Newtonův a Riemannův integrál

Kpitol Newtonův Riemnnův integrál Motivem této kpitoly je konstrukce obecného postupu, kterým bychom zjistili obsh obrzce M f {(, y); (, b), y (, f())}, kde f je dná nezáporná funkce, b R. Množin M se nzývá podgrf funkce f. Hledáme tedy zobrzení, které kždé funkci f z nějkého prostoru funkcí, přiřdí číslo, jehož význm bude obsh podgrfu M f, pokud f. Zobrzení, která funkcím přiřzují číslo, se nzývjí funkcionály. V následující sekci si zvedeme zdánlivě jiný funkcionál, který nzveme Newtonův integrál. Souvislost s obshem podgrfu M f nebude ihned ptrná. Ozřejmit tuto souvislost bude jedním z hlvních cílů této kpitoly.. Newtonův integrál Definice. (Newtonov integrálu) Buď F zobecněná primivní funkce k f n (, b) (tj. F je spojitá F () = f() pro (, b) K kde K je konečná). Nechť F (b ) = lim b F () F (+) = lim + F () eistují [F ] b := F (b ) F (+) má smysl. Pk Newtonův integrál f n (, b), jež znčíme (N) f() d, definujeme vzthem (.) (N) f() d = [F ] b. Pozorování. Všimněte si, že definice (N) f() d nezávisí n volbě reprezentnt dné třídy primitivních funkcí k f. Definice (.) je tedy rozumná (korektní). Metodmi druhé kpitoly umíme nlézt primitivní funkce k mnoh funkcím. Nečiní nám tedy potíže spočítt Newtonův integrál. Některé prostory funkcí už známe: npř. C(<, b >), C k (<, b >), C (<, b >). Eistuje le mnoho jiných funkčích prostorů. Zde budeme uvžovt funkce omezené n <, b >. Tvoří tyto funkce vektorový prostor?

2 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL 3 f() g() h() 2.5 2.5.5.5.5 2 2.5 3 P ř í k l d. 2 (N) lim + ln d = [ ln ] = lim( ln ) lim ( ln ) = = neb + ( ln ) = = (N) { Srovnej s obrázkem Obr 5.. (N) α d = { ep d (α ) = [ α+ α+ ] = α+ lim α+ α+ = α+ pokud α < (α = ) = [ln ] = (N) neeistu (α ) = [ α+ α+ ] = [ln ] = (opět (N) α+ pokud α > neeistuje) Fyzikální motivce k rozdílu mezi (N) (R). Idelizujeme si tenkou tyč jednorozměrným drátem. Nechť ϱ() znčí hustotu tyče v (, b) m() je hmotnost části tyče od do d. A je kostnt průřezu tyče. Je-li ϱ konstnt, pk je celková hmotnost tyče M = ϱ A(b ). Náš úkol je zjistit celkovou hmotnost tyče, je-li ϱ nekonstntní. Řešení. () Pro < < y < b je m(y) m() hmotnost tyče mezi body y, tedy m(y) m() A(y ) je průměrná hustot tyče mezi y. d

.2. DEFINICE RIEMANNOVA INTEGRÁLU 3 ϱ() b prez A Přechodem k lim y dostneme (.2) m m(y) m() () = lim = Aϱ(). y y Odsud (.3) M = m(b) m() = A(N) ϱ() d = A[R(b ) R(+)], kde R je primitivní funkce k ϱ. (b) Rozdělme tyč n n-dílků = < <... < n = b n kždém intervlu i, i stnovme střední hodnotu hustoty ϱ ( ϱ může být m <i, i > ϱ(), min <i, i > ϱ(), ϱ( i )+ϱ( i ) 2, či dokonce ϱ(ξ) v jkémkoliv bodě ξ i, i ). Pk lze douft, že pro n dosttečně velké (dělení dosttečně citlivé) (.4) M n m i = i= n ϱ i A( i i ) i= Bude-li lim n n i= m i eistovt, pk ji nzveme (R) Aϱ() d bude vyjdřovt celkovou hmotnost..2 Definice Riemnnov integrálu Buď < < b < +. Dělením D intervlu <, b > nzveme (n + )-reálných čísel i, i =,,..., n jestliže = < <... < n < n = b. Číslo D := m i {,...,n} i i nzveme normou dělení D. Řekněme, že dělení D je zjemnění dělení D pokud kždý bod dělení D je i bodem dělení D. Předpokládejme, že f :<, b > R je dná omezená funkce, < < b < +. Oznčme (.5) (.6) m := inf <,b> M := sup <,b> f() m i := inf < i, i > M i := sup <i, i >. Protože f je omezená, tk pltí (pro kždé i). (.7) < m m i M i M <

4 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Dále definujeme dolní Riemnnův součet s(d) respektive horní Riemnnův součet S(D) předpisem (.8) (.9) Z (.7) ihned plyne (.) s(d) = s(d, f) := S(D) = S(D, f) := n m i ( i i ), i= n M i ( i i ). i= < m(b ) s(d) S(D) M(b ) <. Tvrzení 5.. Buď D, D 2 dvě libovolná dělení intervlu <, b >. Pk (.) s(d ) S(D 2 ). Důkz. Krok : Zkoumejme nejdřív vzth dolních horních Riemnnových součtů mezi dělením D jeho zjemněním D. Není těžké nhlédnout, že pltí (.2) s(d) s(d ) S(D ) S(D) Čtenář si může nejdříve promyslet (.2) pro D vzniklou z D přidáním jednoho bodu. Krok 2: Buď D, D 2 dvě libovolná pevná dělení <, b >. Oznčme D dělení, které vznikne sjednocením bodů dělení D D 2. Pk D je zjemnění D, D 2. Odsud z (.7) (.9) pk plyne (.3) s(d ) s(d ) S(D ) S(D 2 ), což implikuje (.8). Tvrzení (.) je dokázáno. Dolní Riemnnův integrál funkce f n intervlu, b, znčený symbolem f() d, definujeme jko supremum přes všechn dělení dolních Riemnnových součtů f() d sup s(d). D Podobně horní Riemnnův integrál f n, b, znčený f() d, definujeme jko infimum přes všechn dělení horních Riemnnových součtů, tj. f() d inf D S(D). Horní dolní Riemnnův integrál pro omezenou funkci f n, b vždy eistují. Nvíc pltí, (.4) < f() d f() d <

.2. DEFINICE RIEMANNOVA INTEGRÁLU 5 jk plyne z (.8). P ř í k l d. () Buď f() = K pro všechn, b. Pk f() d = sup DK(b ) = K(b ) tké f() d = K(b ). Tedy pro f konstntní pltí v (.4). (2) Buď {, Q D() = jink Dirichletov funkce. Pk D() d = sup D =, ztímco D() d = inf D =. Tk D() d D() d. Vidíme, že omezenost nestčí k tomu, by v (.4) nstl rovnost. Řekněme, že funkce f má Riemnnův integrál, znčený (R) f() d, jestliže f() d = f() d. Z (.4) definice Riemnnov integrálu rovněž plyne tto chrkterizce eistence (R) f() d: (.5) (R) f() d eistuje ( ε > ) f() d f() d < ε. Tuto podmínku ještě zesílíme. Tvrzení Buď f omezená funkce n, b. Pltí (.6) (R) f() d eistuje ( ε > )( D)(S(D) s(d) < ε) Důkz. Z eistence (R) f() d plyne (R) f() d = f() d = f() d. Z definic horního dolního Riemnnov integrálu pk plune eistence dělení D D 2 tk, že S(D ) < f() d + ε 2 s(d 2) > f() d ε 2

6 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Oznčíme D dělení vzniklé sjednocením D D 2. Pk dle (.8) S(D) < f() d + ε 2 < s(d) > tedy S(D) s(d) < ε, implikce je ověřen. Pltí-li levá strn (.6), pk rovněž pltí f() d b f() d < ε, f() d ε/2 Což podle (.5) zručuje eistenci (R) f() d. Nyní si uvedeme dvě věty, které zručují eistenci Riemnnov integrálu. Vět 2. Je-li f spojitá n, b, tj. f C(, b ), pk eisuje (R) f() d. Důkz. Z předpokldu f C(, b ) z Cntorovy věty (.5) plyne, že f je stejnoměrně spojitá n, b. Tk (.7) ( η > )( δ > )(,, b )( < δ f( ) f( ) < η). K důkzu eistence Riemnnov integrálu funkce f využijeme podmínku (.6). Buď jkékoliv ε > dáno. K η := ε 2(b ) njdeme z (.6) δ > tk, že f( ) f( ) < η kdykoliv < δ. Buď D dělení, b tkové, že D < δ (tj. pro všechn i {,..., n} i+ i < δ). Pk M i = m f() = f n( i m) m i = min f() = f n( i min) pltí i, i i, i n n ε S(D) s(d) = (M i m i )( i i ) < η ( i i ) = (b ) = ε/2 < ε, 2(b ) i= i= což dává tvrzení. Vět 2.2 Je-li K konečná množin bodů z, b f C(, b \ K) omezená v, b, pk (R) f() d eistuje. Důkz. Pro jednoduchost předpokládejme, že f C(, b ) f je omezená v, b konstntou K k dnému ε. Uvžujme α (, b) tkové, že b α < ε/4l (tzn. že K = {b}). Protože f C(, b ), eistuje (R) α f() d dle věty (.2). Tedy dle tvrzení eistuje dělení D intervlu, b tk, že S( D) s( D) < ε 2. Přidáme-li k dělení D bod b, dostneme dělení D intervlu, b, pro které pltí S(D) s(d) = S( D) s( D) + ( sup f() inf f())(b α) < ε + 2L(b α) < ε α,b α,b 2

.2. DEFINICE RIEMANNOVA INTEGRÁLU 7 Důkz je hotov. Vět 2.3 Je-li f monotóní n, b, pk eistuje (R) f() d. Důkz. Bez újmy n obecnosti předpokládejme, že f je neklesjící. Pk f() f(), f(b) pro všechn, b. Buď D ekvidistntní dělení, tzn. (b ) i = + i i n Pk M i = f( i ) m i = f( i ) Tedy S(D) s(d) = b n ( n ) f( i ) f( i ) i= = b [f(b) f()] < ε n pokud n je dosttečně velké. Důkz plyne z Tvrzení 5.2. Vět 2.4 Jestliže eistují (R) f() d (N) f() d, pk se rovnjí. Důkz. Z eistence Newtonov integrálu plyne eistence zobecněné primitivní funkce F tk, že (N) f() d = F (b ) F (+) F = f v, b \ K, K je konečná. Eistence Riemnnov integrálu nopk zručuje eistenci dělení D tk, že s dným ε > jest s(d ) > (R) f() d ε S(D ) < (R) f() d + ε. Buď D dělení, do kterého ptří body z D body z K. Pk dle Lgrngeovy věty o střední hodnotě F ( j ) F ( j ) = f(ξ j )( j j ), j =,..., n, kde ξ j ( j, j ). Tk (N) f() d = F (b ) F (+) = j= n F ( j ) F ( j ) = j= n { S(D) S(D f(ξ j )( j j ) ) s(d) s(d ), kde poslední nerovnost plyne ze skutečnosti, že D je zjemnění D. Kombincí předchozího dostneme (R) f() d ε (N) f() d (R) f() d + ε.

8 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Tedy pro kždé ε > (N) f() d (R) f() d < ε, což jsme měli dokázt..3 Vlstnosti Riemnnov integrálu Nejdříve si ukážeme, že Riemnnův integrál je lineární funkcionál. Ověřte si, že Newtonův integrál je tké příkldem lineárního funkcionálu. Vět 2.5 Eistují-li (R) f() d (R) g() d. Pk eistují i (R) (f() + g()) d (R) αf() d, (α R) pltí: (.8) (.9) (R) (f() + g()) d = (R) (R) αf() d = α(r) f() d + (R) f() d. g() d Důkz. Zčneme druhým tvrzením. Protože tk máme inf = α inf {αy,y A} {z,z A} sup = α sup, {αy,y A} {z,z A} s(d, αf) = αs(d, f) S(D, αf) = αs(d, f) což implikuje (.2). Jsou-li f, g dvě omezené funkce, pk pltí inf (f() + g()) inf i, i f() + inf g() i, i i, i sup (f() + g()) sup f() + i, i i, i tk (f() + g()) d (f() + g()) d sup i, i f() d + f() d + g() g() d g() d, le horní dolní Riemnnovy intergály f g se rovnjí podle předpokldu, tk se musí rovnt i horní dolní Riemnnovy intergály funkce f + g, což implikuje

.3. VLASTNOSTI RIEMANNOVA INTEGRÁLU 9 eistenci (R) (f() + g()) d. Rovnost (5.) plyne z výše uvedených nerovností z rovností členů vprvo. Vět 2.6 Eistují-li Riemnnovy integrály funkcí f, g h n intervlu, b, pk pltí: () je-li h n, b, pk (R) h() d ; (2) je-li f g n, b, pk (R) f() d < (R) g() d; (3) eistuje (R) b (R) f() d pltí b f() d (R) f() d. Důkz. Ad () Je-li h(), b, pk s(d, h) pro kždé dělení D intervlu (, b). Přechodem k sup D s(d, h) dostáváme (.2) h() d. Protože (R) h() d eistuje, plyne tvrzení z rovnosti (R) h() d = h() d (.22). Ad (2) Tvrzení je důsledkem linerity Riemnnov integrálu () použité pro funkci h := g f. Ad (3) Protože f() f(y) f() f(y), tk M f i m f i := sup f() i, i sup f() i, i inf f() i, i inf f() = M i m i. i, i (.2) Odsud S(D, f ) s(d, f ) S(D, f) s(d, f). Z předpokldu eistence (R) f() d plyne pro kždé ε > eistence dělení D, b tk, že člen vprvo v (.23) je menší než ε (viz tvrzení). Pk všk pro kždé ε > máme D tk, že S(D, f ) s(d, f ) < ε, což implikuje opět dle tvrzení eistenci (R) f() d. Nerovnost (R) b f() d (R) f() d pk plyne z (2) z nerovností f() f() f().

KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Vět 2.7 Buď f omezená nechť < c < b. Pk (.22) (.23) f() = c f() + identicky (R) c f() f() = c f() = (R) c f() + c f() + (R) pltí, kdykoliv má jedn ze strn rovnosti smysl. Nvíc je-li c d b (R) f() d eistuje, pk tké (R) d c Důkz. c f(); f() f() d eistuje. [ ] Dokžme první identitu v (.24). Je-li D dělení intervlu, b, pk oznčme D = D {c}, z bodů v D vytvoříme dělení D intervlu, c dělení D 2 intervlu c, b. Pltí tedy což implikuje (.24) s(d) s(d ) = s(d ) + s(d 2 ) f() d c c f() d + c f() d + f() d. c f() d, Abychom ukázli opčnou nerovnost, uvžujeme libovolná dělení D D 2 intervlů, c c, b oznčíme D = D D 2. Pk což implikuje (.25) c s(d ) + s(d 2 ) = s(d) f() d + c f() d f() d f() d. Porovnáním (.26) s (.27) dostáváme rovnost. Druhá identit v (.24) je přenechán čtenáři. [2 ] Ověření identity (.25). Z (.24) plyne rovnost ( f() d (.26) ) f() d = ( c f() d ) c f() d + ( c f() d c f() d ), kde výrzy v závorkách jsou nezáporné. Předpokládáme-li eistenci (R) f() d, pk levá strn (.28) je rovn, následně i členy nprvo v závorkách jsou nulové. A nopk.

.3. VLASTNOSTI RIEMANNOVA INTEGRÁLU [3 ] Z eistence (R) f() d plyne eistence (R) c f() d pro všechn c (, b), le i pro c =, dle (.25). Z eistence (R) c f() d všk z (.25) plyne eistence (R) d c f() d pro všechn d (c, b), le i pro d = b. Úmluv: Dohodneme se n následujících vztzích: pro všechn R bude (R) f() d = pro všechn, b R, < b pltí (R) f() d = (R) b { pro = Buď f :, b R omezená, definujme F () F () = f() d (R) f() d pro (, b) Vět 2.8 Tzv. hlvní vět diferenciálního integrálního počtu Pltí () F je spojitá v (, b), v zprv v b zlev (2) je-li f spojitá v (, b) (zprv i zlev), pk F ( ) = f() (F ( +) = f( ) F ( ) = f( )). Speciálně je-li f spojitá v (,b), pk F = f v (, b). Důkz. Ad () Pltí (pro >,, b)) F () F ( ) = f() d f() d = f() d. Tedy F () F ( ) = Vět 2.6(3) f() d f() d f omezená L d = L( ), což implikuje spojitost F zprv. Spojitost F zlev se provede nlogicky. Tvrzení () je dokázáno. Ad (2) Pltí ( >,, b ) F () F ( ) = f() d f() d = f(ξ) dξ, tk (.27) F () F ( ) f( ) = [f(ξ) f( )] dξ K dnému ε > njdeme δ > tk, že pro (, +δ) pltí f() f( ) < ε. Pk z (.29) plyne F () F ( ) f( ) f(ξ) f( ) dξ < ε = ε. Tedy F ( +) = f( +). Zbytek tvrzení je přenechán čtenáři.

2 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Vět 2.9 O eistenci primitivní funkce Je-li < b + je-li f : (, b) R spojitá, pk eistuje primitivní funkce k f. Důkz. Volme { n } n= {b n} n= tk, že n je klesjící b n rostoucí (, b) = n N n, b n. Dle předchozí věty jsou funkce F n () n f(ξ) dξ, ( n, b n ), primitivní k f n ( n, b n ). Zvolme (, b ) položme F n = F n F n, pk F n je tké primitivní k f splňuje F n ( ) =. Pro n > m jsou F n, Fm primitivní funkce k f n m, b m liší se tedy nnejvýš o konstntu. Protože se všk shodují v, tk F n = F m v ( m, b m ). Můžeme tedy definovt F () F n v ( n, b n ) pro kždé n N. Tk F je primitivní funkce k f v (, b). Pozorování. () Kdybychom nemluvili o Newtonově integrálu, tk vět.8 nám říká, jk spočítt Riemnnův integrál pro f spojitoun, b, tj. f C (, b ). Jednk víme (viz vět.), že pk Riemnnův integrál eistuje (dle věty.8) F je primitivní funkce k f, která se od jkékoliv jiné primitivní funkce F k f liší o konstntu, tudíž pltí F = F + c máme (R) f(ξ) dξ V.8 = F (b) F () = F (b) + c F () c = F (b) F (). (2) Buď f spojitá n (, ) g, h nechť jsou diferencovtelné v (, b) definujeme ϕ() = g() g() f(ξ) dξ ψ() = f(ξ) dξ h() Pk umíme spočítt ϕ () ψ (). Oprvdu: ze spojitosti f plyne eistence primitivní funkce F k f n (, b) tk, že g() f(ξ) dξ = F (g()) F (), což umíme derivovt dle věty o složené funkce. Tedy ϕ () = F (g())g () = f(g())g (). Podobně ψ() = F (g()) F (h()) tk ψ () = f(g())g () f(h())h ().

.4. VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ, PER PARTES A SUBSTITUCI 3.4 Věty o střední hodnotě, per prtes substituci Cílem této kpitoly je ukázt věty o střední hodnotě pro integrál, využít je pro zkoumání eistence (N) sin d, dále uvedeme větu o integrci per prtes využjeme ji spolu s první větou o střední hodnotě ke znovuodvození n-tého Tylorov polynomu s Lgrngeovým tvrem zbytku. Rovněž si uvedeme větu o substituci pro Riemnnův resp. Newtonův resp. určitý integrál. Vět 2. (. vět o střední hodnotě) Eistují-li (R) f() d (R) f()g() d je-li G v (, b) [nebo g v (, b)], pk eistuje c (inf,b f, sup,b f) tk, že (.28) f()g() d = c g() d. Je-li nvíc f spojitá v, b, pk eistuje ξ (, b) tk, že (.29) f()g() d = f(ξ) g() d. speciálně, pro g = dostáváme (.3) f(ξ) = f() d, b kde výrz vprvo vyjdřuje průměrnou hodnotu f přes, b (střední hodnotu). Pozorování. Dolní Riemnnův součet s(d, f) pro ekvidistntní dělení je dán vzthem s(d, f) = b n n inf f() = b n i, i n i= i= m i Pokud integrál vprvo rovnosti (.23) eistuje, pk b f() d = f() d b b n což je průměr infim přes jednotlivé intervly dělení. n m i, i= Důkz. Protože m f() M pro všechn, b

4 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL předpokládáme-li, že g tk mg() = f()g() Mg() pro všechn, b což implikuje (.3) m g() d f()g() d M g() d Je-li g() d =, pk g (je-li g spojitá, jink g v, b \ K, kde K je konečná), tvrzení pltí. Pozor: g Riemnnov funkce!! Je-li g() d >, pk (.3) implikuje m f()g() d g() d M, cež implikuje zdné tvrzení. Drbouov vět o nbývání mezihodnot pk zručuje eistenci ξ, b tk, že (.29) pltí. Kdyby ξ = (nebo ξ = b), pk eistuje ξ (, b) tk, že f(ξ ) = f(). Kdyby totiž f(ξ) f() pro všechn ξ (, b), pk buď f(ξ) > f() úpro všechn ξ (, b) (nebo F (ξ) < f()), což implikuje f()g() d > f() g() d, (.29) nepltí, což je spor. Vět 2. (Integrce per prtes) Buď f, g prosté n, b diferencovtelné v (, b). Potom f g d = [fg] b fg Důkz. Z uvedených předpokldů víme, že fg je primitivní funkce k f g + fg (dle věty o derivování součinu) výrz [fg] b má smysl. Tk [fg] b = Linerit integrálu pk implikuje tvrzení. [f g + fg ] d. P ř í k l d. Buď f C n+ (, b ). Pro, (, b) pltí ( < ): eistuje ξ (, ) I n = f (n+) ( t) n (t) n! dt. VOSH = f (n+) (ξ) ( t) n [ ] ( t) = f (n+) n+ ( ) (ξ) = f (n+) ( )n+ (ξ) n! n + (n + )! n! dt

.4. VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ, PER PARTES A SUBSTITUCI 5 Intergcí per prtes (n-krát opkovnou) vzth též pltí I n = [ ] f (n) ( t) () n! + f (n) ( t) n (t) (n )! = f (n) ( ) ( ) n... f ( )( ) + n! d = f (n) ( ) ( ) n f (t) dt = f (n) ( ) ( ) n... f ( )( ) f( ) + f() n! n! + I n Porovnáním obou výrzů dostneme f() = f( ) + f ( )( ) +... + f (n) ( ) ( ) n n! + f (n+) (ξ) ( ) n+, (n + )! což je n-tý Tylorův polynom funkce f v bodě. Vět 2.2 (2. vět o střední hodnotě) Buď f, g, g C(, b ) g monotónní (tzn. g v (, b) nebo g v (, b)). Potom eistuje ξ (, b) tk, že (.32) P o z n á m k. ξ f()g() d = g() f() d + g(b) ξ f() d.. (.3) pltí i z předpokldů: (i) eistují (R) f()g() d istuje (R) f() d (ii) g je monotónní. Není le potřeb by g byl spojitá? Je-li g nerostoucí, lze předefinovt g v bodě b tk, že g(b) =. Pk (.3) se redukuje n tvr ξ fg = g() f Speciálně pro f = : g = g()(ξ ) 2. Porovnějte obě věty o střední hodnotě pro g.

6 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Důkz. Je-li F primitivní funkce k f, pk fg d per prtes b = [F g] b = g(b) ξ F g. VOSH = F (b)g(b) F ()g() F (ξ)[g(b) g()] f() d + g() ξ f() d Vět 2.3 (O substituci) Schém Buď ϕ C ( α, β ) f C(, b ) ϕ( α, β ) =, b. Potom f() d = ϕ(b) ϕ() f(ϕ(t))ϕ (t) dt Schém 2 Buď f C( α, β ), ϕ C( α, β ), ϕ () pro všechn (α, β), ϕ(α) = ϕ(β) = b. Potom f() d = ϕ (b) ϕ () f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Důkz. Schém Je-li F primitivní funkce k f, pk víme, že F ϕ je primitivní funkce k (f ϕ)ϕ. Tedy β ϕ(β) f(ϕ(t))ϕ (t) dt = [F ϕ] β α = [F ]ϕ(β) ϕ(α) = f() d α Schém 2 Protože (f ϕ)ϕ C( α, β ), eistuje primitivni funkce Φ k (f ϕ)ϕ dle věty o substituci pro primitivní funkce víme, že Φ ϕ je primitivní funkce k f. Tedy Říkáme, že ϕ(α) f() d = [ Φ ϕ ] b = [Φ]ϕ (b) ϕ () (f ϕ)ϕ dt. integrál f() d konverguje, jestliže f() d < ; integrál f() d diverguje, jestliže f() d = ± ; integrál f() d konverguje bsolutně, jestliže f() d konverguje.

.4. VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ, PER PARTES A SUBSTITUCI 7 Pozorování. Víme (dle věty (.3)), že Riemnnův integrál (omezené fce n, b ) je bsolutně konvergentní integrál. Následující příkldy ukzují, že Newtonův integrál není bsolutně konvergující integrál [viz příští semestr]. Funkce: zobrzení z čísel do čísel (, b R R(C)) J {(, b),, b,, b), (, b } Funkcionál: zobrzení z prostoru funkcí do R(C) Prostory funkcí jsou vektorové prostory. C(J) je prostor funkcí J R(C) spojitých v J. C k (J) je prostor funkcí, jejichž derivce ž do k-té jsou spojité n J. R((, b)) N((, b)) 4 funkcionály: L : f (R) f() d L : f (N) jsou lineární funkcionály (FA): L(αf + βg) = αl(f) + βl(g) Konstrukce Riemnnov integrálu A f() d () Buď f omezená funkce n omezeném intervlu (, b) b f() d f() d jsou dlší dv funkcionály. Eistují vždy. (R) f() d eistuje def. Konstrukce Newtonov integrálu Buď f : (, b) R tková, že () k ní eistuje tzv, zobecněná primitivní funkce: ) F = f n (, b) \ K, kde K je omezená b) F je spojitá n (, b) (2) Eistuje lim b F () lim + F () (3) [F ] b = lim b F () lim + F () má smysl. Klsifikce: f() d = (N) f() d neeituje (nenstne-li jedn z vrint) (N) f() d diverguje ([F ]b = ± nebo ) f() d

8 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL. Vět o střední hodnotě Buď fg R((, b)), g g R((, b)). Pk eistuje c (inf (,b) f(= m), sup (,b) (= M)) tk, že f()g() d = c g() d Je-li nvíc f spojitá n, b, pk eistuje ξ (, b) tk, že Speciálně je-li g = tk, že f()g() = f(ξ) g() d b f() d = f(ξ) průměr hodnot f se nbývá v bodě ξ b Ekvidistntní dělení: = n f( i ) = n ( i i )f( i ) i = i = b n b n i= 2. Vět o střední hodnotě i= Buď f, g, g C(, b ), g nebo g. Pk eistuje ξ, b tk, že ξ f()g() d = g() f() d + g(b) ξ f() d Stčí předpokládt, že f g N((, b)), g je monotóní pltí f N((, b)). Speciálně je-li g nerostoucí, lze ji předefinovt tk, že g(b) = Důkz. Buď F primitivní funkce k f. f() g() F () g () P ř í k l d. Ukážeme, že ξ f()g() d = g() f() d b per prtes = [F ()g()] b F ()g () d vosh ξ,b = F (b)g(b) F ()g() F (ξ) g() d = [F (b) F (ξ)] g(b) + g() [F (ξ) F ()] = g() f() d + g(b) f() d

.4. VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ, PER PARTES A SUBSTITUCI 9 (i) (N) (ii) le sin sin d < d = Tedy Newtonův integrál je příkld nebsolutně konvergentního integrálu. Řešení. (i) Protože sin C((, )), tk eistuje primitivní funkce k sin, oznčme ji F (Nelze ji nlézt nlyticky). Tk (N) sin stčí tedy zkoumt (N) k k sin d = F ( ) F (+) = lim F (k) F () = lim k k sin d., klesjící n (, ), lze tedy použít VOSH: ξ k (, ξ) k sin d = sin ξ k k d = sin ξ k ln ξ což všk nedává žádnou informci. Lze všk použít 2VOSH: g = 2 : ξ k (, k) k ξ k sin d = k sin d = cos cos ξ k sin = d 2 což ještě nezručuje eistenci limity pro k. K tomu použijeme B-C podmínky d Ale: ε > L > k, k 2 tkové, že k, k 2 > ε pltí k sin k 2 d sin d < ε k 2 sin d < ε k 2 k sin d < ε = k ε dáno, volím L tk, že 2 L < ε. k [ cos k cos ξξ ] 2 k 2 L (ii) k L(k) sin d L(k 2 ) L(k ) pro k k 2 L je neklesjící, lim L(k) eistuje (buď konečné, nebo ) k

2 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL (k )π kπ Ukážeme, že lim k L(k) = kπ sin kπ π = 2 π sin k kπ i=2 2 π k i=2 k 2 = iπ (i )π k k iπ i=2 (i )π sin d = ( i= i sin k i=2 d π sin d kπ = tzv. hrmonická řd d = 2 (ln k ln 2) pro k π ) P ř í k l d. Uvžujme Gmm-funkci definovnou předpisem Ukžte, že: Γ() = t e t dt (i) D Γ = (, ) (ii) Γ() =

.4. VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ, PER PARTES A SUBSTITUCI 2 Γ Obrázek.: Γ-funkce (iii) Γ(n + ) = n! = nγ(n) (integrcí per prtes) (iv) Γ( + ) = Γ() (integrcí per prtes pro > ) (v) Γ( 2 ) = π (užijte vzth e 2 d = π 2 pomocí substituce) (vi) Γ(n + 2 ) = (2n)! π n! 4 (integrcí per prtes) n Ad (i): Pro > libovolné pevné: Γ() = I I 2 t e t dt + [ t t dt = ] e t dt = [ e t] = e t e t dt =: I + I 2 = < t > t Pro < : Γ() > (iv) t e t dt e t dt = { e [ln ] + = e [ ] t t = + < Γ( + ) = t e t dt = [ t e t] + t e t dt }{{} t e t = Γ() =

22 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL (vi) t n te t dt = t n 2 }{{} e t dt = [ (n ] 2 )tn 2 e t e t = (n 2 )Γ(n 2 ) = itertivně = + (n 2 ) (n 2 )tn 2 3 t n 3 2 e t }{{} dt 2n Γ(n 2n(2n ) ) = Γ(n 2 2 4 n 2 ) 2n! 4 n n! Γ 2 = (2n)! π 4 n n!.5 Věty o eistenci Newtonov integrálu V sekci. jsme si zvedli Newtonův integrál k libovolné (i neomezené) funkci f n libovolném (i neomezeném) intervlu (, b), < b. Definice vyždovl eistenci (zobecněné) primitivní funkce F k f v (, b) eistenci lim + F () lim b F () smysluplnost jejich rozdílu. Doposud tedy umíme ukázt eistenci (N) f() d pouze konstruktivně. Cílem této sekce je uvést kritéri, která vám zručí eistenci (N) f() d, niž bychom výpočet prováděli. To má velký význm nejen proto, že hledání primitivních funkcí je čsto velice náročné, le především proto, že některé primitivní funkce, npř. k funkcím sin či e 2 uvžovným n (, ), nelze nlyticky sestrojit. Přitom sin, e 2 C ((, )) dle Věty.9, primitivní funkce k sin ; ke 2 n (, ) eistují. Vět 2.4 Je-li f C (, c)), < < c <, f je omezená n (, c), pk (N) c f() d eistuje. Důkz. Dle Věty.9 víme, že k f eistuje primitivní funkce F v (, c). Zbývá tedy ukázt, že (i) (ii) lim + F () eistuje, lim b F () eistuje.

.5. VĚTY O EXISTENCI NEWTONOVA INTEGRÁLU 23 Dokážeme jen první tvrzení, druhé pltí nlogicky. Dle Bolzno-Cuchyho podmínky víme, že (i) pltí právě když ( ε > )( P + δ ())(, P + δ ())( F ( ) F ( ) < ε). Buď dáno. Pk pltí F ( ) F ( ) = f() d f() d K kde jsme využili Větu.5 (viz níže). Volíme-li tedy δ = ε K, Bolzno-Cuchyho podmínk je splněn. Vět 2.5 Je-li f g v (, b), pk (N) f (N) g, pokud ob integrály eistují. Je-li f, pk (N) f() d. Důkz. Stčí ověřit jen druhé tvrzení. Eistence (N) f() d zručuje eistenci zobecněné primitivní funkce H k h v (, b). Avšk H = h v (, b) \ K. Tedy H je neklesjící [H] b, což jsme chtěli ukázt. Následující kritérium již nevyžduje ni omezenost f ni omezenost intervlu (, b). Vět 2.6 (Srovnávcí test) Buď < c b. Pk pltí () je-li f spojitá v c, b), g f) v c, b) (N) c pro b, pk (N) c f() d eistuje. eistuje f() = o(g()) (2) jsou-li f, g f), f, g C ( c, b)) f g pro b pk c f() d eistuje c g() d eistuje. (3) speciálně: jsou-li f, g, h spojité nezáporné v c, b) f g pro b, pk c h()f() d eistuje c h()g() d eistuje. Důkz. Stčí ověřit (). Dle předpokldů K > f() Kg(). Porotže f C( c, b)) tk i f C( c, b)) eistují zobecněné primitivní funkce F f H f, přičemž lim c+ F f lim c+ H f <. Stčí ukázt, že lim b F f < ( lim b H f < ). Víme všk, že zobecněná primitivní funkce G k g eistuje lim b G() <, tedy k dnému ε > δ > tk, že,, < δ pltí g() d < ε 2

24 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Pk le (N) f() d (N) f() d K(N) Cvičení. Definujme bet-funkci předpisem g() d ε 2 B(p, q) = p ( ) q d. Ukžte, že: (i) D B = R + R + (ii) B(p, q) = B(q, p) p, q R + (jednoduchou substitucí) (iii) B(p, ) = p p R + (přímo) (iv) B(q, p) = q p B(p +, q ) p R+, q > (integrcí per prtes) (v) Pro p, q N plyne z (iii) (iv) (vi) π/2 B(p, q) = (p )!(q )! (p + q )! = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) sin p cos q d = 2 B(p 2, q ) p, q R+ 2 (v definici přes p 2, q 2 místo p, q, substituce = y2 poté y = sin z vede ke vzthu) P o z n á m k. Vzth B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) pltí pro všechn p, q R+. (netriviální)

.5. VĚTY O EXISTENCI NEWTONOVA INTEGRÁLU 25 P ř í k l d. () Připomeň si: () (N) α d < α < (N) (N) (2) Určete α, β R tková, že Řešení. k (N) α d < α > sin d < dle V..4 β rctg α d <. f() := β rctg α C((, )) primitivní funkce F k f OK Tk (N) f() d = ε... + ε ε... +... přičemž f C( ε, /ε ) ε tk prostřední integrál je omezený rctg (N) ε f() d < (N) ε k rctg π 2 (N) /ε f() d < (N) /ε Tedy konvergence pltí, pokud α, β ptří do vyznčené oblsti. d < β α < β α d < β > β Rozdíly mezi Riemnnovým Newtonovým integrálem Integrály (Dolní Riemnnův, horní Riemnnův, Riemnnův, Newtonův, le i Lebesgueův) jsou příkldy funkcionálů, tj. zobrzení, která funkci přiřdí číslo. (f : (, b) R(C)) I : prostor funkcí R(C) C (, b ), C ((, b)) C k ((, b)),... L p ((, b))... Lebesgueovy

26 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL ) Riemnnův je omezený n omezené intervly omezené funkce b) R(, b) = {f : (, b) R; (R) N(, b) = {f : (, b) R; (N) f() d < } f() d < } Pltí: f R((, b)) f R((, b)), totéž pltí i pro Lebesgueův integrál (jsou to bsolutně konvergentní integrály). Newtonův integrál tuto vlstnost nemá, je to nebsolutně konvergentní integrál. Riemnnův integrál byl budován s cílem nlézt obsh podgrfu funkce (geometrie). f musí být omezená n, b. (R) [ m i = f() d = sup s(d, f) = sup D D f() d = inf D Eistence: S(D, f) = inf D inf f(), M i = sup f() i, i i, i (R) f() d = Chrkterizce: f() d eistuje pokud N m i ( i i ) Dolní Riemnn i= N M i ( i i ) Horní Riemnn i= Pro omezené funkce eistuje vždy ] f() d pokud (R) f() d = f() d f() d < ε > D S(D, f) s(d, f) < ε f C (, b ) f je mnotónní (omezená) Newtonův integrál byl budován z diferenciálního počtu (derivce). (N) f() d def. = [F ()] b

.5. VĚTY O EXISTENCI NEWTONOVA INTEGRÁLU 27 pokud zobecněná primitivní funkce F k f n (, b) eistuje lim b F () lim + F () =: [F () b ] má smysl. Že F je zobecněná primitivní funkce k f n (, b) znmená, že F C ((, b)) F = f v (, b \ K), kde K je konečná. Riemnnův Newtonův integrál spojuje tzv. Fundmentální vět integrálního diferenciálního počtu. Vět 2.7 Fundmentání vět integrálního diferenciálního počtu Vět o integrálu s proměnnou horní mezí Buď f C ((, b)) (, b). Oznčme F () = (R) f(s) ds pro (, b) (F ( ) =, pro < : (R) F () = f() (, b) f(s) ds = (R) Neboli integrál s proměnnou horní mezí je ntiderivcí k f. Důsledek ) Pltí β (N) α f(s) ds β f(s) ds = [F ] β α = F (β)+c (F (α)+c) = F (β) F (α) = (R) α f(s) ds pro jkoukoli F primitivní k f (která se jk víme liší od F nejvýš o konstntu). b) Je-li f C ((, b)), pk eistuje F primitivní k f. P ř í k l d 3. U((, )) sin Řešení. sin tedy (N) C(, )) F primitivní funkce k sin sin Cíl: Ukázt, že lim r F (r) eistuje je konečná. d = F ( ) F () = lim F (r) F () r B.-C. podmínk ε > r R r, r 2 > r F (r ) F (r 2 ) < ε F (r ) F (r 2 ) = r 2 r sin d 2VOSH = r ξ r sin d = r [cos ξ cos r ] (r 2 > r ) g() g () = 2 < F (r 2 ) F (r ) 2 r 2 r

28 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL C (, b ) N(, b) Eistují omezené funkce, N ((, )) nemjí Riemnnův integrál, le mjí Newtonův. R(, b) Riemnnov fce B ((, b)) omezené fce Dirichletov fce K dnému ε > tedy volím r > tkové, že 2 r < ε. (4) Píšeme sin / U((, )) f R ((, b)) { f : (, b) R (nebo C ), (R) f N ((, b)) { f L ((, b)) {, (N), (L) f() d < } f() d < } {( ) d < } (, b) je omezený intervl < < b < + Zbývli jsme se eistenčními kritérii obou integrálů. Pro (N) pltí následující kritéri: f C (, b)) f = o (g()) pro b g g N (, b)) f N ((, b))

.5. VĚTY O EXISTENCI NEWTONOVA INTEGRÁLU 29 Připoměňme, že náš integrál konverguje bsolutně, jestliže: (náš) f() d < (n) f() d < Již víme, že Riemnnův integrál je bsolutně konvergentní, doc. Rokyt vám ukáže, že i Lebesgueův integrál je bsolutně konvergentní. Nyní si ukážeme, že Newtonův integrál bsolutně konvergentní není. V rgumentci použijeme 2 VOSH pro integrály. Připoměnme si, že je z svých předpokldů : VOSH f C (, b ) & g & g C (, b ) ξ (, b) f()g() d = f(ξ) g() d Důkz. m = min,b f() min f(),b g() M = m,b f() g() d > m g() d m f(),b f()g() d g() M g() d užiji Drbouovu větu. 2 VOSH: f, g C (, b ) g v (, b) [nebo g v (, b)] ξ f()g() d = g() } ξ (, b) tk, že f() d + g(b) ξ f() d Důkz. Dodtek: f()g() d ξ f()g() d = g() b per prtes = [F ()g()] b f() d pokud g(b) = F ()g () d (g () ) VOSH = F (b)g(b) F ()g() F (ξ) [g(b) g()] = (F (b) F (ξ)) g(b) + (F (ξ) F ()) g().

3 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL P ř í k l d 3. Řešení. (N) sin < sin Pltí: F () = Zbývá dokázt, že C (, )) F primitivní funkce k sin sin t t dt 2 VOSH = ξ sin t dt = cos ξ cos F () 2 (Pokud integrál eistuje, pk ploch komutuje.) B.-C. F ( ) F ( ) = F ( ) F ( ) P ř í k l d 4. lim F () eistuje b ε > L >>, > L F ( ) F ( ) < ε sin 2 VOSH = sin d 2 < ε pokud < > 2 ε. (N) sin sin sin Protože Ale sin = C (, )) F primitivní funkce k sin n, ), tk lim F () = nebo < K < k= k= (k+)π kπ (k + )π sin π d sin d = 2 π k= k + = hrmonická řd.6 Aplikce (Riemnnov) integrálu. Obsh plochy vymezené grfy funkce A f,g... obsh plochy vymezené křivkmi y = f(), y = g(), = = b A f,g = [g() f()] d

.6. APLIKACE (RIEMANNOVA) INTEGRÁLU 3 γ b P o z n á m k. Buď f definovná n m R. Definujme P (f, (, b)) = ploch obrzce vymezeného f (ploch podgrfu) n intervlu (, b) Aiomy plochy () P (konst., (, b)) = konst.(b ) (2) f g P (f, (, b)) P (g, (, b)) (3) f < α < β < b P (f, (α, β)) P (f, (, b)) (4) < c < b P (f, (, b)) = P (f, (, c)) + P (f, (c, b)) Víme z konce minulého semestru: (R) f() d splňuje iomy plochy. Dá se ukázt, že jediné zobrzení, které splňuje iomy plochy z C(, b ) je (R) f() d. b. Délk křivky Křivkou γ rozumíme obrz zobrzení γ : (, b) R d < < b < + tj. γ i : (, b) R pro i =,..., d. P ř í k l d. ) t, (t, t 2 ) b) ϕ, π (cos ϕ, sin ϕ) γ() γ γ(b)

32 KAPITOLA. NEWTONŮV A RIEMANNŮV INTEGRÁL Zjímá mě délk křivky γ Aproimuji lomenou črou měřím její délku. Buď D dělení, b : = < <... < N = b délk lomené čáry l( γ ) = N d (γ i ( j ) γ j ( i )) 2 j= l( γ ) = sup D i= N d (γ i ( j ) γ j ( i )) 2 j= [křivky, pro které sup D... < se nzývá rektifikovtelné] Vět 2.8 Je-li γ γ i (t) eistuje pro t (, b) (γ i C ((, b))). Pk l( γ ) = i= d [γ i ()]2 d i= Důkz. N d (γ i ( j ) γ i ( j )) 2 = j= i= N d [γ i (ξ j)] 2 ( j j ) j= i= P ř í k l d. Křivk dná jko grf funkce: (, f()) l( γ ) = Křivk zdná v polárních souřdnicích: ϕ (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ)l( γ ) = = + (f ()) 2 d (r (ϕ)) 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) + r 2 (ϕ)(sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) (r (ϕ)) 2 + r 2 (ϕ) c. Úloh o brchistochroně χϱoνoσ znmená čs βϱαχιστ oσ nejkrtší. A d (γ i )2 ( j ) d Cíl: Ntáhnout drátek mezi počátek [, ] bod [, b] tk, by korálek nvlečený n drátku v bodě [, b] (v klidu) se dostl do počátku v nejkrtším čse. i=

.6. APLIKACE (RIEMANNOVA) INTEGRÁLU 33 b Buď y C ((, )) C (, ) tková, že y() = y() = b (tj. jedno z možných umístění drátku). Pk T [y] Lgr. = = n s(i) n v(i) = (y(i ) y( i )) 2 + ( i i ) 2 v(i) i= n + (y (ξ i )) 2 ( i i ) volím v(i) = v(ξ i ) v(i) n + (y (ξ i )) 2 ( i i ) v(ξ i ) i= i= i= Pltí, že součet kinetické potenciální energie se zchovává. Tedy 2 mv2 (ξ i ) + mgy(ξ i ) = const. Přičemž v [, b] je v. mgy() = const. = mgb Tk v 2 (ξ i ) = 2(b y(ξ i )) v(ξ i ) = 2g(b y(ξ i )) n + (y T [y] (ξ i )) 2 2g b y(ξi ) ( i i ) T [y] = 2g i= + (y (ξ i )) 2 ( i i ) d b y(ξi )