzikální soutěži Rozhledů matematicko-přírodovědeckých v roce 1950/51 Začal jsi studovat ještě na Přírodovědecké fakultě Univerzity Karlovy, krátce poté vznikla Matematicko-fyzikální fakulta Co bylo pro Tebe z hlediska matematiky inspirativní? Měl jsem štěstí, že jsem se hlásil ke studiu a byl přijat v roce 1951 O dva roky později již byla situace jiná Moje mladší sestra Irena, která měla ke studiu stejné předpoklady jako já, na univerzitu z politických důvodů již přijata nebyla Po nástupu na fakultu jsem se rychle z fyziky přehlásil na matematiku, byl jsem zařazen do skupiny asi deseti studentů na zaměření Matematická analýza První semestr byl pro mne těžký Přestože jsem na střední škole studoval Vojtěcha a počítal příklady, přišel jsem na fakultu, aniž bych opravdu věděl, co vlastně matematika je Až v Praze jsem pochopil, že matematika není Bohem daná, jak jsem cítil na gymnáziu, ale že je to naše konstrukce, že již definice základních pojmů jsou úmluvami Nějakou dobu trvalo, než jsem se vyrovnal s řečí epsilon delta a porozuměl kuriozitám, jako je Thomaeho funkce, často zvaná Riemannova Uvědomil jsem si, že je sice nutné prověřit důkaz slovo od slova, řádek po řádku, ale skutečné porozumění je něco daleko hlubšího a subtilnějšího 6 Studium nebylo lehké, hodnocení bylo přísné, řada studentů během prvního roku odešla Na fakultě jsem se setkal s výraznými osobnostmi, které bych, mohu-li si to vůbec dovolit, stručně charakterizoval takto: Miloš Kössler dobrák, Vojtěch Jarník pedant, Miroslav Katětov funkcionář, Vladimír Kořínek naivní spravedlivý, Eduard Čech geniální kritik Velmi inspirativní byli Čech a Katětov, kteří matematiku na přednáškách tvořili Z jejich přednášek jsem se dozvěděl a naučil nejvíce Promyšlené a precizní byly Jarníkovy a Kořínkovy přednášky, i těžké věci se stávaly srozumitelnými V prvním ročníku jsem navštěvoval studentský zájmový kroužek, kde na nás měl velký vliv Ilja Černý Podnětné byly semináře Kořínkovy, Jarníkovy a Čechovy, navštěvoval jsem rovněž Čechův celostátní pokročilý seminář z algebraické geometrie, na který přijížděli i matematici z Brna a Bratislavy Později jsem po seznámení s prof Kurošem, prof Malcevem, prof Lavrentěvem, prof Gelfandem a prof Rudakovem často litoval, že jsem se tehdy (s velkým úsilím a s pomocí doc Karla Havlíčka) vyhnul studiu v Moskvě, které mi bylo začátkem univerzitního studia důrazně nabízeno Studium na fakultě se neobešlo bez studentského humoru Vzpomínám, že jsme jednou profesoru Kořínkovi, který místo slova zde užíval slovo zdehle, dali v květináči brambořík s nápisem: Zdehle v hlíně vězí hlíza, věnuje ji analýza 6 Henri Poincaré říkal: Logikou dokazujeme, ale intuicí objevujeme! Bez intuice není matematiky Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 133 (verze )

54 Roku 1956 jsi fakultu absolvoval Jak vypadalo Tvé ukončení studia, Tvá diplomová práce? V diplomové práci jsem řešil problémy okruhů endomorfismů Abelových grup Téma jsem si zvolil sám, byl jsem inspirován výsledky trojice skvělých maďarských algebraiků (Tibor Szele, Andor Kertész, Lásló Fuchs) Bohužel byl tehdy v Československu velmi omezený přístup k informacím (chyběly časopisy a osobní kontakty), takže jsem dospěl k řadě výsledků (vzpomínám si např na divizibilní obal Abelovy grupy), které již byly dobře známy Podstatné výsledky z mé diplomové práce nakonec vyšly německy 7 V závěru studia jsem byl na fakultě asistentem s polovičním úvazkem, vedl jsem cvičení z analýzy Současně jsem byl asistentem na ČVUT, kde jsem vyučoval matematiku pro architekty Padesátá léta přinesla mnoho změn, již jsme zmínili zrod Matematickofyzikální fakulty, vznikla však i Československá akademie věd, vědecká příprava byla podle sovětského vzoru organizována v rámci tzv aspirantury Jak to bylo s Tvým vstupem do života, s Tvou aspiranturou? Studium na fakultě jsem ukončil po devíti semestrech počátkem roku 1956 Katedra analýzy mi tehdy nezajistila slíbenou umístěnku, zapomněli na to Nakonec jsem se v únoru 1956 dostal do oddělení diferenciálních rovnic Matematického ústavu ČSAV k Jaroslavu Kurzweilovi Znali mne tam z mé praxe ve třetím ročníku Přitom jsem externě vedl výuku na fakultě Dne 1 ledna 1957 jsem přešel na asistentské místo na MFF UK Aspirantem jsem nikdy nebyl Když jsem se v závěru studia přihlásil do konkurzu, musel jsem se s omluvou rychle odhlásit, neboť jsem se dozvěděl, že byl vypsán pro někoho jiného Moje řízení pro získání CSc (první případ bez oficiální aspirantury) bylo administrativně složité, trvalo dva roky Kandidátskou práci Systémy generátorů Abelových grup jsem obhájil a CSc získal roku 1959 Examinátory při mé kandidátské zkoušce byli prof Kořínek, prof Čech a prof Jarník Vladimír Kořínek mi zadal ke studiu van der Waerdenovu monografii Moderne Algebra, Eduard Čech Samuelovu knihu Méthodes d algèbre abstraite en géométrie algébrique A brzy jsi vyrazil do světa V Praze se mi nedařilo sehnat byt a rozumným způsobem zajistit existenci V té době byl vypsán konkurs na pracovní pobyt v Chartúmu, nebyl však o něj zájem Po poradě s prof Kořínkem a prof Čechem jsem se rozhodl přihlásit, neboť jsem věděl, že v Chartúmu pracuje Daniel Pedoe Pohovor v Praze byl kuriózní Přijel se mnou pohovořit děkan tamní přírodovědecké fakulty profesor McLean, původem Skot, předem se však neohlásil Jednoho pozdního odpoledne kdosi zaťukal na dveře mé pracovny na Karlově Ve dveřích Skot jako poleno, podkolenky pěkně pod kolena, v ruce mapu A že hledá Dlaba typickým: Mr Dlab I presume V Chartúmu jsem byl od června roku 1959 do června roku 1964 Znalosti o Africe v Československu byly tehdy značně kusé Uvedu malou epizodu Na chartúmskou univerzitu jsem přiletěl zároveň se sympatickým Angličanem ekonomem V té době již měly být pro nás postaveny nové moderní domy v předměstí Burri, ale stavba se o rok opozdila Proto nás ubytovali do bývalých ubikací britských důstojníků zvaných 7 Die Endomorphismenringe abelscher Gruppen und die Darstellung von Ringen durch Matrizenringe, Czech Math J 7 (1957), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 134 (verze )

55 téměř ironicky Pink palace Přidělili nám společnou místnost, kde byly dvě domorodé postele a jako věšáky dva hřebíky ve stěně Ráno jsem měl v botě krásnou žábu Angličan si vyzvedl zálohu a odletěl Mně pomohlo československé vyslanectví Krátkou dobu jsem bydlel v prázdném domě obchodního oddělení s českým fotbalovým trenérem súdánského národního mužstva Záhy mně byl univerzitou přidělen starý solidní dům ve středu města, kde se často promenovaly ještěrky lovící hmyz Termiti mě jednou vyhnali z postele Ale nové domy byly druhým rokem postaveny Každý rok jsem se vracel do Prahy, poprvé na jaře roku 1960 Tehdy jsem v Praze přednášel nejen o matematice, ale i o Africe, samozřejmě s pořízenými diapozitivy I moji blízcí kolegové (pod neuvěřitelným tlakem médií) měli velice zkreslené informace Nevěřili, že prvního lva by potkali až stovky kilometrů od Chartúmu, nevěřili, že v Chartúmu také prší Přitom jsem tam zažil takový liják, že během chvíle bylo město po kolena ve vodě a trvalo mi půl dne, než jsem se dostal ze středu města domů Ale československá televize strašila lvy kolem Chartúmu a Rudé právo psalo, že se to vylily vody Modrého a Bílého Nilu, které se v Chartúmu slévají, a to znamenalo víc než slovo kamaráda Na chartúmské univerzitě jsem vypracoval celkový plán studia matematiky, který pak byl ve třech etapách realizován, míval jsem týdně až 13 hodin různých přednášek ze všech oblastí matematiky Do Prahy jsem se často vracel přes západní Evropu Využíval jsem tyto cesty k setkání s mnoha matematiky, k přednáškám na seminářích na řadě univerzit Měl jsem totiž podepsanou smlouvu se súdánskou vládou, z české strany jsem neměl žádná omezení na cesty mezi Prahou a Chartúmem Někdy však bylo komplikované získávání víz K návštěvě Makerere University v Ugandě bylo třeba mít trochu odvahy, to již nebylo na cestě mezi Prahou a Chartúmem S podporou mých pražských učitelů jsem navštívil univerzity v Itálii, Švýcarsku, Francii, Anglii, Holandsku, Rakousku, Maďarsku a navazoval jsem zde spolupráci Jen Německo bylo pro mne tabu Československo nemělo v té době s Německem diplomatické styky Eduard Čech mi sjednal schůzku s Beniaminem Segre, ten mě seznámil s Luciem Lombardo-Radicem, který se o mne v Itálii na jaře roku 1960 velmi pečlivě staral; mluvil velmi dobře rusky Zařídil mi setkání s Giovannim Sansonem a Guidem Zappou a pozvání na konferenci do Florencie Seznámil jsem se tam s Grahamem Higmanem a Helmuthem Wielandtem, přes něho později s Gerhardem Michlerem a Clausem Ringelem V Británii jsem kromě Kurta Hirsche a Richarda Rado poznal Paula Moritze Cohna, v Holandsku Johanna de Groota, ve Švýcarsku na mne zapůsobil Jovan Karamata, ve Vídni Wilfred Nöbauer Na základě prací v Proceedings of the London Mathematical Society jsem se poznal s Michaelem Butlerem; navštívil jsem ho (a Sheilu Brennerovou) několikrát v Liverpoolu Jelikož v Chartúmu naši vědeckou hodnost CSc neuznávali, uvažoval jsem o získání PhD v Londýně Profesor Hirsch mi však sdělil, že bez bakalářského titulu (BSc) z Londýna to není možné a doporučil mi získat PhD v Chartúmu Po překonání řady byrokratických překážek se mi to po dvou letech ( ) podařilo Zkoušejícími byli prof Hirsch a prof Rado Jsem patrně jediný, kdo získal doktorský titul z matematiky na chartúmské univerzitě V roce 1963 to byla v Chartúmu velká sláva, provázená ovšem potížemi s naším vyslanectvím Vyústila však, mimo jiné, v přátelství s rektorem Chartúmské univerzity profesorem Ibrahimem Osmanem Daffallahou, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 135 (verze )

56 který mě přijel na své oficiální cestě do Evropy přátelsky navštívit v mém rodišti Bzí Byl jsem však tou dobou na oxfordské univerzitě, a tak nevím, jak se moji rodiče při kávě s profesorem Daffallahou dorozumívali Na podnět profesora Kořínka jsem během pobytu v Chartúmu připravil habilitační práci, roku 1961 jsem se při návštěvě Prahy habilitoval Docentem jsem byl jmenován k 1 březnu 1962 Rád vzpomínám na konferenci, která se konala roku 1963 v Tihany Na pokoji jsem bydlel s profesorem Kořínkem a měl s ním dlouhé debaty o moderní algebře, o situaci na MFF a její budoucnosti Poznal jsem tam mnoho algebraiků, zejména A L S Cornera, s nímž jsem měl mnoho společného a jehož jsem několikrát na univerzitě v Oxfordu navštívil, Joe Rotmana, L Ja Kulikova a L A Skornjakova, s nimiž jsem byl ve stálém spojení Roku 1962 jsem se na kongresu ve Stockholmu setkal s prof Katětovem, který mě představil řadě matematiků, dobře pamatuji Františka Volfa a Andreje Nikolajeviče Kolmogorova Prof Katětov mi rázně přikázal, abych se vrátil z Chartúmu do Prahy, že prý se mnou počítá ve vedení fakulty Nevyhověl jsem mu, navždy jsme se tak rozešli 8 V době, kdy mi roku 1964 končil v Chartúmu kontrakt, začaly v Súdánu propukat národnostní a ekonomické nepokoje a já se chtěl už konečně usadit v Praze Dokonce se mi podařilo na Spořilově koupit malý družstevní byt Nutno podotknout, že jsem měl po celou dobu svého působení v Africe na Karlově univerzitě místo odborného asistenta a později docenta Chartúmskou univerzitou jsem byl vystaven velkému politickému tlaku, abych své tamější působení prodloužil; do Prahy dokonce přiletěl i děkan Mohammad Hassan Nakonec se mi podařilo využít toho, že jsem v roce 1962 prodělal v Chartúmu žloutenku, a odůvodnit tím svůj návrat do Prahy Na své působení v Chartúmu vzpomínám rád Troufnu si říci, že na mne většina tehdejších studentů nezapomněla Vždyť jsem byl starší jen o několik let Kdykoliv jsem se s někým z nich sešel, ať už v Libanonu, Saudské Arábii či Kuvajtu, kde jich řada působila, vždy jsme dlouze vzpomínali To, že naše vztahy byly opravdu nadstandardní, jsem si velmi dobře uvědomil i po čtyřiceti letech! Byl jsem totiž v roce 2000 pozván do Káhiry, abych na IMU-konferenci Mathematics and the 21th Century pořádané k přelomu tisíciletí přednesl jednu z plenárních přednášek Rozhodl jsem se této příležitosti využít a navštívit Chartúmskou univerzitu (Připomenu ještě, že jsem se na této konferenci blíže seznámil se sirem Michaelem Atiyahem, který shodou okolností také znal život v Chartúmu) Během návštěvy svého bývalého působiště jsem byl všude vítán jako celebrita, vždyť tam řada mých studentů zastávala vysoké posty, někteří byli i ve vládě Setkal jsem se tam dokonce k mému velkému překvapení i s poněkud zestárlým zřízencem Mohammedem a s bývalým děkanem Hassanem, který všechny mé přednášky dlouze uváděl Jaké to bylo po návratu z Chartúmu? Vyučoval jsi na MFF? Jak jsem se již zmínil, ustál jsem tlak a v Chartúmu nezůstal Abych se vyhnul jakýmkoli závazkům, nevyužil jsem ani plat za poslední semestr Ve školním roce 1964/65 jsem měl na MFF kurzovní přednášku z algebry pro druhý ročník (pro druhou paralelku přednášel Jaroslav Blažek), vedl jsem seminář z pokročilé algebry pro vyšší 8 Když jsem v roce 1984 přijel se Štefanem Schwarzem z Bratislavy do Prahy na vzpomínkové setkání věnované 85 výročí narození Vladimíra Kořínka, nepodal mi ani ruku Ostatní známí, včetně paní Boháčové, mě přivítali vřele 136 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 136 (verze )

57 ročníky, mladé asistenty a aspiranty Intenzivně jsem pracoval na doktorské disertační práci, jak si přál profesor Kořínek Roku 1964 jsem se zúčastnil algebraické konference v Grazu, kde jsem se opět sešel s profesorem Rado Spolu s Milanem Sekaninou jsme bydleli ve stejném hotelu jako profesor Václav Hlavatý, který na konferenci přiletěl americkým vojenským speciálem Na rozdíl od profesorů Josefa Nováka a Miroslava Katětova, kteří se mu neohrabaně vyhýbali, jsme s ním denně sdíleli snídani Pamatuji, že těžce nesl, že nemohl navštívit svou vlast Velmi důležitá byla pro mne účast a přednáška na varšavské konferenci o obecné algebře v září 1964 Znovu jsem se zde setkal s profesorem Kurošem, který mne využíval jako tlumočníka, a především s profesorem Bernhardem H Neumannem, který mě následně pozval do Canberry Brzy tedy přišlo další pozvání do zahraničí Jak to vypadalo v Austrálii? Již jsem se zmínil o konferenci ve Varšavě v září 1964 Po mé přednášce mě kontaktoval B H Neumann, který vedl Institute of Advanced Studies of Canberra Zanedlouho jsem od něho dostal oficiální pozvání ke tříletému hostování na jeho institutu jako research fellow Z Prahy na toto pozvání chtěli vyjet jiní, argumentovali tím, že jsem už v zahraničí byl Pozvání však bylo striktně na mé jméno Ještě před odletem do Canberry jsem v Praze dokončil a podal doktorskou práci a v srpnu 1965 se zúčastnil konference ve Varenně v Itálii Byla tam řada významných matematiků, mezi nimi např Israel Nathan Herstein, Irving Kaplansky, Paul Moritz Cohn, Nathan Jacobson, Shimshon Avraham Amitsur a Alfred William Goldie Všichni tito algebraici byli pozdějšími návštěvníky Carletonské univerzity, kde jsem od roku 1969 pracoval a organizoval vědecký výzkum v matematice Moje smlouva v Canbeře byla datována od října 1965 do října 1968 Jak se ukázalo, právě to rozhodlo o mé budoucnosti Práce v Austrálii byla úžasná, především výzkumná, a pak školitelská v několika oblastech algebry a teorie čísel Do institutu přijížděli matematici z celého světa, a tak jsem měl možnost se seznámit mezi jinými s Einarem Hillem, Richardem Brauerem a Marshallem Stonem Samozřejmě jsem se sblížil s algebraiky australskými, s Georgem Szekeresem a Gordonem Prestonem, blízké přátelství mě pojilo s Kurtem Mahlerem Finanční podmínky byly skromné, ale přesto mi v roce 1966 dovolily cestu na světový kongres do Moskvy Při cestě jsem se zastavil v Praze, kde jsem získal hodnost doktora věd To byla na dlouhou dobu má poslední návštěva Československa Své rodné Bzí jsem pak neviděl šestnáct let Na kongres do Moskvy jsem letěl z Prahy s československou delegací, Svaz československých spisovatelů tehdy hradil letenky V Moskvě jsem se setkal opět s řadou významných osobností, hlavně na banketech, které pořádali Aleksandr Genadijevič Kuroš a Anatolij Ivanovič Malcev Australská delegace, jejíž jsem byl oficiálně členem, byla též silně zastoupena Důležitý byl pro mne upřímný rozhovor s Leonidem Jakovlevičem Kulikovem Stejně významné bylo pro mne poslední setkání s profesorem Kořínkem; vzpomínám na náš důvěrný celovečerní rozhovor o budoucnosti algebry a matematiky na MFF Krátce po návratu do Canberry jsem dostal nabídku pracovat během akademického roku 1967/68 na prestižní Illinoiské univerzitě v Urbaně v USA Pozvání jsem přijal, na místo na Institutu v Canbeře rezignoval a s profesorem Paulem Batemanem, vedoucím katedry matematiky v Urbaně, jsem dojednal všechny formality včetně mých Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 137 (verze )

58 přednášek Z Prahy jsem však povolení k cestě do USA nedostal Musím poděkovat Bernhardovi, jak si profesor Neumann přál být oslovován, že mou dřívější rezignaci ignoroval Tato epizoda se stala mým osudovým rozcestím Pokud bych dostal povolení pracovat na Illinois University, vrátil bych se do Prahy již v červnu 1968 Smlouva v Canbeře však končila až v říjnu 1968, sovětská okupace Československa mě tedy zastihla ještě v Austrálii Jak jsi prožíval události roku 1968 a jak vypadala Tvá cesta domů? Jak to vypadalo po srpnu 1968? V Canbeře i v Sydney jsem se zúčastnil řady demonstrací proti okupaci V Institutu mi ihned nabídli neomezené prodloužení smlouvy Táhlo mě to však domů V Praze už byl mezitím podán návrh na zahájení mého profesorského řízení Vydal jsem se tedy na zpáteční cestu lodí, která plula do Southamptonu Tichým oceánem, Panamským průplavem a Atlantickým oceánem šest týdnů, abych získal čas ke sledování vývoje situace v Československu V každém přístavu jsem od přátel z Prahy dostával poštou zprávy o dění doma Na Bahamách mě čekaly letenky a pozvání na Carleton University do kanadského hlavního města Ottawy s tím, že po uzavření dohody svou loď stihnu na Bermudách Telefonicky jsem poděkoval a nabídku odmítl Chtěl jsem se vrátit do Prahy, kde mě čekala na Univerzitě Karlově profesura V Nassau jsem dostal kopie všech tří velmi pozitivních posudků k mému profesorskému řízení (Miroslav Novotný, Ján Jakubík, Václav Vilhelm) i kladný závěr profesorské komise (Vladimír Kořínek, Miroslav Katětov, Alois Švec) Mělo se konat po mém příletu do Prahy dne 19 prosince 1968 Vše se dramaticky změnilo po obdržení zpráv v Lisabonu Zde jsem dostal první anonymní dopis, rafinovaně neúplně adresovaný, který proto prošel otevřený celým úředním aparátem univerzity, než se dostal ke mně Dopis byl psán českou angličtinou, ale nikdy se nezjistilo, zda měl původ v zahraničí nebo v Praze Během cesty do Londýna jsem měl několik dnů na rozmyšlenou, jak se zachovat V Londýně jsem měl objednaný hotel, na pokoji byly opět letenky do Ottawy Jednání Británie a Kanady bylo tehdy vůči Čechům neuvěřitelně vstřícné, žádné problémy s vízy nebyly Rozhodl jsem se na dva dny Carleton navštívit Dostal jsem výhodnou nabídku profesorského místa, požádal jsem však jen o roční smlouvu, kterou by bylo možno prodloužit a nebylo by ji nutno kvůli návratu domů rušit Mým hlavním úkolem mělo být vybudování postgraduálního, především doktorského studia Všechny formality byly splněny tak rychle, že jsem Vánoce 1968 již slavil v Ottawě Od počátku roku 1969 jsi tedy pracoval na Carletonu Jak rychle ses zapojil do organizace vědecké práce? Jelikož jsem do září 1969 neměl žádné formální povinnosti (což bylo hlavně důsledkem toho, že Carletonská univerzita očekávala, že na vyřízení trvalého pobytu v Kanadě budu čekat v Anglii několik měsíců), přednášel jsem dobrovolně pokročilé partie algebry mladým asistentům a postdoktorandům katedry Již v dubnu 1969 jsem uspořádal první Algebra Day Tyto algebraické dny, kterých jsem za svého působení s pomocí kolegů zorganizoval padesát, se staly symbolem a centrem algebraických aktivit v Ontariu, Québecu a pohraničních státech USA Široké spektrum řečníků lze najít na mé webové stránce Mezi jinými jsou zde Grothendieck, Gelfand, McLane, 138 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 138 (verze )

59 Birkhoff, Bott, Cohn, Eilenberg, Gabriel, Hilton, Kaplansky, Malliavin, Lang, Lusztig, Rojter, Stanley, Zassenhaus, Zelmanov atd Roku 1971 jsem byl jmenován vedoucím katedry matematiky, kterou se mi během tří let podařilo dostat v algebře, pravděpodobnosti a statistice na světovou úroveň Vybudoval jsem Postgraduální centrum pro algebru, statistiku a pravděpodobnost V roce 1972 jsem na Carletonu zorganizoval (zatím jedinou) celokanadskou algebraickou konferenci s mezinárodní účastí; Kanadu zde reprezentovali Banaschewski, Divinsky, Dixon, Lambek, Mendelsohn, Mitchell, Ribenboim, Solitar a Takahashi Tato konference byla přípravou na první International Conference on Representations of Algebras (ICRA I), kterou jsem s velkými potížemi zorganizoval v září 1974, krátce po světovém matematickém kongresu IMU ve Vancouveru (na němž jsem se blíže poznal s profesorem Štefanem Schwarzem) Konference ICRA, z nichž ICRA II, IV a VI se opět konaly na Carletonské univerzitě, jsou dnes pravidelnými akcemi algebraiků pracujících v teorii reprezentací algeber Poslední dvě se konaly v Číně a USA, příští ICRA XVIII se bude konat v Praze Tento vývoj je důsledkem překvapivých výsledků v teorii reprezentací algeber z let 1970 až 1976, které se nám podařilo získat ve spolupráci s Clausem Ringelem Opíraly se o práce ruských, francouzských a amerických algebraiků Později byly rozšířeny a dnes tvoří základy teorie reprezentací algeber Tyto fundamentální výsledky dnes nalezneme v každé monografii týkající se této oblasti algebry Je velmi těžké je v několika slovech blíže vysvětlit Plné porozumění vyžaduje dlouhodobé intenzivní studium V sedmdesátých letech jsi procestoval celý svět, byl jsi na řadě světových pracovišť, na mnoha konferencích, poznal jsi nejvýznamnější matematiky 20 století, setkal ses s různými pohledy na matematiku a na matematické bádání Co tě nejvíce zaujalo? To je velmi těžká otázka, odpověď by vyžadovala delší čas, aby bylo možno všechny zážitky popsat Výsledky, o nichž jsem se již zmínil, mi otevřely cestu na řady prestižních univerzit (Paříž, Boston, Tokyo, Beijing, London, abych jmenoval jen některé) a umožnily diskuse s předními matematiky (Grothendieck, Dieudonné, McLane, Morita, Gian-Carlo Rota, ) Velmi blízké přátelství mě pojilo s Paulem Cohnem Carletonská univerzita měla řadu výměnných smluv s univerzitami celého světa Využíval jsem je, prosadil jsem navíc dohody s Kubou a Kostarikou Z Kostariky jsem měl tři výborné doktorandy Musím připomenout velmi úspěšný pobyt v Leningradě- Sankt Petersburgu (byl jsem tam přesně ten den, kdy měnili název města), přednášku v Borevičově semináři na Fontánce, diskuse s profesorem Veršikem a vřelé přátelství s algebraiky z Kyjeva, Jurijem Drozdem, Vladimírem Kiričenkem a Slávou Futurným Až neuvěřitelné bylo pro mne přátelství s Jeanem Dieudonné, nebo s Israelem Gelfandem, které vyvrcholilo jeho návštěvou Ottawy a společným večírkem To se ani nedá popsat Z Kanady nesmím opomenout zmínit kouzelná přátelství s Donaldem Coxeterem, Israelem Halperinem, Johnem Colemanem, Erikem Milnerem a Georgem Duffem, z USA s Charlesem Curtisem, Irvingem Reinerem a Joe Rotmanem Jenom do Československa jsi nemohl Svůj pobyt v Kanadě jsem se snažil legalizovat Dařilo se mi to až do roku 1970, kdy jsem dostal striktní příkaz se vrátit Když jsem neuposlechl, byl jsem odsouzen, propadl Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 139 (verze )

60 mi majetek, domů jsem už nemohl Bolestná byla ztráta osobních vazeb i soukromých věcí Rodiče byli potrestáni zkrácením penze za to, že jsem jim některé věci daroval Jako penzisté mne několikrát navštívili, ale povolení nebyla automatická S příbuznými včetně sourozenců jsem se poprvé viděl počátkem osmdesátých let v Maďarsku, které bylo v tomto ohledu liberálnější Teprve po zaplacení několika tisíc dolarů za studia v Československu jsem mohl jako cizinec navštívit smrtelně nemocného otce Pravidla, kdy se mohu či nemohu domů podívat, však zůstávala nejasná Když jsem chtěl po otcově smrti strávit Vánoce s maminkou, nedostal jsem vízum; poté v únoru jsem však přijet směl Roku 1989 jsem tři měsíce hostoval na Matematickém ústavu ČSAV v Praze v rámci dohody mezi kanadskou a československou akademií věd Ubytován jsem byl v internátu akademie na Mazance Byla to jedna z mých nejhorších cestovních zkušeností Denně jsem byl kontrolován, kam jsem se pohnul Dokonce i navštívit maminku ve Bzí byl problém Našli se lidé, kteří se mi snažili pobyt usnadnit: Když odcházíte, vezměte si klíč s sebou V noci totiž přicházely policejní kontroly, zda tam některé klíče nevisí Nato jsem byl jinou osobou nahlášen, že jsem klíč odcizil Nakonec jsem tu situaci nevydržel a předčasně odletěl zpět do Kanady Matematicky však byla moje návštěva užitečná Na starosti mě měl profesor Fiedler, s nímž jsem se dobře znal Jenom s mou hlavní přednáškou v pondělí 16 března v knihovně v Žitné (s malou tabulí tak pro mateřskou školku) byl poněkud problém: název Beilinsona-Bernsteina-Deligneho kategorie perverzních snopků musel být nahrazen cudným titulem Teorie bizarních snopků Jedním z výborných kamarádů byl Milan Sekanina Nebál se mne pozvat jako přednášejícího na svůj brněnský seminář A to bylo v době, kdy se mě bodrý hlídač parkoviště, když jsem si po přednášce přišel vyzvednout auto, ironicky ptal, co jsem provedl, že si policajti přišli fotit moje v Německu vypůjčené auto Nicméně ses ještě před svou legalizací jistě potkával s našimi matematiky na různých konferencích Jak se na Tebe tvářili? Nebáli se s Tebou hovořit? Tato otázka je hodně osobní, nerad bych se k ní blíže vyjadřoval Mohu jen potvrdit, že se lidé v té době hodně projevili Měl jsem však v Čechách i na Slovensku hodně přátel, a tak mé návštěvy vlasti proběhly vždy bez větších problémů Je třeba připomenout, že jako cizinec jsem měl vstup do některých oblastí Československa a do řady budov omezen S pomocí přátel však bylo možno takovéto překážky překonávat Břetislav Novák s manželkou Evou byli v Praze mou oporou, často jsem u nich přespával Na fakultě jsem využíval Břetislavovu pracovnu Vedle sídlil Olda John; rád jsem s ním vždy prohodil pár slov Na katedře analýzy jsem se cítil dobře Vždy jsem si též popovídal s Láďou Procházkou Jakýchkoli matematických akcí jsem se v osmdesátých letech účastnil pouze mimo Československo Výjimkou byla konference, kterou pořádal Milan Sekanina v Luhačovicích Pozval mne, a dokonce uvedl mou přednášku v programu Pokoj jsem sdílel s přítelem Pištou Známem Ze Slováků bych chtěl ještě zmínit Štefana Schwarze, který byl při každém našem setkání, již od prvního ve Vancouveru v roce 1974, velmi otevřený a přátelský Samozřejmě jsem měl hodně přátel, s nimiž jsem se stýkal v soukromí Rád bych ještě dodal, že jsem nikdy neměl nikomu za zlé, že se mi vyhýbal Situace se samozřejmě změnila po roce Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 140 (verze )

61 Abychom však nezapomněli na matematiku Jakých svých výsledků si nejvíce vážíš? Na co byl největší ohlas? Myslím, že nemáme dostatek prostoru k tomu, abychom se mohli obírat podrobnostmi, a tak se pokusím omezit na tři oblasti svého výzkumu Týkají se bezprostředně mé spolupráce s Clausem Ringelem, který přišel v roce 1970 na Carletonskou univerzitu jako post-doctoral fellow na doporučení mého přítele Gerharda Michlera Prvním naším větším úspěchem bylo kompletní řešení hypotézy J P Janse, totiž domněnky, že balancované okruhy jsou uniseriálové S ní se po celá léta potýkala především algebraická škola Carla Faitha Během algebraické konference v Park City v Utahu v roce 1971 byl dokonce tomuto problému vyhrazen speciální seminář Ze semináře sešlo, neboť jsme se na konferenci objevili s úplným řešením, tj s kompletním popisem struktury všech balancovaných okruhů 9 Řešení jsme publikovali v řadě článků, v ucelené formě pak v Lecture Notes, Vol 246, kde byly otištěny mé přednášky na Tulane University v rámci Ring and Operator Theory Year Myslím, že Carl Faith, s kterým jsme byli jinak blízcí kamarádi, to těžce nesl a ve svých Ring and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebras v roce 2004 v sekci věnované balancovaným okruhům naše řešení (včetně popisu tzv výjimečných okruhů) nepopsal Mnohem větší úspěch znamenaly naše výsledky v teorii reprezentací konečně dimenzionálních algeber, které byly publikovány především v Memoirs AMS roku 1976 Je to bohužel velmi stručná verze, která byla původně zaslána do Transactions AMS, ale k editorem požadovanému rozšíření textu tehdy nedošlo Práce navazuje na vývoj, který začal v padesátých letech formulací takzvaných domněnek Brauera-Thralla a pracemi Tensho Yoshii (který mi vysvětloval své výsledky během už zmíněného vancouverského kongresu; konference ICRA se nakonec nezúčastnil a po návratu do Japonska se oddal budhismu) Dalším důležitým krokem byly výsledky Petera Gabriela (který nás k tomuto tématu přivedl) a metody Coxeterových funktorů I N Bernsteina, I M Gelfanda a V A Ponomareva Naše výsledky byly poté rozvinuty Mauricem Auslanderem a Idun Reitenovou do všezahrnující teorie skoro štěpitelných posloupností Připomenu, že náš úspěch vedl k přátelství s mnoha významnými matematiky, především s Israelem Gelfandem (již v letech 1974 až 1975 během mého působení na Université Paris VI (UPMC)), později též s Jeanem Dieudonné Naším dalším společným neméně významným tématem byly kvazi-dědičné algebry definované trojicí amerických algebraiků, Edwardem Clinem, Brianem Parshallem a Leonardem Scottem, v souvislosti s jejich studiem kategorií nejvyšších vah, které figurují v teorii reprezentací polojednoduchých komplexních Lieových algeber a algebraických grup Podařilo se nám objasnit strukturu těchto algeber a jejich vztah k řadě algebraických objektů V těchto studiích jsem později pokračoval se svým studentem Istvánem Ágostonem a s Erzsébet Lukácsovou 9 Konference jsme se s Clausem Ringelem zúčastnili i proto, abychom se seznámili s řadou významných algebraiků, včetně Kiiti Mority, který byl tehdy na návštěvě USA K tomu nakonec nedošlo, Morita nepřijel K setkání, které nakonec vyústilo v blízké přátelství, došlo až během mých častých návštěv Japonska a vyvrcholilo celovečerní diskusí v jeho překrásné tokijské rezidenci Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 141 (verze )

62 Roku 1977 jsi byl zvolen členem Kanadské akademie věd Bylo to na rozdíl od současných pravidel zcela kuriózní Ani jsem nevěděl, že jsem byl k této poctě navržen Přijel jsem do Frederictonu na schůzi Kanadské matematické společnosti, která byla organizována paralelně s jednáním Akademie věd A tam jsem se dozvěděl, že jsem byl zvolen členem Akademie Před kongresovým centrem byl plot s vrátky Jak jsem přicházel, plot jsem přeskočil, abych nemusel obcházet k průchodu Všichni se smáli, že jsem asi jediný člen akademie, který by takový plot přeskočil Pokud vím, zorganizoval jsi roku 1991 na MFF mezinárodní algebraický den a v devadesátých letech jsi měl na MFF cyklus přednášek z algebry Algebraický seminář (Algebra Day) se v Praze konal 30 listopadu 1991, na programu, který sledoval formát carletonských Dnů, byly tři přednášky (Dlab, Claus Ringel a Dieter Happel), které odrážely tehdejší algebraický výzkum Seminář měl velkou zahraniční účast, především z Německa, ale i z Francie, Japonska, Maďarska a Ukrajiny Celou akci, kterou jsem financoval ze svých prostředků, mi pomohli zorganizovat Láďa Procházka a Eva Nováková Tenkrát jsem doufal, že se v těchto seminářích bude pokračovat Na určitou dobu se je podařilo nahradit ve spolupráci s mými přáteli v Budapešti a v Chemnitz (Saské Kamenici) společnými konferencemi Cyklus přednášek, o kterém se zmiňuješ, byl rovněž celkem úspěšný: pro Fero Marka z Bratislavy a Tomáše Pospíchala se mi podařilo zajistit na Carletonu doktorandská stipendia Studenti z Bratislavy byli pohotovější; zařídil jsem pro ně na Carletonu i doktorandská stipendia na fyzice a biologii Po roce 1989 ses znovu pokusil získat profesuru na Univerzitě Karlově Roku 1991 jsem podal žádost o zahájení profesorského řízení Na MFF UK proběhlo úspěšně v červnu 1992 Nicméně pro nedostatek zkušeností bylo udělení profesury zamítnuto Byl to můj druhý pokus o návrat do Prahy Chtěl jsem splnit to, co jsem slíbil svým učitelům, Vladimíru Kořínkovi a Eduardu Čechovi, tj přispět k rozkvětu matematiky v Praze Škoda, že to tak dopadlo Vím, že ses chtěl s plným nasazením věnovat výchově našich matematiků, žes chtěl střídavě vyučovat jeden semestr v Praze a jeden v Carletonu Přesto se celá léta angažuješ pro naši matematickou obec Nyní pracuješ v redakční radě časopisu Czechoslovak Mathematical Journal, snažíš se o všestranné pozvednutí jeho úrovně Práce v redakční radě Czechoslovak Mathematical Journal mě velmi těší Profesor Engliš vede časopis velmi úspěšně, naše spolupráce je skvělá V matematické obci je mým současným cílem prosadit uspořádání pracovní konference, která by se zabývala výukou matematiky především na 1 a 2 stupni Na jedné straně je třeba zabránit populistickým tendencím a na druhé podpořit výuku přitažlivou a profesionální Nemohu jinak, než zde citovat dva velikány: Je téměř zázrakem, že moderní metody výuky dosud zcela neudusily zdravý duch zvídavosti Albert Einstein 142 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 142 (verze )

63 Během mého druhého roku v Edinburghu jsem chodil na Jamesovy přednášky z geologie a zoologie, ale ty byly neuvěřitelně nudné Jediný vliv, který na mne měly, bylo rozhodnutí: nikdy, pokud budu žít, nečíst knihu o geologii, či jakýmkoliv způsobem studovat vědu Charles Darwin Kde se vlastně cítíš být doma? Domov mám v Ottawě, ale Bzí mám v srdci Jsem rád, když mne ve Bzí přátelé navštíví Před dvěma lety jsme tam v srpnu oslavovali společně s Peterem Gabrielem naše narozeniny Od svých pětašedesátin jsem v důchodu, protože ontarijské zákony byly nekompromisní Poznamenávám, že tyto otázky jsou záležitostí kanadských provincií Tak např v Québecu či Manitobě nikdy žádná věková omezení nebyla, i v Ontariu se už předpisy změnily a každý může opět pracovat libovolně dlouho Můj ročník měl smůlu Být v penzi však neznamená odpočívat Nevidím mnoho změn Hodně času věnuji editorské práci pro řadu českých i zahraničních časopisů Účastním se konferencí, čas od času přednáším na univerzitách Na podzim jedu na měsíc přednášet do Thajska, pozvali mne, abych pokračoval v práci, kterou jsem tam před léty s mladými algebraiky započal Nedávno jsem po pět let přednášel algebru budoucím učitelům na MFF UK Z tohoto kurzu vzešla učebnice Od aritmetiky k abstraktní algebře, 10 kterou jsme spolu vydali Měl jsem u vás též roku 2009 kurs pro učitele z praxe nazvaný Cesta k dokonalému porozumění elementární matematice Co mi připadá mimořádně pozoruhodné, je Tvůj zájem o vzdělávání v matematice U českých matematiků je to nyní velmi neobvyklé Pravda je, že oni bojují o svou produkci článků, o impaktní faktory, o množství citací, o granty Vzdělávání je často zcela mimo jejich pozornost To je nejen škoda, ale i neštěstí! Nebude-li kvalitně vzdělávána celá generace, budeme mít stále méně a méně skutečných odborníků A ti budou z neinspirativního a pokleslého prostředí odcházet jinam Již se to ostatně děje V roce 2014 jsem se zúčastnil konference Mathematicians and School Mathematics Education pořádané v Banff International Research Station, která se této otázce věnovala Výzkumný ústav v Banffu (Skalisté hory), na jehož chodu se podílí Kanada, USA a Mexiko, je založen na podobném principu jako německý Oberwolfach či francouzské Luminy Konference vytýčila řadu zásadních cílů Projevil se však letitý problém, totiž to, že znalost matematiky mnoha didaktiků je naprosto nedostatečná Spolupráce matematiků a didaktiků matematiky je ovšem naléhavě žádoucí, v mnoha zemích si to uvědomují Nedávno jsem například dostal pozvání k účasti na takovém projektu v Chile V posledních letech jsi napsal řadu článků pro středoškolské studenty a jejich učitele Snažil ses propagovat tzv hlubší porozumění elementární matematice Proč se na rozdíl od jiných matematiků této aktivitě věnuješ? Chceme-li mít špičkové odborné matematiky, musíme mít kvalitní vysoké školy, které vyprodukují špičkové bakaláře a magistry To však předpokládá kvalitní střední 10 V Dlab, J Bečvář: Od aritmetiky k abstraktní algebře, vlastním nákladem, Praha, 2016, 479 stran Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 143 (verze )

64 školy, které staví na solidních výsledcích práce základních škol To je princip pyramidy, který bohužel mnozí nechápou, a proto se o výuku matematiky na středních a základních školách nezajímají Snažím se poukazovat na povrchnost a nepoctivost Jeden z mých článků má výstižný podtitul: Předstírání k nápravě nepomůže: Učitelé se tváří, že vyučují, a studenti, že studují 11 Tak bohužel vypadají třídy nekvalifikovaných učitelů Důsledkem jsou špatné výsledky ve vzdělávání matematice Matematika se stává strašákem pro děti, pro rodiče a nakonec i pro učitele V Česku je závažným problémem nedostatečné finanční ohodnocení náročné práce učitelů, důsledkem je malý výběr kandidátů učitelství Například v Singapuru má pouze pět procent špičkových studentů naději být přijato na studium učitelství Podobně je tomu v Malajsku, Číně a Finsku Platy učitelů je třeba zvýšit, zlepšit jejich výchovu i výběr, a tím dosáhnout plošného zvýšení jejich úrovně Jinak bude školství dále upadat K současným neúspěchům ve výuce matematiky výrazně přispívá nedostatečné, resp nekvalitní školení učitelů Je nutné se zbavit bezduchého biflování bez skutečného porozumění a směřovat k důkladné znalosti a pochopení předmětu Nejdůležitější je dobrý učitel, který matematice rozumí, umí nadchnout a inspirovat Potíží ve výuce matematiky využívají na celém světě samozvaní reformátoři a didaktici k propagaci nejrůznějších nových metod Někteří se dokonce nestydí prohlašovat, že učitel matematiky nemusí matematiku umět Takovýmto tendencím je třeba se důsledně a důrazně bránit, protože špatní učitelé matematiky již napáchali na nevinných školáčcích značné škody Jak jsem se již zmínil, snažím se prosadit organizování konference, na které by vystoupili propagátoři nových výukových směrů a trendů, prezentovali své metody, aby mohly být konfrontovány Pevně doufám, že se takovou konferenci za účasti médií povede zorganizovat Několikrát jsem se účastnil setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, ale i jiných konferencí Už v listopadu 1995 jsem ve své přednášce Algebra co, kde a jak učit na 5 setkání v Mariánských Lázních snažil zdůraznit nezastupitelnou roli učitele a nutnost nezapomínat na poctivou a soustavnou práci Žádná zázračná metoda nás nespasí Věděl to již Eukleidés Když Ptolemaios Sótér (podle legendy) vyžadoval nějakou snadnou cestu k pochopení jeho Základů, Eukleidés prohlásil, že neexistuje královská cesta ke geometrii Tedy i král musí jako kterýkoliv jiný člověk promýšlet definice a věty, studovat důkazy, snažit se jim porozumět, pokoušet se je vytvářet, řešit problémy atd Dnes by se však jistě i u nás našli myslitelé, kteří by Ptolemaiovi královskou cestu nabídli Milý Vlasto, jsem rád, že jsi působil několik let na Katedře didaktiky matematiky MFF, kterou jsem vedl, a že jsem tak měl řadu příležitostí s Tebou hovořit o matematice, o vyučování i o mnohém jiném Jsem rád, že jsem měl možnost se podílet na vzniku učebnice Od aritmetiky k abstraktní algebře podle Tvého konceptu Děkuji Ti za odpovědi na mé všetečné otázky 11 Sborník Setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol 2008, str Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 144 (verze )

65 Zprávy oznámení RNDr BOHUSLAV BALCAR, DrSc ( ) Dne 17 února 2017 zesnul ve spánku významný český matematik Bohuslav Balcar Zanechal zde nejen rodinu, ale i mnoho přátel, spolupracovníků, kolegů a celou řadu mladých matematiků, které jako vědec a učitel vychoval během své dlouholeté činnosti Svou oddaností, nadšením pro matematiku a houževnatostí inspiroval své okolí a přispěl velkou měrou k výchově mnoha následovníků ve svém oboru Autoři této vzpomínky byli Bohoušovi blízcí po celý jeho profesionální život Seznámili jsme se v roce 1963 jako začínající matematici v pražském semináři teorie množin Petra Vopěnky Balcarův přístup k práci již tehdy inspiroval jeho spolupracovníky a tato vlastnost mu zůstala po celý život Pro jeho nadšení a zvídavost na něj vzpomínají mnozí kolegové v Praze i v zahraničí, především ale všichni mladší matematici, které během své kariéry ovlivnil Balcarův talent se projevil již za jeho studií na Matematicko-fyzikální fakultě UK Po promoci v roce 1965 nastoupil jako asistent na katedru prof V Jarníka Jeho činnost ale byla přerušena normalizací počátkem 70 let a v roce 1975 odešel do výrobního závodu ČKD Polovodiče I nadále se náruživě věnoval matematice a z této doby pochází několik jeho důležitých prací, např hojně citovaný článek The space of ultrafilters on N covered by nowhere dense sets (spoluautoři J Pelant a P Simon, Fund Math 110 (1980), 11 24) z obecné topologie Spolu s Petrem Simonem začal vést seminář z počtů, který se koná dodnes každou středu od 11 hodin (nejprve na MFF UK na Malostranském náměstí, po revoluci v Centru pro teoretická studia a nyní v Matematickém ústavu AV ČR) Seminář proslul tím, že neměl jistý ani program, ani čas ukončení, a stovky návštěvníků z celého světa hovořily na téma, které Balcar na místě navrhl V 80 letech byly Balcarovým hlavním předmětem bádání Booleovy algebry, např nezávislé systémy a disjunktní zjemnění (viz Independent families in complete Boolean algebras (spoluautor F Franek), Trans Amer Math Soc 274 (1982), ) Na základě dosažených výsledků byl požádán o příspěvek Disjoint refinement (spoluautor P Simon) do sborníku Handbook of Boolean Algebras (North-Holland, Amsterdam, 1989) V té době se také začal zabývat problémy měrových algeber, obzvláště slavnými otevřenými problémy Johna von Neumanna Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 145 (verze )

66 se Balcar stal neodmyslitelnou součástí matematického povědomí Bohouš zůstane v našich vzpomínkách pro svůj způsob tvorby, houževnaté úsilí a originalitu komunikace Matematici v jeho oboru jej milovali, obdivovali a snažili se od něj něco naučit Bohuslav Balcar zůstává vzorem nejen pro naši generaci, ale hlavně pro mladé matematiky Lev Bukovský, Tomáš Jech a Dorothy Maharamové ze 30 a 40 let dvacátého století Propagoval aplikaci sekvenciální topologie a tento program úspěšně zakončil po 20 letech, tedy již v tomto tisíciletí Po sametové revoluci získal Balcar místo vedoucího vědeckého pracovníka v Matematickém ústavu Akademie věd a krátce nato se stal členem prestižního Centra pro teoretická studia Tuto životní změnu využil k intenzivnímu bádání, výchově mladých matematiků a organizaci matematického života Kromě výše zmíněného středečního semináře organizoval každoroční zimní školu z abstraktní analýzy, pravidelnou mezinárodní topologickou konferenci Toposym, byl zván na pobyty v Severní Americe, Izraeli a na evropských univerzitách Ve výzkumu se soustředil na problematiku měrových algeber S různými spoluautory napsal několik publikací, které vyvrcholily koncem roku 2003 řešením von Neumannova problému Za práci Weak distributivity, a problem of von Neumann and the mystery of measurability (spoluautor T Jech, Bull Symb Log 12 (2006), ) obdržel v roce 2008 Shoenfieldovu cenu udělovanou společností Association for Symbolic Logic Svými příspěvky k matematickému poznání a inspirujícím přístupem k bádání Prof RNDr ANTON DEKRÉT, DrSc ( ) Profesor Anton Dekrét sa narodil v septembri 1932 v osade Dobroč pri Čiernom Balogu Po absolvovaní gymnázia v Banskej Bystrici úspešne ukončil v roku 1955 štúdium na Prírodovedeckej fakulte Komenského univerzity v Bratislave, odbor matematika-deskriptívna geometria Prácu stredoškolského učiteľa v Martine vymenil v roku 1962 za prácu vysokoškolského učiteľa na Katedre matematiky a deskriptívnej geometrie Strojníckej a elektrotechnickej fakulty Vysokej školy dopravnej v Žiline, kde pôsobil do roku 1973 Potom nastúpil na novozaložený Inštitút aplikovanej matematiky Vysokej školy lesníckej a drevárskej vo Zvolene a od roku 1998 učil na Katedre informatiky Fakulty prírodných vied Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici Profesor Dekrét patril k zakladajúcim členom Katedry matematiky Pedagogickej fakulty Katolíckej univerzity v Ružomberku Počas učenia na VŠD v Žiline začal navštevovať brniansku školu diferenciálnej geometrie Po presťahovaní do Zvolena viedol profesor Dekrét seminár z diferenciálnej geometrie na Katedre matematiky a deskriptívnej geometrie na Drevárskej fakulte, zintenzívnil svoju spoluprácu 146 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 146 (verze )

67 s kolegami z Brna, najmä s profesorom Ivanom Kolářom, a začal vedeckú spoluprácu s profilovými katedrami Drevárskej fakulty, špeciálne v oblasti modelovania tenzoriálnej charakteristiky pohybu a napätia vody v procese schnutia dreva V posledných rokoch sa venoval aj otázke využitia diferenciálnej geometrie v robotike a teórii riadenia Napísal vyše 50 vedeckých prác z diferenciálnej geometrie a takisto vyše 50 vedeckých prác o aplikácii matematiky v drevárskej technológii a robotike Profesor Dekrét ako člen JČSMF sa podieľal na príprave a organizácii mnohých letných a zimných škôl, ako aj seminárov z diferenciálnej geometrie Účastníci týchto stretnutí si s láskou spomínajú na jeho schopnosť spojiť matematický seminár so športovým a spoločenským programom Vynikal totiž nielen v matematike, ale aj v horskej turistike a bežeckom lyžovaní Jeho práca v Jednote bola ocenená čestným členstvom Bol to však predovšetkým skvelý človek vždy ochotný pomôcť a bude chýbať všetkým, ktorí ho poznali Česť jeho pamiatke! Vojtech Bálint VZPOMÍNKA NA PROFESORA PETERA M GRUBERA ( ) Prof Gruber byl jednou z vedoucích matematických osobností v geometrické konvexitě a diskrétní geometrii Podstatnou část své akademické dráhy působil na Technické univerzitě ve Vídni Po mnoho let na ní vedl Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie P Gruber dlouhodobě aktivně rozvíjel odborné kontakty s českými matematiky V publikaci Life and Work of Vojtěch Jarník ( ) popisuje na str 17 jejich začátky takto: Jedna z mých prvních prací je věnována součinu nehomogenních lineárních forem Jako sebevědomý mladý muž jsem ji zaslal do Acta Arithmetica Po několika měsících jsem k mému údivu dostal od redakce velkou obálku a myslel jsem si, že článek byl zamítnut Po několika hodinách jsem sebral odvahu a obálku jsem otevřel Byl jsem velice potěšen, neboť obálka obsahovala příznivý recenzní posudek a seznam doporučených změn, které jsem v rukopise bez problémů uplatnil S největší pravděpodobností byl recenzentem prof Jarník Poukázal na četné drobné nedostatky a dokonale opravil mou němčinu O několik let později jsem napsal článek o postupných minimech Před jeho odesláním do časopisu jsem pečlivě procházel Zentralblatt für Mathematik a Mathematical Reviews a k mému nesmírnému rozladění jsem shledal, že jeden z hlavních výsledků byl Jarníkem publikován zhruba před dvaceti lety, a tak článek nikdy nevyšel ( ) Potom v listopadu 1967 se mi poštěstilo se s prof Jarníkem setkat při jeho přednášce v Matematickém ústavu vídeňské univerzity V přednášce Über einige Ergebnisse der Gitterpunktlehre nastínil výsledky Břetislava Nováka o počtu mřížových bodů v elipsoidech Dodnes si pamatuji jeho jasný a výstižný styl přednášení, jeho přesnou němčinu s nepatrným českým akcentem a jeho suchý humor Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 147 (verze )

68 Od sedmdesátých let postupně docházelo k prohlubování kontaktů s českými matematiky zabývajícími se konvexitou, teorií potenciálu, geometrií a diskrétní matematikou Stále častější byly návštěvy pražských matematiků ve Vídni a také prof Gruber přijížděl do Prahy a přednášel o tématech z analýzy a geometrie V roce 1996 mu Jednota českých matematiků a fyziků udělila pamětní medaili V témže roce byla uzavřena dohoda o spolupráci mezi vídeňskou Technische Universität a Univerzitou Karlovou Na jednáních, která podpisu dohody předcházela, se prof Gruber podílel zásadním způsobem V roce 2001 mu Matematicko-fyzikální fakulta UK udělila pamětní medaili 2 stupně I Netuka a V Souček založili tradici Jarníkovských přednášek, které se od roku 2002 pravidelně jednou za rok konají v rekonstruované Jarníkově posluchárně (M1) na Karlově První Jarníkovskou přednášku nazvanou Optimal quantization and its applications přednesl 2 října 2002 prof Gruber Pražským matematikům poskytl P Gruber velkou pomoc při nápravě ztrát knihovního fondu v karlínské knihovně MFF UK, ke které došlo téhož roku při povodni V roce 2009 fakulta udělila prof Gruberovi pamětní medaili 1 stupně Prof Gruber byl významnou osobností rakouského matematického života Byl prezidentem Rakouské matematické společnosti a od roku 1991 členem Rakouské akademie věd Byl nositelem četných vyznamenání, členem zahraničních akademií, redaktorem řady matematických časopisů Univerzity v Turíně, Siegenu a Linci mu udělily čestný doktorát P Gruber pocházel z učitelské rodiny, oba jeho rodiče vyučovali na gymnáziu Studoval v letech na vídeňské a kansaské univerzitě, v roce 1966 získal doktorát S výjimkou pětiletého období, kdy vedl katedru matematické analýzy na univerzitě v Linci, působil stále na vídeňské technice Publikoval 109 vědeckých prací, z nichž většina je věnována konvexitě a geometrii čísel Řada jeho výsledků se týká typických (ve smyslu Baireových kategorií) konvexních těles, další jeho práce jsou věnovány např mnohostěnům (aproximace, stabilita) Je spoluautorem monografií Geometry of Numbers a Lattice Points a autorem monografie Convex and Discrete Geometry Významný je jeho podíl na dvou rozsáhlých publikacích encyklopedického charakteru z jeho oboru (Convexity and its Applications a Handbook of Convex Geometry I, II ); byl jedním z editorů sebraných spisů Johanna Radona a také Edmunda Hlawky Peter Gruber se řadí mezi nejvýznačnější matematiky naší generace Získal si uznání nejen díky svým odborným výsledkům, ale také výjimečnými osobními vlastnostmi a lidskými kvalitami Od samotného začátku našich kontaktů jsme znali Petera jako mimořádně skromného člověka, který uměl lidi spojovat, mladší kolegy povzbudit a v jehož okolí vládla příjemná pohoda a přátelská atmosféra Uměl výborně přednášet a jeho vystupování bylo vždy milé, vytříbené, až aristokratické povahy Byl osobností renesančního formátu Živě se zajímal o historii, hudbu, výtvarné umění a literaturu, měl obrovský všeobecný přehled a dovedl trefně komentovat jevy ve společnosti Obdivovali jsme také Peterovy hluboké znalosti z historie matematiky a jeho znalosti o vývoji vědy jako celku Peter Gruber neočekávaně zemřel 7 března 2017 Budeme ho velmi postrádat, nejen jako matematika, ale i jako člověka, který byl pro mnoho z nás nedostižným vzorem a ideálem Považujeme za poctu a privilegium, že jsme měli možnost Petera Grubera osobně poznat Ivan Netuka, Jiří Veselý 148 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 148 (verze )

69 VÝROČNÍ SEMINÁŘ KOSMOLOGIC- KÉ SEKCE ČAS Kosmologická sekce České astronomické společnosti a Jednota českých matematiků a fyziků si vás dovolují pozvat na veřejný výroční seminář věnovaný soudobým otázkám astronomie a astrofyziky Seminář se bude konat v pátek dne 27 října 2017 od 15 hodin v Modré posluchárně Matematického ústavu AV ČR v Žitné 25 (přízemí zadní budovy), Praha 1 Na programu budou následující tři přednášky: Prof RNDr Petr Kulhánek, CSc (Fakulta elektrotechnická ČVUT), Velký třesk pohledem současné fyziky Doc Mgr Miroslav Brož, PhD (Astronomický ústav UK), Nitro a vývoj (prvních) hvězd Mgr Richard Wünsch, PhD (Astronomický ústav AV ČR), Vznik kulových hvězdokup Bližší informace lze získat na tel číslech , nebo na adresách nasa@seznamcz, jazdar@seznamcz Vladimír Novotný NOVÁ TEMATICKÁ PUBLIKACE EVROPSKÉ FYZIKÁLNÍ SPOLEČNOSTI Divize jaderné fyziky Evropské fyzikální společnosti (NPD EPS) se rozhodla veřejnosti přiblížit propojení jaderné fyziky se zdánlivě vzdálenými obory jako je archeologie, geologie, historie nebo paleontologie V roce 2016 vydala publikaci Nuclear Physics for Cultural Heritage, v níž se vědci pracující v oboru jaderných analytických metod pokusili populární a přístupnou formou přiblížit nejzajímavější a nejnovější výsledky z této oblasti Texty předních evropských odborníků vysvětlují, jak se mohou atomové a jaderné techniky podílet na získávání informací o složení a struktuře materiálů z dávné historie lidstva a tím přispět k pochopení způsobu života v dávných dobách a k ochraně kulturního dědictví Součástí publikace je populárně-naučný výklad základních principů jednotlivých analytických metod a jejich instrumentace Především jsou zde ale vyprávěny příběhy unikátních obrazů, vzácných šperků, mistrných zbraní, avšak například i da Vinciho rukopisů nebo ostatků Tychona Brahe Jaderné analytické metody pomohly objasnit některé záhady minulosti, např způsoby, jak naši předkové vyráběli běžné předměty nebo šperky Analýzou složení barev obrazu lze odhalit jeho historii a původ Na příkladech z archeologie, prehistorie, historie, kultury nebo náboženství je demonstrován zásadní pokrok ve využívání širokého spektra jaderných fyzikál- Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 149 (verze )

70 Přehled procesů při průchodu nabitých iontů pevnou látkou: 1) iontová implantace, 2) elastický rozptyl částic na povrchu, 3) vyražení iontů z pevné látky, 4) vyražení elektronů z materiálu, 5) emise fotonů, 6) emise produktů jaderných reakcí ních technik Tuto skutečnost dokládá i vysoký počet předních vědeckých skupin a laboratoří věnujících se jaderným analytickým metodám a jejich aplikacím při studiu evropského kulturního dědictví Řada z těchto skupin se na publikaci autorsky podílela Jaderné analytické metody jsou založeny na interakci energetických částic (iontů nebo neutronů), jejichž zdrojem jsou malé urychlovače nebo jaderné reaktory, s atomy zkoumané látky Při bombardování energetickými ionty dochází k produkci sekundárního záření V závislosti na energii a hmotnosti dopadajících iontů vzniká charakteristické rentgenové záření, sekundární elektrony, dochází k elastickému rozptylu iontů, emisi vyražených terčových částic, případně jsou emitovány produkty jaderných reakcí energetických iontů a jader terčového materiálu, tj gama záření a další částice (viz schéma na obrázku) Kvantitativní a kvalitativní analýza těchto produktů poskytuje informace o struktuře a složení objektu Zmíněné metody mají řadu unikátních vlastností jedná se o nedestruktivní metody, které mohou za určitých okolností zkoumat předměty při normálním tlaku bez nutnosti umísťovat je do vakua, kde typicky probíhá analýza iontovými a neutronovými svazky V posledních letech došlo k obrovskému pokroku ve využití jaderných analytických metod, jejichž součástí je aplikace iontových svazků vysokých energií jednak pro analýzu pevných látek, jednak pro jejich modifikaci a syntézu nanomateriálů V laboratoři jaderných analytických metod Ústavu jaderné fyziky AV ČR, v v i, se pro tyto účely využívá elektrostatický urychlovač typu Tandetron 4130 MC, který je součástí infrastruktury Center of Accelerator and Nuclear Analytical Methods (CANAM) Urychlovač poskytuje svazky iontů od vodíku po zlato s iontovými toky do jednotek ma a energiemi od stovek kev do desítek MeV Tandemové urychlovače jsou používány v řadě evropských laboratoří pro účely jaderných analytických metod Malé urychlovače dále slouží pro atomovou hmotnostní spektrometrii, což je rozšířená technika pro datování historických artefaktů na základě měření stopových množství radioaktivního uhlíku Jde o nezastupitelnou metodu pro 150 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 150 (verze )

71 datování archeologických, ekologických a geologických nálezů Publikace Nuclear Physics for Cultural Heritage je rozdělena do několika kapitol Úvod napsaný profesorem Waltrem Kutscherou, nestorem atomové hmotnostní spektroskopie v Evropě, je krásně komponovaným vstupem do synergie několika vědních oborů, které ve výsledku vedou k hlubšímu poznání naší historie Další kapitoly jsou věnovány analytickým metodám používajícím iontové svazky a neutronové svazky, datování pomocí atomové hmotnostní spektrometrie a příbuzným postupům, jako je metoda rentgenové fluorescence, metoda ultrafialové spektroskopie atd V poslední kapitole autoři popisují velmi efektivní způsob, jak chránit historické artefakty před poškozením časem, povětrnostními podmínkami, biologickými faktory atd pomocí ozařování zdroji energetického gama záření, které předměty konzervuje a zabraňuje jejich biologické degradaci V kapitole o iontových analytických metodách se čtenář seznámí s unikátním konceptem použití iontových mikrosvazků Jejich fokusace na plochy o velikosti v řádu mikrometrů umožňuje kombinovat mnoho analytických technik, které poskytují komplexní informace nejen o složení vzorku, ale i jednotlivých částech jeho povrchu Získané údaje mohou být užitečné např pro geology, archeology, restaurátory a historiky (inkluze v horninách, různé části barev nebo glazur) Výsledkem analýzy jsou elementární mapy zkoumaného vzorku Přítomnost stopových prvků často umožňuje zjistit informace o původu artefaktu nebo jeho výrobního procesu Nízká energie neutronů nebo naopak vysoká energie lehkých iontů s nízkou intenzitou zajišťují nedestruktivnost a šetrnost těchto metod ve srovnání s chemickými metodami Díky neutronovým svazkům zkoumajícím vnitřní morfologii se s překvapením dozvídáme o znalostech a zapomenutých výrobních postupech našich předků Atomové a jaderné analytické techniky pomáhají vědcům z mnoha oborů při testování pravosti a původu historických artefaktů K tomu je nezbytný interdisciplinární přístup sdružující fyziky, chemiky, archeology, numismatiky, historiky, geology, kurátory a restaurátory z různých laboratoří, institucí a muzeí Publikace Nuclear Physics for Cultural Heritage, která je ceněna nejen odbornou veřejností pro svou pestrost a celistvost, nabízí poutavý přehled vědeckých výsledků a možností jaderných analytických metod při zkoumání a ochraně kulturního dědictví Evropy Elektronická verze textu je volně k dispozici na adrese images/stories/books/fulldl/nuclear -physics-for-cultural-heritagepdf Anna Macková Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 151 (verze )

72 152 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 152 (verze )

73 ZE IVOTA JÈMF Prof RNDr Jiří Zlatuška, CSc (Brno) Doc RNDr Josef Blažek, CSc (České Budějovice) Doc RNDr Dagmar Medková, CSc (Praha) JUBILEA 60 let Ing Martin Nikl (Praha) PaedDr Stanislav Pohl (Ústí nad Labem) Prof Ing Zdeněk Strakoš, DrSc (Praha) Michal Marvan (Opava) Věra Brejchová (České Budějovice) RNDr Marta Goldová (Ostrava) Mgr Milan Klouček (Středočeská pobočka) PaedDr Jaroslav Müllner, PhD (Praha) let RNDr František Máca, CSc (Praha) PaedDr Milan Rieger (Ústí nad Labem) Mario Kiriakov, PhD Mgr Karel Píška (Praha) RNDr Eva Lesáková (Praha) Doc RNDr Leoš Dvořák, CSc (Praha) Dalibor Pták (Praha) Prof RNDr Jan Franců, CSc (Brno) let Prof RNDr Milan Tichý, DrSc (Praha) Helena Spieglová (Brno) Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č Strana 153 (verze )

74 RNDr Miloslav Burda, CSc (Praha) Prof RNDr Irena Rachůnková, DrSc (Olomouc) Mgr Václav Hrubý (Olomouc) Doc RNDr Miloš Kaňka, DrSc (Praha) RNDr Jaroslav Dittrich, CSc (Praha) let RNDr Jitka Segethová, CSc (Praha) RNDr Vladimír Žůrek (Olomouc) Prof RNDr Ivan Mezník, CSc (Brno) RNDr Vlastimil Flajšingr (Zlín) Mgr Irena Plachá (Brno) František Hofman (Jihlava) Ing Stanislav Pospíšil, DrSc (Praha) Prof RNDr Zdeněk Půlpán, CSc (Hradec Králové) Doc Ing Eva Veselá, CSc (Praha) Marta Francová (Brno) Mgr Maciej Kucharski, CSc (Praha) Prof RNDr Jaroslav Smítal, DrSc (Opava) RNDr Zdeněk Bastl, CSc (Praha) Zbyněk Franc (Brno) let Vladislav Kvapil (Plzeň) Doc Ing Dušan Valášek, CSc (Praha) let Alena Trejbalová (Hradec Králové) Prof RNDr Vlastimil Dlab, DrSc, FRSC Doc RNDr Jozef Nagy, CSc (Praha) Jubilantům srdečně blahopřeje předsednictvo výboru JČMF 154 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č 2 Strana 154 (verze )