Přednáška 02 Prostý ohb Hpotéa o achování rovinnosti průřeu Křivost prutu, vtah mei momentem a křivostí Roložení napětí při ohbu Pružný průřeový modul Vliv teplot na křivost Copright (c) 2011 Vít Šmilauer Cech Technical Universit in Prague, Facult of Civil Engineering, Department of Mechanics, Cech Republic Permission is granted to cop, distribute and/or modif this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or an later version published b the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A cop of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1
Rovnoměrně ohýbaný prut Uvažujme prostý ohb poue od momentu (absence V ) L Původní délka střednice prutu L Poloměr křivosti R ϕ Prostý ohb deformuje prut do tvaru kruhového segmentu L Primatický prut, čistý ohb okolo hlavní centrální os setrvačnosti. Neměněná délka střednice L=R ϕ 2
Rovnoměrně ohýbaný prut Poloměr křivosti R ϕ Protažení vlákna L= ϕ Nová délka vlákna L L= R L Relativní prodloužení vlákna = L L = R = R = 1 R = = 1 R = Křivost prutu L = Na rovnoměrně ohýbaný prut le pohlížet jako na soustavu vláken, které se chovají jako 1D prut. Příčné deformace vláken a příčná napětí se obvkle anedbávají. 3
Rovnoměrně ohýbaný prut Lineární měně deformace po výšce průřeu = odpovídá lineární měna napětí po výšce průřeu dle Hookeova ákona = E =E Roložení deformace ε x po průřeu Neutrální osa průřeu nulové napětí. Pro prostý ohb vžd procháí těžištěm. Roložení napětí σ x po průřeu 4
Rovnoměrně ohýbaný prut Z podmínk rovnováh vnitřních sil plne, že výslednice napětí se rovná momentu b d h Neutrální osa = E F =b d Příspěvek vlákna k momentu F = b Ohbový moment k hlavní centrální ose h /2 = h / 2 b d 5
h /2 = h / 2 Ohbový moment a křivost prutu b E Pro obdélníkový průře h/ 2 I = h/ 2 0 = Td b h/2 h /2 d=e h/ 2 b 2 d I = 2 da A = E I = h b d=b[ 2 3 h /2 3 3 /2=b h/2 3 ] = h /2 3 3 = bh3 12 d h/ 2 b Th 0 d = Td F d Th F h F d F h Th h/2 F h =b d 0 h/2 N =b d=0 h/ 2 F d =F h Td 0 F d =b d h /2 6
Rekapitulace vtahů pro rovnoměrný prostý ohb =E I = L = Ohbový moment Ohbová tuhost průřeu modul pružnosti krát moment setrvačnosti [Nm 2 ] Křivost prutu =EI, = EI = E = I Uvedené vorce platí poue pro prostý ohb okolo hlavních centrálních os setrvačnosti. V ostatních případech se jedná o ohb složený nebo o ohb s účinkem normálové síl. Obojí bude probíráno v dalších přednáškách. 7
Tontiho diagram pro rovnoměrně ohýbaný prut Přemístění,u,w = EI L Vnější síl = L Geometrické rovnice Ohbová tuhost prutu (v deformační metodě se standardně avádí jako 2EI / L) Statické rovnice = Přetvoření Materiálové rovnice =EI Vnitřní síl, = I 8
Bernoulli Navierova hpotéa Průře rovinné a kolmé k ose prutu (střednici) před deformací ůstanou rovinné a kolmé k deformované ose B N hpotéa přestává platit u krátkých nosníků, které jsou namáhán více smkem než ohbovým momentem Kolmost a rovinnost průřeů ke střednici (ose) je achována Konola atížená vlastní tíhou B N hpotéa pro prostý ohb 0 0 =0, x =0 =0 0 = =0 =0, x =0 =0 Střednice 9
Přemístění průřeu v rovině x (ohb ) x u s (x) w s (x) = d dx d x ϕ(x) Neutrální osa x Před deformací Po deformaci 10
Prostý ohb vliv měn ohbového momentu Rovnoměrný ohb Nerovnoměrný ohb = L = =EI = EI = E = I d = dx, = =EI = EI, =E = I 11
Elastický průřeový modul W [m 3 ] Pro rchlení výpočtu se avádí průřeové modul W d = I d, W h = I h, d x = M d W h x = h W Pro obdélníkový průře W d =W h = I h/2 = 2 bh3 12h = bh2 6 Průřeové modul nele obecně superponovat! W d W h Častá chba: áměna W d a W h! b h W d =W h = bh2 6 W d =W h = b 2h b 2h 2 6 = 2bh2 bh2 2 3 6 b a W d =W h = a4 b 4 1 6a 6 a3 b 3 b a 12
Příklad napětí a prostého ohbu 200 mm 50 F=103.91 kn x 125 mm 175 mm 14 50 Těžiště C S -střed smku 200 mm 50 2.5 m 3 m Průhb konce 10 mm 350 mm A=0,0375 m 2 I =4,453125e 4 m 4 I =2,140625e 4 m 4 0.5 = 103.91 2.5= 259.774 knm 3 = 259.774e 4 = 583.35 MPa 4.453125e 0.125 = 72.92 MPa 0.175 =102.1 MPa Výpočet pomocí průřeových modulů 13
Příklad maximální napětí Jak velká síla F může namáhat nosník, ab největší napětí nepřestoupilo f =160 MPa? 2F F 4 m 2 m T 0.26 m 0.02 m 0.02 m σ x 160 MPa + N.O. max = 2F I =1.235e-4 m 4 W = 1.235e-4 0.15 =8.2355e-4 m 3 f = 2F, F= f W =65.88 kn W 2 0.12 m 0.02 m 160 MPa 14
Příklad průběh normálového napětí Vkreslete průběh σ x (x) na dolních a horních vláknech V σ x + x 60 kn 60 20x 6 m + 60x 10x 90 knm 2 137.2 MPa + 416.6 MPa 20 kn/m' 200 mm 64.4 195.6 240 I =4.2255e 5 m 4 T 20 12 mm, = = 60x 10x2 I 4.2255e 5 3, 0.0644 = 137.2 MPa 3, 0.1956 =416.6 MPa 15
Vliv teplotních měn na ohb nosníku Obvkle se uvažuje konstantní teplota každého vlákna a lineární průběh po výšce nosníku T h T d Τ h T h měna teplot horních vláken h T s T s T s měna teplot střednice T ref referenční teplota T ref T d T h měna teplot dolních vláken T d Τ h nerovnoměrné oteplení T, = T s T d T h h Změna teplot v obecném bodě Změna teplot ve střednici Teplotní gradient po výšce prutu 16
Vliv teplotních měn na ohb nosníku Deformace působená měnou teplot T, = T T, = T T s T T d T h h = Ts T Poměrné protažení od oteplení v obecném bodě Poměrné protažení střednice od průměrného oteplení Křivost od teplotního gradientu Roli hraje měna teplot oproti referenční teplotě, = E[ x, T, ]= E[ s Ts ] E [ T ] Protažení střednice Změna křivosti od teplotního gradientu 17
h /2 = h / 2 Ohbový moment, křivost prutu a teplota b E[ T ] =E I [ T ] h / 2 d=e [ T ] h /2 = EI T = T d T h EI T h b 2 d I = A 2 da Křivost od teplot le nahradit účinkem momentu T =EI T T d T h h α=1e 5 K 1 EI =10 MNm 2 T h = 5 K =10 knm κ=1e 3 m 1 EI =10 MNm 2 =10 knm 0.1 m Td =+5 K 18
Příklad rovnoměrné a nerovnoměrné oteplení T h = 40 o C 0.05 m x T ref =10 o C T d =20 o C 4 m T d =10 o C, T h = 50 o C, T s = 20 o C Rovnoměrné ochlaení - statick neurčitý tah, T = E T s = 210e+3 12e-6 20 =50.4 MPa T 0.30 m 0.30 m 0.025 m 0.05 m E=210 GPa =12e-6 K 1 I =9.8125e 4 m 4 Nerovnoměrné oteplení - statick určitá konstrukce =0=EI T, = T =12e-6 10 50 =1.8e-3 m 1 0.4 Pro oboustanně vetknutý nosník, 0 = 4 =0, = d dx = EI T = 210e+6 9.8125e-4 1.8e-3= 370.9 knm, =0 19
Návrh konstrukce Navrhněte čtvercový dřevěný profil a tč ocelového táhla 2 m 2 m 3 m 3 m F=4 kn Dřevěný ohýbaný průře R + =R - =±10 MPa, max =± =± 6 8 W b kpa 3 b=h= 3 6 8 10000 =0.17 m Navrhuji 180/180 mm M=+8 N=+8 kn M= 8 Ocelové táhlo R + =200 MPa = 8 r kpa 2 8 r= 2e+5 =3.57e-3 m Navrhuji d=8 mm 20
Optimaliace průřeu Naleněte poměr b/h s největším průřeovým modulem W. Obdélníkový průře je vroben kruhového profilu. d b h h 2 =d 2 b 2 W = 1 6 bh2 = 1 6 b d 2 b 2 dw db = 1 6 d2 3b 2 =0 b= d 3 0.577 d h= d2 d2 3 = 2 3 d 0.816d b h = 2 2 5 7 Časté roměr dřevěných trámů 8/8, 8/10, 8/12, 8/16, 10/10, 10/12, 10/14, 10/16, 12/12, 12/14, 12/16 cm. 21
Ohb nesmetrický úhelník hlavní centrální os Určete extrémní napětí na nesmetrickém úhelníku 100x160x16 mm, který je atížen momentem =20 knm '' [25.0, 105.2] [ 14.0, 107.2] ' 54.8 ϕ=20.8 o T neutrální osa 191.7 MPa + 139.3 MPa { } = [ cos sin ]{ ' } sin cos ' I =1.1186 e-5 m 4,I =1.825 e-6 m 4 D =0 = 0.020 1.1186 e-5 [MPa] 0.0779 =139.3 MPa 0.1072 = 191.7 MPa =20 knm 25.0 '' [ 75.0, 54.8] [ 50.7, 77.9] ' 22
Posouení jeu Určete maximální σ x na fošnách a pilotách jeu 1.5 m f=γh=15 kn/m' 40 mm 200 mm 1.0 m 1.0 m 200 mm Ohb fošn,max = 1 8 15 12 =1.875 knm W = 1 6 1 0.042 =2.667e-4 m 3, max =± 1.875 =±7031 kpa 2.667e-4 Ohb pilot,max = 1 2 15 1.5 1 1.5=5.625 knm 3 Pon. Pro dovolené namáhání dřeva ±7.2 MPa b oba prvk vhověl. W = d4 64 d/2 = d3 =7.854e-4 m3 32, max =± 5.625 =±7162 kpa 7.854e-4 23
Zesílení nosníku pomocí ocelových plechů Určete ohbovou tuhost EI a vkreslete σ x a ε x před a po esílení ocelovými plech, =20 knm. 5 mm 30 mm 18.09 MPa 83.96 MPa 1.81e 3 4.0e 4 3.84 T 190 mm 50 mm σ x N.O. ε x 150 mm 30 mm 5 mm + 18.09 MPa + 3.84 83.96 MPa + 1.81e 3 + 4.0e 4 E ocel =210 GPa E dřevo =10 GPa Poue dřevo: I 1 = 1 12 0.15 0.253 0.1 0.19 3 =1.382e-4 m 4 EI 1 =1382 knm 2, max =± 0.020 1.382e-4 0.125=±18.09 MPa Bernoulli-Navierova hpotéa - ekvivalentní průře: I 2 =I 1 2 210 [ 1 2] 10 12 0.15 0.0053 0.15 0.005 0.1275 =6.503e-4 m4 EI =6503 knm 2, max, dř =± 0.020 0.125=±3.84 MPa 6.503e-4, max, ocel =± 210 10 0.020 0.130=±83.96 MPa 6.503e-4 24
Oták 1. Popište Bernoulli Navierovu hpotéu. Dá se aplikovat i na tažený prut? Proč tato hpotéa přestává platit u krátkých nosníků namáhaných smkem? 2. Co je prostý ohb a jaký je jeho vtah k hlavním centrálním osám setrvačnosti? 3. Co je křivost prutu a jaké momentové atížení odpovídá konstantní křivosti prutu? 4. Co je výslednicí lineárně roloženého normálového napětí po průřeu? 5. Vniká při ohbu normálová síla na průřeu nebo na jeho částech? 6. Co je neutrální osa? Procháí při prostém ohbu a elastickém materiálu vžd těžištěm? 7. Jaké jsou ekonomické průře pro přenášení ohbového momentu? 8. Co je ohbová tuhost prutu a v jakých jednotkách se vjadřuje? 9. Kde nastávají extrémní hodnot napětí na ohýbaném primatickém prutu? 10. Co je elastický průřeový modul a jak se určí? 11. Le vkreslení ohbového momentu ponat, která vlákna jsou tažená? 12. Popište rodíl mei rovnoměrným a nerovnoměrným oteplením. Jak souvisí nerovnoměrné oteplení s křivostí prutu? Proč avádíme referenční teplotu? 13. Za jakých podmínek le vužít principu superpoice pro ároveň tažený a ohýbaný prut? 14. Odvoďte maticové vjádření pro rotaci souřadného sstému. 15. Co je to ekvivalentní průře a a jakých situací se používá? Created 02/2011 in OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04 b Vít Šmilauer 25