Úvod do umercých metod Apromce uce Př umercém řešeí úoh čsto hrzujeme uc jejíž přesý tvr ezáme ebo terá je příš sožtá ucí ϕ terá uc vhodým způsobem podobuje přtom se sdo zprcovává Tovou uc ϕ budeme zývt promcí uce Fucí ϕ ejčstěj bývjí poom Apromce uce pomocí Torov poomu Teto způsob promce uce se používá v přípdě že hedáme uc ϕ terá co ejpřesěj vjdřuje dou uc v ooí bodu Záme- hodotu prvích dervcí uce v bodě vtvoříme poom terý bude mít tto dervce v bodě stejé Teto poom budeme zývt Torův poom Dece : Nechť uce má bodě dervc ž do řádu P poom T! se zývá Torovým poomem stupě uce v bodě!! Torův poom používáme pro přbžý výpočet hodot uce v rzím ooí bodu Pro se zývá Torův poom té curovým poomem Torov vět Vět : Nechť uce má v ooí bodu spojtou dervc řádu P pro ždé z tohoto ooí ptí : T R de T je Torův poom stupě uce v bodě R je zbte pro terý ptí R α! de α Zbte vjdřuje chbu teré se dopustíme hrdíme- uc Torovým poomem T Z tvru zbtu je zřejmé že tto chb je má ptí T poud bod je bízo bodu po- ud je veé poud dervce je v ooí bodu má Příd : Npšte Torův poom stupě uce : v bodě Řešeí : Nejprve vpočítáme učí hodotu dervce ž řádu dé uce v bodě
8 8 8 8 Vpočteé hodot dosdíme do vzthu vjdřujícího Torův poom : T 8!!!! 8 Z obrázu terém je zázorě uce její promce Torovým poomem je vdět podobost ucí v ooí bodu Apromce uce pomocí Lgrgeov terpočího poomu Teto způsob promce se používá v přípdě že uce je dá hodotm v bodech Nejčstěj to bývá tbu hodot vzá jo výsede měřeí ebo výpočtů : Čís zýváme uzové bod Apromc uce mez uzovým bod zýváme terpocí rozdí od promce uce vě uzových bodů terou zýváme etrpocí Cíem úoh je jít uc ϕ terá bod tbu prochází Estuje jedý poom spňující teto poždve Jedou z možostí j teto poom určt je promce uce Lgrgeovým terpočím poomem
Lgrgeův terpočí vzorec Vět : Nechť je dáo dvojc [ ] de Potom pro poom L de ptí L pro všech Poom L zýváme Lgrgeův terpočí poom Př výpočtu uce je ted v čtte vechá výrz ve jmeovte výrz Z vět vpývá že pomocí bodů je možé vtvořt Lgrgeův poom stupě ejvýše Příd : Určete Lgrgeův poom uce procházející bod z tbu Odhděte hodotu této uce v bodě Řešeí : Lgrgeův poom jdoucí zdým bod má tvr L Hodot záme je potřeb vpočítt oecet eí potřeb počítt protože L 9 Přbžá hodot uce zdé tbuou v bodě je 9 L
Apromce uce metodou ejmeších čtverců Tuto metodu používáme pro promc uce dé tbuou jsou- hodot ztíže chbm příd př měřeí ebo je- jch veý počet V těchto přípdech epoždujeme b promčí uce ϕ bod souboru procháze e proádáme je poomem ebo jou ucí t b součet čtverců odche promčí uce ϕ od hodot z tbu tj ϕ b co ejmeší b K promc používáme přímu prbou epoecáí uc td pode toho jou závsost mez bod souboru usuzujeme : V přípdě eárí závsost promujeme soubor bodů [ ] určíme řešeím soustv : b b Př výpočtu potřebých součtů přtom používáme ásedující tbuu : přímou b de oecet b
Příd : etodou ejmeších čtverců vrovejte přímou bod :[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Nčrtěte obráze Řešeí : Hedá přím má rovc b Koecet b určíme řešeím soustv : b b Nejprve pomocí tbu vpočítáme jedotvé sum přčemž počet zdých bodů je 8 9 Odpovídjící soustv má tvr b8 b Přčteme- prví rovc --ásobe druhé rovce dosteme rovc Ted doszeím do jedé z rovc je b Přím terá promuje dé bod metodou ejmeších čtverců má tvr N závěr do souřdcové soustv resíme zdé bod ezeou přímu 8
Přbžé řešeí gebrcých rovc Dece : Agebrcou rovcí stupě rozumíme rovc P Řešeím ořeem gebrcé rovce je ždé číso reáé ebo ompeí teré je ořeem poomu P Agebrcá rovce ted má ceem ořeů V ásedujících úohách se vš budeme zbývt pouze hedáím reáých ořeů P Vzhedem tomu že ompeí oře se vžd vstují ve dvojc ompeě sdružeé oře má ždá gebrcá rovce chého stupě espoň jede reáý oře Agebrcé rovce umíme řešt pro eárí vdrtcé rovce Pro je možé určt oře rovce pomocí tzv Crdových vzorců Jsou vš sožté v pr se příš epoužívjí Poud jsou oře ceočíseé umíme je určt rozdem souč ořeových čteů s vužtím Horerov schémtu V přípdě eceočíseých reáých ořeů můžeme určovt přbžé řešeí gebrcých rovc grcou ebo umercou metodou Grcé řešeí Př řešeí gebrcé rovce grcou metodou ejprve dou rovc P uprvíme tvr g Poom P přtom rozděíme dvě uce g t bchom jejch gr umě rest Reáé oře rovce P jsou p rov -ovým souřdcím průsečíů řve g Příd : Grcou metodou určete přbžé řešeí rovce Řešeí : Rovc uprvíme tvr resíme gr ucí g : : Z obrázu odhdeme -ové souřdce průsečíů obou řve : To jsou součsě přbžé hodot ořeů dé gebrcé rovce sutečé hodot ořeů s přesostí desetá míst jsou ; 99; 8 Pozám : Grc můžeme řešt jé rovce ež gebrcé
Numercé řešeí Př umercém řešeí gebrcých rovc ejprve pomocí vět o ořeech zísáme co ejvíce ormcí o ořeech rovce P určíme terv co ejmeší dé ve terých eží oře rovce závěr pomocí ěteré z promčích metod určíme přbžou hodotu ořeů rovce s předepsou přesostí Postup umercého řešeí t můžeme rozdět do ásedujících tří roů : Určeí počtu dých záporých ořeů rovce určeí tervu ve terém eží všech reáé oře Agebrcou rovc P jejíž oecet je rove jedé budeme v soudu s ozčeím poomů zývt ormovou Kždou gebrcou rovc je možé vděeím oecetem převést rovc ormovou V ásedujících větách jsou shrut důežté ormce o ořeech gebrcých rovc teré budeme dáe vužívt př jejch hedáí Počet reáých ořeů rovce v dém tervu Vět : Bozov Jestže P P b < eží v tervu b chý počet ořeů rovce P Jestže P P b > eží v tervu b sudý počet ořeů rovce P ebo zde eeží žádý oře rovce Počet sudých chých ořeů rovce Vět : Descrtov Rovce P má to dých ořeů o zméových změ má posoupost oecetů poomu ebo jch má o sudý počet méě uové oecet přtom epočítáme P Počet záporých ořeů určíme stejým způsobem z poomu P Hrce tervu reáých ořeů rovce Vět : Pro všech reáé oře ormové rovce P ptí erovost < A de číso { } A m Reáé oře ted eží v tervu A A Příd : Určete počet dých záporých ořeů rovce b terv ve terém eží všech reáé oře této rovce Řešeí : Pro odhd počtu dých záporých ořeů pomocí Descrtov vět určíme počet zméových změ v posoupost oecetů této rovce V posoupost jsou dvě zméové změ ted rovce má dé oře ebo emá žádý dý oře
Pro odhd počtu záporých ořeů vtvoříme poom P Ted P Zméové změ v posoupost jeho oecetů jsou dvě Proto má zdá rovce záporé oře ebo emá záporý oře Ceem ste jed ze čtř ásedujících možostí : počet dých ořeů počet záporých ořeů počet ompe ořeů 8 b Protože jde o ormovou rovc určíme číso A jo mmum číse { } Všech reáé oře zdé rovce ted eží v tervu Tj A Seprce ořeů Seprcí ořeů rovce rozumíme určeí tervů ve terých eží právě jede oře dé rovce Vužíváme přtom Bozovu větu pode teré v tervu b ve terém mjí hodot P b růzá zmé eží espoň jede oře rovce P Postupujeme t že terv A A rozděíme meší terv pomocí Horerov schémtu hedáme te z podtervů v jehož rjích bodech ptí P P < Zde musí ežet j j pode Bozov vět oře Pode této vět může v tervu ežet více ořeů op oře mohou ežet v tervech v jejchž rjích bodech ptí P P > Abchom proved úpou seprc muse bchom provést jemější děeí jedotvých tervů Poud vš ším cíem bude ézt jede bovoý oře dé rovce stčí určt jedý terv pro terý ptí P P < j j j j Seprc je možé provádět té grc ebo s použtím metod derecáího počtu Jestže příd dervce P eměí zméo v tervu pro terý ptí P P < j j P je zde uce P stáe rostoucí ebo esjící rovce P má v tomto tervu jedý reáý oře Příd : Proveďte seprc ořeů rovce : b A m Řešeí : Jde o ormovou rovc de { } Reáé oře eží ted v tervu Teto terv rozděíme terv dé pomocí Horerov schémtu vpočteme hodotu poomu P v rjích bodech jedotvých podtervů sg P 9 9 Pode Bozov vět má rovce oře v tervech Protože jde o gebrcou rovc terá má právě oře proved jsme úpou seprc
b Jde o ormovou rovc de { } 9 A m Reáé oře eží ted v tervu Pomocí Horerov schémtu hedáme zméovou změu v rjích bodech podtervů tohoto tervu sgp 9 Zméová změ st je v tervu Zbé dv reáé oře teré gebrcá rovce může mít je možé hedt dším děeím tervů ebo pomocí derecáího počtu Dervcí uc P dosteme Vzhedem tomu že prví dervce > je uce v tervu rostoucí má proto s osou ejvýše jede průsečí Ted zdá gebrcá rovce má pouze jede reáý oře Je to te terý eží v tervu Apromce ořeů Pro terv terý jsme zís seprcí určíme přbžou hodotu ořee s bovoou přesostí ěterou z promčích metod Nejjedodušší z ch je metod půeí tervu b etod vchází z předpodu že zádě seprce jsme urč terv v jehož rjích bodech ptí P P b < ve terém ted eží oře rovce P Prví promcí tohoto b ořee zveme číso Druhou promc určíme stejým způsobem v tom z tervů v jehož rjích bodech má poom P růzá zmé Teto terv ozčíme b b Popsý postup opujeme doud chb promce eí meší ež je předepsá chb b výpočtu Přtom chb promce je mmáě rov čísu ted poově tervu b Výpočet zpsujeme do ásedující tbu : b b P b chb V prvím soupc je pořdové číso promce ve druhém třetím je tuáí terv ve čtvrtém je přbžá hodot ořee př -té promc v pátém soupc je učí hodot P zádě jejíhož zmé budeme vtvářet ový tuáí terv v šestém soupc je mmáí chb teré se dopustíme dž přesou hodotu ořee hrdíme -tou promcí
Příd : Určete přbžou hodotu ěterého z reáých ořeů gebrcé rovce s přesostí 8 Řešeí : Jde o ormovou rovc de A m { } Reáé oře ted eží v tervu Pomocí Horerov schémtu hedáme zméovou změu v rjích bodech tervů teré terv rozděíme Vzhedem jeho déce voíme déu díčích tervů jedot P 9 Vzhedem e zméovým změám eží oře pode Bozov vět v tervech etodou půeí tervu budeme zpřesňovt př oře ežící v tervu Smboem ± d čísem ozčujeme zd hodot poomu P je v tomto bodě dá č záporá 9 b b P 9 b chb < 8 Přbžé řešeí rovce je číso s chbou meší ež 8 Z průběhu výpočtu je zřejmé že chb bude ve sutečost meší ež