4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I

Podobné dokumenty
( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

Tangens a kotangens

Výpočet obsahu rovinného obrazce

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

Vzdálenosti přímek

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

Vzdálenosti přímek

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Konstrukce na základě výpočtu I

Středová rovnice hyperboly

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27.

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

Výfučtení: Goniometrické funkce

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny.

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

Hledání hyperbol

Trigonometrie - Sinová a kosinová věta

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a

FUNKCE SINUS A KOSINUS

3.1.3 Vzájemná poloha přímek

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.

Hyperbola a přímka

7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady: 7306

II. 5. Aplikace integrálního počtu

4. cvičení z Matematiky 2

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Konstrukce na základě výpočtu II

7.5.8 Středová rovnice elipsy

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Goniometrické funkce obecného úhlu

Funkce kotangens

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

9. Planimetrie 1 bod

Vzdálenost rovin

Konstrukce na základě výpočtu I

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

14. cvičení z Matematické analýzy 2

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

4.2.9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus

5. P L A N I M E T R I E

Digitální učební materiál

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204

III Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny

2.7.7 Obsah rovnoběžníku

4.4.3 Další trigonometrické věty

Obvody a obsahy obrazců I

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

Obsah rovinného obrazce

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

Rovinné obrazce. 1) Určete velikost úhlu α. (19 ) 2) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. (99 )

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( ) Další metrické úlohy II. Předpoklady: Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

7.5.8 Středová rovnice elipsy

Vzdálenost roviny a přímky

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

5.2.7 Odchylka přímky a roviny

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Cyklometrické funkce

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

Reprezentovatelnost částek ve dvoumincových systémech

Cyklometrické funkce

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x = 0

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

4.3.3 Goniometrické nerovnice I

Smíšený součin

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Výukový matriál byl zpracován v rámci projektu OPVK 1.5 EU peníze školám. registrační číslo projektu:cz.1.07/1.5.00/

3 Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

Výfučtení: Geometrické útvary a zobrazení

14 Kuželosečky v základní poloze

SMART Notebook verze Aug

Logaritmus. Předpoklady: 2909

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

Goniometrické a hyperbolické funkce

4.3.1 Goniometrické rovnice I

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript:

4..7 Zvedení funkcí sinus cosinus pro orientovný úhel I Předpokldy: 40, 40, 404, 406 Prolém s definicí funkcí sin ( ) cos( ) : Definice pomocí prvoúhlého trojúhelníku je π možné použít pouze pro ( 0 ;90 ) (v oloukové míře 0; ) potřeujeme jinou definici, která musí splnit tyto poždvky: cos pro. Umožní určit hodnoty sin ( ) ( ) π Pro 0; definice zručí stejné hodnoty funkcí jko definice pomocí prvoúhlého trojúhelník. Protože jde o funkci úhlu prktická relizce úhlu se opkuje po π, měly y se hodnoty ndefinovných funkcí tké opkovt s touto nejmenší periodou. Pro novou definici použijeme jednotkovou kružnici (kružnice o poloměru ). - S - Do kružnice nkreslíme úhel o velikosti, s počátečním rmenem S. - S -

Př. : Nkresli do orázku prvoúhlý trojúhelník pomocí jeho strn urči hodnoty funkcí cos pro úhel. sin ( ) ( ) - S - Strn S je poloměrem kružnice proto pltí S =. Vypočteme hodnoty sin ( ) ( ) protilehlá přepon cos podle stré definice: sin ( ) = = = cos ( ) přilehlá = = = přepon Už je jsné, proč jsme použili jednotkovou kružnici: Nemusíme počítt poměry, stčí změřit odvěsny trojúhelník získáme hledné hodnoty. Dokážeme nkreslit orázek i pro úhly větší než π? Sndno, le v orázku už neudeme mít trojúhelník s úhlem. Je možné interpretovt úseky jink než jko délky odvěsen v trojúhelníku? Ano, úsečky můžeme interpretovt tké jko souřdnice odu. Bod ude mít souřdnice i π pro úhly pokud udeme funkce sin ( ) cos( ) interpretovt jko souřdnice π odu, udeme schopni určit hodnoty sin ( ) cos( ) i pro. Hodnotou funkce sin ( ) rozumíme y-vou souřdnici odu n nšem náčrtku. Hodnotou funkce cos( ) rozumíme -vou souřdnici odu n nšem náčrtku. to definice vyhovuje všem třem poždvkům z úvodu hodiny.

sin() - S cos() cos() sin() - Př. : Urči pomocí jednotkové kružnice hodnoty funkcí sin ( ) ( ) cos pro úhly: π ) = ) = π c) = π d) = π. [0 ;] sin() - S [ -;0] - cos() S - π π sin =, cos = 0 - sinπ = 0, cosπ =

- S sin() cos() - S [ ;0] - [0 ;-] sin π =, cos 0 π = - sin π = 0, cos π = Jk určit hodnoty pro úhly různé od násoků π? Př. : Urči hodnoty funkcí sin ( ) cos( ) pro = 0. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) cos( ) (souřdnice odu ): sin() 0 - cos() S - Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem z něj dopočteme délky odvěsen cos ). (hodnoty sin ( ) ( ) 4

sin() 0 60 - cos() S - Souřdnice odu můžeme určit pomocí odvěsen v tmvomodrém trojúhelníku. = sin 60 = sin 60 = sin0 je kldný jeho velikost se rovná sin0 =. = cos 60 = cos 60 = cos0 je záporný (je nlevo od počátku) jeho velikost se rovná cos0 =. Hodnoty goniometrických funkcí můžeme určit i jink. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) cos( ) : sin() 0 - cos() S - Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem, jehož odvěsny tvoří souřdnice odu. K tomuto trojúhelníku njdeme podoný trojúhelník v prvním kvdrntu. 5

sin() 0 sin(60 ) 60 60 - cos() Scos(60 ) Z orázku je (kvůli shodnosti oou vyrvených trojúhelníků) vidět, že pltí: sin0 = sin 60 = cos0 = cos 60 = ( cos0 je orientován n druhou strnu). - Př. 4: Urči hodnoty funkcí sin ( ) cos( ) pro = 0. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) ( ) cos. Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem, jehož odvěsny tvoří souřdnice odu. - 0 S 0 sin() cos() - Njdeme podoný trojúhelník v prvním kvdrntu. 6

- 0 S 0 0 cos(0 ) sin() cos() sin(0 ) Z orázku je (kvůli shodnosti oou vyrvených trojúhelníků) vidět, že pltí: sin 0 = sin 0 =, cos 0 = cos 0 =. - Př. 5: Urči hodnoty funkcí sin ( ) cos( ) pro úhel 5. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) ( ) cos. Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem, jehož odvěsny tvoří souřdnice odu. 5 S - 45 sin() cos() - Njdeme podoný trojúhelník v prvním kvdrntu. 7

- 5 S 45 45 sin(45 ) cos(45 ) sin() Z orázku je (kvůli shodnosti oou vyrvených trojúhelníků) vidět, že pltí: sin 5 = sin 45 =, cos 5 = cos 45 =. cos() - Shrnutí: ( ) sin zvádíme jko y-ovou souřdnici odu, který vznikne n jednotkové kružnici jko průsečík s koncovým rmenem orientovného úhlu. 8