Petra Monhartová. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra numerické matematiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Petra Monhartová Schémata typu ADER pro řešení rovnic mělké vody Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Jiří Felcman CSc. Studijní program: matematika Studijní obor: MNVM Praha

Na tomto místě bych především chtěla poděkovat svému vedoucímu diplomové práce panu doc. RNDr. Jiřímu Felcmanovi, CSc., který mi dal nespočet užitečných rad při tvorbě této diplomové práce. Panu RNDr. Petru Kuberovi, Ph.D za poskytnutý program a rady při programování. V neposlední řadě svým rodičům za obrovskou podporu při studiu.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. / Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 6 odst. autorského zákona. V Praze dne. 8. Podpis autora

Název práce: Schémata typu ADER pro řešení rovnic mělké vody Autor: Petra Monhartová Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Jiří Felcman CSc. Abstrakt: V předložené práci studujeme numerické řešení rovnic mělké vody. Zavádíme vektorový zápis rovnic zákonů zachování a z nich odvodíme rovnice mělké vody (SWE). Uvádíme jejich zjednodušené odvození, zápis a nejdůležitější vlastnosti. Původním přínosem je odvození rovnic pro mělkou vodu bez využití Leibnizovy formule. Popisujeme zde metodu konečných objemů pro SWE s numerickým tokem Vijayasundaramova typu. Uvádíme popis lineární rekonstrukce, kvadratické rekonstrukce a ENO rekonstrukce a jejich využití ke zvýšení řádu přesnosti. Ukazujeme využití lineární rekonstrukce v metodě konečných objemů druhého řádu přesnosti. Tato metoda je naprogramovaná v jazyce Octave a použitá na řešení dvou úloh. Aplikujeme metodu typu ADER, původně navrženou pro Eulerovy rovnice, na rovnice mělké vody. Klíčová slova: rovnice mělké vody, metoda konečných objemů, lineární rekonstrukce, ENO rekonstrukce, ADER Title: ADER schemes for the shallow water equations Author: Petra Monhartová Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: doc. RNDr. Jiří Felcman CSc. Abstract: In the present work we study the numerical solution of shallow water equations. We introduce a vectorial notation of equations laws of conservation from which we derive the shallow water equations (SWE). There is the simplify its derivation, notation and the most important features. The original contribution is to derive equations for shallow water without the using of Leibniz s formula. There we report the finite volume method with the numerical flow of Vijayasundaram type for SWE. We present a description of the linear reconstruction, quadratic reconstruction and ENO reconstruction and their using for increasing of order accuracy. We demonstrate using of linear reconstruction in finite volume method of second order accuracy. This method is programmed in Octave language and used for solving of two problems. We apply the method of the ADER type for the shallow water equations. This method was originally designed for the Euler s equation. Keywords: shallow water equations, finite volume method, linear reconstruction, ENO reconstruction, ADER

Obsah Úvod Obecné rovnice dynamiky tekutin 4 Odvození SWE 6. Formulace I............................... 6. Formulace II.............................. 8 Rovnice mělké vody. Homogenita............................... Rotační invariantnost rovnic mělké vody.............. 4. Hyperbolicita rovnic mělké vody................... 5.4 Počáteční - okrajová úloha...................... 8 4 Metoda konečných objemů 9 4. Odvození obecného schématu metody konečných objemů..... 9 4. Metoda konečných objemů a numerický tok pro z = konst..... 4.. Numerický tok Vijayasundaramova typu pro SWE..... 4.. CFL podmínka........................ 4 4. Metoda konečných objemů a numerický tok pro z konst..... 4 4.. Numerický tok Vijayasundaramova typu pro SWE..... 5 4.4 Metoda konečných objemů vyššího řádu pro D úlohu....... 6 5 Metoda vyšší přesnosti 8 5. Lineární rekonstrukce......................... 8 5. Kvadratická rekonstrukce....................... 5. Limitní procedura........................... 5.. První varianta limiteru.................... 4 5.. Druhá varianta limiteru.................... 4 5.4 ENO rekonstrukce v D....................... 5 5.4. Základní myšlenka...................... 5 5.4. Výpočet p k.......................... 6 5.4. ENO procedura........................ 7 5.4.4 Algoritmus D ENO rekonstrukce pro m=........ 9 6 ADER 4 6. Odvození schématu typu ADER pro SWE s z = konst...... 4 6.. Zobecněná Godunovova metoda............... 4 6.. Řešení zobecněného Riemannova problému......... 4 6.. Konstrukce zobecněného Godunovova toku......... 45 6..4 Algoritmus ADER...................... 46 6. ADER pro SWE s z konst..................... 46 6.. Výpočet vedoucího členu................... 48 6.. Výrazy vyššího řádu..................... 49 6.. Aproimace zdrojového členu................ 5 6. Popis ADER schémata v D..................... 5

6.. Rekonstrukce hodnot v bodech............... 5 6.. Řešení DRP.......................... 5 6.. Aproimace zdrojového členu................ 5 7 Numerické eperimenty 54 7. D problém pro z=......................... 54 7.. Příklad - Příklad se spojitým řešením........... 54 7.. Příklad - Příklad s pohybující se nespojitostí....... 6 Závěr 68 Seznam použité literatury 69 Seznam použitých zkratek 7

Úvod V následujícím tetu jsou popsány rovnice mělké vody (angl. shallow water equation, zkratka SWE), v literatuře je můžeme najít také pod názvem Saint Venantovy rovnice. Jedná se o hyperbolický systém rovnic s nenulovou pravou stranou popisující proudění vody jejíž výška je malá vzhledem ke své šířce, tj. jedná se o případ proudění vody v řece s nerovným dnem. To že dno je nerovné popisuje zdrojový člen, který je na pravé straně rovnic. V první kapitole je ze základních fyzikálních zákonů zachování odvozen vektorový zápis zákonů zachování, z kterého jsou v druhé kapitole odvozeny rovnice popisující proudění mělké vody. Odvození již bylo popsáno v několika literaturách, je zde ale uveden detailní popis a navíc zjednodušení tohoto odvození. Toto zjednodušení spočívá v tom, že při odvozování hyperbolického systému se nám podařilo obejít Leibnizovu formuli, která je vždy užívána k odvozování. K odvození numerických metod budeme potřebovat několik známých vlastností rovnice mělké vody, tyto vlastnosti jsou popsány v třetí kapitole. V kapitole čtyři se věnujeme metodě konečných objemů (MKO) s Vijayasundaramovým numerickým tokem pro rovnice mělké vody. Tato metoda je pouze prvního řádu přesnosti, to způsobuje, že výsledky jsou rozmazané a některé detaily nejsou vyřešeny dostatečně přesně. Proto je v páté kapitole uveden popis jak můžeme zvýšit řád metody pomocí polynomiální (lineární, kvadratické,...) rekonstrukce a neoscilujícího ENO schémata. U polynomiální rekonstrukce dochází k oscilacím, proto je zde popsána limitní proceduru, která tyto oscilace zhlazuje. V kapitole čtyři je také popsána metoda konečných objemů vyššího řádu, která využívá lineární rekonstrukci. V kapitole šest je popsána metoda ADER = Arbitrary hight order, with using hight order DERivatives of polynomials. Jedná se o schéma založené na diskretizaci pomocí metody konečných objemů kombinované s polynomiální rekonstrukcí vyššího řádu. Je to zobecnění klasické Godunovovy metody na libovolný řád, jak je uvedeno v [4]. Poslední kapitola je věnovaná numerickým eperimentům. Je zde naprogramována MKO s numerickým tokem Vijayasundaramova typu a MKO druhého řádu přesnosti využívající lineární rekonstrukcí. Tyto metody jsou otestované na dvou úlohách. Numerické řešení srovnáváme s přesným řešením a s řešením získaným pomocí přesného Riemannova řešiče.

. Obecné rovnice dynamiky tekutin Necht T >, (,T) je časový interval, Ω t IR bud oblast vyplněná tekutinou t (, T). Definujme množinu M = {(,t); Ω t,t (,T)} IR 4. Základní fyzikální zákony jsou zákon zachování hmotnosti, zákon zachování hybnosti, zákon zachování momentu hybnosti a zákon zachování energie. Zákon zachování momentu hybnosti platí právě tehdy, když je tenzor napětí T symetrický. Zákon zachování hmotnosti je popsán rovnicí kontinuity ρ t + div(ρv) =. (.) Symbol ρ = ρ(,t) označuje hustotu a v = v(,t), v = (v,v,v ) je rychlost. Zákon zachování hybnosti je popsán pohybovými (Navierovy-Stokesovými) rovnicemi ρv i + div(ρv i v) = ρf i + div(t ) i, i =,,. (.) t Symbol f = f(, t) označuje funkci hustoty vnějších objemových sil. Matice T = T (,t), T = (τ ij ) i,j= reprezentuje tenzor napětí. Zákon zachování energie je popsán rovnicí pro energii E t + div(ev) = ρf v + div(t v) + ρq div(q). (.) Symbol E = E(,t) a q = q(,t) označuje energii a hustotu tepelných zdrojů, q = (q,q,q ) T je tepelný tok. O funkcích vystupujících v rovnicích předpokládáme následující: f i (i =,, ), q jsou spojité funkce na M;ρ,v i (i =,, ), E,τ ij (i,j =,, ) a q i (i =,, ) jsou třídy C na M. Poznámka. Tenzor napětí T obsahuje vazkou část T a nevazkou část T i. Obvykle se předpokládá, že pak je T tvaru T = T i + T. V případě T = pi + T, tedy T i = pi, kde p představuje tlak a T reprezentuje vazkou složku tenzoru napětí, z rovnic (.) lze za splnění tzv. Stokesových postulátů (viz skripta []) odvodit Navier-Stokesovy rovnice. Rovnice zákonů zachování lze zapsat po složkách (na oblasti M): 4

ρ ρv ρv ρv ρv t ρv ρv + ρv ρv v ρv v + ρv v ρv ρv v + ρv v ρv v ρv = ρf ρf ρf E Ev Ev Ev ρf v + ρq + τ τ τ + τ τ τ + τ τ τ. (T v) q (T v) q (T v) q Vektorový zápis rovnic zákonů zachování kde w t + s= je vektor neznámých, f s (w) s = F(w) + s= w = (ρ,ρv,ρv,ρv,e) T ρv s ρv v s f s (w) = ρv v s ρv v s Ev s S s (w, w) s v M, (.4) představuje tzv. fyzikální tok a ρf F(w) = ρf ρf, S τ s s(w, w) = τ s τ s ρf v + ρq (T v) s q s jsou členy vystupující na pravé straně rovnice. Zde w je stavový vektor a f s, s =,, jsou nevazké (Eulerovy) toky, S s, s =,,, jsou vazké toky. Zanedbáme-li v tomto případě vazkou část T tenzoru napětí, dostaneme Eulerovy rovnice w t + s= f s (w) s = v M. (.5) 5

. Odvození SWE V této kapitole popíšeme dva způsoby formulace rovnic popisující proudění mělké vody. V obou případech budeme zjednodušovat rovnice (.)-(.). Pomocí prvního odvození dokážeme, že rovnice pro mělkou vodu lze zapsat ve formálně stejném tvaru jako rovnice (.4), kde ovšem vektor w nebude mít význam výše uvedených fyzikálních veličin, ale jiných. Druhým odvozením získáme hyperbolický systém rovnic.. Formulace I. Necht je v IR dán kartézský systém souřadnic a čas t. Budeme modelovat proudění tekutiny v oblasti, jež je touto tekutinou vyplněna. Předpokládáme, že fyzikální oblast je široká a nízká, tj. pro každé t je oblast neomezená v rovině určené osami a a je omezená ve směru osy, a to zdola funkcí z = z(, ) (funkce popisující dno oblasti vyplněné tekutinou, nezávisí na čase) a shora funkcí H = H(,,t) (funkce popisující volnou hladinu tekutiny). Oblast vyplněná tekutinou v čase t je tedy množina Q t = { (,, ) IR ; IR, IR,z(, ) < < H(,,t) }, viz obrázek.. H(,, t) h = h(,, t) z(, ) Obrázek.: Oblast Q t vyplněná tekutinou (řez). Necht funkce H a z jsou třídy C na příslušných podmnožinách množiny M. Z předchozí kapitoly předpokládáme hladkost funkcí vystupujících v rovnicích zákonů zachování. Symbolem D rozumíme tzv. materiálovou derivaci, tj. Dt kde v je rychlost. Du Dt = u t + v u, 6

Pro proudění tekutiny v malých hloubkách platí následující okrajové podmínky, které jsou klíčové pro odvození rovnic pro mělkou vodu (z důvodu větší přehlednosti nepíšeme argumenty funkcí): Na hladině jsou dány okamžitá změna veličiny H a nulový tlak, tj. pro t >, IR, IR, = H(,,t) platí D Dt ( H) = a p =. (.) Na dně uvažujeme nulové změny veličiny z, tj. pro t, IR, IR, = z(, ) platí Dále uvnitř oblasti (t, Q t ) platí D Dt ( z) =. (.) Dv Dt =. (.) Předpokládejme, že proudění je nestlačitelné, tzn. ρ = konst, (.4) nevazké ( vazká část T tenzoru napětí T je nulová matice) a adiabatické (tj. hustota tepelných zdrojů q = a tepelný tok q = ). Dále předpokládejme, že jedinou vnější silou působící na tekutinu je gravitace, tj. f =, g kde g = 9.8 je konstanta gravitačního zrychlení. Využitím těchto předpokladů se rovnice (.) - (.) redukují na systém (na množině M) div(v) =, ρv i + div(ρv i v) = ρgδ i + div( pi) i, i =,,, t E t + div(ev) = ρgv + div( piv). (.5) Úpravou druhé a třetí rovnice, využitím (.4) a přepsáním do vektorového tvaru dostaneme div(v) = v M, (.6) ρ Dv Dt = ρ p v M, (.7) g E t + div(ev) = ρgv p v v M. (.8) 7

Vidíme, že se jedná o systém pěti rovnic o pěti neznámých p,v,v,v a E. Zároveň v prvních čtyřech rovnicích se nevyskytuje E. Proto se nadále budeme zabývat pouze řešením prvních 4 rovnic, nebot budeme-li znát jejich řešení, budeme na jejich základě schopni z páté rovnice vypočítat hodnoty E. Dostáváme pro 4 neznámé systém 4 rovnic pro mělkou vodu div(v) = v M, ρ Dv Dt = ρ p v M. g (.9). Formulace II. Předchozí zápis rovnic pro mělkou vodu se ovšem v literatuře obvykle nevyskytuje. Důvodem je, že rovnice pro mělkou vodu jsou častěji formulovány ne pro tlak p a rychlost v, ale pro hloubku h a rychlost v. Hloubka h je definována následovně h = H z, tedy jako vzdálenost hladiny ode dna (viz obrázek.). Rovnice tímto způsobem přeformulujeme. Ze čtvrté rovnice (.9) ρ D Dt v = ρg p a z předpokladu (.) D Dt v = dostaneme = ρg p, Integrací získáme p = ρg. Z okrajové podmínky pro tlak (.) dostaneme p = ρg + c(,,t). (.) = ρgh + c(,,t) c(,,t) = ρgh. Dosazením předchozí rovnice do (.) obdržíme p = ρg( + H). (.) Lemma. Necht platí (.), (.) a (.7). Necht v i C (M) pro i =,, p C (M) a ρ = konst. Pak v,v nezávisí na. Důkaz. Pro i =, získáme ze vztahu (.7) rovnost ρ Dv i Dt = p i. Protože funkce H je nezávislá na proměnné a platí (.4), plyne z předchozího vztahu pro p, že funkce p p Dv, také nezávisí na a proto i, Dv jsou Dt Dt nezávislé na. Kdyby v i, i =, záviselo na, pak by Dv i Dt = v i t + v v i 8

záviselo na a to je spor, nebot Dv i Dt na nezávisí. Odtud dostáváme, že funkce v i, i =, nezávisí na. Volná hladina H je dána hloubkou vody h a dna z. Známe-li funkci h, můžeme určit tlak p. Poznámka. Pro účely odvození rovnic předpokládáme libovolnou dostatečnou hladkost funkcí, zde tedy např. v i C (M). Při formulaci rovnic však již takovou hladkost požadovat nebudeme. V následujícím tetu přeformulujeme rovnice (.9) do systému hyperbolických rovnic vektorové funkce w = (h,hv,hv ) T. Rovnice kontinuity K odvození následujícího zápisu rovnice kontinuity je v literatuře vždy použitá Leibnizova formule. Nám se povedlo obejít Leibnitzovu formuli a to tak, že jsme využili nezávislosti v a v na. Nejprve zintegrujeme první rovnici (.9) podle s mezemi z a H dostaneme H z ( v + v + v ) d = (.) Z lemmatu víme, že v,v nezávisí na, tedy platí (H z) v + (H z) v + v v = (.) =z =H Nyní chceme upravit členy v a v Využijeme podmínky (.), jejím =H =H. rozepsáním dostaneme = D ( Dt ( H) = =H t ( H) + (v )( H)) =H = H }{{} t t + v H H H v + v v + v v }{{} }{{} }{{} }{{} =H = = = = = = v H =H t v H H v. (.4) Odtud vyjádříme v =H a máme vztah v =H = H t + v H H + v. (.5) Analogicky dostaneme z podmínky (.) vztah v =z = z t + v z z + v. (.6) 9

Dosazením (.5) a (.6) do rovnice (.) zjistíme, že (H z) v + (H z) v + H t + v H H + v z t v z z v =, přerovnáme členy (H z) v + (H z) v (H z) (H z) (H z) + + v + v =. t Víme, že H z = h. Dosazením za H z do předchozí rovnice obdržíme h v + h v + h t + v h h + v =. Dostáváme modifikovanou rovnici kontinuity pro mělkou vodu Pohybové rovnice h t + hv + hv =. (.7) Dále přeformulujeme rovnice (.7). Vyjdeme z modifikované rovnice kontinuity (.7), vynásobíme jí v s, s =, Z první a druhé rovnice (.7) platí h t v s + hv v s + hv v s =. (.8) ρ D Dt ( v v ) ( ) = ρ ( p p. Pro třetí rovnici (.7) jsme výše ukázali, že za daných okrajových podmínek a podmínky (.) je tato rovnice ekvivalentní s ) p = ρg( + H), H = h + z. Odsud plyne, že p = ρg H ( h = ρg + z ), s =,. s s s s Z předchozího vztahu dosadíme do s-té rovnice vztahu (.7), s =,, vydělíme ρ (předpokládáme, že ρ > ) a dostaneme v s t + v v s v s + v = g h g z / h, s s v s t h + v v s v s h + v h = gh h gh z, s =,. s s

Poslední rovnici sečteme s rovnicí (.8) a obdržíme t (hvs) {}}{ h t v s + v s t h + tedy pro s =, (v v sh) {}}{ hv v s + v v s h + (v v sh) {}}{ hv v s + v v s h = gh h s }{{} s ( gh ) gh z s, t (hv s) + (v v s h + δ s gh ) + (v v s h + δ s gh ) = gh z s. Předchozí tet byl čerpán z diplomové práce [8]. Rovnice pro mělkou vodu Definujme nyní t (, T) oblast Q := { (, ) IR ; (,, ) Q t pro nějaké IR }, necht Q t jsou takové, že Q je omezená. Q již nezávisí na t, nebot jediná část hranice Q t, která závisí na t, je množina { = H(,,t)}, ta již ovšem v Q nevystupuje. Dále bud { M := (,t); Q,t } (,T) IR. Díky této volbě Q je M M, čehož na následujících řádcích využijeme. Nakonec dostáváme rovnice pro mělkou vodu zformulované pro hloubku h a rychlost v (v množině M) t h hv + hv hv hv + gh hv v + hv hv v hv + gh = gh z. (.9) gh z Tyto rovnice lze zapsat ve vektorovém tvaru, který formálně odpovídá tvaru rovnice (.4) (kde na pravé straně vystupuje pouze jeden člen), a to kde w t + s= f s (w) s = s(w) v M, (.) h hv s w = hv, f s (w) = hv v s + δ s gh, s =,, hv hv v s + δ s gh s(w) = gh z z.

Rovnice (.9), kde funkce h = h(,,t), v = v (,,t), v = v (,,t), resp. z = z(, ) jsou třídy C na M, resp. na Q t (,T), se nazývají rovnice pro mělkou vodu (zkratka SWE anglického shallow water equations). Někdy je můžeme najít i pod názvem Saint-Venantovy rovnice. Vektor pravé strany s(w) = gh se nazývá zdrojový člen (angl. source term). Důvodem, proč jsme odvodili systém (.) podle [] bylo ukázat, že i přesto, že rovnice mělké vody popisují nestlačitelné proudění, tvoří formálně (pokud zanedbáme zdrojové členy) hyperbolický systém podobný systému pro Eulerovy rovnice pro stlačitelný tok (.5). z z

. Rovnice mělké vody V předchozí kapitole jsme si odvodili rovnice mělké vody (.) z obecných rovnic dynamiky tekutin. Vektorový zápis rovnic mělké vody s toky w t + f s (w) = s(w), (.) s s= f s (w) = (hv s,hv v s + δ s gh,hv v s + δ s gh ) T a zdrojovým členem s(w) = (, gh z) T. Neznámé veličiny w = w(,t), IR tvoří vektor w (h,q) T (h,hv) T (h,hv,hv ) T, kde h a v označuje výšku hladiny a rychlost. Gravitační konstanta g > a funkce popisující dno z = z() jsou dány. Toky f s jsou definovány na oblasti D = { w = (h,q,q ) T IR ;h > }. Dále se budeme také zabývat následujícími rovnicemi pro mělkou vodu. Dostaneme je tak, že položíme v a : ( ) h + ( ) hv t hv hv + gh = (a,b ), t (,T). ( ) gh dz, (.) d Rovnice (.), kde funkce h = h(,t), v = v (,t), resp. z = z( ) jsou třídy C na (a,b ) (,T), resp. na (a,b ),a,b IR,a < b se nazývají jednorozměrné rovnice pro mělkou vodu (angl. one-dimensional shallow water equations). Poznámka. Takto zformulované rovnice pro mělkou vodu dávají z fyzikálního hlediska smysl pouze v jedné nebo ve dvou dimenzích. Důvodem je, že neznámá funkce h reprezentuje doplňkovou dimenzi. To je rozdíl např. oproti Navier-Stokesovým nebo Eulerovým rovnicím, které popisují proudění i ve třech dimenzích. Je obecně známo, jaké vlastnosti mají Eulerovy rovnice, například jsou homogenní, hyperbolické a rotačně invariantní. Eistují numerická schémata, která při řešení Eulerových rovnic těchto vlastností využívají. Zjišt ujeme, zda následující vlastnosti nemají rovnice pro mělkou vodu. To by umožnilo aplikovat příslušná schémata na rovnice pro mělkou vodu. Čerpali jsme z [8], [], [] a [7].. Homogenita Vektorové funkce f s,s =, jsou homogenní zobrazení.řádu jestliže, f s (αw) = αf s (w) pro α >,s =,.

Vlastnost homogenity známá pro Eulerovy rovnice f s (w) = A s (w)w, (.) kde A s (w) je Jacobiho matice Eulerova toku f s, s =,. Tato rovnost pro SWE bohužel neplatí. Lze ale dokázat, že f s (w) = A s (w)w gh δ s, s =, (.4) gh δ s kde A s (w) = Df ( ) s(w) Dw = fsi (w) (.5) w j platí homogenní vlastnost pro SWE. i,j=. Rotační invariantnost rovnic mělké vody Uvažujme ortonormální transformaci souřadnic kde Q IR, Q T Q = Q Q T = I a IR. = Q +, (.6) Věta. Vektorová funkce w = w(,t) řeší (v klasickém smyslu) systém SWE (.) právě tehdy, když funkce řeší transformovaný systém w = w(,t) = Qw(Q ( ),t) w t + f s ( w) = s( w). (.7) s s= Kde matice Q je definována v (.9). Tuto vlastnost nazýváme rotační invariantnost rovnic mělké vody. Věta. Rovnice pro mělkou vodu (.) jsou rotačně invariantní. Důkaz. Lze najít v diplomové práci [8] věta. str.8. Rotační invariance může být také uvedena jako vlastnost toku f s. P(w,n) = n s f s (w) (.8) s= nazýváme tok veličiny w ve směru n = (n, n ) T, n =. Řekneme, že tok ve směru je rotačně invariantní, jestliže ( ) P(Qw, Q n) = QP(w,n), Q = IR (.9) Q pro všechna n IR a všechny ortonormální matice Q. 4

Lemma. Necht w D a n IR, n =. Potom ( ) P(w,n) = Q n n f (Qw), Q = Q (n) =. (.) n n Důkaz. Matice Q je ortogonální a platí Q n = (, ) T. Z (.9) vyplývá P(w,n) = Q P(Qw, Q n) = Q (Q n) }{{} f (Qw) + (Q n) f }{{} (Qw) = = = Q f (Qw). Poznámka 4. Potom platí n s f s (w) = Q f (Qw). s= Věta. Tok ve směru je rotačně invariantní. Důkaz. Důkaz spočítá v ověření definice (.9). Platí, že q = hv. hv hv P(w,n) = n s f s (w) = n hv v + gh + n hv v s= hv v hv v + gh h = (n v + n v ) hv + ( ) gh n hv ( ) ( ) n hv + n hv h = + ( ) h q gh n ( ) = nt q h + ( ) h q gh. n P(Qw, Q n) = (Q n) T Q q h = nt q h Q ( ) h Q q ( ) h + q gh Q + ( ) gh Q n ( ) = QP(w,n) n. Hyperbolicita rovnic mělké vody Pro dostatečně hladké funkce lze užít větu o derivaci složené funkce a rovnici (.) dostaneme v tzv. kvazilineárním tvaru w t + A s (w) w = s(w) v M, (.) s s= kde A s (w) je Jacobiho matice zobrazení f s, s =,. 5

Definice. Systém (.) se nazývá hyperbolický v oblasti D IR, pokud všechna řešení λ j = λ j (w,n), j =,..., algebraické rovnice třetího stupně ( ) det λi n s A s (w) = s= jsou reálná pro každé n = (n,n ) T IR a w D. λ j nazýváme zobecněnými vlastními čísly. Pokud jsou navíc zobecněná vlastní čísla jednoduchá, pak je systém nazýván ostře hyperbolický. Řekneme, že systém je (ostře) diagonálně hyperbolický, jestliže matice P := s= n sa s (w) je diagonalizovatelná. To znamená, že eistuje regulární matice T = T(w, n) taková, že T PT = Λ = Λ(w,n) = diag(λ,...,λ ). Podle (.) stačí k ověření hyperbolicity systému (.) pouze tok f. Lemma. Jakobiho matice A funkce f má následující tvar A (w) = v + gh v. (.) v v v Důkaz. Označme w = (w,w,w ) T = (h,hv,hv ) T. Pak lze f (w) přepsat následovně hv w f (w) = hv + gh w = w + gw. hv v w w w Pak ) A (w) = Df ( (w) Dw = fi (w) w j = w + gw w w w w w w w w w w i,j= = v + gh v. v v v (.) Lemma 4. Označme c = gh. Matice A (w) má vlastní čísla λ (w) = v c, λ (w) = v, λ (w) = v + c. (.4) Odpovídající vlastní vektory mají tvar r (w) = v c, r (w) =, r (w) = v + c. (.5) v v Důkaz. Důkaz lze provést přímým výpočtem. Vlastní čísla spočteme z rovnosti det(a (w) λi) =. Odpovídající vlastní vektory pak spočteme z rovnice (A (w) λ i I)r i =, pro i =,,. 6

Lemma 5. Vlastní čísla matice A (w) n jsou λ (w) = (v c), λ (w) = v, λ (w) = (v + c). Zbývá vyjádřit vlastní čísla matice P(w, n) a to jako vlastní čísla matice A (w) n : z čehož plyne následující tvrzení. λ P (w) = λ A n (Qw) = n v c, λ P (w) = λ A n (Qw) = n v, λ P (w) = λ A n (Qw) = n v + c, Věta 4. Rovnice mělké vody (.) tvoří ostře diagonálně hyperbolický systém pro w D, n IR. Důkaz. Matici T vytvoříme z vlastních vektorů, které píšeme po sloupcích, tj. T = ( r (w) r (w) r (w) ) = v c v + c. (.6) v v Platí T = v +c c c v. (.7) v c c c Pak v +c T c c A T = v v v + gh v v c v + c c v c c v v v v v v c c+v v c c = v v v + v v v c v + c v +c v +c+v v v c c (v c ) (v c) v c c = v = v = Λ. v + c ( v +c )+(v +c) c Eplicitní vzorce pro vlastní čísla a vektory (.4) - (.5) jsou důležité na konstrukci numerických toků na základě přibližných Riemannových řešičů, jako je např. Vijayasundaramův numerický tok (viz sekce. v [7]). 7

.4 Počáteční - okrajová úloha U některých problémů s hladkými počáteční daty vznikají nespojitosti fyzikálních veličin v konečném čase. Z toho důvodu se zavádí slabá formulace PDE (parciálních diferenciálních rovnic) a okrajových podmínek. Abychom našli výchozí bod pro diskretizaci, potřebujeme formulaci úlohy s počáteční a okrajovou podmínkou na ohraničené oblasti a v konečném časovém intervalu (,T). Jednorozměrné rovnice pro mělkou vodu (.) ( ) h + ( ) hv t hv hv + gh = (a,b ), t (,T). kde (a,b ) IR. Předepíšeme počáteční podmínku ( ) gh dz, d w(, ) = w (), Ω, (.8) kde w je daná funkce. Otázka okrajových podmínek pro nelineární systémy je delikátní problém (více lze najít v []). Volba okrajových podmínek je obecně fyzikální problém, ale musí odpovídat matematickému charakteru řešených rovnic. Předepíšeme okrajové podmínky ve tvaru w(,t) B(,w(,t)) =, (.9) kde B : Ω D D D je dané zobrazení, D IR. Motivace k tomuto zápisu bude jasná později. Zobrazení B představuje etrapolaci postupu používanou v metodě konečných objemů. Tímto způsobem je možné předepsat několik typů okrajových podmínek, a to Předepsaná výška hladiny B(, (h,q ) T ) = B(, (h D (),q ) T ), Ω, (h,q ) D. (.) kde h D : Ω IR je daná funkce. Předepsaná veličina q = hv B(, (h,q ) T ) = B(, (h,q D ()) T ), Ω, (h,q ) D. (.) kde q D : Ω IR je daná vektorová funkce. Podmínky B(,w) = w, Ω, w D. (.) Pro jednoduchost nebudeme uvažovat nulové okrajové podmínky (např. nepropustnou stěnu), tzn. tyto podmínky nejsou zahrnuty ve (.9). 8

4. Metoda konečných objemů 4. Odvození obecného schématu metody konečných objemů Necht Ω IR N je oblast vyplněná tekutinou, kde N {, }. Předpokládáme, že v případě jedné dimenze se jedná o úsečku. V případě dvou dimenzí necht je Ω polygon. Nadále budeme popisovat pouze případ dvou dimenzí, případ jedné dimenze je přímým zjednodušením. Necht J {,,...,n} je indeová množina a h > je krok sítě. Předpokládáme, že D i,i J jsou uzavřené vzájemně disjunktní mnohoúhelníky takové, že Ω = i J D i. Potom systém D h = {D i } i J nazýváme sít konečných objemů v Ω a D i D h nazýváme konečné objemy. Dva konečné objemy D i,d j D h jsou bud různé, nebo jejich průnik je tvořen částí hranice D i a D j. Jestliže D i D j obsahuje aspoň jednu úsečku (pro N = ), pak nazýváme D i a D j sousedními konečnými objemy (nebo jednoduše sousedy). Pro dva sousedy D i,d j D h položíme Γ ij = D i D j = Γ ji. (4.) Dále budeme používat následující značení: D i = N-rozměrná míra D i = plocha D i jestliže N =, Γ ij = (N )-rozměrná míra Γ ij = délka Γ ij jestliže N =, n ij = ((n ij ),...,(n ij ) N ) T = jednotková vnější normála k D i na Γ ij, h i = diam(d i ), h = sup i J h i, D i = (N )-rozměrná míra D i, s(i) = {j J;j i,d j je soused D i }. Zřejmě platí, že n ij = n ji. Dále S(i) = indeová množina obsahující informace o (i) sousedech, (ii) hranách D i, kde je předepsána okrajová podmínka. Poznamenejme, že s(i) S(i). Detaily viz [], strana 86. Poznámka 5. Obvykle je Γ ij tvořena konečným počtem β ij IN, tj.: Γ ij = β ij α= Budeme pro jednoduchost předpokládat, že Γ ij je tvořena pouze jedním prvkem, tzn. β ij = (úsečkou pro N = ). Γ α ij. 9

Množinu M si formálně rozdělíme na oblast Ω a časový interval (,T), tj. M = Ω (,T). Sestrojme dělení = t < t <... časového intervalu [,T] a označme τ k = t k+ t k časový krok mezi t k a t k+, k IN. Předpokládejme, že w : Ω [,T] IR N+ je klasické řešení rovnic pro mělkou vodu (.) w t + N s= f s (w) s = s(w) v Q T = Ω (,T). (4.) Integrováním rovnice (4.) přes množinu D i (t k,t k+ ) a použitím Greenovy věty na D i dostaneme t=t k+ ( tk+ ) N tk+ ( ) w(,t) d f s (w)n s ds dt = s(w)d dt, D i D i t=t k + t k D i s= kde n = (n,n ) T IR je jednotková vnější normála k D i. t k (4.) Nyní aproimujeme integrální průměry D i w(,t k )d/ D i veličiny w přes konečný objem D i v časovém okamžiku t k pomocí w k i : w k i w(,t k ) d, (4.4) D i D i nazýváme ho hodnotou přibližného řešení na objemu D i v čase t k. Můžeme tedy psát D i ( ) tk+ w k+ i w k i + N f s (w(,t))(n ij ) s ds dt (4.5) t k = tk+ t k j S(i) Γ ij s= ( ) s(w)d dt. D i Dále aproimujeme tok N s= f s(w)(n ij ) s veličiny w přes stěnu Γ ij ve směru n ij pomocí tzv. numerického toku H(w k i,w k j,n ij ), závisejícím na hodnotě přibližného řešení w k i na konečném objemu D i, hodnotě w k j na D j a normále n ij ve vhodných časových okamžicích t k : N f s (w)(n ij ) s H(w k i,w k j,n ij ), (4.6) s= Aproimace zdrojového členu = tk+ t k tk+ t k ( ) s(w)d dt = D i ( D i ( g)h tk+ t k ( g)h D i ( ) ) d dt τ z k ( g) D i z z ( z d dt ) h(,t k )d.

Stejně jako u aproimace hodnoty integrálu D i D i w(,t k )d aproimujeme h(,t k ) na D i konstantou h k i. Dostaneme tk+ ( ) ( ) s(w)d dt τ k ( g)h k i d. D i z t k Užití Greenovy věty dává τ k ( g)h k i Funkci D i ( ) d = τ z k ( g)h k i τ k ( g)h k i j S(i) n ij Γ ij z ( ) z ( n ij D i D i z ) d. ( ) d n aproimujeme na Γ ij funkcí Z(z i,z j,n ij ) závisející na hodnotě z i na konečném objemu D i, hodnotě z j na normále n ij, kde z i = z()d (4.7) D i D i označuje integrální průměr funkce z na konečném objemu D i. Celkově dostáváme schéma metody konečných objemů w k+ i = w k i τ k Γ ij ( H(w k i,w k D i j,n ij ) + gh k i Z(z i,z j,n ij ) ), j S(i) D i D h, t k [,T). Funkce H je numerický tok veličiny w a Z aproimace veličiny z na hraně Γ ij ve směru normály n ij. Označíme-li H := H + gh k i Z, neboli H(w k i,w k j,z i,z j,n ij ) = H(w k i,w k j,n ij ) + gh k i Z(z i,z j,n ij ), (4.8) jedná se opět o numerický tok a píšeme w k+ i = w k i τ k Γ ij D i H(w k i,w k j,z i,z j,n ij ), j S(i) D i D h, t k [,T). Definice. Definujeme přibližné řešení metody konečných objemů pro rovnice mělké vody (.9) w t + N s= f s (w) s = s(w) jako po částech konstantní vektorovou funkci wh k, k =,,..., definovanou s.v. v Ω tak, že wh k = w k D i pro každé i J, kde Di je vnitřek D i (tj. Di = D i Di ), i a w k i je dáno vztahem

w k+ i = w k i τ k D i j S(i) Γ ij H(w k i,w k j,z i,z j,n ij ), (4.9) kde D i D h, t k [,T). Funkce w k h je přibližné řešení v čase t = t k. Vektor w k i je hodnota přibližného řešení na konečném objemu D i v čase t k. Hodnoty w i jsou dány z počáteční podmínky. 4. Metoda konečných objemů a numerický tok pro z = konst. Pokud z = konst jedná se o případ plochého dna, tj. platí z = a tedy také s(w) =. Dostáváme metodu konečných objemů následujícího tvaru w k+ i = w k i τ k D i j S(i) Γ ij H(w k i,w k j,n ij ), (4.) Numerický tok H : D D IR N IR N+. Necht S = { n IR N : n = } je jednotková koule v IR N. Požadujeme, aby H byl (i) definovaný a spojitý na D D S, (ii) konzistentní s tokem f s, tj.: H(w,w,n) = N f s (u)n s, u D, n S, s= (iii) konzervativní, tj.: H(u,v,n) = H(v,u, n), u,v D, n S. Navíc z rotační invariance toků můžeme předpokládat, že numerický tok je dán pomocí zobrazení g : D D IR N+ tak, že H(w k i,w k j,n ij ) = Q g(qw k i, Qw k j), w k i,w k j D, n ij = (n,n ) IR N, (4.) kde Q = n n. n n Eistují dva základní přístupy ke tvorbě numerických toků:. Numerický tok může být odvozen z konečných rozdílů přiblížení, např.: La-Friedrichsův numerický tok.. Druhá možnost je založena na analýze řešení Riemannova problému. Příkladem je Godunův numerický tok a různé přibližné Riemannovy řešiče - Vijayasundaramův tok, Roeo tok a Osher-Solomonův tok.

4.. Numerický tok Vijayasundaramova typu pro SWE Odvodíme numerický tok Vijayasundaramova typu pro SWE se z = konst. Vyjdeme z Vijayasundaramova numerického toku pro stlačitelné Eulerovy rovnice: ( ) ( ) w k g(w k i,w k j) = A + i + w k j w k w k i + A i + w k j w k j, (4.) kde A + (nebo A ) je kladná část (nebo záporná část) matice A (pro skalární argumenty máme a + = ma(a, ), a = min(a, )). Užitím diagonálního rozkladu A = TΛT, kde Λ = diag {λ,,λ N+ }, můžeme zobecnit předchozí vztah pro matice argumentů takto A ± = Tdiag { λ ±,,λ ± N+} T. Vzorec (4.) je ekvivalentní přesnému Riemannovu řešiči pro lineární hyperbolické systémy. Formulace této vlastnosti pro skalární lineární problém se dá snadno zobecnit na hyperbolický lineární systém, využívající diagonální rozklad. Lemma 6. Užijeme Riemannův problém pro skalární lineární rovnici u t + λ u u(, ) = =, IR, t >, { u L, <, u R, <. Potom hodnota toku f λ (u) = λu na přímce = je f λ (u(,t)) = λ + u L + λ u R pro t >. Důkaz. Řešení je u(,t) = u ( λt). Jestliže λ > pak u(,t) = u L. Jestliže λ < pak u(,t) = u R. V obou případech tvrzení platí. Obrázek 4.: Klasický Riemannův problém. Vijayasundaramův tok pro Eulerovy rovnice je konzistentní právě tehdy když f (w) = A (w)w pro všechny w D. Tato homogenní vlastnost je splněna pro lineární systém a pro Eulerovy rovnice, ale není splněna pro SWE. Platí A (w)w = f (w) gh e,

kde pro N = máme w = (h,hv,hv ) T a e = (,, ) T (pro N = w = (h,hv ) T a e = (, ) T ). Byl v [7] navržen numerický tok Vijayasundaramova typu, takto ( ) ( ) ( ) w k g(w k i,w k j) = A + i + w k j w k w k i + A i + w k j w k j g h k i + h k j e. (4.) Následující věta ukazuje, že Vijayasundaramův tok definovaný v (4.) a (4.) je vhodný pro užití v metodě konečných objemů. Věta 5. Numerický Vijayasundaramův tok definovaný v (4.) a (4.) je spojitý, konzistentní a konzervativní. Důkaz. Lze najít v disertaci [7] - str. 6. 4.. CFL podmínka Nakonec zbývá určit časový krok τ k. Protože schéma je eplicitní, musí být pro zachování stability omezen časový krok τ k. Užijeme Courant-Friedrichs-Levyho (CFL) podmínku stability. Vyšetřováním stability schématu (analogicky jako v [5]) dostáváme na následující nerovnost kde CFL (, ) a λ i,ma = ma r=,...,m,j S(i) τ k CFL D i λ i,ma D i, λ r (w k ij,n ij ), m = N +, kde λ r (w k ij,n ij ) jsou vlastní čísla matice N s= (n ij) s A s (w k ij). 4. Metoda konečných objemů a numerický tok pro z konst. Nyní se zaměříme na případ z konst. Hledáme metodu konečných objemů, která zachovává stacionární řešení h(,t) = H z(), v(,t) =, (4.4) kde v IR N. Funkce w = (h,hv) T s komponentami danými (4.4) je pro N = řešením (.). Použijeme po částech konstantní aproimaci funkce z, z i = z()d, D i D h. D i D i Diskrétní verze (4.4) je h k i = H z i, v k i =, D i D h, k =,,...,N +. (4.5) 4

Numerický tok, musí zachovávat stacionární řešení (4.5), tj dostáváme metodu konečných objemů následujícího tvaru w k+ i = w k i τ k Γ ij D i H total (w k i,w k j,z i,z j,n ij ), (4.6) j S(i) kde H total je tvaru (4.8). A díky rotační invarianci lze psát H total (w k i,w k j,z i,z j,n ij ) = Q g total (Qw k i, Qw k j,z i,z j ), g total (Qw k i, Qw k j,z i,z j ) = g conv (Qw k i, Qw k j,z i,z j ) + gh k i z (z i,z j )e, (4.7) kde z (z i,z j ) = z i + z j. 4.. Numerický tok Vijayasundaramova typu pro SWE Nejprve vysvětlíme pojem korekce. Za předpokladu, že máme po částech konstantního řešení (4.5), pak zdroj gh z je Diracova distribuce se středem ve středu souřadnic. Začneme s analýzou lineárního Riemannova problému s Diracovou distribucí δ (v bodě = ) jako zdrojového členu. Lemma 7. Necht A, B, u L, u R IR. Uvažujeme Riemannův problém u t + A u u(, ) = u () = = Bδ, v IR (, ), (4.8) { u L, <, u R, >. Potom eistuje u, které řeší (4.8), (4.9) v následujícím smyslu: () u C( [, ), D ), kde D je prostor distribucí na IR, () u splňuje (4.8) ve smyslu distribucí, () u() = u. (4.9) Navíc, řešení je jednoznačné. Jestliže A, potom { u ( At) + B/ A ( At) <, u(,t) = u ( At), ( At). (4.) Důkaz. Jestliže A, potom nám metoda charakteristik dává (4.). Jestliže A =, potom řešení je u = u +Btδ. Přímým výpočtem můžeme ukázat, že ()-() opravdu platí. Jednoznačnost lze ukázat také užitím metody charakteristik. Aby bylo možné odvodit přibližný Riemannův řešič, potřebujeme hodnotu toku Au v bodě =. Zanedbáváme skutečnost, že na rozdíl od homogenního případu tok není spojitý na přímce = a použijeme střední hodnotu ( lim Au(,t) + lim Au(,t) + 5 ) = A + u L + A u R + BsgnA.

Všimněme si, že výsledek je ekvivalentní numerickému toku Vijayasundaramova typu pro SWE s z = konst (4.) s přídavnou korekcí BsgnA. Zobecnili jsme výraz na plný systému pomocí diagonálního rozkladu A. Položíme Bδ = gh(n z) gh(z j z i )δ a tím odvodíme numerický tok pro konvektivní část nehomogenní rovnice mělké vody g conv (Qw k i, Qw k j,z i,z j ) = A + (w )w k i + A (w )w k j gh (z j z i )(sgna (w ))e gh e. (4.) Funkce h a z jsou vhodné aproimace hodnot h a z na hranici Γ ij. Matice sgna je definována analogicky jako matice A ± sgna = Tdiag {sgnλ,sgn,sgnλ N+ } T. A platí w = wk i + w k j, h = hk i + h k j, h k j, µ <, h (w k i,w k ( ) j) = +µ h k ( ) i + µ h k, j < µ <, h k i, µ >, kde µ = v, gh, v, = v,i+v,j. Diskrétní stacionární řešení (4.5) je zachováno. 4.4 Metoda konečných objemů vyššího řádu pro D úlohu Metoda konečných objemů s numerickým tokem Vijayasundaramova typu pro SWE je pouze prvního řádu přesnosti v prostorové proměnné. K výpočtu jsme používali po částech konstantní aproimaci hodnot. V této kapitole využijeme lineární rekonstrukci ke zvýšení přesnosti řešení na druhý řád. Detailní popis lineární rekonstrukce je v následující sekci 5.. Aplikujeme lineární rekonstrukci na následující schéma metody konečných objemů pro úlohu v D w k+ i = w k i τ k D i j S(i) ( H(w k i,w k j,n ij ) + gh k i Z(z i,z j,n ij ) ), D i D h, t k [,T). U metody konečných objemů počítáme řešení ve středech konečných objemů. Algoritmus lineární rekonstrukce:. Provedeme pouze jednou lineární rekonstrukci na počáteční hodnoty úlohy w k i, dostaneme ŵ k i. 6

Obrázek 4.: Lineární rekonstrukce.. Spočteme si hodnoty v krajních bodech daného objemu D i a označíme je w L i a w R i.. Aplikujeme limiter popsaný v sekci 5... U metody konečných objemů s lineární rekonstrukcí nebudeme uvažovat hodnoty ve středech ale v krajích bodech w L i a w R i daného objemu, tzn. numerický tok počítáme z těchto hodnot pomocí numerického toku Vijayasundaramova typu w k+ i = w k i τ k ( H(w R D i i,w L i+,n ij ) + H(w L i,w R i,n ij ) + gh k i Z(z i,z j,n ij ) ), D i D h, t k [,T). 7

5. Metoda vyšší přesnosti Schéma (4.9) je formálně prvního řádu přesnosti. To způsobuje, že nespojitosti v řešení jsou často rozmazané a některé detaily nejsou zachyceny dostatečně přesně. Aby se zabránilo tomuto nedostatku, mohou být použité dvě techniky:. adaptivní zjemnění v blízkosti nespojitostí,. využití tzv. vyššího řádu přesnosti metody konečných objemů. Zde se budeme zabývat konstrukcí vyššího řádu přesnosti metody konečných objemů pro N=. Tento přístup je dnes široce používán jako konkurenční metoda k Nespojité Galerkinově metodě konečných prvků. Je založena na (p )-stupňové polynomiální rekonstrukci w k i, w k j P p po částech konstantních řešení konečných objemů, které splňují. D i D i ŵ k i ()d = w k i,. w(,t k ) = ŵ k i () + O(h p ), jestliže w C p (Ω). Di 5. Lineární rekonstrukce Metoda druhého řádu přesnosti. Provedeme lineární rekonstrukci v D pro p=. Máme konstantní aproimace w k i a chceme najít lineární aproimaci ŵ k i. Lineární funkci lze zapsat následovně ŵ k i = a( i ) + b, kde i je těžiště objemu v D i (v D se jedná o střed intervalu D i ) pro i J. Hledáme vyjádření a a b. Za dosadíme hodnotu i a dostaneme ŵ k i ( i ) = a( i i ) + b = b. Dále víme, že v lineárním případě je integrální střední hodnota funkce rovna hodnotě funkce v těžišti, tzn.: pro p P (Ω) p()d = p( i ). D i D i { } Hledáme ŵ k i Pi k (Ω) = p P (Ω); D i D i p()d = w k i. Integrální střední hodnota ŵ k i je rovna hodnotě v těžišti, odtud vyjádříme A dostáváme, že w k i = ŵ k i ( i ). (5.) b = w k i. (5.) Pokud jsme v D a D i není krajní interval platí, že D i, D i+ jsou sousedy objemu D i, pak i a i+ rozumíme jejich středy. Hodnotu a určíme jako ve [4] tak, aby přímka a( i )+w k i procházela body ( i,w k i ) a ( i+,w k i+). Toho 8

nemůžeme obecně docílit, proto budeme počítat ve smyslu nejmenších čtverců tzn.: ( ŵ k i = arg min w k p Pi k(ω) j ) p()d, D j D j j L(i) kde L(i) je indeová množina objemů obklopujících D i, tj. {i, i + }. Obrázek 5.: Lineární rekonstrukce. ( Označme F(a) := w k i [ ] ) a( i i ) + w k ( i + w k i+ [ ] ) a( i+ i ) + w k i. Hledáme minimum funkce F, nejprve spočteme jeho derivaci. Položením derivace rovné nule dostaneme minimum. df ( da = w k i [ ] ) a( i i ) + w k i ( )( i i ) ( + w k i+ [ ] ) a( i+ i ) + w k i ( )( i+ i ) =. Jelikož víme, že i < i < i máme a [ ( i i ) + ( i+ i ) ] = (w k i w k i )( i i ) + (w k i+ w k i )( i+ i ), a = (wk i w k i )( i i ) + (w k i+ w k i )( i+ i ). [( i i ) + ( i+ i ) ] Zjistili jsme, že rovnice má následující tvar ŵ k i = (wk i w k i )( i i ) + (w k i+ w k i )( i+ i ) ( [( i i ) + ( i+ i ) i ) + w k i. (5.) ] Kvůli numerické aplikaci je vhodné vyjádřit rekonstrukci ŵ k i = a( i ) + b ve tvaru ŵ k i = w k jφ i,j, j {i} L(i) kde Φ ij jsou polynomy stupně splňující { } Φ i,j P ij := p P (Ω); p()d = δ ij, D i D i 9

Φ i,j = arg min Hledáme je tedy ve tvaru: p P ij (Ω) l L(i) ( δ jl ) p()d. D l D l Φ i,i =a i ( i ) + b i, Φ i,i =a i ( i ) + b i, Φ i,i+ =a i+ ( i ) + b i+. Nyní musíme spočítat a i,a i, a i+ a b i,b i, b i+. Chceme rovnice (5.) vyjádřit ve tvaru ) ) ) ŵ k i = w k i (a i ( i )+b i +w k i (a i ( i )+b i +w k i+ (a i+ ( i )+b i+ (5.4) Roznásobením (5.) dostáváme, že ( ŵ k i = w k ( i i ) i [( i i ) + ( i+ i ) ] ( i i ) wk i [( i i ) + ( i+ i ) ] ) + w k ( i+ i ) i+ [( i i ) + ( i+ i ) ] ( i+ i ) wk i ( [( i i ) + ( i+ i ) i ) ] + w k i, ( ) ŵ k i = w k ( i i ) i [( i i ) + ( i+ i ) ] ( i) ( ) + w k (i i ) + ( i i+ ) i [( i i ) + ( i+ i ) ] ( i) + ( ) + w k ( i+ i ) i+ [( i i ) + ( i+ i ) ] ( i). Porovnáním tohoto s výrazem (5.4) dostáváme a i = ( i i ) [( i i ) + ( i+ i ) ], b i =, a i = ( i i ) + ( i i+ ) [( i i ) + ( i+ i ) ], b i =, a i+ = ( i+ i ) [( i i ) + ( i+ i ) ], b i+ =. Jelikož hodnoty a i,a i, a i+, b i,b i, b i+ nezávisí na w k i ani na w k i ani na w k i+. Získali jsme požadovaný tvar. 5. Kvadratická rekonstrukce Provedeme kvadratickou rekonstrukci v D pro p =. Hledáme ŵ k i ve tvaru ŵ k i = a( i ) + b( i ) + c (5.5) tak, aby platilo w(,t k )d = ŵ k i. D i D i

A zároveň aby ŵ k i d = w k j D j, D j pro j {i,i,i + }, (5.6) kde D i je úsečka a má sousedy D i a D i+. Obrázek 5.: Kvadratická rekonstrukce. Rozepsání levé strany rovnice (5.6) dostaneme j+ LS = ŵ k ( i d = a( i ) + b( i ) + c ) d D j j [ a( i ) = + b( ] i) j+ + c j ( a(j+ i ) = + b( ) j+ i ) + c j+ ( a(j i ) + b( ) j i ) + c j =a ( j+ i ) ( j i ) + b ( j+ Rozepsáním pravé strany rovnice (5.6) získáme PS = w k j D j = w k j ( j+ Vydělením celého výrazu hodnotou i ) ( j i ) ( + c j+ ( j+ j j ) ). obdržíme rovnici a ( j+ i ) ( j i ) ( ) + b ( j+ i ) ( j i ) ( ) + c = w k j, j+ j j+ j j pro j {i,i,i + }. Máme soustavu tří rovnic pro tři neznámé. Pro zjednodušení zápisu si zavedeme značení: L j, = ( j+ i ) ( j i ) ( ), j+ j ).

Nejprve z rovnice pro j = i vyjádříme c L j, = ( j+ i ) ( j i ) ( ). j+ j c = w k i al i, bl i,. (5.7) Dosazením do rovnic pro j = i a j = i + dostaneme tj. al j, + bl j, + w k i al i, bl i, = w k j. a(l j, L i, ) + b(l j, L i, ) = w k j w k i. Jelikož víme, že i < i < i+ dostáváme, že L i+, L i, a můžeme vyjádřit b z rovnice pro j = i + b = wk i+ w k i L i+, L i, a L i+, L i, L i+, L i,. (5.8) Dosadíme do rovnice pro j = i a vyjádříme a a(l i, L i, ) + wk i+ w k i L i+, L i, a L i+, L i, L i+, L i, (L i, L i, ) = w k i w k i, ( a (L i, L i, ) L ) i+, L i, (L i, L i, ) = w k i w k i wk i+ w k i, L i+, L i, L i+, L i, a = w k i w k i wk i+ wk i L i+, L ( i, ), (L i, L i, ) L i+, L i, L i+, L i, (L i, L i, ) kde R = a = R w k i + (R )R w k i R R w k i+, (5.9) L i+, L i,, R = (L i, L i, ) L i+, L i, L i+, L i, (L i, L i, ). Dosadíme (5.9) do (5.8) b = wk i+ w k i ( ) ( ) R w k i + (R )R w k i R R w k L i+, L i, i+ L i+, L i, L i+, L i, ( ) ( = R w k i+ w k i R w k i + (R )R w k i R R wi+) k R4. = R R 4 w k i + [(R )R R 4 R ] w k i + (R R R 4 + R )w k i+, (5.) kde R = L i+, L i, a R 4 = L i+, L i, L i+, L i,.

Dosadíme (5.9) a (5.) do (5.8) c =w k i al i, bl i, =w k i ( R w k i + (R )R w k i R R wi+) k Li, ( R R 4 w k i + [(R )R R 4 R ] w k i + (R R R 4 + R )wi+) k Li, = ( R L i, R R 4 L i, ) w k i + { (R )R L i, + [(R )R R 4 R ] L i, }w k i + (R R L i, + (R R R 4 + R )L i, )w k i+ (5.) Ze vzorců (5.9),(5.) a (5.) vypočteme hodnoty a, b a c. Pro snadnější numerické výpočty převede na tvar ŵ k i = w k jφ i,j, j {i} L(i) kde Φ i,j = a j ( i ) + b j ( i ) + c j pro j {i,i,i + }. Dosadíme za a, b, c do vzorce (5.5) ŵ k i = a( i ) + b( i ) + c = ( ) R w k i + (R )R w k i R R w k i+ ( i ) + ( R R 4 w k i + [(R )R R 4 R ]w k i + (R R R 4 + R )wi+) k ( i ) = + ( R L i, R R 4 L i, )w k i + { (R )R L i, + [(R )R R 4 R ] L i, }w k i + (R R L i, + (R R R 4 + R )L i, )w k i+ R }{{} ( i ) + R R 4 ( }{{} i ) R L i, R R 4 L }{{ i, } =a i =b i =c i +[(R )R }{{} ( i ) + [(R )R R 4 R ]( }{{} i ) =a i =b i + (R )R L i, + [(R )R R 4 R ]L }{{ i, ]w k i } =c i +[ R R }{{} ( i ) + (R R R 4 + R )( }{{} i ) =a i+ =b i+ +R R L i, + (R R R 4 + R )L }{{ i, ]w k i+ } =c i+ = Φ i,i w k i + Φ i,i w k i + Φ i,i+ w k i+. 5. Limitní procedura w k i V obou předchozích procedurách popsaných v sekcích 5. a 5. dostáváme interpolační skoky v aproimaci řešení. Proto zavádíme limitní proceduru, která odstraňuje tyto oscilace. Potom pro zhlazení oscilací v D použijeme Limitery

popsané níže (sekce (5..) a (5..)). Nejprve zavedeme indikátor nespojitosti v D pro N= (lze najít v []). g(i) = (ŵk i ( i+ ) ŵ k i+( i+ )) D i + (ŵ k 5.. První varianta limiteru. i ( i ) ŵ k i ( i )) D i Víme, že ŵ k i má následující tvar ŵ k i = w k i Φ i,i + w k i Φ i,i + w k i+φ i,i+. Rovnice modifikujeme tak, že w k i+ nahradíme hodnotou w k i, je-li g(i + ) >, w k i nahradíme hodnotou w k i, je-li g(i ) >. Lemma 8. Takovou modifikací dostaneme následující aproimaci ŵ k i = ŵ k i + j L(i),g(j)> Důkaz. Důkaz provedeme rozepsáním všech možností. Pokud g(i + ) > a g(i ) > dostáváme (w k i w k j)φ i,j. (5.) ŵ k i =w k i Φ i,i + w k i Φ i,i + w k i Φ i,i+ ± w k i Φ i,i ± w k i+φ i,i+ =ŵ k i + (w k i w k i )Φ i,i + (w k i w k i+)φ i,i+. Pokud g(i + ) > a g(i ) < dostáváme ŵ k i = w k i Φ i,i +w k i Φ i,i +w k i Φ i,i+ ±w k i+φ i,i+ = ŵ k i +(w k i w k i+)φ i,i+. Pokud g(i + ) < a g(i ) > dostáváme ŵ k i = w k i Φ i,i +w k i Φ i,i +w k i+φ i,i+ ±w k i Φ i,i = ŵ k i +(w k i w k i )Φ i,i. Pokud g(i + ) < a g(i ) < dostáváme ŵ k i = ŵ k i. 5.. Druhá varianta limiteru. Numerické eperimenty ukazují, že limiter popsaný v sekci (5..) není dostatečně účinný, aby se zabránilo oscilaci. Proto do limitní procedury (5.) přidáme další výraz na pravou stranu. Cílem je upravit rekonstrukci na každém intervalu v závislosti na hodnotě indikátoru nespojitosti. Limitní procedura (5.) je modifikována tak, že pro j L(i) a g(j) > nahradíme w k j hodnotou w k i, 4

pro j L(i) a g(j) nahradíme w k j hodnotou g(j)w k i + ( g(j))w k j, kde g(j) = min(g(j), ). Lemma 9. Takovou modifikací dostaneme následující aproimaci ŵ k i = ŵ k i + j L(i) Důkaz. Rozepíšeme všechny možnosti g(j)(w k i w k j)φ i,j, g(j) = min(g(j), ). (5.) pro g(i ) >, g(i + ) > dostáváme g(j) = min(g(j), ) = a tedy ŵ k i = ŵ k i + j L(i),g(j)> (w k i w k j)φ i,j. Pro g(i ), g(i + ) dostáváme g(j) = min(g(j), ) = g(j) a tedy ŵ k i = ( g(i )w k i + ( g(i )w k i ) ) Φ i,i + w k i Φ i,i + ( g(i + )w k i + ( g(i + ))w k i+) Φi,i+ = ŵ k i + g(i )(w k i w k i )Φ i,i + g(i + )(w k i w k i+)φ i,i+ Pro případ kdy g(i ), g(i + ) >, a nebo pro g(i ) > a g(i + ) postupujeme analogicky. 5.4 ENO rekonstrukce v D Zkratka ENO znamená essentially non-oscillatory (neoscilující metoda). Jedná se o schéma vyššího řádu přesnosti. ENO schémata se užívá pro řešení hyperbolických rovnic zákonu zachování. Jsou vhodná zejména pro problémy obsahující rázové vlny (např. turbulentní proudění). Hlavní rozdíl mezi ENO metodou a lineární rekonstrukcí je, že při výpočtu w k i nepoužíváme pevnou mřížku bodů, ale sestavuje interpolační formule na základě informace o hladkosti řešení. 5.4. Základní myšlenka Mějme následující dělení intervalu Ω = [a,b] a = < < < n < n+ [ ] Označme D i = i, i+, i = ( i,,...,n a maimální délku intervalu l = ma i n D i. = b. + i+ ), D i = i+ i pro i = Je dána střední hodnota funkce w(,t) w k i = w(ξ,t k )dξ, i =,,...,n. (5.4) D i D i 5

Našim cílem je nalézt polynomiální rekonstrukci (angl. cell averages reconstruction) p k () stupně m splňující p k ()d = w k i, j = i r,,i + m r +, (5.5) D i D i kde k značí časový krok a r určuje přes jaké intervaly se počítá, volba je popsaná níže v sekci 5.4.. Polynomiální funkci p k () konstruujeme následovně. Necht i IN a V k () je primitivní funkce k w tj. pak V k () = V k ( i+ ) = i w(ξ,t k )dξ, (5.6) i j=i w k j D j, kde k značí časový krok. Víme, že eistuje právě jeden interpolační polynom P k () stupně m takový, že P k ( j+ ) = V k ( j+ ) j = i r,,i + s. (5.7) Lemma. Je-li p k () = (P k ) (), pak stupeň m je n a p k () splňuje podmínku (5.5). Důkaz. Důkaz lze najít v []. Navíc užitím z (5.7) a z lemma dostaneme P k () = V k () + O(l m+ ), D i,i =,...,n, p k () = w(,t k ) + O(l m ), D i,i =,...,n. Z výše uvedených úvah víme jak konstruovat p k i () = p k () a dostáváme apro- Di imace m-tého řádu přesnosti funkce w(,t) w k i+ w k+ i = p k i ( i+ ) = p k i ( i ), i =,...,n. 5.4. Výpočet p k Hlavní myšlenka je (jestliže je to možné) vyhnout se zahrnutí bodu nespojitosti do šablony. Proto zavádíme Newtonův interpolační polynomu. Newtonovské rozdíly diferencí: -tý rozdíl diferencí funkce (5.6) je definován takto V k [ i+ ] = V k ( i+ ) = i j=i w k j D j, i IN. (5.8) 6

j-tý stupeň rozdílu diferencí, pro j, je definován induktivně ] [ ] V [ V [ k i+ k,..., i+j V k i i,..., i+j = i+j i,..., i+j ]. (5.9) Pro j = dostáváme, dosazením předchozích výrazů, tento vztah ] V [ k i, i+ = V k ( i+ ) V k ( i ) i j=i = w k j D j i j=i w k j D j i+ = wk i D i i+ i i i+ i = w k i, (5.) Můžeme tedy vypočítat rozdíl diferencí V k () prvního a vyššího stupně pomocí příslušných w k j užitím (5.9) a (5.). Newtonův tvar m-tého stupně interpolačního polynomu P k (), který interpoluje V k () v m + po sobě jdoucích bodech, může být vyjádřen užitím rozdílu diferencí (5.8)-(5.9) P k () = m j= V [ k i r,..., i r+j ] j ( i r+m ), (5.) q= kde r je dáno volbou šablony viz sekce 5.4.. Z předchozího a z lemma dostaneme p k () ve tvaru p k () = m j= V [ k i r,..., i r+j ] j j q= l=,l q ( i r+l ). (5.) Důležitý důsledek rozdílu diferencí: V [ k i,..., i+j ] = (V k ) (j) (ξ), (5.) j! pro nějaké ξ uvnitř intervalu: i < ξ < i+j, tak dlouhém aby funkce V k () byla hladká na tomto intervalu. Jestliže V k () je nespojitá v nějakém bodu uvnitř intervalu, potom lze ověřit, že 5.4. ENO procedura V [ k i,..., i+j ] ( ) = O. (5.4) D j Nyní popíšeme myšlenku ENO procedury užitím (5.). Chceme najít interval m + po sobě jdoucích bodů (zahrnujících i a i+ ) takových, že V k () je nejhladší v tomto intervalu ve srovnáním s dalšími možnými intervaly. Budeme postupovat jako v [] tak, že si práci rozdělíme do kroků a v každém kroku potom přidáme jenom jeden bod intervalu. Začneme s množinou obsahující dva body { S (i) = i 7, i+ }. (5.5)