Magnetické pole je vytvářeno dvěma objekty, mezi nimi leží rovina z = 0. V ní nabývá magnetické pole hodnot. 4π (R 2 + a 2 ) 5 2 (R 2 + a 2 ) 3 z,

Transkript

1 Zdání písemné práce z Klsické elektrodynmiky Jindřich Šándor Úloh Mgnetické pole je vytvářeno dvěm objekty, mezi nimi leží rovin z =. V ní nbývá mgnetické pole hodnot [ B(z = = µ N 3 e ( + 5 ( + 3 z, kde je vzdálenost od osy z, tedy od počátku souřdnic v uvžovné rovině z =. Poloh intenzit zdrojů mgnetického pole jsou obsženy v prmetrech M. Njděte celkový tok Mxwellov tenzoru [ F i = T ij ds j = H i B j δ ijh k B k ds j rovinou z =. Při výpočtu můžete využít, že d ( + k = (k k, 3 d ( + k = (k (k k 4. Řešení: Ploch z = s orientcí ds = ez ds = π d e z (spolu s kusem nebeské sféry, kde pole dosttečně rychle vymizí tvoří hrnici poloprostoru Ω = {[x, y, z; z < } I 3. Po doszení uvžovného pole dostáváme F = µ [ BBz B e z ds = F = 4µ N 6π ( π ( µ N ( 3 µ ( + 5/ ( + 3/ d e z e z = 6µ N e z ( 4, 9 4 (5 8 3 (4 6 + (3 4 což je síl mezi dvěm opčnými dipóly nvzájem vzdálenými. (Zdné mgnetické pole je polem dvou souhlsně orientovných mgnetických dipólů M e z ležících n ose z v bodech z = ±, když definiční obor souřdnice r omezíme n rovinu z =. Znménko odpovídá tomu, že dipól v Ω je přithován souhlsně s orientcí osy z. Úloh V roce 6 dokázli (viz obrázek mesečusečtí výzkumníci přenášet bez drátů pomocí elektromgnetické indukce n frekvenci 3 MHz výkon 6 W mezi dvěm cívkmi n vzdálenost m. Proved te podle podle návodu níže kritickou nlýzu problému zloženou n Poyntingově objevu. (V rámci posledního bodu můžete vysvětlit, proč při dodržení omezení n bezpečnou intenzitu mgnetického pole bezdrátový indukční přenos uvedeného výkonu frekvence není prktický. Protože elektromgnetická indukce vyžduje čsově proměnná pole t s hrmonickým průběhem jsou pro výpočty nejpohodlnější, budeme prcovt s komplexní notcí, kdy npř. U = Ûe iωt znmená, že okmžitá hodnot veličiny U(t = e (Ûe iωt. V lineárních vztzích se nemusíme obtěžovt čsovou závislost reálnou část vůbec zpisovt vystčíme s komplexní veličinou Û. Pokud v rovnici smžeme stříšky, předstvujeme si, že okmžitá hodnot je dán reálnou částí celého výrzu. Musíme le vždy dát pozor, který z koeficientů v rovnici je komplexní zhrnuje v sobě jev fázového posunu, který nemůžeme zevnitř funkce e vytknout. V kvdrtických vztzích npř. pro výkon pk místo okmžité používáme rději střední hodnotu, npř. <U(tI(t>= e(ûî. (Hvězdičk oznčuje komplexní

2 sdružení. Někdy se fktor / odmocní rovnoprávně distribuuje do obou činitelů, které se pk nzývjí efektivní, součin komplexních fází činitelů pk dá účiník. Zved te souřdnice tk, že obě cívky mjí společnou osu z, přičemž střed primární cívky je v z = b té sekundární (to je t s 6W žárovkou je v z = +b. Pro dlší výpočty nhrd te cívky bodovými dipóly m = ˆm e z m = ˆm e z. (U vektorových veličin nepíši stříšku, tedy ˆ X = ˆX = X, význm se určí z kontextu. Uvžujte nyní rovinu z =, v ní funkci ρ = + b, kde = x + y, φ, z jsou válcové souřdnice. Uvžujte vektorová pole v rovině z = : T = ˆk T ρ 5 e + ˆl b T ρ 5 e z U = ˆk U ρ 8 e + ˆl ( b U ρ 8 V = ˆk V ρ 3 e φ + ˆl V ρ 3 e z W = ˆk W b ρ 5 e z e + ˆl W ρ 5 e z X = ˆk X ( b ρ 8 e + ˆl X ρ 8 e z Y = ˆk Y ρ 3 e φ + ˆl Y ρ 3 e z Obrázek k úloze. Cívky, žárovk, výzkumníci, rovin z = úsek osy z o délce b.. Lze dný problém řešit v rámci kvzistcionární proximce? (Bez ohledu n vše zjištění tuto proximci v dlších výpočtech použijte! Řešení: Z údjů, které známe n zčátku řešení jsou klíčové rozměry problému (d = m vlnová délk elektromgnetické vlny s dnou frekvencí λ = m. Lze tedy předpokládt, že přesný výpočet dá pozorovtelné korekce k řešení, které dále budeme konstruovt z použití kvzistcionární proximce. Když tk npříkld dojdeme k výsledku, že optimální fázový rozdíl mezi proudy je π/, je jsné že tento údj se změní, když prkticky stejný fázový posuv vnikne již jen v důsledku čsového zpoždění, tedy efektu šíření vlny od vysílcí k přijímcí cívce!. Určete, které z polí výše popisuje mgnetické pole B superpozice dipólů m m. Vyjádřete neznámé konstnty ˆk, ˆl jko funkce ˆm, ˆm, b, ω (některá z uvedených konstnt může být i identicky nulová. Řešení: Z nápovědy níže vidíme, že mgnetické pole dvojice dipólů má všude v prostoru tvr B = µ [( m3(z + b m3(z b + ( + (z + b 5/ ( + (z b 5/ Doszením z = vyjde B = µ [( m 3(b ( + b 5/ + m 3( b ( + b 5/ Odsud máme, že B = T e + (m (z + b ( + (z + b 5/ + m (z b ( + (z b 5/ b e + (m ( + b 5/ + m b ( + b 5/ e z µ [(3(m m b ρ 5 e + (m + m b ρ 5 e z. ˆk T = 3µ b( ˆm ˆm, ˆlT = µ ( ˆm + ˆm. e z. V posledním kroku jsme tké vzli v úvhu, že dále budeme prcovt s komplexními mplitudmi místo okmžitými veličinmi. 3. N zákldě známé podoby vektorového potenciálu mgnetického dipólu fktu, že pole se mění hrmonicky v čse, určete, které z polí výše popisuje elektrické pole E indukovné v čse se

3 měnícím superponovným mgnetickým polem dipólů m m. Vyjádřete neznámé konstnty ˆk, ˆl jko funkce ˆm, ˆm, b, ω (některá z konstnt může být i identicky nulová. Řešení: Z nápovědy níže vidíme, že vektorový potenciál dvojice dipólů má všude v prostoru tvr A = µ Doszením z = vyjde ( m ( + (z + b 3/ + m ( + (z b 3/ e φ, A = µ ( (m + m ρ 3 e φ. Elektrické pole je dáno E = ta, není potřeb přidávt Φ, protože neuvžujeme řádné dlší náboje, vodiče tp. E = µ ( (ṁ + ṁ ρ 3 e φ. Pře předpokládném čsovém průběhu e iωt máme t = iω tedy E = i µ ( ω ( ˆm + ˆm ρ 3 e φ. Proto E = Y ˆk Y = i µ ω ( ˆm + ˆm, ˆlY =. 4. Spočtěte E dl t B ds pro kružnice resp. kruhy = konst. v rovině z = ověřte, že splňují Frdyův indukční zákon. Jký důsledek má tto Mxwellov rovnice pro koeficienty ˆk, ˆl polí E B? (Při hledání primitivní funkce můžete využít toho, že výsledek integrce vlstně znáte integrci nhrdit derivováním. Řešení: Zčneme výpočtem E dl = πe φ = µ (ṁ + ṁ ρ 3. Pro tok mgnetického pole B ds = K ( K ( N zákldě nápovědy spočteme Proto B z πd = µ (m b + m ( + b π d. 5/ d d ( + b 3/ = ( + b 3/ 3 3 ( + b 5/ = b ( + b K ( uvžovná Mxwellov rovnice je splněn. B ds = µ (m + m ρ 3 5/. 5. Nlezněte hodnotu Poyntingov vektoru S v rovině z = spočtěte střední hodnotu výkonu P = < S> ds přes celou rovinu z =. Zmiňte, jký význm má orientce integrční plochy. Řešení: Poyntingův vektor je S = µ E B, S = µ ( (ṁ + ṁ ρ 3 e φ [(3(m m b ρ 5 e + (m + m b e z Využijeme e φ e = e z, e φ e z = e dostneme pro S = S e + S z e z, kde S = µ ( (ṁ + ṁ (m + m (b ρ 8, ρ 5.

4 S z = 3µ b ( (ṁ + ṁ (m m ρ 8. První výrze, S popisuje tok výkonu doplňujícího energii mgnetického pole rdiálním směrem nebudeme jej dále potřebovt. Zvolíme-li orientci ds = + e z ds dostáváme S ds jko výkon tekoucí z poloprostoru z < do poloprostoru z >. V kvzistcionární proximci nemůže být výkon spotřebován jinde než v dipólech n budování mgnetického pole. Zde přichází n scénu střední hodnot tkového výkonu. T totiž nemůže být použit n vznik pole hrmonického čsového průběhu to by totiž musel jeho enegie neustále růst. Jink řečeno, střední hodnot čsové derivce omezené d funkce musí být nulová (v Poyntingově větě stojí dt (w mg střední hodnot výkonu musí být veličinou rovnou přenášenému výkonu z primární do sekundární cívky. Střední hodnotu výkonu můžeme (pro ty, co nemjí rádi Steinmetzův komplexní přístup spočíst tk, že položíme m = n cos(ωt, m = n cos(ωt φ. Pk (ṁ + ṁ (m m = ω(n sin(ωt + n sin(ωt φ(n cos(ωt n cos(ωt φ = ω[n sin(ωt + n sin(ωt cos φ n cos(ωt sin φ[n cos(ωt n cos(ωt cos φ n sin(ωt sin φ = ω[(n + n cos φ sin(ωt n cos(ωt sin φ[(n n cos φ cos(ωt n sin(ωt sin φ Poté s použitím <sin (ωt>=<cos (ωt>= <sin(ωt cos(ωt>= vyjde < (ṁ + ṁ (m m >= ω[(n + n cos φn sin φ + n sin φ(n n cos φ = ωn n sin φ. Protože tkový výpočet je poněkud delší, můžeme zkusit i vrintu se stříškmi: Protože e[ iz = Im(z, máme < S z >= 3µ b ( e [ iω( ˆm + ˆm ( ˆm ˆm ρ 8. e [ i( ˆm + ˆm ( ˆm ˆm = Im [ ˆm ˆm ˆm ˆm + ˆm ˆm ˆm ˆm = n n sin(φ φ, kde jsme použili m j = n j e iφ j, n j I sin φ = Im e iφ. Jkmile jsme vyřešili problém se střední hodnotou sndno spočteme přenášený výkon P = <S z > π d = 3µ bω 8π n 3 n sin φ ( + b 4 = µ ω 3πb 3 n n sin φ. 6. Jká hodnot mgnetického pole se dá očekávt v počátku pro dné hodnoty přeneseného výkonu P, frekvence ω při vzdálenosti cívek/dipólů b z předpokldu, že mplitudy obou mgnetických dipólů jsou stejné liší se jen fáze? Spočtěte obecně i číselně. (Pozn. Pro komplexní číslo z splňující z = je mx ( + z( z =. Řešení: Ve středu = je nenulová jen xiální složk B = µ (m + m b 3 e z. Amplitud mgnetického pole ve středu je pro n = n = m úměrná ( + cos φ + sin φ = cos(φ/, tedy B = µ π b 3 m cos(φ/. V dlším kroku vyjádříme mgnetické pole pomocí přenášeného výkonu n n sin φ = 3πb 3 (µ ω P 3πb m = 3 µ ω P / sin φ

5 s použitím cos (φ//sin φ = cos(φ//( sin(φ/ B = µ 3πb 3 π b 3 µ ω P cos(φ/, sin φ 6µ B = cot πb 3 ω P φ cot φ.4µt. Ztímco tto hodnot je mplitudou mgnetického pole, u výkonu jsme uvžovli hodnotu střední. Pro technickou prxi se používjí efektivní hodnoty místo mplitud (tzv. rms, tedy fktor pro účely bezpečnosti máme mgnetické pole o velikosti µt. Zásdy bezpečnosti jsou složité, nicméně existují referenční hodnoty, do kterých se není třeb zbývt detily zřízení lze bezpečně provozovt. N dné frekvenci je tto referenční hodnot.9µt. 7. Jký je optimální rozdíl fází proudů v obou cívkách? Řešení: V předchozím bodě jsme nlezli, že mgnetické pole v počátku může být při dném přenášeném výkonu libovolně mlé. Při konstrukci Poyntingov vektoru jsme viděli, že to je složk B nikoli B z, která určuje přenos výkonu proto je vymizení B přípustné. Jk se le bude φ π, poroste m nde všechny meze hlvně zčne být zbytečně silné pole v blízkosti cívek. Proto v dlším zvolíme φ = π/, což je optimální hodnot, zjímá-li nás co nejnižší proud v cívkách (důležité pro účinnost tké co nejmenší pole poblíž cívek. 8. Kolikrát silnější pole než v počátku očekáváte ve vzdálenosti cm od dipólu? Řešení: Protože nás zjímá orientční hodnot, využijeme fktu, že velikost pole bude určovt bližší z cívek/dipólů. Poté máme (pro b/5 = cm pro cot(φ/ = B B = B = µ m π (b/5 3 µ m π (b/5 3 µ π m b 3 = Je to tto hodnot B, které zhrub předstvuje velikost mgnetického pole, jíž by byl vystven osob nbíjené zřízení používjící. Ztímco B doshuje hodnotu µt, což již je z hrnicí bezpečnostních předpisů, fktor 88 předstvuje dlší problém. Pokud bychom pk rději pro přenos energie chtěli používt krát slbší pole, museli bychom přenášený výkon zmenšit s kvdrátem příslušného fktoru -krát! Nyní bychom se mohli vrátit k bodu. Omezení n kvzistcionární přiblížení není jen způsob jk si zjednodušit výpočty. Jde tké o to, že zřízení pk nevyzřuje elektromgnetické vlny mimo oblst, kde jej provozujeme. To by jednk snížilo účinnost jednk obtěžovlo sousedy. Zdá se ovšem, že kvzistcionární limit nedovoluje provoz tkovéhoto zřízení. Zd lze výkony desítek wttů bezpečně prkticky bezdrátově přenášet do telefonu ve vší kpse z pomoci plných Mxwellových rovnic se ještě ukáže. Dlší užitečné informce: Mgnetický dipól m = m z e z sídlící v počátku má ve válcových souřdnicích A = µ ( m z ( + z 3/ e φ, B µ m z 3z = ( + z 5/ e + z ( + z 5/ e z. Určitý integrál lze s pomocí nebo SW Mthemtic spočíst tkto: Integrte[ /(^ + b^^(3/, {,, Infinity}, Assumptions -> b > } Přípustné hodnoty střídvých mgnetických polí nleznete v Obrázku n Předpokld, že mplitudy obou mgnetických dipólů jsou stejné minimlizuje velikost mgnetického pole pro dný přenesený výkon.

6 Úloh 3 Uvžujte elektromgnetické pole uvnitř krychle vyjádřené v krtézských souřdnicích x, y, z jko součin intervlů <, > <, > <, >. Stěny krychle jsou z dokonle vodivého mteriálu elektrická složk pole uvnitř krychle má tvr ( 3πy E = A sin sin cos ωt e x Nlezněte mgnetické pole z předpokldu, že má též hrmonický průběh v t. b Spočtěte celkovou energii elektromgnetického pole uvnitř dutiny rezonátoru. Pro která ω se zchovává? c N kterých stěnách krychle se indukuje plošná nábojová hustot? Nčrtněte pole plošných proudů, které po těchto stěnách krychle tečou. Řešení Mgnetické pole nlezneme z rovnice tb = E z použití f ex = f e x, tedy E = A π [ ( 3πy ( 3πy sin cos e y 3 cos sin e z cos ωt. Proto B = A π [ ( 3πy ( 3πy sin cos e y + 3 cos sin e z sin ωt. ω Energii elektromgnetického pole uvnitř krychle nlezneme integrcí její hustoty W = ɛ ( E + c B dv K Z pozorování, že sin x i cos x mjí periodu π, vidíme, že kždý z kvdrátů sinů či kosinů prostorových souřdnic přispěje svojí střední hodnotou, tedy fktorem /. Proto W = ɛ K(A ( 4 cos ωt + c A ω π ( sin ωtdv = A 3 ɛ ( cπ 4 8 (cos ωt + sin ωt ω

7 Aby součet nezávisel n čse, musí pltit ω = π c. Protože víme, že zchování energie elektomgnetického pole je důsledkem Mxwellových rovnic, nepřekvpí, že tto frekvence vyjde i jko podmínk jejich splnění při zdném tvru E. Mgnetické pole u stěn krychle určuje proudové pole z j pl = µ n B, kde znménko říká, že n je vnější normál, ztímco B je pole uvnitř krychle. Při uvážení, že cos π =, e x e z = e y tp. po stěně krychle y = teče proud j pl = e y B z e z = 3A π µ µ ω sin sin ωt e x, y po stěně z = j pl = e z B y e y = A π ( 3πy µ µ ω sin sin ωt e x po stěně x = je j pl = e x B µ = A π µ ω [ sin ( 3πy cos Proudové pole ve stěnách krychle v t = π ω. e z + 3 cos ( 3πy sin x e y sin ωt. Jk je vidět z uvedeného vzthu i z obrázku, jen v této stěně x = je proudové pole zřídlové - jen n nich sídlí (v čse se měnící plošná nábojová hustot, jk je vidět z tvru elektrického pole uvnitř krychle.