Cotet Úvodí opováí Moci logritmus Goiometricé fuce Zobrzeí jeho záldí vlstosti O možiě R 4 O možiě ompleích čísel 5 Oolí bodu (v R v C 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti 6 Limit poslouposti 6 Aritmeti it 6 Věty o erovostech 6 Eulerovo číslo e 6 Limes superior iferior reálé poslouposti 64 Stolzův Cuchyův vzorec 65 Bolzov-Cuchyov podmí pro overgeci číselých posloupostí 7 Defiice obecé mociy 8 Reálé fuce reálé proměé 8 Limit fuce 8 Výpočet ity fuce 8 Bolzov-Cuchyov podmí pro eisteci oečé ity fuce 8 Spojitost fuce 8 Věty o spojitosti 8 Derivce fuce 8 Výpočet derivce 8 Loálí etrémy 8 Věty o přírůstu fuce 84 Mootoie fuce 85 Derivce vyšších řádů 86 Postčující podmíy pro loálí etrém 87 Drbouov vět 88 Tečy 89 Koveost oávost 89 Ifleí body 8 Asymptoty 84 Vyšetřováí fucí 9 Goiometricé fuce Stejoměrá spojitost Úvodí opováí Moci logritmus Defiice ( -tá moci Pro ždé ldeme R N > dále pro ždé defiujeme iducí
Dále pro všech R {} ldeme pro N Později budeme dozovt ásledující větu: Vět (O eisteci -té odmociy Buď R N Pro sudé eistuje jedié b tové že b Pro liché eistuje jedié b R tové že b Defiice ( -tá odmoci Číslo b z předchozího tvrzeí se zývá -tá odmoci čísl Zčíme ho Defiice (Rcioálí moci Buď p Q R Nechť p de m liché ldeme m Z N čísl m jsou esoudělá P: je-li p sudé (ebo je-li m Tto defiová rcioálí moci má ásledující vlstosti: Vět (Vlstosti rcioálí mociy Pro ždé b > ždé r s Q pltí b r+s r r s rs s (b r ( r s rs r b r b ( r b r r b 4 < pro r < s > b > pro r < s 5 < b pro < b r > b > b pro r < Důz Důz je jedoduchým důsledem defiice r r s r r s < < r r Později se dozvíme že pro ždé > ždé α R eistuje právě jedo reálé číslo (ozčíme ho zveme obecá moci tové že je-li α Q odpovídá defiici rcioálí mociy má všechy vlstosti -5 z předchozího odstvce α Epoeciál V ZS se dozvíme že mezi epoeciálími fucemi f ( číslo ostt e je ircioálí pltí < e < má výzčé postveí ep fuce se záldem e (Eulerovo 7 6 5 4
Epoeciálí fuce ( Je-li záld epoeciálí fuce větší ež je ep fuce ostře rostoucí Je-li je fuce ostře lesjící Pouze pro je osttí Fuce de je prostá celém Proto můžeme sestrojit fuci iverzí > R e Defiice (Logritmus Buď > Fuce iverzí f( se jmeuje logritmus při záldu zčíme log Je-li ide vyecháváme Je-li místo píšeme logritmu říáme přirozeý logritmus e log l > > y R Je tedy pro všech log y y log ( Je-li záld logritmu větší ež je logritmus ostře rostoucí Je-li záld je logritmus ostře lesjící Z prvidel pro počítáí s obecou mociou plyou prvidl pro počítáí s logritmy Vět (Vlstosti logritmu Pro všech > b > b pro všech y > c R pltí log (y log + log y log log y y log log c c log log 4 log b log b 5 Pro ( pltí log < log y > y 6 Pro pltí > log < log y < y 4 Goiometricé fuce Přirozeý logritmus l
si z ( cos Středošolsé zvedeí goiometricých fucí je obvyle usutečěo pomocí jedotové ružice terou je vyese orietový oblou o délce α R (viz obráze Oblou zčíá v bodě ( očí v bodě z ( y Hodotu fuce osius v bodě α p defiujeme jo hodotu hodotu fuce sius v bodě α jo y Toto zvedeí eí oretí proto že je v ěm užito předtím edefiových pojmů (především pojmu oblou dél oblouu Z obrázu pomocí Pythgorovy věty dosteme omžitě pro všech α vzth si cos Rověž z ěj plye že fuce jsou periodicé (délu oblouu terý obrouží ružici právě jedou defiujeme jo hodotu π pltí vzthy si Je té zřejmé že fuce je lichá sudá tže pltí Složitější je už z obrázu odvodit tzv součtové vzorce: pro všech α β pltí Z obrázu je zřejmé že řešeí rovice jsou všech čísl Řešeí rovice jsou všech π π čísl β { + π Z} Proto lze možiách R { + π Z} resp R {π Z} pomocí fucí si cos defiovt fuce tges resp otges: Doszeím do vzorců resp dosteme vzorce pro dvojásobý úhel: Npišme pod sebe vzthy : cos β α ( ( ( (5 Sečtěme-li odečteme-li tyto dvě rovosti dosteme vzthy si α + cos α ( si(α + π si α cos(α + π cos α si(α si α cos(α cos α si(α + β si α cos β + cos α si β cos(α + β cos α cos β si α si β si α α {π Z} cos β si α cos α tg α cotg α cos α si α ( ( si α si α cos α (4 cos α cos α si α (5 cos α + si α cos α si α cos α cos + cos α α si cos α α
Substituujeme-li do těchto vzthů místo α výrz dosteme α Protože obě prvé stry jsou ezáporé odmocěím obdržíme vzthy pro polovičí úhel: ( ( β β Ze součtových vzorců doszeím z dosteme dvojici vzthů ( (9 Vyásobíme-li vzthy dosteme cos α si α + cos α cos α α cos + cos α α si cos α si(α β si α cos β cos α si β cos(α β cos α cos β + si α si β si(α + β cos(α β (si α cos β + cos α si β(cos α cos β + si α si β si α cos α + si βcos β si α + si β (6 (7 (8 (9 α Odtud p plye záměou z α β z β vzorec pro součet dvou siů: Podobým způsobem odvodíme dlší tři podobé vzthy: α + β si α + si β si cos α + β Ze vzthu zísáme sdo vyjádřeí fucí pomocí op: pltí Poděleím rozšířeím cos zísáme pro splňující podmíu α cos β součtový vzorec pro fuci tges: α β α β si α si β cos si α + β α β cos α + cos β cos cos α + β α β cos α cos β si si ( si cos si α cos α cos α si α ( ( α β {α β α + β} R { + π Z} si(α + β si α cos β + cos α si β tg α + tg β tg(α + β cos(α + β cos α cos β si α si β tg α tg β α β {α β} R {π Z} cotg α cotg β cotg(α + β cotg α + cotg β Podobě zísáme pro splňující podmíu součtový vzorec pro otges: ( si α cos si tg cos tg tg α + resp cos α cos α tg α + tg α + resp si α tg α si α tg α + Ze vzthu zísáme poděleím resp α důležité vzthy mezi fucemi resp mezi : pltí π
(7 (6 Koečě podělíme-li rovosti dosteme odud lze vyjádřit osius pomocí fuce tg α terý je důležitý v itegrálím počtu: Podobý vzorec pro sius lze dostt pomocí vzorce poděleím : Pozám (Hodoty siu osiu Hodoty siu osiu v důležitých bodech jsou uvedey v ásledující tbulce si cos tg cotg Grfy fucí vypdjí ásledově tg α cos α + cos α tg cos α α + tg α (4 cos α α α α α si cos si α si cos tg α si α + cos α tg α + π 6 4 si cos tg cotg π π π π π π Grf fuce si Grf fuce cos
Grf fuce tg Grf fuce cotg Zobrzeí jeho záldí vlstosti Záldím pojmem v mtemtice je pojem zobrzeí (eboli fuce Defiice (Zobrzeí Nechť f A B Řeeme že f je zobrzeí (fuce je-li splě podmí ( y z((( y f ( z f (y z Pozám Čsto vylučujeme degeerový přípd Úmluv Místo píšeme čsto Příld Nechť ( y f prázdé možiě obvyle zobrzeí eříáme P je zobrzeí le zobrzeí eí (jedičce přiřzuje dv růzé prvy Defiice (Defiičí obor Nechť f je zobrzeí Možiu zýváme defiičí obor zobrzeí Zčíme ebo Defiice (Obor hodot y f( f {} f {( ( 5 (4 } f {( 5 ( 7 ( 4} f f 4 5 f D f D(f { ( y(y f(}
Nechť f je zobrzeí Možiu f H f H(f zýváme obor hodot zobrzeí Zčíme ebo {y ( (y f(} Příld Nechť f {( ( 5 (4 } P defiičí obor je tříprvová moži D f { 4} (jsou to prví složy uspořádých dvojic ptřících do Obor hodot je (druhé složy dvojic ptřících do f f { 5} H f Defiice (Zápis defiičího oboru Ft že A B zčíme D f H f f : A B Příld Nechť opět f {( ( 5 (4 } P jsou prvdivé výroy f : { 4} { 5} f : { 4} { 4 5 6} f : { 4} R le zápis f : R R je eprvdivý výro eboť defiičí obor f eí celá moži reálých čísel Defiice (Zúžeí defiičího oboru Nechť je zobrzeí Zobrzeí zúžeé možiu zčíme defiujeme vzthy f M f/ M M ( (f ( f( D f/ M D f D f/ M / M Příld Nechť f {( ( 5 (5 8} M { } P f / M {( ( 5} Je dobré si povšimout že emusí být M D f Defiice (Kosttí zobrzeí Nechť f je zobrzeí pro teré pltí ( y D f (f( f(y P f zýváme osttí Defiice (Obrz vzor možiy Nechť f je zobrzeí Obrzem možiy M při zobrzeí f zýváme možiu Vzorem možiy M při zobrzeí f zýváme možiu f(m {y ( M(y f(} f (M { ( y M(y f(} Příld Nechť f {( 5 ( 6 ( 6} Buď M { } M {6} P f( M {5} f ( M { } Defiice (Složeé zobrzeí Nechť f : A B g : C D Složeým zobrzeím f g zveme zobrzeí defiové vzthy D f g g (A ( D f g((f g( f(g( Příld Nechť f {( ( 4 ( 4 (4 5} g {( ( 4 (4 8} P f g {( 4 ( 5} jeho defiičí obor je tedy D f g { }
Pozám Sládáí zobrzeí je socitiví pltí (f g h f (g h f g h proto v zápisu emusíme psát závory Sládáí vš eí omuttiví obecě se f g emusí rovt g f Defiice (Ijetiví zobrzeí Zobrzeí f se zývá ijetiví (prosté právě tehdy dyž pltí ( y Příld Buď f {( ( 5 ( } P f je prosté (libovolým dvěm růzým prvům defiičího oboru přiřzuje růzé hodoty Defiice (Surjetiví zobrzeí Zobrzeí f se zývá M-surjetiví ( M právě tehdy dyž pltí Příld Buď P je eí prosté f {( ( 5 ( 5} f { 5} f Defiice (Bijetiví zobrzeí Zobrzeí f se zývá M-bijetiví ( M jedojedozčé právě tehdy dyž je součsě ijetiví M-surjetiví Defiice (Ideticé zobrzeí Zobrzeí f se zývá ideticé (idetit právě tehdy dyž ( y f( f(y D f ( y H f M D f (f( Defiice (Iverzí zobrzeí Buď f prosté zobrzeí Zobrzeí se zývá iverzí zobrzeí zobrzeí f f {(y ( y f} Příld Buď P f f {( ( 8 (4 } {( 4 ( (8 } Pozám Je-li f prosté p pltí D f H f H f D f Pozám (Pojem grf zobrzeí Pojem grf používáme tehdy poud uspořádé dvojice zobrzeí zreslujeme do souřdic ( vodorovou osu prvy defiičího oboru svislou osu prvy oboru hodot Příld Buď P grf f vypdá tto (plou tečou vyjdřujeme že bod do grfu ptří f {( ( ( }
f( Příld (Grf fuce 4 O možiě R Fuce Záldí vlstosti reálých čísel Moži reálých čísel R f( má ásledující důležité vlstosti (říáme té že je tzv uspořádým tělesem: R Vět (Vlstosti možiy Pro všech y z R pltí + y y + y y (omuttiví záo + (y + z ( + y + z (yz (yz (socitiví záo (y + z y + z (distributiví záo dále pltí 4 ( R( R( + (eistece uly 5 ( R( R ( + ( (eistece opčého prvu 6 ( R( ( R( (eistece jedičy 7 ( R ( (eistece iverzího prvu 8 ( y R( y y
( y R( y ( z R( + z y + z 9 ( y z R(( y z z yz (vlstosti uspořádáí R je tzv úplá (viz dále Z těchto vlstostí jdou odvodit všechy dlší vlstosti reálých čísel (Proto se jim té ědy říá záldí iomy reálých čísel Omezeost Defiice (Omezeost shor horí závor Podmožiu zýváme omezeá shor poud Kždé číslo H vyhovující uvedeé podmíce zýváme horí závor možiy A Defiice (Omezeost zdol dolí závor Podmožiu zýváme omezeá zdol poud Kždé číslo D vyhovující uvedeé podmíce zýváme dolí závor možiy A Příld Moži přirozeých čísel je omezeá zdol eí omezeá shor Čísl jsou příldy dolích závor Defiice (Omezeá podmoži Podmoži se zývá omezeá poud je omezeá součsě shor i zdol Pozám Podmoži je omezeá právě tehdy dyž Mimum miimum Defiice (Mimum Nechť Číslo zýváme mimem možiy poud Zčíme Defiice (Miimum Nechť Číslo zýváme miimem možiy poud Zčíme A R A R A R A R Pozám Mimum miimum emusí pro dou eistovt Buď příld p le mimum eeistuje Rozšířeí možiy reálých čísel ( H R( A( H ( D R( A( D N 7 N A R A A m A A R A A mi A R ( K > ( A( K ( A( ( A( A R A mi A A Defiice (Rozšířeá moži reálých čísel Možiu R rozšíříme o dv ové prvy teré ozčíme + (zýváme je plus eoečo míus eoečo Ozčíme toto rozšířeí R R {+ }
+ + R R Prvy ejsou reálá čísl pltí tedy Uspořádáí rozšíříme pro všech vzthem R R Lze zvést i ěteré ritmeticé operce Pozám Zméo resp je pevou součástí zčy ejedá se o uárí plus či míus; tz psát místo je chyb Supremum ifimum podmoži R R Pltí totiž ásledující věty: < < + Ne ždá podmoži má miimum či mimum Tyto dv pojmy lze vš zobecit ždou podmožiu díy úplosti Vět (Vět o supremu ifimu Nechť A R P eistuje právě jedo číslo β R t že pltí ( A( β ( β R β < β( A( > β Nechť A R P eistuje právě jedo číslo α R t že pltí ( A( α α α α R + + ( R > α( A( < Defiice (Supremum ifimum Číslo z předchozí věty zýváme supremem možiy zčíme ; číslo ifimem možiy zčíme Pozám Má-li moži mimum p Podobě má-li miimum je R β A sup A α A if A A R sup A m A if A mi A R Příld Je Příld Užme že je sup 5 5 sup 5 5 sup( 5 5 if 8 if( 8 sup{ } if{ } sup{} if{} + if N supn + if R supr + sup{ N} +
Je třeb ověřit že číslo β splňuje podmíu z věty o supremu Prví podmí ( N( + pltí eboť erovost v í lze přepst tvr + + posledí erovost je zřejmě prvdivá Druhá podmí ( β > β < ( N( + lze evivletě zformulovt tto (hrdíme β výrzem ε de ε > : ( ε > ( N( > ε + Zvolme tedy libovolé ε > hledejme ěmu evivletě přepst tto: N t by pltilo + > ε > ε + Nerovost terou chceme split lze < ε + < ε Z posledí erovosti je zřejmé že budeme-li volit dému ε z příld číslo [ ] + ε p je erovost splě Druhá podmí tedy pltí Hustot rcioálích čísel Z úplosti R plyou dlší důležité vlstosti R Vět (Neomezeost N shor Moži N eí shor omezeá Důz Sporem Poud by eistovl horí závor H možiy N p s sup N N t že s < s Odtud s < + + je le přirozeé číslo spor H Z druhé vlstosti suprem eistuje Vět (O hustotě rc čísel Mezi ždými dvěm růzými reálými čísly leží ějé rcioálí číslo Důz Nechť b R < b Chceme uázt že eistuje rcioálí číslo < < b dlší přípdy p z tohoto sdo plyou Protože N je eomezeá shor eistuje jistě q N t že q > eboli mimálí tové přirozeé číslo že ještě b (b < p+ q q p q p q < b p q b q t že < b < p q < b Důz stčí provést pro přípd Odtud plye že q < b (Tové p jistě eistuje je větší ež meší ež qb P Součsě tedy pltí p < b q p < q Nechť p je p+ q b tedy což jsme chtěli doázt -tá odmoci Vět (O eisteci -té odmociy Buď R N Pro sudé eistuje jedié b tové že b Pro liché eistuje jedié b R tové že b Důz Je-li je utě b Předpoládejme že > (pro Jedozčost: předpoládejme že eistují dvě tová b b že b < je důz obdobý P le b (
b b (b b b b odud plye že b b (eboť posledí sum je ldé číslo spor Eistece: uvžujme ejprve že > Ozčme S {s s } Tto moži je eprázdá (obshuje má horí závoru (eboť > to zmeá že b sup S Uážeme že b Kdyby b < p z biomicé věty pro libovolé N dosteme (b + de r ( j b j j ( b j j j b j + ( j b j j j b r + Z zvolme t velé přirozeé číslo by b r + < To le zmeá že b + Kdyby b > S spor s prví vlstostí suprem podobě uážeme že (b Přípd je jedoduchý Pro přípd P b < > pro vhodě velé spor s druhou vlstostí suprem Proto b ~ využijeme předchozí postup číslo > lezeme c t že c c Pomocí předchozí věty defiujeme -tou odmociu 4 O možiě ompleích čísel Moži ompleích čísel C je moži uspořádých dvojic R teré je defiováo sčítáí ásobeí Im z z rg z Re z Kždé ompleí číslo z lze zpst ve tvru z + yi de y R i je ompleí jedot Pltí i Číslo zýváme reálou částí z y imgiárí částí z ; zčíme Re z y Im z (Reálá čísl povžujeme z speciálí přípd ompleích s ulovou imgiárí částí tj R C Číslo z yi zýváme ompleě sdružeé z Pro libovolá z w C pltí z + w z + w z w zw z z Číslo + y zýváme veliostí (eboli bsolutí hodotou ompleího čísl z Pltí pro i trojúhelíová erovost tj pro ždá dvě z w C je + yi de y R Zčíme ho z z + w z + w Kždé ompleí číslo z lze vyjádřit v tzv goiometricém tvru: z z (cos α + i si α de α rg z je úhel ompleího čísl z zvý též rgumet Moivrov vět: z Důležitou idetitou pltící pro ždé ompleí číslo z je z (cos α + i si α
C R > z z (cos α + isi α Buď Geometricý výzm bsolutí hodoty jožto vzdáleosti dvou bodů je příčiou pojmeováí možiy {z C z < R} ázvem otevřeý ruh resp možiy {z C z R} ázvem uzvřeý ruh se středem v bodě poloměrem R Čárováím vyzčujeme že body e ruhu eptří R Omezeé podmožiy ompleích čísel Defiice (Omezeost podmožiy Řeeme že moži je omezeá právě tehdy dyž A C Vlstě to zmeá že se A schová do uzvřeého ruhu se středem v počátu poloměrem K Rozšířeí možiy ompleích čísel C Podobě jo možiu reálých čísel rozšíříme o jede prve ozčeý (zývý eoečo Defiice (Rozšířeá moži ompleích čísel Rozšířeou možiu zčíme Pozám N rozdíl od ± R zde žádé zméo eí součástí zčy Jedá se tedy o tři růzá eoeč mezi imiž je potřeb rozlišovt: je tedy ± 5 Oolí bodu (v v R C C C { } R C R C C ( K > ( z A( z K Defiice (Oolí bodu v resp v Buď R ε > Itervl ( ε + ε zýváme ε-oolí bodu Zčíme H (ε Buď ε > Itervl ( + zýváme ε -oolím bodu + zčíme H Itervl zýváme -oolím ε + (ε ( ε ε bodu zčíme H (ε Možiu H + (ε { H (ε > } resp H (ε { H (ε < } zýváme prvé resp levé ε-oolí bodu Prvému levému oolí se říá též jedostré oolí Buď C ε > Otevřeý ruh {z C z < ε} zýváme ε-oolím bodu zčíme H (ε Možiu {z C z > } zýváme -oolím bodu zčíme H ε ε (ε Pozám Poud ezáleží tom j je oolí velé užíváme běžě je zču H bez prmetru ε Poud píšeme zču H (ε je třeb dát pozor eboť zč je stejá u ompleího i u reálého oolí čoliv jde o jiou možiu (reálé oolí je je
otevřeý itervl reálé ose ompleí zhruje proti tomu celý otevřeý ruh v ompleí roviě; většiou je zřejmé z otetu jý typ oolí má dotyčý mysli V litertuře se používjí všechy možé zčy pro oolí př pod 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti Defiice (Posloupost Kždé zobrzeí jehož defiičím oborem je N zýváme posloupost Posloupost f pro terou pltí f( f( f( td zčíme ( ebo ( + ebo je ( Je-li obor hodot poslouposti podmožiou C p mluvíme o číselé ebo ompleí poslouposti Jsou-li v oboru hodot pouze reálá čísl mluvíme o reálé poslouposti Pozám K zčeí poslouposti eužíváme složeé závory { 4 6 8 } je moži sudých čísel e posloupost Kultými závormi vyjdřujeme podsttý ft že záleží pořdí čleů poslouposti Pozám Protože je posloupost zobrzeí váží se í smozřejmě všechy defiice uvedeé v pitole Zobrzeí tže je jsé co zmeá výro posloupost je osttí prostá Npř posloupost ( + ( je osttí Posloupost přirozeých čísel ( + ( 4 5 6 je prostá Omezeost mootoie Defiice (Omezeost u ompleích posloupostí Číselou posloupost ( + zýváme omezeá poud je její obor hodot moži omezeá Defiice (Omezeost mootoie u reálých posloupostí Reálou posloupost ( + zýváme omezeá shor poud je její obor hodot moži omezeá shor omezeá zdol poud je její obor hodot moži omezeá zdol rostoucí poud ( N( + lesjící poud ( N( + ostře rostoucí poud ( N( < + ostře lesjící poud ( N( > + mootóí poud je lesjící ebo rostoucí ryze mootóí poud je ostře lesjící ebo ostře rostoucí Vybrá posloupost U (ε U( ε ( Defiice (Vybrá posloupost Posloupost ( b zveme vybrou posloupostí z ( (ebo té podposloupostí poslouposti ( jestliže eistuje ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel t že ( ( N( U ε B ε ( B( ε b Příld Kosttí posloupost jediče ( je vybrá posloupost z poslouposti (( ( z pomoci ( ( 4 6 8 6 Limit poslouposti Defiice (Limit poslouposti ( R ( R Buď reálá posloupost Říáme že má itu v poud ( ε > ( R( N > ( H (ε (
H (ε H (ε R ( C C ( H ( de pod zem uvžujeme reálé oolí bodu tj Kompleí posloupost má itu v poud pltí podmí pouze s tím rozdílem že uvžujeme ompleí oolí (ε Sutečost že posloupost má itu zpisujeme tto: ( Čsto se používá též trdičí zápis + Pozám Slovy se dá ft vyjádřit příld tto: v ždém oolí bodu leží všechy čley poslouposti ž + H oečý počet výjime Pozám Vidíme že defiice ity poslouposti v v jsou formálě úplě stejé liší se pouze tím v teré možiě se pohybujeme (v teré uvžujeme ití body dotyčá oolí Při počítáí it reálých posloupostí musíme dávt pozor zd je v zdáí psáo počítejte v ebo počítejte v Výslede tom může totiž záviset: v je př R R ( le v t smá it eeistuje + R Vět (O jedozčosti ity Číselá posloupost může mít ejvýš jedu itu Důz Sporem Nechť posloupost má z itu dvě růzá čísl b P pltí ( C C C ( + ( > ( R( N > ( ( ε H ε ( > ( R( N > ( ( ε H b ε b ε > ε > H ( ε ( Protože eistují t že oolí H b ε jsou disjutí Z předchozích dvou předpoldů jdeme těmto ε ε příslušá P pro všech přirozeá splňující podmíu > m{ } bude H ( ε H b ( ε což je spor eboť průi těchto dvou oolí je prázdá moži Pozám Všiměme si že teprve toto tvrzeí oprvňuje še zčeí Kdyby posloupost mohl mít dvě ebo více hodot it evěděli bychom terou z ich symbolem vlstě mííme + Příld Uážeme že +
4 6 8 Grf poslouposti ( + Je třeb doázt že ( ε > ( R( N > ( Pro ždé ε > H (ε tedy potřebujeme jít t by pltil uvedeá vlstost ( N > ( Přepišme podmíu H (ε Příld Kosttí posloupost (c + H (ε evivletě do vhodějšího tvru: pltí Je tedy zřejmé že pro dé ε > H (ε (ε ε stčí volit příld (c c c ε < ε < ε > ε Tím je důz hotov má z itu číslo c Je totiž zřejmé že dému ε lze volit joliv Limit vybré poslouposti Abychom emuseli dozovt hodoty it z defiice což v moh přípdech může být velmi obtížé sezámíme se s ěterými větmi teré výpočet it usdňují Vět (O itě vybré poslouposti Nechť posloupost ( má z itu číslo P i ždá z í vybrá m z itu číslo Důz Předpoládejme tedy že ( ε > ( R( N > ( H (ε Nechť posloupost ( je vybrá z ( Máme uázt že ~ ~ ~ ( ε > ( R( N > ( Protože ( ( ~ H ( ε je ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel je ( N( Zvolme libovolé volit ~ ~ ε > Hledáme ěmu příslušé ~ Položme ε ~ ε Z předpoldu ( ěmu jdeme Nyí stčí Příld Npříld je zřejmé (doážeme lehce z defiice ity že +
+ + Odtud pomocí předchozí věty dosteme ihed že příld i (! + 5 + + eboť posloupost (! + je vybrá z poslouposti ( Velmi čsto se používá důslede této věty pro důz eeistece ity poslouposti: 5 Důslede (O eeisteci ity Lze-li vybrt z poslouposti ( dvě poslouposti mjící růzé ity p posloupost ( itu emá Příld Posloupost ( m + de π cos P emá itu eboť obshuje poslouposti s růzými itmi Ozčme π + cos + cos π + π( + + m + cos + π cos(π + + ( + Podle věty o itě vybré poslouposti it původí poslouposti eeistuje Čsto lze s úspěchem použít ásledující mírou modifici věty o itě vybré poslouposti: Vět (O itě sorovybré poslouposti Nechť ( má z itu číslo ( je posloupost přirozeých čísel s itou + P posloupost ( sorovybrá z poslouposti ( má té itu Důz Podle předpoldu (zýváme ji ( ε > ( R( N > ( H ( ε ( ( K > ( R( N > ( > K ( Máme uázt že ( ε > ( R( N > ( H (ε Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu příslušé Zvolme ε ε Z předpoldu ( ěmu jdeme příslušé Nyí položme K z předpoldu ( ěmu jděme příslušé Pro doočeí důzu stčí zvolit Příld Npř posloupost ( má z itu číslo Tedy i sorovybrá posloupost ( má z itu číslo + 4 + ( Vidíme že ejde o vybrou posloupost eboť ( + 4 + ( ( 9 4 eí ostře rostoucí Limit omezeost poslouposti Eistece ity má vliv i omezeost poslouposti Pltí: Vět (O souvislosti ity omezeosti poslouposti Má-li posloupost oečou itu je omezeá Má-li reálá posloupost itu + je omezeá zdol eomezeá shor Má-li reálá posloupost itu je omezeá shor eomezeá zdol Důz Užme prví tvrzeí druhá dvě se dozují podobě Nechť posloupost ( má oečou itu tj ( ε > ( R( N > ( < ε Máme uázt že eistuje K > t že pro všech bude pltit K Položme v podmíce (4 ε jděme ěmu příslušé P pro všech < + > dosteme podmíu (4
< + eboť pro všech reálá čísl p q r pltí vzth p q < r p < q + r Ozčíme-li K m{ [ ] + } pltí pro všech přirozeá K což jsme chtěli uázt Co omezeost itu vliv emá je mírá modifice poslouposti: Vět (O modifici/přidáí/ubráí oečě moh čleů poslouposti Přidáím ubráím či modificí oečě (! moh čleů poslouposti se ezměí její omezeost (celová shor zdol i eistece/eeistece její ity i hodot její ity (poud it eistuje Důz Je zřejmé že uvedeé tvrzeí plye z ásledujícího speciálějšího tvrzeí (eboť př modifici oečě moh čleů poslouposti lze dosáhout t že oečě-rát ubereme resp přidáme vhodé čley poslouposti její zčáte: pro ždé p N ždou posloupost ( pltí evivlece ( je (shor zdol omezeá ( +p je (shor zdol omezeá + Evivleci doážeme jo dvě implice : Buď ejprve ( omezeá tedy echť K > +p + je tové číslo že ( N( K Protože {p + p + } N je i ( m {p + p + }( m K což jsme chtěli uázt (Přípd omezeosti pouze shor (zdol by se uázl obdobě Nechť Posloupost ( je posloupostí vybrou z ( proto musí pltit i +p + +p + : Buď yí ( +p omezeá tedy echť K > je tové číslo že ( {p + p + }( K Položme K m{ p } K m{k K } P ( N( K což jsme chtěli uázt Koečě echť +p tedy + ( ε > ( R( N > ( +p H (ε Máme uázt že tedy + ( ε > ( R( N > ( H ( ε Zvolme ε > libovolě Hledáme příslušé V předpoldu položme ε ε P stčí lást + p Příld Předchozí věty využíváme čsto utomticy bez toho že bychom se d jejím použitím příliš pozstvovli: předstvme si že by ám ědo zdl počítt itu +? Správá odpověď teto příld zí Zdáí emá smysl eboť třetí čle poslouposti (pro eí defiová (ulou elze dělit Ovšem předstvíme-li si že je třetí čle poslouposti dodefiová třeb hodotou 7 lze již psát co utor
příldu chce slyšet tj + Situce jo v tomto příldě se mohou čs od čsu objevit Proto učiíme úmluvu že bude-li třeb počítt itu poslouposti jejíž oečě moho čleů eí defiováo předstvíme si vzhledem předchozí větě že jsou dodefiováy joliv Limit mootoie poslouposti V pri při zoumáí ezáme poslouposti čsto eí jsé zd její it vůbec eistuje Dobrou vyucovcí podmíou pro eisteci ity je mootóost dé poslouposti: Vět (O itě mootóí poslouposti Kždá mootóí posloupost má itu Důz Nechť ( je mootóí reálá posloupost Předpoládejme že ( je rostoucí pro přípd lesjící poslouposti bychom postupovli obdobě Rozlišme yí dv přípdy podle toho zd ( je či eí shor omezeá Předpoládejme že ( eí shor omezeá Uážeme že v tomto přípdě utě + (5 + Předpold zmeá že ( K > ( N( > K Protože ( je rostoucí podmí > K pro -tý čle poslouposti ( všechy čley de > Proto pltí zmeá že ttáž erovost bude pltit i pro ( K > ( N( > ( > K To je vš přímo z defiice ity zpsý výro (5 Předpoládejme že ( je shor omezeá Z toho plye že ozčíme-li β pltí β tj sup{ N} p β R Doážeme že + ( ε > ( R( N > ( β < ε Nerovost β < ε (6 je evivletí soustvě erovostí β ε < < β + ε Druhá erovost < β + ε je zřejmá z prví vlstosti suprem pltí totiž ( N( β Prví erovost β ε < doážeme z druhé vlstosti suprem Víme že ( β Zvolme ε > v (6 < β( N( libovolě hledejme příslušé Položme β > β β ε v (7 (7 jděme příslušé P stčí zvolit Příld (Hrmoicá posloupost Pro itu tzv hrmoicé poslouposti ( + pltí + + Tto posloupost je zřejmě ostře rostoucí tedy mootóí Podle předchozí věty proto it eistuje Uvžme vybrou (
posloupost ( Tto posloupost je shor eomezeá eboť pltí zřejmé odhdy + + + + + + 4 + + + + 4 + + + 5 6 7 8 + td obecě + Vybrá posloupost je tedy eomezeá má z itu utě číslo + Proto i + + O itě ompleí poslouposti Dlší vět říá že problém výpočtu ity ompleí poslouposti lze převést zoumáí it její reálé imgiárí části Vět (O itě ompleí poslouposti Kompleí posloupost ( de α + iβ α β R je overgetí právě tehdy poud jsou overgetí reálé poslouposti (α (β Poud je tto podmí splě pltí + Důz : Nechť C α + iβ α + i + + β (8 de α β jsou reálá čísl To zmeá že + ( ε > ( R( N > ( < ε Užme že odtud plye že α α (9 tedy že + ( ε > ( R( N > ( α α < ε To je vš důslede obecé vlstosti ompleích čísel eboť pro ždé z C pltí Re z α α Stčí tedy lást ε ε vhodé jít z předpoldu (9 Alogicy doážeme že pltí i β β tedy že + ( z U ás orétě ( ε > ( R( N > ( β β < ε ( Obě dvě poslouposti (α (β jsou tedy overgetí Součsě je i jsé že pltí vzth (8 : Nechť pltí předpoldy ( ( Protože pro ždé ompleí z pltí z Re z + i Im z je i ( α α + β β Stčí proto volit ε ε ε Re z + Im z ε vhodé m{ } jít z předpoldů ( Příld Npř it iπ e + eeistuje eboť eeistuje it reálé části π cos(
+ π cos( 6 Aritmeti it Ačoliv rozšířeá moži reálých čísel R eí tělesem pro pohodlí se vypltí zvést ěteré ritmeticé operce též pro ± Kldeme pro všech y R + (+ (+ + + pro > (± (± ± pro > pro pro + ( ( + < + (± (± < (± ± + ± y + (y poud je def prvá str y y { + + pro pro < < + < { pro + pro < < + < (+ + pro < + (+ pro < Všiměme si že zůstly edefiováy pro R zejmé ásledující výrzy (j uvidíme hed v dlší větě má to dobrý důvod: Vět o itě součtu rozdílu součiu podílu it Vět (Aritmeti it posloupostí Poud výrzy prvé strě mjí smysl (! pltí vzorce ( + + + b + + b ( + b + + b ( + b + + b 4 + + b + b Důz Užme pltost prvího vzthu Předpoládejme že výrz prvé strě má smysl To zmeá že ity posloupostí ( ( b eistují dále to že prvé strě se eobjevuje edefiový součet př ombice + + ( podobě Nyí je třeb rozlišit ěoli přípdů v závislosti tom zd ity prvo jsou obě oečé ebo jed z ich (ebo obě jsou eoečé Uvžme ejprve přípd dy obě ity vprvo jsou oečé tz R tedy že pltí + b R + b Máme uázt že + ± ± (± ± + ( (± (+ ± ± ( + + b b ( ε > ( R( N > ( < ε ( ( ε > ( R( N > ( b b < ε ( tedy že ( ε > ( R( N > ( ( + ( + b < ε b ε ε Zvolme libovolé ε > Hledejme ěmu příslušé Položme ε ε z předpoldů ( ( jděme příslušá Položme m{ } P pomocí trojúhelíové erovosti dosteme že pro > je ( + ( + b + b + b < + ε b b b ε což jsme chtěli uázt Uvžme yí přípd dy jed z posloupostí vprvo je oečá druhá rov + tj echť R + tedy že + b + ε
Protože podle defiice + (+ ( ε > ( R( N > ( < ε (4 ( α > ( R( N > ( b > α (5 + máme uázt že ( + b + tedy že + ~ ~ ( α > ( R( N > ( + b > α ~ ~ Zvolme α > Hledejme ěmu příslušé V předpoldech (4 (5 položme ε α α + lezěme ~ ~ im příslušá Položme m{ } P pro všech > bude + b > + α + α což jsme chtěli uázt Druhý vzth se dozuje podobě jo prví Ve třetím vzthu opět ejprve předpoládejme že obě ity vprvo eistují jsou oečé tj R + b b R Tz pltí + Máme uázt že ( ε > ( R( N > ( < ε (6 ( ε > ( R( N > ( b b < ε (7 ( b b tedy že + ( ε > ( R( N > ( b b < ε Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu příslušé Protože ( má oečou itu je omezeá proto eistuje K t že pro všech je K Ozčme K m{ b K } V předpoldech (6 (7 volme ε ε jděme příslušá Položme m{ } P pro všech > bude pltit ε K > ε K b b b b + b b b b + b b b b + b K ε + K ε ε což jsme chtěli uázt Tvrzeí pro dlší možosti prvých str (př jed oečá druhá eoečá td se dozují podobě 4 Předpoládejme ejprve opět že pltí (6 (7 de b Chceme uázt že tedy že + ( ε > ( R( N > ( b b b b < ε Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu příslušé Nejprve v předpoldu (7 položme ε jo Pro všech > odtud dosteme že b b V předpoldech (6 (7 volme ε všech b b > ε ε b ( b + b ozčme příslušé b b jděme příslušá Položme m{ } P pro bude pltit b b b b b b b b + b b b ( b + b b b b ε ( b + b ε což jsme chtěli uázt Osttí vrity se dozují podobě Příld T příld ( + Je totiž ejprve podle věty o itě rozdílu ( + + +
z defiice ity dosteme + + + dále podle věty o itě součiu + ( ( ( (+ (+ (+ + + + + proto celem ( (+ + Příld Větu o ritmetice it esmíme používt bezmyšleovitě iž ověříme (podsttý předpold že výrz prvé strě má smysl Toto je šptě: ( (+ (+ + + + + + Toto je správě: ( ( + + + + + + + + + + + + + + + + ( + + + + + + + (+ + (+ + + Toto je šptě: ( + ( + ( + + + + Toto je správě: + ( + ( ( + ( ( + + ( + + de jsme využili eboť + + + Limit z -té odmociy Vět (O itě z -té odmociy Buď N echť pro všech echť P pltí + Důz Je-li je tvrzeí zřejmé Je-li je tvrzeí té jedoduché Předpoládejme že Z předpoldu plye že Chceme uázt že pltí ( + ( + > R Zvolme libovolé Hledáme příslušé Důz je zlože vzoreču pltém pro všech čísl pro ždé : + + ( + + ( ( ε > ( R( N > ( < ε (8 ( > ( R( N > ( < ε ε > y N ε
y j ( y y j j Položíme-li z y dosteme že j j j V sumě ve jmeovteli jsou všechy sčítce ezáporé proto lze zlome odhdout shor t že vyecháme všechy ž prví Dosteme j j j Ve jmeovteli posledího zlomu stojí ldé číslo K Položme P pro všech > je V předpoldu (8 položme ε ε K jděme příslušé ε což jsme chtěli uázt Pozám Tvrzeí věty pro liché odmociy pltí i v přípdě že R Limit z bsolutí hodoty Vět (O itě z bsolutí hodoty Pro ždou posloupost ( ždé číslo pltí + + Poud ebo pltí zde dooce evivlece tj i směr Důz Uvžme ejprve přípd R resp C Nechť + tj ( ε > ( R( N > ( < ε (9 Chceme uázt že ( ε > ( R( N > ( < ε Zvolme ε > libovolě hledejme ěmu Položme v předpoldu (9 ε P pro všech > je ε jděme ěmu Položme < ε což jsme chtěli uázt Poud je + p musejí být od jistého čley poslouposti ldá čísl proto podmí > K je evivletí s podmíou > K tvrzeí věty je proto triviálí Poud jsou op od jistého čleu čley poslouposti záporé tže podmí < K je evivletí s > K z čehož plye dozové tvrzeí Koečě poud je posloupost ( je ompleí vzth + plye přímo z defiice ity + Doázt směr v přípdě ebo je jedoduché eboť v těchto přípdech jsou výroy zřejmě evivletí Příld Podle věty o itě z bs hodoty poslouposti pltí v C i
+ i eboť + i + + 6 Věty o erovostech Pltí-li mezi posloupostmi erovosti má to vliv i erovosti mezi jejich itmi op: Vět (O erovostech mezi itmi Pro ždé dvě reálé poslouposti pltí ( ( b < ( ( > ( < + + b b Důz Ozčme Protože eistují t že jsou disjutí + H b ε Z defiice ity jděme pro tto ε ε příslušá t by pro všech > m{ } bylo H ( ε P le bude pro pltit i což jsme chtěli uázt b H b ( ε > < b + b < b ε > ε > H ( ε ( b Užitečá je i formulce de implice směřuje opčým směrem: Vět (O erovostech mezi itmi opčá implice Nechť eistují ity reálých posloupostí P pltí ( ( Důz Sporem Poud by pltil opčá erovost tj + spor ( ( > ( > b b ( ( b + > + b z předchozí věty bychom dostli že + b Pozám Protože modifice oečě moh čleů poslouposti emá vliv její itu stčí v předchozí větě předpoládt erovost b ž od jistého ideu dál tvrzeí zůste v pltosti Nejdůležitější z vět o erovostech je tzv vět o itě sevřeé poslouposti: Vět (O itě sevřeé poslouposti Mjí-li reálé poslouposti obě itu rovu pltí-li p it poslouposti c eistuje je rov Důz Nechť ejprve Z předpoldu plye Protože c plye z erovosti > α erovost c > α Proto z defiice ity + důz je hotov + c Pro je postup důzu obdobý Poud je dosteme z předpoldů že R Chceme uázt že ( ( ( + b ( ( c b ( α > ( ( > ( > α ( ε > ( ( > ( < ε ( > ( ( > ( < ε b ε ( ε > ( ( > ( < ε c Zvolme ε > libovolě Hledejme ěmu Položme ε ε ε ε jděme im Položme m{ } P pro > pltí
ε < c b < + ε odud plye c < ε což jsme chtěli uázt Příld Pltí + Je totiž proto ozčíme-li α podle biomicé věty že p α ( Dále + α tedy ( + α Odtud dosteme α α + odud α Protože ity rjích posloupostí jsou + α + je podle věty o itě sevřeé poslouposti i tedy podle věty o itě součtu + + Příld Buď > P ( + α + + Uvžme tři přípdy Poud je > je jistě od jistého ideu rovy podle věty o itě sevřeé poslouposti je i Protože ity posloupostí ( i ( jsou + Poud je je smozřejmě + Poud je p + ( ( + Podle prvího přípdu + + + podle věty o itě podílu Příld (Limit poslouposti! + Pltí! + + Pro ždé { } je ( + To sdo uážeme př mtemticou iducí podle Pro je to jistě prvd Předpoládejme pltost pro Chceme uázt ( + + Pro + erovost pltí pro { } je z idučího předpoldu ( + ( + + + + Z právě doázé erovosti odvodíme že! ( ( Odtud ovšem!! A protože + + Příld Buď R P v je i! + + R pltí
+ Buď ejprve > Posloupost ( + eeistuje pro > pro pro < pro je v tomto přípdě zřejmě ostře rostoucí proto má jistě itu Ozčme l + P ze vzthu + plye že + + tedy že l Protože možost je vylouče je utě l + Přípd je triviálí posloupost je osttí Buď < P > tedy + Odtud plye že hodoty je + l Odtud le utě ebo l + + tže podle věty o itě bsolutí + + Buď P Příld Buď C P v C le Proto posloupost ( + > mít itu emůže pltí Buď P podle předchozího příldu eeistuje pro > pro < pro pro proto podle věty o itě bsolutí hodoty je + + Buď < + P opět podle předchozího příldu je tže podle věty o itě bsolutí hodoty je + + Pro Pro l je příld triviálí it eeistuje Kdyby totiž eistovl (ozčme-ji l p díy vzthu l tedy (l lze vyrátit eboť utě l spor Příld Mějme posloupost ( + bude pltit i zdou reuretě vzthem ( N( + + P + Ze zdáí je jsé že posloupost ( je ldá Nreslíme-li obráze můžeme lehce učiit ásledující hypotézu: ( N( Dožme ji mtemticou iducí: pro je + ; předpoládejme že p + + 4 Z obrázu se té zdá že posloupost je rostoucí A sutečě je totiž + + + ( + ( Tedy posloupost musí mít vlstí itu terá je z itervlu Ozčme ji Protože pro ždé přirozeé je + + musí té pltit + + + + což podle věty o itě vybré poslouposti podle věty o itě odmociy o itě součtu dává + +
Protože musí být Tedy + 6 Eulerovo číslo e Pro dlší potřebu ejprve ozčme pro všech přirozeá + ( + b ( + Lemm Posloupost ( je ostře rostoucí posloupost ( b je ostře lesjící Důz Je! ( ( ( + ( ( + (!!! + ( ( (!! Podobě dosteme + + ( ( (! + + + V uvedeých dvou sumách je stejě závore přitom mezi odpovídjícími si závormi pltí vzth Nvíc posledí sum obshuje sčítců tedy o jede více ež sum ve vyjádřeí Proto musí být + pro všech Co se týče poslouposti ( b erovost b > b + je evivletí s erovostmi ( + + Posledí erovost je prvdivá eboť podle biomicé věty j ( ( + + < + + + + ( + > ( + ( > ( + > + + ( + + ( + > + ( + ( + ( + + j + ( + + + + + ( > ( ( + + Lemm Obě poslouposti i mjí stejou itu ( ( b ( + Důz Protože jsou obě poslouposti mootóí jejich ity musí eistovt Přitom pltí + b + b Proto Defiice (Eulerovo číslo e Společou hodotu it posloupostí ( ( b zýváme Eulerovým číslem (osttou zčíme e Pro dlší účely ozčme
c! Lemm Pro všech > pltí c > c < e Důz Podobě jo v prvím lemmtu je! m m <! c > (! ( ( ( Co se týče druhé erovosti je pro libovolé m m ( ( > m m (! ( m ( m m eboť prvé strě je úplě stejý výrz jo levé strě s tím rozdílem že sčítáme pouze do Proto musí pltit i m m + (! m + ( ( m m m odud obdržíme e c Protože (c je ostře rostoucí posloupost musí pltit e > c pro všech ostře eboť dyby stlo c e pro ějé bylo by c > e což je spor s právě doázou erovostí e c + Lemm Pltí c e + Důz Vzth plye z doázých erovostí < c < e pomocí věty o itě sevřeé poslouposti Následující lemm říá že posloupost (c Lemm Pro ždé N overguje e velice rychle: je e c Důz Zvolme m > m < (!! + + +! libovolě P cm c (! ( + + + + + + + ( + ( + m ( +! (+ + ( + ( + m m + <! +! + Odtud plye že (cm c m + m +! tedy e c!
Pozám Je c +!! +! 5 5 e c Vět (O irciolitě e Číslo e je ircioálí Důz Sporem Buď e de p p q! N q N 5 Je tedy Protože p < 5 e < e < q je q Z předchozího lemmtu máme q 75! q q! odud ásobeím q! dosteme q q! < p(q!! q Protože mezi erovostmi stojí uprostřed celé číslo dostáváme spor (žádé celé číslo c esplňuje podmíu < c q Pozám Díy předchozí větě je možo v předchozím lemmtu psát ostrou erovost: pro ždé N je e c <! 6 Limes superior iferior reálé poslouposti Pojmy es iferior es superior jsou zobecěím pojmu ity poslouposti Ztímco itu ždá posloupost emá es iferior superior eistují pro ždou reálou posloupost Defiice (Hromdá hodot reálé poslouposti Hromdou hodotou reálé poslouposti ( zveme ždé že + R pro teré eistuje z í vybrá posloupost ( t Počet hromdých hodot teré posloupost může mít může být růzý od jedé ž po eoečo: Posloupost ( terá má itu má jediou hromdou hodotu: svoji itu Posloupost (( má dvě hromdé hodoty: Posloupost ( 4 má z hromdé hodoty všech přirozeá čísl včetě + Posloupost ( [ ] má z hromdé hodoty dooce všech čísl z itervlu Vět (O hromdých hodotách reálé poslouposti Kždá reálá posloupost ( má lespoň jedu hromdou hodotu Moži všech hromdých hodot má mimum miimum (mohou to být i hodoty ± Největší hromdou hodotu zýváme es superior zčíme sup + ejmeší es iferior zčíme if + Důz Uážeme že moži hromdých hodot poslouposti ( má mimum (tím bude rověž doázáo že je eprázdá Přípd eistece miim by se uázl obdobě Uvážíme dv přípdy podle toho zd je ( shor omezeá či ioliv Nechť ( eí shor omezeá Uážeme že v tovém přípdě je + prvem možiy hromdých hodot poslouposti ( ( je tedy součsě i ejvětší hromdou hodotou Protože ( eí shor omezeá eistuje N t že > Ze stejého důvodu eistuje i N > t že > Tímto způsobem lze zostruovt celá ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel ( t že pltí > pro všech přirozeá Odtud pomocí věty o itě sevřeé poslouposti dosteme že + což jsme chtěli uázt Nechť ( je shor omezeá Ozčme β Protože pro + > sup{ } pltí { } { } je mezi suprémy vzth β β tj posloupost (β je lesjící Proto má itu (terá je rov buď ebo ějému
β β + ( α < > < α reálému číslu ozčme ji Nyí mohou stt dvě možosti + β Poud je p uážeme že tj eistuje pouze jediá hromdá hodot poslouposti tou je Zvolme libovolé P z defiice ity eistuje že pro všech je P le té pro všech > je β < α což jsme chtěli uázt b Poud je R uážeme že β je ejvětší hromdou hodotou poslouposti ( Zvolme libovolě P eistuje t že pro všech je Z druhé vlstosti suprem dosteme že eistuje t že Celem tedy Podobě pro lezeeme t že tto sestrojíme vybrou posloupost > β < < β + ε > pro terou podle věty o itě sevřeé poslouposti pltí β je tedy hromdou hodotou Je součsě ejvětší hromdou hodotou: poud by γ > β byl hromdá hodot zvolme β t že γ > β > β P eistuje tové že pro všech > je β < β tedy i < β V mlém oolí γ ve terém eí β se t emůže cházet více ež oečě moho čleů poslouposti ( to je vš spor s tím že γ je hromdá hodot sup Vět (Chrterizce Buď ( reálá posloupost P pltí tyto evivlece: α if + β sup + ( α R α < α( ( N > ( > α ( β R β > β( ( N > ( < β ( α R α > α( N( < α ( β R β < β( N( > β Důz Plye přímo z důzu předcházející věty Důslede Z výše uvedeých evivlecí plye že posloupost ( má itu právě tehdy jsou-li obě hodoty es superior i iferior této poslouposti rovy tj Pro prticé určováí poslouposti může posloužit ásledující vět: Vět (Porývcí vět pro poslouposti Nechť vybré poslouposti ( ( ( ( s itmi porývjí reálou posloupost (to ( (m ( (m ( zmeá že sjedoceí ( ( (m (přípdě ž oečě moho výjime P pltí Důz Tvrzeí jedoduše plye z ftu že moži je možiou všech hromdých hodot poslouposti (žádá jiá hromdá hodot emůže eboť by eistovlo eoečě moho čleů mimo sjedoceí disjutích dosttečě mlých oolí bodů ( (m 64 Stolzův Cuchyův vzorec β > β β < β < β + β < < β + ( β if sup if + sup if + { } { } { } N + sup m{ ( (m } if mi{ } + + ( (m β ε { ( (m } (
Následující dv vzorce lecdy zjedoduší počítáí it posloupostí dvou speciálích typů: Vět (Stolzův vzorec Nechť ( b je ostře rostoucí + eistuje it P pltí tzv Stolzův vzorec: + b + + b + b Důz Stčí uázt že pltí soustv erovostí if + + b + + Hodoty levé prvé strě jsou totiž obě stejé rovjí se itě + terá podle předpoldu eistuje Ze + b + b soustvy p bude plyout i rovost if sup terá impliuje eisteci ity její rovost itě + b + b + b + + b + b Dožme pouze erovost (erovost levé strě by se dozovl obdobým způsobem to sporem Přepoládejme že eistuje γ t že b + + if sup sup + b + b + b + b + b + b sup + sup + b b sup + + b + b b > γ > sup + ( b + b + P eistuje t že pro všech > je i γ > + b + b Odtud ásobeím jmeovtelem (je ldý dosteme Zvolme přirozeá čísl t že sečtěme erovosti pro Dosteme poděleím zísáme Apliujeme-li obě stry erovosti což je spor s b ( Tím je vět doázá γ( b + b > + ( > > ( + sup + γ( > b b b γ( > b zísáme erovost b γ sup + b b Příld Podle Stolzov vzorce je př + ( + + + + Vět (Cuchyův vzorec
Nechť ( je posloupost ldých čísel echť eistuje it + + P pltí tzv Cuchyův vzorec: + + + Důz Podobě jo při důzu Stolzov vzorce stčí uázt že + if + if sup sup + + + + Doážeme opět pouze prvou erovost levá by se dozovl obdobě Předpoládejme pro spor že eistuje γ t že by sup > γ > sup + P eistuje t že pro všech > + + je γ > + Vyásobme tyto erovosti pro + de γ > > > P odud γ > γ Apliujeme-li obě stry erovosti sup zísáme erovost + γ sup + což je spor Příld Podle Cuchyov vzorce je př +! + + 65 Bolzov-Cuchyov podmí pro overgeci číselých posloupostí Lemm (O overgetí podposlouposti omezeé poslouposti Z ždé (reálé či ompleí omezeé poslouposti lze vybrt podposloupost terá overguje Důz Buď ejprve ( reálá Ozčme sup Protože je ( omezeá je R proto eistuje overgetí + vybrá posloupost ( t že + Nechť ( je ompleí Z omezeosti ( plye že posloupost reálých částí (Re je té omezeá proto z í lze podle předchozího odstvce vybrt overgetí podposloupost (Re Posloupost imgiárích částí této podposlouposti tj (Im je té omezeá proto opět podle předchozího odstvce eistuje její overgetí podposloupost (Im Protože overguje (Im i (Re overguje i ompleí posloupost ( tím je důz hotov j j j j Nědy se může hodit rozhodout otázu eistece vlstí ity poslouposti i dyž její hodotu eumíme vypočítt Pltí ásledující vět (tzv Bolzo-Cuchyov podmí pro overgeci číselé poslouposti: Vět (Bolzo-Cuchyov podmí pro overgeci poslouposti (
Číselá posloupost ( je overgetí právě tehdy dyž je tzv cuchyovsá tj poud pltí podmí ( ε > ( R( N > ( p N( +p < ε Důz : Předpoládejme ejprve že ( je overgetí tz pro ějé C ( pltí ( ε ( R( N > ( < ε ( Chceme uázt že pltí podmí ( Zvolme libovolé ε > Hledáme ěmu příslušé Položme ε ěmu z předpoldu položme P sutečě pro všech > p N pltí ε lezěme +p +p + +p + < ε + ε ε což jsme chtěli uázt : Nechť pltí podmí ( Uážeme že eistuje zvolme > libovolě P pro všech p N je C +p t že pltí ( Zvolme ejprve ε jděme ěmu odud plye < ε +p + ε To zmeá že ( je omezeá Podle předchozího lemmtu eistuje overgetí podposloupost tz pltí + ( Ozčme ~ ~ ~ ( ε > ( ( > ( Doážeme že tj že pltí ( Zvolme ε > ~ < ε Hledáme ěmu příslušé Položme ε + ěmu z předpoldu Podobě položme > bude ~ ε ε jděme ěmu ~ Položme ~ m{ } ε jděme P pro všech + + ~ < ε + ε ε což jsme chtěli uázt Pozám Předstvme si že ědo ám dl z úol spočítt itu si! + Tuto itu eumíme přesě spočítt Poud le doážeme že eistuje je vlstí je zřejmé že jo její přibližou umericou proimci p můžeme použít hodotu uvedeé sumy pro velé (Poud bychom evěděli že it eistuje edávlo by sčítáí libovolě moh čleů sumy žádý smysl; sčítáme-li př čle poslouposti ( dosteme přibližě 7 48547 číslo teré evypovídá ic o její itě + Doázt že vlstí it eistuje lze př pomocí BCP 7 Defiice obecé mociy Zvedeí obecé mociy pomocí ity číselé poslouposti lze provést ěoli způsoby Níže uvedeý způsob využívá defiici epoeciálí fuce e itu ( + + V dlším budeme potřebovt ásledující dvě erovosti: Lemm (Beroulliov erovost Nechť > N P ( + Důz Buď ejprve + ( + Pro ( Pro + vzth pltí předpoládejme pltost pro pevé ( + ( + ( + ( + + + + pro libovolé N N + + + ( + je ( + + P + + +
Lemm (AG erovost Nechť N α α P pltí α α ( α + +α (4 Důz Předpoládejme že jsou všech α ldá (poud je ěteré z ich rovo ule vzth pltí triviálě Pro pltí Dožme ho pro : j α + α α α ( (α + α α α 4 α α α 4 + α α + α (α α : vzth posledí erovost je zřejmá eboť čtverec reálého čísl je vždy ezáporý Předpoládejme yí pltost (4 pro 4 8 dožme pltost pro α α (α α (α + α ( α + +α α ( + + +α (( α + +α α ( + + +α Nyí vitře závory prvé strě použijeme opět (4 pro : (( α + +α α ( + + +α α α + +α + + + +α ( α + +α Pro N splňující < < doážeme erovost tto: ozčme s α + +α P z erovosti pro plye α α s s ( Děleím obou str číslem s α + +α + ( s s + ( ( s s čiitel dosteme α α s Lemm Nechť R P eistuje oečá ldá it poslouposti Důz Ozčme Zvolme R ( + libovolě Nechť Uážeme že ( + ( + je omezeá od jistého čleu rostoucí posloupost ldých čísel P z AG erovosti dosteme N > > + ( + ( + + + + ( + + + posloupost je tedy od -tého čleu rostoucí Dále užitím Beroulliovy erovosti dosteme ( + + ( ( + ( (
( + + ( ( + ( + ( + + + odud umocěím -tou dosteme ( + ( C N prvé strě stojí ostt C > Vybrá posloupost ( je tedy shor omezeá Díy mootoii je shor omezeá i ( Omezeost spolu s mootoií zručují eisteci oečé ity Tto it je ldé číslo eboť posloupost je od -tého čleu rostoucí posloupostí ldých čísel Vět (O zvedeí epoeciálí fuce Eistuje právě jed fuce f : R R tová že pro všech y R pltí f ( + y f (f (y (5 f ( + (6 Důz Dožme ejprve že fuce je uvedeými podmími dá jedozčě Přepoládejme že f s uvedeými vlstostmi eistuje Z (5 p dosteme doszeím y rovici f ( f ( odud f ( ebo f ( z (6 plye že utě f ( Doszeím y do (5 dosteme f ( f (f ( odud plye f ( pro všech R dále f ( (7 f ( Protože z podmíy (6 plye že pro ldá je f ( ldé číslo díy (7 máme že f je ldá celém R Iducí z (5 dosteme podmíu f ( f ( (8 pro všech N Z (6 z (8 plye ( + f( f ( podobě užitím (7 též ( f ( f ( f ( tže spojeím těchto dvou erovostí dosteme ( + f ( ( Vyděleím levou strou dosteme f ( ( + ( Pro posloupost ve jmeovteli prvé strě pltí ( (9
eboť z Beroulliovy erovosti plye sevřeí stčí použít větu o itě sevřeé poslouposti Použitím té smé věty p ze sevřeí dosteme že Protože z předchozího lemmtu plye že it jmeovtele eistuje je oečá ldá podle věty o itě podílu dosteme Fuce f je tedy dá jedozčě Nyí dožme že fuce s uvedeými dvěm vlstostmi eistuje Ozčme f fuci defiovou vzthem (4 Uážeme že tto fuce splňuje ob dv vzthy (5 (6 Z AG erovosti pro všech tová že dosteme z teré itím přechodem dosteme Podobě pltí pro tová že že odud itím přechodem (4 (4 Z celem dosteme Z Beroulliovy erovosti p pro odud itím přechodem Tím je eistece doázá (9 dosteme Defiice (Epoeciál Fuci f z předchozí věty zčíme zýváme epoeciál (ebo epoeciálí fuce Lemm (Záldí vlstosti epoeciály + ( ( + f( ( + f( ( + (4 + y R N < y < + y < ( + + ( + y y + + + y ( + ( + ( + y ( + N + + y < y < + y ( + ( + y ( ( + + y + + y + y f(f(y f( + y (4 y ( + + ( + ( + < ep y + + y + + y f( + y f(f(y (4 f( + y f(f(y ( + + f( +
Záldí vlstosti epoeciály jsou tyto: ep e de e je Eulerov ostt ep je ostře rostoucí R Pro obor hodot epoeciály pltí H ep R + 4 Pro libovolou overgetí posloupost pltí 5 Pro libovolé rcioálí číslo de pltí Důz Plye přímo z defiice Eulerov čísl e + ( + Pro < y dosteme odud Zvolme libovolě Moži je eprázdá eboť díy erovosti pltí též Dále je shor omezeá eboť je ostře rostoucí Tedy je shor omezeý zdol eomezeý itervl Ozčme s sup S Je s R Uážeme že pltí ep s y : Kdyby totiž p by eistovlo t že eboť Z této erovosti by vyplývlo že což je le spor s ftem že (spor s prví + e s + S s sup S vlstostí suprem Podobě dyby bylo p by eistovlo t že což zmeá že s S to je opět spor tetorát s druhou vlstostí suprem 4 Z erovostí plye pro ždé vzth Nechť ejprve P od jistého ideu pltí je tedy Použitím věty o itě sevřeé poslouposti dosteme ( ep ep( + + r Q r p q p Z q N p ep( q (ep p q ep y ep(y + y > ep ep y > ep y R + S { R ep y} ep + + + S ep S ep s < y ep s > y ep + ep( + ep N ep(s + ep s e < y N ep s ep(s > y ep + ep( ep + ep + ( + ep + e ep (
Poud obecě p tedy Odtud podle věty o itě součiu + ( + ep( + 5 Pro libovolé přirozeé libovolé pltí (viz Odtud ihed plye (z věty o eisteci jedozčosti přirozeé odmociy z ldého reálého čísl že eboť podle (4 (4 (44 + Kombicí vzthů dosteme dozové tvrzeí ep ep ep( ep ep Z doázého lemmtu plye že je prostá ostře rostoucí fuce s oborem hodot Eistuje í tedy fuce iverzí Defiice (Logritmus Fuci iverzí zýváme přirozeý logritmus zčíme ep + N R (8 Lemm Fuce má defiičí obor obor hodot Je prostá ostře rostoucí Pro všech pltí Důz Prostot mootoie plye přímo z defiice Ozčme P Je ep( (ep (4 ep( ep (44 (ep( ep ep : R R R R + l R + R y R + l l y l + l y (45 z l w l y ep z y ep w ep(z + w ep z ep w y odud z + w l y Defiice (Obecá moci Buď P obecou mociu defiujeme vzthem R + b R b b ep(b l p Je uté ověřit že výše uvedeá defiice je v souldu s defiicí mociy čísl > s rcioálím epoetem vzthem q p q q p Sutečě máme podle bodu 5 lemmtu p ep( l q (ep l p q p q Proto je možé pro obecou mociu používt zčeí b Záldí vlstosti obecé mociy shruje ásledující lemm Jsou stejé jo vlstosti rcioálí mociy Lemm (Mootoie obecé mociy Pro b > r s R je r s r+s r b r (b r ( r s rs 4 pro r < s r < s >
5 pro 6 r < b r < b pro r > 7 r < b r > b pro r < Důz Je Podle je Je r > s r < s < 4 Pro je (eboť je ostře rostoucí tedy 5 Pro je pltí tedy opčé erovosti ež v bodě 6 Je 7 Díy se erovosti v 5 otočí Vět (O itě Buď reálá posloupost pro terou pltí P + p Důz Předpoládejme ejprve že Z defiice ity plye že eistuje t že pro je Pro > dosteme z lemmtu [li:mootoiemociyo mootoii obecé mociy] odhdy Přitom (45 r s eboť se jedá o posloupost [li:oitesorovybreposlsorovybrou] z poslouposti Z věty o itě sevřeé poslouposti p dosteme dozové tvrzeí Nyí předpoládejme že Opět od jistého ideu zřejmě pltí p Pro > je Podle předchozího odstvce je p ep(rl ep(sl ep(rl + sl ep((r + s l r+s ep(rl(b ep(r(l + l b ep(rl + rl b ep(rl ep(rl b r b r ( r s ep(sl( r ep(sl(ep(rl ep(srl rs > l > l l < < l < r < r < s rl < sl ep(rl < ep(sl r < s < b l < l b rl < rl b ep(rl < ep(rl b ( + p + p ( p + ( + p p + ( + [ ] + p ( + + p p e + + p > p > ( + [ ] + p [ p ] [ p ] p [ p < ( + < ( + ]+ [ ] p + ( + [ ] p [ p ]+ e p (( + + [ p e + ( + ]+ ( + e [ ] + [ ] + p p podobě + p < p p ( + p p + ( + p ( p ( + p ( + + p p p p
( + + p p ( + e e ( p ( Posledí možost stává dyž it eeistuje V tovém přípdě lze porýt posloupost dvěm podposloupostmi ( p ( p l tvořeými čley poslouposti ( p s ezáporými resp záporými čley Přitom utě + Podle předchozích odstvců porývcí věty pro poslouposti p dosteme + p + p l dozové tvrzeí p p 8 Reálé fuce reálé proměé Reálá fuce je ždé zobrzeí jehož obor hodot je podmoži reálých čísel Fuce (jedé reálé proměé je ždé zobrzeí jehož defiičí obor je podmoži reálých čísel Reálá fuce reálé proměé je tedy ždé zobrzeí z do Defiice (Omezeost mootoie sudost/lichost periodicit Reálou fuci reálé proměé f zýváme omezeá shor poud je její obor hodot H f moži omezeá shor omezeá zdol poud je H f moži omezeá zdol omezeá poud je H f moži omezeá rostoucí poud ( D f < (f( f( lesjící poud ( D f < (f( f( ostře rostoucí poud ( D f < (f( < f( ostře lesjící poud ( D f < (f( > f( mootóí poud je lesjící ebo rostoucí ryze mootóí poud je ostře lesjící ebo ostře rostoucí sudá poud ( D f (f( f( lichá poud ( (f( f( periodicá s periodou poud Defiice (Vlstost fuce možiě Nědy potřebujeme popst vlstost fuce je části defiičího oboru Říáme že f má určitou vlstost možiě M poud M D f zúžeí má tuto vlstost Defiice (Supremum ifimum mimum miimum fuce Pojmy supremum ifimum mimum miimum fuce f jsou defiováy jo dý pojem pliový obor hodot Tj td Pojmy typu mimum možiě se defiují pomocí zúžeí př td Příld D f l > ( (f( f( ± l f/ M D f if f if H f f A m A f m f f( R {} Fuce eí podle ší defiice ostře lesjící svém defiičím oboru protože př / A R f( < f( R Příld (Dirichletov fuce Dirichletov fuce f( { pro Q pro R Q je periodicá periodou je ždé rcioálí číslo 8 Limit fuce Defiice (Hromdý bod R Číslo zveme hromdým bodem možiy poud v ždém jeho oolí leží eoečě moho bodů z možiy A Body z A teré eptří mezi hromdé body A se zývjí izolové Možiu všech hromdých bodů možiy A zčíme A Pozám A R