3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Okolí reálného čísla a 3.1. Deinice Okolím reálného čísla a nazýváme otevřený interval a, a, kde je libovolné kladné číslo. Je to tedy množina reálných čísel x, která vyhovují nerovnostem a < x< a neboli x a <. zapisujeme: U, U a levé okolí bodu a: a < x a pravé okolí bodu a: a x< a prstencové okolí bodu a: U a x a Limita unkce 3.2. Deinice Funkce x má v bodě a itu A, jestliže ke každému kladnému číslu existuje kladné číslo tak, že pro všechna x U a, x a platí, že x A <. zapisujeme: x A 0, 0 tak, že x U a, x a je x A Jednostranné ity 3.2. Deinice x A 0, 0 tak, že x a, a je x A tak, že x a, a je x A x A 0, 0 14
3.1. Věta Funkce x má v bodě a itu právě tehdy, má-li v bodě a itu zprava i itu zleva a jsou-li si tyto jednostranné ity rovny. x A x A x A 3.2. Věta Jestliže pro unkci bodu a a má-li unkce x a g x platí x g x g x v bodě a itu A, má také unkce pro všechna x a z určitého okolí x v bodě a itu A. 3.3. Věta Má-li unkce x a g x v bodě a itu a g x x A itu i jejich součet, rozdíl, součin a pro B 0 i podíl a platí: x g x x g x A B x g x x g x A B x x A g x g x B 3.4. Věta Mějme složenou unkci je g x 3.5. Věta Nechť pro y g x a nechť g x c, u uc c. Potom g x d. x U a, x a platí nerovnost x h x g x. Pak také h x A. x g x A B, má v tomto bodě d tak, že pro x a a nechť přitom 15
3.6. Věta Je-li x v určitém okolí bodu a ohraničená a je-li zároveň h x x h x 0. 0, pak Limita unkce v nevlastním bodě: 1. vlastní ita v nevlastním bodě 2. nevlastní ita v nevlastním bodě 3.3. Deinice ad 1. 0 x x A K R tak, že x K x A K R tak, že x< K 0 x ad 2. x je x A je x A x K R N R tak, že x N je x K obdobně deinujeme ostatní nevlastní ity (celkem 4 možnosti) 16
Nevlastní ita v bodě a (znamená, že gra ce x pro hodnoty z okolí bodu a neustále roste nad jakoukoli hodnotu) 3.4. Deinice x K R, 0 tak, že x U a, x a je x K x K R, 0 tak, že x U a, x a je x K Výpočet ity: Počítáme jednostranné ity pro x a, x a. Jsou-li obě jednostranné ity stejné, existuje ita v tomto bodě, jinak existují pouze jednostranné nevlastní ity. 3.7. Věta ( o nevlastních itách) Věty platící pro vlastní ity lze často použít i pro nevlastní ity, nevede-li výpočet k tzv. neurčitým výrazům. Zejména platí: x x x x x x a a a a a a g x g x g x g x pak x g x pak x g x pak x g x pak x g x A pak x g x g x 0 A pak x g x g x 0 Pozn. neurčité výrazy jsou výrazy typu: 0 0 0, 0,,, 0,, 1 0 17
Některé důležité ity: c c x a n x, n 0 x k 0, n 0 x n x sin x 1 x0 x tgx 1 x0 x 1 ( 1 ) x e x x 0 x 1 ( 1 x) x e Výpočet it unkcí 1. je-li ce x v bodě a spojitá, potom platí x a 2. hodnotu ity vypočteme přímo použitím vět o itách ( x) 3. při výpočtu ity zlomku dospíváme často k výrazu: g( x) typu 0 0, hodnotu ity přímo nelze určit, úpravu provádíme tak, že se snažíme zlomek zkrátit výrazem konvergujícím k nule, viz. věta 3.2. typu 0 k, zde se jedná o itu nevlastní, její existenci a určení provedeme výpočtem obou jednostranných it 3. využijeme známých it 4. využijeme L Hospitalova pravidla, viz. kapitola derivace Spojitost unkce 3.5. Deinice je spojitá v bodě a 0, 0 tak, že x U a je x a 18
Vztah mezi spojitostí a itou 3.8. Věta Funkce : y x je spojitá v bodě a, jestliže v tomto bodě má itu a ta se rovná unkční hodnotě a, tedy x a Body nespojitosti dělíme na tři druhy : 1. odstranitelná nespojitost: existuje vlastní ita v daném bodě, ale unkce není v tomto bodě deinována, viz. bod a 2. neodstranitelná nespojitost: a) existuje vlastní ita v daném bodě, ale b A, kde A je hodnota ity, viz. bod b b) bod nespojitosti 1. druhu: obě jednostranné ity jsou konečné a různé, tj. x x xc xc, viz. bod c c) bod nespojitosti 2. druhu: aspoň jedna z jednostranných it je nevlastní nebo neexistuje, viz. bod d 19