PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se středem [, ]. Pokud bychom použili Fubiniovu větu, tj. množinu M rozřezávali vodorovně a svisle, museli bychom ji rozdělit na čtyři části a integrál počítat jako součet -2 M 1 I = 1 2 4 2 f(, y) d dy+ 4 2 1 1-1 1 2 M 3 M 2 M 4 1 2 f(, y) d dy+ 4 2 1 4 2 2 4 2 + f(, y) d dy + f(, y) d dy+ 1 1 2 1 4 2 (popř. bychom spočítali integrál přes větší kruh a odečetli integrál přes menší kruh) 2

Takový výpočet nevypadá moc lákavě - ani pro jednoduchou funkci f. Pokud bychom však použili polární souřadnice, stačilo by uvažovat r (1, 2), ϕ (, 2π) : y y M r r y = r sin -2-1 1 2 = r cos Oblast M tedy nebudeme rozřezávat vodorovně a svisle, ale po paprscích vycházejících z počátku a po soustředných kružnicích se středem v počátku, což vypadá pro mezikruží daleko přirozeněji. Musíme si však rozmyslet, jak takovou substituci správně provést. 3

Zjednodušene r ec eno, v kartézských sour adnicích jsme d dy považovali za obsah obdélníc ku o stranách d, dy; mu žeme také hovor it o elementu obsahu ds = d dy y y dy ds ds r d d dr d r Pr ejdeme-li k polárním sour adnicím, tak dr dϕ nevyjadr uje element obsahu ten má nyní strany dr a r dϕ, a tedy obsah ds = r dϕ dr = r dr dϕ. Hledaný integrál proto bude mít tvar ZZ Z 2π Z 2 I= f (, y) d dy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. M 1 4

Du kaz ve ty o substituci zde uváde t nebudeme, podívejme se jen intuitivne, jak funguje. RR Použijeme-li kartézské sour adnice, pak v integrálu M f (, y) d dy vyjadr uje d dy obsah obdélníc ku o stranách d, dy neboli element obsahu ds = d dy. Zme níme-li sour adnice na ne jaké jiné, napr íklad u, v, kde = h1 (u, v), y = h2 (u, v), pak musíme pr epoc ítat i element obsahu. y y dy ds d dv v tv u ds tu 5

Ten si nyní můžeme představit v rovině y jako rovnoběžník daný vektory t u, t v, které udávají změnu kartézských souřadnic odpovídající změně proměnných u, resp. v, o hodnotu du, resp. dv: ( ) ( y t u = du, u u du = u, y ) du u ( ) ( y t v = dv, v v dv = v, y ) dv v Obsah tohoto rovnoběžníku můžeme spočítat pomocí determinantu, jehož řádky tvoří vektory t u, t v : y u u ds = det du dv = J h du dv y v v M f(, y) d dy = 2π 2 1 f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. Tento determinant se nazývá Jakobián zobrazení h. 6

7 V R 2 jsme tedy element obsahu v souřadnicích u, v, kde vyjádřili ve tvaru (, y) = h(u, v) = (h 1 (u, v), h 2 (u, v)) ds = d dy = J h du dv, kde J h je Jakobián zobrazení h, tj. determinant y D(, y) J h = D(u, v) = u u. y v v

8 Poznámka. Výpočet obsahu rovnoběžníka se stranami a, b pomocí determinantu: ( ) S = det a1 a 2 = a 1 b 2 a 2 b 1 b 1 b 2 y y a 2 b 2 b 2 b 1 a 2 b a a 2 b a b 1 a 1 b 1 a 1

Podobně bychom mohli vyjádřit element objemu dv = d dy dz v R 3 v souřadnicích u, v, w, kde (, y, z) = h(u, v, w) = (h 1 (u, v, w), h 2 (u, v, w), h 3 (u, v, w)), jako dv = d dy dz = J h du dv dw, kde J h je zobrazení h, tj. determinant u D(, y, z) J h = D(u, v, w) = v w y u y v y w z u z v. z w Od zobrazení h budeme požadovat, aby bylo prosté a regulární (všechny parciální derivace uvedené v Jakobiánu jsou spojité na dané otevřené množině X a J h ). 9

Věta (O substituci). Necht h je prosté regulární zobrazení otevřené množiny U R n na množinu X R n. Necht je M U, f(y) funkce definovaná na h(m) a J h Jakobián zobrazení h, tj. J h = D( 1, 2,..., n ) D(u 1, u 2,..., u n ) = 1 u 1 2 u 1... 1 u 2 2 u 2....... 1 u n 2 u n... n u 1 n u 2 n u n. Pak platí h(m) f() d 1... d n = M pokud oba integrály v (6.1) eistují. f ( h(u) ) Jh du1... du n, (6.1) 1

11 Jak je vidět z této věty, substituce nemění pouze integrovanou funkci, ale také podstatně oblast M, přes kterou integrujeme. Proto se na rozdíl od jednorozměrných integrálů pomocí substituce nesnažíme pouze zjednodušit integrovanou funkci, ale také integrační oblast. To je při výpočtu vícerozměrných integrálů velmi podstatné. Například jestliže se nám podaří transformovat oblast M na interval, stačí podle Fubiniovy věty najít n jednorozměrných integrálů, i když většinou poměrně složitých. Poznámka. Jakobián inverzního zobrazení: Někdy je jednodušší vyjádřit naopak nové souřadnice u i pomocí původních souřadnic i, neboli pracovat s inverzním zobrazením k zobrazení h. Není nutné řešit soustavu rovnic a vyjadřovat i, stačí si uvědomit, že pro jakobiány zobrazení h a inverzního zobrazení h 1 platí jednoduchý vztah: J h 1 = 1 J h

Polární souřadnice Polární souřadnice jsou definovány jako zobrazení h : R 2 R 2 : h(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) (6.2) roviny rϕ do roviny y, které bodu (r, ϕ) přiřazuje bod roviny y o souřadnicích = r cos ϕ, y = r sin ϕ. y r = 2 + y 2 r y = r sin = r cos 12

Rovnice kružnice v polárních souřadnicích: 2 + y 2 = R 2 r 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = R 2 r 2 = R 2, tj. r = R, ϕ, 2π) Kruh 2 + y 2 R 2 v polárních souřadnicích: Jakobián: D(, y) J h = (r, ϕ) = D(r, ϕ) r, R, ϕ, 2π) r, y r, ϕ = cos ϕ, y sin ϕ, ϕ r sin ϕ r cos ϕ = r > Využití polárních souřadnic: hranice integrační oblasti obsahuje části kružnice se středem v počátku. 13

14 Příklad Nalezněte hodnotu integrálu (2 2 + 3y) d dy, kde N = {(, y) R 2 2 + y 2 9}. N Řešení. Integrand je spojitá funkce na omezeném a uzavřeném integračním oboru, a tedy integrál eistuje. Integrační obor je kruh 2 + y 2 9, takže použijeme polární souřadnice. Dosadíme nové proměnné do integrandu, provedeme transformaci integračního oboru tím, že jej zapíšeme pomocí integračních mezí a využijeme poznatku, že jakobián polárních souřadnic je r. Dvojný integrál tak převedeme již rovnou na dvojnásobný integrál. (2 2 + 3y) d dy = = r cos ϕ, r 3 y = r sin ϕ, ϕ < 2π = N = 3 = 3 2π (2r 2 cos 2 ϕ + 3r sin ϕ)rdϕdr = 2π r 3 dr 2 cos 2 ϕdϕ + 3 2π 3r 2 dr sin ϕdϕ = 81 2 π.

Příklad Nalezněte hodnotu integrálu ( 2 + y 2 ) d dy, (6.3) kde N N = {(, y) R 2 (1/2 2 + y 2 1) ( < y) ( < y)}. Řešení. Integrand je spojitá nezáporná funkce na omezeném integračním oboru, takže integrál eistuje. Integrační obor je část mezikruží, použijeme proto opět polární souřadnice: ( 2 +y 2 ) d dy = N = r cos ϕ, y = r sin ϕ, 2 2 r 1 π 4 ϕ 3π 4 = 1 2 2 3π 4 π 4 r 2 r dϕdr = 3π 32. 15

Zobecněné polární souřadnice = 1, pou- Jsou-li hranicí integračního oboru části elipsy 2 a 2 žíváme zobecněné polární souřadnice: + y2 b 2 = ar cos ϕ, y = br sin ϕ, (6.4) r >, ϕ (, 2π), a, b R, a >, b > Rovnice elipsy v zobecněných polárních souřadnicích: r = 1 a 2 r 2 cos 2 ϕ a 2 Jakobián: D(, y) J h = (r, ϕ) = a cos ϕ, D(r, ϕ) b sin ϕ, + b2 r 2 sin 2 ϕ b 2 = 1 r 2 = 1 ar sin ϕ br cos ϕ = abr > (6.5) 16

17 Obsahuje-li hranice integračního oboru části elipsy se středem v bodě (, y ) (, ) a s poloosami a >, b >, používáme zobecněné polární souřadnice ve tvaru: = + ar cos ϕ, y = y + br sin ϕ, (6.6) r >, ϕ (, 2π), a, b R, a >, b >

18 Příklad Nalezněte hodnotu integrálu 1 2 a y2 d dy, (6.7) 2 b2 N kde N = {(, y) R 2 2 + y2 1. a 2 b 2 Řešení. Použijeme proto zobecněné polární souřadnice: 1 2 a y2 d dy = = ar cos ϕ, r 1 2 b2 y = br sin ϕ, ϕ < 2π = N 1 2π 1 r2 abr dϕdr = 2abπ 3.

19 Další souřadnice Příklad Nalezněte hodnotu integrálu y d dy, kde integrační obor N N je ohraničen křivkami y = 1, y = 3, y =, y = 2, >. Řešení. Integrační obor je ohraničen větvemi hyperbol y = 1, y = 3, polopřímkami y =, y = 2 a požadavkem >. Integrační obor musí být omezená množina. Snadno zjistíme, že tento požadavek je splněn pouze pro nerovnosti 1 y 3, 1 y 2,

2 Uvažujme nové proměnné dané zobrazením Pro jakobián tohoto zobrazení platí J h 1 = h 1 : u = y, v = y. y, y 2, 1 = 2 y = 2v. Odtud pro jakobián potřebného zobrazení (, y) = h(u, v) plyne J h = 1 J h 1 = 1 2v. Bude tedy N y d dy = 3 2 1 1 v 1 dv du = 1. 2v

21 Totéž v R 3 Válcové souřadnice h : = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z (6.8) r (, R), ϕ (, 2π), z (z, z 1 ) z r z y ds r d dr d

22 Rovnice válce v kartézských souřadnicích (osou válce je osa z): 2 + y 2 R 2 Rovnice válce ve válcových souřadnicích: r 2 R 2, tj. r, R, ϕ, 2π) z r z y ds r d dr d

Jakobián: J h = cos ϕ, r sin ϕ, sin ϕ, r cos ϕ,,, 1 = r >. (6.9) z z r r d dr dz dv = ds dz = r d drdz y r r d ds dr 23

Příklad Nalezněte hodnotu integrálu M 2 y d dy dz, kde integrační obor M je zadán nerovnostmi z, y + z 3, 2 + y 2 1, 2 + y 2 4. Řešení. Integrační obor je ohraničen dvěma souosými válcovými plochami a dvěma rovinami. Je to omezená množina, integrand je na ní spojitý, takže zadaný trojný integrál eistuje. K výpočtu použijeme válcové souřadnice = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z. Nerovnosti pro M vyjádříme ve válcových souřadnicích: z, r sin ϕ + z 3, 1 r 2 4; dostáváme meze pro integrační proměnné: 1 < r < 2, < ϕ < 2π, < z < 3 r sin ϕ. M 2 y d dy dz = = 2 1 2π 2 1 2π 3 r sin ϕ r 2 cos 2 ϕr sin ϕr ddϕdr = r 4 cos 2 ϕ sin ϕ(3 r sin ϕ)dϕdr = 21 8 π. 24

25 Zobecněné válcové souřadnice h : = ar cos ϕ, y = br sin ϕ, z = z (6.1) r (, R), ϕ (, 2π), z (z, z 1 ) Jakobián: J h = a cos ϕ, ar sin ϕ, b sin ϕ, br cos ϕ,,, 1 = abr >. (6.11)

26 Sférické souřadnice = r cos ϑ cos ϕ, y = r cos ϑ sin ϕ, z = r sin ϑ, (6.12) ϕ 2π, π 2 ϑ π 2, r z r y ds r d dr d r cos

Jakobián: cos ϑ cos ϕ, r cos ϑ sin ϕ, r sin ϑ cos ϕ J h = cos ϑ sin ϕ, r cos ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ = sin ϑ,, r cos ϑ = r 2 cos ϑ cos ϑ cos ϕ, sin ϕ, sin ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ, cos ϕ, sin ϑ sin ϕ sin ϑ,, cos ϑ = r 2 cos ϑ. (6.13) Rovnice koule 2 +y 2 +z 2 R 2 ve sférických souřadnicích: (r cos ϑ cos ϕ) 2 + (r sin ϑ cos ϕ) 2 + (r sin ϑ) 2 = R 2 ] r [cos 2 2 ϑ (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) }{{} + sin2 ϑ = R 2 r 2 = R 2 r = R 27

28 z 2 dv = ds dr = r cos d d dr rd ds r cos d d r y d r cos r cos d

Příklad Nalezněte hodnotu integrálu 1 d dy dz, kde M 2 + y 2 + z2 integrační obor M je zadán nerovnostmi a 2 2 +y 2 +z 2 b 2, 2 + y 2 z. Řešení. Integrační obor M je ohraničen dvěma sférami se středem v počátku a kuželovou plochou. Je to omezená množina, integrand je na ní spojitý, takže zadaný trojný integrál eistuje. K jeho výpočtu použijeme sférické souřadnice = r cos ϑ cos ϕ, y = r cos ϑ sin ϕ, z = r sin ϑ, kde ϕ 2π, π 2 ϑ π, r. Nerovnosti pro M vyjádříme ve sférických souřadnicích a 2 zúžíme meze: a 2 r 2 b 2, r2 cos 2 ϑ r sin ϑ; pro ϑ π 2, π je cos ϑ, proto lze psát 2 a r b, r cos ϑ r sin ϑ, tedy π 4 ϑ π 2. Pro ϕ se neobjevila žádná omezující podmínka, budeme jej proto brát z celého intervalu, 2π). Celkem tak dostáváme meze integračních proměnných a < r < b, < ϕ < 2π, π/4 < ϑ. M 1 d dy dz = 2 + y 2 + z2 2π b π/2 a π/4 1 r 2 r2 cos ϑdϑdrdϕ = 2π(b a) ( 1 29

6..1 Zobecněné sférické souřadnice Hranice integračního oboru je tvořena částmi elipsoidu se středem v počátku a s poloosami a, b, c >, pak je výhodné použít zobecněné sférické souřadnice: = ar cos ϑ cos ϕ, y = br cos ϑ sin ϕ, z = cr sin ϑ, (6.14) ϕ 2π, π 2 ϑ π 2, r < R, Jakobián: J h = abcr 2 cos ϑ. (6.15) Rovnice elipsoidu 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1 v zobecněných sférických souřadnicích: 3

31 a 2 r 2 cos 2 ϑ cos 2 ϕ a 2 + b2 r 2 cos 2 ϑ sin 2 ϕ b 2 + c2 r 2 sin 2 ϑ c 2 1 r 2 [ cos 2 ϑ(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) + sin 2 ϑ ] = R 2 r 2 1, tj. r 1.

32 Příklad Máme vypočítat objem elipsoidu se středem v počátku a poloosami a, b, c. Řešení. K výpočtu použijeme zobecněné sférické souřadnice, kde pro integrační proměnné platí nerovnosti < r < 1, < ϕ < 2π, π 2 < ϑ < π 2. M d dy dz = 2π π/2 π/2 1 abcr 2 cos ϑ drdϑdϕ = 4 3 abcπ.