Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně) a dá se tedy popsat soustavou lineárních rovnic. Základy řešení soustav lineárních rovnic jsou známy již ze střední školy, např. soustavy dvou rovnic o dvou neznámých přesně popisují problém nalezení vzájemné polohy dvou přímek v rovině. K vyřešení soustavy se používá několik metod, zejména metoda sčítací a dosazovací. Ukážeme si jak tyto metody zobecnit na větší soustavy. Při řešení těchto soustav využijeme veškerý dosud vybudovaný arzenál: soustavy lineárních rovnic se stručně zapisují pomocí matic a pomocí hodnosti matice můžeme zjistit počet řešení zadané soustavy. K nalezení řešení budeme matice pomocí elementárních řádkových úprav převádět na vhodnější ekvivalentní (např. schodovitý) tvar. Řešení můžeme analyticky vypočítat také pomocí determinantů nebo inverzní matice. Množina všech řešení soustavy pak tvoří vektorový (resp. afinní) podprostor ve vhodném vektorovém (resp. afinním) prostoru. Nejprve zobecníme dobře známé pojmy: Soustavou r lineárních rovnic o n neznámých x,, 1 xn R (počet rovnic se nemusí rovnat počtu neznámých) rozumíme zápis a x + a x + + a x = b, 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + + a x = b, 21 1 22 2 2n n 2 a x + a x + + a x = b. r1 1 r 2 2 rn n r Reálná čísla a kl, pro k = 1,, r a l = 1,, n nazýváme koeficienty soustavy (4.1), reálná čísla b i nazýváme sloupcem pravých stran. Uspořádanou n -tici ( k1,, k n ) nazveme řešením soustavy (4.1), jestliže po jejím dosazení za neznámé x,, 1 xn budou všechny rovnice v soustavě (4.1) splněny. V případě nutnosti (pokud to vyžaduje problém, který řešíme) můžeme brát neznámé z libovolného vektorového prostoru, může tedy jít třeba o funkce. (4.1) 4.1. Definice Maticí soustavy (4.1) rozumíme matici a11 a12 a1n a21 a22 a2n A = ar1 ar 2 arn typu ( r n), kde r se nemusí rovnat n. Rozšířenou maticí soustavy (4.1) pak rozumíme matici a11 a12 a1 n b1 a21 a22 a2n b2 A = ar1 ar 2 arn br typu ( r n + 1). Označíme-li (4.2) (4.3) 1

x1 b1 x2 b2 X =, B =, xr br můžeme soustavu (4.1) zapsat v maticovém tvaru A X = B. (4.4) 4.2. Poznámky. (i) V literatuře se rozšířená matice označuje mnoha různými způsoby, krom námi preferovaného označení A se často používá také A, A B, R, apod. (ii) Rovnice (4.4) se často zapisuje ve tvaru A x = b, zejména v případech, kdy potřebujeme zdůraznit vektorový charakter matic X a B, které jsou opravdu sloupcovými vektory, tedy maticemi typu ( r 1). 4.3. Definice Soustavu rovnic A x = b nazýváme homogenní, je-li b = o, tedy je-li b i = 0 pro všechna i = 1,, r. V opačném případě nazýváme soustavu nehomogenní. 4.4. Věta (i) Homogenní soustava má vždy řešení. (ii) Množina všech řešení homogenní soustavy tvoří vektorový podprostor Důkaz. n K R. 4.5. Poznámka. Každé řešení soustavy A x = o získáme jako lineární kombinaci prvků z K. Jakoukoliv bázi podprostoru K nazýváme fundamentální systém řešení. Homogenní soustavy hrají důležitou roli i pro řešení nehomogenních rovnic. 4.6. Věta (i) Každé řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic A x = b se dá vždy vyjádřit ve tvaru x = x h + x, (4.5) p kde x p je pevně zvolené řešení nehomogenní soustavy A x = b, tedy tzv. partikulární řešení, a x je nějaké řešení příslušné homogenní soustavy A x = o. h 2

(ii) Je-li x,, 1 x r fundamentální systém řešení soustavy A x = o, pak lze množinu všech řešení nehomogenní soustavy A x = b napsat ve tvaru K = x + c x + + c x c c R. {, p 1 1 r r 1 r } Tato věta je velmi důležitá také proto, že platí i pro lineární diferenciální rovnice, se kterými se seznámíme v následujícím semestru. Množina K všech řešení nehomogenní soustavy tvoří tzv. afinní prostor. Vztah mezi vektorovým a afinním prostorem jsme si vysvětlili v první přednášce. 4.7. Frobeniova věta (i) Soustava lineárních rovnic A X = B má řešení právě tehdy, když h( A) = h( A ). (ii) Označme k = h( A) = h( A ). Má-li soustava n neznámých a je-li n = k, pak má soustava A X = B právě jedno řešení. n > k, pak má soustava A X = B nekonečně mnoho řešení, která tvoří ( n k) - dimenzionální podprostor (můžeme je popsat ( n k) nezávislými parametry). Frobeniova věta odpovídá na otázku existence a jednoznačnosti řešení, ale neposkytuje metodu jejich výpočtu. Tři možné metody výpočtu řešení soustavy představíme v následujících kapitolách. Známé metody hledání řešení (zejména sčítací a dosazovací metoda) se také dají přímo zobecnit na tento případ. Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda je ve většině případů velmi účinnou metodou řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Prodělala dlouhý historický vývoj, byla patrně známa již ve starověké Číně na přelomu našeho letopočtu jako fang čcheng. Nezávisle se metoda vyvíjela v Evropě, a to ve třech fázích: nejjednodušší strategii postupné eliminace neznámých formuloval již I.Newton v 17. století, zobecnil a vyprecizoval ji na počátku 19. století především C. F. Gauss (navazující na L. Eulera a J.-L. Lagrange) a později Camille Jordan. O maticový popis soustav se zasloužilo několik matematiků, například J. von Neumann nebo Alan Turing, ovšem až ve 20. století. 4.8. Gaussova eliminační metoda: Mějme zadánu soustavu lineárních algebraických rovnic (4.1). 1. Zapíšeme koeficienty do rozšířené matice soustavy (4.3) 2. Matici převedeme pomocí ekvivalentních řádkových úprav na schodovitý tvar. 3. Aplikujeme Frobeniovu větu. Tím zjistíme počet řešení soustavy. 4. Ze schodovitého tvaru rozšířené matice sestavíme zpět soustavu rovnic, ze které snadno dopočítáme řešení soustavy. Postupujeme od poslední rovnice, která obsahuje nejméně neznámých, postupným dosazováním do vyšších rovnic. 3

4.9. Příklad Nalezněte všechna řešení soustavy x + + 2x 2x = 9, 1 3 4 x + 3x 2x + x = 0, 2x + 5x 3x + 3x = 0, 2x1 x2 + 4x3 + 9x4 = 3. 1. Rozšířená matice soustavy je 2. Při převodu matice na schodovitý tvar oddělujeme sloupec pravých stran svislou čárou, která v rozšířené matici odděluje matici soustavy. 3. Spočítáme hodnost matice soustavy: a hodnost rozšířené matice: 4. Z prvků matice sestavíme ekvivalentní soustavu, ze které dopočítáme řešení: 4

4.10. Příklad Nalezněte všechna řešení soustavy x + x + x = 3, 2x + x 2x = 1, x + 2x 3x = 1, x + x 3x = 1. 4.11. Příklad Nalezněte všechna řešení soustavy x + x x = 1 2 4 2x + 4x 2x 7x = 4, 4x 2x + 6x 4x = 3, x x + 2x = 1. 3, 5

V případě že má soustava nekonečně mnoho řešení může činit jisté obtíže volba parametrů a dopočítání neznámých tak, abychom získali všechna řešení. Proto se někdy nekončí převodem na schodovitý tvar, ale rozšířená matice se dále upraví na tzv. Gauss Jordanův tvar. 4.12. Gauss Jordanova eliminační metoda: Mějme zadánu soustavu lineárních algebraických rovnic (4.1). 1. Zapíšeme koeficienty do rozšířené matice soustavy (4.3). 2. Matici převedeme pomocí ekvivalentních řádkových úprav na Gauss Jordanův tvar. 3. Aplikujeme Frobeniovu větu. Tím zjistíme dimenzi podprostoru řešení soustavy. 4. Z Gauss Jordanova tvaru rozšířené matice snadno určíme parametrické neznámé. Ty totiž odpovídají sloupcům matice, ve kterých neleží leží hlavní prvek (tzv. pivot). Přitom počet pivotů známe z Frobeniovy věty. Neznámé ve sloupcích s pivotem (tzv. hlavní neznámé) dopočítáme velmi snadno převedením parametrických neznámých na pravou stranu rovnic. 4.13. Příklad Nalezněte všechna řešení soustavy x + 2x + 2x x = 1, 2x + 4x + 2x + 2x = 1, 4x + 8x + 6x = 1, 5x + 10x + 4x + 7x = 4. 6

4.14. Příklad (geometrie v rovině) Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p : x + y = 1 a přímky a) a : x y = 3, b) b : 2x + 2y = 3, c) c : 3x + 3y = 3. O vzájemné poloze dvou přímek v rovině lze rozhodnout na základě počtu jejich společných bodů. Budeme tedy hledat body splňující vždy obě rovnice obou přímek, proto sestavíme soustavy dvou rovnic o dvou neznámých a ty vyřešíme: a) 1 1 1 ř1 1 1 1 1 1 3 ř1 + ř2 0 2 2 Platí tedy h( A) = h( A ) = 2, soustava má tedy jediné řešení. Z druhé rovnice dostáváme, že y = 1, dosazením do první rovnice obdržíme x = 2. Přímky p, a jsou tedy různoběžné a jejich průsečíkem je bod P = [ 2, 1]. b) 1 1 1 ř1 1 1 1 2 2 3 ( 2) ř + ř 0 0 1 1 2 Platí tedy h( A) = 1, h( A ) = 2, soustava tedy nemá řešení a přímky p, b jsou tedy rovnoběžné. c) 1 1 1 ř1 1 1 1 3 3 3 ( 3) ř + ř 0 0 0 1 2 Platí tedy h( A) = h( A ) = 1, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení. Přímky p, c jsou tedy totožné. Zvolíme-li y = t, pak z první rovnice snadno dopočítáme, že x = 1+ t. Parametrické vyjádření této přímky má tedy tvar p c : x = 1 + t, y = t, t R. Cramerovo pravidlo Pro soustavy n lineárních rovnic o n neznámých (stejný počet rovnic jako neznámých) se v některých případech vyplatí použít Cramerovo pravidlo, nazvané podle švýcarského matematika Gabriela Cramera (1704 1752). Ten poprvé obecně řešil soustavy n lineárních rovnic o n neznámých s využitím součtů jistých součinů koeficientů soustavy a stál tak při zrodu determinantů. Použití determinantů přenáší na Cramerovo pravidlo své výhody i nevýhody: je myšlenkově nenáročné a dobře se hodí pro programování výpočtů v počítači, ovšem pro vyšší počet ( n 4 ) rovnic a neznámých rychle roste jeho výpočetní náročnost. Navíc se dá použít jen pro ty soustavy, kde je determinant matice soustavy nenulový (tedy jeli matice soustavy regulární). Proto se Cramerovo pravidlo používá prakticky pouze pro soustavy rovnic s parametrem nebo potřebujeme-li vypočíst jen některou neznámou (a ostatní nás nezajímají). 7

4.15. Věta (Cramerovo pravidlo) Soustava lineárních algebraických rovnic A X = B, kde A je regulární čtvercová matice, má právě jedno řešení D1 x1 = D D2 x2 = X = D, (4.6) D n xn = D kde D je determinant matice soustavy a D s je determinant matice, která vznikne z matice soustavy nahrazením s -tého sloupce sloupcem B pravých stran. Vidíme, že pro výpočet soustavy n lineárních rovnic o n neznámých musíme spočítat ( n + 1) determinantů řádu n, což by znamenalo v případě výpočtu determinantů podle definice více než ( n + 1)! operací (srov. minulá přednáška). 4.16. Příklad Vyřešte soustavu lineárních rovnic λx + x + x = kde λ R je parametr. x + λx x = 3 1 3x + 3x + x = λ + 6 8

Maticové rovnice Pro soustavy rovnic v maticovém tvaru (4.4) můžeme zobecnit tvar matice B. Toho se dá využít například v problémech, kde máme stále stejnou maticí soustavy A, ovšem mění se nám vstupní data, tedy pravé strany B tvořící matici typu ( n k) pro libovolné k. Pokud je matice soustavy regulární matice stupně n, můžeme problém řešit pomocí inverzní matice. Jakmile ji totiž známe, lze neznámé velmi snadno nalézt vynásobením matic: A X = B = 1 1 A A X A B = 1 E X A B 1 X = A B Dodejme, že je to řešení jediné. Podobně (a také za podobných předpokladů: A regulární stupně n, B typu ( m n), m libovolné) lze řešit také rovnice tvaru A X B = C X A = B 1 1 1 1 A A X B B = A C B 1 X = B A 1 1 X = A C B Přesto se kvůli náročnosti výpočtu inverzní matice pro vyšší n používají inverzní matice spíše k teoretickým úvahám než k praktickým numerickým výpočtům. (4.7) 4.17. Příklad Řešte soustavu rovnic v maticovém tvaru 1 2 2 2 3 2 3 4 X = 6 10 9 11 15 0 0 1 0 1 0 1 2 Vzhledem k tvaru matic A a B hledáme matici X typu (3 5). Inverzní matici k A jsme vypočítali v příkladu 3.15 a 3.17, proto snadno dostáváme, že 1 X A B = = 4.18. Příklad Řešte maticovou rovnici 1 0 1 2 1 2 1 1 X 2 1 1 1 0 = 0 3 1 1 1 2 9

Doplňující zdroje: Online zdroje A. Hlaváč, Soustavy lineárních rovnic a jejich geometrická interpretace, online: homepages.math.slu.cz/adamhlavac/soustavyrovnic.pdf J.F. Grcar, Mathematicians of Gaussian Elimination, Notices of the AMS 58 (2011) (6) 782 792. online: http://www.ams.org/notices/201106/rtx110600782p.pdf Literatura Burda P., Havelek R. a Hradecká R.: Algebra a analytická geometrie (VŠB-TU Ostrava, 2005). Vrbenská H. a Bělohlávková J.: Základy matematiky pro bakaláře I. (VŠB-TU Ostrava, 2003). Škrášek J. a Tichý Z.: Základy aplikované matematiky I. (SNTL Praha, 1989). Bečvář J.: Z historie lineární algebry. Dějiny matematiky 35 (Matfyzpress, Praha 2007) 519 s. Moore G.H.: The axiomatization of Linear Algebra: 1875 1940, Historia Mathematica 22 (1995) 262 303. 10