Dynamické systémy 1. Úvod. Ing. Jaroslav Jíra, CSc.

Transkript

1 Dynmické systémy Úvod Ing. Jroslv Jír, CSc.

2 Deinice Dynmický systém je systém, který se mění v čse podle soor pevně dných prvidel, která rčjí, jkým způsoem dojde ke změně jednoho stv v drhý. Dynmický systém je tvořen stvovým prostorem soorem nkcí, které popisjí změn tohoto systém v čse. Dvě části dynmického systém Stvový prostor rčje, jkých hodnot může nývt stvový vektor dynmického systém. Stvový vektor je tvořen množino proměnných, které moho nývt hodnot z rčitého intervl, přičemž intervl všech těchto hodnot potom rčje celý stvový prostor. Fnkce nám při známém výchozím stv systém říkjí, jký stv de následovt v příštím čsovém okmžik.

3 Stvový vektor může ýt popsán npř. ( t [ ( t, ( t,..., n( t] Fnkce může ýt popsán jedino nkcí neo jejich soorem (,,..., n, (,,..., n,..., n(,,..., n Celý systém může ýt potom popsán sostvo dierenciálních rovnic pohyovými rovnicemi d dt d dt.. d dt n n ( n ( (,,,,..., n,...,,..., n n

4 Klsiikce dynmických systémů Dynmický systém může ýt ď neo Lineární Nelineární tonomní Konzervtivní Diskrétní Jendorozměrný Netonomní Nekonzervtivní Spojitý Vícerozměrný

5 Lineární systém nkce popisjící chování systém msí splňovt dvě zákldní podmínky ditivit homogenit ( ( ( y y ( ( 5 ( 5 5 (5 (5 ( ( ( ( y y y y y y Příkld: ( = 3; (y = 3y; ditivit (+y = 3(+y = 3 + 3y = ( + (y homogenit 5 * ( = 5* 3 = 5 = (5 Nelineární systém je popsán nelineární nkcí nesplňje předchozí dvě podmínky. Příkld: ( = ; (y = y ;

6 tonomní systém je tkový systém, který nezávisí n nezávisle proměnné. Je-li nezávisle proměnno čs, říkáme tkovém systém čsově invrintní. Podmínk: jestliže pro vstpní veličin (t je výstpem veličin y(t, potom jkýkoli čsový posn vstp (t + δ má z následek stejný čsový posn výstp y(t + δ Příkld: máme dv systémy Systém : Systém B: y( t ( t Systém : Nejprve zpozdíme vstp o δ Zpozdíme-li výstp o δ Je zřejmé, že neoli je netonomní., tdíž zkomný systém není čsově invrintní

7 Systém B: Nejprve zpozdíme vstp o δ Zpozdíme-li výstp o δ Je zřejmé, že tonomní. tdíž systém je čsově invrintní neoli je Konzervtivní systém - celková mechnická energie zůstává konstntní, nejso žádné ztráty. Příkldem je netlmený hrmonický oscilátor. Nekonzervtivní systém celková mechnická energie se v čse mění díky ztrátám způsoeným npř. třením neo odporem prostředí. Příkldem jso tlmené kmity, reálné kyvdlo.

8 Diskrétní systém je popsán dierenční rovnicí neo jejich sostvo. V přípdě jediné rovnice mlvíme tké o jednorozměrné mpě. Čs je těchto rovnic nhrzen proměnno k, která oznčje k-tý krok ve výpočt. Systém je typicky popsán rovnicemi: ( ( k ( k k ( ( k ( Tkovýto systém se řeší iterčním výpočtem. Typickým příkldem je výpočet stv nkovního kont po k letech od vložení. Je-li úvodní vkld Kč úrok činí 3%, potom lze systém popst rovnicemi: ( ( k.3( k ( k.3 k *

9 Spojitý systém je popsán dierenciální rovnicí neo jejich sostvo. ( ( Příkldem je svislý vrh popsný počátečními podmínkmi h(, v( rovnicemi h( t v( t v( t g kde h je výšk v je rychlost těles. Deinice z Mthemtiky: Tm, kde se prcje s reálnými čísly, mlvíme o spojitém systém, kde se prcje s celými čísly, mlvíme o diskrétním systém.

10 Jednorozměrný systém je popsán jedino nkcí, npř. ( k ( t ( k ( t kde, jso konstnty. Vícerozměrný systém je popsán vektorem nkcí, npř. ( k ( k B ( t ( t B kde je n-rozměrný vektor, je mtice o rozměrech n n B je vektor konstnt

11 Opkování z mticové lgery Mtice Mtice B Vektor C B 3 c c c C B c c c c c c c c c C.

12 Jednotková mtice, Požívá se symol E neo I E det( d d d d D det( d d d d D Determinnt

13 Inverzní mtice d c c d c d c d d c det( Inverzní mtice 33

14 Zákldní mticové operce v progrm Mthemtic

15

16 Vlstní čísl Vlstní vektory Vlstní vektory čtvercové mtice jso tkové nenlové vektory, které po vynásoení mticí zůstávjí úměrné původním vektor (mění se jen velikost, nikoli směr. K vlstním vektor příslší vlstní číslo λ, které předstvje tentýž násoný ktor, jko když vektor vynásoíme mticí. Je-li vlstním vektorem mtice, potom po vynásoení vektor toto mticí dostneme stejný výsledek jko po vynásoení vektor číslem λ. Pro výpočet vlstního čísl požíváme vzth det( E

17 ( E Máme-li již λ, vlstní vektor vypočteme ze vzorce: Příkld pro dvorozměrný systém: Pokd jsme nlezli vlstní vektory vlstní čísl, můžeme říci, že jsme nlezli digonální mtici, která je podoná původní mtici. Digonální mtice má z hledisk řešení stility dynmických systémů tytéž vlstnosti jko mtice původní. Digonální mtici zpisjeme ve tvr: n...

18 Jké jso výhody digonální mtice?. Máme vícerozměrný diskrétní systém. Typická dierenční rovnice: ( k ( k Výpočet k-tého prvk: k ( k ( Umocňování mtic, zejmén vyšších řádů, je výpočetně velmi náročné. V přípdě digonální mtice je všk výpočet velmi jednodchý: k k k... k n

19 . Vícerozměrný spojitý systém. (t dt d ep( ( t t Typická dierenciální rovnice: Řešení rovnice: t t t n e e e t... ep( Počítání s mticemi v eponenciální nkci je ještě náročnější než jejich mocňování. V přípdě digonální mtice je to všk opět velmi jednodché:

20 Příkld výpočt vlstního čísl vlstního vektor Původní mtice 5 4 Jkýkoli vektor splňjící podmínk = je vlstním vektorem pro λ=6 Jkýkoli vektor splňjící podmínk =- je vlstním vektorem pro λ=3 Chrkteristická rovnice Vlstní čísl Vlstní vektory 5 4 det det( E 3 6; 8 9 (5 (4

21 Výpočet vlstních čísel vektorů v Mthemtice

22 Stop mtice předstvje sočet prvků n její hlvní digonále nn Tr... (,...,, (..,...,, (,...,, ( n n n n n n dt d dt d dt d n n n n n n J Jcoiho mtice je mtice všech prvních prciálních derivcí vektorové či sklární nkce podle jednotlivých proměnných. Tto mtice se ovykle znčí J, D neo Tr

23 Fázové portréty Fázový prostor je prostor všech možných stvů systém, přičemž kždý možný stv je reprezentován jedinečným odem ve ázovém prostor. Dvorozměrný ázový prostor se nzývá ázová rovin. Typicky se požívá v klsické mechnice při jednorozměrném pohy hmotného od, kde n jednotlivých osách máme poloh rychlost. Křivk, po které se reprezenttivní od ve ázovém prostor pohyje, se nzývá ázová křivk. Fázový portrét je geometricko reprezentcí ázových křivek ve ázové rovině. Kždá komince počátečních podmínek je reprezentován jino křivko či odem.

24 Fázový portrét netlmeného hrmonického oscilátor Dierencální rovnice sin( cos( t v t ( sin ( cos t v t sin( cos( t v t Nyní osmosttníme sinovo kosinovo nkci, mocníme oě rovnice n drho nkonec je sečteme. kde je výchylk, je mplitd ω je úhlová rekvence. Dále zvedeme rychlost v (d/dt ( sin ( cos t t v v Výsledná rovnice popisje elips Řešením rovnice je:

25 Následjící orázek zorzje ázový portrét netlmeného hrmonického oscilátor pro ω= s - s počátečními podmínkmi (= m; v(= m/s v v

26 Kriticky tlmený oscilátor ω= s - ; δ= s - (=m; v(= m/s Přetlmený oscilátor ω= s - ; δ= s - (=m; v(= m/s

27 Podtlmený oscilátor ω= s - ; δ= s - (=m; v(= m/s Netlmený oscilátor pro počáteční mplitdy,,, m

28 Vytvoření ázového portrét v progrm Mthemtic

29

30 Stilit pevné ody Pevný od je speciickým odem dynmického systém, který se v čse nemění. Říká se m tké rovnovážný či singlární od systém. Je-li systém deinován rovnicí d/dt = (, potom můžeme jeho pevný od ~ nlézt pomocí podmínky ( ~ =. Není přitom ni ntné znát nlytické řešení (t. Pro diskrétní systémy podmínk nývá tvr ~ = ( ~ Stilní pevný od: systém konvergje k pevném od ~ pro t pro všechny počáteční hodnoty lízké ~. Netrálně stilní pevný od: pro všechny počáteční hodnoty lízké ~ systém zůstává v lízkosti pevného od ~, le nekonvergje k něm. Nestilní pevný od: pro všechny počáteční hodnoty lízké ~ systém divergje k hodnotám vzdáleným od ~ trktor je stv, do kterého systém směřje. Je to množin, ve které je stvový vektor v nekonečném čse. trktorem moho ýt pevné ody, periodické ody, křivky neo i velmi komplikovné strktry. Pertrce je mlá změn dynmického systém s chrkterem porchy, která vychýlí systém z rovnovážného stv.

31 Fázové portréty tří zákldních typů pevných odů STBILNÍ NEUTRÁLNĚ STBILNÍ NESTBILNÍ

32 Příkld ktérie ve sklenici Sklenice je nplněn živným roztokem kteriemi. Reltivní rychlost reprodkce kterií oznčíme jko reltivní rychlost, s jko ktérie hyno, oznčíme p. Potom de jejich poplce růst rychlostí r = p. Je-li ve sklenici ktérií, potom rychlost, s jko se mění jejich počet, de odpovídt ( p, z čehož plyne, d/dt = r. Řešením této rovnice pro (= je ( t e Tento model všk není relistický, protože poplce ktérií y pro kldné r rostl do nekonečn. Ve sktečnosti společně s růstem počt ktérií roste tké množství toických zplodin jimi prodkovných, nvzájem si překážejí td. Nmísto konstntní reltivní rychlosti úhyn p deme předpokládt tto rychlost závislo n počt ktérií p. Nyní počet ktérií roste podle klesá podle p. Nová dierenciální rovnice de d dt rt p

33 Dierenciální rovnice, Počáteční počet ktérií (= d dt p nlytické řešení progrm Mthemtic Pro nlezení pevných odů msíme položit prvo strn rovnice rovno nle. ~ ~ p ~ ( p ~ Vycházejí dvě možná řešení, tzn. máme dv pevné ody: ~ ~ p

34 První pevný od ~ = ; Nejso žádné ktérie, tdíž žádné nové nemoho vznikt žádné nemoho hynot. Stčí všk neptrná kontmince sklenice ktériemi (pertrce, všk menší než /p, vidíme, že počet ktérií roste podle d/dt = -p > nikdy se nevrátí do výchozího nlového stv. Závěr: tento pevný od je nestilní. Drhý pevný od ~ = /p; N této úrovni poplce ktérie vznikjí rychlostí ~ =(/p = /p hyno rychlostí p ~ = p(/p = /p, tkže oě tyto rychlosti jso v rovnováze. Pokd počet ktérií mírně vzroste, potom d/dt = -p < vše se vrátí do rovnovážného stv. Pokd počet ktérií mírně klesne, potom d/dt = -p > vše se opět vrátí do rovnovážného stv. Mlé pertrce z od ~ = /p do korigovány zpět do /p. Závěr: tento pevný od je stilní je zároveň trktorem tohoto systém.

35 Grické řešení v progrm Mthemtic Vstpní prmetry: =., p=.5 Počáteční podmínky: =.9 pro modré čáry =. pro červené čáry Počet ktérií v čse Fázový portrét. d dt /p t.5.

36 Příkld predátor kořist Mějme iologický systém se dvěm živočišnými drhy predátory (vlky kořistí (králíky. Poplce králíků v čse nechť je r(t poplce vlků v čse w(t. Králíci se ez přítomnosti vlků do množit rychlostí dr/dt= r, kde > Vlci ez králíků-potrvy do hynot rychlostí dw/dt= -w, kde > Dáme-li o drhy dohromdy, do vlci lovit jíst králíky. Úytek poplce králíků de potom dán ktálním počtem vlků w, počtem králíků r konstnto g, která předstvje gresivit predátorů. Přírůstek poplce vlků de dán tké počtem králíků vlků r w, kromě toho konstnto h, která předstvje eektivit přeměny králičího ms n ioms predátorů vlků. Systém je popsán dvěm dierenciálními rovnicemi. dr r grw dt dw w hrw dt

37 Zde je čsová závislost počt oo drhů ázový portrét =.; =.; g=.; h=., počáteční počet králíků r =, vlků w =5 Počty drhů v závislosti n čse Fázový portrét trktorem tohoto systém je ve ázovém portrét viditelný limitní cykls.

38 Pro vyšší králičí porodnost, rychlejší vlčí úmrtnost vyšší gresivit dostáváme rychlejší změny =.75; =.; g=.3; h=. Počty drhů v závislosti n čse Fázový portrét

39 Bde-li velmi nízká králičí porodnost vlčí úmrtnost, zároveň de vysoká gresivit vlků, oě poplce znikno =.; =.5; g=.5; h=.5 Počty drhů v závislosti n čse Fázový portrét

40 Výpočet systém predátor/kořist v progrm Mthemtic

41 Zorzení ázového portrét predátor/kořist v progrm Mthemtic