Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40
Obsah 1 Taylorův polynom 2 Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla 3 Extrémy funkcí 4 Konvexnost a konkávnost 5 Asymptoty 6 Průběh funkce Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 40
Taylorův polynom Taylorův polynom Slouží k libovolně přesné aproximaci (nahrazení) funkce f v okolí bodu x 0 polynomem stupně n. Necht má funkce f v okolí bodu x 0 vlastní derivace až do řádu n + 1 pro nějaké n N 0. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí kde f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 2! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n+1 (x), n! R n+1 (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 je tzv. zbytek a ξ je vhodné číslo ležící mezi x 0 a x. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 40
Taylorův polynom Vynecháme-li v předchozí rovnosti zbytek R n+1 (x), obdržíme tzv. Taylorův polynom n-tého stupně funkce f v bodě x 0 : T n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Položíme-li x 0 = 0, získáme tzv. Maclaurinův polynom: T n (x) = f (0) + f (0) 1! x + + f (n) (0) x n n! Je zřejmé, že pro zbytek R n+1 (x) platí vztah R n+1 (x) = f (x) T n (x). Situaci, že Taylorův polynom aproximuje funkci f, zapisujeme f (x) T n (x). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 40
Taylorův polynom Příklad Určete Taylorův polynom 4. řádu se středem v bodě x 0 = 1 funkce f (x) = x ln x. Řešení: T 4 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (4) (x 0 ) (x x 0 ) 4 4! f (x) = 1 + ln x, f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2, f (4) (x) = 2 x 3. Tedy f (1) = 0, f (1) = 1, f (1) = 1, f (1) = 1, f (4) (1) = 2. T 4 (x) = 0 + 1 1! (x 1) + 1 2! (x 1)2 + 1 3! (x 1)3 + 2 4! (x 1)4 = 1 12 (x 4 6x 3 + 18x 2 10x 3). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 40
Taylorův polynom Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 40
Taylorův polynom Maclaurinovy polynomy elementárních funkcí Příklad e x 1 + x 1! + x 2 sin x x 1! x 3 3! + x 5 2! + + x n n! 5! + x 2k 1 ( 1)k 1 (2k 1)! cos x 1 x 2 2! + x 4 x 2k + + ( 1)k 4! (2k)! ln(1 + x) x 1 x 2 2 + x 3 3 + x n ( 1)n 1 n Určete polynom T 3 funkce y = cos 2x v bodě x 0 = 0. Řešení: T 3 = 1 2x 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 40
Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla L Hospitalovo pravidlo Necht x 0 R a necht funkce f a g jsou definované v nějakém ryzím okolí bodu x 0 a mají zde derivaci, přičemž platí nebo lim f (x) = lim g(x) = 0, x x 0 x x0 lim f (x) = lim g(x) =, x x 0 x x0 a existuje (vlastní nebo nevlastní) limita lim x x 0 f (x) g = L. (1) (x) Potom platí lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g = L. (2) (x) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 40
Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Analogické tvrzení platí i pro obě jednostranné limity. Z neexistence limity (1) neplyne neexistence limity (2). L Hospitalovo pravidlo lze použít jen u limit typu 0 0, ± ±. Vhodnou úpravou lze převést neurčité výrazy typu 0,, 1, 0 a 0 0 na jeden z typů 0 0,. L Hospitalovo pravidlo lze použít i opakovaně. Vycházejí-li stále i po (n -1) ním zderivování čitatele a jmenovatele neurčité výrazy typu 0 ± 0 nebo ±, pak lim x x 0 f (n) (x) g (n) (x) = L lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (n) (x) g (n) (x) = L. Pozor! Při použití L Hospitalova pravidla nederivujeme f (x) g(x) jako podíl, ale derivujeme zvlášt funkci v čitateli a zvlášt funkci ve jmenovateli. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 40
Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Typ 0 0 a ± ± Příklad Určete následující limity: ln(cos x) a) lim x 0 sin x x b) lim 3 +x 2 5x+3 x 1 x 3 2x 2 +x c) lim x 0 x sin x 1 cos x 3 x d) lim 3 x e 2x 1 e x x 0 + ln x e) lim cotg x f) lim x 0 + ln x [0] [4] [0] [0] [ ] [ ] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 40
Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Typ 0 a Příklad Určete následující limity: a) lim x 2 e 1 x 2 x 0 b) lim x 0 + x 2 cotg x [ ] [0] c) lim x) ln(1 x)] [0] x 1 [(1 ) ( d) lim 1 x 0 + x 1 sin x [0] ( ) e) lim x x 1 + x 1 1 [ 1 ] ln x 2 ( f) lim 1 x 0 sin x 1 [ 1 ] e 1) x 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 40
Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Typ 1, 0 a 0 0 Příklad Určete následující limity: ( ) a) lim 1 + 1 x x x b) lim x 0 + (ex + x) 1 x c) lim x x 1 x d) lim x 1 ln x 2 x e) lim x)x x 0 +(sin f) lim x 3 4+ln x x 0 + [e] [ e 2 ] [1] [ ] e [1] [ e 3 ] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 40
Extrémy funkcí Lokální extrémy Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 lokální maximum (resp. minimum), jestliže pro všechna x z nějakého okolí U(x 0 ) platí f (x) f (x 0 ), ( resp. f (x) f (x0 ) ). (funkční hodnota v x 0 je lokálně největší/nejmenší ) Pokud pro všechna x z nějakého redukovaného okolí U (x 0 ) platí předchozí nerovnosti ostře, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu). Dále budeme slovo ostré vynechávat a pod pojmem lokální extrém budeme rozumět ostrý lokální extrém. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 40
Extrémy funkcí Necht funkce f je diferencovatelná (tj. má vlastní derivaci) na intervalu (a, b). Je-li f (x) > 0 pro každé x (a, b), pak f je na (a, b) rostoucí. Je-li f (x) < 0 pro každé x (a, b), pak f je na (a, b) klesající. Funkce f je na (a, b) konstantní právě tehdy, když pro všechna x (a, b) platí f (x) = 0. Pozor! Obrácená tvrzení neplatí. Např. funkce f (x) = x 3 je na celém R rostoucí, ale v bodě x = 0 má nulovou derivaci. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 40
Extrémy funkcí Necht funkce f je spojitá v bodě x 0 a necht existuje její derivace v nějakém redukovaném okolí U (x 0 ). (1) Jestliže platí f (x) > 0 pro x U (x 0 ) a f (x) < 0 pro x U +(x 0 ), pak má funkce f v bodě x 0 ostré lokální maximum. (2) Jestliže platí f (x) < 0 pro x U (x 0 ) a f (x) > 0 pro x U +(x 0 ), pak má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. Nastane-li (1) nebo (2) a f má derivaci i v bodě x 0, pak f (x 0 ) = 0. Je-li f (x 0 ) = 0, pak bod x 0 nazýváme stacionární bod funkce f. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 40
Extrémy funkcí Necht funkce f má v bodě x 0 lokální extrém. Potom f (x 0 ) = 0 nebo f (x 0 ). Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Tj. pokud f (x 0 ) = 0, tak z toho neplyne, že bod x 0 je lokální extrém (viz např. f (x) = x 3 a x 0 = 0). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 40
Extrémy funkcí Necht f (x 0 ) = 0 (bod x 0 je stacionárním bodem) a f (x 0 ) 0. Pak má funkce f v bodě x 0 lokální extrém a to Příklad lokální maximum, jestliže f (x 0 ) < 0, lokální minimum, jestliže f (x 0 ) > 0. Najděte lokální extrémy funkce f (x) = x 2 + 4x 3. Řešení: (1) f (x) = 2x + 4 f (x) = 0 2x + 4 = 0 x = 2 x (, 2) (2, ) sgn f + f Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 40
Extrémy funkcí (2) f (x) = 2x + 4 f (x) = 0 x = 2 f (x) = 2 f (2) = 2 < 0 Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1. Příklad Najděte všechny lokální extrémy následujících funkcí: a) f (x) = x 4 2x 2 + 3 [Max. v x = 0] b) f (x) = x + 2x 1+x 2 [Neex.] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 40
Extrémy funkcí Příklad Najděte lokální extrémy funkce f (x) = 3 (x 2 1 ) 2. Řešení: f (x) = 4 3 x 3 (x 1)(x+1) f (x) = 0 x = 0 f (x) pro x = ±1 x (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, ) sgn f + + f f max = f (0) = 1 f min = f (±1) = 0 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 19 / 40
Extrémy funkcí Příklad Najděte lokální extrémy funkce f (x) = x x 2 +1 2x 2 1. Řešení: { D(f ) = R \ f (x) = ± 2 2 } ( ) x 2 2x +1+x (2x 2 1) x x 2 +1 4x 2 x 2 +1 (2x 2 1) 2 f (x) = 4x 2 +1 (2x 2 1) 2 x 2 +1 f (x) < 0 x D(f ) funkce nemá extrémy Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 40
Extrémy funkcí Globální (absolutní) extrémy Největší a nejmenší hodnotu funkce f na uzavřeném intervalu a, b D(f ) nazveme globálním (absolutním) maximem a minimem funkce f na intervalu a, b. Globální extrém funkce f na a, b nastává bud v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu a, b. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 21 / 40
Extrémy funkcí Příklad Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x) = x 4 2x 3 + 2x 1 na intervalu 1, 2. Řešení: f (x) = 4x 3 6x 2 + 2 = 2(x 1) 2 (2x + 1) Význačné body: x = 1, x = 1 2, x = 1, x = 2 f ( 1) = 0, f ( 1 2) = 27 16, f (1) = 0, f (2) = 3 f max = f (2) = 3 f min = f ( 1 2) = 27 16 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 40
Extrémy funkcí Příklad Určete rozměry obdélníkové zahrady tak, aby měla maximální plochu, přičemž na oplocení máte pouze 44 m pletiva. Řešení: S = ab, o = 2a + 2b S(a) = 22a a 2. a = 11 (podezřelý bod) S (a) = 2 < 0 a maximum Rozměry zahrady (v metrech) jsou 11 11. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 40
Příklad Extrémy funkcí Mějme drát délky a, který máme rozstřihnout na 2 části. Z jedné části vytvoříme kružnici a ze druhé čtverec. Určete, v jakém místě máme drát rozstřihnout, aby součet plošných obsahů obou vzniklých obrazců byl minimální. Řešení: x 0, a Obvod kruhu o = 2πr x = 2πr r = x Obsah kruhu S = πr 2 = π ( x 2π Obvod čtverce o = 4s a x = 4s s = a x Obsah čtverce S = s 2 = ( a x 4 ) 2 ) 2 2π 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 40
Extrémy funkcí ( x ) 2 ( a x S(x) = S + S = π + 2π 4 S (x) = x (a x) 2π 8 aπ (4 + π). x = aπ (4 + π)? 0, a (podezřelý bod) ) 2 = x 2 4π + (a x)2 16 1) aπ (4+π) > 0 aπ 2) (4+π) < a aπ < a(4 + π) 0 < 4a S (x) = 1 2π + 1 8 > 0 x minimum Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 40
Konvexnost a konkávnost Konvexnost a konkávnost Funkce je konvexní (resp. konkávní) v bodě x 0, pokud její graf leží nad (resp. pod) tečnou v bodě x 0 v nějakém jeho ryzím okolí. Funkce je konvexní (resp. konkávní) na intervalu I, pokud je konvexní (resp. konkávní) v každém bodě tohoto intervalu. Necht funkce f (x) má (vlastní) druhou derivaci na intervalu (a, b). Je-li f (x) > 0 pro x (a, b), pak f je konvexní na (a, b). Je-li f (x) < 0 pro x (a, b), pak f je konkávní na (a, b). Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Např. funkce f (x) = x 4 je konvexní na R, ale f (0) = 0. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 40
Konvexnost a konkávnost Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 inflexní bod, jestliže platí následující podmínky: (1) V bodě x 0 existuje tečna ke grafu funkce f. (2) f v bodě x 0 mění znaménko (funkce se mění v x 0 z konvexní na konkávní nebo opačně). Je-li x 0 inflexním bodem funkce f, pak platí některá z podmínek: (1) f (x 0 ) = 0 (2) f (x 0 ) neexistuje (jelikož f (x 0 ) je nevlastní) x 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 40 3 x
Konvexnost a konkávnost Konkávní v intervalech: (0, a), (b, c), (d, e) Konvexní v intervalech: (a, b), (c, d), (e, f ), (f, g) Inflexní body: x = a, x = b, x = c, x = e, Bod x = d není inflexní bod! (graf zde nemá tečnu) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 40
Příklad Konvexnost a konkávnost Zjistěte, pro která x R je funkce f (x) = x 3 6x 2 + 6x 3 konvexní, resp. konkávní a najděte její inflexní body. Řešení: f (x) = 3x 2 12x + 6, f (x) = 6x 12 f (x) = 0 6x 12 = 0 x = 2 x (, 2) (2, ) sgn f + f Funkce je konvexní pro x (2, ), konkávní pro x (, 2) a v bodě x = 2 má inflexní bod s hodnotou f (2) = 7. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 40
Asymptoty Asymptoty Necht x 0 R. Přímka x = x 0 se nazývá asymptota bez směrnice funkce f v bodě x 0 právě tehdy, když má funkce f v bodě x 0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj. lim x x + 0 f (x) = ± nebo lim x x 0 f (x) = ±. Necht a, b R. Přímka y = ax + b se nazývá asymptota se směrnicí funkce f pro x právě tehdy, když f (x) a = lim x x, b = lim [f (x) ax], x resp. pro x právě tehdy, když a = f (x) lim x x, b = lim [f (x) ax]. x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 40
Asymptoty Asymptoty bez směrnice hledáme v bodech nespojitosti funkce nebo na okraji definičního oboru funkce. Pokud při výpočtu koeficientů a, b u asymptoty se směrnicí jedna z limit neexistuje nebo je nevlastní, pak funkce asymptotu se směrnicí nemá. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 31 / 40
Asymptoty Příklad ( ) Najděte asymptoty grafu funkce f (x) = ln x+1 2 x. Řešení: D(f ) = ( 1, 2) Asymptoty bez směrnice: ( ) lim ln x+1 x 2 2 x = ( ) lim ln x+1 x 1 + 2 x = Asymptoty: x = 2, x = 1 Asymptoty se směrnicí: - neexistují kvůli D(f ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 40
Asymptoty Příklad Najděte asymptoty grafu funkce f (x) = x x 2 1 2x 2 1. Řešení: D(f ) = (, 1 1, ) Asymptoty bez směrnice: f ( 1) = f (1) = 0 neexistují Asymptoty se směrnicí: x 2 1 x 2x 2 1 x x 2 1 x 2x 2 1 a 1 = lim b 1 = lim a 2 = b 2 = lim x lim x x 2 1 x = lim x x = lim 1 1 x 2 x 2 (2 1 x x x x 2 (2 1 x 2x 2 1 = lim x x 2 1 2x 2 1 = lim x x 2 ) = 0 1 1 x 2 x 2 ) = 1 2 1 1 x 2 x 2 (2 1 x x x 2 ) = 0 1 1 x 2 x 2 (2 1 x 2 ) = 1 2 y 1 = 1 2 y 2 = 1 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 40
Průběh funkce Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: (1) Přímo z funkce: - D(f ), sudost či lichost, periodičnost, průsečíky s osami, kladnost a zápornost (2) Z první derivace: - rostoucí a klesající, lokální extrémy (3) Z druhé derivace: - konvexní a konkávní, inflexní body. (4) Asymptoty: - bez směrnice a se směrnicí (5) Načrtnutí grafu: - dopočítáme všechny funkční hodnoty a zkombinujeme zjištěné informace Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 34 / 40
Průběh funkce Příklad Vyšetřete průběh funkce f (x) = x 2 x+1. Řešení: (1) D(f ) = R \ { 1} Sudá nebo lichá: f ( x) = x 2 x+1 ±f (x) není lichá ani sudá Zřejmě není ani periodická. Průsečíky s osami: x = 0 : f (x) = 0 S y = [0, 0] y = 0 : 0 = x 2 x+1 x = 0 S x = [0, 0] Kladnost a zápornost: x (, 1) ( 1, 0) (0, ) sgn f + f kladná záporná záporná Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 35 / 40
Průběh funkce (2) První derivace a její definiční obor: f (x) = x 2 2x (x+1) 2, D(f ) = R \ { 1} Stacionární body a intervaly monotonie: f (x) = 0 x(x + 2) = 0 x 1 = 0, x 2 = 2 x (, 2) ( 2, 1) ( 1, 0) (0, ) sgn f + + f Lokální minimum: x = 2, f ( 2) = 4 Lokální maximum: x = 0, f (0) = 0 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 36 / 40
Průběh funkce (3) Druhá derivace a její definiční obor: f (x) = 2x 2 = 2, D(f ) = R \ { 1} (x+1) 4 (x+1) 3 Podezřelé body a intervaly konvexnosti a konkávnosti: f (x) = 0 2 = 0 NŘ x (, 1) ( 1, ) sgn f + f Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 37 / 40
Průběh funkce (4) Asymptoty bez směrnice: lim x 2 x 1 + x + 1 = lim x 2 x 1 + [ 1 x + 1 = 0 + lim x 2 x 1 x + 1 = lim x 2 x 1 x + 1 = Asymptota bez směrnice: x = 1 Asymptoty se směrnicí: [ 1 0 ] = ] = a = lim x 2 x ± x(x + 1) = lim x 2 x ± x 2 + x = 1 b = lim [ x 2 ] x ± x + 1 ( 1)x x = lim x ± x + 1 = 1 Asymptota se směrnicí: y = x + 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 38 / 40
Průběh funkce lim f (x) = lim x 2 x x x+1 = lim f (x) = lim x 2 x x x+1 = (5) Graf funkce: Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 39 / 40
Příklad Průběh funkce Vyšetřete průběhy následujících funkcí: a) f (x) = x 2 +2 x 2 4 b) f (x) = xe 1/x c) f (x) = ln x x Řešení: a) D(f ) = R \ {±2}, rost. (, 2) ( 2, 0), kles. (0, 2) (2, ), max. [0, 1/2], konvex. (, 2) (2, ), konkáv. ( 2, 2), ABS x = ±2, ASS y = 1. b) D(f ) = R \ {0}, rost. (, 0) (1, ), kles. (0, 1), min. [1, e], konkáv. (, 0), konvex. (0, ), ABS x = 0, ASS y = x + 1. c) D(f ) = (0, ), rost. (0, e 2 ), kles. (e 2, ), max. [e 2, 2/e], konkav. (0, e 8 3 ), konvex. (e 8 3, ), I.B. [e 8 3, 8/3e 4 3 ], ABS x = 0, ASS y = 0. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 40 / 40