Masarykova univerzita

Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9

Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury. V Brně dne 8.ledn 9.....

Poděkování Děkuji pnu RNDr. Romnu Plchovi, Ph.D. vedoucímu mé diplomové práce, z čs strávený zkoumáním textů, z cenné připomínky rdy při zprcovávání této práce. Dále děkuji pnu RNDr.Krlu Šrotovi z poskytnutí skriptů pro převod z LA TEXu do html npsné v jzyku Python Bc.Jromíru Vitekerovi z pomoc s jejich úprvou.

Obsh Úvod 5 Riemnnův určitý integrál 7. Geometrická motivce............................. 7. Konstrukce dolního horního součtu..................... 8.. Vlstnosti dolních horních součtů.................. 9. Konstrukce dolního horního integrálu.................... 9.. Výběr reprezentntů dělicích intervlů.................4 Podmínky integrovtelnosti funkce.......................5 Vlstnosti integrovtelných funkcí........................5. Souvislost mezi určitým neurčitým integrálem........... 4.5. Integrční metod per prtes pro určité integrály.......... 5.5. Substituční metod pro určité integrály................ 6.6 Příkldy k procvičení s výsledky........................ 8 Geometrické plikce určitého integrálu. Obsh rovinných obrzců.............................. Řešené příkldy.............................. Délk křivky................................... 9.. Řešené příkldy.............................. Objem rotčních těles............................. 4.. Řešené příkldy............................. 5.4 Povrch pláště rotčního těles......................... 4.4. Řešené příkldy............................. 44.5 Příkldy k procvičení s výsledky........................ 47 Nevlstní integrály 5. Nevlstní integrál přes neomezený intervl.................. 5. Nevlstní integrál z neomezené funkce..................... 5. Příkldy k procvičení s výsledky........................ 54 4 Integrce v Mplu 56 4. Úvod do Mplu................................. 56 4. Práce v Mplu................................. 57

OBSAH 4 4. Zákldní příkzy................................ 57 4.4 Konstrukce dolního horního integrálního součtu.............. 59 4.5 Výpočet Riemnnov integrálu metodou per prtes............. 65 4.6 Výpočet Riemnnov integrálu substituční metodou............. 67 4.7 Aplikce určitého integrálu v progrmu Mple................ 69 4.7. Obsh obrzce.............................. 69 4.7. Délk křivky.............................. 8 4.7. Objem rotčního těles......................... 88 4.7.4 Povrch pláště rotčního těles..................... 94 4.8 Nevlstní integrály............................... 96 4.8. Nevlstní integrál přes neomezený intervl.............. 96 4.8. Nevlstní integrál z neomezené funkce................ 99 Závěr

Úvod Tto diplomová práce vznikl z účelem přiblížit vysokoškolským studentům oboru Učitelství mtemtiky pro střední školy n Přírodovědecké fkultě Msrykovy univerzity látku Riemnnův určitý integrál. Své upltnění práce jistě njde nejen u vysokoškolských studentů výše zmíněného oboru. Informce obsžené v mé práci mohou při studiu mtemtiky využít studenti jiných univerzit v neposlední řdě tké studenti středních škol gymnázií. Kromě smotné problemtiky určitého integrálu jeho plikcí v geometrii je práce rozšířen o informce, jk využít progrm Mple k usndnění kontrole výpočtů. V součsné době není jediným zdrojem informcí pouze litertur. Stále čstějším velice oblíbeným zdrojem nejen kvůli dostupnosti se stává Internet celosvětová počítčová sít. Proto je pro větší prktické využití tto práce prezentován tké ve webové podobě n drese http://www.mth.muni.cz/~xschlesi/dp/web. Má diplomová práce souvisí s mou bklářskou prcí (viz. []), kde se zbývám problemtikou neurčitých integrálů. Proto jsou u čtenářů předpokládány již jisté znlosti spojené nejen s pojmem Neurčitý integrál, le tké s látkou Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Potřebné informce spojené s tímto učivem je možno čerpt z [4]. V podsttě můžu říci, že obshem práce je část látky, jež je probírán n Přírodovědecké fkultě Msrykovy univerzity v rámci povinného předmětu Mtemtická nlýz studijního oboru Učitelství mtemtiky pro střední školy je koncipován tk, by studentům co nejvíce usndnil studium této důležité mtemtické disciplíny. Práce obshuje nezbytnou teorii potřebnou k zvládnutí látky Riemnnův určitý integrál, vzorové příkldy s popsným postupem řešení příkldy k procvičení probírné látky s výsledky. Pro snžší pochopení problemtiky je práce doplněn o ilustrční grfiku. Řešené příkldy, jež jsou prezentovány n webu, mjí řešení skryto. Objeví se po kliknutí n příslušný odkz. Součástí práce je tké CD s mpleovskými zápisníky vytvořenými ve verzi Mple 9.5, které jsou rovněž k dispozici ke stžení n webu. N přiloženém CD je práce ve formátu pdf, zdrojový kód html všechny příslušné soubory. Práce je rozdělen do čtyř kpitol. První kpitol seznmuje čtenáře se zákldními pojmy souvisejícími s látkou Riemnnův určitý integrál zároveň jsou zde pro něj modifikovány metody per prtes substituce. Definice věty potřebné k pochopení problemtiky jsem čerpl z několik knih, převážně pk z [6], [7] []. Vzhledem k tomu, že jsem se v práci převážně soustředil n prktické procvičování probírné látky, není práce doplněn o důkzy uvedených tvrzení. Ty je možno njít npříkld v []. Smozřejmě se 5

ÚVOD 6 u všech čtenářů předpokládjí znlosti primitivní funkce dlších pojmů souvisejících s látkou neurčitý integrál. Ve druhé kpitole se podrobně věnuji plikcím určitého integrálu v geometrii, jeho využití při výpočtech obshu rovinných obrzců, délky křivky, objemu povrchu pláště rotčních těles. Potřebnou teorii jsem čerpl kromě již uvedených dvou děl tké z [5]. Zdání příkldů jsem vybírl z [], [5] [8]. Dovolím si n toto místo vložit mlou poznámku o názvu obsh rovinných obrzců. V některých literturách se totiž objevují tké jiné názvy oznčující stejný pojem. Npříkld v [6] utoři používjí název obsh rovinné množiny, můžeme se setkt tké s oznčením obsh rovinného útvru. Já jsem zvolil oznčení obsh rovinného obrzce v podkpitole. jsem tento pojem tké řádně zvedl vysvětlil. Ve třetí kpitole se zbývám problemtikou nevlstních integrálů. Ve čtvrté kpitole je stručný úvod k progrmu Mple. Popisuji zde zákldní příkzy uvádím využití tohoto progrmu při výuce Riemnnov určitého integrálu, zejmén pk jeho plikcí v geometrii. Tto kpitol ukzuje využití progrmu Mple v oblstech popsných v kpitolách,. Při psní této kpitoly jsem čerpl z [] v neposlední řdě tké ze svých osobních zkušeností s tímto progrmem.

Kpitol Riemnnův určitý integrál. Geometrická motivce K pojmu určitého integrálu vede celá řd geometrických fyzikálních úloh. Budeme se věnovt jedné z nejstrších, která bývá někdy nzýván zákldní úlohou integrálního počtu. Necht je dán spojitá nezáporná funkce f(x) pro x, b,, b R. Grf této funkce společně s přímkmi x =, x = b osou x ohrničuje rovinný obrzec (viz. Obrázek.). Nším úkolem nyní bude njít obsh tohoto obrzce. Otázkou je, co y = f(x) b Obrázek.. Podgrf nezáporné funkce f(x) o obshu rovinných obrzců dosud víme? Zřejmě jde o nezáporné číslo. Ale jk budeme při hledání tohoto čísl postupovt? Rozdělíme obrzec rovnoběžkmi s osou y. Tím vytvoříme v obrzci jisté pásky (viz. Obrázek.), které jsou ze tří strn ohrničené úsečkmi ze čtvrté strny jsou ohrničené grfem funkce f. Tyto obshy spočteme přibližně tk, že y = f(x) x x x x 4 x 5 b Obrázek.. Pásky v podgrfu nezáporné funkce f(x) si v kždém pásu zvolíme bod n ose x, vypočteme jeho funkční hodnotu v této výšce 7

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 8 pk kždý pás zrovnáme rovnoběžkou s osou x n obdélník. Tím dostáváme obdélníky, pomocí nichž již můžeme obsh podgrfu vypočítt. I když s jistou chybou. Někde obdélník pásek přeshuje (viz. Obrázek.), jinde ho zcel nepokrývá (viz. Obrázek.4). Můžeme y = f(x) y = f(x) x i x i x i+ Obrázek.. Obdélníky v levých bodech intervlů x i x i x i+ Obrázek.4. Obdélníky v prvých bodech intervlů předpokládt, že čím více pásků uděláme čím budou užší, tím menší chyby se dopustíme. Provedeme-li limitní přechod, tj. budeme-li neomezeně zvětšovt počet pásků zároveň je zužovt, měl by se přibližná hodnot dná součtem ploch všech obdélníků čím dál více přibližovt k obshu dného obrzce (viz. Obrázek.5 Obrázek.6)..5.5.5.5.5.5.5.5 4 6 8 4 6 8 x x Obrázek.5. Limitní přechod. Obrázek.6. Limitní přechod.. Konstrukce dolního horního součtu Abychom mohli zvést pojem určitý integrál, potřebujeme některé pojmy, které zvedeme v tomto prgrfu. Definice. Dělením D intervlu, b,, b R, < b, nzveme množinu D = {x, x,..., x n }, n N tkovou, že = x < x < x < < x n = b. Čísl x, x,..., x n se nzývjí dělicí body, intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí dělicí intervly dělení D. Číslo mx{x i x i ; i =,,..., n} = n(d) > nzýváme normou dělení D. Definice. Necht je funkce f :, b R,, b R, < b n intervlu, b omezená shor i zdol, tzn. existují konstnty m, M tkové, že pro x, b : m f(x) M.

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 9 Necht D = {x, x,..., x n }, n N je libovolné dělení intervlu, b,, b R, < b, oznčme pro i =,,..., n Hodnot m i = inf{f(x); x x i, x i }, M i = sup{f(x); x x i, x i }. s(f, D) = n m i (x i x i ) se nzývá dolní (integrální) součet funkce f při dělení D hodnot S(f, D) = i= n M i (x i x i ) se nzývá horní (integrální) součet funkce f při dělení D. i=.. Vlstnosti dolních horních součtů Lemm. Necht f(x) je omezená funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Pro libovolné dělení D intervlu, b pltí s(f, D) S(f, D). Lemm. Necht f(x) je omezená funkce definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht m = inf{f(x), x, b }, M = sup{f(x), x, b }. Potom pro dělení D pltí m(b ) s(f, D) S(f, D) M(b ). Lemm. Pro libovolná dvě dělení D, D intervlu, b tková, že kždý dělicí bod D je dělicím bodem D (tj. D vznikne z D přidáním jednoho nebo několik nových dělicích bodů) pro kždou omezenou funkci f : (, b) R pltí s(f, D ) s(f, D) S(f, D ) S(f, D). Lemm 4. Pro libovolná dvě dělení D, D intervlu, b pro kždou omezenou funkci f :, b R pltí s(f, D ) S(f, D ).. Konstrukce dolního horního integrálu Definice. Dolním integrálem z omezené funkce f přes intervl, b nzýváme hodnotu f(x) dx = sup{s(f, D): D je libovolné dělení intervlu, b }. Horním integrálem z omezené funkce f přes intervl, b nzýváme hodnotu f(x) dx = inf{s(f, D): D je libovolné dělení intervlu, b }.

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL Lemm 5. Necht f :, b R je funkce omezená n, b. Necht m = inf{f(x), x, b }, M = sup{f(x), x, b }. Potom pltí m(b ) f(x) dx f(x) dx M(b ). Definice 4. Jestliže pltí f(x) dx = f(x) dx, řekneme, že omezená funkce f(x) je n intervlu, b integrovtelná, tj. že má určitý integrál. Společnou hodnotu f(x) dx = f(x) dx nzveme Riemnnovým integrálem z funkce f(x) přes intervl, b oznčíme f(x) dx. Funkce f se nzývá riemnnovsky integrovtelná. Číslo nzýváme dolní mez, číslo b horní mez, intervl, b integrční obor funkci f integrnd. Horní dolní mez nzýváme souhrnně integrční meze. Příkld. Je dán konstntní funkce f(x) = c, c R, x, b. Určete f(x) dx. Zřejmě pltí m i = c, M i = c pro i, s(f, D) = S(f, D) = n i= c(x i x i ) = c(b ) pro kždé dělení D. Potom je podle lemm 5 c(b ) c dx c dx c(b ), z čehož plyne c dx = c dx = c dx = c(b ). Příkld. Je dán Dirichletov funkce χ(x) = { x Q, x / Q. Zjistěte, zd je Dirichletov funkce integrovtelná n intervlu, b,, b R.

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL Bud D = {x, x,..., x n } libovolné dělení intervlu, b, potom m i = inf{f(x); x x i, x i } =, M i = sup{f(x); x x i, x i } = pro kždé i {,,..., n}. A tedy s(χ, D) = n i= (x i x i ) = S(χ, D) = n i= (x i x i ) = b. Odtud χ(x) dx =, χ(x) dx = b, jelikož < b χ(x) dx χ(x) dx. A tedy χ není integrovtelná n žádném intervlu, b, < b. Lemm 6 (O přiblížení dolních resp. horních součtů k dolnímu resp. hornímu integrálu). Je-li f :, b R omezená funkce, pk pro kždé ǫ R, ǫ > existuje δ R, δ > tkové, že pro kždé dělení D intervlu, b pltí implikce: n(d) < δ Závěr lemm lze zpst stručně tkto: f(x) dx ǫ < s(f, D) f(x) dx S(f, D) < lim s(f, D) = f(x) dx, n(d) lim S(f, D) = f(x) dx. n(d).. Výběr reprezentntů dělicích intervlů f(x) dx f(x) dx + ǫ. Definice 5. Necht D = {x, x,..., x n } je libovolné dělení intervlu, b. Pro všechn i =,,..., n vybereme n kždém intervlu x i, x i zcel libovolně jisté číslo σ i, tedy σ i x i, x i. Toto číslo nzveme reprezentntem dělicího intervlu x i, x i. Soustvu n čísel {σ, σ,..., σ n } nzveme výběrem reprezentntů dělicích intervlů dělení D tuto n-prvkovou množinu oznčíme Ξ. Číslo n i= f(σ i)(x i x i ) znčíme I(f, D, Ξ) nzýváme integrální součet funkce f při dělení D výběru reprezentntů Ξ. Lemm 7. Pro omezenou funkci f n intervlu, b pro kždé dělení D intervlu, b kždý výběr reprezentntů Ξ při dělení D pltí s(f, D) I(f, D, Ξ) S(f, D). Vět (O přiblížení integrálních součtů k integrálu z integrovtelné funkce). Je-li f :, b R integrovtelná funkce, pk pro ǫ > δ > tkové, že pro kždé dělení D intervlu, b pro libovolný výběr reprezentntů Ξ pltí implikce: n(d) < δ f(x) dx ǫ < I(f, D, Ξ) < f(x) dx + ǫ.

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL Stručně můžeme zpst: lim I(f, D, Ξ) = f(x) dx n(d).4 Podmínky integrovtelnosti funkce Z příkldu vidíme, že ne kždá funkce má Riemnnův integrál. Zde nás bude zjímt, kdy je dná omezená funkce f n dném intervlu, b,, b R, integrovtelná. Lemm 8. Funkce f(x) je n, b integrovtelná (tj. existuje určitý integrál f(x) dx), jestliže pro kždé ǫ R, ǫ > existuje dělení D intervlu, b, pro které S(f, D) s(f, D) < ǫ. Vět (O integrovtelnosti monotonní funkce). Je-li funkce f :, b R n intervlu, b monotonní, integrál f(x) dx existuje. Vět (O integrovtelnosti spojité funkce). Je-li funkce f :, b R n intervlu, b spojitá (v bodě x = zprv, v bodě x = b zlev v bodech x (, b) oboustrnně), potom integrál f(x) dx existuje. Vět 4 (Lebesgueov vět o integrovtelnosti funkce). Omezená funkce f :, b R je n, b integrovtelná, pokud množin jejích bodů nespojitosti z intervlu, b má míru nul, tj. pro kždé ǫ > existuje konečný systém intervlů α k, β k o sumární délce menší než ǫ tkový, že kždý bod nespojitosti funkce f leží v některém z těchto intervlů..5 Vlstnosti integrovtelných funkcí Vět 5. Necht je funkce f(x) integrovtelná n intervlu, b, c, d R, c f(x) d pro kždé x, b. Potom pltí c(b ) f(x) dx d(b ). Důsledek. Necht je funkce f(x) integrovtelná n intervlu, b. Je-li f(x) pro kždé x, b, potom f(x) dx. Vět 6 (O porovnání dvou funkcí jejich integrálů). Jsou-li funkce f :, b R g:, b R n intervlu, b integrovtelné nerovnost f(x) g(x) pltí pro kždé x, b (s přípdnou výjimkou konečného počtu bodů x či množiny bodů x, jež má míru viz. Lebesgueov vět 4), pk f(x) dx g(x) dx.

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL Důsledek. Jsou-li funkce f :, b R g:, b R n intervlu, b integrovtelné přitom rovnost f(x) = g(x) nepltí pouze pro konečný počet hodnot x, b (pouze pro x tvořící množinu míry nul), pk f(x) dx = g(x) dx. Poznámk. Hodnot určitého integrálu se nezmění, změníme-li hodnoty funkce pouze v konečně mnoh bodech. Vět 7 (O střední hodnotě integrálního počtu). Necht je funkce f(x) integrovtelná n intervlu, b necht pro všechn x, b pltí m f(x) M, kde m, M jsou konstnty. Potom existuje číslo c R tkové, že m c M pltí f(x) dx = c(b ). Je-li funkce f(x) dokonce spojitá, lze z c zvolit vhodnou funkční hodnotu, tj. existuje x, b tkové, že f(x) dx = f(x )(b ). Číslo c se nzývá střední hodnot funkce f(x) n intervlu, b. Vět 8 (O integrovtelnosti bsolutních hodnot funkce). Je-li funkce f :, b R n intervlu, b integrovtelná, pk je tké integrovtelná funkce f(x), pltí f(x) dx f(x) dx. Vět 9 (O integrálu přes sjednocení intervlů). Je-li < c < b funkce f(x) je integrovtelná n kždém z intervlů, c c, b, pk je funkce f(x) integrovtelná n, b pltí f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. c Vět (O zúžení intervlu integrce). Je-li funkce f(x) integrovtelná n intervlu, b, pk je integrovtelná n kždém intervlu c, d, kde c < d b. Vět (O ritmetických opercích s integrovtelnými funkcemi). Jsou-li funkce f :, b R g:, b R n intervlu, b integrovtelné, pk jsou integrovtelné i funkce f(x)±g(x), c f(x) (c = konst, c R) f g. Z předpokldu, že existuje tkové ε >, že g(x) ε pro kždé x, b, je rovněž funkce f(x) integrovtelná. g(x) Přitom pltí (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx (.)

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 4 c f(x) dx = c f(x) dx. (.) Poznámk. Pro určitý integrál ze součinu podílu dvou funkcí neexistuje žádný jednoduchý vzth, jk tyto integrály obecně vyjádřit. Existují le jisté metody (per prtes substituce), kterými lze výpočet integrálů zjednodušit (viz. prgrfy.5..5.). Vět. Necht je funkce f(x) riemnnovsky integrovtelná n intervlu,. Je-li funkce f(x) sudá, potom f(x) dx = f(x) dx. (.) Je-li funkce f(x) lichá, potom f(x) dx =. (.4) Poznámk. Integrál f(x) dx jsme v definici 4 konstruovli pro přípd, že < b ( je dolní mez, b je horní mez). Pro > b utvoříme integrální součty tkto: S(f, D) = n i= M i(x i x i ), kde b = x n < x n < < x < x =. V tomto přípdě je (x i x i ) < tento nový integrální součet má opčné znménko než definovný integrální součet pro intervl b,. Definujeme proto f(x) dx = f(x) dx. (.5) Položme ještě b f(x) dx =. (.6).5. Souvislost mezi určitým neurčitým integrálem Vět (Newton-Leibnizův vzorec). Necht funkce f :, b R je n intervlu, b integrovtelná. Necht funkce F :, b R je n intervlu, b spojitá n intervlu (, b) je primitivní k funkci f, tj. pro x, b F (x) : F (x) = f(x). Potom pltí vzorec f(x) dx = F(b) F(). (.7) Poznámk. Místo F(b) F() používáme čsto symbol [F(x)] b.

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 5.5. Integrční metod per prtes pro určité integrály Vět 4. Necht jsou funkce u(x), v(x) spojité n intervlu, b, necht mjí derivce u (x), v (x) v kždém bodě x, b tyto funkce u, v jsou n, b integrovtelné. Potom u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)] b b u(x)v (x) dx (.8) = u(b)v(b) u()v() u(x)v (x) dx. Poznámk. Při výpočtu volíme funkce u (x), v(x) tk, by integrál n prvé strně byl pro výpočet jednodušší než původní integrál. Příkld. Metodou per prtes vypočtěte hodnotu určitého integrálu x rctg x dx. V tomto přípdě položíme v = rctg x, u = x počítáme podle vzorce (.8). x rctg x dx = = v = rctg x v = +x u = x u = x ( rctg ) = rctg [ ] x = rctg x x + x + ( x + dx = ) dx = = rctg [x rctg x] = = rctg ( ) rctg ( rctg ) = = rctg + rctg = rctg x x + dx = = π. Příkld 4. Metodou per prtes vypočtěte hodnotu určitého integrálu ln (x + )dx. Položíme v = ln (x + ), u = dále počítáme podle vzorce (.8). ln (x + ) dx = v = ln (x + ) v = u = u = x x+ = [x ln (x + )] x x + dx =

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 6 = ( ln ln ) = ln dx = ln + ln ln = ln. x + dx = ln x + dx = ln [x] x + + [ln (x + )] = x + x + dx dx = x + V některých přípdech se může stát, že řešení určitého integrálu metodou per prtes vede n rovnici (viz. []). Ukážeme si, jk řešení tkového příkldu vypdá. Příkld 5. Metodou per prtes vypočtěte určitý integrál π ex cosxdx. π e x cosxdx = v = ex v = e x π u = cosx u = sin x = [ex sin x] π e x sin x dx = = v = ex v = e x u = sin x u = cosx = π = e π sin π e sin [ e x cosx] π + e x cosxdx = π π e x cosxdx = [e x cosx] π e x cos x dx. Poslední integrál převedeme n levou strnu rovnice: π π e x cosxdx = e π cosπ e cos e x cosxdx = ( eπ )..5. Substituční metod pro určité integrály Vět 5. Necht je funkce f(t) n intervlu, b, < b, spojitá. Necht má funkce ϕ(x) derivci ϕ (x) v kždém bodě intervlu α, β, α < β. Necht je funkce ϕ (x) n intervlu

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 7 α, β integrovtelná. Necht pltí ϕ(x) b pro x α, β. Potom pltí β α f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. (.9) Poznámk. Postup při integrci substitucí je stejný jko u neurčitého integrálu. Nesmíme pouze zpomenout provést substituci v mezích. Substituci je možno opět plikovt dvojím způsobem (viz. []). Příkld 6. Substituční metodou vypočtěte hodnotu určitého integrálu e /e +ln x x Protože = (ln x x), použijeme substituci ln x = t. Nové meze t (dolní) t (horní) dostneme doszením původních mezí do rovnice t = ln x. e /e + ln x x dx = e /e ( + lnx) ln x = t x dx = dx = dt x t = ln e = = t = lne = ( + t) dt = = + 9 ( + ) = + 9 + = 8. dx. [ ] t + t = Příkld 7. Substituční metodou vypočtěte hodnotu určitého integrálu 8 4 x dx. x x Nejprve integrnd uprvíme, bychom mohli použít vzorec pro integrci primitivní funkce f (x) f(x) dx = ln f(x) + c. Protože (x x ) = x, vynásobíme integrnd : 8 4 x x x dx = 8 4 x x x dx. Nyní vypočteme primitivní funkci užitím substituce: x x x dx = x x = t dt (x ) dx = dt = t = ln t + c = ln x x + c. A vrátíme se zpět: 8 4 x x x dx = [ln x x ] 8 4 = (ln 64 6 ln 6 8 ) = = (ln 45 ln 5) = ln 45 5 = ln 9 = ln.

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 8 Poznámk. V příkldu 6 jsme přepočítli meze hned při použití substituce. V příkldu 7 jsme nejprve s použitím substituce nšli primitivní funkci (pojem primitivní funkce viz. []) vrátili se ze substituce zpět. Při řešení konkrétních příkldů volíme tu možnost, která je početně výhodnější. V následujícím příkldu si dokážeme pltnost tvrzení f(x) dx = f(x) dx pro sudou funkci f(x) pltnost tvrzení f(x) dx = pro lichou funkci f(x) z věty. Budeme k tomu potřebovt znlosti substituční metody (viz. prgrf.5.) dále využijeme pltnost tvrzení (.5). Zároveň využijeme toho, že hodnot integrálu nezávisí n integrční proměnné. Použijeme-li tedy v tomtéž vzorci jinou proměnnou, integrál zůstne stejný. Příkld 8. Dokžte pltnost tvrzení z věty. Podle věty 9 pltí f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. V integrálu f(x) dx položme x = t, potom dx = dt. Meze přepočteme doszením původních mezí z x do rovnice x = t, tkže dostáváme nové integrční meze t =, t =. Tedy f(x) dx = f( t) dt = f( t) dt. Je-li funkce f sudá, tk f( t) = f(t). Potom f(x) dx = f(t) dt + Je-li funkce f lichá, pltí f( t) = f(t). Potom tedy f(x) dx = f(t) dt + f(x) dx = f(x) dx =. f(x) dx..6 Příkldy k procvičení s výsledky. Metodou per prtes vypočtěte následující určité integrály: ln xe x dx π x sin x dx [ ln e ] [π]

KAPITOLA. RIEMANNŮV URČITÝ INTEGRÁL 9 π x cos x dx rccosxdx. Substituční metodou vypočtěte následující určité integrály: xdx 5 4x dx ln ex dx rcsin x dx x( x) 6 / dx + x x x dx [ [4π] [] [ 6] [ ] π [ ] π 4 ( )] + ln 5 [ ] π 4. Vhodnou metodou vypočtěte následující určité integrály: rcsin x dx [ 4π ] x+ ln8 ln ln dx e x + (e x e x ) 4 6 dx [ 8 [ ] ln ] 5 ln 4

Kpitol Geometrické plikce určitého integrálu Integrální počet má velmi široké využití nejen v geometrii, le rovněž ve fyzice fyzikální chemii. My si ukážeme bohté geometrické využití. Pomocí určitého integrálu lze npř. spočítt obshy rovinných útvrů, objemy povrchy rotčních těles délky rovinných křivek.. Obsh rovinných obrzců Definice 6. Necht, b R, < b. Je-li f(x) nezáporná funkce definovná n intervlu, b, pk množin {[x, y] R : x b, y f(x)} se nzývá podgrfem (subgrfem) funkce f (viz. Obrázek.). y y = f(x) b x Obrázek.. Podgrf nzáporné funkce f(x) Vět 6. Je-li funkce f(x) n intervlu, b nezáporná integrovtelná, pk obsh S rovinného obrzce, který je podgrfem funkce f(x), je dán vzorcem S = f(x) dx. (.)

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Důsledek. Jsou-li f(x) g(x) funkce integrovtelné n intervlu, b splňující nerovnost f(x) g(x) pro x, b, pk je zkoumný rovinný obrzec {[x, y] R : x b, f(x) y g(x)} množinovým rozdílem podgrfu funkce f podgrfu funkce g pro jeho obsh pltí S = g(x) dx f(x) dx = (g(x) f(x)) dx. (.) y = g(x) y = f(x) b Obrázek.. Rozdíl podgrfu funkce f(x) podgrfu funkce g(x) Při řešení úloh se můžeme dostt do situcí, kdy integrovná funkce f(x) není n intervlu, b nezáporná - může nbývt nekldných hodnot (viz. Obrázek.). Pro příslušný integrál potom pltí f(x) dx. V tkových přípdech počítáme obsh dného útvru jko bsolutní hodnotu příslušného určitého integrálu. Obsh tedy vypočteme podle vzorce S = f(x) dx = f(x) dx. (.) Smozřejmě existují tké funkce, které nbývjí n intervlu, b jk kldných, tk záporných hodnot (viz. Obrázek.4). V tomto přípdě si rozdělíme intervl, b n jednotlivé intervly, ve kterých funkce nbývá nezáporných, resp. nekldných hodnot, příslušné integrály spočteme již podle známých vzorců (.), (.) (.). Poznámk. Pokud pro některá x, b pltí f(x) <, zpíšeme: g(x) f(x) = (g(x) + c) (f(x) + c), kde c zvolíme tk, by f(x) + c > pro x, b. Posunutím obrzce se dný obsh nezměnil: ((g(x) + c) (f(x) + c)) dx = (g(x) f(x)) dx. Obsh rovinného obrzce vymezeného křivkou zdnou prmetrickými rovnicemi Vět 7. Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, kde funkce ψ je spojitá nezáporná n intervlu α, β, funkce ϕ má n intervlu (α, β) derivci ϕ (t) různou od nuly, ϕ (t) je integrovtelná n intervlu α, β, pltí pro obsh obrzce ohrničeného grfem funkce f n intervlu α, β vzorec β S = ψ(t)ϕ (t) dt. (.4) α

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU b b Obrázek.. Podgrf nekldné funkce f(x) Obrázek.4. Podgrf nezáporné i nekldné funkce f(x) Obsh rovinného obrzce vymezeného křivkou zdnou rovnicí v polárních souřdnicích Vět 8. Je-li obrzec ohrničen obloukem křivky, jejíž vyjádření je dáno v polárních souřdnicích rovnicí = (ϕ), kde (ϕ) je spojitá funkce n intervlu α, β, dvěm polopřímkmi ϕ = α, ϕ = β, pltí pro jeho obsh vzorec S = β α (ϕ) dϕ. (.5).. Řešené příkldy Příkld 9. Vypočtěte obsh podgrfu funkce y = sin x n intervlu, π. Pro x, π je f(x) = sin x (viz. Obrázek.5). Pro obsh dného útvru pltí.8.6.4..5.5.5 x Obrázek.5. Podgrf funkce sin x

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU S = π sin x dx = [ cosx] π = cosπ ( cos ) = ( ) =. Příkld. Odvod te vzorec pro obsh kruhu o poloměru r. Kruh je souměrný podle osy x i podle osy y, můžeme tedy spočítt obsh části kruhu r y y = r x x r Obrázek.6. Grf funkce y = r x omezené osou x, osou y grfem funkce y = r x (viz. Obrázek.6), kde r > je poloměr kruhu. Výsledný obsh celého kruhu potom dostneme jko jeho čtyřnásobek. r x = r sin t S = 4 r x dx = dx = r cos t dt = r sin t, t = = r = r sin t, = sin t, t = π/ = 4 = 4 π π = r [ t + r r sin tr costdt = 4 r costr cos t dt = 4r ] π sin t π π r ( sin t ) r costdt = cos t dt = 4r = r ( π + ) = πr. π + cos t dt = Poznámk. Výpočet obshu složitějších obrzců provádíme tk, že dný obrzec nejprve rozdělíme n několik částí, jejichž obshy už lze počítt podle předchozích prvidel.

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 4 Příkld. Vypočtěte obsh rovinného obrzce, který je omezen křivkmi f : y = (x + + ), g: y = x, y =, x,. Podíváme se, jký obrzec nám křivky n intervlu, vytvoří. Z Obrázku.7 je vidět,.8 f y.6.4 g..5.5 x Obrázek.7. Obrzec omezen křivkmi f : y = (x + ), g: y = x že se křivky protínjí n ose y v bodě y =. Ověříme výpočtem: (x + ) = x x + x + = x x + x = x(x + ) = x =, x = Křivky se protínjí ve dvou bodech, nás zjímá bod x = (bod x = leží mimo intervl, ), spočteme jeho funkční hodnotu npříkld doszením do vzorce y = x. Potom y =. Ověřili jsme si, že se křivky v tomto bodě protínjí obsh vypočteme jko součet obshu podgrfu funkce f : y = (x+) n intervlu, podgrfu funkce g: y = x n intervlu,. S = S = (x + ) dx = ( x) dx = Obsh zdného obrzce je: [ ] x (x + x + ) dx = + x + x = + = [x x ] S = S + S = + = + 6 = = = 5 6.

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 5 Příkld. Vypočtěte plošný obsh obrzce ohrničeného prbolou y = x 6x + 8 jejími tečnmi s body dotyku T = [, ], T = [4, ]. Nejprve njdeme rovnice tečen jko rovnice přímek určených bodem dotyku směrnicí. Směrnice tečny dné prboly v bodě [x, y(x)] je k = y = x 6. Směrnice tečny t dné prboly v bodě dotyku T = [, ] je k = y () = 4 směrnice tečny t prboly v bodě dotyku T = [4, ] je k = y (4) =. Rovnice tečny ke grfu funkce f(x) v bodě dotyku [x, y ] je t: y y = y (x )(x x ). K zdné prbole dostáváme rovnice tečen: t : y = 4(x ) t : y = (x 4) y = 4x + 7 y = x 8. K vyřešení úlohy nám pomůže nkreslení prboly jejich tečen (viz. Obrázek.8). Z obrázku vidíme, že výpočet obshu bude složitější. Zřejmě budeme muset njít průsečík tečen potom spočítt obshy jednotlivých částí obrzce, jež nám vymezí tečny prbol. 4x + 7 = x 8 6x = 5 x = 5 6 = 5 y = x 8 = 5 8 = Průsečík tečen je tedy bod [ 5, ]. Obsh S spočteme jko součet obshů S, S, kde S je obsh obrzce, který je vymezen prbolou tečnou t n intervlu, 5, S je obsh obrzce vymezeného prbolou tečnou t n intervlu 5, 4 : S = = 5 5 (( x 6x + 8 ) ( 4x + 7) ) dx = ( x x + ) [ x dx = x + x 5 ] 5 = 5 4 5 4 + 5 5 5 + 6 8 + = 4 ( x 6x + 8 + 4x 7 ) dx = = = 7 4 = 9 8. S = 4 (( x 6x + 8 ) (x 8) ) dx = 4 ( x 6x + 8 x + 8 ) dx = 5 5

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 6 4 y 4 5 x 4 Obrázek.8. Obrzec ohrničen prbolou jejími tečnmi = 4 5 = 64 Výsledný obsh je: ( x 8x + 6 ) [ x dx = 8x + 6x 64 + 64 5 4 ] 4 5 = + 5 4 = 5 5 6 4 S = S + S = 9 8 + 9 8 = 8 8 = 9 4. = 7 4 = 9 8. Příkld. Vypočtěte obsh cykloidy, jež je zdán prmetrickými rovnicemi ϕ(t) = (t sin t), ψ(t) = ( cost), > pro t π. Uděláme si o křivce předstvu (viz. Obrázek.9). Abychom mohli spočítt obsh, musíme

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 7 4 4 6 8 Obrázek.9. Cykloid nejprve určit derivci ϕ = ( cost). Nyní dosdíme do vzorce (.4) obsh spočítáme: π π S = ( cos t)( cost) dt = ( cost) dt = π π ( cost + cos t ) dt = π = [t sin t] π + + cos t dt = π + ( + cos t) dt = ( = π + [t + ] ) π sin t = (π + ) π = (π + π) = π. Příkld 4. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného křivkou x = ( cost cos t), y = ( sin t sin t), >, t π. Podíváme se n grf křivky (viz. Obrázek.). Vidíme, že je křivk souměrná podle osy x, spočítáme tedy její obsh jko dvojnásobek obshu pro t, π. Nejprve musíme spočítt derivci x(t): x = ( sin t + sin t). Nyní již můžeme dosdit do vzorce (.4): S = π ( sin t + sin t)( sin t sin t) dt = π ( = 4 sin t + sin t sin t + sin t sin t sin t ) dt = π ( = 4 sin t + 4 sin t sin t sin t ) = π = cos t π π 4 dt + 4 sin t sin t dt cos 4t dt =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 8 4 6 4 4 = = π [ t Obrázek.. Krdioid (srdcovk) π ( cos t) dt ] π [ sin t t π ( cos 4t) dt + 4 ] π sin 4t π + 8 4 sin t costsin t dt = sin t costdt. Zvlášt vyřešíme poslední integrál, použijeme k tomu substituci sin t = u: [ ] [ sin t costdt = sin t = u u costdt = du = u sin ] t du = = π [ sin 8 sin t costdt = 8 ] π t =. Budeme pokrčovt ve výpočtu obshu: S = (π ) (π ) + = π = π S = 6π.

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 9 Příkld 5. Vypočtěte obsh rovinného obrzce omezeného Bernoulliho lemnisktou. V polárních souřdnicích má lemniskt rovnici = cos ϕ, >. To, jk křivk vypdá pro ϕ, π, můžeme vidět n Obrázku.. Stčí nám proto obsh spočítt 8 6 4 4 6 8 Obrázek.. Bernoulliho lemniskt pro ϕ z intervlu, π výsledek vynásobíme 4. 4 S 4 = π 4 S = 4 4 =. cos ϕdϕ = [ sin ϕ ] π 4 = 4 sin π = 4. Délk křivky Necht je křivk zdán jko grf funkce y = f(x), x, b. Vysvětlíme, jk se definuje délk křivky. Pro kždé dělení D: = x < x < x < < x n = b intervlu, b sestvíme součet l(f, D) = n i= (x i x i ) (f(x i ) f(x i )) rovný délce vepsné lomené čáry. Definice 7. Délkou zkoumné křivky nzveme číslo l = sup{l(f, D), ke D je libovolné dělení, b }. Poznámk. Existují spojité funkce f, pro které l =. V přípdě, že l <, říkáme, že grf funkce má konečnou délku že tto křivk je rektifikovtelná. Tento přípd nstne zručeně, má-li funkce f v kždém bodě intervlu, b vlstní derivci tto derivce, tj. funkce f (x), je n, b spojitá. Vět 9. Je-li funkce f :, b R spolu s funkcí f n, b spojitá, pk grf funkce f je křivk s konečnou délkou dnou vzorcem l = + (f (x)) dx. (.6)

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Poznámk. Tento vzorec je možné použít i v přípdě, kdy funkce f(x) je spojitá n intervlu, b derivce je spojitá n intervlu (, b). Křivk zdná prmetrickými rovnicemi Vět. Necht je rovinná křivk vyjádřen prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β. Jsou-li funkce ϕ, ψ spojité n intervlu α, β, potom délk l oblouku křivky zdné prmetrickými rovnicemi je mezi body α β dán vzorcem l = β α (ϕ (t)) + (ψ (t)) dt. (.7) Poznámk. Podobně můžeme zvést vzorec pro výpočet délky oblouku prostorové křivky, jež je zdán prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t α, β. Potom dostáváme vzorec β l = (ϕ (t)) + (ψ (t)) + (χ (t)) dt. (.8) Křivk zdná rovnicí v polárních souřdnicích α Vět. Necht je křivk zdán v polárních souřdnicích rovnicí = (ϕ), α ϕ β, kde funkce (ϕ) má n uvedeném intervlu spojitou derivci. Potom lze její délku spočítt podle vzorce β l = ( (ϕ)) + ( (ϕ)) dϕ. (.9) α.. Řešené příkldy Příkld 6. Vypočtěte délku oblouku křivky y = ln sin x n intervlu π, π. Grf funkce y = ln sin x pro x π, π je n Obrázku...4.8. x..4.6.8 Obrázek.. Oblouk křivky y = ln sin x Funkci y = f(x) zderivujeme: y = cos x sin x.

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Délku l vypočteme doszením do vzorce (.6): l = = π π π π + ( cosx sin x sin x dx = π ) dx = π π π dx sin x. sin x + cos x sin dx = x Použijeme substituci cos x = t. Abychom do integrálu dostli cos x, provedeme několik úprv. Nejprve zlomek rozšíříme výrzem sin x poté uprvíme: π π dx sin x = π π sin x sin x dx = π Při doszení substituce potřebujeme njít nové meze: cosx = t sin x dx = dt t = cos π = t = cos π = π sin x cos x dx. Potom tedy: Podle vzorce (.5) pltí: π π sin x cos x dx = dt t. dt t = dt t = dt ( t)( + t). Nyní se budeme věnovt výpočtu integrálu osvěžíme si rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Tomuto učivu se dosttečně věnuji již ve své bklářské práci (viz. []), proto je zde uveden výpočet bez větších komentářů. ( t)( + t) = A t + B + t = A B = A( + t) + B( t) = A + B A =, B =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Dostáváme se k řešení integrálu: dt t = dt t + dt + t = [ ln( t) + ln( + t)] = = [ ln + t t ] = ln + ln + = = ln ln = ln ( ln) = = ln + ln = ln. Příkld 7. Vypočtěte délku oblouku křivky, jež je zdán prmetrickými rovnicemi x = (t sin t), y = ( cost), >, pro t π. Nejprve budeme derivovt: Nyní dosdíme do vzorce (.7): l = = = π π π (x (t)) + (y (t)) dt = x = ( cos t), y = sin t. π cost + cos t + sin t dt = π costdt = ( cost) + sin t dt = π costdt. costdt = Integrnd rozšíříme výrzem, tk dostneme: l = π cost dt = π sin t dt. Nyní použijeme substituci t = u, přepočítáme meze nkonec dosdíme: t = u l = dt = du π π u = = = sin u du = 4 sin u du = u = π = π

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU = 4 [ cos u] π = 4( + ) = 8. Poznámk. Křivk, jejíž délku jsme počítli v příkldu 7, se nzývá cykloid. Tto křivk je opisován bodem P, který leží n kružnici o poloměru tto kružnice se kotálí po přímce. Obsh cykloidy jsme počítli v příkldu. Rovněž zde njdeme její obrázek (viz. Obrázek.9). Příkld 8. Vypočtěte délku oblouku prostorové křivky, jež je zdán prmetrickými rovnicemi x = cost, y = sin t, z = bt,, b > pro t, π. Podíváme se n grf křivky (viz. Obrázek.). Jedná se o jeden závit šroubovice. Abychom 5 5 5 Obrázek.. Šroubovice mohli spočítt délku závitu, potřebujeme znát derivce: x = sin t y = cost z = b. Nyní již můžeme spočítt délku jednoho závitu podle vzorce (.8): l = π sin t + cos t + b dt = π ( sin t + cos t ) + b dt =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 4 = π + b dt = + b [t] π = π + b. Příkld 9. Vypočtěte délku krdioidy (srdcovky), jež je dán polárními souřdnicemi = ( cosϕ), > pro ϕ, π. Nejprve budeme derivovt: = sin ϕ dosdíme do vzorce (.9): l = π = = 4 ( cos ϕ) + 4 sin ϕdϕ = π π cosϕ + cos ϕ + sin ϕdϕ = π cosϕ dϕ = cosϕdϕ. Integrnd rozšíříme výrzem, dostneme: = π cosϕ π dϕ = 4 sin ϕ dϕ. Nyní použijeme substituci ϕ = u, přepočítáme meze nkonec dosdíme: ϕ = u π/ π/ = dϕ = du u = = = 4 sin u du = 8 sin u du = u = π = π = 8 [ cos u] π/ = 8 ( + ) = 8.. Objem rotčních těles Vět. Necht je dán spojitá nezáporná funkce f(x) n intervlu, b necht T je těleso v R, které vznikne rotcí podgrfu funkce f(x) kolem osy x. Potom objem těles T je dán vzorcem V = π (f(x)) dx. (.)

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 5 Poznámk. Obdobné vzorce pltí, je-li osou rotce os y nebo os z. Objem těles vzniklého rotcí křivky zdné prmetrickými rovnicemi Vět. Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, pltí pro objem těles, které vznikne rotcí obrzce omezeného osou x, přímkmi x =, x = b grfem spojité nezáporné funkce f kolem osy x, vzth β V = π ψ (t)ϕ (t) dt, (.) přitom = ϕ(α), b = ϕ(β)... Řešené příkldy α Příkld. Vypočtěte objem rotčního těles, jež vznikne rotcí obrzce omezeného křivkmi f : y = x g: y = x kolem osy x. Nejprve nkreslíme grfy obou funkcí určíme průsečíky grfů funkcí. Jejich x-ové souřdnice.8.6 g.4. f.8.6.4...4.6.8 Obrázek.4. Obrzec omezený křivkmi f : y = x, g: y = x získáme jko řešení rovnice f(x) = g(x), tj: x = x = x x = x = ± Rovnice f(x) = g(x) má dvě řešení: x = x =. Z Obrázku.4 je vidět, že n intervlu pltí f(x) g(x). Objem rotčního těles proto vyjádříme jko,.

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 6 V = π (f (x) g (x)) dx. Dosdíme uprvíme: V = π = π ( ( x ) x 4) dx = π ( x ) dx = π ] [x x ( x + x 4 x 4 ) dx = ( ) = π ( ) ( + ) = = π ( ) π 6 + = π π 6 = = π = π. = Příkld. Vypočtěte objem rotčního těles vytvořeného rotcí obrzce ohrničeného křivkmi y = x x + y = kolem osy x. Vypočteme průsečíky grfů dvou funkcí: f : y = x, f : y = x. x = x x + x = (x )(x + ) = x =, x = Nyní nkreslíme grfy obou funkcí. Z Obrázku.5 vidíme, že n intervlu, je f (x) f (x). Určíme objem stejně jko v příkldu, tedy V = π V = π ( x ) ( x [ 9 = π 4 x x + x x5 = π 88 6 = 7π 5. ) = π ] = π ( ) 9 4 x + x x4 dx = 4 (f (x) f (x)) dx. [ 9 4 + ( 7 4 7 7 + 4 )] =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 7 5 f 4 f 4 4 Obrázek.5. Obrzec omezen křivkmi f : y = x, f : x + y = Příkld. Odvod te vzorec pro objem komolého rotčního kužele s poloměry podstv r, r výškou v. Komolý kužel dostneme rotcí lichoběžníku kolem osy x. Tento lichoběžník je omezen křivkmi y =, x =, x = v, y = kx + q, kde y = kx + q je přímk procházející body P[, r ], Q[v, r ]. Směrnice přímky je k = r r. Pro q pltí q = r v. Rovnice přímky je potom y = r r x + r v. Pro objem potom dostneme: v V = π = π v ( ) r r x + r dx = v ( (r r ) x + (r ) r )r x + r v v ] v dx = [ (r r ) x = π v + (r r )r x v + r x = ( ) (r r ) v = π v + (r r )r v v + r v = = πv ( r r r + r + r r r + ) r = = πv ( ) r + r r + r. Příkld. Vypočtěte objem rotčního těles vytvořeného rotcí obrzce ohrničeného křivkou x + y =,, b > kolem osy x. b Nejprve je potřebné udělt si o křivce předstvu. K tomu nám pomůže její Obrázek.6 (vykreslený pro konkrétní hodnoty =, b = ). Z obrázku vidíme, že je křivk souměrná

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 8 y x Obrázek.6. Elips podle osy y protíná osu x v bodech,, tedy obecně v bodech,. V prvním kvdrntu má křivk rovnici y = b x. Můžeme tedy objem těles vypočítt jko dvojnásobek objemu těles vzniklého rotcí obrzce ohrničeného osou x grfem funkce f : y = b x, x, kolem osy x. V = π ( ) b x dx = πb = πb [ x x V = 4 πb. ] ( ) = πb ) ( x dx = = πb Příkld 4. Vypočítejte objem těles, které vznikne rotcí množiny M ohrničené křivkmi y = x +, y = x + 5, y =, x =, x = 4 kolem osy x. Nkreslíme grfy funkcí f : y = x + f : y = x + 5. Z Obrázku.7 vidíme, že se grfy funkcí f, f protínjí n intervlu, 4 v jediném bodě. Spočteme tento průsečík. x + = x + 5 x + = x + x + x 8 = (x + 4)(x ) = x = 4, x =. N intervlu, 4 je tedy jediným průsečíkem grfů funkcí f, f bod [, ]. Výpočet objemu vzniklého těles můžeme provést několik způsoby. Vybereme ten nejjednodušší.

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 9 8 y 6 f f 4 4 x Obrázek.7. Obrzec omezen křivkmi f : x +, f : y = x + 5 Nejprve spočteme objem V těles vzniklého rotcí podgrfu funkce f kolem osy x n intervlu, poté k němu přičteme objem V těles vzniklého rotcí podgrfu funkce f kolem osy x n intervlu, 4. ( ) x ( ) x 4 V = π + dx = π 4 + x + ( = π + 8 ) + 96 + 6 + = π = 76 6 6 π = 94 5 π 4 4 [ x V = π ( x + 5) dx = π (x x + 5) dx = π x ( ( )) ( ) 64 8 56 = π 8 + + 5 = π = V = V + V = 94 5 π + 6 94 + π = π = 4 5 5 π. [ ] x 5 dx = π + x + x = ] 4 + 5x = 56 π = 6

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 4 Příkld 5. Vypočítejte objem těles, které vznikne rotcí množiny M ohrničené křivkmi y = x, y = 4, y =, x = 4 kolem osy x. N Obrázku.8 vidíme, jk křivky vypdjí. Ze zkušeností z příkldu 4 můžeme odhd- 5 y f 5 f 4 x Obrázek.8. Obrzec omezen křivkmi f : y = x, f : y = 4 nout, jk objem vzniklého těles vypočítt. Můžeme npříkld spočítt objem V těles, jež vznikne rotcí grfu funkce f : y = x kolem osy x n intervlu, 4 od tohoto objemu poté odečíst objem V těles vzniklého rotcí obrzce ohrničeného grfy funkcí f f : y = 4 kolem osy x n intervlu, 4. 4 V = π V = π 4 4 f dx = π [ x x 4 5 dx = π 5 ] 4 = 4 5 π. 4 ( ) ( f f dx = π x 4 6 ) dx = [ x 5 = π 5 6x ] 4 ( 4 = π 5 64 ) 5 + =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 4 ( ) 99 = π 5 99 6 = π = 8 5 5 π ( 4 V = V V = π 8 ) = 9 5 5 5 π. Nebo můžeme objem spočítt jiným způsobem. Nejprve spočteme objem těles, jež vznikne rotcí přímky o rovnici y = 4 kolem osy x n intervlu, 4. Poté spočítáme objem těles vzniklého rotcí obrzce omezeného křivkmi y = x, y = 4 n intervlu, hledný objem dostneme odečtením druhého objemu od prvního. 4 V = π V = π = π 4 f dx = π 6 dx = π [6x] 4 = 64π ( ) f f dx = π (6 x 4 ) dx = π ( ) 5 = V = V V = 64π 8 5 6 π = 8 5 5 π 8 π = π = 9 5 5 π. ] [6x x5 = 5 Příkld 6. Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí útvru ohrničeného křivkmi y + x 4 =, x = kolem osy y. Zdná křivk je zřejmě prbol (viz. Obrázek.9). Nejprve njdeme průsečíky prboly s osou y, tzn. že v rovnici y + x 4 = položíme x = : y 4 = y = ±. Z obrázku vidíme, že prbol je souměrná podle osy x, tkže objem těles vzniklého její rotcí kolem osy y n intervlu, můžeme spočítt jko dvojnásobek objemu těles vzniklého její rotcí kolem osy y n intervlu,. V = π ( 4 y ) dy = π ] = π [6y 8 y + y5 = π 5 ( = π 64 + ) = π 5 V = 5 5 π. ( 6 8y + y 4) dy = ) ( 8 + 5 = 5 48 + 96 5 = 56 5 π

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 4 y 4 x Obrázek.9. Prbol Příkld 7. Vypočtěte objem těles vytvořeného otáčením obrzce ohrničeného křivkou x = sin (t), y = b cos (t), t, π okolo osy x ( >, b > ). Podíváme se, jk vypdá grf funkce pro pevné hodnoty =, b = (viz. Obrázek.). Křivk je souměrná podle osy y, vzniklé těleso je souměrné podle roviny x =. Můžeme proto spočítt objem poloviny těles doszením do vzorce (.) tkto: V = π π b cos 6 t sin t costdt = b π π sin t cos 7 t dt. N vyřešení tkového integrálu použijeme speciální substituci viz. []: sin t = u = costdt = du u = sin = u = sin π/ = = b π u ( u ) du =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 4.5.5.5.5 = b π = b π Obrázek.. Asteroid u ( u + u 4 u 6) du = ( u u 4 + u 6 u 8) du = [ u = b π u5 5 + u7 7 u9 9 = b 5 89 + 5 5 π 5 V = 5 b π. ] ( = b π 5 + 7 ) = 9 = b π 6 5 = b π 6 5.4 Povrch pláště rotčního těles Necht je funkce f(x) spojitá n intervlu, b má n tomto intervlu spojitou derivci. Povrch pláště rotčního těles, které vznikne rotcí křivky, jež je grfem funkce f, kolem osy x, lze vypočítt tkto P = π f(x) + (f (x)) dx. (.) Povrch pláště rotčního těles vzniklého rotcí křivky zdné prmetrickými rovnicemi Vět 4. Jestliže je křivk vyjádřen prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β funkce ϕ, ψ mjí n uvedeném intervlu spojité derivce, pro povrch pláště

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 44 rotčního těles pltí β P = π ψ(t) (ϕ (t)) + (ψ (t)) dt. (.) α Povrch pláště rotčního těles vzniklého rotcí křivky zdné rovnicí v polárních souřdnicích Vět 5. Je-li grf funkce f vyjádřen v polárních souřdnicích rovnicí = (ϕ), α ϕ β π, funkce (ϕ) má spojitou derivci n intervlu α, β, různou od nuly n intervlu (α, β) (ϕ) > n intervlu (α, β). Potom pro povrch plochy, která vznikne rotcí grfu funkce f kolem polární osy, pltí vzth: β P = π α (ϕ) sin(ϕ) (ϕ) + ( (ϕ)) dϕ. (.4).4. Řešené příkldy Příkld 8. Vypočtěte povrch plochy, kterou vytvoří křivk y = sin x, x, π, otáčením okolo osy x. K výpočtu povrchu vzniklého těles potřebujeme derivci: y = cosx. Nyní můžeme dosdit do vzorce (.): π P = π sin x π + cos x dx = π Integrál vyřešíme použitím substituce: cos x = t sin x dx = dt cos = t, t = = π cos π = t, t = Nyní přehodíme meze podle vzorce (.5) tedy pltí: π + t dt = π + t dt + cos x sin x dx. + t dt. Vzhledem k tomu, že integrovná funkce je n intervlu, sudá, můžeme podle věty tento integrál spočítt tkto: π + t dt = π + t dt

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 45 Předcházející integrál vypočítáme zvlášt následovně. Nejprve integrovný výrz rozšíříme výrzem + t, vzniklý integrál rozdělíme n dv, přičemž ten druhý vyřešíme metodou per prtes: + t dt = + t dt = + t dt + + t = u = t u = v = t +t v = + t = [ = ln t + ] + t + [ t ] + t t dt t = + t Poslední integrál n prvé strně rovnice převedeme n strnu levou: + t dt = ln( + ) ln + + t dt = ln( + ) + + t dt = ( ln( + ) + ) + t dt Povrch je tedy roven: P = 4π + t dt = 4π ( ln( + ) + ) ( = π ln( + ) + ). Příkld 9. Vypočtěte povrch plochy vytvořené otáčením oblouku křivky x = (cos t + + t sin t), y = (sin t t cost), t, π, >, kolem osy x. Budeme potřebovt derivce: x = ( sin t + sin t + t cost) = t cost, y = (cost cos t + t sin t) = t sin t. Nyní můžeme dosdit do vzorce (.) povrch spočítt: π P = π (sin t t cost) t cos t + t sin t dt =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 46 π = π = π (sin t t cost)t cos t + sin tdt = π t(sin t t cost) dt = π Ob integrály spočítáme zvlášt metodou per prtes: π π π t sin t dt π t costdt. t sin t dt = v = t π v = u = sin t u = cost = [ t cost]π + costdt = = π cosπ + [sin t] π = π t costdt = v = t v = t u = cost u = sin t = [ t sin t ] π π t sin t dt = π = π sin π t sin t dt = π. Nyní můžeme nše výsledky dosdit spočítt povrch: P = π π t sin t dt π t cos t dt = π (π + π) = 6π. Příkld. Vypočtěte povrch plochy vytvořené otáčením křivky = cos ϕ, > okolo polární osy. Zřejmě je (ϕ), potom je cos ϕ, musí tedy být cos ϕ. m této nerovnice dostáváme ϕ, π π, π, je tedy ϕ, π 4 π, π. Pro výpočet 4 povrchu vzniklého těles podle vzorce (.4) potřebujeme znát: = cos ϕ = (cos ϕ) ( sin ϕ) = sin ϕ cos ϕ. Nyní již můžeme do vzorce (.4) dosdit povrch spočítt: P = π π 4 = π cos ϕsin ϕ π 4 cos ϕ + sin ϕ cos ϕ dϕ = cos ϕsin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ dϕ =

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 47 = π = π π 4 π 4 cos ϕsin ϕ cos ϕ dϕ = sin ϕ dϕ = π [ cosϕ] π 4 = ( = π cos π ) ) 4 + cos = π ( + P = 4π ( ) = 4π = π ( )..5 Příkldy k procvičení s výsledky. Vypočtěte obsh rovinného obrzce, který je omezen křivkmi: y = x, x + y = y = x, y =, x = [ ] S = 9 [ ] S = ln y = e x, y = e x +, x = [ ] S = ln 4 y = tg x, y = cosx, x = [S = + ln ] y = ln x, y =, x =, x = e [S = ( ln )] y = e x, y =, x =, x = y = tg x, y =, x =, x = π 4 y = x, x y + = [ S = e e] [ S = ln ] [ ] S = 9 y = x x, y = 4x x [S = 9].. Vypočtěte obsh rovinného obrzce, který je omezen křivkmi zdnými prmetricky x = (cost ] + t sin t), y = (sin t t cost), ( t π) x =, y [ S = (4π + π).. Vypočtěte obsh rovinného obrzce, který je omezen křivkou zdnou prmetricky:

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 48 [ x = cos t, y = sin t, t, π, > S = π] 8 [ ] x = t, y = t t S = 7. 4. Vypočtěte obsh rovinného obrzce, který je omezen křivkou zdnou v polárních souřdnicích: [ ] = sin ϕ, > π 8 [ ] =, >, ϕ cos ϕ π, π ( + 4 ). 4 6 5. Vypočtěte délku oblouku křivky: y = ex +e x, x, [ l = (e + e e e ) ] y = ln( x ), x, [ ] l = ln y = ( x) x mezi průsečíky s osou x y = ln cos x, x,, < < π 5 [ l = ] [ l = sin ln +sin]. 6. Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí útvru ohrničeného křivkmi: [ ] x 4 + y 4 = x, > kolem osy x V = π y = x, y = x, y =, x = kolem osy x [ V = 5 6 π] y = x, y = x kolem osy x y = x +, y =, x =, x = kolem osy x y = x, y = x + sin x, x, π kolem osy y [ V = 5 π] [ V = π] 5 [ ] V = π x y = 4, y =, y = kolem osy y [ V = 64 π]. 7. Vypočtěte objem rotčního těles, které vznikne rotcí útvru ohrničeného křivkou: [ ] x = cos 4 t, y = sin 4 t, t, π osou x kolem osy x V = π 5 x = t, y = t t, t, kolem osy x [ ] V = π 4. 8. Užitím určitého integrálu vypočtěte objem komolého rotčního kužele o[ rozměrech r = 6 cm, r = 4 cm v = 5 cm. V = 8 π]. 9. Vypočtěte povrch pláště rotčního těles, které vznikne otáčením oblouku křivky y = r x, x r, r, r > kolem osy x. [P = 4πr ].

KAPITOLA. GEOMETRICKÉ APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 49. Vypočtěte povrch pláště rotčního těles, které vznikne otáčením oblouku [ křivky ] x = y vyt tého přímkou y = okolo osy y. P = 4π.. Vypočtěte povrch pláště rotčního těles, které vznikne rotcí útvru ohrničeného horní polovinou steroidy o prmetrických rovnicích x = ϕ(t) = cos t, [ y = ψ(t) = sin t, t, π osou x. P = π]. 5. Vypočtěte povrch pláště rotčního těles vytvořeného otáčením oblouku [ křivky x = (t sin t), y = ( cost), t, π, > okolo osy x. P = 64 π].. Vypočtěte povrch pláště rotčního těles vytvořeného otáčením křivky = sin ϕ, > okolo polární osy. [P = 4π ].

Kpitol Nevlstní integrály V kpitole v definici 4 jsme Riemnnův určitý integrál f(x) dx definovli z dvou důležitých předpokldů:. intervl, b je omezený,. integrovná funkce f(x) je definovná omezená n celém integrčním oboru. Nyní tuto definici integrálu rozšíříme n obecnější přípdy. Nejprve se změříme n přípdy, kdy není splněn první předpokld (v podkpitole.), tedy koncové body intervlu (, b) mohou být nekonečné (neexistuje dělení intervlu n konečné délky). Následně se budeme věnovt nesplnění druhého předpokldu (v podkpitole.). Tkto zobecněné integrály se nzývjí nevlstní.. Nevlstní integrál přes neomezený intervl Definice 8. Necht je funkce f :, ) R, R integrovtelná n kždém intervlu, b, kde < b < +, b R. Potom definujme funkci F(b) = f(x) dx pro všechn b, ). Existuje-li vlstní limit lim b F(b), říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje píšeme f(x) dx = lim f(x) dx. b Jestliže je limit lim b F(b) nevlstní nebo neexistuje, říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx diverguje. Píšeme f(x) dx = lim f(x) dx = ±. b 5

KAPITOLA. NEVLASTNÍ INTEGRÁLY 5 Poznámk. Nevlstní integrál n intervlu (, b, b R definujeme zcel nlogicky. Funkce f(x) musí být integrovtelná n kždém intervlu c, b, kde < c < b, c R. Existuje-li vlstní limit lim c f(x) dx, nevlstní integrál f(x) dx konverguje c pltí f(x) dx = lim c f(x) dx. V opčném přípdě nevlstní integrál diverguje. c Poznámk. Jestliže je funkce f(x) definovná n R integrovtelná n kždém uzvřeném intervlu, potom nevlstní integrál f(x) dx konverguje, jestliže pro nějké R konvergují nevlstní integrály f(x) dx f(x) dx píšeme f(x) dx = f(x) dx+ + f(x) dx. Příkld. Rozhodněte o konvergenci nevlstních integrálů ) b) dx, (viz. Obrázek.), x dx, (viz. Obrázek.). x.8.8.6.6.4.4.. 4 6 8 x 4 5 x Obrázek.. Grf funkce x Obrázek.. Grf funkce x Při řešení budeme postupovt podle definice 8. Nejdříve si njdeme funkci F(b) pro kždé b > pk spočteme její limitu pro b. ) Protože F(b) = dx x = [ x ] b = b + = b. ( lim F(b) = lim ) =, b b b