Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19
Organizační pokyny přednášející: RNDr.Blanka Šedivá, PhD. kontakt: sediva@kma.zcu.cz, telefon 377632618, konzultační hodiny ponděĺı 10:30-12:00, místnost UC258 další přednášející: doc.rndr.jaroslav Hora,CSc. (přednáška ve úterý 3-4 hodina) cvičící: RNDr. Jana Blobner, Ph.D., Doc.RNDr. Jaroslav Hora, CSc., RNDr. Zdeněk Kobeda, Ing. Patrice Marek, Ph.D., Mgr. Zuzana Štauberová, RNDr. Světlana Tomiczková, Ph.D., Ing.Tomáš Ťoupal, Ph.D., Ing. Jaroslav Tuma přesuny v rámci rozvrhových akcí jsou možné pouze pokud postačuje kapacita učebny a cvičící, ke kterému chcete docházet, s přesunem souhlasí obsah předmětu se řídí sylabem předmětu studijní materiály a informace http://home.zcu.cz/ sediva Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 2 / 19
Podmínky pro získání zápočtu Tři písemná práce v průběhu semestru. 1. zápočtová práce: 5. výukový týden na cvičení, maximální počet bodů 30, 2. zápočtová práce: 10. výukový týden, hromadný termín, maximální počet bodů 40, domácí úlohy: zveřejnění 6. výukový týden, termín odevzdání 8.1.2017, maximální počet bodů 30, K získání zápočtu je třeba získat minimálně 60 bodů v součtu ze všech dvou písemek a domácích úloh. Student/ka splní požadavky na zápočet až poté, kdy zkonzultuje své písemné práce s vyučujícím a předloží index k zapsání zápočtu. Pokud student nesplní požadavek pro získání zápočtu během semestru, má možnost napsat ve zkouškovém období opravné zápočtové písemné práce. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 3 / 19
Podmínky pro získání zkoušky Zkouška bude probíhat písemnou a ústní formou. Písemná část zkoušky má maximální bodový zisk 20 bodů, doba trvání 90 minut. Hodnocení písemné části zkoušky: Bodový zisk 0 9 10 13 14 17 18 20 Hodnocení nevyhověl dobře velmi dobře výborně Ústní část zkoušky bude zaměřena na rozbor a zdůvodnění postupů užitých při řešení úloh z písemné části, znalost a pochopení definic základních pojmů a matematických vět. Získá-li student v součtu alespoň 75 bodů ze všech tří zápočtových písemek psaných v průběhu semestru, připočte se mu BONUS 2 body u písemné části zkoušky v jeho prvním pokusu (pouze v prvním pokusu!!!!!). Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 4 / 19
Dotazy & Připomínky Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 5 / 19
Matematické objekty, matematické definice, věty, důkazy Definice pojmu je charakteristika nějakého matematického jevu, charakteristika (vymezení pojmu) musí být jednoznačná tak, abychom mohli rozhodnout, zda nějaký matematický objekt definici vyhovuje nebo ne. Obvykle v definici vyjmenujeme vlastnosti, které matematický objekt musí mít, abychom ho mohli označovat příslušným pojmem. Věta (matematická věta) je tvrzení, které můžeme pomocí dříve zavedených definic a jednoduchých logických úvah považovat za platné. Každá věta má svoje předpoklady a dále vlastní tvrzení. Z hlediska logiky má tedy charakter: Když jsou splněny předpoklady..., pak platí.... Důkaz je logický postup, pomocí kterého ověřujeme platnost matematické věty. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 6 / 19
Matematické značky a symboly x M x je elementem čti... prvek x patří do množiny M... x / M x není elementem čti... prvek x patří do množiny M... x M velký kvantifikátor čti... pro každé x z množiny M... x M malý kvantifikátor čti... existuje x z množiny M... a zároveň značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme čti... platí výrok V 1 a zároveň výrok V 2... nebo značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme čti... platí výrok V 1 nebo výrok V 2 nebo platí oba výroky, tj. platí alespoň jeden z výroků... implikace značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme čti... když platí výrok V 1 pak platí výrok V 2..., POZOR pokud výrok V 1 neplatí mohou pro výrok V 2 nastat obě situace, tedy může platit a nemusí ekvivalence značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme čti... výrok V 1 platí právě tehdy, když platí výrok V 2... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 7 / 19
Příklady Příklad definice Množina M R se nazývá neomezenou množinou, pokud c R x M : c < x. čti... Podmnožinu reálných čísel nazýváme neomezenou, pokud pro libovolné reálné číslo c existuje x z množiny M takové, že platí c < x.... Příklad věta x 1, x 2, x 3 R, x 1 < x 2 x 2 < x 3 x 1 < x 3 čti... Necht pro trojici reálných čísel x 1, x 2, x 3 platí nerovnosti x 1 < x 2 a x 2 < x 3, pak platí nerovnost x 1 < x 3.... čti... Pro každou trojici reálných čísel x 1, x 2, x 3, která splňuje nerovnosti x 1 < x 2 a x 2 < x 3, pak splňují též nerovnost x 1 < x 3.... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 8 / 19
Číselné množiny Přirozená čísla značíme N = {1, 2, 3,... } Přirozená čísla rozšířená o nulu značíme N 0 = {0, 1, 2, 3,... } Celá čísla značíme Z = {..., 3, { 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } } Racionální čísla značíme Q = p q : p, q Z, nesoudělná, q 0 Reálná čísla značíme R (je příkladem nespočetné množiny) Iracionální čísla {x R : x není racionální}, například π, e, 2,... Komplexní čísla značíme C = {[x, y] : x, y R, uspořádaná dvojice reálných čísel} Platí Úmluva N Z Q R Od ted budeme předpokládat, že pro výše uvedené číselné množiny známe základní operace: porovnat dvě čísla, sčítat, odčítat, násobit, dělit. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 9 / 19
Číslo a operace s čísly množina všech reálných čísel R operace na množině reálných čísel: sčítání a násobení neutrální číslo pro sčítání je 0, neutrální číslo pro násobení je 1 číslo opačné ve smyslu sčítání a existuje pro všechna reálná čísla číslo opačné ve smyslu násobení 1 = a a 1 existuje pro R {0} asociativita platí pro sčítání i násobení a + (b + c) = (a + b) + c resp. a (b c) = (a b) c komutativita platí pro sčítání i násobení a + b = b + a resp. a b = b a distributivní zákon a (b + c) = (a b) + (a c) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 10 / 19
Vektor reálných čísel Definice: Vektor dimense n Vektor dimenze n nad prostorem reálných čísel je uspořádaná n-tice (x 1, x 2, x 3,..., x n ) reálných čísel. v prostoru R 2 lze ztotožnit vektor (x 1, x 2 ) a bodem v rovině [x 1, x 2 ] obvykle používáme značení x, ev. x vektor lze najít jako rozdíl mezi souřadnicemi koncového bodu a počátečního bodu x = B A x 1, x 2,... jsou složky vektoru nebo souřadnice vektoru ( ) x1 lze použít i zápis x = x 2 ( ) transpozice vektoru (x 1, x 2 ) T x1 = x 2 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 11 / 19
Grafická representace vektoru v R 2 5 4 y v 2 v 3 3 v 4 2 1 v 1 1 2 3 4 5 x vektor v1 = [1, 2] [0, 0] = (1, 2) vektor v2 = [2, 5] [1, 3] = (1, 2) vektor v3 = [2, 1] [4, 5] = (2, 4) = 2 (1, 2) vektor v4 = [3.5, 2] [4, 3] = ( 0.5, 1) = 0.5 (1, 2) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 12 / 19
Násobení vektoru číslem a x = a (x 1, x 2 ) = (a x 1, a x 2 ) vektory, které jsou kladným násobkem, mají stejný směr vektory, která jsou záporným násobkem, mají opačný směr směrnice vyjádřená číslem x 2 x 1 je stejná vektory, které mají stejnou směrnici nazýváme lineárně závislé vektory (x 1, 0) mají nulovou směrnici jsou rovnoběžné s osou x vektory (0, x 2 ) mají nekonečnou směrnici jsou rovnoběžné s osou y vektor (0, 0) nemá geometrickou interpretaci, nemá směrnici 5 y 5 y 4 4 3 3 2 2 1 1 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 13 / 19
Sčítání vektorů sčítání vektorů odpovídá sčítání po složkách x + y = (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) sčítání je asociativní a komutativní x + (y + z) = (x + y) + z, resp. x + y = y + x platí distributivní zákon a (x + y) = (a x) + (a y), geometricky 5 4 y x + y 3 2 x 1 y 1 2 3 4 5 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 14 / 19 x
Lineární kombinace vektorů Definice: Lineární kombinace vektorů Necht jsou dány vektory v 1, v 2,... v k lineární kombinací těchto vektorů rozumíme každý vektor tvaru v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + + α k v k čísla α 1, α 2,... nazýváme souřadnice vektoru vzhledem k systému v 1, v 2... vektor (2, 3) vzhledem k vektorům (1, 0) a (0, 1) má souřadnice 2 a 3, protože (2, 3) = 2 (1, 0) + 3 (0, 1) vektor (2, 3) vzhledem k vektorům (1, 1) a (0, 1) má souřadnice 2 a 1, protože (2, 3) = 2 (1, 1) + 1 (0, 1) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 15 / 19
Analytická geometrie v rovině Pohybujeme se v prostoru R 2 a předpokládáme, že pracujeme s nezávislými vektory e 1 = (1, 0) a e 2 = (0, 1). Graficky těmto vektorům odpovídají souřadné osy. Vzhledem k tomu, že vektory e 1 a e 2 jsou kolmé (jejich skalární součin je roven nule) tvoří tento systém tzv. kartézský systém souřadnic. Osy se protínají v bodě 0. Každý bod z prostoru R 2 charakterizujeme tedy jejich souřadnicemi, které vyjadřují koeficienty lineární kombinace bazických vektorů (x, y) = v 1 e 1 + v 2 e 2. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 16 / 19
Rovnice přímky Množina bodů p = { (x, y) R 2 ;... } splňující předpis: Směrnicová rovnice přímky y = k x + q; Úseková rovnice x p + y q = 1, kde p 0 a q 0; Obecná rovnice přímky ax + by + c = 0, kde a 2 + b 2 > 0 (alespoň jedno z čísel a, b je nenulové); Vektorová rovnice x = A + t (B A) kde t R, kde A, B jsou dva body, kterými přímka prochází; Parametrická rovnice x = A + t v, t R kde body A a B leží na přímce a u = B A je směrový vektor přímky Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 17 / 19
Parametrické vyjádření přímky Parametrické vyjádření přímky x = A + t v, t R kde body A a B leží na přímce a směrový vektor u = B A příklad: lineární funkce procházející body A = [0, 1] a B = [2, 5] příslušný směrový vektor je u = B = A = (2, 4) x(t) = 0 + t 2 y(t) = 1 + t 4 eliminací parametru t dostáváme 2 x + y = 1 tedy y = 2 x + 1 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 18 / 19
Vztah vektorů a lineárních funkcí lineární funkce je dána vztahem f : y = kx + q nebo v obecném tvaru ax + by + c = 0, kde b 0 lineární funkce je určena směrnicí a jedním bodem (například průsečíkem s osou y) směrnice je hodnota k resp. a b průsečík s osou y je bod [0, q] resp. [ 0, c ] b grafy lineárních funkcí se stejnou směrnicí jsou rovnoběžné přímky směrový vektor je vektor (1, k) resp. ( b, a) normálový vektor (vektor kolmý na směrový) je (k, 1) resp. (a, b) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 19 / 19