Diplomová práce. Robustní stabilita systémů s parametrickou neurčitostí

Transkript

1 Dplomová práce Robutí tablta ytémů parametrckou eurčtotí Petr Jada

2 Abtrakt Tato dplomová práce e zabývá aalýzou ytému parametrckou eurčtotí popaou trojúhelíkovou fuzzy fukcí. Teoretcká čát obahuje děleí eurčtotí, teor polytopcké eurčtot. Součátí je Edge teorém a geeralzovaý hartoovův teorém. Je zde také obaže jedoduchý át teore fuzzy číel. Praktckou čátí této práce je mplemetováí algortmů v Matlabu, grafcké protředí pro jedodušší prác algortmy, edtace a grafcká kotrola výpočtu. V této čát je dále obažeo tetováí a porováí algortmů založeých a Edge teorému a geeralzovaém hartoovově teorému. Abtract Th dploma the decrbe aaly of ytem wth parametrc ucertaty decrbed by tragular fuzzy fucto. Theoretcal part cota decrpto of ucertaty type, theory of polytopc ucertaty. Part of t Edge theorem ad geeralzed hartoov theorem. Smple outle of theory fuzzy umber alo gve. Practcal part of th work alo clude mplemetato of algorthm Matlab, graphcal evromet for mple work wth algorthm, edtato ad graphcal calculato verfcato. I thee part t further cluded tetg ad comparo of algorthm baed o Edge theorem ad baed o geeralzed hartoov theorem.

3 Obah. Úvod. Parametrcké eurčtot.. Děleí parametrckých eurčtotí.. Obecé metody aalýzy... Vyloučeí uly Hurwtzova tablta.... Neurčtot jedím parametrem.. Itervalová eurčtot Moža hodot hartoovova věta Proložeí 8.. Překrytí.... Itervalová outava.. Polytopcká eurčtot.. Polytop polyomů... Itervalový polyom jako polytop.. Jedotkový mplex..... Moža hodot polytopu.. Hray.. Věta o hraách (Edge teorém)... Spektrálí moža..... Věta o hraách využtím kořeů..... Věta o hraách (Geeralzovaý hartoovův teorém) Použtí fuzzy fukcí 8. Algortmy pro aalýzu Zadáí 8.. Pop algortmu Edge tet. 8.. Použtí algortmu Edge tet a příkladu 8.. Pop algortmu hra Použtí algortmu hra a příkladu Pop grafckého protředí.. Zadáváí vtupích hodot..... Formát vtupích dat... Volba metody výpočtu.... Další ovládací prvky... Edtace koefcetů Grafcká kotrola výpočtu....

4 . Tetováí algortmů.. Závěr.. Lteratura.

5 Úvod Robutí aalýza a ytéza patří v poledích letech k ejvíce e rozvíjejícím metodám v ytéze a aalýze regulačího obvodu a to jak v oblat vědecké tak aplkačí. Stále více e používá ových metod robutí aalýzy a to pomocí ormy H, teore tervalových polyomů ebo hartoovův teorém, který e tal zdrojem pro obecější metody jako apř. Edge teorém, mappg teorém, atd. Velké možtví ytémů, prezetovaých v reálých podmíkách, obahuje dva základí typy eurčtotí. Jde o eurčtot eparametrckou a eurčtot parametrckou. Neparametrcká eurčtot vzká zaedbáím dyamckých vlatotí řízeé outavy ebo eleart př popu matematckým modelem. Parametrckou eurčtot lze prezetovat jako epřeě popaou zalot kutečých parametrů ytému. Metody robutí aalýzy (ytézy) pro parametrckou eurčtot můžeme použít pouze v tom případě, jetlže ytém, kterým pracujeme, je čaově eproměý (ebo alepoň eí rychle proměý v čae). Jetlže je tato základí podmíka plěa, můžeme použít metody robutího řízeí. Parametrckou eurčtot lze také chápat jako možu outav, kterou máme aalyzovat ějakým zadaým regulátorem č pro takový regulátor avrhout. V této úloze e zabývám aalýzou ytémů parametrckou eurčtotí, kde můžeme použít metody tervalových polyomů a hartoovova teorému. Sytémy obahující teto typ eurčtot lze velce ado popat pomocí tervalových polyomů. Jedou z možotí jak zobect tervalový polyom je použtí trojúhelíkové fuzzy fukce tj. popu každé eurčtot tohoto polyomu pomocí fukce závlé a parametru, kde (, ). Platí, že pro hrace eurčtot je a pro omálí hodotu parametru ytému je. Tato metoda vychází z omálích hodot parametrů outavy a ze zámého rozahu eurčtých parametrů outavy, které jou vázáy pře parametr. Základím předpokladem pro použtí této metody je tablta omálí outavy.

6 Parametrcké eurčtot Důležtou třídou eurčtých ytémů jou ytémy parametrckou eurčtotí tj. model ytému je přeý až a hodoty (jedoho č více) parametrů, které v okamžku ávrhu ezáme. Jak mohou vzkout eurčté parametry? Může to být apříklad epřeým měřeím těchto parametrů, ebo závlot parametrů a vějších velčách (teplota, třeí, hmotot). S takto daým eurčtým parametry můžeme řešt áledující úlohy:. aalýza: tet robutí tablty, hledáí mezí robutí tablty. ytéza: zajtt co ejvětší robutot ytému Abychom mohl pracovat e ytémy eurčtotí je třeba defovat ěkteré základí pojmy. Neurčté parametry: Vektor ebo k-tce parametry k (, ) Q R,, k, kde Q je moža omezující Neurčtý polyom (parametrcký polyom): Polyom jedím ebo více eurčtým parametry: k p (, ), R, p (, ) Roda polyomů a ( ) Neurčtý polyom moža omezující parametry P { p(, ) : Q} Robutí tablta Roda polyomů je robutě tablí p (, ) je tablí pro každé Q Neurčtý ytém: Je popá přeoem (, ) P(, ), kde (, ) d(, ) a (, ) d jou eurčté polyomy

7 . Děleí parametrckých eurčtotí Parametrcké eurčtot lze dále dělt podle typu truktury eurčtot obažeé v polyomu.. eurčtot jedím parametrem. tervalová eurčtot. afí leárí eurčtot. multleárí eurčtot. polyomálí eurčtot. obecá eurčtot ad ) Specálí případ eurčtot, který e praktcky evykytuje. Neurčtot je prezetováa pouze jedím eurčtým parametrem. ad ) V případě této eurčtot je každý parametr obaže pouze v jedom koefcetu polyomu, každý koefcet je pojtou fukcí parametru. Moža omezující parametry má tvar kvádru pevým mezem. ad ) U afí leárí truktury eurčtot je každý koefcet polyomu popá T afí leárí fukcí v závlot a parametru tj. a β. Tato truktura eurčtot e též azývá polytopckou eurčtotí. a ( ) ad ) Neurčtý polyom má multleárí trukturu, když každý koefcet obahující eurčtot je multleárí fukcí parametrů eurčtot. p 7 Př. : ( ) ( ) ( ) ( ), ad ) Neurčtý polyom má polyomálí trukturu, když každý koefcet obahující eurčtot je polyomálí fukcí parametrů eurčtot. p 7 Př. : ( ) ( ) ( ) ( ), ( ). Obecé metody aalýzy tablty.. Teorém o vyloučeí uly Obecá roda polyomů P { p ( ): Q} moža, koefcety ( ) tablí, je robutě D-tablí právě když p ( z, Q ) z D.,, varatím tupěm, Q je ouvlá a jou pojté fukce a alepoň jede čle rody p (, ) je, kde p ( z, Q ) e azývá možou hodot a D je hrace oblat tablty D (v případě Hurwtzovy tablty je to magárí oa). Pokud je oblat tablty uzavřeá, emuí být tupeň varatí.

8 .. Hurwtzovo krtérum haraktertcký polyom pro ( ) c c c,,, ; > má všechy kořey v levé polorově komplexí rovy pouze tehdy, jou-l všechy hlaví mory Hurwtzovy matce kladé. Hurwtzova matce je původě ulová matce ( ) c H, v prvím řádku má zapáy odleva ob jede koefcety polyomu ( ) c, počíaje koefcetem u druhé ejvyšší mocy, v druhém totéž, počíaje. Prví dva řádky tedy obahují tytéž koefcety jako prví dva řádky Routhovy tabulky, pouze jejch pořadí je zaměěo. Do dalších řádků e epují koefcety ob jede řádek ehora, pouuté o jedu pozc doprava. c c ( ) c c c c c c c c c c c c c c c c c H M O M M O M Příklad: Hurwtzova matce pro polyom: je: ( ) c ( ) c H Neurčtot jedím parametrem Teto pecálí případ ytémů eurčtotí e objevuje v případě, že v celém ytému e vykytuje pouze jede eurčtý parametr, ebo je-l těchto parametrů více, je možé jejch vyjádřeí pomocí jedoho parametru. Stadardě používaý pop ytému je: ) ( ) ( ), ( p p p p () je omálí polyom (tablí) p () je lbovolý polyom [ ] { }, max m je parametr Pro zjštěí maxmálího tervalu tablty e používá Balaova věta, podle které je teto terval dá vztahy:

9 max m λ λ max m ( H ( p ) H ( p )) ( H ( p ) H ( p )) kde λ max je maxmálí reálé kladé vlatí čílo λ - m je mmálí reálé záporé vlatí čílo H ( p ) je Hurwtzova matce omálího polyomu H ( p ) je Hurwtzova matce polyomu obahujícího eurčtot Pokud (kladé,záporé) reálé vlatí čílo eextuje je přílušá mez (,-). Itervalová eurčtot Roda polyomů je tervalovým polyomem jetlže:. každý parametr je obaže pouze v jedom koefcetu char. polyomu ytému.. každý koefcet je pojtou fukcí. Q je kvádr tj. extuje orma L : max tj. každá ložka je terval pevým mezem. Itervalový polyom lze jedoduše zapat:. Moža hodot p (, ), [ ] Moža hodot tervalového polyomu je moža všech komplexích hodot, které abývá tervalový polyom, jetlže za do tervalového polyomu doadíme jω ω R a všechy koefcety echáme probíhat jejch tervaly. V komplexí rově má moža hodot tvar obdélíku (ve zvláštích případech je to úečka (obdélík jedou ulovou traou)) a má tray rovoběžé oam komplexí rovy (vz. Obr. ). Takovému obdélíku e říká hartoovův obdélík pro frekvec ω. Matematcký záp možy hodot je áledující: p jω Q p j, : Q ( ) { ( ) }, ω Př změě ω e obdélík pohybuje a měí rozměr, ale eatáčí e. Im{ p (.,Q )} (jω ) (jω ) p(jω,q) (jω ) (jω ) Re { p (.,Q )} Obr. Moža hodot tervalového polyomu v komplexí rově 7

10 . hartoovova věta Itervalový polyom { } Q p P : ), (, který má varatí tupeň je robutě tablí právě když jou tablí polyomy: ( ) () () () kde (), (), (), () e azývají hartoovovy polyomy a terpretují vrcholy hartoových obdélíků. Podle teorému o vyloučeí uly ám tačí tetovat tabltu hartoových polyomů pro zjštěí robutí tablty tervalového polyomu. Obr. Iterpretace hartoovovy věty. Proložeí Real Ax Imag Ax Real Ax Imag Ax á vlatot proložeí právě když jeho udá a lchá čát mají tejé latí Polyom p m gum vedoucích koefcetů a růzé kořey které e a magárí oe třídají. Totéž p pro udou a lchou čát komplexího polyomu, pouze tím rozdílem že kořey ejou a magárí ale a reálé oe. Důležtou větou je Hermte-Behlerova věta, která říká: Polyom je Hurwtzův (tablí), právě když má vlatot proložeí. Pro tervalový polyom [ ] p, ), ( defujeme: ( ) ( ) ( ) ( ) 7 m 7 max 8 m 8 max odd odd eve eve 8

11 eve max eve m odd max odd m eve ( jω ) max ( ω ) eve ( jω ) m ( ω ) ( jω ) odd ( ω ) jω ( jω ) jω max odd m 8 ω 8 ω 8 ω 8 ( ω ) ω ω ω ω ω ω ω Pak hartoovy polyomy lze zapat tímto tvarem: ω ω ω eve odd ( ) m ( ) m ( ) eve odd ( ) m ( ) max ( ) eve odd ( ) max ( ) m ( ) eve odd ( ) ( ) ( ) Verze Hermte-Behlerovy věty pro tervalový polyom pak zí: max Itervalový polyom [ ] max ω ω 8 ω p (, ), je robutě tablí právě když fukce eve odd odd ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) eve max, m, max, m mají reálé kořey, pro jejch kladé m max m max m kořeý platí, že : ω e, ω e, ω o, ω o, ω e, a číla eve eve odd odd max ( ), m ( ), max ( ), m ( ) jou eulová a mají tejé gum. Grafcké zázorěí je a Obr. Im { p (.,Q )} ( ω ) odd max odd m ( ) ω ( jω Q ) p, Re { p (.,Q )} eve m ( ) ω eve max ( ) ω Obr. Grafcká terpretace Hermte-Behlerovy věty

12 . Překrytí Složtější typy eurčtot lze překrýt tervalovou eurčtotí. Pro obecou rodu polyomů P : p, a, Q uzavřeá a omezeá moža vezmeme meze: ( ) ( ) a tetujeme tervalový polyom P : m a Q max a Q ( ) ( ) [ ] p (, ),. Zřejmě P P platí, jetlže je P robutě tablí, pak je robutě tablí P, opa čě to ale eplatí. Jetlže tervalový polyom eí robutě tablí pak o původí rodě polyomů emůžeme c podobého říc.. Itervalová outava Itervalová outava je taková outava jejíž čtatel a jmeovatel jou tervalovým polyomy. P (,, r ) [, ] [ r r ], Pro zvláští typy regulátorů (P, I, regulátor přeoem polyom také tervalovým polyomem. c k ) je výledý charaktertcký. Proto

13 Polytopcká eurčtot Polytop v R k je kovexí obal koečé možy bodů p,p,,p k z R k k P cov{ p }. ovexí obal zavádíme pro ekovexí možu hodot R a je to ejmeší kovexí moža obahující možu (Obr. ). Pro kovexí obal e používá záp cov, přčemž rovot platí, je-l moža kovexí. Moža geerátorů polytopu P je { } { k p, p,, p }. Polytop je průk koečého počtu poloprotorů. kov ekov aždý bod m Obr. ovexí moža a kovexí obal m { p, p, p } cov { } p polytopu P cov, můžeme pomocí λ λ,,, λ m λ vyjádřt jako kovexí kombac geerátorů p m λ p. m Bod p P cov{ p, p,, p } je extrém (vrchol) polytopu, když eí kovexí kombací žádých dvou č více růzých bodů z P. Body polytopu P cov{ p, p, p 8 } lze popat leárí kombací 8 λ p λ p λ 8 p Pro p platí: λ ; λ ; λ 8 Pro p platí: λ ; λ ; λ 8 Z toho plye, že p je vrchol Obr. Příklad bodů a hra polytopu Úečka je hraa polytopu, jetlže eprotíá žádou jou úečku polytopu krajím a b c d body mmo í. Tedy úečka p, p je hraou právě když, p, p P, [ ] P a b a b c d [ p, p ]: [ p, p ] [ p p ] { } c d p, p, (Obr. ).

14 p a p a p d p c p b p d p c p b úečka a b a b [ p, p ] [ p, p ] eí hraou P úečka je hraou P Obr. Grafcké zázorěí hray S polytopy lze provádět áledující operace:. oučet polytopů (Obr. 7) P P p p : p P p P je polytop {, },, { } P cov p p, kde { },, P cov p a P cov{ p } P Obr. 7 Součet polytopů. průk polytopů je polytop, k terý může mít ové hray a vrcholy.. áobek kalárem P { p : p P} P cov p. jedoceí polytopů ezachovává polytopčot, ale platí, že kovexí obal, (jedoceí) cov{ P } je polytop geerovaý { p } { }, P p je polytop a platí: { } Obr. 8 Náobeí polytopu kalárem a jedoceí polytopů

15 . leárí traformace polytopu TP { Tp : p P} { Tp } je polytop pro který platí: TP cov. Přtom každá hraa polytopu TP odpovídá hraě polytopu P tj. každá hraa je obrazem ějaké původí hray, ale každá hraa e emuí promítout do hray, může e také promítout dovtř vzklého polytopu TP. Obr. Zázorěí leárí traformace polytopu. Polytop polyomů Roda polyomů P { p (., ): Q} je polytop polyomů když p (., ) má afí leárí trukturu eurčtot a Q je polytop. Polytop polyomů je omorfí polytop koefcetů tj. jede pop lze převét a druhý a aopak. Rodu polyomů afí leárí trukturou eurčtot můžeme také zapat: p l (, ) a ( ) p ( ) p ( ). Důležtou vlatotí ytémů afí leárí trukturou je zachováí této truktury po uzavřeí zpětovazebí myčky obecým regulátorem. Tato truktura zůtává zachováa př převodu a dkrétí ytém pomocí leárí zlomkové traformace.. Itervalový polyom jako polytop Itervalový polyom [ ] geerovaý jedočley p (,. Jedotkový mplex p (, ) k ), lze převét a polytop k. Teto poly top má m vrcholů. l p ) ( ) ( ) { } Polytop polyomů (, p p, Q cov můžeme také vyjádřt jako jedotkový mplex:

16 p l l (, λ ) λ p(, ), λ aždý z těchto popů můžeme převét a druhý, ale měí e přtom tvar možy parametrů.. Moža hodot polytopu P p., : Q, Q cov má v bodě z možu hodot Polytop { ( ) } { } ( z, Q ) cov{ p ( z, )}. Jetlže z p ( z, ) je a hraě ( z Q ). Opačě to ale emů a hra z p ( z ) p Q říc žeme, protože je-l ě Q, pak být a hra ě p ( z, Q ), protože hraa e může zobrazt dovtř. p, pak je a hraě, emuí

17 Hray Z věty o vyloučeí uly a z vlatotí možy hodot plye, že vtřek možy hod ot pro á eí tolk důležtý jako hray. Jetlže by e měla ula objevt uvtř možy hodot muí ejprve projít hraou. Z toho vyplývá, že př tetováí tablty ám tačí tetovat tabltu a hraách. V případě tablích hra můžeme prohlát celý polytop za tablí. Hraa polytopu polyomů je úečka v protoru polyomů taková, že j můžeme p, λ λ p λ p, kde vyjádřt pomocí krajích bodů (vrcholů), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), p ( ) jou vrcholy polyomů a tedy obrazem vrcholů možy Q ( ) p p,, p p ( ), ( ) ( ). Je zřejmé, že úečka [ ],, p, l úečkou v R a je hraou možy omezující parametry Q. Jelkož hraa je roda polyomů jedím parametrem, její robutí tabltu umíme jedoduše otetovat. je. Věta o hraách (Edge teorém) Nechť D je otevřeá podmoža, Φ D : I je fukce defující hrac a ec hť polytop polyomů P { p (., ): Q}, Q cov{ } má varatí tupeň. Pak P je robutě D-tablí, právě když: D Pro každou hrau možy Q vrcholy, je polyom D-tablí [,] λ. Hr p (, λ ) λ ( ) ( λ ) ( ), p p p z, Q Hray Q ay ( ) Robutí tablta Stablta a hraách Obr. Edge teorém Věta o hraách platí, když e omezíme a hray, které odpovídají hraám možě hodot polytopu. Výhodou této možot tetováí robutí tablty je meší počet tetovaých hra ež př tetováí hra možy Q. Nevýhodou ale je to, že eí lehké tyto hray určt, proto e tetuje robutí tablta pomocí tetováí tablty a hraách možy Q.

18 .. Spektrálí moža Pro rodu polyomů P { p (., ): Q}, Q cov{ } defujeme pektrálí možu (možu kořeů) : σ [ P ] { z : p ( z, ) pro Q} Je to jedoceí pekter všech polyomů v P. Ze pektrálí možy lze rozhodout o robutí tabltě P: P je robutě tablí právě když σ [ P ] D. Tato metoda tetováí avíc umožňuje pooudt všechy možé oblat robutí D tablty. Spektrálí moža polytopu polyomů varatím tupěm je uzavřeá a omezeá... Věta o hraách využtím kořeů Pro polytop polyomů P { p (., ): Q}, Q cov{ } varatím tupěm platí: σ [ P ] σ [ ε Q ( P )] platí také lější, ale epraktcká verze této věty σ P σ ε P, kde ε (P ) je moža hra polytopu P, [ ] [ ( )] ε ( P ) { p ( ): a ( ) ε ( a ( Q ))}, ε ( a ( Q )) ozačuje možu hra ( Q ) ε ( P ) { p (., ): ε ( Q )}. Q., a v R, Obr. Věta o hraách využtím geometrckého míta kořeů Tetováí robutí tablty pomocí tetováí hra je použtelé pro malý počet parametrů, pro rotoucí počet parametrů dochází ke kombatorcké exploz počtu hra. Q R l N edge l l Počet hra dramatcky rote počtem parametrů vz. Tab. Nabízí e otázka jetl jou P p., : Q všechy hray tejě důležté. Protože pro polytop polyomů { ( ) } l l parametry a Q je kvádr v R, pak Q má edge l polytopu má hra méě: ( z Q ) Bohužel e hray ( z Q ) důležté. l N hra, ale moža hodot p, je rovoběžý mohoúhelík počtem hra l. p, měí e změou z a ejde tak obecě říc které hray Q jou

19 Počet parametrů Počet hra Tab. Budeme uvažovat tervalovou outavu (,,r ) N (, ) (, r ) N P, kde D m m (, ) [, ] a D (,r ) [ r ], r. S obecým regulátorem (jehož N přeo má pevé koefcety) ve zpěté vazbě ( ) výledý charaktertcký D polyom je také polytop. Výledý charaktertcký polyom je p (,, r ) D (, r ) D ( ) N (, ) N ( ), Q, r R, tj. polytop m parametry P L { p (, r ): Q, r R} m polytopu je ( m )-dmeoálí kvádr počtem hra N edge ( m ) moža hod ot p ( j ω, Q, R ) má pro každé pevé ω počet hra je 8 ( ) ( ).,. Moža parametrů tohoto N a pro proměé ω je počet uvažovaých hra je N. Obě tato číla jou ezávlá a a m.. Vět a o hraách (Geeralzovaý hartoovův teorém) N (, ) Nechť P (,,r ) je tervalová outava hartoovým polyomy D (, r ) čtatele N ( ), N ( ), N ( ), N ( ) a jmeovatele D ( ) D ( ), D ( ), D ( ) N ( ) echť ( ) je zpětovazebí regulátor takový, že výledý charaktertcký D ( ) edge edge, ale, a polyom P L má varatí tupeň. Pak P L je robutě tablí právě, když všechy my a hraách e λ N N D, λ D,,, polyo (, ) ( ) ( ), ( ) ( ) { } a (, ) {(,),(, ),(,),(, )} a e ( λ ) N ( λ ) N ( ) D ( ) D ( ),,, 7

20 (, ) {(,),(, ),(,),(, )} a {,,, } λ [,], kde D, (,λ )( N, (,λ ) D ( )( ( ) N ). jou tablí pro všecha ) jou úečky vrcholy v D ( )( N ( )) a Možou hodot polytopu vzklého pojeím tervalové outavy a obecého zpětovazebího regulátoru má tvar omúhelíku. Možy hodot D jω, Q, N jω, R jou hartoovovy obdélíky. Možu hodot charaktertckého polyomu p jω, Q, R D jω, R D jω N jω Q N jω lze zkotruovat áledujíc ím ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) způobem: Nejprve budeme uvažovat D ( jω ), což je obdélík áobeý čílem p ( jω, Q, R ) N ( jω, Q ) N ( j ω ), tedy obdélík atočeý o úhel N ( jω ) áobeý kalárem N ( jω ). komplexím a ( jω ) N ( jω ) N N ( jω ) N ( jω ) ( jω Q ) N, N ( jω ) ( jω ) N ( jω ) N ( jω ) N ( jω ) N ( jω Q ) N, ( jω ) N ( jω ) N ( jω ) N ( jω ) N Obr. Náobeí hartoovova obdélíku komplexím čílem Pro D ( jω ) můžeme vytkout D ( jω ) pak dotaeme: p ( jω, Q, R ) D ( jω )[ ( jω ) N ( jω, Q ) D ( jω, R )]. Výraz v závorce j e oučet atočeého a áobeého obdélíku jým obdélíkem, což je omúhelík. Po vyáobeí výrazu v závorce D ( jω ) je výledý omúhelík atočeý a vyáobeý kalárem. 8

21 Im Obr. Omúhelíková moža hodot Pro tervalovou outavu hartoovým polyomy čtatele N ( ), N ( ), N ( ), N ( ) a jmeovatele D ( ) D ( ), D ( ), D ( ) (, ) {(,),(, ),(,),(, )} krtckou hrau čtatele a jmeovatele: N, (, λ ) λn ( ) ( λ ) N ( ) D ( λ ) λd ( ) ( ) D ( ), defujeme pro každý pár,, λ Pomocí věty o hraách e ám podařlo redukovat počet hra a a to př jakémkolv počtu parametrů. Pro růzé pecálí případy lze teto počet zredukovat ještě více apř. pro proporcoálí regulátor pevým zamékem zeíleí lze počet hra ížt a. Re

22 7 Použtí fuzzy fukcí V této prác e zabývám eurčtotí obažeou v tervalových polyomech. Jedou z metod jak zobect tervalový polyom je použtí fuzzy fukcí. Iterval eurčtot chápeme jako fuzzy čílo, tj. kovexí fuzzy možu e pojtou fukcí přílušot a jedoprvkovým jádrem: Je-l fuzzy čílo Z ~ R, pak er ( Z ) { z }, kde z R je třed. Specálím a ejpoužívaějším typem fuzzy číel jou tzv. trojúhelíková fuzzy číla, což jou fuzzy číla jejchž fukce přílušot má trojúhelíkový tvar: x < a ebo x > c x a a x b Z ( x, a, b, c ) b a c x b x c c b x b kde a, b, c jou parametry zázorěé a obr.. V ašem případě parametry a, c reprezetují tervalové meze eurčtot a parametr b ou ytému, Z x, a, b, c reprezetuje reprezetuje hodotu koefcetu omálího pře ( ) parametr. a b c R Obr. Trojúhelíkové fuzzy čílo

23 8 Algortmy pro aalýzu 8. Zadáí Navrhěte a aprogramujte algortmy pro robutí aalýzu tablty zpětovazebího ytému. Pro ávrh těchto algortmů použjte větu o hraách (Edge teorém) a větu o hraách (Geeralzovaý hartoovův teorém). Parametry eurčtot tervalových polyomů jou terpretováy jako trojúhelíková fuzzy číla pevým mezem. Pro ávrh použjte áledujících předpokladů:. ytém e kládá z tervalové outavy a pevého regulátoru. tervalové polyomy jou defováy áledujícím způobem: (, ) tr a, b, c p L, kde fuzzy fukce (vz. aptola 7), dáa předpem parametru má tervalový polyom áledující tvar: ( ), [ a b a * ; c c b * ] p ( ) ( ) ( ) je trojúhelíková. Po zakompoováí Výtupem těchto algortmů bude mez tablty, tj. hodota parametru ;. aprogramovaým algortmům vytvořte grafcké protředí ve kterém bude možé zadávat vtupí hodoty a edtovat je grafcky. Dále zde bude možé vybrat metodu výpočtu a grafcká terpretace výledku. 8. Pop algortmu pro Edge tet Veškeré výpočty jou vypracováy pro áledující zapojeí zpětovazebího ytému Obr.. B(,) A(,r) D() () Obr. Zapojeí ytému pro aalýzu.krok Otetuj tabltu omálího ytému, jetlže eí omálí ytém tablí jd a ONE..krok Otetuj obahuje-l výledý charaktertcký polyom eurčtotí varatí tupeň. Jetlže zde eí zajště varatí tupeň, jd a ONE.

24 .krok Do dej ulu. Parametrzuj eurčtot pomocí parametru a to dle áledujícího předpu. m max [ a b c ] a ( b a )* c ( c b )*.krok Naplň ymbolcké matce A, B,, D všem možým polyomy A(,r), B(,), (), D()..krok Naplň vektor ABD_p všem možotm charaktertckých polyomů zpětovazebího ytému vypočteých ze ymbolckých matc A, B,, D. Tyto polyomy jou zároveň všechy možé vrcholy a možě omezující parametry Q..krok Vyber -tý vrchol z vektoru ABD_p (pro prví krok ) a propoj ho hraou (parametrzovaou parametrem λ ) -tým vrcholem z vektoru ABD_p (pro prví krok ),jetlže ze(abd_p) pak a, jetlže ze(abd_p) pak jd a ONE. 7.krok Setav Hurwtzovu matc polyomu hray. 8.krok Pro všecha plou hodot, jetlže Jak kok a.krok. λ (,) urč pro které (,) ové > taré pak ové.jetlže ztrácí Hurwtzovu matce jd a ONE..krok ONE 8. Použ tí algortmu Edge tet a příkladu P říklad Pro zadaé hodoty koefcetu přeoů outavy určete hodoty mezí robutí tablty tohoto ytému. ( ) 8 ; D ( ) ; A( ) [ ] ; B ( ). Nejprve otetujeme tabltu omálího ytému: ( ) 8 ; D ( ) ; A ( ) ; B ( ) ( ) 8 p ytém tablí., pak charaktertcký polyom. Jelkož jou všechy koefcety tejého zamíka je omálí. Jelkož e eurčtot eobjevuje v ejvyšší mocě char. polyomu tudíž char. polyom má varatí tupeň.

25 . Nyí parametrzujeme tervalové polyomy pomocí parametru dle předpu vz. rok. ( ) 8 ; D ( ) ; A( ) [ ]; B ( ). V dalším kroku vypíšeme všechy možé polyomy A(), B(), (), D(). [ 8 ] ; D [ ] ; A ; B [ ]. Vypíšeme všechy možé charaktertcké polyomy které reprezetují možu všech vrcholů polytopu: [ 8 ( ) 8 ( )] ABD_p. Jelkož máme pouze dva vrcholy extuje pouze jeda hraa pro tetováí robutí tablty a to hraa dle áledujícího předpu: e (, λ, ) λ ( 8 ( )) ( λ )( 8 ( )) 7. Setrojíme Hurwtzovu matc pro hrau kterou chceme tetovat: 8λ 7 8λ H (, λ ) 8 ( ) 8. Nyí muíme ajít pro λ, takové mmálí pro které Hurwtzovu matce ztrácí plou hodot. Př. λ, H (,, ) ; hod H ; pro, Pro všecha je hraa tablí, jelkož, (,) Ale pro λ extuje mmálí hodota parametru takové, že e ytém tává Hurwtzovky etablím. 8 8 H (, ) ; hod H ; pro, 7 8 Pro všecha >, 7 je hraa tablí.

26 . Výtupem algortmu je mmálí hodota, 7 pro kterou je ytém ještě tablí,ové hodoty mezí tervalových polyomů jou potom: ( ) 8 ; D ( ) ; A( ) [ 8,] ; B ( ) Na obr. je grafcký tet tablty pro daý ytém. Polytope of polyomal Polytope of polyomal 8 8 Imag Ax Imag Ax Real Ax Real Ax Obr. Vykreleí možy hodot ytému pro a, 7 Příklad Pro zadaé hodoty koefcetu přeoů outavy určete hodoty mezí robutí tablty tohoto ytému. D A B ( ) 8 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]. Nejprve otetujeme tabltu omálího ytému: ( ) ; D ( ) ; A ( ) ; B ( ) 8, pak charaktertcký polyom p ( ) 8. Jelkož všechy kořey leží v pravé polorově komplexí rovy je omálí ytém tablí.. Jelkož eurčtot objevující e v ejvyšší mocě char. polyomu eměí zaméko má char. polyom varatí tupeň.. Nyí parametrzujeme tervalové polyomy pomocí parametru dle předpu vz. rok. ( ) 8 ; D( ) ; B ( ) A ( ) [ ] [ ] [ ] [ 8 ]

27 . V dalším kroku vypíšeme všechy možé polyomy A(), B(), (), D(). [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ; ; ; 8 B D A. Vypíšeme všechy možé charaktertcké polyomy které reprezetují možu všech vrcholů polytopu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 8 ABD_p

28 . Jelkož máme vrcholů extuje hra pro tetováí robutí tablty a to hray dle áledujícího předpu: e (, λ, ) λ * ABD_p ( ) ( λ ) ABD_p ( ) Př. ; e * ( ( )) ( ( )) (, λ, ) λ 8 ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( λ ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Setrojíme Hurwtzovu matc pro hrau kterou chceme tetovat: ( ) H, λ 7 8 8λ 8 8λ 8λ 7 8λ 7 8 8λ 8 8λ 8λ 7 8λ ( ) 8. Nyí muíme ajít pro λ, takové mmálí pro které Hurwtzovu matce ztrácí plou hodot. Př. λ, H 7 8, λ ( ) 7 8 hod H ; pro,,,88 P ro všecha >, 88 je hraa tablí. Výtupem algortmu je mmálí hodota, 87 pro kterou je ytém ještě tablí,ové hodoty mezí tervalových polyomů jou potom: A ( ) 8 ; D( ) ; B( ) ( ) [,] [,8,] [,8,7] [,7, 8] Na obr. 7 je grafcký tet tablty pro daý ytém.

29 Polytope of polyomal Polytope of polyomal Imag Ax Imag Ax Real Ax Real Ax Obr. 7 Vykreleí možy hodot ytému pro a, Pop algortmu hra (Geeralzovaý hartoov) Veškeré výpočty jou vypracováy pro áledující zapojeí zpětovazebího ytému Obr. 8. B(,) A(,r) D() () Obr. 8 Zapojeí ytému pro aalýzu.krok Otetuj tabltu omálího ytému, jetlže eí omálí ytém tablí jd a ONE..krok Otetuj obahuje-l výledý charaktertcký polyom eurčtotí varatí tupeň. Jetlže zde eí zajště varatí tupeň, jd a ONE..krok Do dej ulu. Parametrzuj eurčtot pomocí parametru a to dle áledujícího předpu. m max [ a b c ] a ( b a )* c ( c b )*.krok Naplň ymbolcké matce A, B,, D všem chartoovým polyomy A(,r), B(,), (), D()..krok Naplň pole hra všem hraam parametrzovaým parametrem λ etaveým dle áledujícího popu. 7

30 (, λ ) B ( ) D ( ) [ λa ( ) ( λ ) A ( )] ( ) {,,, } ;, { (,), (, ), (,), (, )} e e (, λ ) [ λb ( ) ( λ ) B ( )] D ( ) A ( ) ( ) { (,), (, ), (,), (, )}; {,,, },.krok Vyber -tou hrau z pole e (,λ ) (pro prví krok ), jetlže ze( (,λ ) pak jd a ONE. e ) 7.krok Setav Hurwtzovu matc polyomu hray. 8.krok Pro všecha λ (,) urč pro které (,) plou hodot, jetlže ové > taré pak ové.jetlže Jak kok a.krok. ztrácí Hurwtzovu matce jd a ONE..krok ONE 8. Použtí algortmu hra a příkladu Příklad Pro zadaé hodoty koefcetu přeoů outavy určete hodoty mezí robutí tablty tohoto ytému. ( ) 8 ; D ( ) ; A( ) [ ] ; B ( ) [ ]. Nejprve otetujeme tabltu omálího ytému: ( ) 8 ; D ( ) ; A ( ) ; B ( ) ( ) 8, pak charaktertcký polyom p. Jelkož jou všechy koefcety tejého zamíka je omálí ytém tablí.. Jelkož e eurčtot eobjevuje v ejvyšší mocě char. polyomu, tudíž char. polyom má varatí tupeň.. Nyí parametrzujeme tervalové polyomy pomocí parametru dle předpu vz. rok. ( ) 8 ; D ( ) ; A( ) [ ]; B ( ) [ ] 8

31 . V dalším kroku vypíšeme všechy chartoovovy polyomy A(), B(), (), D(). [ 8 ] ; D [] ; A ; B. Moža hra pro tetováí tablty je určea áledujícím předpem: e (, λ ) D ( ) B ( ) ( )[ λa ( ) ( λ ) A ( )] {,,, } ;, { (,),(, ),(,),(, )} e (, λ ) D ( )[ λb ( ) ( λ ) B ( )] ( ) A ( ), { (,), (, ),(,), (, )}; {,,, }. Pro příklad vybereme áledující hrau pro tetováí: Př. e (, λ, ) ( ) 8 ( λ ( ) ( λ )( )) 7. Setrojíme Hurwtzovu matc pro vybraou hrau. H 8 8 8λ 8λ 8 (, λ ) ( ) 8. Nyí muíme ajít pro λ, takové mmálí pro které Hurwtzovu matce ztrácí plou hodot. Př. λ, Pro všecha 8 H (,, ) ; 8 hod H ; pro > je hraa tablí, jelkož (,). Výtupem algortmu je mmálí hodota, 7 pro kterou je ytém ještě tablí,ové hodoty mezí tervalových polyomů jou potom: A ( ) 8 ; B ( ) ; ( ) [,] ; D ( ) [,7 ] Na obr. je výledek grafckého tetu tablty pro teto ytém.

32 Polytope of polyomal Polytope of polyomal Im ag Ax Im ag Ax Real Ax Real Ax Obr. Vykreleí možy hodot ytému pro a, 7 Příklad Pro zadaé hodoty koefcetu přeoů outavy určete hodoty mezí robutí tablty tohoto ytému. D A B ( ) 8 ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ( ). Nejprve otetujeme tabltu omálího ytému: ] ( ) 8 ; D ( ) ; A( ) ; B ( ) p ( ) 8, pak charaktertcký polyom. Jelkož všechy kořey leží v pravé polorově komplexí rovy je omálí ytém tablí.. Jelkož eurčtot objevující e v ejvyšší mocě char. polyomu eměí zaméko má char. polyom varatí tupeň.. Nyí parametrzujeme tervalové polyomy pomocí parametru dle předpu vz. rok. A ( ) 8 ; D( ) ; B( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ 8 ]. V dalším kroku vypíšeme všechy chartoovovy polyomy A( ), B(), ( ), D(). ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) [ 8 ]; [ ] ; D A ; B [ ]

33 . Moža hra pro tetováí tablty je určea áledujícím předpem: e (, λ ) B ( ) D ( ) ( )[ λa ( ) ( λ ) A ( )] {,,, } ;, { (,),(, ),(,),(, )} e (, λ ) D ( )[ λb ( ) ( λ ) B ( )] ( ) A ( ) {(,), (, ),(,), (, )}; {,,, },. Pro příklad vybereme áledující hrau pro tetováí: Př., e ( ) ( ) (,, ) 8 λ ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) λ 8 λ 7. Setrojíme Hurwtzovu matc pro vybraou hrau. H λ 7 8 λ 8, λ ( ) 8λ 8 8λ 8 λ 7 8 λ 8 8λ 8 8λ 8 ( ) 8. Nyí muíme ajít pro λ, takové mmálí pro které Hurwtzovu matce ztrácí plou hodot. P ř. λ, H (,, ) hod H ; pro 7,878,,88 Pro všecha >, 88 je hraa tablí.. Výtupem algortmu je mmálí hodota, 87 pro kterou je ytém ještě tablí,ové hodoty mezí tervalových polyomů jou potom:

34 D A B ( ) 8 ( ) ( ) [,] [,8, ] [,8,7 ] [ ( ),7,8 ] Na obr. je výledek grafckého tetu tablty pro teto ytém. Polytope of polyomal Polytope of polyomal Imag Ax Imag Ax Real Ax Real Ax Obr. Vykreleí možy hodot ytému pro a, 87

35 Pop grafckého protředí Program e pouští příkazem dplom z příkazové řádky v Matlabu. Po puštěí e otevře hlaví oko (vz Obr. ), ve kterém je možo zadávat vtupí data jedotlvých přeoových matc ytému. Dále e v tomto okě volí metoda výpočtu, včetě puštěí amotého výpočtu. Je zde možot vykreleí trojúhelíkových fuzzy fukcí jedotlvých eurčtotí v daých matcích. V levém dolím rohu je obrázek e chématem zapojeí zpětovazebího ytému, pomocí tohoto obrázku je také možé zadávat vtupí hodoty. Důležtým objektem je Parametr alfa, u kterého e objeví hodota parametru po ukočeí výpočtu. Parametr. Zadáváí vtupích hodot Obr. Hlaví oko V tomto programu je ěkolk možotí jak zadávat č edtovat vtupí hodoty programu. Prvím způobem jak zadávat vtupí hodoty je pomocí tlačítek A,B,,D. Stkem tlačítka přílušejícího daé matc přeou ytému e aktvuje oko pro paí vtupích hodot matce. Toto oko lze také zvolt pomocí obrázku ytému a to klkutím a blok popem přílušejícím daé matc.

36 Zadáváí pomocí tlačítek Zadáváí pomocí bloků chématu Obr. Zadáváí vtupích dat pro aalýzu. Formát vtupích dat Velce důležtou věcí, kterou je třeba zát, je právý formát zadáváí vtupích dat do matcových oke. Vtupí hodoty e zadávají jako matce č vektor a to áledujícím způobem:. V případě, že přeo eobahuje eurčtot, bude e do oka pro zadáí přeoové matce pát loupcový vektor a to tak, že e potupuje od ejvyšší mocy přeou k mocě ejžší. A( ) A [ ; ; ; ] ebo také takto: A [ ] Př. Pro přeo e zapíše áledujícím způobem. V případě, že přeo obahuje eurčtot, bude e do oka pro zadáí přeoové matce pát matce a to tak, že e potupuje od ejvyšší mocy přeou k mocě ejžší; ty e zapují do loupců. V řádcích jou hodoty koefcetů daých moc a to ve třech loupcích.

37 ( ) ; tr (,,) ; tr (,, Př. Pro přeo A zapíše áledujícím způobem: A [ ; ; ; ] ) e Textové pole pro zadáváí koefcetů přeoových matc Obr. Formát vtupích dat. Volba metody výpočtu V tomto programu máme dvě možot pro volbu metody výpočtu a to Edge teorém tedy metodu tetováí všech možých hra polytopu, ebo můžeme zvolt Geeralzovaý hartoovův teorém ( hra) tedy metodu která tetuje pouze maxmálě důležtých hra. Volba Edge teorému e vyplatí pouze pro ytém obahující malé možtví eurčtotí. Naprot tomu je Geeralzovaý hartoovův teorém ložtějším algortmem ež Edge teorém, z čehož vyplývá, že co e týče čaové áročot eplatí přeě poměry z tabulky Tab.. Výhoda Geeralzovaého hartoovova teorému e uplatí pro vyšší počet parametrů. Volba metody výpočtu e provádí v hlavím okě a to pomocí meu Zvolte metodu výpočt u vz. Obrázek Obr..

38 Grafcká edtace a vykreleí koefcetů Spuštěí výpočtu Volba metody výpočtu Tlačítko oec Grafcký tet právot výpočtu Obr. Ovládací prvky hlavího oka. Další ovládací prvky Dalším ovládacím prvky v hlavím okě vz. Obr. jou tlačítko pro puštěí výpočt u Vypočt, dále tlačítko pro grafcký tet výledku výpočtu Tet, tlačítko pro grafckou edtac a vykreleí trojúhelíkových fuzzy fukcí jedotlvých eurčtých koefcetů přeoových matc Vykrel A (B,, D), poledím tlačítkem je tlačítko oec, které louží k ukočeí práce v grafckém protředí.

39 . Edtace koefcetů oefcety přeoových matc lze edtovat dvěma způoby. Prví možotí je edtace v textovém pol přepáím hodot v matc (vektoru). Druhým způobem je grafcká edtace a to po tkutí tlačítek Vykrel A (B,, D). po tku ěkterého z těchto tlačítek e otevře ové oko kde jou vykreley všechy trojúhelíkové fuzzy fukce koefcetů daé matce obahující eurčtot vz. Obr.. Obr. Oko pro grafckou edtac V tomto okě lze mět tervalové meze eurčtot a to po tkutí tlačítka Edtace, které je u každého grafu, po tku tohoto tlačítka e obě tervalové meze vykrelí jako čerě zbarveé body. Aktvace Edtace Obr. Aktvace edtace 7

40 Jetlže chceme bod pouout, ajedeme a ěj myší a př tkutém levém tlačítku myš ho poouváme (př vybráí e bod zbarví červeě). Změa meze Obr. 7 Výběr meze pro edtac V případě že ám evyhovuje krok v ouřadcích, lze teto krok zmešt č zvětšt v textovém pol Ratr. Abychom měl formace o ové poloze mezí, je zde textové pole Souřadce, kde e vypuje aktuálí hodota meze. Změa kroku a odečítáí ouřadce Tlačítka Edtace zablokováa Obr. 8 Změa kroku pro pou meze 8

41 Trojúhelíková fuzzy fukce e překrelí až po opětovém tkutí tlačítka Edtace, potom e odblokují tlačítka edtace u otatích grafů, které jou po dobu edtováí zablokováy. oec edtace Odblokováí tlačítek Edtace Obr. Ukočeí edtace. Grafcká kotrola výpočtu Pro ověřeí právot výpočtu je v tomto protředí možot grafcké aalýzy ytému ově vypočteým mezem eurčtot. Tato aalýza e aktvuje v hlavím okě pomocí tlačítka Tet vz. Obr.. Po tku tohoto tlačítka e otevře ové oko vz. Obr. a vykrelí e průběh možy hodot v komplexí rově vz. Obr.. Matce ovým mezem Parametr alfa Vektor frekvece pro překreleí Tlačítko pro překreleí Tlačítko pro ukočeí Obr. Oko pro grafckou terpretac výledku

42 Obr. Graf možy hodot výledého ytému V ově otevřeém okě jou uvedey ové hodoty mezí, vypočteý parametr, dále je zde možé mět rozah frekvece ve kterém je frekvečí charaktertka vykrelea vz. Obr.. Po zadáí ového rozahu frekvece je pro překreleí charaktertky zapotřebí tkout tlačítko Překrel. Tet lze použít pro ově zadaý ytém, aby e zabrálo zbytečému zdlouhavému výpočtu v případě, že je celý ytém tablí. Nově zadaý vektor frekvece Obr. Změa rozahu úhlové frekvece

43 Obr. Graf možy hodot po změě úhlové frekvece Tetováí algortmů Tetováí algortmů jem prováděl a růzých ytémech měícím e počtem parametrů eurčtot, které byly růzě rozmítěy v polyomech čtatele a jmeovatele. Př tetováí jem e zajímal jak o právý výpočet parametru tak o porováí délky výpočtu pro jedotlvé algortmy. Výledky tetováí jou uvedey v tabulce Tab.. Počet parametrů eurčtot v jedotlvých polyomech odpovídá řádu polyomů. Parametry eurčtot Počet parametrů eurčtot Polyom jmeovatele Polyom čtatele Polyom jmeovatele Polyom čtatele Polyom jmeovatele Polyom čtatele Polyom jmeovatele Polyom čtatele Polyom jmeovatele Polyom čtatele Polyom jmeovatele Polyom čtatele Polyom jmeovatele Polyom čtatele Polyom jmeovatele Polyom čtatele elkový počet parametrů eurčtot Edge tet Doba výpočtu [] Geeralzovaý hartoov Doba výpočtu [],,8,8,.,, 8, 8,8,8 7,,8,,,, Tab.

44 Z výledků v tabulce je zřejmé, že Edge tet e vyplatí pro více parametrů eurčtot (pro více ež tř parametry eurčtot). Pro tetováí hray v algortmech jem použl vzorkováí λ a to pro krok,, výledky jou velce přeé pro vzorkováí, př výpočtu eurčtým λ byly výledky téměř totožé ovšem ča potřebý pro výpočet byl mohem větší ež pro vzorkovaé λ. Tetováí bylo prováděo a P áledující hardwarovou kofgurací: proceor: Itel elero, GHz Paměť RAM: MB HDD: GB ; 7 ot./m. Závěr Hlaví áplí této práce byla mplemetace algortmů pro aalýzu robutí tablty ytémů obahujících parametrckou eurčtot popaou fuzzy fukcí. Sytém který aalyzujeme je lože ze outavy a regulátoru zapojeých do záporé zpěté vazby. Těmto algortmy byly Edge teorém a geeralzovaý hartoovův teorém. Základím předpokladem pro mplemetac těchto algortmů bylo to, že eurčtot je obažea pouze v přeou outavy, přeo regulátor je kotatí. V mou avržeých algortmech může být eurčtot obažea jak v přeou outavy tak v přeou regulátoru tím, že eurčtot emí být ejedou obažea v polyomech čtatelů (jmeovatelů) jedotlvých přeoů. mplemetovaým algortmům jem zároveň aprogramoval grafcké protředí, ve kterém je možo zadávat vtupí data, volt metodu výpočtu, grafcky edtovat jedotlvé parametry a provádět grafckou kotrolu výpočtu. Této grafcké kotroly je možo použít ještě před zahájeím výpočtu, aby e zabrálo zbytečě dlouhému výpočtu v případě, že je ytém tablí obažeou eurčtotí. Př tetováí tablty jedotlvých hra jem použl vzorkováí hray, protože př počítáí eurčtým parametrem hray λ je výpočet mohem delší a řešeí bylo mmálě odlšé. Př tetováí použtých algortmů jem porovával přeot výpočtu a dobu výpočtu pro tyto algortmy. Pro tetováí jem použl růzý počet parametrů eurčtot a růzé rozmítěí parametrů eurčtot v rámc polyomů jed otlvých přeoů. Z výledků je zřejmé, že Edge tet e vyplatí použít pouze u ytémů obahujících maxmálě tř parametry eurčtot pro vyšší počet parametrů eurčtot e vyplácí použít g eeralzovaý hartoovův teorém. Metoda použ tí fuzzy fukcí pro pop eurčtot je v elce dobrým způob em jak řešt ap říklad přeot výroby, k de ám parametr říká jakou přeotí muí být daý prvek vyrobe.

45 Lteratura [] O-le předášky předmětu Robutí řízeí URL: <dce.felk.cvut.cz/ror> [ct.--] [] S. P. Bhattacharyya, H. hapellat ad L. H. eel. Robut otrol: The Parametrc Approach. Pretce-Hall, Ic.,. [] J. Boda ad J. Pcó. Aaly of Sytem wth Varable Parametrc Ucertaty Ug Fuzzy Fucto. I: Proceedg of Europea otrol oferece E, arlruhe, Germay,. [] J. Boda ad J. Pcó. Applcato of Fuctoal Iterval to the Stablty Aaly of Fuzzy Lear Sytem. I: Proceedg of the th IFSA World ogre ad th NAFIPS Iteratoal oferece, Vacouver, aada, pp. 7-,. [] P. Hušek ad R. Dvořáková. Robut Stablty of Polyomal wth Polyomc of oeffcet. I: Proceedg of the 8th IEEE Medterraea oferece o otrol & Automato, Patra, Greece,. [] D. Dubo ad H. Prade. Fuzzy Set ad Sytem: Theory ad Applcato. Academc Pre, Ic., 8.