8 Stereometrie. 8.1 Polohové vlastnosti v prostoru

Transkript

1 8 Steremetrie 8. Plhvé vlaststi v prstru V kapitle.4 jsme uvedli základí gemetrické pjmy bd, přímka a rvia, vysvětlili jsme rvěž pjem gemetrickéh útvaru jak mžiy bdů. Vysvětlili jsme též pjem icidece. Dále jsme se však zabývali puze útvary, které jsu pdmžiami rviy rviými gemetrickými útvary. Nyí se budeme zabývat útvary, které elze umístit d rviy, a vztahy mezi těmit útvary, tj. prstrvými útvary a prstrvými vztahy. Základí vztahy mezi prstrvými útvary: ) Ke každé přímce lze daým bdem v prstru vést právě jedu rvběžku. ) Dvěma růzými bdy AB prchází právě jeda přímka p (je jimi jedzačě určea). Píšeme p AB. ) Leží-li dva bdy AB, v rviě α, pak v tét rviě leží i přímka p AB. 4) Daým bdem A a dau přímku p, A p, prchází (je určea) právě jeda rvia. 5) Třemi růzými bdy ABC, ; ; které eleží a téže přímce, prchází (je určea) právě jeda rvia. 6) Dvěma růzými přímkami, které mají splečý bd (růzběžkami), prchází (je určea) právě jeda rvia. 7) Mají-li dvě růzé rviy splečý bd, pak mají spleču celu přímku (průsečici), která tímt bdem prchází. Mim průsečici již emají žádý splečeý bd. Vzájemá plha přímek a rvi: Římský vjevůdce Marcellus ám zamuje, že zvítězí ad Syrakusami dříve, ež bude měsíc v úplňku. Uvidíme. Mžá bude celé jeh lďstv v plameech dřív, ež uvidí aše hradby. Zkusím h prazit jedu hezku gemetricku větu. (Archimedes) Dvě přímky v prstru: - eleží v jedé rviě (mimběžky) - leží v téže rviě: - žádý splečý bd (přímky rvběžé růzé) - jede splečý bd (přímky růzběžé) - všechy splečé bdy (přímky rvběžé splývající). Přímka a rvia v prstru: - žádý splečý bd (přímka je rvběžá s rviu a eleží v í) - jede splečý bd (přímka je růzběžá s rviu) - všechy splečé bdy (přímka leží v rviě). Dvě rviy v prstru - žádý splečý bd (rviy rvběžé růzé) - splečá právě jeda přímka (rviy růzběžé) - splečé všechy bdy (rviy rvběžé splývající). 67

2 Plprstr: Každá rvia rzděluje prstr a dva pačé plprstry, jejichž průikem je právě hraičí rvia. Každý plprstr je urče hraičí rviu a bdem, který a í eleží (vitřím bdem). Plprstr určeý hraičí rviu α a vitřím bdem B začíme αb. Vrstva: Nechť jsu dáy dvě rvběžé rviy α; β a bdy A α; B β. Vrstvu rzumíme mžiu αb β A. Rviy α; β azýváme hraičími rviami vrstvy. Rvběžst přímek a rvi: Bdem A prchází právě jeda rvia rvběžá s dau rviu α. Pr každé tři přímky p, qr, a každé tři rviy α, βγ, platí: ( p q) ( q r) ( p r) ( p q) ( p α ) ( q α ) ( α β) ( β γ) ( α γ) ( α β) ( β p) ( α p) Pstačující pdmíky (kriteria) rvběžsti: Přímka p je rvběžá s rviu α právě tehdy, když v rviě α leží přímka q rvběžá s p. Rviy α; β jsu rvběžé právě tehdy, když v rviě α leží dvě růzběžky, z ichž každá je rvběžá s rviu β. 8. Metrické vlaststi v prstru Odchylka dvu přímek: Odchylku dvu přímek v rviě rzumíme velikst pravéh, stréh eb ulvéh úhlu, který tyt přímky svírají. V prstru se tet pjem rzšiřuje i a mimběžé přímky. Tt rzšířeí se pírá ásledující větu: Nechť p; q jsu růzběžky, p; q růzběžky takvé, že p p ; q q. Pak dchylka přímek p; q je rva dchylce přímek p; q. 68

3 Odchylku dvu mimběžek p; q rzumíme dchylku růzběžek p '; q ' vedeých v prstru libvlým bdem tak, že p p'; q q'. (v důsledku předešlé věty tat dchylka ezávisí a vlbě průsečíku růzběžek p '; q ' ). Přímky klmé v prstru: dvě přímky p; q jsu avzájem klmé právě tehdy, když jejich dchylka je π. (Odchylka je defiváa i pr mimběžky i ty tedy mhu být avzájem klmé). Klmst přímky a rviy: Přímka p je klmá k rviě α právě tehdy, když je klmá ke všem přímkám, které v tét rviě leží. O klmsti přímky a rviy platí ásledující věty: Pstačující pdmíka (kriterium) klmsti přímky a rviy: Přímka je klmá k rviě právě tehdy, když je klmá ke dvěma růzběžkám tét rviy. Daým bdem lze k daé rviě vést právě jedu klmici. Daým bdem lze k daé přímce vést právě jedu klmu rviu. Všechy klmice k téže rviě jsu vzájemě rvběžé. Všechy rviy klmé k téže přímce jsu vzájemě rvběžé. Pjem klmsti rzšiřujeme i a plpřímku AB, resp. úsečku AB, kterých říkáme, že jsu klmé k přímce (plpřímce, rviě), je-li k těmt útvarům klmá přímka p AB (aalgicky rzšiřujeme i pjem dchylky). Vzdálesti bdu A d přímky p v prstru je vzdálest v bdu A d bdu P, kde bd P je průsečík přímky p s rviu klmu k přímce p a prcházející bdem A. Vzdálest dvu rvběžek je rva jejich vzdálesti v rviě, kteru tyt rvběžky určují (splývající rvběžky mají vzdálest rvu ule). Příčka mimběžek: je libvlá přímka růzběžá s běma mimběžkami Vzdálest dvu mimběžek: je délka úsečky, jejíž krají bdy jsu průsečíky příčky klmé k běma mimběžkám s těmit mimběžkami. 69

4 Vzdálest bdu A d rviy α je vzdálest bdu A d paty P klmice vedeé z bdu A a tut rviu. Vzdálest přímky a d rviy α s í rvběžé je vzdálest libvléh bdu A a d rviy α. Vzdálest dvu rvběžých rvi je vzdálest libvléh bdu jedé rviy d rviy druhé. Odchylka dvu rvi α; β je rva dchylce průsečic p; p těcht rvi s libvlu rviu, která je klmá a bě rviy α; β (eb též dchylce přímek ab, ; kde a α; b β ). Věty klmsti přímek a rvi: Pstačující pdmíka (kriterium) klmsti dvu rvi: Rviy α; β jsu avzájem klmé právě tehdy, když v rviě β leží klmice k rviě α. Jsu-li rviy α; β růzběžé a bě klmé k rviě γ, pal průsečice rvi α; β je klmá k rviě γ. Jsu-li přímka p a rvia α klmé k rviě β, pak jsu vzájemě rvběžé. Je-li přímka p rvběžá s rviu α a zárveň klmá k rviě β, pak α β Pravúhlý průmět bdu P d rviy α je pata klmice P 0 spuštěá z bdu P a rviu α. Pravúhlý průmět útvaru U d rviy α je mžia U 0 všech pravúhlých průmětů bdů útvaru U d rviy α. Odchylka přímky p d rviy α je dchylka tét přímky d jejíh pravúhléh průmětu d rviy α. Shdé zbrazeí v prstru je prsté zbrazeí, v ěmž pr každé dva bdy X ; Y v prstru a jejich brazy X '; Y ' platí XY = X ' Y '. Shdé útvary v prstru: Dva útvary UU ; ' v prstru azýváme shdé právě tehdy, když existuje shdé zbrazeí v prstru takvé, že útvar U ' je brazem útvaru U. 70

5 8. Gemetrická tělesa Gemetrickým tělesem (dále je tělesem) rzumíme suvislu mžiu bdů v prstru hraičeu uzavřeu plchu (hraicí, pvrchem tělesa), která d tét mžiy rvěž patří. Pjem pvrch tělesa budeme pužívat také ve smyslu bsah hraice tělesa. Hralvá plcha, hral: Nechť je dá kvexí -úhelík AA... A a přímka s růzběžá s rviu, v íž tet -úhelík leží. Sjedceí všech bdů ležících a všech přímkách rvběžých s s a prtíajících -úhelík AA... A azýváme hralvým prstrem. Sjedceí bdů ležících a přímkách rvběžých s s a prtíajících bvd -úhelíka AA... A azýváme hralvu plchu. Průik hralvéh prstru s vrstvu, jejíž hraičí rviy jsu rvběžé s rviu mhúhelíka AA... A, azýváme hralem. Pvrch hralu je tvře dvěma mhúhelíky - pdstavami a rvběžíky - bčími stěami. Sjedceí všech bčích stě se azývá plášť hralu. Průik dvu bčích stě se azývá bčí hraa, průik bčí stěy a pdstavy pak pdstavá hraa. Vzdálest pdstavých rvi se azývá výška hralu. Klmý hral je hral, jehž bčí hray jsu klmé k pdstavám. Kvádr hral, jehž všechy stěy (včetě pdstav) jsu bdélíky Krychle kvádr, jehž všechy stěy jsu čtverce.. Příklad: Vypčtěme veliksti tělesvých úhlpříček AD '; BD ' pravideléh šestibkéh hralu, je-li pdstavá hraa a = 5 cm a bčí hraa b = 7 cm. Řešeí: Máme vypčítat přepy pravúhlých trjúhelíků ADD '; BDD ' (viz připjeý brázek). Prtže DD ' = v = 7 cm ; AD = a = 0 cm ; je: AD ' = AD + DD ' = 0 + 7,. Ke zjištěí délky úhlpříčky BD ' ptřebujeme zát velikst BD. Tu zjistíme jak dvěsu v pravúhlém trjúhelíku ABD : BD = AD AB = 0 5 = 5, Tedy: BD ' = BD + DD ' = (5 ) + 7 = 4,4. Příklad: Ozačme M střed hray AA ' krychle. Určeme dchylku tělesvé úhlpříčky BD ' d přímky MB. Řešeí: Zde bude výhdé využít aparátu vektrvéh pčtu, a sice vzrce pr úhel dvu vektrů. Te jsme v kpt. 7.. uvedli je pr vektr v rviě, platí však i v prstru. Umístíme-li pčátek suřadé sustavy d 7

6 a bdu B a suřadé sy d hra krychle, je BM ( u; u; u) = = a;0; ; BD' = ( v ; v ; v ) = ( a; a; a). Tedy: a a + 0 uv + uv + uv 5 csγ = = = γ 75 u 5 + u + u v + v + v a a a + a + a Jehlavá plcha, jehla: Nechť je dá kvexí -úhelík AA... A a bd V, který eleží v jeh rviě. Sjedceí všech bdů ležících a všech přímkách prcházejících bdem V a prtíajících -úhelík AA... A azýváme jehlavým prstrem, bd V se azývá jeh vrchl. Sjedceí všech bdů ležících a všech přímkách prcházejících bdem V a prtíajících bvd -úhelíka AA... A azýváme jehlavu plchu, bd V se azývá její vrchl. Průik jehlavéh prstru s vrstvu, jejíž jeda hraičí rvia prchází vrchlem rvběžě s rviu -úhelíka AA... A, se azývá jehla. Pjmy pdstava, bčí stěa, hraa, vrchl, výška defiujeme aalgicky jak u hralu.. Příklad: Je dá pravidelý čtyřbký jehla, jehž pdstavé i bčí hray mají shdu velikst a. Vypčtěme a) dchylku bčí stěy d rviy pdstavy b) dchylku bčí hray d rviy pdstavy Řešeí: a) Úsečka VS ' je výšku v rvstraém BCV straě a. Je tedy: a b) Úsečka AS je plviu úhlpříčky čtverce straě a, tedy Je tedy a csα 45 a = = α =. VS ' = a a a =. Prtže SS ' =, je a csγ = = γ 54 45'. a = + =. AS a a a Kmlý jehla: je průik jehlavéh prstru výše uvedeu vrstvu za předpkladu, že v tét vrstvě eleží vrchl. (Kruhvá) válcvá plcha, válec: Nechť je dá kruh a přímka s růzběžá s jeh rviu. Sjedceí všech bdů ležících a všech přímkách rvběžých s s a prtíajících daý kruh azýváme (kruhvým) válcvým prstrem. Sjedceí všech bdů ležících a všech 7

7 přímkách rvběžých s s a prtíajících hraičí kružici daéh kruhu azýváme (kruhvu) válcvu plchu. Průik (kruhvéh) válcvéh prstru s vrstvu, jejíž hraičí rviy jsu rvběžé s rviu kruhu, azýváme (kruhvý) válec. Existují i jié válcvé prstry a válce ež kruhvé (apř. eliptické). O těcht útvarech však mluvit ebudeme a přívlastek kruhvý budeme prt vyechávat. Průiky válcvéh prstru s hraičími rviami vrstvy se azývají pdstavy, vzdálest rvi vrstvy se azývá výška válce. Kružice hraičující pdstavu se azývá pdstavá hraa. Každu úsečku, jejíž krají bdy jsu a pdstavých hraách a které jsu rvběžé s přímku s azýváme strau válce. Mžia všech bdů stra válce je jeh plášť. Klmý (rtačí) válec je válec, jehž stray jsu klmé a pdstavu. 4. Příklad: V rtačím válci je čtverec, jehž stray mají jedtkvu velikst a vrchly se dtýkají pláště. Dvě prtější stray čtverce jsu klmé a su válce, zbylé dvě s í svírají úhel α = 60. Určeme plměr válce. Řešeí: Čtverec ABCD prmítěme klm d rviy rvběžé s rviu pdstavy. Průmětem je bdélík ABC ' D ' vepsaý d kružice hledaém plměru. Platí AD ' cs α = AD ' = AD csα = AD cs60 = AD Pak je 5 r = BD = AB + AD' = + = 4 (Kruhvá) kuželvá plcha, kužel: Nechť je dá kruh a bd a bd V, který eleží v jeh rviě. Sjedceí všech bdů ležících a všech přímkách prcházejících bdem V a prtíajících daý kruh azýváme (kruhvým) kuželvým prstrem. Sjedceí všech bdů ležících a všech přímkách prcházejících bdem V a prtíajících hraičí kružici daéh kruhu daéh kruhu azýváme (kruhvu) kuželvu plchu. Bd V azýváme vrchlem. Průik (kruhvéh) kuželvéh prstru s vrstvu, jejíž jeda hraičí rvia prchází vrchlem rvběžě s rviu kruhu, azýváme (kruhvý) kužel. Opět existují i jié kuželvé prstry ež kruhvé. Těmi se však zabývat pět ebudeme a přívlastek kruhvý budeme prt pět vyechávat. Pdstava, výška, straa a plášť kužele se defiuje aalgicky jak u válce. Osa válce je spjice středu pdstavy a vrchlu. Klmý (rtačí) kužel je kužel, jehž sa je klmá a pdstavu. 7

8 Kmlý kužel: je průik kuželvéh prstru výše uvedeu vrstvu za předpkladu, že v tét vrstvě eleží vrchl. 5. Příklad: Rtačí kmlý kužel má pdstavy průměrech 50 mm a 85 mm a výšku 0 mm. Vypčtěme dchylku jeh stray d rviy pdstavy. Řešeí: Zřejmě platí: v 0 0 tgα = = = = 0.6 α = 4' r r Kulvá plcha, kule: Mžia všech bdů v prstru, které mají d daéh pevéh bdu S stálu vzdálest, se azývá kulvá plcha. Bd S je střed, čísl r plměr kulvé plchy, začíme κ ( Sr ; ). Mžia všech bdů v prstru, které mají d daéh pevéh bdu S vzdálest meší eb rvu číslu r, se azývá kule. Bd S je střed, čísl r plměr kule. 8.4 Objemy a pvrchy těles Objemem tělesa (začíme V ) je ezápré reálé čísl, které má ásledující vlaststi: ) Objemy shdých těles jsu si rvy ) Je-li těles O sjedceím těles O; O, jejichž průikem je ejvýše jejich hraice, je bjem tělesa O rve sučtu bjemů těles O; O. ) Objem krychle hraě a = ( m, cm,...) je V = ( m, cm,...) Pvrchem tělesa budeme rzumět bsah hraice tělesa. Přehled pvrchů a bjemů ejdůležitějších těles: Krychle V = a S = 6a 74

9 Kvádr V = abc S = ( ab+ bc+ ac) Pravidelý šestibký hral V = a v ( ) S = 6 a + av Obecý hral V = SP v S = S + S P pl Čtyřbký jehla V = abv S = ab+ S pl Obecý jehla V = S v P S = S + S P pl Kmlý čtyřbký jehla v V = ( ab + abab + ab ) S = ab + ab+ Spl Obecý kmlý Jehla v V = S + S S + S S = S + S + S ( ) pl 75

10 Válec V = π r v S = π r( r+ v) Kužel V = π r v S = π r( r+ s) Kmlý kužel V = π v r + rr + r ( ) S = π ( r + r + rs+ rs) Kule 4 V = π r S = 4π r 76

11 . Příklad: Úhlpříčý řez kvádru klmý k pdstavě je čtverec bsahu S = 4 5 cm. Hraa a pdstavy kvádru je cm delší ež straa b. Určeme bjem a pvrch kvádru. Řešeí: Straa daéh řezu je výšku kvádru a zárveň úhlpříčku pdstavy. c = S = 4 5 = 65 cm. Pr hray ab, pdstavy pak platí: a + b = c a + ( a ) = 4 5 a 46a 696 = 0 a= 56 cm; b= cm (záprý kře samzřejmě evyhvuje). Je tedy: V = abc = = 0 0 cm ; S = ( ab+ ac+ bc) = ( ) = 5 66 cm. Příklad: Určeme rzměry ádby tvaru válce bjemu litr a výšce rvé dvjásbku průměru pdstavy. Řešeí: Platí: V = π r v; V = l = dm ; v = 4r. Je tedy = π r (4 r) 4 = π r r = dm 4π v= 4r = 4 dm. 4π. Příklad: Pravidelý kmlý šestibký jehla má pdstavé hray a = 65 ; a = 5 a pbču hrau b = 85. Určeme jeh bjem. Řešeí: Výška jehlau je v = b ( a a) = 85 (65 5) = 75. Obsahy pdstav jsu: S = a = 65 resp. S = a = 5 a bjem je tedy v 75 V = ( S + SS + S) = ( ) Příklad: Určeme výšku a plměr pdstavy kužele, který má stejý bjem jak válec výšce v = 4 cm a plměru pdstavy r = 5 cm. Řešeí: Ozačme r ; v plměr pdstavy resp. výšku hledaéh kužele. Musí tedy platit: πrv = πrv πr + πr r + v = πr + πrv rv = 5 4 r + r r + v = rv = 00 v = r r + r r + v = 90 77

12 Dsazeím za v d psledí rvice tedy máme: 00 r + r r + 90 = r 00 r r + = 90 r r = + r r r r r r + = r + r 4 4 r 4 80r 8 00r = 0 ( subst. r = x) 8x 80x = 0 80 ± x, = = 8 r = x = 5 r = 5 cm r = x = 0 r' = 5 cm, (ai zde samzřejmě zápré křey epřicházejí v úvahu). Výšku kužele dpčítáme dsazeím d vztahu v = = = cm; v' = = 5 cm r ( ) 5. Příklad: Jaku hmtst má kulečíkvá kule ze slviy, je-li délka její hlaví kružice 6 cm (hustta materiálu je ρ = 9, g cm )? Řešeí: Hlaví kružice kule je ejdelší kružice a jejím pvrchu, její plměr je tedy l 6 8 shdý s plměrem kule: máme tedy l = π r r = = =. π π π m Ze záméh vztahu ρ = je m = V ρ = πr ρ = π 9. 8g. V π 6. Příklad: Mdel kstrukce je v měřítku :0. Klikrát těžší bude skutečá kstrukce z téhž mareriálu? Řešeí: Při výpčtu bjemu jakéhkli tělesa je třeba třikrát mezi sebu ásbit jeh rzměry - apř kvádr: V= abc, rtačí kužel: V = πr v = π r r v. Budu-li rzměry skutečé kstrukce desetkrát větší, suči v rámečku (a tím i bjem) bude větší tisíckrát. Bude-li kstrukce z téhž materiálu, i její hmtst bude větší tisíckrát. 78

13 Neřešeé úlhy: ) Vypčtěte bjem kvádru jsu-li dáy bsahy pbčých stě S = 40 ; S = 55 a bsah pdstavy S = 7. ) Objem pravideléh čtyřbkéh hralu je V = 9, jeh pdstavá hraa a výška jsu v pměru :. Vypčítejte pvrch tělesa. ) Určete tlušťku msazé rurky, jejíž délka je 0 cm, vější bvd, cm a hmtst 47,478 g ( ρ = 8,5 gcm ). 4) V pravidelém trjbkém jehlau jsu pbčé hray avzájem klmé, velikst pdstavé hray je 0. Určete bjem jehlau. 5) D kule, která má pvrch S = 00 cm je vepsá rtačí kužel, jehž úhel při vrchlu je ϕ = '. Určete bjem kužele. 6) Určete hmtst železéh rtačíh kmléh kužele, jsu-li plměry pdstav r = 4 cm; r =.5 cm a má-li straa kužele dchylku ϕ = 8 6' d rviy pdstavy ( ρ = 7.8 gcm ). 7) Pravidelý čtyřbký hral s pstavu hrau a = 4,5 je seřízut tak, že dvě jeh pbčé hray mají délku b =,4 a dvě délku c = 5,. Určete jeh bjem a pvrch. 8) Klik m zemiy je třeba vykpat, abychm dstali přímý 70 m dluhý výkp, jehž průřez je rvrameý lichběžík se straami a = 50 cm; b = 90 cm; c = 80 cm; a c? 9) V ádrži tvaru rtačíh válce s průměrem pdstavy d = cm je litrů vdy. V jaké výšce de da ádrže je hladia vdy? 0) Určete bjem pravideléh čtyřbkéh jehlau, je-li jeh pdstavá hraa je a = 8, 5 a dchylka pbčé a) hray b) stěy d rviy pdstavy je 56 6'. ) Určete bjem tělesa vzikléh rtací ABC klem stray a, je-li b = 5 ; α = 78 ; γ = 48. ) Rtačí kužel bjemu V pstavíme a vrchl a aplíme vrchvatě vdu. Naklíme-li h tak, ža jeda jeh straa je svislá, zůstae v ěm V ' vdy. Určete úhel při vrchlu svéh řezu! ) Kuli je psá rvstraý válec ( r = v). Určete pměr a) bjemů b) pvrchů těcht těles. Výsledky: ) V = ) S = 4 ) 0,6 mm 4) V 597 5) V = 6,4 cm 6) m= 70,6 g 7) S,5; V 76,94 8) V = 6 m 9) 0 cm 0 a) V 7, b) V,4 ) V 0 9 ) cs ω = ( V ') V ) a) : b) :. 79