6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu. BIBO (BOUDED IPUT BOUDED OUTPUT) stbilit systém je stbilí, když omezeý vstupí sigál dosteme omezeý výstupí sigál. Stbilit je zákldí chrkteristickou vlstostí systémů, tz. ezávisí vstupech i výstupech. Z hledisk stbility rozlišujeme regulčí obvod (symptoticky) stbilí, mezi stbility estbilí (obr. 6. ). Obrázek zobrzuje stvy spojitého systému. Vždy se vyžduje, by regulčí obvod byl z všech okolostí stbilí. Obr. 6. Průběh regulové veličiy stbilí, estbilí mezi stbility 6. Stbilit spojitých diskrétích systémů Mezi stbilitou spojitých diskrétích systémů existuje spojitost. Pro ázorost je vhodé připomeout utou postčující podmíku stbility spojitých systémů (v ásledující kpitole) ásledě vázt s utou postčující podmíkou stbility systémů diskrétích. 6.. Stbilit spojitých systémů Při vyšetřováí stbility se vychází z tzv. chrkteristického mohočleu, který vystupuje ve jmeovteli všech zákldí přeosů regulčího obvodu. Pro spojité regulčí obvody je utá postčující podmík stbility (PP) formulová tkto: Regulčí obvod je (symptoticky) stbilí právě tehdy, když všechy kořey s i chrkteristické rovice mjí záporé reálé části, tedy leží-li v levé komplexí poloroviě. + Go ( s) = () s = s + s + = (6. ) Re s i ; i =,..., (6. ) Stbilí oblst komplexí roviy s je vyzče obr. 6..
Obr. 6. Oblst stbility spojitých regulčích obvodů Kotrol stbility regulčího obvodu spočívá v určeí rozložeí kořeů chrkteristické rovice v komplexí roviě kořeů (tb. 6. ). Pokud lze kořey vyčíslit, použijeme utou postčující podmíku stbility. Jik je uto použít prvidl, která umoží rozhodout o stbilitě bez přímého výpočtu kořeů, tyto prvidl se zývjí kritéri stbility [Blátě, ; Švrc, Šed, Vítečková, 7]. Tto kritéri budou, pospá v kpitolách 6. 6. 4. 6.. Stbilit diskrétích systémů Při vyšetřováí stbility diskrétích systémů se vychází opět z chrkteristického mohočleu, resp. chrkteristické rovice (. 4), která vystupuje ve jmeovteli všech zákldích přeosů regulčího obvodu. Pro diskrétí regulčí obvody je utá postčující podmík stbility formulová tkto: Diskrétí regulčí obvod je (symptoticky) stbilí právě tehdy, když velikost všech kořeů chrkteristického mohočleu bude meší ež. z i < ; i =,..., (6. ) Z uté postčující podmíky plye, že stbilí oblst u diskrétích regulčích obvodů bude uvitř jedotkové kružice v oblsti komplexí proměé z.
Obr. 6. Oblst stbility diskrétích regulčích obvodů V tb. 6. jsou vypsáy stvy rozložeí kořeů chrkteristické rovice, které mohou stt při posuzováí stbility u spojitých diskrétích systémů. Tb. 6. Rozložeí kořeů chrkteristického mohočleu v komplexí roviě u spojitých diskrétích systémů Rozložeí kořeů chrkteristického mohočleu v komplexí roviě V roviě s u spojitých systémů. v levé poloroviě. v prvé poloroviě. záporé reálé ose 4. kldé reálé ose 5. komplexě sdružeé v levé poloroviě 6. imgiárí ose 7. komplexě sdružeé v prvé poloroviě 8. - V roviě z u diskrétích systémů uvitř jedotkové kružice vě jedotkové kružice v itervlu (,) kldé reálé ose vě jedotkové kružice komplexě sdružeé uvitř jedotkové kružice mimo itervl (;) jedotkové kružici komplexě sdružeé vě jedotkové kružice mimo ;+ itervl ( ) v počátku je pólů z = V čsové oblsti stbilí (symptoticky) estbilí stbilí ekmitvý (periodický) estbilí ekmitvý (periodický) kmitvý tlumeý mezi stbility kmitvý etlumeý ustáleí z kroků
6. Bilieárí trsformce U spojitých systémů bylo možo pro určováí stbility využít tzv. lgebrická kritéri stbility kmitočtová kritéri stbility. Hlví výhodou těchto kritérií je, že dovolují určit stbilitu přímo z koeficietů chrkteristické rovice, iž by bylo třeb určovt kořey této rovice. Pro určeí stbility diskrétích systémů se zvádí tzv. bilieárí trsformce. Bilieárí trsformce je defiová vzthem w + z + z = ebo w = (6. 4) w z Tto trsformce zobrzí jedotkovou kružici z komplexí roviy z imgiárí osu v komplexí roviě w. Vitřek jedotkové kružice z komplexí roviy z se převádí levou poloroviu v komplexí roviě w. Obr. 6. 4 Bilieárí trsformce Pomocí bilieárí trsformce hrdíme v chrkteristické rovici proměou z z proměou w. ( w) = ( z) w + z = w (6. 5) Po této úprvě dosteme tzv. trsformovou chrkteristickou rovici ( w) =, pro kterou pltí utá postčující podmík spojitých regulčích obvodů, tj. Re w i < pro i =,...,. yí můžeme pro chrkteristický mohočle použít kritéri stbility jko pro spojité systémy. Správost převodu jedotkové kružice z komplexí roviy z levou poloroviu v komplexí roviě w je možo prokázt jedoduchým důkzem: w + pokud vyjdeme z prvidl, že z =, w dále pltí podmík stbility diskrétích systémů, tz. z <, dle předešlých bodů tedy pltí, že w + < w,
yí tedy můžeme dokázt obr. 6. 5, že podmík w + < w pltí pro levou poloroviu komplexí roviy w (obr. 6. 5). Obr. 6. 5 Důkz pltosti bilieárí trsformce 6. Algebrická kritéri stbility Kritéri stbility umožňují rozhodout o stbilitě systému bez výpočtů kořeů chrkteristické rovice. evýhodou těchto kritérií je, že ejdou plikovt systémy s doprvím zpožděím. 6.. Routhovo-Schurovo kritérium stbility Toto kritérium, jk již bylo zmíěo, vychází z chrkteristické rovice, resp. chrkteristického mohočleu, který je možo získt ze jmeovtele kždého zákldího přeosu. Uvžujeme chrkteristický mohočle po bilieárí trsformci ve tvru ( w) = w + w +... + w + (6. 6) U všech kritérií je uto zkotrolovt Stodolovu utou podmíku stbility, která zí: Všechy koeficiety chrkteristické rovice musí existovt musí mít stejé zméko, tj. i > ; i =,,...,. Je-li chrkteristický mohočle stupě, utá Stodolov podmík přechází v utou postčující podmíku stbility. Postup při kotrole stbility: koeficiety chrkteristického mohočleu ( w), resp. chrkteristické rovice píšeme vedle sebe od ejvyšší mociy, kždý sudý koeficiet podtrheme, kždý sudý koeficiet ásobíme podílem prvích dvou koeficietů výsledek píšeme o řádek íže posuutý o jedu pozici vlevo, ovou řdu koeficietů odečteme od předcházející řdy, díky této úprvě vypde jede koeficiet, pokud jsou všechy koeficiety v ové řdě kldé, opkujeme stejý postup, pokud během výpočtu rzíme ulový ebo záporý koeficiet, můžeme říct, že diskrétí regulčí obvod je estbilí, pokud dojdeme při výpočtu ž ke stvu, kdy zůstou pouze tři kldé koeficiety, můžeme říci, že chrkteristická rovice má všechy kořey ve stbilí oblsti, tj. diskrétí regulčí obvod je stbilí.
Příkld 6. Vyšetřete stbilitu diskrétího regulčího obvodu, je-li dá jeho chrkteristický 4 w = w + 4w + w + 5w +. mohočle po bilieárí trsformci, ve tvru ( ) Řešeí: Vypíšeme koeficiety chrkteristického mohočleu od ejvyšší mociy podtrheme kždý sudý koeficiet: 4 5. Určíme podíl prvích dvou koeficietů: =. 4 yí můžeme provést smotou kotrolu stbility. Došli jsme ž ke stvu, kdy zůstou pouze tři koeficiety, protože jsme během výpočtu erzili žádý záporý koeficiet koeficiety redukového mohočleu jsou kldé, můžeme říci, že regulčí obvod je stbilí. 6.. Hurwitzovo kritérium stbility Hurwitzovo kritérium stbility opět vychází z chrkteristického mohočleu, resp. chrkteristické rovice (6. 6). Uvžujeme chrkteristický mohočle po bilieárí trsformci. Opět je uto kotrolovt Stodolovu podmíku stbility. Z koeficietů chrkteristického mohočleu sestvíme tzv. Hurwitzovu mtici (6. 7). 5 L 4 L H = L (6. 7) M M M M M L Hurwitzov mtice H bude stejého řádu, jko je stupeň chrkteristického mohočleu. Z Hurwitzovy mtice sestvíme Hurwitzův determit z tohoto budeme určovt subdetermity, které jsou rovy hlvím rohovým miorům mtice H. Hlví rohové subdetermity tedy budou:
H H ž = = H ; = H ; (6. 8) Regulčí obvod je (symptoticky) stbilí právě tehdy, když všechy hlví rohové subdetermity jsou kldé. Pokud je ěkterý ze subdetermitů ulový ebo záporý, regulčí obvod je estbilí. Jestliže je koeficiet chrkteristické rovice = všechy rohové subdetermity jsou kldé, regulčí obvod je ekmitvé mezi stbility, tz. chrkteristická rovice má ulový koře. Pokud H =, regulčí obvod je kmitvé mezi stbility, tz. chrkteristická rovice má dvojici ryze imgiárích kořeů. 6.4 Kmitočtová kritéri stbility Pro kotrolu stbility diskrétích regulčích obvodů použijeme je jedo kmitočtové kritérium stbility Michjlovovo kritérium stbility. Toto kritérium stbility umožňuje rozhodout o stbilitě zákldě průběhu Michjlovov hodogrfu. 6.4. Michjlovovo kritérium stbility Vycházíme opět z trsformového chrkteristického mohočleu (6. 9), resp. trsformové chrkteristické rovice. ( w) w +... + w + = (6. 9) Při využití tohoto kritéri vyhodocujeme stbilitu dle průběhu kocového bodu Michjlovovy fukce ( jω) v komplexí roviě při měící se frekveci ω v rozshu ž. Michjlovovu fukci ( jω) získáme doszeím w = jω (6. ) do trsformového chrkteristického mohočleu ( w). Z chrkteristické fukce ( jω) fukce. vyjádříme reálou imgiárí část Michjlovovy 4 { ( jω) } = ( ω) = ω + 4ω... 4 { ( jω) } = ( ω) = ω( ω +...) Re P kořey ω ω,... (6. ) P, P Im Q kořey ω ω,... (6. ) 5ω Q, Q doszeím měící se frekvece vykreslíme Michjlovovův hodogrf. Jestliže tedy leží všechy kořey chrkteristické rovice v levé poloroviě komplexí roviy, potom pltí pro frekveci ω měící se v rozshu od do π Δ rg ( jω) = (6. ) ω Michjlovovo kritérium stbility tedy zí: Regulčí obvod je stbilí právě tehdy, když Michjlovovův hodogrf bude zčít kldé reálé poloose komplexí roviy proti směru hodiových ručiček projde postupě tolik kvdrty, kolikátého stupě je chrkteristický mohočle uzvřeého regulčího obvodu. obr. 6. 6 jsou zobrzey Michjlovovy hodogrfy pro regulčí obvody stbilí, estbilí mezi stbility.
Obr. 6. 6 Michjlovovův hodogrf pro = ) stbilí systém, b) kmitvé mezi stbility, c) ekmitvé mezi stbility, d) estbilí systém V přípdě Michjlovov kritéri můžeme tké využít jeho lytickou formulci. Určíme Michjlovovu fukci její reálou (6. ) imgiárí část (6. ) vypočítáme kořey reálé imgiárí části. Poté můžeme říci, že regulčí obvod je stbilí pokud pltí podmík ω Q < ωp < ωq < ωp = (6. 4) tj. kořey imgiárí reálé části se vzájemě střídjí. Tto podmík pltí pro systémy bez doprvího zpožděí. 6.5 Řešeé příkldy Příkld 6. Vyšetřete stbilitu regulčího obvodu, který je dá diskrétím přeosem řízeí G wy ( z) =. z + z + Řešeí: Určíme chrkteristický mohočle, resp. při položeí rovo ule chrkteristickou rovici. z = z + z + ( ) Provedeme bilieárí trsformci, tz. z z dosdíme trsformový chrkteristický mohočle. w = z w+ ( ) ( ) ( w) ( w) = = w z= w + w + w + + + w ( w ) ( w + w + ) + ( w ) + ( w ) ( w ) Výrz položíme rove získáme chrkteristickou rovici. ( w + w + ) + ( w ) + ( w ) ( w ) ( w) = ( w + w + ) + ( w ) + ( w ) = = w + z = získáme w
Provedeme úprvu získáme tvr w ( + + ) + w( 4 ) + ( + ) = Dále postupujeme stejě jko při kotrole stbility dymických systémů. Protože modifikový chrkteristický mohočle je. stupě je Stodolov podmík utou postčující podmíkou stbility. Aby systém byl stbilí, musí tedy pltit:. podmík: + + > >. podmík: 4 > >. podmík: + > > obr. 6. 7 je zobrze stbilí oblst šrfová ohričeá tučými črmi dle vypočteých podmíek. Obr. 6. 7 Zobrzeí podmíek stbility pro příkld 6. KMS ozčuje kmitvou mez stbility, MS ozčuje ekmitvou mez stbility. Příkld 6. Vyšetřete stbilitu regulčího obvodu pomocí Hurwitzov kritéri stbility, který je z,5z +,5 G wy z = [Blátě, ]. z,6z +,z,68 dá diskrétím přeosem řízeí ( ) Řešeí: Určíme chrkteristický mohočle, resp. při položeí rovo ule chrkteristickou rovici: ( z) = z,6z +,z, 68 z,6z +,z,68 = Provedeme bilieárí trsformci, tz. z z dosdíme trsformovou chrkteristickou rovici.,6 +,,68 = w + z = získáme w
Po úprvě získáme trsformovou chrkteristickou rovici ve tvru,w +,454w +,56w +,8 = Provedeme kotrolu Stodolovy podmíky stbility, která zí: Všechy koeficiety chrkteristické rovice musí existovt musí mít stejé zméko. Tuto kotrolu provádíme pro trsformovou chrkteristickou rovici. yí využijeme Hurwitzov kritéri kotroly stbility.,454,8 H = =,696,84 =,6 >,,56 Hurwitzův determit je kldý, tz. diskrétí regulčí obvod je stbilí. Příkld 6.4 Vyšetřete stbilitu regulčího obvodu pomocí Michjlovov kritéri stbility, jehož z = z,6z +,z,. chrkteristický mohočle je ( ) 68 Řešeí: w + Provedeme bilieárí trsformci, tz. z z dosdíme z = získáme w trsformovou chrkteristickou rovici.,6 +,,68 = Po úprvě získáme trsformovou chrkteristickou rovici ve tvru,w +,454w +,56w +,8 = V chrkteristickém mohočleu provedeme substituci w = jω získáme Michjlovovu fukci. Provedeme rozkld reálou imgiárí část chrkteristické rovice. ( jω) =,( jω) +,454( jω) +,56 jω +, 8 Provedeme rozkld reálou imgiárí část chrkteristické rovice. ω =,8,454ω P ( ) ( ω) = ω(,56,ω ) Q yí určíme kořey reálé imgiárí části. ω =,8,454ω = ω ω P P Q Q Q ( ) ω =, ( ω) = ω(,56,ω ) = =,47 = Alyticky určíme stbilitu dle rovice = ω Q < ωp < ωq < ωp. = <, <,47 Podmík stbility je splě tudíž diskrétí regulčí obvod je stbilí. yí můžeme vypočítt hodoty reálé imgiárí části pro měící se frekveci ω.
Tb. 6. Vypočteé hodoty reálých imgiárích částí Michjlovovy fukce z příkldu 6.4 ω Re Im,8 π / 6,45,6484 π /,6888,445 π / -,7 -,5954 7π / -5,5 -,54 π / -7,74645-6,5 π / 4 -,658-9,8 5π / 6 -,85-4,955 π -, -6,957 yí vykreslíme dle vypočteých hodot Michjlovovův hodogrf. Obr. 6. 8 Michjlovovův hodogrf pro příkld 6.4 Dle defiice stbility podle Michjlovov hodogrfu, můžeme říci, že diskrétí regulčí obvod je stbilí.