Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální čísla R... reálná čísla (tj. všechna čísla na číselné ose) I = R \ Q... iracionální čísla C... komplexní čísla (zatím nebudeme potřebovat) Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá prvkem množiny N. M N = {(m, n) m M n N} R R = R 2 = {(x, y) x, y R}... rovina R R R = R 3 = {(x, y, z) x, y, z R}... 3D prostor Další příklady: (0, 1) (2, 3), { 1, 1, 3} (1, 5), 0, 1 2, 3

3/13 Maximum a minimum množiny Definice: Necht M R. Říkáme, že číslo max M je maximem množiny M, jestliže platí: (i) m M : m max M (ii) max M M Definice: Obdobně říkáme, že číslo min M je minimem množiny M, jestliže platí: (i) m M : m min M (ii) min M M Poznámka: Některé množiny nemají maximum (či minimum).

Funkce jedné proměnné 4/13 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli vzor) y... závisle proměnná (neboli obraz) M = D(f )... definiční obor f H(f ) = {y = f (x) x D(f )}... obor hodnot f Definice: graf(f ) = {(x, f (x)) x D(f )} Tedy graf f je množina uspořádaných dvojic čísel (x, f (x)), neboli množina bodů v rovině.

5/13 Způsoby zadání funkce analytickým předpisem (výrazem) graficky tabulkou hodnot, algoritmem, slovně Určení definičního oboru je součástí zadání funkce. Není-li definiční obor zadán, myslí se přirozený definiční obor. Poznámka: Dvě funkce f a g se rovnají (zapisujeme f = g), jestliže (i) D(f ) = D(g) (ii) x D(f ) : f (x) = g(x)

Operace s funkcemi 6/13 Součet funkcí h = f + g : Součin funkcí h = f g : h(x) = f (x) + g(x) h(x) = f (x) g(x) Podíl funkcí h = f g : Složená funkce h = g f : f (x) h(x) = g(x) g - vnější funkce, f - vnitřní funkce h(x) = g f (x) = g(f (x)) Pozn. Obecně g f f g. (např. cos 2 (x) cos(x 2 ))

7/13 Vlastnosti funkcí - prosté funkce Definice: Funkce f je prostá na M D(f ), jestliže x 1, x 2 M : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) Poznámka: ekvivalentní formulace důkaz, že f je prostá x 1, x 2 M : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 negace důkaz, že f není prostá x 1, x 2 M : x 1 x 2 f (x 1 ) = f (x 2 ) Pozn. Řekneme-li, že f je prostá, myslíme tím na celém D(f ). Pozor! Neplést si s definicí funkce! Větička: Složení prostých funkcí je prostá funkce.

8/13 Vlastnosti funkcí - omezené funkce Definice: Říkáme, že funkce f je omezená zdola, jestliže d R takové, že x D(f ) platí d f (x). Říkáme, že funkce f je omezená shora, jestliže h R takové, že x D(f ) platí f (x) h. Funkce omezená zdola i shora se nazývá omezená.

9/13 Vlastnosti funkcí - monotonní funkce Definice: Mějme funkci f a množinu M D(f ). Jestliže pro každé x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí (i) f (x 1 ) < f (x 2 ), je funkce f rostoucí na M (ii) f (x 1 ) > f (x 2 ), je funkce f klesající na M (iii) f (x 1 ) f (x 2 ), je funkce f neklesající na M (iv) f (x 1 ) f (x 2 ), je funkce f nerostoucí na M Má-li f jednu z vlastností (i) (iv), nazýváme ji monotonní. Má-li f vlastnost (i) nebo (ii), nazýváme ji ryze monotonní. Tvrzení: Součet dvou rostoucích (klesajících) funkcí je funkce rostoucí (klesající). (neplatí pro součin ani podíl funkcí) Věta: Je-li funkce f ryze monotonní na množině M R, je na M prostá.

10/13 Vlastnosti funkcí - sudé a liché funkce Definice: Říkáme, že funkce f je sudá, jestliže (i) x D(f ) x D(f ) (ii) x D(f ) : f ( x) = f (x) Říkáme, že funkce f je lichá, jestliže (i) x D(f ) x D(f ) (ii) x D(f ) : f ( x) = f (x) Platí: (i) Definiční obor sudé i liché funkce je souměrný podle počátku. (ii) Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. (iii) Graf liché funkce je souměrný podle počátku.

11/13 Vlastnosti funkcí - periodické funkce Definice: Funkci f nazýváme periodickou, jestliže p R, p 0 takové, že: (i) x D(f ) x ± p D(f ) (ii) x D(f ) : f (x ± p) = f (x) Číslo p nazýváme periodou funkce f. Nejmenší kladnou periodu nazýváme primitivní periodou. Věta: Je-li funkce f periodická s periodou p, pak složená funkce h(x) = g(f (x)) je rovněž periodická s periodou p. Např. Funkce sin x, tg 2 (x), 2 cotg x jsou rovněž periodické. Naopak funkce sin(x 2 ), tg (2 x ) nejsou periodické.

Inverzní funkce Definice: Necht f je prostá funkce s oborem hodnot H(f ). Inverzní funkcí k funkci f rozumíme funkci f 1 s definičním oborem D(f 1 ) = H(f ) a s oborem hodnot H(f 1 ) = D(f ) definovanou vztahem y = f (x) x = f 1 (y) Platí: (i) Graf inverzní funkce f 1 je souměrný s grafem funkce f podle přímky y = x. (ii) x D(f ) : f 1 (f (x)) = x (iii) y D(f 1 ) : f (f 1 (y)) = y (iv) (f 1 ) 1 = f Vztah exponenciální a logaritmické funkce y = a x x = log a (y), x R, y > 0 Užitečné: h(x) = f (x) g(x) = ( e ln(f (x))) g(x) = e g(x) ln(f (x)) 12/13

Cyklometrické funkce Definice: f (x) = sin x, x π 2, π 2 = f 1 (x) = arcsin(x) f (x) = cos x, x 0, π = f 1 (x) = arccos(x) f (x) = tg x, x ( π 2, π 2 ) = f 1 (x) = arctg (x) f (x) = cotg x, x (0, π) = f 1 (x) = arccotg (x) π π ) Věta (vlastnosti cyklometrických funkcí): f (x) arcsin(x) arccos(x) arctg (x) arccotg (x) D(f ) 1, 1 1, 1 R R H(f ) π 2, π 2 0, π ( π 2, π 2 ) (0, π) rostoucí klesající sudá lichá f 1 (x) sin(x) cos(x) tg(x) cotg(x) x π 2, x 0, π x ( π 2, x (0, π) 2 2 13/13