8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě pouţití řady statistických metod ám přibliţuje zkoumaý jev a zákoitosti s ím spojeé. 8.1 Statistický soubor Příklad 1 : V tabulce jsou uvedey údaje o ţácích a základích školách k 30. září 1998 Počet ţáků V procetech Počet dívek V 1. aţ 9. ročíku 1 08 415 100 57 455 celkem Z toho v 1. ročíku 13 1 11,4 59 494 V. ročíku 18 384 11,9 6 879 Ve 3. ročíku 13 804 11,4 60 579 Ve 4. ročíku 15 407 11,6 61 581 V 5. ročíku 15 97 11,6 61 544 V 6. ročíku 116 563 10,8 56 473 V 7. ročíku 116 376 10,8 56 39 V 8. ročíku 113 06 10,4 54 688 V 9. ročíku 109 66 10,1 53 981 Tabulka byla sestavea a základě statistického šetřeí. Pozorě si ji prohlédi a pak zodpověz těchto deset otázek: a) Kolik ţáků bylo 30. 9. 1998 v 1. aţ 9. ročíku celkem? b) Kolik z ich bylo k tomuto datu v 8. ročíku? c) Ve kterém ročíku bylo ejvíce ţáků? A ve kterém ejméě? d) Bylo více ţáků v 1. aţ 5. ročíku, ebo v 6. aţ 9. ročíku? e) Které číslo tvoří základ pro výpočet počtů procet ţáků v jedotlivých ročících? f) Jsou počty procet vypočítáy správě? Zkotrolujte, výsledky zaokrouhlete a desetiy. g) Kolik chlapců bylo v 8. ročíku? Je chlapců více eţ dívek? h) Kolik procet počtu všech ţáků 8. ročíku tvořili chlapci? A kolik procet dívky? i) Kolik je v tvé třídě chlapců a kolik dívek? j) Kolik procet počtu ţáků tvé třídy jsou chlapci a kolik procet dívky? Příklad: Na základí škole v Javorici proběhlo statistické šetřeí, kterého se zúčastilo 64 ţáků této školy. Jeda z otázek byla: Kolik máš celkem sourozeců? Zde jsou výsledky: 1
Počet všech sourozeců 0 1 3 4 5 Počet ţáků 15 10 44 95 36 4 Počet ţáků v procetech,40 33,65 39,10 15, 5,77 3,85 SLOVA POUŢÍVANÁ VE STATISTICE Dotazovaí ţáci ZŠ Javorice.... statistický soubor Kaţdý z dotazovaých ţáků... statistická jedotka Počet sourozeců. zvoleý zak Čísla 0, 1,, 3, 4, 5. zjištěé hodoty zaku 0 5 rozsah zaku 4 ţáků má 5 sourozeců.... 4 je absolutí četost ( frekvece ) hodoty 5 4 64 = 0,03846 je ta část dotazovaých ţáků, kteří mají pět sourozeců.. 0,03846 je relativí četost hodoty 5 0,03846. 100 = 3,846 je počet procet ţáků, kteří mají pět sourozeců.. 3,846 % je relativí četost hodoty 5 Kaţdé statistické jedotce přiřazujeme jediou hodotu zaku. Součet četostí se rová počtu všech jedotek statistického souboru. Součet relativích četostí vyjádřeých v procetech je 100 %. Pokud relativí četosti zaokrouhlujeme, emusí ám 100 % vyjít přesě. Příklad : Proveďte ve své třídě průzkum, jehoţ cílem je zjistit, kolik z vás se arodilo ve kterém kaledářím měsíci. Výsledky uspořádejte do tabulky, zapište četosti a vypočítejte relativí četosti. 8. Základí charakteristiky souboru Aritmetický průměr hodot ( x ) je součet všech hodot ( x i ) vyděleý počtem všech statistických jedotek souboru (). x = x 1 x... x Příklad: V osmé třídě je 5 ţáků, kteří byli hodocei v pololetí z fyziky takto: osmáct ţáků dostalo jedičku, šest ţáků dostalo dvojku a jede ţák trojku. Vypočítej průměrou zámku z fyziky v této třídě. Řešeí: 18. 1 6. 5 1. 3 33 5 x = 1, 3
Ţáci osmé třídy byli hodocei průměrou zámkou 1,3. 7. ročík - 8. Základy statistiky Pozor a čiěé závěry a základě aritmetického průměru. Příklad: Máme chlapecký a dívčí kolektiv. V chlapeckém kolektivu má Karel 70.- Kč, Hoza 55.- Kč, Zdeěk 45 Kč, Ota 40 Kč, Zbyěk 30.- Kč, Marti 10. Kč, Michal emá peíze a Tomáš také emá peíze. V dívčím kolektivu má Věra 40.- Kč, Zuzka 40.- Kč, Jitka 40.- Kč, Jaa 30.- Kč, Petra 30.- Kč, Pavla 5.- Kč, Romaa 5.- Kč a Nikola 0 Kč. Vypočítejte kolik koru mají chlapci a dívky. Řešeí : x ( chlapci ) = 31,5 Kč y ( dívky ) = 31,5 Kč Průměrě mají všichi stejě, ale fiačí situace je v kaţdé skupiě jiá. V čem se liší? Příklad 3: Vypočítejte aritmetický průměr všech zámek (mimo chováí) a svém vysvědčeí. Příklad 4: V prodejě obuvi byly v posledím týdu ásledující trţby: v podělí. 33 47 Kč v úterý. 3 116 Kč ve středu. 9 875 Kč ve čtvrtek 35 569 Kč v pátek 47 31 Kč v sobotu.. 5 997 Kč Vypočítejte aritmetický průměr trţeb čili průměrou deí trţbu za posledí týde. Výsledek zaokrouhlete a celé koruy. Příklad: Kotrolí písemá práce z matematiky v ročí dopadla takto : Třída 9.A 9.B 9.C 9.D průměrá zámka,1 1,8,33,11 počet ţáků 8 4 3 30 Určete průměrou zámku dětí celého ročíku. Řešeí : Vzhledem k tomu, ţe četost ţáků kaţdé třídy eí stejá, eí moţé počítat aritmetický zámek jako aritmetický průměr aritmetických průměrů, ale musíme zvolit teto postup. x =,1.8 1,8.4 8 4,33.3 3 30,11.30 =,14 Uvědomte si, co vyjadřuje výraz,1.8. Příklad 5: Tomáš jel a výlet k babičce 3 hodiy vlakem rychlostí 40 km/hod a pak půl hodiy autobusem průměrou rychlostí 60 km/hod. Jakou průměrou rychlostí cestoval? Příklad 6: Jirka se vydal a výlet. Nejdříve šel 30 miut průměrou rychlostí 3
6 km/hod a autobus, který okamţitě přijel. Autobusem jel,5 hodiy průměrou rychlostí 60 km/hod. Potom čekal 15 miut a vlak, kterým jel hodiu a čtvrt průměrou rychlostí 50 km/hod. Na určeé místo akoec došel za půl hodiy průměrou rychlostí 4 km/hod. Jakou průměrou rychlostí cestoval? Hodotu šetřeí s ejvyšší četostí azýváme modus. Mediá je hodota, která leţí ve středu tabulky uspořádaé od ejmeší do ejvyšší hodoty šetřeého zaku. Je-li počet jedotek souboru liché číslo, je mediá sledovaého zaku ta jeho hodota, která leţí uprostřed. Je-li počet jedotek souboru sudé číslo, je mediá sledovaého zaku aritmetickým průměrem těch jeho dvou hodot, které jsou ejblíţe středu. Příklad: Na aší škole máme volejbalové druţstvo dívek a volejbalové druţstvo chlapců. Dívky ve volejbalovém druţstvu mají výšky v řadě od ejvětší po ejmeší : 194 cm, 19 cm, 175 cm, 175 cm, 175 cm, 174 cm, 17 cm, 171 cm, 171 cm, 170 cm. Určete : a) aritmetický průměr; b) modus; c) mediá. Řešeí : a) x = 194 19 175.3 174 10 17 b) modus je hodota 175 cm; c) mediá je hodota 174,5 cm. 171. 170 = 176,9 cm Příklad 7 : Tabulka uvádí rozděleí četostí výše čtvrtletí odměy pro 4 pracovíků závodu. Odměy 3 000 6 000 10 000 15 000 30 000 v Kč četost 5 18 11 7 1 Vypočítejte aritmetický průměr, modus a mediá výše čtvrtletí odměy. Příklad 8 : V tabulce jsou uvedey počty ţáků ve všech třídách základí školy v Javorici. Třída 1.A.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.A 7.B 8.A 9.A počet 4 3 6 8 9 7 30 3 ţáků Získaé údaje zpracujte takto : 4
a) Statistický soubor tvoří třídy 1.A aţ 9.A. Roztřiďte je do skupi podle zaku počet ţáků ve třídě. Sestavte tabulku, v jejímţ prvím řádku budou hodoty zaku počet ţáků ve třídě a ve druhém řádku jejich četosti. b) Určete modus a mediá tohoto zaku. c) Vypočítej aritmetický průměr počtu ţáků ve třídě. Příklad 9 : V soutěţi jedotlivců získali jedotliví závodíci tyto body : 37, 53, 56, 58, 59, 47, 53, 48, 58, 58, 36, 44, 48, 45, 61, 49, 58, 45, 51, 53, 56, 53, 53, 54, 56, 58, 60, 60, 54, 58. a) Sestavte tabulku, v jejímţ prvím sloupci bude zak počet získaých bodů a v druhém sloupci bude příslušá frekvece. b) Určete aritmetický průměr získaých bodů. c) Určete modus a mediá získaých bodů. Rozptyl charakterizuje rozloţeí hodot ve vzorku vzhledem k aritmetickému průměru. Čím je meší, tím jsou aměřeé hodoty blíţe aritmetickému průměru. x x Začíme σ (čteme sigma ) σ = i Rozptyl eí závislý a aritmetickém průměru. Vzhledem k tomu, ţe je vyjádře ve čtvercích měrých jedotek sledovaého zaku, zavádí se pojem směrodatá odchylka. Směrodatá odchylka je defiováa jako odmocia rozptylu. Začíme s s = Vzhledem k tomu, ţe ai směrodatá odchylka evyjadřuje vztah k aritmetickému průměru, zavádí se pojem variačí koeficiet. Variačí koeficiet s Začíme v k v k =. 100 x Variačí koeficiet se udává v procetech. Variačí koeficiet, který je větší eţ 50%, ukazuje a esourodost statistického souboru a to v takové míře, ţe pouţití aritmetického průměru je uţ stěţí oprávěé. Pro lepší pochopeí si zvolíme lehký příklad s třemi čísly, kdy závěry jsou jasé bez ašeho počítáí, ale při řešeí úkolu s více čísly, apř. tisícem čísel, jiţ k závěrům potřebujeme azačeé výpočty. Příklad : V levé skupiě máme tři čísla : 7; 8; 9. V pravé skupiě máme čísla 1; 10, 13. Vypočtěte pro obě skupiy základí statistické údaje. Řešeí : levá skupia pravá skupia aritmetický průměr 8 8 5
výpočet rozptylu x i x x i -x (x i -x ) x i x x i -x (x i -x ) 7 8-1 1 1 8-7 49 8 8 0 0 10 8 4 9 8 1 1 13 8 5 5 ------- ------- 78 dosadíme do vzorce σ = x i x σ = = 0,67 3 78 σ = = 6 3 dosadíme do vzorce pro směrodatou odchylku s = s = 0, 67 = 0,8 s = 6 = 5,1 závěry : většia čísel se odchyluje většia čísel se odchyluje od aritmetického průměru od aritmetického průměru ( 8 ) o méě eţ jeda v obou ( 8 ) o více eţ pět v obou směrech, leţí tedy mezi směrech, leţí tedy mezi čísly 7 a 9. 3 a 13. s dosadíme do vzorce pro variačí koeficiet v k =. 100 0,8 8 v k =. 100 = 10,% v k =. 100 = 63,5% x 5,1 8 7. ročík - 8. Základy statistiky Máme-li soubor čísel a jedo z ich zcela evidetě je epravděpodobé ebo vziklo důsledkem ějaké chyby, tak je moţé za určitých podmíek toto číslo vyřadit ze statistického zkoumáí, protoţe jiá chyba by mohla ovlivit výsledky ašeho zkoumáí. Příklad 10 : Při měřeí určitého předmětu byly změřey tyto údaje v cetimetrech :,11,01,09,11,0,03,03,10,05,05. Vypočtěte směrodatou odchylku a variačí koeficiet tohoto šetřeí. Příklad 11 : Ve střelbě z pistole soutěţila tři druţstva. Docílili těchto výsledků ( číslo udává vzdáleost zásahu od středu terč v milimetrech ). Které druţstvo mělo ejvětší rozptyl? Druţstvo A : 10; 8; 9; 7; 8; 10; 9; 7; 3; 10; Druţstvo B : 3; 10; 6; 7; 8; 9; 7; 3; 9; 10; Druţstvo C : ; 3; 1; 3; ; 7; 1; ; ; 3; Výsledky statistických šetřeí se velmi často vyjadřují pomocí diagramů. Kaţdý diagram vyjadřuje vzájemý vztah mezi dvěma i více proměými veličiami pomocí přehledých grafických symbolů (číslice, písmea, matematické symboly, schematické obrázky, čáry, obrazce, tělesa, barvy a jejich odstíy). Druhy diagramů: bodový, spojicový, hůlkový (úsečkový), sloupcový, kruhový. 6
Souhrá cvičeí 1) V Jaiě třídě je 40 % chlapců. jejich průměrá výška je 145 cm. průměrá výška všech dětí v Jaiě třídě je 14 cm. Ve své třídě je Jaa mezi děvčaty adprůměrě vysoká, ale je meší eţ je průměrá výška všech dětí v její třídě. Zjistěte, kolik Jaa měří, pokud víte, ţe její výška je v cetimetrech celé číslo. ) Vypočtěte variačí koeficiet čísel těchto šetřeí : a) 4, 3,9 3,8 4,1 4,0 4,5 4,3; b) 9,4 9,3 9,5 9,3 9,8; c) 16, 15,8 14,8 16,1 16,0 15,9 15,8 15,7 16,1; Výsledky příkladů 1) a) 1 08 415; b) 113 06; c) v. ročíku, v 9. ročíku; d) v 1.- 5. ročíku; e) čísla ve sloupečku počet ţáků; f) ao; g) chlapců 58 338, bylo jich více eţ děvčat; h) chlapci 51,61 %, dívky 48,39%; 4) 34 01 Kč; 5) 4,8 km/hod; 6) 43,5 km/hod; 7) 8 76.- Kč; 6 000.- Kč; 6 000.- Kč; 8) b), 6,5; c) 6,3 9) b) 5,63 bodů; c) 58 bodů, 53,5 bodů; 10) s = 0,0368781; v k = 1,79; 11) B : 5,956; A : 4,09; C : 0,64; Výsledky souhrých cvičeí 1) 141 cm; ) a) 5,36 %; b) 0,644%; c),7%; 7