4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D.
2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina přípustných řešení úlohy LP Optimální řešení úlohy LP Rozbor řešitelnosti úlohy LP Přídatné proměnné v modelu úlohy LP Standardní tvar MM úlohy LP Definice PŘ, ZPŘ a OŘ Základní věta LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
OBECNÁ FORMULACE MM 1. Rozepíšeme obecně MM úlohy LP: na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n R b 2... (2.1) a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n R b m a podmínek nezápornosti x j 0, j = 1, 2,..., n (2.2) nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...+ c n x n (2.3) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
kde je x j... proměnná modelu (strukturní) a ij... strukturní koeficient b i... pravá strana i-tého omezení c j... cenový koeficient j-té proměnné (cena) R... jedno z relačních znamének,, = n... počet strukturních proměnných modelu m... počet vlastních omezení modelu i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
EKONOMICKÁ INTERPRETACE x j... úroveň j-tého procesu (počet jednotek j té činnosti) b i... úroveň i-tého činitele (maximální nebo minimální možná hodnota) a ij... norma spotřeby, popř. produkce i-tého činitele na jednotku j-tého procesu c j... cena j-tého procesu i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
Příklad 2.1 Formulujte MM úlohy z příkladu 1.1 podle (2.1) (2.3): na množině řešení omezení x 1 + 2x 2 120 x 1 + 4x 2 180 x 1 x 2 90 x 1 110 x j 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x 1 + 60x 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
kde jsou: x 1, x 2... strukturní proměnné, a 11 = 1, a 12 = 2, a 21 = 1, a 22 = 4, a 31 = 1, a 32 = 1, a 41 = 1, a 42 = 0... strukturní koeficienty, b 1 = 120, b 2 = 180, b 3 = 90, b 4 = 110... pravé strany omezení, c 1 = 40, c 2 = 60... cenové koeficienty Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
Další způsoby formulace MM 2. Vektorový zápis 3. Maticový zápis 4. Zápis pomocí sumací Různé způsoby zápisu budeme ilustrovat na kapacitní úloze z příkladu 2.1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
2. Vektorový zápis obecného MM: na soustavě vlastních omezení a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n R b (2.4) a podmínek nezápornosti x 0 (2.5) nalézt extrém účelové funkce z = c T x... max (min.) (2.6) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
kde je: x =(x 1, x 2,..., x n ) T... vektor strukturních proměnných a 1 =(a 11, a 21,..., a m1 ) T a 2 =(a 12, a 22,..., a m2 ) T... vektory strukturních koeficientů a n =(a 1n, a 2n,..., a mn ) T b =(b 1, b 2,..., b m ) T c T =(c 1, c 2,..., c n )... vektor pravých stran omezení... vektor cen R... vektor relačních znamének,, = Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
Příklad 2.2 Formulujte MM úlohy z příkladu 2.1 podle (2.4) (2.6): Dosaďme vektory a 1, a 2, b, R, x, c T : a 1 = x = 1 1 1 1 x x 1 2 a 2 = 2 4 1 0 c T = 40 b = 60 120 180 90 110 R = Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13 Po dosazení je: 2 1 60 40 x x z 110 90 180 120 0 1 4 2 1 1 1 1 x 1 x 2 0 0 2 1 x x
Rozepište tento vektorový model:...? na množině řešení omezení x 1 + 2x 2 120 x 1 + 4x 2 180 x 1 x 2 90 x 1 110 x j 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x 1 + 60x 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
3. Maticový zápis MM Nejstručnější je maticový zápis MM: za podmínek Ax R b (2.7) x 0 maximalizovat (minimalizovat) účelovou funkci z = c T x (2.8) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
kde je: x = (x 1, x 2,..., x n ) T... vektor strukturních proměnných, A = [a ij ] mxn... matice strukturních koeficientů, b = (b 1, b 2,..., b m ) T... vektor pravých stran omezení, c T = (c 1, c 2,..., c n )... vektor cenových koeficientů, R... vektor relačních znamének,, = Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17 Příklad 2.3 Z příkladu 2.1 dosadíme A, b, R, c T, x : 0 1 1 1 4 1 2 1 A 110 90 180 120 b 60 40 T c 2 1 x x x R
Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18 maximalizovat účelovou funkci Na množině omezení 2 1 60 40 x x z 110 90 180 120 0 1 1 1 4 1 2 1 2 1 x x 0 0 2 1 x x
Rozepište tento maticový model:...? na množině řešení omezení x 1 + 2x 2 120 x 1 + 4x 2 180 x 1 x 2 90 x 1 110 x j 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x 1 + 60x 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
4. Zápis MM pomocí sumací Za podmínek n j1 a ij x j x j z R n b j1 i 0 maximalizovat účelovou funkci i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n c j x j (2.9) (2.10) (2.11) Pozn.: Jsou použity dříve definované symboly Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
POZOR! Při psaní vzorců je nutné dodržovat určitá elementární pravidla Není možno kombinovat libovolně různé způsoby zápisu Je nutno respektovat pravidla maticového počtu Je třeba definovat všechny použité symboly Je nutno určit definiční obor všech použitých indexů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
Chybný zápis CHYBY V ZÁPISU VZORCŮ Správný zápis Ax j = b a ij x j = b i, i=1,..., m z = x.c T z = c T.x x.a = b B.u T = x j t = b/c A.x = b u T B = x t i = b i /c i, i = 1,..., m Pozn.: Ve vzorcích byly použity dříve definované symboly Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
Rozbor řešitelnosti úlohy LP Vysvětleme nejdříve pojmy přípustné řešení a optimální řešení úlohy LP Nezáporné řešení soustavy vlastních omezení (2.1) nazveme přípustné řešení (PŘ) úlohy LP Úloha LP má: - nekonečně mnoho přípustných řešení - žádné přípustné řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
Grafické znázornění PŘ Množina PŘ je: 1. omezená konvexní množina s konečným počtem krajních bodů (definujte!) krajní bod (vrchol) neleží na spojnici žádných dvou bodů množiny - konvexní polyedr 2. neomezená konvexní množina s konečným počtem krajních bodů 3. prázdná množina Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
Pokud je množina PŘ omezená, je to konvexní polyedr (definujte!) Která ze zobrazených množin je konvexním polyedrem...? Obr. 2.1. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
Optimální řešení úlohy LP Mezi nekonečným množstvím přípustných řešení hledáme to, které je nejlepší, tj. maximalizuje (popř. minimalizuje) hodnotu účelové funkce (2.3) Takové řešení nazveme optimální (OŘ) Úloha LP má: - jedno optimální řešení - nekonečně mnoho optimálních řešení - žádné optimální řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
Omezená konvexní množina PŘ Je-li množinou PŘ konvexní polyedr, má úloha LP vždy optimální řešení Účelová funkce může na této množině nabývat jak svého maxima, tak minima Optimální řešení může být: 1. jedno (obrázek 2.2) 2. nekonečně mnoho (obrázek 2.3) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
1. Jediné OŘ je ve vrcholu (krajním bodu) konvexní množiny PŘ 2. Má li úloha LP nekonečně mnoho OŘ, je účelová funkce rovnoběžná s hranicí (hranou, stěnou, nadrovinou) konvexní množiny Optimálním řešením je každý bod této hranice konvexní obal krajních bodů Ve dvourozměrném prostoru je to množina konvexních kombinací dvou krajních bodů této hranice (tj. úsečka mezi nimi) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
C z... max. x 2 D OPTIMUM B A x 1 Obrázek 2.2 Jediné OŘ úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
x 2 z... max. C D OPTIMUM B E OPTIMUM A x 1 Obrázek 2.3 Nekonečně mnoho OŘ úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
Neomezená množina PŘ Obsahuje alespoň jednu polopřímku Na této množině může mít úloha LP: - jedno OŘ - nekonečně mnoho OŘ - žádné OŘ 1. Jedno OŘ leží ve vrcholu množiny PŘ (obrázek 2.4) 2. Nekonečně mnoho OŘ tvoří ve dvourozměrném prostoru polopřímku (paprsek) (obrázek 2.5) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
3. OŘ neexistuje: - konvexní množina PŘ je neomezená ve směru zadaného extrému účelové funkce (obrázek 2.6) - účelová funkce může na této množině nabývat neomezených hodnot - v tomto případě existuje nekonečně mnoho přípustných řešení - nelze ale určit optimální hodnotu účelové funkce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
x 2 z... max. C B D OPTIMUM A Obrázek 2.4 Neomezená množina PŘ, jedno OŘ x 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
x 2 E z... max. OPTIMUM C B D OPTIMUM A x 1 Obrázek 2.5 Neomezená množina PŘ, nekonečně mnoho OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
x 2 C z... max. B A x 1 Obrázek 2.6 Neomezená množina PŘ, neexistuje OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
Prázdná množina PŘ Soustava vlastních omezení MM je nekonzistentní Neexistuje přípustné řešení úlohy LP Množina PŘ je prázdná Tudíž neexistuje optimální řešení této úlohy (obrázek 2.7) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
Prázdná množina PŘ Obrázek 2.7 Prázdná množina PŘ úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
ŘEŠENÍ MM Pro zjednodušení výkladu přijmeme na začátku kurzu tyto předpoklady: 1. Všechna omezení modelu úlohy LP jsou zadána jako nerovnice: - rovnici převedeme na dvě nerovnice opačného typu, např.: 3x 1 + 2x 2 = 60 vyjádříme jako 3x 1 + 2x 2 60 3x 1 + 2x 2 60 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
2. Budeme uvažovat MM s maximalizační účelovou funkcí Minimalizační funkci f(x) upravíme na maximalizační z(x) podle kde Např. funkci z(x) = f(x)... max. min f(x) = max z(x) f = 20x 1 + 10x 2... min. převedeme na tvar z = 20x 1 10x 2... max. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
3. Všechny pravé strany omezení jsou nezáporné Není-li tento předpoklad splněn, upravíme omezení vynásobením (-1) Např. omezení upravíme na 3x 1 + 2x 2-60 -3x 1-2x 2 60 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
ÚPRAVA MM K VÝPOČTU Metody řešení úloh LP pracují se soustavou rovnic, nikoliv se soustavou nerovnic Proč? Je proto třeba vlastní omezení zadaná ve tvaru nerovnic převést na rovnice Jak? Model rozšíříme o další proměnné, které nazveme přídatné proměnné Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
1. Nerovnice typu : a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n b i K levé straně nerovnice přičteme přídatnou proměnnou: a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n + x n+i = b i Odtud je x n+i = b i (a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n ) Např. první omezení v příkladu (2.1) x 1 + 2x 2 120 upravíme na: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
2. Nerovnice typu : Od levé strany nerovnice typu odečteme přídatnou proměnnou: Odtud je a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n x n+i = b i x n+i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n b i Např. třetí omezení v příkladu 2.1 upravíme na: x 1 x 2 90 x 1 x 2 x 5 = 90 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje objem nevyužité kapacity Přídatná proměnná v omezení typu ukazuje velikost překročení požadavku Cena přídatné proměnné je vzhledem k její ekonomické interpretaci rovna nule Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
Příklad 2.4 Vyrovnejte soustavu vlastních omezení kapacitní úlohy z příkladu 2.1 na soustavu rovnic: x 1 + 2x 2 120 x 1 + 4x 2 180 (2.12) x 1 x 2 90 x 1 110 Vypočtěte hodnoty přídatných proměnných a ekonomicky je interpretujte Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
Nerovnice vyrovnáme na rovnice pomocí přídatných proměnných: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 + 4x 2 + x 4 = 180 (2.13) x 1 x 2 x 5 = 90 x 1 + x 6 = 110 Dosadíme x 1 = 110, x 2 = 5 (viz př.1.1- grafické řešení) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
Hodnoty přídatných proměnných...? x 3 = 120 - (x 1 + 2x 2 ) = 120-120 = 0 x 4 = 180 - (x 1 + 4x 2 ) = 180-130 = 50 x 5 = -90 + (x 1 x 2 ) = -90 + 105 = 15 x 6 = 110 - x 1 = 110 110 = 0 Ekonomická interpretace...? x 3 = 0 čas na lisu je vyčerpán x 4 = 50 balicí linka má 50 min. volných x 5 = 15 je vyrobeno 90+5+15 KŠ x 6 = 0 je vyroben horní limit KŠ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
Řešení v LinPro: Obr. 2.8 výsledky řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48
Hodnoty strukturních proměnných : x 1 = 110, x 2 = 5, Hodnoty přídatných proměnných: x 3 = 0, x 4 = 50, x 5 = 15, x 6 = 0 Stručněji: x = (110, 5, 0, 50, 15, 0) T Hodnota účelové funkce: z = 4700 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49
Zvýšíme čas lisu o 1 minutu: Obr. 2.10 změna pravé strany Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50
STANDARDNÍ TVAR MM Po vyrovnání vlastních omezení přídatnými proměnnými dostaneme MM ve tvaru: kde je: Ax = b x 0 (2.14) z = c T x x = (x 1, x 2,..., x n, x n+1,..., x n+m ) T A = [a ij ] m.(m+n), b = (b 1, b 2,..., b m ) T, c T = (c 1, c 2,..., c n, 0,..., 0) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51
1. PŘÍPUSTNÉ ŘEŠENÍ Přípustné řešení úlohy LP (2.14) je vektor x = (x 1, x 2,..., x n+m ) T, jehož složky splňují vlastní omezení a podmínky nezápornosti Počet přípustných řešení (PŘ) : protože počet proměnných je větší než počet rovnic, má úloha LP buď: 1. nekonečně mnoho PŘ nebo 2. žádné PŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 52
2. ZÁKLADNÍ PŘÍPUSTNÉ ŘEŠENÍ ZPŘ úlohy LP (2.14) je přípustné řešení, které má maximálně tolik kladných složek, kolik je lineárně nezávislých vlastních omezení, tj. m, zbývající složky (alespoň n) jsou rovny nule. Vektory strukturních koeficientů u proměnných s kladnou hodnotou jsou lineárně nezávislé. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 53
Počet ZPŘ je omezený...? Horní hranicí je počet ZŘ soustavy vlastních omezení m m n ( m n)! m! n! Např. soustava rovnic (2.13) má 4 omezení a 2 strukturní proměnné, počet ZŘ je tedy nanejvýš...? 4 2 4 6! 15 4!2! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54
Počet ZPŘ úlohy LP je většinou menší Proč...? Musíme vyloučit všechna řešení se zápornými složkami Rozdíl mezi ZŘ soustavy rovnic a ZPŘ úlohy LP ukážeme na úloze z příkladu 2.1 Grafickým znázorněním ZŘ je průsečík hraničních přímek Grafickým znázorněním ZPŘ je vrchol (krajní bod) množiny přípustných řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
x 2 60 45 C D 0 A B 90 110 120 180 x 1-90 Obrázek 2.8 Grafické znázornění ZŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56
Který z bodů A, B, C a D je PŘ a který ZPŘ úlohy LP...? Určíme souřadnice x 1 a x 2 v těchto bodech, dosadíme do soustavy rovnic (2.13): A [90, 0]: x (1) = (90, 0, 30, 90, 0, 20) T B [100, 5]: x (2) = (100, 5, 10, 60, 5, 10) T C [0, 60] : x (3) = (0, 60, 0, -60, -150, 110) T D [45, 60] : x (4) = (40, 60, -40, -100, -110, 70) T Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 57
3. OPTIMÁLNÍ ŘEŠENÍ Optimální řešení (OŘ) úlohy LP (2.14) je přípustné řešení x = (x 1, x 2,..., x n+m ) T, pro které je hodnota účelové funkce maximální Úloha LP má: - jedno OŘ - nekonečně mnoho OŘ - žádné OŘ Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 58
ZÁKLADNÍ VĚTA LP Věta, která má zásadní význam pro řešení úloh LP: Má-li úloha lineárního programování optimální řešení, má také optimální řešení základní. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59
VÝZNAM ZÁKLADNÍ VĚTY LP Optimální řešení můžeme hledat mezi konečným počtem základních přípustných řešení, nikoliv mezi nekonečným množstvím přípustných řešení úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 60
KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 61