Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os daného průřezu. Vykreslete elipsu setrvačnosti. R mm, α 3mm, β mm y R R R β R R α z Obrázek : Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, - čtverec, 3 - kruhová díra nalýza zadání Jedná se o složený průřez tvořený několika dílčími obrazci: : pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, : čtverec, 3: kruh. Při výpočtu budeme předpokládat, že neznáme momenty setrvačnosti ani deviační momenty dílčích ploch, které z definice odvodíme. Nomenklatura y,z... Označení rovnoběžných mimotěžišťových os globálního souřadného systému α,β... Poloha průřezu podle os y a z vzhledem ke globálnímu souřadnému systému y T,z T... Souřadnice těžiště celého obrazce S i... Statické momentloch i... Plochy jednotlivých obrazců,... Označení rovnoběžných mimotěžišťových os lokálních souřadných systémů dílčích ploch Ψ,Ω... Vzdálenosti os lokálních a centrálních souřadných systémů dílčích ploch ve směrech a ρ... Vzdálenost elementu plochy od bodu, k němuž je vztažen polární moment setrvačnosti r... Označení poloměru kruhu pro integraci ϕ... Úhel mezi polohovým vektorem elementu plochy a lokálním souřadným systémem čtvrtkruhu δ... Úhel natočení hlavních centrálních os průřezu
Výpočet těžiště plochrůřezu Pro nalezení těžiště celého průřezu využijeme statických momentů setrvačnosti dílčích ploch, větu o momentu výslednice a větu o momentu setrvačnosti složeného průřezu. Potom můžeme psát : y T S z i y i i i i ( 8R α R y y 3 y 3 3 3 )6R (αr) πr 8R 6R πr 6,8.66,.9 (αr). 7.6mm () z T S y i z i i i i ( 8R β 8R z z 3 z 3 3 3 )6R (β 6R) πr 8R 6R πr 5,766.96,.9 (β 6R). 68.mm () y y T R R T T T T 3 R z T β R R α z Obrázek : Vypočtené a zobrazené těžiště celého průřezu I když je text psán v českém jazyce, při dosazování hodnot bude použita anglosaská typografie oddělující tisíce čárkou a desetinná místa tečkou.
Odvození průřezových charakteristik. Trojúhelník Ze zadání je zřejmé, že se jedná o rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. Pro odvození průřezových charakteristik umístíme do jeho levého vrcholu pomocný souřadný systém rovnoběžný s globálním souřadným systémem y z. Nyní vypočteme kvadratické momenty setrvačnosti a deviační moment k těmto osám. Pro kvadratické momentlatí tyto vztahy: I yp I zp z pd (3) yp d () Jako element plochy, přes který budeme integrovat, zvolíme elementární pásek šířky d tak, jak je naznačeno na Obrázku 3. a R a z a p T d d d a R Obrázek 3: Postup odvození kvadratických momentů setrvačnosti trojúhelníku Potom bude pro kvadratické momenty setrvačnosti a deviační moment platit: I yp I zp D yp z pd a z p a yp d d a d d yp d d a a d d z 3 pd ] a z p a (5) 3 z3 p d 3 ] a z p a (6) a z3 pd ] a z p 8 a (7) 3
Nyní pomocí Steinerovy věty dopočítáme centrální kvadratické momenty setrvačnosti a deviační moment: I yt I zt D ytz T I yp Ψ ( ) a a a 3 a a 8 9 8 36 a 36 a (8) I zp Ω ( a a a 3) a a 8 3 36 a 36 a (9) D yp ΨΩ 8 a a 3 a 3 a 8 a a 9 9 8 7 a 7 a (). Čtverec Budeme postupovat obdobně jako v případě trojúhelníku. Vzhledem k dvojnásobné symetrii tvaru podle těžiště můžeme svobodně zvolit polohu pomocného souřadného systému, který umístíme do některého z vrcholů čtverce. Podmínkou ovšem opět je, abomocný souřadný systém byl rovnoběžný s globálním souřadným systémem y z. Protože tvar je rovnoběžníkem, jako element plochy zvolíme elementární rovnoběžník s rozměry d a d tak, jak je naznačeno na Obrázku. d d d T a R a R Obrázek : Postup odvození kvadratických momentů setrvačnosti čtverce Potom bude pro kvadratické momenty setrvačnosti a deviační moment platit: I yp I zp D yp a zp d a yp d d z p y p a a a d d d d a a a d d az p d ay p d a ] a 3 az3 p 3 a () ] a 3 ay3 p 3 a () ] a a d a a (3) Můžeme si povšimnout, že I yp I zp, což je dáno právě dvojnásobnou symetrií obrazce.
Centrální kvadratické momenty setrvačnosti a deviační moment dostaneme pomocí Steinerovy věty: I yt I zt D ytz T I yp Ψ ( a ) a 3 a 3 a a a () I zp Ω ( a ) a 3 a 3 a a a (5) D yp ΨΩ a a a a a a (6) Deviační moment je roven nule, protože centrální souřadná soustava tvoří zároveň dvě z os symetrie čtverce..3 Kruh Odvození kvadratických momentů setrvačnosti a deviačního momentu ukážeme dvěma různými způsoby.. Nejprve použijeme odvození s pomocí výpočtu centrálního polárního momentu setrvačnosti, který je definován jako: I p d (7) Vzhledem ke kruhovému tvaru plochy bude výhodné použít rovněž kruhového elementu plochy, zde v podobě kruhového prstence tloušťky d, přes který budeme integrovat tak, že jej budeme postupně vzdalovat od těžiště o vzdálenost. Postup je naznačen na Obrázku 5. dρ ρ T 3 R d Obrázek 5: Postup odvození kvadratických momentů setrvačnosti kruhu pomocí polárního momentu setrvačnosti Integrovat budeme až do poloměru kruhu r a tedolární moment setrvačnosti odvodíme jako: I p d r r π d π ] r 3d π π r (8) Stejně jako v případě čtverce se jedná o dvojnásobně symetrickou plochu. Této skutečnosti můžeme využít pro odvození centrálních kvadratických momentů setrvačnosti. 5
Platí: Tedy: I p I yp I zp I yp I zp (9) I yp I zp I p π r (). Druhou možností je hledat centrální kvadratické momenty setrvačnosti přímo. V takovém případě rozdělíme kruh na čtyři čtvrtkruhy, s jejichž pomocí napíšeme momenty setrvačnosti celého tvaru. Jako element plochy, přes který budeme integrovat, zvolíme elementární výseč čtvrtkruhu tloušťky d proměnné šířky, kterou můžeme odvodit s pomocí Obrázku 6. ϕ d r rsinϕ d d Obrázek 6: Postup odvození kvadratických momentů setrvačnosti čtverce Po čtvrtkruhu můžeme okolo jeho vrcholu nechat rotovat polohový vektor velikosti r, jenž bude se souřadným systémem svírat úhel ϕ. Okamžitá poloha elementu plochy d je tedy jednoznačně určena velikostí polohového vektoru r a úhlem ϕ. Okamžitou šířku elementu plochotom dostaneme odobnosti trojúhelníků jako z rcosϕ. Obdobně okamžitá vzdálenost elementu od osy bude y rsinϕ. Nyní již můžeme začít integrovat: I zp ypd r y p rcosϕ d d () Protože se jedná o kruhovou plochu, bude výhodné přejít ve výpočtu do polárních souřadnic. Zároveň budeme již integrovat přes celý kruh (čtyři čtvrtkruhy). Nejprve musíme transformovat elementlochy, a proto zavedeme transformaci: y rsinϕ d rcosϕdϕ () 6
Po převedení do polárních souřadnic dostaneme: π π I zp r cos ϕr sin ϕdϕ r cos ϕsin ϕdϕ (3) Tento integrál může být obtížné řešit, ovšem můžeme využít věty o goniometrických funkcích dvojnásobného úhlu, kdlatí: Po dosazení můžeme pokračovat ve výpočtu: sin ϕ cosϕ cos ϕ cosϕ () (5) I zp r r π π cos ϕsin ϕdϕ r ( cosϕ ) π ( cosϕ)(cosϕ) dϕ r dϕ πr r 8 πr πr r 8 π 8π π ( cos ϕ ) dϕ (cosϕ) dϕ πr πr r 8 πr costdt πr r 8 π cosϕdϕ ] 8π sint πr (6) I yp r zp d z p rsinϕ d d π π r cos ϕr sin ϕdϕ r cos ϕsin ϕdϕ (7) Vidíme, že díky symetrii je tento integrál stejný jako pro I zp. Proto rovnou napíšeme výsledek: I yp r Ještě zbývá určit deviační moment D yp : π cos ϕsin ϕdϕ πr (8) D yp d r Jedná se o integrál typu rcosϕ d d r π r cos ϕd rsinϕr 3 cos 3 ϕdϕ r π sinϕcos 3 ϕdϕ (9) sin n xcos m xdx;n,m Z. Postup výpočtu těchto integrálů volíme v závislosti na exponentech n a m. V našem případě jsou oba exponenty liché, tudíž si svobodně můžeme vybrat jednu ze dvou substitucí: sinϕ t (3) cosϕ t (3) 7
Zvolíme substituci sin ϕ t a pro názornost si předem integrál připravíme: D yp r π sinϕcos 3 ϕdϕ r π sinϕ ( sin ϕ ) cosϕdϕ sinϕ t cosϕdϕ dt,π r t ( t ) dt (3) Vidíme, že deviační moment je roven nule, což odpovídá symetrii kruhu okolo centrálních os. Protože jsme počítali vzhledem k centrální souřadné soustavě kruhu, platí, že: I zp I zt3 πr (33) I yp I yt3 πr (3) D yp D yt3z T3 (35) 3 Celý průřez 3. plikace Steinerovy věty Souřadnice těžišť jednotlivých ploch a celého průřezu jsou: T αr;β 8R 3 ] 3.3; 6.6] T αr;β 6R] 5; 8] T 3 αr;β 6R] 5; 8] T 7.6; 68.] Nyní již můžeme pomocí Steinerovy věty spočítat momenty setrvačnosti celého průřezu. Do těžiště T celého průřezu položíme počátek centrálního souřadného systému y T z T. Souřadnice těžišť dílčích ploch v těchto souřadnicích přepočteme pomocí transformačních vztahů: α it y i y T (36) β it z i z T (37) 8
Momenty setrvačnosti celého průřezu potom budou: I zt i ( Izi α i ) i 36 a (T y T y ) a ] ] 36 (R) (T y T y ) (R) 36 ( ) (3.3 7.6) ( ) ] ] a (T y T y ) a πr (T y3 T y ) πr ] ] (R) (T y T y ) (R) πr (T y3 T y ) πr ] ] ( ) (5 7.6) ( ) ] π (5 7.6) π 98,83.89mm (38) I yt ( Iyi βi ) i i 36 a (T z T z ) a ] ] 36 (R) (T z T z ) (R) 36 ( ) (6.6 68.) ( ) ] ] a (T z T z ) a πr (T z3 T z ) πr ] ] (R) (T z T z ) (R) πr (T z3 T z ) πr ] ] ( ) (8 68.) ( ) ] π (8 68.) π 88,56.5mm (39) D ytz T (D yzi α i β i i ) i ] 7 a (T y T y )(T z T z ) a (T y T y )(T z T z ) a ] (T y3 T y )(T z3 T z ) πr ] (T y T y )(T z T z ) (R) ] 7 ( ) (3. 7.6)(6.6 68.) ( ) Nyní můžeme spočítat hlavní centrální momenty setrvačnosti: I, I y T I zt I, 88,56.598,83.89 ] 7 (R) (T y T y )(T z T z ) (R) (T y3 T y )(T z3 T z ) πr ] ] (5 7.6)(8 68.) ( ) ] (5 7.6)(8 68.) π ],86.3mm () (IyT ) I zt ± Dy Tz T (88,56.5 98,83.89 ) ±,86.3 I, 563,66.7±87,3.3mm () 9
S pomocí hlavních momentů setrvačnosti snadno dostaneme poloměry setrvačnosti: i i I I I (R) (R) πr ( ) ( ) π 85,783.58 85.8.mm I 76,539.96.5 mm (3) 85.8 Ještě zbývá určit úhel natočení hlavních os elipsy setrvačnosti a výsledek zakreslit: tanδ D y Tz T δ ( I yt I zt arctan D ) y Tz T I yt I zt ) ( arctan,86.3.36 () 88, 56.5 98, 83.89 () y y T i i T δ z T z Obrázek 7: Vykreslení elipsy setrvačnosti průřezu
Otázky k zamyšlení. Charakteristiky tvarů: (a) Jak by vypadalo odvození kvadratických momentů pro obecný pravoúhlý trojúhelník? (b) Jak by vypadalo odvození kvadratických momentů pro obdélník, jehož je čtverec speciálním případem? (c) Jak by vypadalo odvození kvadratických momentů pro mezikruží (kruhovou trubku), jehož je kruh speciálním případem? (d) V přímém hledání momentů setrvačnosti kruhu jeho rozdělením na čtyři čtvrtkruhřecházíme ve výpočtu do polárních souřadnic. Bylo by možné, na základě znalosti vlastností goniometrických funkcí, zjednodušit výpočet rovnice (6)?. Deviační momenty (a) Proč u odvození deviačních momentů čtverce a kruhu hovoříme v některých případech pouze o dvojnásobné symetrii, když oba tyto tvary jsou podle těžiště symetrické ve více směrech?