STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece. To je smozřejmě zákldí pojem kovergece, le v moh přípdech je příliš obecý estčí dokzováí ěkterých užitečých tvrzeí. POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Před uvedeím růzých kovergecí posloupostí ebo řd fukcí je vhodé rozvést ěkteré zákldí pojmy defiové dříve. Neí uté se soustředit je fukce jedé proměé i reálé fukce. Ale i eí uté probírt tém v úplě obecosti. Zobrzeí f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimeze m je m-tice (f 1,..., f m ) fukcí více proměých s hodotmi v R. Protože zákldí vlstosti fukce f jsou určey vlstostmi fukcí f i kovergece v R m je kovergece po souřdicích, stčí probírt přípdy reálých fukcí více proměých R R omezit se 2. Nicméě, vzhledem k zjedodušeí zápisu budou ěkteré pojmy zvedey ebo probíráy obecěji. DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje bodově M k zobrzeí f : M R, jestliže lim f (x) = f(x) pro kždé x M, tj. Obvyklé zčeí je lim f = f ebo f f. ε x M k N k ( f (x) f(x) < ε ). Bodový součet řdy zobrzeí se může defiovt jko bodová limit poslouposti částečých součtů řdy, ebo rovostí ( f ) (x) = f (x) (ukžte, že se doste tetýž pojem). Jk je obvyklé z teorie řd čísel, i řdy fukcí ebo jejich součet se zčí f. VĚTA. Pro bodovou kovergeci možiě M pltí: 1. lim (f + g ) = lim f + lim g, má-li prvá str smysl. 2. lim (f g ) = lim f lim g, má-li prvá str smysl. 3. lim (f /g ) = lim f / lim g, má-li prvá str smysl. DŮSLEDEK. (f + bg ) = f + b g, má-li prvá str smysl, kde, b jsou reálá čísl. Pozámky 1 Příkldy 1 Otázky 1 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Bodová limit poslouposti spojitých fukcí emusí být spojitá (příkld x ) jsou i dlší vlstosti, které bodová kovergece emá. Je proto vhodé přidt ějkou dlší podmíku kovergeci, by se vyloučily oy špté situce. Tkovou jedoduchou podmíkou je stejoměrost kovergece: 1

DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje stejoměrě M k zobrzeí f : M R, jestliže ε k N x M k f (x) f(x) < ε. Obvyklé zčeí je f f. DEFINICE. Řd fukcí f koverguje M stejoměrě k fukci f, jestliže posloupost částečých součtů { f i } koverguje M stejoměrě k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 1. Koverguje-li posloupost {f } k f stejoměrě M, koverguje M k f i bodově. 2. (Bolzov Cuchyov podmík) Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k ějké fukci právě když pltí: ε k N x M m, k f (x) f m (x) < ε. 3. Řd f koverguje M stejoměrě právě když pltí: ε k N x M f (x) < ε. =k Posledí podmík pro stejoměrou kovergeci řd lze též přepst pomocí Bolzovy Cuchyovy podmíky: ( ) m ε k N x M m > l > k f (x) < ε. =l VĚTA. 1. Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k fukci f právě když pltí lim sup f (x) f(x) = 0. x M 2. Jestliže f má M mjortí stejoměrě kovergetí řdu (tj., existuje stejoměrě kovergetí řd g M tková, že f (x) g (x) pro kždé kždé x M), pk f koverguje M stejoměrě. 3. Necht f (x) c pro kždé x M c koverguje. Pk f koverguje M stejoměrě. Posledí podmík pro stejoměrou kovergeci se čsto zývá Weierstrssovo kritérium. V kpitole o číselých řdách byly, kromě kritérií pro bsolutí kovergeci, dvě dlší kritéri pro kovergeci, to Dirichletovo Abelovo (Leibizovo kritérium je speciálí přípd Dirichletov kritéri). VĚTA. Necht {f }, {g } jsou dvě poslouposti fukcí itervlu I. Řd f g koverguje I stejoměrě, jestliže {f } je mootóí bud () f koverguje stejoměrě k 0, {g } má stejě omezeé částečé součty (Dirichlet) ebo 2

(b) {f } je omezeá řd g koverguje stejoměrě I (Abel), DŮSLEDEK. (Leibiz) Necht {f }, {g } je posloupost ezáporých fukcí itervlu I. Řd ( 1) f koverguje I stejoměrě, pokud {f } je mootóí f koverguje stejoměrě k 0 I. Pozámky 2 Příkldy 2 Otázky 2 VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE Přestože lze ásledující tvrzeí o spojitosti limitách dokázt i pro fukce více proměých, pro jedoduchost budou v této části uvžováy fukce jedé proměé, tj. defiičí obor M bude podmožiou reálých čísel. Spojitost VĚTA. Necht {f } je posloupost (stejoměrě) spojitých fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá fukce M. DŮSLEDEK. Necht řd f (stejoměrě) spojitých fukcí M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá M. Existuje situce, kdy lze předchozí větu obrátit. Mootóí posloupost fukcí f je bud erostoucí ebo eklesjící posloupost, tj, př. v prvím přípdě, pro kždé x z defiičího oboru fukcí f je f (x) f +1 (x). VĚTA. (Dii) Necht posloupost spojitých fukcí koverguje mootóě ke spojité fukci kompktí možiě. Pk je tto kovergece stejoměrá. Pozámky 3 Příkldy 3 Otázky 3 Stejoměrá kovergece limity Pokud f f lim x f (x) = p, stává otázk, zd lim p = lim x f(x), tj., zd lze přehodit limity lim lim f (x) = lim lim f (x). x x Jk ukzuje příkld f (x) = x [0, 1] = 1, pro bodovou kovergeci tto zámě limit pltit emusí. VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Pro libovolý hromdý bod možiy M pltí lim lim f (x) = lim lim f (x), x x existuje-li prvá str. 3

DŮSLEDEK. Necht řd f spojitých fukcí M koverguje stejoměrě. Potom pro libovolý bod I je lim x f (x) = lim f (x), x existuje-li jed str. Pozámky 4 Příkldy 4 Otázky 4 Stejoměrá kovergece itegrál Opět se djí jít jedoduché příkldy, že elze přehodit limitu itegrci u bodové kovergece. VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Je-li {F } posloupost primitivích fukcí k f I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I, pk {F } koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. DŮSLEDEK. Necht f je řd fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Jsou-li F primitiví fukce k f I tkové, že řd F (x) koverguje lespoň v jedom bodě x z I, pk F koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. Předchozí větu její důsledek lze použít pro určité itegrály: VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I. 1. Jestliže {f } koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = lim f (x) dx. 2. Jestliže f koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = f (x) dx. Stejoměrá kovergece derivce VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I {f } koverguje I stejoměrě k fukci g. Potom {f } koverguje I stejoměrě k ějké fukci f f = g. Pozámky 5 Příkldy 5 Otázky 5 MOCNINNÉ ŘADY Speciálí přípd řd fukcí, tzv. mocié řdy, se probírl v kpitole o Tylorových řdách fukcí. 4

Některé podrobosti o mociých řdách budou yí uvedey, dlší budou probráy v kpitolách o komplexích fukcích. N rozdíl od probírých Tylorových řd se obecé mocié řdy budou defiovt v roviě (tj., pro komplexí čísl). DEFINICE. Mociá řd je řd (z z 0 ), kde, z 0, z R 2. Bod z 0 se zývá střed kovergece mocié řdy. VĚTA. Pro kždou mociou řdu (z z 0 ) existuje číslo ρ [0, + ] tkové, že řd koverguje možiě {z; z z 0 < ρ} diverguje možiě {z; z z 0 > ρ}. Pltí ρ = (lim sup ) 1. Číslo ρ z předchozí věty se zývá poloměr kovergece dé mocié řdy. Z důkzu věty vyplývá ásledující tvrzeí: DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy (z z 0 ), pk tto řd koverguje stejoměrě bsolutě možiě {z; z z 0 q}. DŮSLEDEK. Součtem mocié řdy je fukce spojitá možiě {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je poloměr kovergece řdy. Protože mociá řd koverguje stejoměrě uzvřeých kruzích uvitř kruhu kovergece, lze použít předchozí věty o itegrci derivci řd. VĚTA. Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Potom itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ) pltí 1. f (x) = (x x 0 ) 1 poloměr kovergece této řdy je ρ. 2. +1 (x x 0) +1 je primitiví fukce k f poloměr kovergece této řdy je ρ. Z druhého tvrzeí vyplývá, že pro (, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je f(x) dx = + 1 ((b x 0) +1 ( x 0 ) +1 ). DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy. Pk f má derivce všech řádů I. DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy (x x 0 ). Potom jsou Tylorovy koeficiety fukce f v bodě x 0. = f () (x 0 )! 5

VĚTA. (Abel) Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Tto mociá řd koverguje v bodě x 0 + ρ (ebo x 0 ρ) právě když tto mociá řd koverguje [x 0, x 0 + ρ) (resp. (x 0 ρ, x 0 ]) stejoměrě. To ste právě když koverguje ρ ; teto součet se pk rová lim (x x 0 ). (Obdobě x x 0 +ρ pro ρ.) Pozámky 6 Příkldy 6 Otázky 6 Cvičeí 6 STANDARDY z kpitoly STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Zobrzeí f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimeze m je m-tice (f 1,..., f m ) fukcí více proměých s hodotmi v R. Protože zákldí vlstosti fukce f jsou určey vlstostmi fukcí f i kovergece v R m je kovergece po souřdicích, stčí probírt přípdy reálých fukcí více proměých R R omezit se 2. DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje bodově M k zobrzeí f : M R, jestliže lim f (x) = f(x) pro kždé x M, tj. Obvyklé zčeí je lim f = f ebo f f. ε x M k N k ( f (x) f(x) < ε ). Bodový součet řdy zobrzeí se může defiovt jko bodová limit poslouposti částečých součtů řdy, ebo rovostí ( f ) (x) = f (x) (ukžte, že se doste tetýž pojem). Jk je obvyklé z teorie řd čísel, i řdy fukcí ebo jejich součet se zčí f. Bodová limit spojitých fukcí f (x) = x itervlu [0, 1] eí spojitá. Bodovým limitám spojitých fukcí se říká fukce 1. Bireovy třídy. Fukce spojité jsou formálě 0.třídy. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE DEFINICE. Necht M je moži pro N je f zobrzeí M R. Posloupost {f } koverguje stejoměrě M k zobrzeí f : M R, jestliže Obvyklé zčeí je f f. ε k N x M k f (x) f(x) < ε. DEFINICE. Řd fukcí f koverguje M stejoměrě k fukci f, jestliže posloupost částečých součtů { f i } koverguje M stejoměrě k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 6

1. Koverguje-li posloupost {f } k f stejoměrě M, koverguje M k f i bodově. 2. (Bolzov Cuchyov podmík) Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k ějké fukci právě když pltí: ε k N x M m, k f (x) f m (x) < ε. 3. Řd f koverguje M stejoměrě právě když pltí: ε k N x M f (x) < ε. =k Posledí podmík pro stejoměrou kovergeci řd lze též přepst pomocí Bolzovy Cuchyovy podmíky: ( ) m ε k N x M m > l > k f (x) < ε. =l VĚTA. 1. (σ podmík.) Ozčme σ = sup f (x) f(x). x M Posloupost {f } koverguje M stejoměrě k fukci f právě když pltí lim σ = 0. 2. (Mjort.) Jestliže f má M mjortí stejoměrě kovergetí řdu (tj., existuje stejoměrě kovergetí řd g M tková, že f (x) g (x) pro kždé kždé x M), pk f koverguje M stejoměrě. 3. (Weierstrss. M-test.) Necht f (x) c pro kždé x M c koverguje. Pk f koverguje M stejoměrě. VĚTA. Necht {f }, {g } jsou dvě poslouposti fukcí itervlu I. Řd f g koverguje I stejoměrě, jestliže {f } je mootóí bud () f koverguje stejoměrě k 0, {g } má stejě omezeé částečé součty (Dirichlet) ebo (b) {f } je omezeá řd g koverguje stejoměrě I (Abel), DŮSLEDEK. (Leibiz) Necht {f }, {g } je posloupost ezáporých fukcí itervlu I. Řd ( 1) f koverguje I stejoměrě, pokud {f } je mootóí f koverguje stejoměrě k 0 I. VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE Spojitost VĚTA. Necht {f } je posloupost (stejoměrě) spojitých fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá fukce M. 7

DŮSLEDEK. Necht řd f (stejoměrě) spojitých fukcí M koverguje stejoměrě k fukci f. Potom je f (stejoměrě) spojitá M. Pro mootóí fukce lze větu obrátit. Mootóí posloupost fukcí f je bud erostoucí ebo eklesjící posloupost, tj, př. v prvím přípdě, pro kždé x z defiičího oboru fukcí f je f (x) f +1 (x). VĚTA. (Dii) Necht posloupost spojitých fukcí koverguje mootóě ke spojité fukci kompktí možiě. Pk je tto kovergece stejoměrá. Stejoměrá kovergece limity Pokud f f lim x f (x) = p, stává otázk, zd lim p = lim x f(x), tj., zd lze přehodit limity lim lim f (x) = lim lim f (x). x x Jk ukzuje příkld f (x) = x [0, 1] = 1, pro bodovou kovergeci tto zámě limit pltit emusí. VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí M, která M koverguje stejoměrě k fukci f. Pro libovolý hromdý bod možiy M pltí lim lim f (x) = lim lim f (x), x x existuje-li prvá str. DŮSLEDEK. Necht řd f spojitých fukcí M koverguje stejoměrě. Potom pro libovolý bod I je lim f (x) = lim f (x), x x existuje-li jed str. Stejoměrá kovergece itegrál Opět se djí jít jedoduché příkldy, že elze přehodit limitu itegrci u bodové kovergece. Npříkld f (x) = ( + 1)x [0, 1). VĚTA. Necht {f } je posloupost fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Je-li {F } posloupost primitivích fukcí k f I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I, pk {F } koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. DŮSLEDEK. Necht f je řd fukcí omezeém itervlu I v R, která I koverguje stejoměrě k fukci f. Jsou-li F primitiví fukce k f I tkové, že řd F (x) koverguje lespoň v jedom bodě x z I, pk F koverguje stejoměrě k primitiví fukci k f I. VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I. 1. Jestliže {f } koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = lim f (x) dx. 2. Jestliže f koverguje I stejoměrě k fukci f. Pk pro libovolý itervl [, b] I pltí f(x) dx = f (x) dx. 8

Stejoměrá kovergece derivce VĚTA. Necht {f } je posloupost spojitých fukcí omezeém itervlu I, která koverguje lespoň v jedom bodě z I {f } koverguje I stejoměrě k fukci g. Potom {f } koverguje I stejoměrě k ějké fukci f f = g. Příkld. Porovejte [0, 1] kovergeci f (x) = x, g (x) = x x +1, h (x) = x x 2. Příkld. (Trik x.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g(x). Příkld. (Trik x/.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g(x/). Příkld. (Trik x.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g(x ). Příkld. (Trik x.) Pro dou fukci g(x) zkoumejte chováí f (x) = g( x). MOCNINNÉ ŘADY DEFINICE. Mociá řd je řd (z z 0 ), kde, z 0, z R 2. Bod z 0 se zývá střed kovergece mocié řdy. VĚTA. Pro kždou mociou řdu (z z 0 ) existuje číslo ρ [0, + ] tkové, že řd koverguje možiě {z; z z 0 < ρ} diverguje možiě {z; z z 0 > ρ}. Pltí ρ = (lim sup ) 1. Číslo ρ z předchozí věty se zývá poloměr kovergece dé mocié řdy. DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy (z z 0 ), pk tto řd koverguje stejoměrě bsolutě možiě {z; z z 0 q}. DŮSLEDEK. Součtem mocié řdy je fukce spojitá možiě {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je poloměr kovergece řdy. VĚTA. Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Potom itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ) pltí 1. f (x) = (x x 0 ) 1 poloměr kovergece této řdy je ρ. 2. +1 (x x 0) +1 je primitiví fukce k f poloměr kovergece této řdy je ρ. Z druhého tvrzeí vyplývá, že pro (, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je f(x) dx = + 1 ((b x 0) +1 ( x 0 ) +1 ). DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy. Pk f má derivce všech řádů I. 9

DŮSLEDEK. Necht fukce f je otevřeém itervlu I součtem mocié řdy (x x 0 ). Potom jsou Tylorovy koeficiety fukce f v bodě x 0. = f () (x 0 )! VĚTA. (Abel) Necht mociá řd (x x 0 ) má součet f(x) itervlu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je poloměr kovergece řdy. Tto mociá řd koverguje v bodě x 0 + ρ (ebo x 0 ρ) právě když tto mociá řd koverguje [x 0, x 0 + ρ) (resp. (x 0 ρ, x 0 ]) stejoměrě. To ste právě když koverguje ρ ; teto součet se pk rová lim (x x 0 ). (Obdobě x x 0 +ρ pro ρ.) Příkld. Pomocí mociých řd sečtěte (tm, kde to jde) x. Příkld. Pomocí mociých řd sečtěte (tm, kde to jde) ( + 1)x. Příkld. Njděte Tylorovu řdu rctg x pomocí rozvoje derivce. Příkld. Njděte Tylorovu řdu log(x + 1) pomocí rozvoje derivce. Pomocí Abelovy věty o limitě mociých řd ukžte, že Tylorův rozvoj fukce log(x + 1) je pltý i pro x = 1. Příkld. Sečtěte ásledující řdu + ( 1) 2 + 3. Řešeí. Nejprve si uvědomme, že podle Dirichlet-Abelov kriteri z řd koverguje. Budeme uvžovt řdu pro x (0, 1). Derivcí této řdy získáme řdu + ( 1) S(x) = 2 + 3 x2+3, kterou již sdo sečteme. + S + (x) = ( 1) x 2+2 = ( 1) (x 2 ), =2 + ( 1) (x 2 ) = 1 + x 2 + 1 1 + x 2 =2 Pro primitiví fukce tedy pltí rovost S(x) = x + 1 3 x3 + rct x. Podle Abelovy věty je hledý součet rove limitě lim x 1 S(x) = 1 + 1 + π 4 = π 4. 10

Příkld. Spočtěte s přesostí 10 3 ásledující itegrál 1 e x2 dx. 0 Řešeí. Protože ezáme primitiví fukci k e x2, využijeme teorie mociých řd. Protože příkld dostáváme výsledek 1 1 + e x2 ( 1) x 2 dx = dx. 0 0! 1 + ( 1) x 2 + 1 ( 1) x 2 + ( 1) dx = dx = 0! 0! (2 + 1)!. + 1 1 + (2 + 1)! 1 1 2 = 2 10 < 10 3, 1 e x2 dx. 10 ( 1) = 0 (2 + 1)!. 11