Vypočtěte y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3. y(x) = x sin2x 4. y(x) = x cos2x 5. y(x) = e x 1 6. y(x) = xe x 7. y(x) = x 2 e x 8. y(x) = e 2x 9. y(x) = xe 2x 10. y(x) = 2sin2x+cos2x x sin2x+2x cos2x+( x 2 2x 2)e x +(3x+1)e 2x Jsou dány matice 2 4 A = 4 4 3 3 2 2 2 3 B = 3 3 2 3 4 1 3 3 3 4 C = ( ) 2 2 2 1 3 4 Vypočtěte ty ze součinů AB, BA, AC, CA, BC, CB, které jsou definovány a na jednom vámi vybraném součinu z ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA demonstrujte platnost asociativního zákona. 2
Vyjádřete vektor a (plný) jako lineární kombinaci vektorů b (čárkovaný) a c (tečkovaný). 3 Koeficienty uved te na dvě platné cifry. V testu tolerujeme odchylku do 15%, v semestrální práci do 5%. Ve vektorovém prostoru dimenze 2 uvažujme tři baze A = {a 1,a 2 }, B = {b 1,b 2 }, kde b 1 = 2a 1 +a 2, b 2 = 2a 1 2a 2 a C = {c 1,c 2 }, kde c 1 = a 2, c 2 = 2a 1 +2a 2. Vyjádřete vektory baze B jako lineární kombinaci vektorů baze C. Ve vektorovém prostoru uvažujeme tři baze A = {a 1,a 2 }, B = {b 1,b 2 }, kde b 1 = 2a 1 +a 2, b 2 = 2a 1 2a 2 a C = {c 1,c 2 }, kde c 1 = a 2, c 2 = 2a 1 +2a 2. 4 (1) NapištematicepřechoduP B A,P C A avypočtětětematici přechodu P B C (2) Použijte výsledek (1) k vyjádření vektoru v = 3b 1 +5b 2 jako lineární kombinace vektorů c 1, c 2. 5 (3) Proved te kontrolu výsledku (2) tím, že vektor v vyjádříte jako lineární kombinaci vektorů a 1, a 2 a výpočet provedete dvěma způsoby jednou z použitím výsledku (2) a jednou bez. Ve vektorovém prostoru dimenze 2 uvažujme tři baze s maticemi přechodu ( ) ( ) 2 2 0 2 P B A = P 1 2 C A = 1 2 6 Vypočtěte ostatní (čtyři) matice přechodu.
Kolika způsoby je možné vyjádřit vektor v = (1,2, 15) jako lineární kombinaci vektorů a = (1, 3,2), b = ( 1,4, 5), c = (2, 10, 17)? Pokud je to možné, napište jedno, případně dvě tato vyjádření. Tvoří vektory a, b, c bazi prostoru R 3? Jak souvisí odpověd na tuto otázku s úlohou ze začátku příkladu? Kolika způsoby je možné vyjádřit vektor v = (4,8, 30) jako lineární kombinaci vektorů a = (8, 4, 10), b = ( 2, 2, 10), c = ( 20, 4,0)? Pokud je to možné, napište jedno, případně dvě tato vyjádření. Tvoří vektory a, b, c bazi prostoru R 3? Jak souvisí odpověd na tuto otázku s úlohou ze začátku příkladu? Zjistěte, zda jsou vektory a = (1, 3,2), b = ( 1,4, 5), c = (2, 10,17) lineárně závislé a napište vztah, který tento fakt demonstruje. Zjistěte, zda jsou vektory a = (8, 4, 10), b = ( 2, 2, 10), c = ( 20, 4, 0) lineárně závislé a napište vztah, který tento fakt demonstruje. Ukažte, že vektory a = (2,3) T, b = (5,2) T, c = (2, 2) T jsou lineárně závislé. Bod A má vůči souřadné soustavě S souřadnice [1, 2]. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči S otočená o 20 ve směru hodinových ručiček. Výsledky zaokrouhlete na setiny. Souřadnice bodu A v souřadné soustavě S jsou [ 3, 4]. Vypočtěte jeho souřadnice v soustavě, která je vůči S otočená o 65 proti směru hodinových ručiček. Výsledky zaokrouhlete na setiny. 7 8 9 10 11 12 13 Vypočtěte inverzní matice k maticím 0 3 2 3 3 0 A = 2 0 1 B = 2 0 1 2 2 0 0 1 1 a proved te zkoušku. Dále vypočtěte matice (AB) 1, (BA) 1, A 1 B 1 a B 1 A 1. 14
Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí f 1 : x (x+1)(x+2) f 2 : x (x+1)(x+4) f 3 : x (x+4)(x+2) g : x 3x 2 6x+5 15 a vyjádřete funkci g jako lineární kombinaci funkcí f 1, f 2, f 3. Funkce g 1 : x 1 x 5 g 2 : x 1 x 3 g 3 : x 2 h : x 3x2 5x 4 (x 5)(x 3) 16 mají stejný definiční obor interval (3, 5). Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí g 1, g 2, g 3 (pozor na jejich definiční obory!) a vyjádřete funkci h jako jejich lineární kombinaci. Ve vektorovém prostoru P 2 polynomů stupně 2 a menšího jsou dány dvě baze: F = {f 1,f 2,f 3 }, kde f 1 : x (x+1)(x+2) f 2 : x (x+1)(x+4) f 3 : x (x+4)(x+2) 17 a kanonická baze K = {e 0,e 1,e 2 }, kde e i : x x i, pro i = 0,1,2. Vypočtěte matice přechodu P F K, P K F.
Pro funkce g 1 : x 1 x 5 g 2 : x 1 x 3 g 3 : x 2 18 a k i : x xi (i = 0,1,2) se stejným definičním oborem (x 5)(x 3) intervalem (3,5) vypočtěte matice přechodu P G K, P K G a do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí g 1, g 2, g 3 (dejte pozor při kreslení grafů na jejich definiční obory). V prostoru polynomů stupně 2 a menšího uvažujeme tři baze: kanonickou K = {e 0,e 1,e 2 }, kde pro i = 0,1,2 je e i : x x i ; Lagrangeovu L = {l 1,l 2,l 3 }, kde l 1 : x (x 1)(x 2)/2 l 2 : x (x 1)(x 3) l 3 : x (x 3)(x 2)/2 19 a Newtonovu N = {n 1,n 2,n 3 }, kde n 1 : x 1, n 2 : x x 1, n 3 : x (x 1)(x 2). Napište (všechny) matice přechodu mezi těmito bazemi. Vyjádřete polynom 2x 2 +1 jako lineární kombinaci polynomů n 1, n 2, n 3. K výpočtu koeficientů použijte matici přechodu. Rozhodněte, které z následujících zobrazení je aditivní, homogenní, lineární. ( ) ( ) x 4x+11y f 1 : y 2x+3y ( ) ( ) x xy f 2 : y 7x+2y ( ) ( ) x x 5y f 3 : y 4 3x+5y Napište příslušné vztahy prokazující homogenitu a aditivitu. Nalezněte obrazy funkce y : x x sinx v zobrazeních f 1 : y 5y sinx 3x 2 y f 2 : y yy +5xy f 3 : y 3y 3xy 2 arozhodněte,kterézezobrazeníf 1,f 2,f 3 jeaditivní, homogenní, lineární. Napište příslušné vztahy prokazující homogenitu a aditivitu. 20 21
Prostor funkcí je dán svojí bazí K = {e 0,e 1,e 2,e 3 }, kde pro i = 0,1,2,3 je e i : x e 3x x i. Určete matici lineárního zobrazení l : g 3g +g +2g vzhledem k bazi K ve výchozím i cílovém prostoru. Určete dimenzi a bazi jádra lineárního zobrazení l zadaného maticí 1 8 8 0 F = 0 3 3 0 3 2 2 0 4 4 4 0 Určete dimenzi a bazi jádra lineárního zobrazení l zadaného maticí 2 3 10 14 F A,B = 1 3 3 0 0 1 4 4 0 0 4 1 Vektory baze vyjádřete jako aritmetické vektory souřadnic vzhledem k bazi A. Určete které z vektorů 2 4 B v 1 = 9 6 B v 2 = 8 0 6 2 leží v oboru hodnot lineárního zobrazení zadaného maticí 6 1 0 1 F A,B = 18 1 2 2 12 0 0 3 16 0 1 5 Ten, který leží, můžete vyjádřit jako lineární kombinaci - rozhodněte zda řádků nebo sloupců matice F, své rozhodnutí zdůvodněte a tuto lineární kombinaci napište. Prostor funkcí V je dán svojí bazí K = {k 0,k 1,k 2,k 3 }. Pro i = 0,...,3 je k i : x x i e 2x. Zobrazení d přiřazuje funkci f V její derivaci f. Napište matici D zobrazení d vzhledem k bazi K ve výchozím i cílovém prostoru. Pomocí této matice vypočtěte první a druhou derivaci funkce f : x e 2x( 2x 3 +2x 2 +7x ) 22 23 24 25 26
Prostor funkcí V je dán svojí bazí K = {k 0,k 1,k 2,k 3 }. Pro i = 0,...,3 je k i : x x i e 2x. Zobrazení d přiřazuje funkci f V její derivaci f. Napište matici D zobrazení d vzhledem k bazi K ve výchozím i cílovém prostoru. Pomocí této matice nalezněte vzor funkce f : x e 2x( 2x 3 +2x 2 +7x ) v zobrazení d. Napište, jaký integrál jste tím spočetli. Nalezněte všechna řešení soustavy x 1 1 2 3 1 1 2 2 5 7 3 x 2 4 3 3 5 8 2 x 3 x 1 1 1 2 0 4 = 10 10 2 x 5 27 28 Určete dimenzi a bazi jádra lineárního zobrazení f zadaného maticí 1 1 2 3 1 F A,B = 2 2 5 7 3 3 3 5 8 2 1 1 1 2 0 Vektory baze vyjádřete jako aritmetické vektory souřadnic vzhledem k bazi A. 29 Na prostoru polynomů stupně čtvrtého a menšího nalezněte jádro zobrazení f : y x 2 y 2(x+2)y +12y. 30 Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x 1 0 0 1 x 1 0 0 1 1 3 < 4 0 0 3 5 31
Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice ( ) 1 1 A = 5. 32 1 2 Uvažujme dvě rovinná přetvoření: 1. Vektory směru a = (2,2) prodlouží o 6 % a přitom zachová jejich směr a orientaci; vektory směru kolmého zkrátí o 3 % a též zachová jejich směr a orientaci. 2. Vektory směru a = (2,2) zobrazí na sebe a směr a s kolmým směrem zkosí o 0.2 radiánů a zachovává obsah obrazců. Pro každé z nich: 1. Vypočtěte jeho matici, její prvky vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny. 33 2. Vypočtěte determinant, vlastní čísla a vlastní vektory této zaokrouhlené matice vyčíslete je a zaokrouhlete na milióntiny. 3. Graficky jej znázorněte - zvolte vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslete spolu s jeho obrazem.