Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro výuku n gymnáziu III/2 - Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT
Anotce Název temtické olsti: Název učeního mteriálu: Číslo učeního mteriálu: Vyučovcí předmět: Ročník: Autor: Integrální počet Určitý integrál zvedení pojmu VY_32_INOVACE_M0309 Mtemtik 4. ročník vyššího gymnázi Jroslv Hjtmr Dtum vytvoření: 20.1.2014 Dtum ověření ve výuce: 17.2.2014 Druh učeního mteriálu: Očekávný výstup: Metodické poznámky: prezentce Student si dělá poznámky k proírnému témtu průěžně řeší předkládné úlohy Mteriál prezentce je určen jko osnov výkldu nového učiv resp. pro účely opkování
Určitý integrál zvedení pojmu Jroslv Hjtmr 20.1.2014
Určitý integrál (Riemnnův) Existuje npř. Newtonův, Leesgueův, Stieltjesův integrál mnoho dlších jiné definice, jiné plikce. Historie: Pokus o kvdrturu proly Archimedes (287-212 př.n.l.) Úloh: Určete osh plochy omezené křivkou, osou o x přímkmi x =, x =. x = y = f (x) x = P x
Aproximce plochy: Přiližné vyjádření plochy. Npř. vepsání útvru do čtvercové jednotkové sítě neo nhrzení plochy vepsnými opsnými odélníky. x = x = y = f (x) P 1 P 2 P 3 = x 0 ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 ξ 3 x 3 = x
Dolní horní proximce plochy
Postup od postupné proximce k výpočtu: Dělení intervlu D n : Umístíme n dělících odů do intervlu,. Vzniknou podintervly x i 1, x i o délkách Δx i = x i x i 1. Norm dělení ν(d n ) = mx {Δx i } pro 1 i n tj. normou je délk nejdelšího dělícího intervlu. Zvedeme dolní integrální součet s(d n, f ) = n i=1 m iδx i. Zvedeme horní integrální součet S(D n, f ) = n i=1 M iδx i. Zvedeme integrální součet σ(d n, f ) = n i=1 ξ iδx i Jedná se o integrální součet, příslušný náhodnému výěru reprezentntů ξ i jednotlivých podintervlů. Hodnoty s, σ S závisí n D n n chrkteru funkce f.
Nyní pojďme zjemňovt dělení tk, že postupně n tj. ν(d n ) 0. Posloupnost s(d n, f ) je rostoucí shor omezená, posloupnost S(D n, f ) je nopk klesjící zdol omezená. Pltí s(d n, f ) σ(d n, f ) S(D n, f ). Existuje právě jedno číslo I, pro nějž pltí, že pro všechn dělení D n intervlu, je: s(d n, f ) I S(D n, f ) Číslo I se nzývá určitý integrál od (dolní mez) do (horní mez) z funkce f oznčujeme jej: I = f (x) dx =
Pltí tedy: I = f (x) dx = lim n s(d n, f ) = lim n S(D n, f ) = lim n σ(d n, f ) DEF. Konečnou limitu I = n lim σ(d n, f ) integrálního součtu σ(d n, f ) pro n tj. ν(d n ) 0, nzýváme určitý integrál funkce f v intervlu,. Funkci f nzýváme integrovtelnou funkcí (integrce schopnou). I = f (x) dx, integrční oor dolní mez určitého integrálu horní mez určitého integrálu f (x) integrnd (integrovná funkce) x integrční proměnná (vyjdřuje ji diferenciál dx).
POZNÁMKY: Pokud číslo I z předchozí definice existuje, je jediné tzn. určitý integrál je definován jednoznčně. Integrál z definice se nzývá Riemnnův. Tento integrál všk nemá zcel ideální vlstnosti. Pro teoretičtější úvhy jsou vhodnější oecnější, le složitější konstrukce. Největší význm má tzv. Leesgueův integrál. Nejoecnější je si tzv. Henstockův-Kurzweilův integrál. Pro ěžné potřey inženýrské prxe je Riemnnův integrál dostčující. Symol vznikl z písmene S tj. SUMA Přes podoné oznčení se neurčitý určitý integrál zásdně liší (množin funkcí x číslo)! Diferenciál dx v určitém integrálu říká, co je nezávisle proměnná! Oznčení nezávisle proměnné písmenem x není podsttné. Je totiž f (x) dx = f (y) dy = f (t) dt td.
Vlstnosti určitého integrálu Jestliže jsou n intervlu, funkce f g integrovtelné, pk n tomto intervlu pro k 1, k 2 R pltí: (k 1 f (x) ± k 2 g(x)) dx = k 1 f (x) dx f (x) dx f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx = f (x) dx. f (x) dx ± k 2 f (x) dx pro c. Je-li f (x) 0 v intervlu, pk f (x) dx 0. g(x) dx.
f (x) dx f (x) dx y = f (x) = x 0...... x i 1 ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 x n 1 ξ n ξ i x i x n = x
Určitý integrál vs osh plochy omezené grfem y y = f (x) + + + x
Newton-Leinitzov vět Prktický výpočet určitého integrálu Je-li f integrovtelná n intervlu, F je její primitivní funkce, pk pltí, že: f (x) dx = F() F() I = f (x) dx = lim n s(d n, f ) = lim n S(D n, f ) = lim n σ(d n, f ) Příkld: 2 1 x 2 dx = [ ] 1 2 3 x3 1 = 8 3 1 3 = 7 3.
POZOR n zdání úloh! Vypočítejte určitý integrál x Určete osh plochy různé úlohy!!! Příkld: Sestrojte grf funkce f : y = sin x n intervlu 0, 2π. Vypočítejte nyní určitý integrál 2π sin x dx následně určete osh plochy, kterou 0 omezuje grf funkce os o x. Porovnejte o výsledky.
Použité mteriály zdroje Petáková, RNDr. Jindr. Mtemtik: Příprv k mturitě k přijímcím zkouškám n vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Prh: Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 8071960993. Hošková Š., Kuen J., Rčková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 2013 [cit. 2013-04-15]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: <http://homel.vs.cz/~s164/cd /pdf/print/ip.pdf>. Tomic, R. Cvičení z mtemtiky I. Brno: VAAZ, 1974. Archiv utor