23 - Disrétní systémy Michael Šebe Automaticé řízení 218 29-4-18
Disrétní čas: z podstaty, z měření či z pohonu Otáčející se radar - měření polohy cíle jednou za otáču radaru motivace v počátcích historie disrétních modelů Analyticé měřicí nástroje - off-line hmotnostní spetrometr, chromatograf, výroba fotograf. filmů Eonomicé systémy - průběžné, ale účtují (sčítají) se za den, měsíc, zůstate na účtu, zis, nálady, urs, cena acií, výroba, sladu Paprse urychlovače - vzorování v měření i atuátoru CERN Nobelova za objev bosonů částic W a Z Pulzní systémy nebo atuátory jednodušší popsat disrétně výonová eletronia s tyristory biologicé systémy, nervy, moze Apliace v počítačových oborech řízení web či emailového serverů, řízení front, detece přetížení routeru, media streaming Michael Šebe ARI-23-218 2
Disrétní stavový model a jeho řešení Automaticé řízení - Kybernetia a robotia Disrétní stavový (v čase neproměnný) model x + = Fx + Gu, x y = Hx + Ju 1 Řešení x = Fx + Gu y 1 1 j 1 x F j= ( ) u G x +1 x = Fx + Gu = F Fx + Gu + Gu = F x + FGu + Gu x 2 2 1 1 1 1 = F + odezva na počáteční stav Gu odezva na 1 j 1 = HF x + H F Gu j j + Ju = j J z 1 F x H Stavová matice přechodu: vstupní signál Φ( ) = F y Michael Šebe ARI-23-212 3
Stavový a vnější popis Stavový popis disrétního systému z-transformace x = - + 1 Fx + Gu, x x = xz ( ) = xz = y = Hx + Ju { x + 1} = zx( z)-zx Vnější popis v z pozor -1 bz ( ) H( zi- F) G+ J = az ( ) bz ( ) c ( ) x z yz ( ) = uz ( ) + c ( ) az ( ) az ( ) -1 x z zh( zi- F) x = az ( ) n ˆ 1 bz ( ) z bz ( ) 1 Vnější popis v z = d přenos = n 1 az ( ) z az ˆ( ) -1 bd ˆ( ) HI ( - df) Gd + J= ad ˆ( ) bd ˆ( ) cˆ x ( d) yd ( ) = ud ( ) + cˆ ( ) ad ˆ( ) ad ˆ( ) -1 x d HI ( - df) x = ad ˆ( ) { } Stavové realizace se z přenosu najdou stejně jao ve spojitém případě Michael Šebe ARI-23-215 4
Kauzalita, ryzost, řád a zesílení bz ( ) az ( ):deg z az ( ) = n,deg zbz ( ) = m Přenos v z: Fyziální disrétní přenos v z bývá stritně ryzí yz ( ) = 1 uz ( ) pro n = m reaguje oamžitě (počítá rychle) y ( ) = u ( ) pro n < m předpovídá budoucnost (neauzálnost) y( z) = zu( z) y ( ) = u ( + 1) Do přenosu v d = z -1 se to promítne jina bd ˆ( ) ad ˆ( ) Ryzosti odpovídá auzální jmenovatel aˆ() Stritní ryzosti navíc ještě b ˆ() = Řád z přenosu se pozná tato: U přenosu v z: řád systému = stupeň jmenovatele (jao u spojitého) U přenosu v d: řád systému = max deg ad ˆ( ),deg bz ˆ( ) ˆ 1 bz ( ) bz ( ) b(1) bˆ(1) DC zesílení = 1 DC = = az ( ) az ˆ( ) a(1) aˆ(1) ( ) d d Michael Šebe ARI-23-215 5
Póly a nuly Automaticé řízení - Kybernetia a robotia mezi póly obrazů spojitého a vzorovaného signálu, např. impulzní odezvy, platí sh ( α+ jω) h αh z = e = e = e ( cosωh+ jsinωh) z je bezrozměrné, s (operátor derivace) má rozměr 1/[čas] mez stability: imaginární ose ose odpovídá jednotová ružnice jωh j2πω ωs jπω ωn z = e = e = e Jedna celá ružnice odpovídá intervalu ω [, ωs], ωs = 2π h = 2ωN vyšší frevence jsou přeryté odpovídajícími nižšími (aliasing) záporná reálná osa reprezentuje Nyquistovy frevence α + jωn, ωn = ωs 2= π h onrétně α < (-1,), α > (-,-1), reálné ose odpovídá nezáporná reálná osa: R + [1, ), R - (,1) dominantní polohy: oolí bodu s = odpovídá oolí bodu z = 1 nevýznamné polohy: reálným polohám hodně vlevo odpovídají polohy hodně blízo zprava z Michael Šebe ARI-23-212 6
Vliv polohy pólů Automaticé řízení - Kybernetia a robotia >> f=z/(1+z) f = z / 1 + z >> ft=f{:-1:-1} ft = 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1 >> plot(:1:length(ft)-1,ft) >> picture(f,1) Michael Šebe ARI-23-212 7
Disrétní Bodeho graf Automaticé řízení - Kybernetia a robotia Komplexní exponenciála je periodicá funce e jωh = 1 s periodou 2π a uvnitř periody symetricá e jωh = = ω h jωh e = cosωh+ jsinωh Amplituda frevenčního přenosu Gz ( ) = Ge ( jωh ) je periodicá funce ω s periodou ω ωn = ωs 2= π h a uvnitř periody je symetricá (při lineárním měřítu ω ) Fáze je posunutě periodicá a antisymetricá Graf proto reslíme jen pro ωs = 2ωN = 2π h tedy na horní polovině ružnice Nelze ho reslit pomocí asymptot Vzorování + tvarování způsobuje 2 přídavné fázové zpoždění ( e ωh ) ωh 18 ϕ = G( jω) Gz ( jω) = = ωh 29ωh 2 2π [ rad] [ deg] [ deg] Michael Šebe ARI-23-212 8 Magnitude (db) Phase (deg) 6 4 2-2 -4-6 -8-9 -18-27 -36-45 -54 ωn = ω 2 = π s h Bode Diagram 2ω N = ωπ = 2 [rad] -63 1 2 3 4 5 6 7 Frequency (rad/s) s h
Disrétní Nyquistův graf Gz ( ) = Ge ( jωh ) je periodicá funce ω s periodou ωs = 2ωN = 2π h j h proto Disrétní Nyquistův graf Ge ( ω ) často reslíme jen pro ω ωn = ωs 2= π h (na horní polovině ružnice) Control System Tbx ho (default) reslí na celé ružnici ω ω ω N N Přílad 1 G=1/(1+s); Gs () = 1 + s nyquist(tf(g),c2d(tf(g),.2), c2d(tf(g),1),c2d(tf(g),2)) ω = ω = ω = π h ω = 15,7 s Gz=c2d(tf(G),.2), nyquist(gz) Transfer function:.1813 ---------- z -.8187 Sampling time:.2 Michael Šebe ARI-23-212 9
Disrétní Nyquistovo ritérium Na rozdíl od spojitého případu nestabilita je vně jednotové ružnice, není jednoduché obroužit onturou, proto naopa obroužíme oblast stability stab Uvažujeme L stritně ryzí Hz ( ) = 1 + Lz ( ) má stejně nul a pólů Označíme Z počet nestabilních CL pólů P počet nestabilních OL pólů N počet obroužení riticého bodu -1 ve stejném směru jao té oblasti (zde obvyle proti hodinovým ručičám) Z principu argumentu plyne: N = ( n Z) ( n P) = P Z spojité - pro CL systém má Z = P N srovnání nestabilních pólů Nyquistovo ritérium stability: N = Z P Z = N + P CL systém je stabilní P= N (a to proti ručičám) P= N Zvláštní případ: Je-li OL systém stabilní, pa je i CL systém stabilní Nyquistův graf L(s) neobrouží riticý bod -1 ale taé proti hod.ručičám Michael Šebe ARI-23-212 1! n = nestab z
Disrétní verze Bodeho integrálního omezení Sung a Hara (1988) Pro systém, de L(z) má n p nestabilních jφi pólů p = re, r > 1 platí omezení π i i i n p jω ln Se ( ) dω = π ln r i srovnej spojitý případ n ln S( jω) dω = π p Re p i Rozdíly proti spojité verzi: není podmína relativního řádu integrál je přes onečný interval, proto přelévat můžeme jen na tomto onečném intervalu frevencí Michael Šebe ARI-23-212 11