Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80

Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce, zobrazení 4 Přehled elementárních funkcí 5 Polynomy 6 Racionální lomená funkce a parciální zlomky Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 80

Cíl kurzu AMA1 Získat informace o prostředcích a metodách matematické analýzy a lineární algebry. Získat nový přístup k matematickým metodám: ne naučit se memorovat formule (a jednoduše je užívat při řešení příkladů) ne naučit se počítat několik vzorových příkladů (které pak budou na zkoušce) ale umět aplikovat základní myšlenky (koncept) a porozumět, proč jsou správné Po absolvování kurzu: znalosti dovednosti schopnosti Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 80

Znalost: Lineární funkce Funkce daná předpisem f (x) = kx + q, kde k, q R a D(f ) = R. Grafem je přímka. Význam konstant k, q: f (0) = k 0 + q = q f (1) = k 1 + q = k + q Přímka prochází body [0, q] a [1, k + q] Směrnice přímky tg ϕ = k 1 = k Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 80

Dovednost: Najít předpis Příklad Přímka prochází body [ 1, 2] a [3, 1]. Musí platit: y = kx + q 2 = k ( 1) + q 1 = k 3 + q } k = 3 4, q = 5 4 y = 3 4 + 5 4 Příklad Přímka prochází bodem [1, 2] a je rovnoběžná s přímkou y = 2x + 1. Má stejnou směrnici k = 2, určíme q: y = 2x + q 2 = 2 1 + q q = 0 y = 2x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 80

Schopnost: Použít vlastnosti lineární funkce v praktické situaci Příklad Mezi Fahrenheitovou a Celsiovou stupnicí na měření teploty je lineární vztah. Najděte tento vztah, jestliže víte, že teplotě 0 C odpovídá 32 F a teplotě 100 C odpovídá 212 F. a) Kolika stupňům Fahrenheita odpovídá 30 C? b) Najděte vztah pro výpočet teploty ve C, jestliže znáte teplotu ve F. Příklad Členství v tenisovém klubu stojí 3 000,- ročně a poplatek za každou hodinu hry je 50,-. V jiném tenisovém klubu je roční poplatek 1 500,- a za hodinu hry se platí 60,-. Jestliže uvažuje tenisový hráč jenom o finanční výhodnosti, podle čeho se rozhodne při výběru jednoho z klubu? Udělejte analýzu úlohy a znázorněte graficky. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 80

Skladba kurzu AMA1 Přednášky Cvičení Projekty vysvětlení pojmů a souvislostí procvičení odpřednášené látky na příkladech příklady pro samostatnou práci odevzdává se v písemné formě (čitelné vypracování na úrovni studenta vysoké školy) Zkouška prověření všech získaných vědomostí Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 80

Hodnocení kurzu AMA1 Během semestru je možné získat 30 bodů. 2 písemky po 10 bodech (celkem 20 bodů). 2 projekty po 5 bodech (celkem 10 bodů). Řešeny ve skupině o maximálním počtu 4 členů. Hodnocena bude správnost a preciznost odevzdaného projektu a schopnost vysvětlit řešení. Každý člen skupiny bude při odevzdání prozkoušen, zda řešené problematice rozumí po teoretické i praktické stránce. Pokud někdo nebude schopen vysvětlit všechny detaily řešení příkladu, bude příklad hodnocen 0 body. Podmínky udělení zápočtu (všechny musí být splněny): Zisk alespoň 10 bodů během semestru. Zisk více než 5 bodů z písemek. Zápočet musí být získán před začátkem zkouškového období. Zkoušková písemka za 70 bodů. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 80

Osnova kurzu AMA1 Úvod do matematiky Logika, množiny, funkce Lineární algebra Vektory, matice, determinanty, soustavy lineárních rovnic Funkce jedné proměnné Diferenciální počet (limita, derivace, aproximace polynomem, extrémy) Integrální počet (neurčitý, určitý, nevlastní integrál) Nekonečné řady (číselné, mocninné, Taylorovy) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 80

Co je matematika? Matematika pochází z řeckého slova Máthema, což znamená vědění a poznání. Matematika nejsou počty ty jsou jen jedním z nástrojů (může je za nás vykonat počítač). Matematika je prostředkem k popisu a formalizaci jevů v okolním světě - umožňuje odhadnout důsledky těchto jevů a najít souvislosti mezi nimi. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 80

Matematická logika Matematická logika Výrok - tvrzení, o kterém lze jednoznačně rozhodnout (dokázat), zda je pravdivé či nepravdivé. Brno je vesnice. V Českých Budějovicích by chtěl žít každý. Kolik je hodin? Výrokové spojky - pomocí nich sestavujeme složené (složitější) výroky. Negace p není pravda, že p Konjunkce p q p a zároveň q Disjunkce p q p nebo q Implikace p q jestliže p, pak q Ekvivalence p q p, právě když q Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 80

Matematická logika Výroky můžeme ohodnotit pomocí pravdivostních hodnot p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Příklad Vyšetřete výrok (p q) (p q). p q q p q p q (p q) (p q) (p q) 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 80

Matematická logika Výroková funkce (predikát) - tvrzení, které obsahuje proměnnou a které se stane výrokem, jestliže za tuto proměnnou dosadíme prvek z přípustné množiny. Příklad x 2 N je predikát s přípustným oborem (například) R. Dosadíme π: π 2 N nepravdivý výrok Obor pravdivosti tvoří všechna kladná sudá čísla. Kvantifikátory Obecný pro každé; pro všechna Existenční existuje alespoň jedno; pro alespoň jedno Jednoznač. exist.! existuje právě jedno; pro právě jedno Platnosti : platí; pro které platí; takové, že platí Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 80

Matematická logika Příklad Jsou dány výroky: p : Každý v této místnosti má rád matematiku. q : x R : x 2 + 1 = 0. r :!x R : 2x + 1 = 0. s : x R : y R : x 2 = y. t : y R : x R : x 2 = y. Přečtěte dané výroky a rozhodněte o jejich pravdivosti. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 80

Množiny Množiny Množina - jakýkoliv soubor či systém objektů (zadáme výčtem prvků nebo výrokovou funkcí). a A: Prvek a patří do množiny A. a A: Prvek a nepatří do množiny A. Systém množin - množina, jejíž prvky jsou opět množiny. Příklad Prázdná množina : např. počet lahví whisky v této učebně Konečná množina (konečný počet prvků): např. A = {0, 1, 2}, B = {0, {0, 1}, {{0}, 1}} (obě mají 3 prvky) Nekonečná množina (nekonečný počet prvků): např. {3, 4, 5,...}, N, Z, Q, I, R, C Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 80

Množiny Potenční množina - množina všech podmnožin dané množiny A. Značí se P(A) nebo 2 A P(A) = {X X A} Je-li A konečná množina o n prvcích, má její potenční množina 2 n prvků. Příklad Určete potenční množinu množiny A = {a, b}. Řešení: P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Podmnožinou A množiny B, píšeme A B, rozumíme takovou množinu A, jejíž všechny prvky náleží i do množiny B. Pokud platí A B a zároveň B A, tak mluvíme o množinové rovnosti A = B. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 80

Množiny Operace s množinami Sjednocení množin A a B: A B Množina všech prvků, jež patří alespoň do jedné z množin A nebo B. Průnik množin A a B: A B Množina všech prvků, jež patří jak do množiny A, tak do množiny B. Je-li A B =, pak říkáme, že množiny A a B jsou disjunktní. Rozdíl množin A a B: A \ B Množina všech prvků, jež patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 80

Množiny Kartézský součin množin A a B: A B = {(a, b) a A b B}. Příklad Počet dvojic v tomto kartézském součinu je m n. R R značíme R 2 = množina všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel. Jsou-li A, B, A B neprázdné množiny, pak A B B A. Necht A = {1, 2}, B = {3}. Určete A B a B A. Řešení: A B = {(1, 3), (2, 3)} B A = {(3, 1), (3, 2)} Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 80

Množiny Číselné množiny Přirozená čísla: N = {1, 2, 3,...} (N 0 = N {0}) Celá čísla: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Racionální čísla: Q = {q = z n : z Z, n N} Iracionální čísla: I (nelze je vyjádřit jako podíl celého a přirozeného čísla) Reálná čísla: R = Q I (R = R {, }) Body a se nazývají nevlastní body reálné osy. Komplexní čísla: C = {z = a + bj : a, b R, j 2 = 1} Komplexním číslem z nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel [a, b] a píšeme z = [a, b] = a + bj. a...reálná část komplexního čísla z b...imaginární část komplexního čísla z Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 19 / 80

Množiny Množina reálných čísel R Necht a, b R, a < b. Intervaly: (a, b) = {x R : a < x < b} a, b = {x R : a x b} (a, b = {x R : a < x b} a, b) = {x R : a x < b} Nevlastní body a (nepatří do R) zavedeme označení R = R {, } (a, ) = {x R : a < x} a, ) = {x R : a x} (, a) = {x R : x < a} (, a = {x R : x a} (, ) = R Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 80

Množiny Absolutní hodnota reálného čísla = vzdálenost od počátku x pro x 0 x = x = x 2 x pro x < 0 1) x = a x = a x = a (a 0) můžeme napsat x = ±a 2) x < a a < x < a NEMŮŽEME napsat x < ±a Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 21 / 80

Množiny Maximum, minimum, ohraničené množiny Pro a R, M R označme: M a (resp. M a) x M : x a (resp. x a) Platí-li M a, a R, pak a je horní mez (závora) množiny M a množina M je shora ohraničená. Je-li současně a M, nazývá se největší prvek množiny M: a = max M. a M, a R, pak a je dolní mez (závora) množiny M a množina M je zdola ohraničená. Je-li současně a M, nazývá se nejmenší prvek množiny M: a = min M. Ohraničená množina = shora + zdola ohraničená. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 80

Množiny Suprémum, infimum Suprémum množiny M je její nejmenší horní mez (závora): sup M = min {x x R M x} Není-li množina M shora ohraničená, považujeme za její suprémum. Infimum množiny M je její největší dolní mez (závora): inf M = max {x x R x M} Není-li množina M zdola ohraničená, považujeme za její infimum. Každá podmnožina R má právě jedno suprémum a právě jedno infimum. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 80

Množiny Příklad Pro následující množiny M určete jejich supréma, infima, popřípadě maxima a minima, pokud existují: (a) M = ( 2, 3 sup ( 2, 3 = min {x R x ( 2, 3 } = min {x R x 3} = 3 inf ( 2, 3 = max {x R x ( 2, 3 } = max {x R x 2} = 2 max ( 2, 3 = 3 min ( 2, 3 neexistuje (b) M = N sup N = min {x R x N} = min { } = inf N = max {x R x N} = max {x R x 1} = 1 max N neexistuje min N = 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 80

Funkce, zobrazení Zobrazení Zobrazení f množiny D f do množiny H f je předpis, který každému prvku x D f přiřadí právě jeden prvek y H f. Zapisujeme: f : D f H f Definiční obor zobrazení f : D f Obor hodnot zobrazení f : H f = {f (x) : x D f } Funkce (reálná funkce jedné reálné proměnné) je takové zobrazení f, jehož definiční obor, stejně jako obor hodnot, jsou podmnožiny množiny R. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 80

Rovnost zobrazení f, g: Funkce, zobrazení f = g D f = D g x : f (x) = g(x) f g, f h, g h Zúžení zobrazení f na A (parciální zobrazení): f / A : f / A (x) = f (x), x A D Například: f / 0, ) = g/ 0, ) = h Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 80

Funkce, zobrazení Obraz množiny A při zobrazení f : f (A) = {f (x) x D f A} (A na ose x, f (A) na ose y) Je podstatný rozdíl mezi symboly f (a) - funkční hodnota v a D f f ({a}) - obraz jednoprvkové množiny f (A) - množina všech funkčních hodnot prvků z množiny A f ( ) 1 2 = 1 4 f ({ { 1 2}) = 1 } 4 f ( 1, 2 ) = 1, 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 80

Funkce, zobrazení Vzor množiny A při zobrazení f : f 1 (A) = {x D f f (x) A} (A na ose y, f 1 (A) na ose x) f 1 (a) obecně neexistuje (jen je-li f prostá) f 1 ({a}) = {x f (x) = a} f 1 (A) = {x f (x) A} f 1 (1) neexistuje f 1 ({1}) = { 1, 1} f 1 ( 2, 3 ) = 3, 2 2, 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 80

Funkce, zobrazení Funkce (reálná funkce jedné reálné proměnné) je takové zobrazení f, jehož definiční obor, stejně jako obor hodnot, jsou podmnožiny množiny R. Graf funkce jedné proměnné je množina bodů v rovině daná vztahem Γ = {(x, y) x D f y = f (x)} Funkce f (x) = x 2. Nejde o graf funkce. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 80

Definiční obor funkce Jestliže Příklad Funkce, zobrazení f (x) = g(x) h(x), pak h(x) 0. f (x) = 2n g(x), pak g(x) 0. f (x) = log a [g(x)], pak g(x) > 0. Určete definiční obor funkce f (x) = x+9 x 3 5x. [D(f ) = R \ {± 5, 0}] g(x) = 4 x 2 5x + 6. [D(g) = (, 2 3, )] h(x) = log 2 (9 x 2 ). [D(h) = ( 3, 3)] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 80

Složená funkce Funkce, zobrazení Funkci f g (čti f po g) danou předpisem nazveme složenou funkcí. f...vnější složka g...vnitřní složka (f g)(x) = f (g(x)) Definiční obor: D f g = g 1 (D f ) = { x D g g(x) D f } Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 31 / 80

Příklad Funkce, zobrazení (a) Určete obě složky f (x) a g(x) funkce F(x) = sin (x 2 ). (b) Určete všechny tři složky f (x), g(x) a h(x) funkce G(x) = 3 e 2x 4. Příklad Určete f g, jestliže f (x) = 1 + 2x, x 12 ), g(x) = sin x, x π 2, π 2 Řešení: f (g(x)) = 1 + 2 sin x ( D f g = g 1 (D f ) = g 1 1 )) 2, = arcsin ( 12 )), = arcsin ( 12 ), 1 = π 6, π 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 80

Funkce, zobrazení Příklad Pro funkci 0, x < 1 1, x 1, 1) f (x) = 1 2, x = 1 0, x 1, ) určete a nakreslete (f f )(x). Řešení: x < 1 : f (f (x)) = f (0) = 1 x 1, 1) : f (f (x)) = f (1) = 1 2 x = 1 : f (f (x)) = f ( 1 2) = 1 x 1, ) : f (f (x)) = f (0) = 1 { 1, x (, 1) 1, ) (f f )(x) = 1 2, x 1, 1) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 80

Funkce, zobrazení Příklad Pro funkci f (x) = 1, x (1, 2) {0} 1, x ( 1, 0) { 2, 2} 0, x { 1, 1} x, x (0, 1) x + 2, x ( 2, 1) určete a nakreslete f (x), f ( x ), (f f )(x). Řešení: Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 34 / 80

Funkce, zobrazení x (1, 2) : f (f (x)) = f (1) = 0 x ( 1, 0) : f (f (x)) = f ( 1) = 0 x (0, 1) : f (f (x)) = f (x) = x x ( 2, 1) : f (f (x)) = f (x) = x + 2 x = 0 : f (f (x)) = f (1) = 0 x { 2, 2} : f (f (x)) = f ( 1) = 0 x { 1, 1} : f (f (x)) = f (0) = 1 (f f )(x) = 0, x { 2} ( 1, 0 (1, 2 1, x { 1, 1} x, x (0, 1) x + 2, x ( 2, 1) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 35 / 80

Prostá funkce Funkce, zobrazení Necht f je funkce a M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každou dvojici x 1, x 2 M platí x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Vodorovné přímky protnou graf prosté funkce nejvýše jednou. Je-li funkce f na M ryze monotónní, pak je f na M prostá. Opak (f je prostá f je ryze monotónní) neplatí! (tg(x), x (0, π)) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 36 / 80

Funkce, zobrazení Inverzní funkce Necht f je prostá funkce. Inverzní funkcí k funkci f rozumíme funkci f 1, jejímž definičním oborem je obor hodnot funkce f a pro každou dvojici (x, y), x D f, y H f, platí y = f (x) právě když x = f 1 (y). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 37 / 80

Vlastnosti Funkce, zobrazení Necht f je prostá funkce. Potom platí D(f 1 ) = H(f ), H(f 1 ) = D(f ) f 1 (f (x)) = x, x D(f ) a f (f 1 (x)) = x, x D(f 1 ) ( f 1 ) 1 = f Grafy funkcí f a f 1 jsou symetrické podle přímky y = x. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 38 / 80

Funkce, zobrazení Výpočet inverzní funkce f 1 (1) Ověříme, zda je funkce f prostá: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) nebo f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 (2) V zápisu y = f (x) zaměníme x a y, čímž dostaneme x = f (y). (3) Z rovnice x = f (y) vyjádříme y a máme předpis y = f 1 (x). Příklad Je dána funkce f (x) = 3x 2. Ověřte, zda existuje inverzní funkce f 1 a v kladném případě ji najděte. Dále určete D(f ), H(f ), D(f 1 ), H(f 1 ). Řešení: f 1 (x) = x 2 + 2, D(f ) = H(f 1 ) = 3 ) 2 3,, H(f ) = D(f 1 ) = 0, ) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 39 / 80

Funkce, zobrazení K elementární funkci je inverzní vždy jiná elementární funkce: f (x) D(f ) f 1 (x) D(f 1 ) x 2 x 0, ) x x 0, ) x 2 x (, 0 x x 0, ) x 3 x R 3 x x R e x x R ln x x (0, ) a x x R log a x x (0, ) sin x x π 2, π 2 arcsin x x 1, 1 cos x x 0, π arccos x x 1, 1 tg x x ( π 2, π 2 ) arctg x x R cotg x x (0, π) arccotg x x R Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 40 / 80

Funkce, zobrazení Algebraické operace mezi funkcemi Jsou-li f, g funkce a c konstanta, můžeme definovat nové funkce: f + g : (f + g)(x) = f (x) + g(x); D f +g = D f D g f g : (f g)(x) = f (x) g(x); D f g = D f D g fg : (fg)(x) = f (x)g(x); D fg = D f D g f g : f f (x) g (x) = g(x) ; D f g cf : (cf )(x) = cf (x); D cf = D f = {x D f D g g(x) 0} Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 41 / 80

Funkce, zobrazení Monotonie Bud f funkce, M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ), neklesající, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), klesající, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ), nerostoucí, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 42 / 80

Funkce je Funkce, zobrazení monotóní na množině M, pokud je neklesající na M, nebo nerostoucí na M. ryze monotóní na množině M, pokud je klesající na M, nebo rostoucí na M. Rostoucí funkce. Neklesající funkce. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 43 / 80

Funkce, zobrazení Parita Bud f taková funkce, že pro její definiční obor platí x D(f ) x D(f ). Funkce f je sudá, jestliže pro x D(f ) platí f ( x) = f (x). lichá, jestliže pro x D(f ) platí f ( x) = f (x). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 44 / 80

Funkce, zobrazení Graf sudé funkce je symetrický podle osy y. Graf liché funkce je symetrický podle počátku. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 45 / 80

Funkce, zobrazení Příklad Rozhodněte o případné sudosti a lichosti následujících funkcí: f (x) = x 2 1 x 4 +3 g(x) = x+1 x 1 h(x) = log 2 x+1 x 1 [sudá] [ani sudá, ani lichá] [lichá] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 46 / 80

Funkce, zobrazení Základní vlastnosti sudých a lichých funkcí Je-li lichá funkce f definovaná v bodě 0, tak platí f (0) = 0. Jedinou funkcí, zároveň sudou i lichou, je funkce f (x) = 0. Součet dvou sudých (resp. lichých) funkcí je sudá (resp. lichá) funkce. Součet liché a sudé funkce není ani lichá ani sudá funkce. Součin dvou sudých (resp. lichých) funkcí je vždy sudá funkce. Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 47 / 80

Funkce, zobrazení Periodičnost Necht p R, p > 0. Funkce f je periodická s periodou p, jestliže pro všechna x D(f ) platí x + p D(f ), f (x + p) = f (x). Periodická funkce. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 48 / 80

Funkce, zobrazení Ohraničenost Bud f funkce, M D(f ). Funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže existuje d R takové, že pro každé x M platí f (x) d její obor hodnot je ohraničený zdola shora ohraničená, jestliže existuje h R takové, že pro každé x M platí f (x) h její obor hodnot je ohraničený shora ohraničená, jestliže existují d, h R takové, že pro každé x M platí d f (x) h její obor hodnot je ohraničený Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 49 / 80

Funkce, zobrazení Funkce ohraničená shora. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 50 / 80

Funkce, zobrazení Kladná a záporná funkce Bud f funkce a M D(f ). Funkce f je kladná na M, pokud f (x) > 0 pro x M. nezáporná na M, pokud f (x) 0 pro x M. záporná na M, pokud f (x) < 0 pro x M. nekladná na M, pokud f (x) 0 pro x M. Bod [0, f (0)] nazýváme průsečík funkce f s osou y. Je-li f (x 0 ) = 0, pak nazýváme bod [x 0, 0] průsečík funkce f s osou x. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 51 / 80

Přehled elementárních funkcí Přehled elementárních funkcí - mocninné funkce x 2 x 2, x 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 52 / 80

Přehled elementárních funkcí x 2, x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 53 / 80

Přehled elementárních funkcí x 3 x 3, x 5 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 54 / 80

Přehled elementárních funkcí 1 x, 1 x 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 55 / 80

Přehled elementárních funkcí Exponenciální funkce f (x) = a x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 56 / 80

Logaritmické funkce Přehled elementárních funkcí f (x) = log a x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 57 / 80

Přehled elementárních funkcí e x, ln x (e = 2, 718281828...) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 58 / 80

Přehled elementárních funkcí 2 x, ( 1 x, 2) log2 x, log 1 x 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 59 / 80

Přehled elementárních funkcí Goniometrické funkce sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 60 / 80

Přehled elementárních funkcí Funkce sin x a cos x jsou definovány pro všechna x R a jsou periodické s periodou 2π. Funkce sinus je lichá a funkce kosinus sudá. y = sin x y = cos x tg x = sin x cos x, cotg x = 1 tg x = cos x sin x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 61 / 80

Přehled elementárních funkcí Funkce tg x je definována pro všechna x R, pro která platí x (2k + 1) π 2, k Z. Funkce cotg x je definována pro všechna x R, pro která platí x kπ, k Z. Funkce tg x a cotg x jsou liché a periodické s periodou π. y = tg x y = cotg x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 62 / 80

Přehled elementárních funkcí Cyklometrické funkce Inverzní ke goniometrickým funkcím. Funkce sin x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arcsin x je definovaná na intervalu 1, 1 a je inverzní k funkci sin x na intervalu π 2, π 2. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 63 / 80

Přehled elementárních funkcí Funkce cos x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arccos x je definovaná na intervalu 1, 1 a je inverzní k funkci cos x na intervalu 0, π. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 64 / 80

Přehled elementárních funkcí Funkce tg x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arctg x je definovaná na intervalu (, ) a je inverzní k funkci tg x na intervalu ( π 2, π 2 ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 65 / 80

Přehled elementárních funkcí Funkce cotg x není prostá zúžení ( inverzní funkce). Funkce f (x) = arccotg x je definovaná na intervalu (, ) a je inverzní k funkci cotg x na intervalu (0, π). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 66 / 80

Přehled elementárních funkcí Další důležité funkce Znaménková funkce 1 pro x > 0 sgn x = 0 pro x = 0 1 pro x < 0 Celá část [x] Z, [x] x < [x] + 1 Charakteristická { funkce množiny 1 pro x M χ M (x) = 0 pro x / M Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 67 / 80

Přehled elementárních funkcí Transformace grafu funkce Necht je dána funkce y = f (x) a nenulová reálná čísla a, b. y = f (x + a) graf posunutý doleva (a > 0) nebo doprava (a < 0) y = f (x) + b graf posunutý nahoru (b > 0) nebo dolů (b < 0) f (x) = (x + 1) 3 f (x) = x 3 + 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 68 / 80

Polynomy Funkci Polynomy P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, kde a 0,..., a n R, a n 0 nazýváme polynom stupně n, n N 0. Čísla a 0,..., a n nazýváme koeficienty polynomu P. Koeficient a n nazýváme vedoucí koeficient Koeficient a 0 nazýváme absolutní člen. Je-li a n = 1, říkáme, že polynom P je normovaný. P 0 (x) = 2 P 1 (x) = 2x - 1 P 2 (x) = x 2-2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 69 / 80

Polynomy Číslo x 0 C, pro které P n (x 0 ) = 0, nazýváme kořen polynomu P n. Je-li x 0 kořen polynomu P n (x), výraz (x x 0 ) nazveme kořenovým činitelem polynomu P n a platí P n (x) = (x x 0 )Q n 1 (x). Kořen x 0 C je k-násobným kořenem polynomu P n, 1 k n, pokud (x x 0 ) k dělí P n (x) beze zbytku a (x x 0 ) k+1 nedělí P n (x). Je-li x 0 R k-násobným kořenem polynomu P n, pak existuje polynom Q n k takový, že platí P n (x) = (x x 0 ) k Q n k (x). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 70 / 80

Polynomy Polynom stupně n má právě n (ne nutně různých) komplexních kořenů x 1, x 2,..., x n a platí Vlastnosti: P n (x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ). (rozklad na kořenové činitele) Je-li komplexní číslo x 0 = a + bj, a, b R, b 0 kořenem polynomu P n, pak je kořenem i číslo komplexně sdružené x 0 = a bj. Počet reálných kořenů polynomu stupně n je bud n, nebo o sudý počet menší. Polynom lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 71 / 80

Polynomy Platí Příklad a 0 = ( 1) n a n (x 1 x 2 x n ) Jsou-li koeficienty polynomu celočíselné, pak jeho celočíselné kořeny dělí absolutní člen polynomu. Mějme polynom P(x) = x 4 5x 3 + x 2 + 21x 18. a 0 = 18 Celočíselné kořeny jsou děliteli čísla 18: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Skutečně P(x) = (x 1)(x + 2)(x 3) 2. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 72 / 80

Hornerovo schéma Algoritmus používaný při Polynomy určování funkční hodnoty polynomu. rozkladu polynomu s celočíselnými koeficienty na součin kořenových činitelů. Určení P n (α) pro P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 : a n a n 1 a 1 a 0 α b n 1 = a n b n 2 = α b n 1 + a n 1 b 0 = α b 1 + a 1 P(α) = α b 0 + a 0 Platí P n (x) = (x α) (b n 1 x n 1 + b n 2 x n 2 + + b 1 x + b 0 ) + P(α) Je-li P n (α) = 0, pak α je kořenem polynomu P n (x). dostáváme koeficienty polynomu, který vznikne po vytknutí příslušného kořenového činitele Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 73 / 80

Příklad Polynomy Rozložte polynom P(x) = x 4 5x 3 + x 2 + 21x 18 na součin kořenových činitelů. Řešení: Celočíselné kořeny jsou mezi čísly ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. 1-5 1 21-18 1 1-4 -3 18 0 P(x) = (x 1) ( x 3 4x 2 3x + 18 ) 1 1-3 -6 12-1 1-5 2 16-2 1-6 9 0 P(x) = (x 1)(x + 2) ( x 2 6x + 9 ) 3 1-3 0 P(x) = (x 1)(x + 2)(x 3) (x 3) Celkem: P(x) = (x 1)(x + 2)(x 2 6x + 9) = (x 1)(x + 2)(x 3) 2. Kořeny 1, 2 jsou jednoduché, kořen 3 je dvojnásobný. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 74 / 80

Polynomy Kvadratický polynom P(x) = ax 2 + bx + c D = b 2 4ac x 1,2 = b± D 2a P(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) D > 0 x 1 x 2, x 1,2 R, D = 0 x 1 = x 2, x 1,2 R, D < 0 x 1 = x 2, x 1,2 C. a > 0. a < 0. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 75 / 80

Racionální lomená funkce a parciální zlomky Racionální lomená funkce Racionální lomená funkce je funkce tvaru R(x) = P n(x) Q m (x), kde P n a Q m jsou polynomy stupně n a m. Racionální funkce R(x) je ryze lomená, jestliže n < m. neryze lomená, jestliže n m. Každou neryze lomenou racionální funkci lze vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce (dělením). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 76 / 80

Racionální lomená funkce a parciální zlomky Rozklad ryze lomené racionální funkce na parciální zlomky Necht P n(x) Q m(x) je ryze lomená racionální funkce (m > n). Každému kořenovému činiteli jmenovatele tvaru (x x 0 ) k odpovídá součet parciálních zlomků A k (x x 0 ) k + A k 1 (x x 0 ) k 1 + + A 1 (x x 0 ) (x 2 + px + q) r odpovídá součet parciálních zlomků B r x + C r (x 2 + px + q) r + B r 1x + C r 1 (x 2 + px + q) r 1 + + B 1x + C 1 (x 2 + px + q) Koeficienty v rozkladu dopočítáme metodou neurčitých koeficientů. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 77 / 80

Racionální lomená funkce a parciální zlomky Příklad Naznačte rozklad racionálně lomených funkcí na parciální zlomky. Koeficienty A, B, C,... nedopočítávejte. [ (a) R(x) = x 4 +7x+13 A x 5 x x + B x 1 + (b) R(x) = x 4 +5x+11 x 6 +2x 4 +x 2 ] C x+1 + Dx+E x 2 +1 [ ] A x + B + Cx+D x 2 x 2 +1 + Ex+F (x 2 +1) 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 78 / 80

Příklad Racionální lomená funkce a parciální zlomky Rozložte racionálně lomenou funkci na součet parciálních zlomků: Řešení: R(x) = x 4 + 4x 3 10x 2 + 21x 4 x 5 x 4 + 3x 3 3x 2 4x + 4 R(x) = x 4 + 4x 3 10x 2 + 21x 4 x 5 x 4 + 3x 3 3x 2 4x + 4 = x 4 + 4x 3 10x 2 + 21x 4 (x 1) 2 (x + 1)(x 2 + 4) x 4 + 4x 3 10x 2 + 21x 4 (x 1) 2 (x + 1)(x 2 + 4) Upravíme = A (x 1) 2 + B x 1 + C x + 1 + Dx + E x 2 + 4 x 4 + 4x 3 10x 2 + 21x 4 = A(x + 1)(x 2 + 4) + B(x 1)(x + 1)(x 2 + 4) + C(x 1) 2 (x 2 + 4) + (Dx + E)(x 1) 2 (x + 1) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 79 / 80

Racionální lomená funkce a parciální zlomky x 4 + 4x 3 10x 2 + 21x 4 = (B + C + D)x 4 + (A 2C D + E)x 3 + (A + 3B + 5C D E)x 2 + (4A 8C + D E)x + (4A 4B + 4C + E) Sestavíme soustavu lineárních rovnic x 4 : 1 = B + C + D x 3 : 4 = A 2C D + E x 2 : 10 = A + 3B + 5C D E x 1 : 21 = 4A 8C + D E x 0 : 4 = 4A 4B + 4C + E A = 1 B = 0 C = 2 D = 1 E = 0 Tedy R(x) = 1 (x 1) 2 2 x + 1 + x x 2 + 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 80 / 80