Předáška : Elemetárí uke Moié uke Moiou ukí je každá uke typu r y, r Rozlišujeme tyto speiálí případy: pro r říkáme uki polyom, pro r lomeá uke, pro r odmoia a pro iraioálí r \ obeá moia Tou se však dále zabývat ebudeme Polyomy Polyomem rozumíme každou uki p : y a a a a, a kde reálá čísla a i stupěm polyomu symbolem i P,,,, azýváme koeiiety polyomu a číslo azýváme p Možiu všeh polyomů stupě v proměé ozačujeme Deiičím oborem každého polyomu je možia všeh reálýh čísel, D Pro polyomy stupě,, a používáme speiálí ázvy: Kostatí uke Kostatí ukí rozumíme polyom stupě, tedy uki ya kost Platí pro i H a, jejím graem je přímka rovoběžá s osou Kostatí uke je sudá, ohraičeá, erostouí a eklesajíí Vzhledem ke grau se ěkdy považuje za speiálí případ lieárí uke, přesto že v tomto případě eplatí, že a Lieárí uke Lieárí ukí rozumíme polyom stupě, p : y a a, tedy uki y k q Jejím graem je přímka Koeiiety kq, mají bezprostředí geometriký výzam: číslo k ta azývaé směrie popisuje odhylku přímky od kladé části osy a číslo q určuje průsečík přímky s osou y Je-li k dostáváme jako speiálí případ kostatí uki V opačém případě, pro k, je lieárí uke prostá, ryze mootóí a jejím graem je přímka růzoběžá s oběma souřadiovými osami, tedy H Pro k je lieárí uke rostouí, pro k je klesajíí Pro q je lieárí uke lihá a popisuje přímou úměrost Její gra prohází počátkem soustavy souřadi
Kvadratiké uke Kvadratikou ukí rozumíme polyom stupě, a p : y a a a, y a b, tedy uki Jejím graem je parabola, jejíž osa je rovoběžá s osou y Tvar paraboly závisí a koeiietu a a její umístěí závisí (pro pevě zadaé a ) a koeiieteh b, Fuki lze totiž vždy přepsat do tzv vrholového tvaru b b y a( ) y,, y a 4a, V, y (pozor a zaméka!) je vrhol paraboly kde bod Kvadratiká uke eí ohraičeá, eí mootóí, tedy ai prostá Pro b jde o uki sudou Pro H y, Je klesajíí a itervalu a je kvadratiká uke zdola omezeá, I (, ) a rostouí a J (, ) Pro a je kvadratiká uke shora omezeá, H, y klesajíí a J Je rostouí a itervalu I a 4 Kubiké uke Kubikou ukí rozumíme polyom stupě, p : y a a a a, a Jejím graem je tzv kubiká parabola, jejíž osa je rovoběžá s osou y Platí, že H Nejjedodušší kubikou ukí je ai zdola Pro a je rostouí, pro a je klesajíí : y a, která je prostá, lihá a eí omezeá ai shora 5 Rozklad polyomu a souči kořeovýh čiitelů Je zámo, že kvadratikou uki D b 4a y a b s ezáporým diskrimiatem lze rozložit a souči kořeovýh čiitelů y a( )( ), () kde, jsou kořey rovie a b Pokusíme se teto akt zobeit pomoí tzv Základí věty algebry (Gauss, 799) Ta říká, že každý reálý polyom p ( ) stupě má právě kompleíh kořeů Je-li kompleí číslo z a bi kořeem polyomu p ( ), pak je také kompleě sdružeé číslo z a bi jeho kořeem Souči kořeovýh čiitelů ( z)( z) ( a bi)( a bi) a a b dává polyom druhého stupě s reálými koeiiety a se záporým diskrimiatem Ozačíme-li p a a q a b, dá se polyom p ( ) přepsat v možiě reálýh ukí do tvaru součiu p ( ) a( )( ) ( ) ( p q ) ( p q ) () i j j kde,,, i jsou reálé kořey polyomu p ( ) a ( pi qi) jsou součiy kořeovýh čiitelů příslušýh ke kompleě sdružeým kořeům, apříklad 4 4 5 ( )( )( 5)
K ověřeí toho, je-li číslo i kořeem polyomu p ( ) se používá tzv Horerovo shema, jeho výklad však přesahuje záběr tohoto tetu a bude se podroběji rozebírat v předmětu Matematika Raioálí lomeé uke Raioálí lomeou ukí rozumíme uki typu p ( ) : y, kde ppm, q P q ( ) Deiičím oborem jsou všeha reálá čísla kromě reálýh kořeů polyomu q, tedy kromě maimálě reálýh čísel,, Každou raioálí lomeou uki lze pomoí děleí polyomů přepsat do tvaru součtu tzv ryze lomeé uke (pro i platí, že stupeň čitatele je meší ež stupeň jmeovatele, tedy m ) a polyomu stupě s : pm y rs q Speiálě se zabýváme lieárími lomeými ukemi a elou záporou moiou 6 Lieárí lomeá uke Nejjedodušším speiálím případem raioálí lomeé uke je lieárí lomeá uke a b y d, kde a ad b d a \ H \ Deiičím oborem je možia D, oborem hodot je Graem lieárí lomeé uke je rovoosá hyperbola Její předpis můžeme vždy přepsat do tzv středového tvaru k y y, ze kterého sado vyčteme souřadie středu hyperboly S y d a,, Její osy d a, y jsou rovoběžé se souřadiovými osami, které rozdělují roviu a čtyři kvadraty Pro k leží větve hyperboly v I a III kvadratu a uke je klesajíí a itervaleh d d, J, I a Pro k leží větve hyperboly ve II a IV kvadratu a uke je rostouí a itervaleh d d, J, I a Pro bd dostáváme lihou uki k y, která modeluje epřímou úměrost Iverzí ukí k lieárí lomeé uki je opět lieárí lomeá uke, dokoe se stejým S y, k, ovšem s jiým středem iv
7 Celá záporá moia U ukí y,, rozlišujeme dvě skupiy ukí s rozdílými vlastostmi, a to uke se sudým a s lihým Pro obě skupiy je deiičím oborem Pro sudé jsou to uke sudé, jejih oborem hodot je H, omezeé Na itervalu I, jsou rostouí a a itervalu J, Pro lihé jsou to uke lihé, jejih oborem hodot je itervaleh I, a, J D \ a jsou tedy zdola jsou klesajíí H \ a jsou klesajíí a Fuke odmoiy Pro jedoduhost se zatím omezme a uke y r, kde r,, Tyto uke ozačujeme y a azýváme -tou odmoiou Můžeme je rozdělit a dvě skupiy, pro sudé a lihé, které se podstatě odlišují Pro obě skupiy je společé, že uke jsou rostouí, tedy prosté Na příslušýh deiičíh oboreh to jsou iverzí uke k -té moiě, platí totiž ( ) 8 Sudé odmoiy 4 Pro sudé odmoiy y, y, atd platí, že D H, Graem je jeda větev paraboly -tého stupě, která má osu rovoběžou s osou Fuke jsou zdola omezeé a mají miimum v bodě 9 Lihé odmoiy 5 Pro lihé odmoiy y, y, atd platí, že DH Graem je parabola -tého stupě, která má osu rovoběžou s osou Fuke jsou lihé a eomezeé Obeé moiy s raioálím epoetem Fuke p q y, kde p, q, se sado získají jako uke složeé z p -té moiy y p (polyomu) a lomeé uke /q y Z toho můžeme také odvodit jejih vlastosti pro kokrétí p a q Úplý rozbor pro všehy skupiy ( p kladé a záporé, q sudé a lihé, atd) však přesahuje záběr tohoto tetu, jejih vlastosti budou zkoumáy v ásledujííh vičeíh 4
Absolutí hodota Absolutí hodota je ukí deiovaou po částeh: pro, : y pro H, Jde o uki sudou, zdola omezeou, jejím graem je lomeá Platí tedy D, čára Fuke sigum Pomoí absolutí hodoty se také deiuje zaméková uke eboli uke sigum pro, pro, sig pro, pro, pro Epoeiálí uke Epoeiálí ukí o základu a rozumíme uki y a, kde a, a, s deiičím oborem D Proměou zde většiou azýváme epoet Podmíku a klademe proto, že pouze pro kladý základ a je číslo a deiováo pro všeha (apř eí deiováo,, atp) Podmíku a klademe proto, že uke y je kostatí, má tedy vlastosti diametrálě odlišé od ostatíh epoeiálíh ukí, a mezi epoeiálí uke ji ezařazujeme Graem epoeiálí uke je tzv epoeiálí křivka eboli epoeiála, která vždy prohází bodem B,, jelikož totéž a souměré podle osy y Jelikož H, prosté; pro a Epoeiálí křivky 5 y y jsou pro a a a, jsou epoeiálí uke zdola omezeé Dále jsou mootóí, tedy a jsou to uke rostouí, pro, a klesajíí Pro epoeiálí uke platí všeha pravidla pro počítáí s moiami a odmoiami zámá ze středí školy, zejméa rovost a a a, pro všeha D, () ze které se dají ostatí pravidla odvodit, a která epoeiálí uke deiuje Iverzí ukí k epoeiálí uki y a je logaritmiká uke y log a, viz íže, platí tedy loga a, pro, log a( a ), pro (4) V prai se epoeiálí uke používají k popisu ejrůzějšíh yzikálíh, přírodíh, společeskýh a ekoomikýh proesů, od modelováí řetězovýh ukleáríh reakí, absorpe zářeí, přes modelováí rozpadu radioaktivíh izotopů (toho se využívá při datováí kosteríh pozůstatků v arheologii a paleotologii) až ke složeému úrokováí a růstu e
Přirozeá epoeiála Obrovský výzam hraje v prai přirozeá epoeiála ye ep( ), tedy epoeiálí uke o základu e,788, ož je tzv Eulerovo číslo deiovaé ejčastěji jako limita poslouposti ebo součet ekoečé řady, a to vztahy e lim ebo e! Jakoukoliv epoeiálí uki lze vyjádřit prostředitvím přirozeé epoeiály, vzhledem k rovii (4) totiž pro a platí a l a l e e a Fuke y e se objevuje sad ve všeh oblasteh matematiky, apříklad v diereiálím počtu je to jediá uke, pro kterou platí, že její derivae v bodě (viz předáška ) je rova ukčí hodotě v bodě Z teorie kompleíh čísel a ukí kompleí proměé plye jako vlastost přirozeé epoeiály asi ejkrásější rovie elé matematiky, Eulerova rovost i e Logaritmiké uke Logaritmikou ukí o základu a rozumíme uki y log a, a, a iverzí k uki y a D H a Hlog D Zvláští Platí tedy, že log, a a ozačeí se používá pro tzv přirozeý logaritmus y l log a tzv dekadiký logaritmus y log log Všehy vlastosti logaritmikýh ukí sado odvodíme z vlastostí epoeiálí uke Graem logaritmiké uke je tzv logaritmiká křivka, kterou lze sestrojit jako obraz příslušé epoeiály při osové souměrosti podle osy y Její gra vždy prohází bodem B, ož je obraz bodu, log, B při této osové souměrosti Z vlastostí (4) plye, že log a, log a Logaritmiké uke jsou stejě jako epoeiálí uke mootóí a tedy prosté Pro a jsou uke y a rostouí, tedy i jejih iverze y log a je uke rostouí Ze stejého důvodu jsou uke y log a pro a, klesajíí Připomeňme, že platí všeha pravidla pro počítáí s logaritmy zámá ze středí školy: Pro, D je log ( ) log ( ) log ( ), a a a loga log a( ) log a( ), log ( ) r log ( ) pro všeha r a r a e a a 6
Goiometriké uke Oblouková a stupňová míra, jejih vztah Velikosti úhlů budeme důsledě uvádět v obloukové míře (jedotkou je jede radiá, zkratku rad budeme vyehávat), je pro ázorost ěkdy doplíme vyjádřeí v míře stupňové (jedotkou je stupeň, zkratka ) Oblouková míra úhlu je totiž deiováa geometriky a bezrozměrě (ezávisle a volbě délkové jedotky), jako délka oblouku a jedotkové kružii se středem ve vrholu úhlu To je deiie, která je ezávislá a člověku Také ve yzikálí soustavě jedotek SI se radiá deiuje jako úhel, který a jedotkové kružii se středem ve vrholu úhlu vyte oblouk jedotkové délky Naproti tomu stupňová míra je pouhá dohoda, že bude právě jeda devadesátia úhlu pravého Deiie byla pravděpodobě zavedea již ve starověké Mezopotámii preerujíí šedesátkovou číselou soustavu (plý úhel odpovídá 6, tedy 6 6 ), ož přiáší je další komplikae při převodeh: pro meší jedotky (úhlové miuty a vteřiy ), platí, že 6 6 Pro převod mezi těmito jedotkami si stačí uvědomit, že plému úhlu 6 odpovídá délka elé jedotkové kružie, tedy podle zámého vzore pro obvod kružie o r Zbytek je již jedoduhá trojčleka: 8, kde je velikost úhlu ve stupňové míře a je odpovídajíí velikost v obloukové míře Jedu z těhto dvou veliči máme zadáu, druhou heme vypočítat Pro často používaé úhly (viz tabulka ) se však vyplatí umět je převádět zpaměti 45 6 9 8 7 6 rad 6 4 Tabulka Odpovídajíí si velikosti úhlů ve stupňové a obloukové míře Fuke sius a kosius Pro každý zadaý úhel můžeme zvolit kartézskou soustavu souřadi a sestrojit jedotkovou kružii k se středem v počátku Naopak, každému reálému číslu můžeme přiřadit právě jede bod M k M, y Proto můžeme pro všeha o souřadiíh deiovat si ym, os M (5) Tím jsme deiovali uke sius a kosius s deiičími obory D Z kostruke H, a uke jsou periodiké s periodou p Jejih gray sestrojíme vyplývá, že pro, ze souřadi bodu M a dále gra periodiky prodloužíme Graem uke M M 7
sius je tzv siusoida, graem uke kosius je tzv kosiusoida, o eí i jiého ež siusoida posuutá o doleva (ve směru záporé poloosy ) Obě uke jsou periodiké s periodou p, obě jsou ohraičeé Fuke sius je lihá, uke kosius sudá, platí tedy si( ) si( ), (6) os( ) os( ) Nejsou to mootóí (tedy ai prosté) uke, uke sius je rostouí a základím itervalu,, Vzhledem k periodičosti se itervaly mootoie a klesajíí a itervalu pravidelě střídají Fuke kosius je rostouí a základím itervalu, a klesajíí a itervalu, Fuke tages a kotages Fuki tages deiujeme jako podíl si ta, pro D \ (k ), k os, (7) tedy a možiě takovýh reálýh čísel, jejihž kosius je růzý od uly Deiičí obor lze apsat jako sjedoeí itervalů (k),(k ), kde k Fuki kotages deiujeme jako podíl os ot, pro D \ k, k, (8) si tedy a možiě takovýh reálýh čísel, jejihž sius je růzý od uly Deiičí obor lze apsat jako sjedoeí itervalů k,( k ), kde k Oborem hodot jsou v obou případeh všeha reálá čísla Obě uke jsou periodiké s periodou p, obě jsou eohraičeé ( H ) a lihé, platí tedy ta( ) ta( ), (9) ot( ) ot( ) Obě uke ejsou mootóí a D, ale jsou mootóí a každém poditervalu v D odpovídajíím elé periodě: uke tages je rostouí a itervaleh (k),(k ), kde k, a uke kotages je klesajíí a itervaleh k,( k ), kde k Hodoty a zaméka goiometrikýh ukí Je velmi účelé si pamatovat ukčí hodoty alespoň uke sius pro často používaé úhly z tabulky : rad 6 4 si Tabulka Důležité ukčí hodoty uke y si 8
Posloupost si lze velmi sado zapamatovat ásledujíím memotehikou pomůkou: 4,,,, Tabulku si lze sado doplit pro odpovídajíí úhly ve II IV kvadratu, viz tabulka 4 íže Zpaměti je dobré zát přiejmeším ještě hodoty si(), si, si() Fukčí hodoty ostatíh ukí v těhto bodeh lze potom totiž sado odvodit: rad 6 4 os ta ede ede ot ede ede ede Tabulka Důležité ukčí hodoty ukí kosius, tages a kotages Pro uki kosius jsme spodí řádek tabulky zapsali zprava doleva, pro uki tages jsme vydělili čitatele příslušýh čleů (jmeovatelé se vykrátili):,,,, eí deiováo a pro uki kotages jsme řádek uke tages apsali opět zprava doleva Pro správé určeí ukčí hodoty ( ) goiometriké uke je potřeba určit ve kterém kvadratu leží hodota, a to podle kvadratu, v ěmž leží příslušý bod M jedotkové kružie Podle kvadratu se dopočítá odpovídajíí úhel v prvím kvadratu a také určuje zaméko ukčí hodoty Kvadrat I II III IV úhel si + + os + + ta + + ot + + Tabulka 4 Zaméka hodot goiometrikýh ukí 9
Harmoiké uke Harmoikou ukí rozumíme goiometrikou uki typu F : y ( a b), () kde ab,, a je uke sius ebo kosius Harmoiké uke aházejí široké uplatěí ve yzie a tehie, odkud také bereme používaé ázvosloví Číslo určuje amplitudu (rozkmit) uke F, jelikož pro je amplituda rova jedé Číslo a ovlivňuje rekvei uke F : jelikož je pro rekvee rova, je rekvee harmoiké uke F rova F a Koečě číslo b určuje počátečí ázi daé harmoiké uke F Každá ze tří kostat ovlivňuje vzhled grau uke F Jejih pořadí v abeedě je voleo tak, aby odpovídalo pořadí při kostruováí grau F ze základího grau uke : Kostata a ovlivňuje rekvei kmitů uke F (kmity jsou hustější pro a ) Vliv kostaty b se dá zahytit posuutím grau doleva pro kladá (respektive doprava pro záporá ) Řešeí rovie a b ám určuje průsečík s osou u uke sius Koečě vliv kostaty se dá zahytit vyásobeím všeh ukčíh hodot uke ( a b) Vzore pro goiometriké uke Zela výjimečé postaveí má mezi vzori tzv goiometriká jedička, tedy ormule si os () Pro odvozováí vlastostí a vztahů mezi goiometrikými ukemi hraje velkou roli idetita ta ot, k, kde k () ze které plye, že ot ta Velmi často je potřeba vztahů pro dvojásobý argumet si( ) si os, () os( ) os si, a vztahů pro převod mezi druhou moiou a dvojásobým argumetem si os( ), (4) os os( ),
Cyklometriké uke Z předhozího víme, že uke : y si je rostouí a itervalu, a prostá a D,, můžeme a tomto itervalu deiovat iverzí uki, kterou azýváme arkussius, : y arsi, D H,, H D,, (5) a to ormulemi si(arsi ), pro, (6) arsi(si ), pro, Její gra zkostruujeme sado z grau uke sius Vzhledem k H jde o uki ohraičeou Jelikož je uke sius a D lihá a rostouí, je uke arkussius také lihá a rostouí Podobě deiujeme iverzi k uki kosius, která je prostá apř a itervalu, D Nazýváme ji arkuskosius : aros, D,, D,, (7) Jelikož je uke kosius a D klesajíí, je arkuskosius také klesajíí Všiměte si, že kosius eí a D sudá, a že pokud by byla sudá, emohla by k í eistovat iverze, která také emůže ikdy být sudá Fuke arkustages je deiováa jako iverze k tedy Jde o uki lihou, rostouí a ohraičeou : y arta, D, H, Fuke arkuskotages je deiováa jako iverze k tedy : y arot, D, H D, y ta a itervalu D,, platí Jde o uki klesajíí a ohraičeou Všiměte si, že arot arta y ot a itervalu D,, platí Vztahy mezi yklometrikými ukemi Pro úplost doplíme ještě tři zajímavé ormule arsi aros pro,, arta arot pro, arta arot pro