Diferenciální versus diferenční počet

Transkript

1 Olomučay,. X. 8 DIPLOMOVÁ PRÁCE Diereciálí versus dierečí počet Tomáš Štětia

2 Prolašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatě podle pokyů vedoucío diplomové práce a s použitím uvedeé literatury.

3 Děkuji vedoucímu diplomové práce Doc. Mgr.Pavlu Řeákovi, P.D. za zapůjčeí ěkterýc titulů použitýc při tvorbě práce a za poskytutí ceýc rad a připomíek k tématu diplomové práce.

4 Obsa I. Základy diereciálío počtu 5 I.. Elemetárí ukce.5 I.. Limita ukce..7 I.. Spojitost ukcí...8 I.. Derivace ukce..8 Derivace elemetáríc ukcí. II. Itegrálí počet ukcí jedé proměé... II.. Primitiví ukce.. II.. Určitý itegrál...5 II.. Některé aplikace určitéo itegrálu...9 III. Dierece ukce a její vlastosti.. III.. Pojem dierece. III.. Dierece vyššíc řádů...6 III.. Dierece ěkterýc elemetáríc ukcí 8 IV. Sumace ukce a její vlastosti.. IV.. Pojem sumace. IV.. Vlastosti sumace IV.. Součet čleů poslouposti 5 IV.. Sumace vyššíc řádů...6 V. Řešeí cvičeí..9 Literatura..9

5 I. Základy diereciálío počtu I.. Elemetárí ukce Vzledem k tomu, že problematika ukcí je citováa ve velkém možství literatury a je i výzamou součástí středoškolské matematiky, odkáži případé zájemce a tuto litaraturu a dále se budu zabývat až výčtem jedotlivýc tzv. elemetáríc ukcí. Na úvod však uvedu dvě poměrě jedoducá cvičeí a určeí deiičío oboru ukce, jejicž řešeí je vždy uvedeo v závěru tetu. Cvičeí podle [, str. 8, soubor cvičeí 8, cvičeí 5]: Určete deiičí obory daýc ukcí: y arccos Výsledek: { R, <-, 5 >}, řešeí: str Cvičeí podle [, str. 7, soubor cvičeí 6, cvičeí 5]: Určete deiičí obory daýc ukcí: y si Výsledek: { R; -, }, řešeí: str Nyí tedy připomeňme jedotlivé elemetárí ukce, u kterýc byc uvedl pouze jejic deiičí obory a obory odot. Jejic ostatí vlastosti si čteář jistě sám odvodí, případě mu může pomoci vodá literatura, apř. titul []. Základí elemetárí ukce jsou ukce kostatí, mocié, epoeciálí, logaritmické, goiometrické a cyklometrické. Elemetárími ukcemi se ve školské matematice rozumí zpravidla ukce, které vzikou ze základíc elemetáríc ukcí aritmetickými operacemi a vytvářeím složeýc ukcí. Fukce kostatí k, k R; D R, D {k}. Fukce mociá k, k R k. Vlastosti: pro k N, k licé; D R, D R, pro k N, k sudé; D R, D,, pro k Z -, k licé; D R-{}, D R-{}, pro k Z -, k sudé; D R-{}, D,, 5

6 pro k, N; D R {}, D R {}, p pro k Q /při racioálím epoetu klademe k, kde p,q, q> jsou esoudělá celá q čísla/ k>, q licé; D R, k>, q sudé; D R {}, k<, q licé; D R-{}, k<, q sudé; D R, pro k iracioálí, k>, D R {}, pro k iracioálí, k<, D R, Fukce epoeciálí a, a R a> pro a; D R, D R, pro a; D R, D {}. Fukce logaritmická log a, a R a> a. D R, D R. Fukce goiometrické si ; D R, D <-,>, cos ; D R, D <-,>, π tg ; D R -{ R; k, k Z}, D R, cotg ; D R -{ R; kл, k Z}, D R. Fukce cyklometrické jsou iverzí ke goiometrickým ukcím π arcsi ; zobrazuje iterval <-,> a iterval <-, π >; arccos ; zobrazuje iterval <-,> a iterval <, л >; π arctg ; zobrazuje R a iterval -, π ; arccotg ; zobrazuje R a iterval, л. 6

7 I.. Limita ukce Dříve ež přistoupíme k vymezeí pojmu derivace ukce, je ejprve uté vymezit pojem limity, a to především vlastí a evlastí oboustraé/ jedostraé limity ukce ve vlastím bodě. Nejprve je však uté zavést ozačeí: δ okolí bodu a: Oa;δ { R; - a < δ }, ryzí δ okolí bodu a: Ua;δ O a; δ -{a}; jedostraé δ okolí bodu a levé: O - a; δ { R; a- δ < < a }, pravé: O a; δ { R; a < < a δ }; jedostraé ryzí δ okolí bodu a levé: U - a; δ { R; a- δ < < a }, pravé: U a; δ { R; a < < a δ }. Vlastí limita ukce ve vlastím bodě Fukce má podle [] ve vlastím bodě a oboustraou vlastí limitu b, jestliže ke každému ε > eistuje δ > takové, že pro všeca a-δ, aδ je -b < ε, zápis lim a b; lim a b ε R δ R U a; δ [a- δ < < a δ - b <ε ]. Pozámka: Limita ukce v bodě a je vlastost okolí bodu a. Fukce může, ale také emusí být v bodě a deiováa. Fukce má ve vlastím bodě a jedostraou vlastí limitu b zleva lim a- b ε R δ R U -- a; δ [a- δ < < a - b <ε ]. Fukce má ve vlastím bodě a jedostraou vlastí limitu b zprava lim a b ε R δ R U a; δ [a < < a δ - b <ε ]. Nevlastí limita ukce ve vlastím bodě lim a K R δ R U a;δ [a- δ < < aδ > K ] 7

8 lim a - L R δ R U a; δ [a- δ < < aδ < L ] Cvičeí podle [, str., soubor cvičeí 8, cvičeí e]: Vypočtěte: lim Výsledek:, řešeí: str Cvičeí podle [, str., soubor cvičeí 9, cvičeí d]: Vypočtěte: lim 5 5 Výsledek:, řešeí: str Cvičeí podle [, str., soubor cvičeí, cvičeí c]: Vypočtěte: lim 5 5, substituce -t Výsledek:, řešeí: str I.. Spojitost ukcí Deiice I.: Fukce se azývá spojitá v bodě R, jestliže lim o, je zprava zleva spojitá v bodě : lim o lim o-. Věta I.: Fukce je spojitá v bodě tedy a je tedy, když je v tomto bodě spojitá zprava i zleva. Deiice I.: Fukce je spojitá a itervalu I D, jestliže: spojitá v každém it I patří- li levý pravý krají bod do I, je v ěm spojitá zprava zleva. I.. Derivace ukce Derivace ukce umožňuje řešeí rozmaitýc problémů v matematice i studium zákoů přírodovědýc či tecickýc oborů. 8

9 Deiice I.: Necť ukce y je deiováa v ějakém okolí bodu. Vlastí limitu dierečío podílu ukce v bodě, tj. lim o azveme derivací ukce v bodě. Používáme pro i růzá dy ozačeí; apř., [] o zavedl Lagrage, y ebo [ ]o. d Je tedy lim o. Fukce, která má v bodě derivaci, se azývá dierecovatelá v bodě. Jedostraé derivace ukce v bodě : Necť ukce y je deiováa v levém okolí bodu resp. v pravém okolí bodu. Limitu lim o- resp. lim o azveme derivací zleva ukce v bodě a ozačujeme ji - resp. derivací zprava ukce v bodě a ozačujeme ji. Věta I.5: Fukce má v bodě derivaci právě tedy, má-li v bodě derivaci zprava i zleva a tyto jsou si rovy. Je- li limita dierečío podílu ukce v bodě evlastí, říkáme, že ukce má v bodě evlastí derivaci. Ozačme, -,.Tedy lim Má- li v bodě vlastí derivaci gra má v [, ] teču o směrici. Rovice tečy je pak y- -. Rovice ormály kolmice k tečě je y- -. -, je-li.. Věta I.6: Má- li v bodě vlastí derivaci, je spojitá v. Věta I.7:, g mají derivace v bodě, c R, potom c má derivaci v bodě a c c g má derivaci v bodě a g g g má derivaci v bodě a g g g g má derivaci v bodě a g g g g, je-li g 9

10 Věta I.8 o derivaci složeé ukce: Necť má derivaci v bodě, g má derivaci v bodě y, potom g má derivaci v a g g y. Pozámka: Dále ukážeme, že v diereciálím a dierečím počtu platí ěkteré obdobé vlastosti. Ke vzorci pro derivaci složeé ukce však v dierečím počtu žádá aalogie eplatí. Deiice I.9: má derivaci ve všec bodec I. Pak, I je ukce a I -derivace, Deiice I.: Druá derivace derivace druéo řádu ukce je,obecě pro N -tá derivace - Derivace elemetáríc ukcí Kostatí ukce má derivaci v každém bodě rovou, tj. c N, má derivaci v každém bodě rovu - Z, <, -, e e 5 a R, a>, a, a má derivaci v každém bodě a platí a a l a 6 l má derivaci a ;, l 7 a R, a>, a, log a. l a 8 Necť c R, c má derivaci a ; a platí c c c- 9 si má derivaci v každém bodě rovou si cos cos má derivaci v každém bodě rovou cos -si

11 tg má derivaci v každém bodě kromě π kπ, tg cos cotg má derivaci v každém bodě, ve kterém je deiová, eí deiová v kπ, cotg - si arcsi má derivaci a -;, arcsi arccos má derivaci a -;, arccos - 5 arctg 6 arccotg má derivaci v každém bodě a platí arccotg - Nyí opět uveďme tři jedoducá cvičeí a aplikaci derivace ukce, jejicž řešeí je opět uvedeo a koci tetu. Cvičeí podle [, cvičeí 5 a, str. 5]: Ve kterýc bodec má křivka tečy rovoběžé s osou, jestliže rovice křivky je y -? Výsledek: [, - ],[-, ], řešeí: str Cvičeí podle [, cvičeí 6 a, str. 5]: Napište rovice tečy i ormály křivky y 5 - v bodě [, -]. Výsledek: rovice tečy: y -, -y -, ormála: y -, y, řešeí: str Cvičeí podle [, cvičeí 9, str. 5]: Jakou ryclostí dopade a zem káme spuštěý z výšky 5 m?

12 Pozámka: Volý pád carakterizová rovicí s g t, gravitačí kostata g m/ s. Dále okamžitá ryclost je derivací dráy v příslušém časovém okamžiku. Výsledek: v m/s, řešeí: str II. Itegrálí počet ukcí jedé proměé II.. Primitiví ukce Doposud jsme zali ukci a počítali jsme její derivaci. Nyí budeme řešit opačou úlou: bude dáa derivace ukce a my budeme ledat ukci, kterou jsme derivovali. Itegrál elemetáríc ukcí elze vypočítat vždy, i když umíme každou elemetárí ukci derivovat. Deiice II. : Necť, F ukce deiovaé a I. Říkáme, že ukce F je primitiví k a I, jestliže platí F pro každé ε I. Příklad : F primitiví k, ε - ; F deiováa c c primitiví k c, cε R, c - a itervalu, a ěmž je ukce Příklad : F l primitiví k a ; F l - primitiví k a - ; Věta II. : Ke každé ukci spojité a itervalu I eistuje a tomto itervalu ukce primitiví. Lemma II. Necť F je primitiví ukce k ukci a I, potom pro každé cε R F c je primitiví k a I. Důkaz: platí F Fc F.

13 Lemma II. : Necť F, G jsou primitiví k a I eistuje cε R: G Fc ideticky a I. Věta II. 5: Necť F je ějaká primitiví ukce k a I možia ukcí {Fc; cε R} je možia všec primitivíc ukcí k a I. Deiice II. 6: Možia všec primitivíc ukcí k a I se azývá eurčitý itegrál ukce a začí se d, ε I evet. d. Pozámka: Má- li ukce a I ějakou primitiví ukci F, platí d {Fc; cε R }, stručěji píšeme d F. Itegrováí je tedy postup při ledáí primitiví ukce. Vzorce plyoucí ze zámýc vztaů k diereciálímu počtu: c d c, cε R, c - c d l e d e a a d, a>, a l a 5 cos d si 6 si d -cos d 7 cos tg d 8 -cotg si 9 d d arctg, obecěji a arctg a a d arcsi, obecěji a d arcsi a d c l c d l, cε R, c

14 Lemma II. 7: Necť F je primitiví ukce k a G je primitiví k g, potom FG je primitiví k ukci g a I. Důkaz: F, G g F G F G g Pozámka: g d d g d, ε I Lemma II. 8: Necť F je primitiví ukce k a I a ecť cε R kostata, potom cf je primitiví k c a I. Důkaz: F c F c F c Pozámka: c d c d, ε I Věta II. 9: Necť F i je primitiví k i a I a c i ε R pro i,, c F c F c F primitiví k c c c a I Pozámka: c c c d c d c d c d Věta II. : Metoda,, per partes : Necť ukce u, v mají spojitou derivaci a I, pak platí, je- li F primitiví ukce k u.v a I, je ukce u.v- F primitiví k u.v a I. Důkaz: Primitiví ukce k ukci u.v eistuje, eboť tato ukce je spojitá. u.v- F u.v u.v - u.v Pozámka: u.v d u.v- u.v d, ε I Příklad : Metodou,, per partes vypočtěte: e d e - e d e - e - e d e - e e u e u e u e u e v v v v Věta II. : Substitučí metoda: Necť t je spojitá ukce a itervalu I a φ je ukce mající derivaci a I, a ecť platí φ I I. Pak je- li Ft primitiví ukce k t a I, je Fφ primitiví ukce k φ. φ a itervalu I.

15 Důkaz: Primitiví ukce Ft k ukci t eistuje a I podle V, tedy platí F t t pro t ε I. Podle věty o derivaci složeé ukce má Fφ derivaci a I a platí: Fφ F φ. φ derivace vitří složky, derivace vekoví složky y φ φ, tj. Fφ je primitiví k ukci φ φ Pozámka: V symbolice eurčitýc itegrálů lze větu ormulovat takto: Za uvedeýc předpokladů platí: φ. φ d t dt, dosadíme- li do primitiví ukce a pravé straě t φ. Praktický postup: φ. φ d klademe φ t, dierecujeme: φ d dt. Dosadíme t dt Ft Fφ Příklad : Substitučí metodou vypočtěte: - 5 d - 5 d - t t 5 dt t 6-6 d dt Příklad 5: Substitučí metodou vypočtěte: si cos 6 d tg cos d tg t t 5 t dt 5 tg 5 5 cos cos d dt II.. Určitý itegrál Uveďme tzv. základí úloa itegrálío počtu: Buď spojitá ezáporá ukce a uzavřeém itervalu <a, b>, ecť A je možia bodů [, y] v R, kde ε < a, b > <y<. Úloa zí: Vypočtěte obsa možiy A. Rozdělme <a, b> dělícími body a < < < b a jemější kratší itervaly. Necť m i je miimálí odota ukce a < i-, i > a sestrojme obdélík o základě < i-, i > a výšce m i. Jeo obsa je m i i - i-. Sjedoceí těcto obdélíků je podmožiou možiy A a jeo obsa sjedoceí i m i i - i- aproimuje zdola obsa možiy A. 5

16 Podobě, je- li M i maimálí odota a < i-, i >, pak i M i i - i- aproimuje sora možiu A. Necť je omezeá ukce a <a, b>. Děleím itervalu <a, b> rozumíme každou koečou posloupost D {,, }, kde a < < < b, čísla i azýváme dělící body a < i-, i > azýváme dělící itervaly. Číslo D ma. { i - i-, } azýváme ormou děleí D. Symbolem D <a, b> D možia všec děleí <a, b>. Buď D {,, } ε D. Ozačme m i iimum {, ε < i-, i >}, M i sup {, ε < i-, i >} a položme sd, i m i i - i-, SD, i M i i - i-. Číslo sd, azýváme dolí součet ukce při děleí D, SD, orí součet. Lemma II. : Necť D, D ε D pak sd, < SD,. Buď D ε D libovolé, ale pevé číslo. sd, < SD, pro každé D ε D možia všec {sd,, D ε D} je sora omezeá číslem SD, eistuje sup {sd,, D ε D} a začíme to sup b a d pozámka: sup ejmeší orí závora. Děleí D však bylo libovolé, ale pevě zvoleé, tedy platí b a d < SD, pro každé D ε D možia {SD,, D ε D} je zdola omezeá číslem b b a d eistuje i {SD,, D ε D} a d. pozámka: i ejvětší dolí závora Deiice II. : Necť je omezeá ukce a <a, b>. Pak klademe a b d sup {sd,, D ε D} a toto číslo azýváme dolí itegrál a b a d i {SD,, D ε D} azýváme orí itegrál. Věta II. : je omezeá ukce a <a, b>. Pak platí a b d a b d. 6

17 Deiice II. 5: Necť je omezeá ukce a <a, b>. Platí- li b a d b a d, pak říkáme, že je itegrovatelá a <a, b> a deiujeme určitý Riemaův itegrál vztaem b a d b a d b a d. Platí- li b a d< b a d, potom eí itegrovatelá a <a, b>. Věta II. 6: Necť ukce je spojitá a <a, b>, potom je itegrovatelá. Věta II. 7: Necť ukce je omezeá a <a, b> a má zde koečý počet bodů espojitosti, potom je itegrovatelá a <a, b>. Věta II. 8: Necť ukce je mootóí a <a, b>, potom je itegrovatelá. Buď D posloupost děleí <a, b>. Tato posloupost se azývá ulová, jestliže lim D. Buď D {,, } ε D. Necť c i ε < i-, i > je libovolý bod. Ozačme V { c, c } a V azýváme výběr z dělícíc itervalů stručě výběr. Číslo i i D,, V i a i - i- azýváme itegrálí součet. Platí sd, < id,, V< SD,. Pomocé tvrzeí: Necť je omezeá ukce a <a, b>, je- li D libovolá ulová posloupost děleí, pak platí, že posloupost dolíc součtů sd, koverguje b a d, SD, b a d. Je- li itegrovatelá a <a, b> sd, b a d, SD, b a d, id,, V b a d při libovolém výběru V. Věta II. 9: Necť je itegrovatelá a <a, b> musí být omezeá a ecť platí c < <d pro ε <a, b> cb-a < a b d < db-a. 7

18 Věta II. : Necť ukce a g jsou itegrovatelé a <a, b>, ecť c ε R, potom c. je itegrovatelé a b a c. d c b a d g je itegrovatelé a b a g d b a d b a g d je itegrovatelá a b a d < b a d.g je itegrovatelý 5 je- li g> z> a <a, b>, pak je itegrovatelý. g Věta II. : Necť ukce je deiováa a <a, b>. Pak: je- li itegrovatelá a <a, b> a je- li <c, d> <a, b>, je itegrovatelá a <c, d>. je- li a<c<b a je- li itegrovatelá a <a, c> i a <c, b>, je itegrovatelá a <a, b> a platí b a d c a d b c d. Pozámka: Je- li ukce deiováa v bodě a, pak klademe a a d a jsou- li dáa a, b ε R, a> b a je- li itegrovatelá a <b, a>, pak klademe a b d - b a d přeozeím mezí změím zaméko. Věta II. Leibitz- Newtoova ormule: Necť je itegrovatelá a <a, b> a ecť F je spojitá a <a, b> a primitiví k a a, b, pak platí a b d Fb- Fa. Pozámka: Číslo Fb- Fa začíme [F] a b, takže a b d [F] a b. Věta II. Metoda Per partes pro urč. itegrály: Necť ukce u, v mají spojitou derivaci a itervalu <a, b>. Pak a b u.v d ub.vb- ua.va- a b u.v d [u.v] a b - a b u.v d. Věta II. Substitučí metoda pro urč. itegrály: Necť t je spojitá ukce a itervalu <c, d>, dále ecť ukce φ má spojitou derivaci a itervalu <a, b>, ecť platí φ<a, b> <c, d>. Pak platí, že b a φ. φ d φb φa t dt. Postup při použití substitučí metody: b a φ. φ d φ t dierecujeme φ d dt 8

19 trasormujeme meze a, b φa φb t dt π Příklad : Vypočtěte: π π si.cos d si. cos.cos d si.- si.cos d si t t.-t dt t -t 5 t dt [ 6 t - 6 ] - cos d dt 6 Cvičeí podle [, str. 6, soubor cvičeí, cvičeí 7]: Užitím vodé substituce vypočtěte itegrály: d 5 Výsledek: l -, řešeí: str Cvičeí podle [, str. 6, soubor cvičeí, cvičeí ]: Užitím vodé substituce vypočtěte itegrály: o l.e - d Výsledek: - l, řešeí: str II.. Některé aplikace určitéo itegrálu a Obsa roviýc oborů Necť je ezáporá ukce a <a, b>. Subgra ukce je možia A {[, y] ε R, ε <a, b>, < y< } Subgra ukce je tedy omeze body a, b a ose, a ose y graem ukce a osou. Tvrzeí: Necť je spojitá ezáporá ukce a <a, b>, A je její subgra. Pak pro míru obsa možiy A platí: ma b a d ma b a g d- b a d b a g- d, g spojité a <a, b>, < g pro ε a, b, A {[, y] ε R, ε <a, b>, < y< g}. 9

20 Příklad : Vypočtěte ma, kde A je omezea parabolou y 6- a přímkou y ±., ±, - ma d - - d [ b Délka křivky - ] Deiice II. 8: Necť t a t jsou spojité ukce a <a, b>. Pak možia C {[, y] ε R, t, y t,t ε <a, b>} se azývá spojitá křivka v roviě. Rovice t t ε <a, b> se azývají parametrizací C. y t Necť C je křivka. Zvolme koečý počet bodů a C a každé dva sousedí spojme úsečkou. Vziklá lomeá čára je vepsáa do C. Deiice II. 9: Necť C je křivka v roviě. Je- li možia délek všec vepsaýc lomeýc čar sora omezeá, říkáme, že C má koečou délku a pak délku dc křivky C deiujeme jako supremum délek vepsaýc lomeýc čar. Poučka: Necť C je křivka o parametrizaci t t ε <a, b> a ecť, mají y t spojitou derivaci a <a, b>. Pak C má koečou délku a její délka dc b a t t dt Příklad : Asteroida je křivka o parametrizaci r.cos t, y r.si t, t ε <a, b>, ajděte její délku. t r.cos t t-r. cos t.si t t r.si t tr.si t.cos t t t 9r.cos t.si t9r.si t.cos t 9r.si t.cos t.cos t si t 9r.si t.cos t

21 t t r. si t.cos t π dc π r.si t.cos t dt r. si t.cos t dt si t u r. o u du u r.[ ]o 6r cos t dt du Pozámka: Je- li křivka C graem ukce, má spojitou derivaci a <a, b>,lze za parametr volit : b, y, ε <a, b>. Tedy dc a d c Objem rotačío tělesa Věta II. : Necť je spojitá a ezáporá ukce a <a, b>, ecť V je rotačí těleso v prostoru vziklé rotací subgrau kolem osy. Pak pro objem míru tělesa V platí mv π a b d d Obsa pláště rotačío tělesa Věta II. : Necť je ezáporá ukce se spojitou ukcí a <a, b>. Rotací jejío subgrau kolem osy vzike rotačí těleso, jeož plášť S má obsa míru ms π a b. d Cvičeí podle [, str. 65, soubor cvičeí, cvičeí 8]: Určete odsa roviéo obrazce omezeéo křivkami: y l, y l, y. Vzorec použijte z bodu a.výsledek: l -, řešeí: str Cvičeí podle [, str. 7, soubor cvičeí 7, cvičeí ]: Vypočtěte objem tělesa vytvořeéo rotací obrazce oraičeéo křivkami y, y kolem osy. Vzorec viz bod c. π Výsledek:, řešeí: str. 9-8.

22 Cvičeí : Odvoďte vzorec pro povrc koule. Vzorec viz bod d. Výsledek: π r, řešeí: str III. Dierece ukce a její vlastosti V ěkterýc oborec apř. v ekoomii, statistice, se podle [, str. 7] používají ukce deiovaé je v izolovaýc bodec,,, tak zvaé ukce s diskrétím deiičím oborem. Pro takové ukce elze aplikovat metody klasické aalýzy užívající limitu ukce, derivaci a Riemaův itegrál. V případě, že deiičí obor ukce jsou tak zvaé ekvidistatí body, to jsou body s kostatí vzdáleostí j - j dvou sousedíc bodů, používá se často k vyšetřováí ukce dierecí místo derivací, sumace místo itegrálu a dierečíc rovic. Ukážeme, že pro ěkteré ukce platí jisté aalogie mezi derivacemi a dierecemi, obecě však aalogie eplatí. III.. Pojem dierece Slovo dierece ukce začí rozdíl dvou ukčíc odot. Deiice III. : Je dá bod a číslo >. Necť ukce y je deiováa v bodec a. Dierece ukce v bodě je číslo -. Začíme - a čteme delta. Nebo také je možo používat ozačeí [ ] o [ y] o. Číslu říkáme dierece argumetu ebo dierečí krok. Bodu se říká ěkdy počátečí bod dierece. Příklad podle [, str.9]: Vypočítejte a pro, b pro obecý dierečí krok, je- li. Řešeí: a b -

23 Příklad podle [, str.9]: Vypočítejte diereci ukce v bodě pro dierečí krok. Řešeí: Deiice III. : Necť ukce je deiováa ve všec bodec z ějaké eprázdé možiy M {,,, }. Potom je ukce proměé, která každému bodu ε M přiřazuje odotu. Tuto ukci azýváme dierecí ukce a začíme ji -, ε M, resp. y -, ε M, je- li y. Pozámka III.: V úloác a dierece bývá obvykle možia M deiičí obor dierece tak zvaou diskrétí možiou ekvidistatíc bodů, kde je daé číslo a,,, a rověž > je daé číslo, zvaé dierečí krok. Takovou možiu M budeme dále začit stejým symbolem jako posloupost, tedy: M { } ebo M {,,, }. Příklad podle [, str.]: Vypočítejte a pro, b pro obecý dierečí krok, je- li. Řešeí: a,-, -,, pro ε -,. b - - pro ε -,. V tomto příkladě můžeme také psát: ebo, začíme- li y, můžeme psát: y. Pozámka III.: Je dáo > a ukce deiovaá v bodec a. Její dierece:. Proveďme lieárí substituci t, kde t je ová proměá. Ozačme gtt. Potom t t t t g t g t g t.

24 Tedy lieárí substitucí t lze dosáout too, že. Tato substituce eměí typ vyšetřovaýc ukcí, tj. a příklad polyom stupě zůstae po této substituci opět polyomem stupě. Dosud počátečí bod dierece byl ozačová jako, resp.. Jestliže se v ěkteré úloze vyskyte tato dierece: m-m, kde m je celé, m,-,-,,,,, zavedeme lieárí substituci tm která geometricky zameá je posu osy y. Potom m- mt- t t. Je dáa možia M{,,, }. Necť M. Zaveďme ovou proměou t lieárí substitucí a t, kde a je libovolé ezáporé celé číslo, tj. t -a. Pro bude ta, pro bude ta. Možia M se touto substitucí změí v možiu celýc čísel N{a, a,a, }; speciálě pro a je N možia přirozeýc čísel. A yí uvedu jedoducý příklad vedoucí a lieárí dierečí rovici. řádu. Příklad : Částka, odota se za určité období zvětší vždy o p % z předcozí odoty. Ozačíme-li diereci y y y, přičemž y je počátečí odota, jaká je odota po k k k k obdobíc? Vyjádříme z rovice y k : y k y k y k p%,p y,p. k y k p k po období: y y y y,p. y y. k po obdobíc: y y y y,p. y y,p. y,p. y,p. y p y.,p,p,p y., p,p y. k po obdobíc: y y y y., p,p,p. y., p,p y., p,p,p,p., p,p.,p p y.,p,p,p y.

25 p k-po obdobíc: y y. Úmluva: V ásledujícím tetu však budu vzledem k zaměřeí použité literatury se zabývat dierecí ukce, tz. deiičí obor dierece M {,,, }, kde a > je daé číslo, jak je to uvedeo v pozámce III.. Jsem si však vědom, že přecod od ukce k poslouposti deiičím oborem je možia přirozeýc čísel N ve smyslu pozámky III. je výodější. Pozámka III.: Čteář si již jistě všiml, že v deiici derivace je užíváo dierece. Je totiž lim, resp. lim y, zlomek y se azývá poměrá dierece přírůstek ukce a jedotku přírůstku argumetu; je- li, je poměrá dierece rova diereci. Derivaci pak dostaeme z poměré dierece, ecáme- li přírůstek argumetu se blížit k ule. Tak v příkladě b je poměrá dierece. Odtud můžeme vypočítat derivaci lim. Příklad 5 podle [, str.]: Necť je populačí ukce, tj. objem populace za rok. Utvoříme- li ukci - tj. rozdíl mezi objemem populace za rok a za rok předcázející, pak zameá populačí přírůstek. Jestliže populace roste, je >; jestliže klesá, je <; jestliže je populace stále stejá, je. Pozámka III.: Podle deiice III. k výpočtu dierecí stačí, aby ukce byla deiováa je v bodec,,, ebo speciálě je v bodec,,, v tomto případě je,, jak je tomu u poslouposti; v posledím případě je obvyklejší začeí, a, a pak a a a,,. Příklad 6 podle [, str.]: Vypočítejte diereci poslouposti Řešeí: a a a [ a ] [ a ] a 5. - v bodec 5

26 [ a ] III.. Dierece vyššíc řádů Protože podle deiice III. je ukcí proměé, ozačme yí g. Jestliže g bude deiováa v bodec a, můžeme opět počítat g g -g. Protože g -, je g [- ]- [- ] -. Fukce g je podle [, str.] druou dierecí a k výpočtu je třeba zát odoty ve třec bodec:,,. Deiice III. : a Necť pro ε M jsou deiováy odoty,,,,, kde je daé kladé číslo a je přirozeé číslo. Potom - tou diereci ukce, kterou začíme, deiujeme rekuretě vzorcem, kde klademe, ε M, resp. y y, y y. Pro říkáme místo prví dierece je dierece. Někdy se zavádí též: y y. - té dierece pro > se též azývají dierece - téo řádu, ebo obecě dierece vyššíc řádů. b Jestliže do - té dierece ukce dosadíme za daé číslo ε M, pak píšeme ebo [ ] o ebo [ y] o a tuto diereci azýváme - tou dierecí v bodě. Pozámka: - tá dierece je ukce proměé deiovaá v M, - tá dierece v bodě je určitá odota této ukce určité číslo. Příklad podle [, str.]: Vypočtěte a pro, b pro obecý dierečí krok, je- li. Řešeí: a -, [ ], pro ε -,. 6

27 e -, [ ], pro ε -,. Třetí dierece ukce v libovolém bodě je tedy. Příklad podle [, str.]: Vypočítejte - tou diereci ukce pro dierečí krok. Řešeí:.., atd. Odtud je zřejmé, že. pro všeca ε -,. Nyí uveďme o ěco praktičtější úkol vedoucí a řešeí lieárí dierečí rovice. řádu. Příklad : Nalezěte ukčí vzorec pro tzv. Fiboaccio posloupost daou rekuretě: a a a, a a Řešíme lieárí dierečí rovici. řádu s kostatími koeiciety bez pravé stray: a a a s carakteristickou rovicí λ λ. 5 5 Kořey této kvadratické rovice jsou: λ >, λ <. Deiičím oborem dierečí rovice je možia přirozeýc čísel, obecé řešeí má 5 5 tedy tvar a C C. Kostaty C a C určíme z počátečíc podmíek a a : dosadíme do obecéo řešeí a za a. Dostaeme soustavu rovic 5 5 C C, Řešeím této soustavy je 5 C 5 C C a C

28 5 5 Hledaý ukčí vzorec má tvar a. 5 5 Pozámka: Postupým počítáím jedotlivýc čleů Fiboaccio poslouposti z rekuretío vzorce zjistíme, že jsou to přirozeá čísla: {a }{,,,, 5, 8,, }. Vidíme, že poměrě složitý vzorec pro a obsauje iracioálí číslo 5 a zlomky se jmeovatelem a přesto představuje přirozeá čísla. Nyí si uvedeme vzorec, jak lze diereci - téo řádu vypočítat přímo z odot ukce e postupým počítáím dierecí všec ižšíc řádů. Věta III. : Necť ukce je deiováa v bodec,,,. Potom - -. Příklad podle [, str.5]: Podle věty III. vypočítejte, je- li si pro π. Řešeí: π π π π siπ - si π 6 si π si π si III.. Dierece ěkterýc elemetáríc ukcí Dále se budeme zabývat ukcemi k,, q, si k, cos k a ukcemi utvořeými z těcto ukcí součtem a součiem. Dále budeme používat začeí pro polyom stupě P a a a j a j j, kde a, místo P budeme ěkdy psát Q ebo R. Pišme P a ; pak i kostatu považujeme za polyom, a to stupě ultéo. Věta III. 5: Pro všeca ε -, a pro libovolý dierečí krok platí: a Je- li k kostata, pak k, b pro,,, je P -, kde P - je jistý polyom stupě, c pro q> je q cq, kde c je jistá kostata, 8

29 d pro libovolé číslo k je si k a si k b cos k, kde a, b jsou jisté kostaty, e pro libovolé číslo k je cos k c si k d cos k, kde c, d jsou jisté kostaty. Důkaz: c q q - q q q, c q. Je- li q, je c. d si k si k si k si k.cos k cos k.si k si k cos k.si k si k.cos k; stačí položit a cos k, b si k. Je- li k, je a i b. e cos k cos k cos k cos k.cos k si k.si k cos k -si k.si k cos k.cos k. Položme c - si k, d cos k a obdržíme tvrzeí. Věta III.6: Pro libovolé > a pro všeca, pro ěž jsou současě deiováy a g, platí: a [ g] g, b [k] k, c [ g] g g g. Důkaz: a Dierece součtu rozdílu ukcí je rova součtu rozdílu jejic dierecí. [ g] [ g] [ g] [ ] [g g] g. b Multiplikačí kostatu lze vytkout před diereci. [k] k k k[ ] k. c [ g] g g g g g g. Vytkeme z. a. čleu g a z. a. čleu : [ g] g g g g g g. Vytkeme z. a. čleu : [ g] g g g ; to jsme měli dokázat. Pozámka: Tvrzeí uvedeá ve větě III.6 a a b platí obdobě i v případě diereciálío počtu viz věta I.7. Obdoba tvrzeí c však již v této podobě v diereciálím počtu eeistuje. Věta III.7: Pro všeca ε -, a libovolé > platí: 9

30 a P Q, kde Q je jistý polyom stupě, b pro q>, q je P q Q q, kde Q je jistý polyom stupě, c pro k je P si k Q si kr cos k, P cos k Q * si kr * cos k, kde Q, R, Q *, R * jsou jisté polyomy stupě, d pro q> je q si k q a si kb cos k, q cos k q a * si kb * cos k, kde a, b, a *, b * jsou jisté kostaty, e pro q>, q, k je P q si k q [Q si kr cos k], P q cos k q [Q * si kr * cos k], kde Q, R, Q *, R * jsou jisté polyomy stupě. Důkaz: a P j a j j. Nyí použijeme tvrzeí a a b věty III.6 a dále tvrzeí b věty III.5 : j a j j j a j j j a j R j. Protože a a R má koeiciet u mociy rověž eulový, je tato suma jistý polyom stupě, jak jsme měli dokázat. b Použijeme tvrzeí c věty III.6 pro diereci součiu: P q q P P q P q. Podle právě dokázaéo tvrzeí a věty III.7 a věty III.5 lze psát: P q [Q k P k Q ] q, kde k ; proto je výraz v závorce jistý polyom stupě. c Podle tvrzeí c věty III.6, tvrzeí a věty III.7 a tvrzeí d věty III.5 je: P q si k si k P P si k P si k Q si k P [a si kb cos k] Q [a si kb cos k] [Q a P a Q ] si k [b Q b P ] cos k.

31 Výrazy v lomeýc závorkác jsou ledaé polyomy Q a R. Obdobě se dokáže vzorec pro P cos k. d Teto vzorec můžeme považovat za zvláští případ dalšío tvrzeí e, ve kterém připustíme i, přičemž P. e Použijeme věty o diereci součiu: P q si k si k P q P q si k P q si k; dále užijeme právě dokázaéo tvrzeí b věty III.7 a tvrzeí d věty III.5: P q si k si k Q q P q [a si kb cos k] Q q [a si kb cos k] q [ Q a Q a P si kb P b Q cos k]. Výrazy v okroulýc závorkác jsou ledaé polyomy. Obdobě se dokáže vzorec pro P q cos k. Důsledek tvrzeí věty III.7: Pro k,,, je k P Q k ; Q k je jistý polyom stupě k. Speciálě: P k, a tudíž: P. Slovy: k- tá dierece polyomu - téo stupě je polyom stupě k. Cvičeí podle [, cvičeí I., str.]: Vypočítejte,,5, pro i pro obecý dierečí krok :.,. a bc, k.. Výsledky: Do obecéo výsledku dosaďte ebo,5 ebo :.,. aa b, k.. Řešeí: str Cvičeí podle [, cvičeí II., str. ]: Vypočítejte v bodě

32 - pro, a to jedak podle vzorce z věty III., jedak postupým počítáím dierecí ižšío řádu:.,.... Výsledek:.,. 5 6,. 8. Řešeí: str IV. Sumace ukce a její vlastosti IV.. Pojem sumace Zatím vždy byla dáa ukce a počítali jsme její diereci; tím jsme dostali ovou ukci. Diereci bylo možé vždy vypočítat, pokud eistovaly ukčí odoty v bodec a. Nyí budeme řešit opačou úlou: bude dáa dierece a budeme ledat ukci, kterou jsme dierecovali. Hledaou ukci budeme azývat sumací daé ukce. Deiice IV.: Je dáa ukce deiovaá a možiě M. Necť ukce y F je taková, že pro εm je y. Fukci F azýváme sumací ukce v M a začíme: y -. Pozámka: Fukce F je deiováa eje pro εm, ale i pro body. Deiičí obor ledaé ukce F ozačíme jako M, tj. prvky možiy M jsou všeca čísla εm a dále všeca čísla. Pozámka: Ozačme U možiu všec periodickýc ukcí s periodou, deiovaýc a možiě M. Libovolou ukci z možiy U budeme začit p, q ebo p, p apod. Věta IV. : Necť je dierečí krok stejý jako perioda ukce p ε U. Pak: y y - p, kde p je libovolá periodická ukce, p ε U. Deiice IV.: Říkáme, že ukce p je periodická a možiě M, jestliže eistuje číslo > takové, že pro všeca εm je deiováo p, a jestliže p p. Číslo se azývá perioda.

33 IV.. Vlastosti sumace Věta IV.: Necť jsou F a G dvě ukce, které mají pro εm stejou diereci, tj. F G. Potom F Gp, kde je p libovolá periodická ukce s periodou a aopak. Důkaz: Rovici F G můžeme psát ve tvaru F - G, tj. [F - G]. Podle věty IV. je F - G p; a to jsme měli dokázat. Obráceě: F Gp G p G. Z této věty plye: je- li dáa a ledáme- li ukce y takové, aby y, pak je těcto ukcí ekoečě moo a platí pro ě: y - Fp, kde F je jeda z těcto ukcí. Speciálě pro ε{ } mají ukce y tvar: y FC. Věta IV.5: a - [k] k -, b - [g] - - g. Důkaz: Ozačme - F, tj. F, - g G, tj. g G, a Stačí dokázat, že - [k] kf, tj. že [kf] k. Ale víme, že [kf] kf k. b Stačí dokázat, že - [g] FG, tj. že g [F G]. To však plye z vlastosti dierece součtu. Věta IV.6: Je dá polyom P j a j j. Potom eistuje polyom Q stupě takový, že Q P, tj. - P Q.

34 Příklad podle [, str.7, př.]: Nalezěte všecy ukce y F, ε -,, které splňují rovici y 5 pro,. Řešeí: y - 5. Sumace lieárí ukce je kvadratická ukce, tj. y a bc. Vypočítáme y pro,: y [a, b,c] a bc,a,a,b. Dosadíme do daé rovice, která má být ideticky splěa:,a,a,b 5. Porováím koeicietů dostaeme:,a 5,,a,b, c je libovolé a 5 b 7,5. Hledaé sumace jsou ukce: y 5 7,5p. Věta IV.7: Je dáa ukce P q, kde P je polyom stupě a kde q, q>. Potom eistuje polyom Q stupě takový, že: Q q P q, tj. - P q Q q. Polyom Q je urče jedozačě. Příklad podle [, str.8, př.]: Nalezěte všecy ukce y F, pro které platí: y. - 5 pro. Řešeí: Máme vypočítat sumaci: y - [. - 5], tj. y Ozačme y -. - ; podle věty IV.7 je y ab. y [ab] -ab [ a a b -a -b] - a a - b Protože y. -, musí platit: Tedy y -. - a -, a - b, a, b. Ozačme y - 5 ; podle věty IV.6 je y ab. y ab a b a.

35 Protože y 5, je a5 b je libovolé. Tedy ledaá ukce má tvar y y y 5p. Pozámka: Aalogicky ke vzorcům pro dierece platí podle [, str.9] tyto vzorce pro sumace: - si k a si k b cos k, - P si k Q si k R cos k atd. IV.. Součet čleů poslouposti Nejprve připomeňme ěkteré základí pojmy. Posloupost {a } je zobrazeí možiy přirozeýc čísel do možiy čísel reálýc; tedy je to ukce s deiičím oborem ε{,,, }, ve kterém vzdáleost dvou sousedíc bodů. Posloupost může být dáa růzým způsobem, apř. ějakým matematickým vzorcem, který je elemetárí ukcí proměé. Takový vzorec zapisujeme ve tvaru: a. Například pro aritmetickou posloupost má ukčí vzorec tvar: a a d a pro geometrickou posloupost: a a q. Součet s čleů poslouposti {a } s a a a se azývá - tým částečým součtem čleů poslouposti {a }. Tyto součty tvoří ovou posloupost {s }, kterou azýváme posloupost částečýc součtů čleů poslouposti {a }. - tý částečý součet čleů poslouposti {a }je tedy dá tzv. rekuretím vzorcem: s s - a, s - a. Takto deiovaé s předpokládá, že vypočítáme postupě všecy čley a, a, a ty pak sečteme. V ásledující větě si ukážeme, jak se tyto ukčí vzorce pro s dají určit pomocí sumace. Věta IV.8: Necť posloupost {a }je dáa ukčím vzorcem. Necť - a F je jeda ze sumací ukce a. Potom pro - tý částečý součet s čleů poslouposti {a }platí s F a F. Příklad : Odvoďte ukčí vzorec pro součet s aritmetické poslouposti. Řešeí: Použijeme vzorce odvozeéo pro s předcozí věta: s - a a [ - a ]. 5

36 Pro aritmetickou posloupost je a a d, kde a a d jsou předm zvoleé kostaty, a tedy a a d. Ozačme si: F - a d, tj. F a d. Dierece F je lieárí ukce proměé, proto podle věty IV.6 bude ledaá ukce F kvadratická: F a b c F a b c a b c a a b. Srováím s výrazem pro F dostaeme: a a b a d. Porováme- li koeiciety, vypočítáme, že d d a, b a. Tedy F d a d c. K výpočtu kostaty c dosadíme : F d a d c a c a současě podle deiice součtu poslouposti je S s a.z too vyplývá, že c. Hledaý vzorec je s d a d. Po úpravác obdržíme zámý vzorec pro součet aritmetické poslouposti s a a. Cvičeí podle [, cvičeí II.., str. ]: Nalezěte ukčí vzorec pro součet čleů poslouposti: s k k Výsledek: s, řešeí: str IV.. Sumace vyššíc řádů Deiice IV.8: Je dáa ukce deiovaá a možiě M. Hledáme ukci y F takovou, aby pro ε M platilo: y. Fukci y F azýváme sumací ukce - téo řádu ebo stručě - tou sumací ukce v možiě M a začíme y -. Deiičí obor ukce F obsauje eje všeca ε M, ale i body,,. 6

37 Pozámka : Protože - tá dierece byla deiováa rekuretě, provádíme i výpočet - té sumace rekuretě, tj. ledáme- li ukci y z rovice y, vypočítáme ejprve - y -, a ozačíme- li a cvíli -, ledáme dále y z rovice - y, z čeož - y - atd., až po krocíc dojdeme k y y. V dalším budeme počítat - tou sumaci opět je pro ukce zde užívaé, tj. pro k, m, a, si k, cos k a ukce z ic utvořeé součtem ebo součiem. Výsledkem bude ukce téož typu. Pozámka : Již jsme se dozvěděli, že - eí určea jedozačě, ale že těcto ukcí je ekoečě moo a jejic obecý tvar je Fp [resp. ve speciálím případě FC], je- li F jeda ze sumací -. Nyí ledejme všecy ukce y, pro které má platit: y, kde je daá ukce a je z daé možiy M. Víme, že y - p, kde je jeda ze sumací - a p je libovolá periodická ukce. Tedy: y - p - - p. Fukci - pišme ve tvaru - p Vše pro εm. Zbývá vypočítat - p, což bude provedeo v ásledující větě. Věta IV.9: Necť je p libovolá periodická ukce s periodou. Necť je dierečí krok rověž. Potom - p p p, kde p je libovolá periodická ukce s periodou, a p p je rověž periodická ukce s periodou. Důkaz: Stačí dokázat, že [p p ] p. To provedeme pomocí deiice dierece, přičemž p p a p p. Pozámka : Je- li, je - p p p. Pozámka : Jestliže budeme řešit úlou a sumaci je v možiě M { }, kde tedy místo periodickýc ukcí píšeme obecé kostaty, budeme používat věty IV.9 v tomto zěí: - C C C, kde C C a C je libovolá kostata. Vraťme se k úloze uvedeé v pozámce ajít všecy ukce y, jejicž y je daá ukce, tj. vraťme se k výpočtu drué sumace. 7

38 y y - p p y - - p [ p ] [ p p ]. Ozačme p q a p p q, což jsou opět libovolé periodické ukce. Tedy je- li F ěkterá druá sumace daé ukce, pak všecy ostatí ukce y, splňující rovici y, mají tvar y F q q, kde q, q jsou libovolé periodické ukce s periodou. Jestliže v daé rovici bylo prvkem daé možiy M, pak alezeá ukce y musí být deiováa eje pro εm, ale i pro všecy body a. Věta IV.: Necť je p libovolá periodická ukce s periodou. Necť je dierečí krok rověž. Potom pro každé přirozeé eistují periodické ukce p j, j,,,, takové, že - p p p p p, kde ukce p je libovolá a ostatí ukce p,, p závisí a p. Pozámka 5: Speciálě, je-li p C, pak - C C C C C. Nyí obecě rozřešíme případ -té sumace postupými sumacemi: Je- li y, pak y - p, y - p p, y y - p p p, kde - je jeda určitá - tá sumace ukce. Fukce p v prvém řádku je obecě jiá ež p v druém, resp. třetím řádku atd. Věta IV.: y y - j j p j, kde p j εu a - je jeda - tá sumace. Cvičeí podle [, cvičeí I.., str. ]: Nalezěte všecy ukce y, které pro všeca splňují rovici: y,. Výsledek: y p. Řešeí: str

39 Cvičeí podle [, cvičeí I.., str. ]: Nalezěte všecy ukce y, které pro všeca splňují rovici: y 9.,. Výsledek: y p p. Řešeí: str.9-8. V. Řešeí cvičeí Cvičeí, straa 5: y arccos, D-?. Darccos Hcos, Cvičeí, straa 5: y -. si { R, <-, 5 >}., D-?. >, ulové body:, :. I : -, : > I :, : > > > >- > > I :, : > <- { R; -, } Cvičeí, straa 8: Vypočtěte: lim 9

40 lim lim lim je koře - -: ±. ±,,. je koře : Cvičeí, straa 8: Vypočtěte: lim 5 5 lim 5 lim 5 5. lim lim Cvičeí, straa 8: Vypočtěte: lim 5, substituce -t 5 lim 5 substituce - t, t lim t 5 t t 5 lim t t t 5 t t lim t t t. t Cvičeí, straa : Ve kterýc bodec má křivka tečy rovoběžé s osou, jestliže rovice křivky je y -?

41 y. Teča rovoběžá s osou y -, ± [, y ] [, y ] y y y -, y -, Cvičeí, straa : Napište rovice tečy i ormály křivky y 5 - v bodě [, -]. y 5 -. y 5.-. t: y--.- : y--. y - y -- Cvičeí, straa : Jakou ryclostí dopade a zem káme spuštěý z výšky 5 m? Pozámka: Volý pád carakterizová rovicí s g t, gravitačí kostata g m/ s. Dále okamžitá ryclost je derivací dráy v příslušém časovém okamžiku. s 5m, g m.s - 5 t v s g.t g. t t 9 ts v.m.s Cvičeí, straa 9: Užitím vodé substituce vypočtěte itegrály: d 5 t t t dt t t - t t t t t t dt dt. dolí mez d t dt.5 orí mez t t A B t t t t t A.tB t : AB t: A.t

42 B-A B- dt l t t t t dt dt t t z z dz z t dt dz t l t dt t [ l t. ] l l l l Cvičeí, straa 9: Užitím vodé substituce vypočtěte itegrály: o l.e - d. e u u d v e - v- e - -ddt e t -t e. dt d -dt t e dt e t e.-e - - e d. e e d. e e e. l. e l d [ e. ] l l e l. l e. l.. l Cvičeí, straa : Určete odsa roviéo obrazce omezeéo křivkami: y l, y l, y. Vzorec použijte z bodu a. Tuto situaci je ejlépe si ejprve ačrtout, což zde vzledem k omezeým možostem emou. Poté je třeba si určit průsečík graů ukcí y l, y l. l l, > l l l- l l e. ±. ± --,,

43 Nyí vypočtu obsa plocy omezeé křivkami y l, y. Mezemi bude vypočteý bod a dále průsečík grau ukce y l s osou y, tj. l e l d ul u.l- v v d, d [.l l ] :- t dt l t t ddt l l l l l l l l Nyí vypočtu obsa plocy omezeé křivkami y l, y. Mezemi bude opět vypočteý bod a dále průsečík grau ukce y l s osou y, tj. l l d l ul u l d l l d v v [ l ] l l l l Nyí odečtu druý výsledek od prvío a získám tím požadovaý obsa. S l -- l- l - l - l - l - l - l - Cvičeí, straa : Vypočtěte objem tělesa vytvořeéo rotací obrazce oraičeéo křivkami y, y kolem osy. Vzorec viz bod c. Tuto situaci je opět dobré si ejprve ačrtout. Poté je třeba určit průsečík graů ukcí. y y ± y,, Nyí vypočtu objem tělesa vytvořeéo křivkou V π d π π. y. Nyí vypočtu objem tělesa vytvořeéo křivkou y. V 5 π d π π. 5 5

44 Výsledek získám odečteím druéo výsledku od prvío. V - V π π π π π 5 5 Cvičeí, straa : Odvoďte vzorec pro povrc koule. Vzorec viz bod d. Koule vzike rotací grau ukce y r kolem osy, meze r, r. y r r y.. r r y. r y [ ]... r r r r r rd d r d r r r d r r S m r r r r r r r r r r π π π π π π π Cvičeí, straa : Vypočítejte,,5, pro i pro obecý dierečí krok :.,. a bc,. k...,5.,5 :... : b a a c b a c b b a c b a c b a b a b a a b a b a a.,5,5 : :.... k k k k k.,5.,5,5 :. : k k k k k k

45 5 Cvičeí, straa : Vypočítejte v bodě - pro, a to jedak podle vzorce z věty III., jedak postupým počítáím dierecí ižšío řádu:., !!.!!

46 Cvičeí, straa 6: Nalezěte ukčí vzorec pro součet čleů poslouposti: s k k s s s s s s bude polyom o stupeň vyšší, tj. s a b cd c b a d c b a d c c b a d c b a d c b a s Porováím s : a aabbc : a a : ab. b b b : abc 6 c c c d s 6 : s

47 7 s d 6 6 d d Hledaý vzorec: s s s Cvičeí, straa 8: Nalezěte všecy ukce y, které pro všeca splňují rovici: y,. y y e d c b a y e d c b a e d c b a e d c b a e d c b a y e d c b a e d c b a y : Porováím y: : abcde-e d d, e je libovolé : abcd-d c c c : 6abc-c 6. b b b b : -ab-b a : a-a p y, vytkeme, upravíme, poté výsledek.. p y

48 Cvičeí, straa 9: Nalezěte všecy ukce y, které pro všeca splňují rovici: y 9.,. y y Ozačme y y y y y 9. y 9. y ledejme ve tvaru y a. y a. a. a... a.. a... a.. 6 : 6 6 y a.. a. Má tedy platit: y a - a. a. Dále ledejme ukci z rovice y. y. ozačme y y, pak y. y. y ledejme ve tvaru Pro výpočet y použijeme výpočtu y Má tedy platit: y a - y a. a. a. y a. 6 Obecé řešeí podle věty IV. tvar: y. p p. 8

49 Literatura [] Hájek, J., Cvičeí z matematické aalýzy Diereciálí počet v R, Masarykova uiverzita v Brě Pedagogická akulta, Bro,. [] Hájek, J., Cvičeí z matematické aalýzy Itegrálí počet v R, Masarykova uiverzita v Brě Pedagogická akulta, Bro,. [] Prágerová, A., Dierečí rovice, SNTL, Praa, 97. [] Havlíček, K., Diereciálí počet pro začátečíky, SNTL, Praa, 965 [5] Mikulčák, J. a kol., Matematické, yzikálí a cemické tabulky pro středí školy, Prometeus, Praa, 997 9