Pružnost, pevnost, plasticita

Pružnost, pevnost, plasticita Pracovní vere výukového skripta 22. února 2018 c Milan Jirásek, Vít Šmilauer, Jan Zeman České vsoké učení technické v Prae Fakulta stavební Katedra mechanik hákurova 7 166 29 Praha 6

Kapitola 4 Mimostředný tah nebo tlak Mimostředným (excentrickým) tahem nebo tlakem naýváme stav, kd na průře působí normálová síla N a alespoň jeden momentů M či M. ento stav vnitřních sil můžeme nahradit jedinou silou F, která působí excentrick na na souřadnicích c, c, vi obr. 4.1. Pro tento stav můžeme napsat N = F (4.1) M = F c (4.2) M = F c (4.3) c c F x Obráek 4.1: xcentrická síla na průřeu. Uvažujme nejprve průře s hlavními centrálními osami,, tj. = 0. Principem superpoice v lineární pružnosti rošíříme (3.230) na obecný případ kombinace tlaku/tahu a šikmého ohbu σ = N M I M I (4.4) Po dosaení (4.1)-(4.3) dostaneme rovnici napětí σ = F F c I F c I (4.5) kterou le upravit s vužitím I = i 2 a I = i 2 na σ = F F c i 2 F c i 2 = F ( 1 c i 2 99 ) c i 2 (4.6)

100 KPIOL 4. MIMOSŘNÝ H NO LK Prokoumejme situaci pro neutrální osu, kd normálové napětí σ = 0. ato rovnice je netriviálně splněna, pokud je ávorka rovna nule. Nejprve uvažujme situaci, kd = 0, tj. neutrální osa protíná osu na souřadnici = N 0 = 1 c N i 2 (4.7) c = i2 N (4.8) nalogick pro průsečík neutrální os s osou na souřadnici = N platí 0 = 1 c N i 2 (4.9) c = i2 N (4.10) ím jsme odvodili vtah mei neutrální osou a působištěm excentrické síl. Pro obecnou kombinaci tlaku/tahu a šikmého ohbu v obecných centrálních osách, je nutno vít do úvah nenulový deviační moment. Rovnici (3.229) opět principem superpoice rošíříme na obecný případ kombinace tlaku/tahu a šikmého ohbu σ = N I M M I I 2 I M M I I 2 (4.11) Při působení jediné excentrické tlakové síl F můžeme dosadit (4.1)-(4.3) a obdržíme σ = F I F c F c I I 2 I F c F c I I 2 (4.12) Pokud nás ajímá poue neutrální osa ss σ = 0, můžeme celou rovnici nejprve vkrátit F. alšími úpravami a řešením soustav dvou algebraických rovnic le vpočítat souřadnice excentrické síl c = 1 ( I ) (4.13) N c = 1 ( N N I N ) (4.14) Zde již vidíme, že deviační moment působují interakci s průsečíkem druhé centrální os. Pro nulové deviační moment přejdou rovnice na jednodušší tvar (4.8)-(4.10). 4.1 Jádro průžeu Mnoho stavebních materiálů (divo, prostý beton) mají tahovou pevnost řádově nižší než tlakovou. V těchto případech se snažíme vloučit tah průřeu, ab v průřeu nevnikal trhlin při tahovém namáhání. Neutrální osa tak musí procháet mimo průře, nebo se ho musí dotýkat, ab celý průře bl tlačen. Jádro průřeu je právě taková množina excentrických tlakových sil, které vvodí tlakové napětí na celém průřeu, vi obr. 4.2. Mei obecné vlastnosti jádra patří:

4.1. JÁRO PRŮŽZU 101 Jádro vžd obsahuje těžiště průřeu. Při působení tlakové síl v těžišti se jedná o prostý tlak. Jádro je vžd konvexní. Všechn vnitřní úhl jsou menší nebo rovn 180. Přímá část hranice jádra odpovídá vrcholu jádra. Například neutrální os a bod,, na obr. 4.2. Vrchol hranice průřeu odpovídá úsečce hranice jádra. Například neutrální osa a bod na obr. 4.2. Neutrální osa, která je tečnou na hranici jádra, odpovídá tlakovému centru na hranici průřeu. V tomto případě vniká na průřeu tah i tlak. N N Obráek 4.2: Jádro průžeu a jeho konstrukce. Konstukce jádra průžeu se vtvoří obalováním neutrálních os okolo průřeu. Zvolí je neutrální osa, určí se průsečík s cenrálními osami, ve vdálenosech N, N. Pro určení souřadnic působiště excentrické síl, tj. bodů na hranici jádra, se použijí (4.8)- (4.10). Pokud, nejsou hlavní os, použijí se (4.13)-(4.14). Konstrukci jádra průřeu ukážeme na obdélníkovém průřeu šířk b a výšk h, obr. 4.3a). Pro neutrální osu je její průsečík N = a N = h/2. ále vcháí i 2 = I = h2 12 i 2 = I = b2 12 c = i2 N = (4.15) (4.16) b2 12 = 0 m (4.17) c = i2 N = h2 12 2 h = h 6 m (4.18) nalogick pro neutrální osu je N = b/2 a N =. Vrchol jádra má souřadnice c = b 6 a c = 0. Výška a šířka jádra je třetina délk příslušné stran obdélníkového průřeu.

102 KPIOL 4. MIMOSŘNÝ H NO LK alší ukáka jádra je na kruhovém průřeu obr. 4.3b). en je rotačně smetrický, postačuje určit jednu neutrální osu s N = r a dopočítat i 2 = I = πr4 4 1 πr 2 = r2 4 m (4.19) c = i2 N = r 4 m (4.20) h r b (a) (b) Obráek 4.3: Jádro obdélníkového a kruhového průžeu. Nejčastější vužití jádra je na posouení namáhání průřeu, da nedocháí ke vniku tahových napětí. o se týká předpínaných nosníků, diva, či kleneb. V případě kleneb se jišťuje, da výslednicová tlaková čára nevstupuje jádra průřeu, tj. e 1/3 výšk obdélníkového průřeu. Pokud vstupuje mimo jádro, očekává se vnik trhlin. Kapitola 12.1 ukauje jednodušenou analýu děné klenb a její řícení v želeniční stanici Zastávka u rna. PŘÍKL 4.1 Na prostém nosníku vkreslete průběh vnitřních sil N, V a M a určete průběh normálového napětí σ v nejvíce namáhaném průřeu nosníku podle obr. 4.4. Vkreslete také jádro průřeu. Reakce: 100 kn 30 2 m 30 100 kn 100 kn 0,4 m 0,6 m N x [kn] V [kn] -20 M [knm] Obráek 4.4: Prostý nosník atížený extentrickou normálovou silou. -100 30 40

4.1. JÁRO PRŮŽZU 103 Řešení: Nosník je excentrick atížen normálovou silou, nad kloubovým uložením konců vnikne nenulový moment M, vi obr. 4.4. Průřeové charakteristik vcháí I = 1 36 0,4 0,63 = 0,0024 m 4 (4.21) I = 1 48 0,6 0,43 = 0,0008 m 4 (4.22) = 0,12 m 2 (4.23) Nejvíce namáhaný průře je nad pravou podporou, rovnice napětí s dosaením pro horní a dolní vlákna mají tvar σ = N M I (4.24) σ h = 100 0,12 40 ( 0,4) = 7500kPa = 7,5 MPa 0,0024 (4.25) σ d = 100 0,12 40 0,2 = 2500kPa = 2,5 MPa 0,0024 (4.26) Průsečík neutrální os s osou určíme podmínk σ = 0 dle (4.24) = N I = 100 M 0,12 0,0024 = 0,05 m (4.27) 40 Vkreslení napětí je na obr. 4.5. Zbývá dopočítat jádro průřeu a jeho vrchol. Průře obalíme neutrálními osami, určíme jejich průsečík s osami, a souřadnice excentrických sil, které odpovídají těmto přímkám. o jsou hledané vrchol jádra průřeu. i 2 = I = 0,02 m4 (4.28) i 2 = I = 0,00667 m4 (4.29) Osa [0,133; 0,4] i2 c = 0,133 = 0,050 m = b/8 (4.30) c = i2 = 0,050 m = h/12 (4.31) 0,4 Osa [ 0,133; 0,4] i2 c = 0,133 = 0,050 m = b/8 (4.32) c = i2 = 0,050 m = h/12 (4.33) 0,4 Osa [ ; 0,2] c = i2 = 0 m (4.34) c = i2 0,2 = 0,1 m = h/6 (4.35) (4.36)

104 KPIOL 4. MIMOSŘNÝ H NO LK 0,4 m 0,2 m 0,4 m σ 40 knm -7,5 MPa N.O. 2,5 MPa Obráek 4.5: Průběh napětí na nejvíce namáhaném trojúhelníkovém průřeu a jádro průřeu. Zajímavostí je, že jádro průřeu je vžd soběpodobné trojúhelníkovému průřeu libovolných roměrů. PŘÍKL 4.2 Na vetkutém sloupu dle obr. 4.6 vkreslete průběh vnitřních sil N, V, V, M a M. Ve vetknutí vkreslete průběh normálového napětí σ. 80 kn 0,15 0,5 m 0,1 0,3 m N [kn] V [kn] V [kn] M [knm] M [knm] 20 kn 1,5 m x -80-20 0 8-30 Obráek 4.6: Sloup atížený ohbem a tlakem. Řešení: Průběh vnitřních sil vkreslíme snadno od volného konce konol a nemusíme počítat reakce. Protože os, jsou hlavní centrální os ( = 0) a ohb nastává poue okolo těchto os, le použít superpoici tlaku a dvou prostých ohbů dle (3.230). Průřeové charakteristik vcháí = 0,15 m 2 (4.37) I = 1 12 0,3 0,53 = 0,003125 m 4 (4.38) I = 1 12 0,5 0,33 = 0,001125 m 4 (4.39)

4.1. JÁRO PRŮŽZU 105 Po dosaení do (3.230) vpočteme rovnici napětí, průsečík neutrální os s osami, a její sklon σ = 80 0,15 8 0,003125 30 0,001125 [kpa,m] = = 0,533 2,560 26,667 [MPa,m] (4.40) = 0 = 0,533 = 0,02 m 26,667 (4.41) = 0 = 0,533 = 0,21 m (4.42) 2,560 ϕ = arctan 26,667 2,56 = 84,52 (4.43) Hodnot napětí určíme rovnice (4.40) dosaením vrcholových bodů obdélníka, kde musí být extrém napětí. Výsledek je obraen na obr. 4.7. od [0,15; 0,25] σ = 4,11 MPa (4.44) od [ 0,15; 0,25] σ = 3,89 MPa (4.45) od [ 0,15; 0,25] σ = 5,17 MPa (4.46) od [0,15; 0,25] σ = 2,83 MPa (4.47) 0,3 m φ=84,52 o 0,02 0,21 0,5 m σ [MPa] 4,11-5,17 N.O. 2,83-3,89 Obráek 4.7: Průběh napětí ve vetknutí sloupu. PŘÍKL 4.3 Vkreslete jádro průřeu ve tvaru nesmetrického L, jehož roměr jsou uveden na obr. 4.8. Řešení: Nejprve určíme polohu těžiště. Pomocné souřadnice od levého horního bodu na průřeu dávají tto hodnot = 20 280 100 20 = 7600 mm 2 (4.48) 20 280 10 100 20 70 = = 25,8 mm (4.49) 20 280 140 100 20 270 = = 174,2 mm (4.50)

106 KPIOL 4. MIMOSŘNÝ H NO LK 174,2 260 25,8 94,2 ' 20 φ=11,45 o ' 105,8 20 100 [mm] Obráek 4.8: Nerovnoramenný úhelník a výpočet jádra. Určíme průřeové charakteristik v osách, I = 1 12 20 2803 20 280 (140 174,2) 2 112100 20 3 100 20 (105,8 10) 2 = = 6,156 10 7 mm 4 (4.51) I = 1 12 280 203 280 20 (25,8 10) 2 11220 100 3 20 100 (50 94,2) 2 = = 7,159 10 6 mm 4 (4.52) = 20 280 (140 174,2) (25,8 10) 20 100 (105,8 10) (50 94,2) = = 1,149 10 7 mm 4 (4.53) ϕ = 1 2 arctan 2 I I = 11,45 (4.54) Průře obalíme neutrálními osami. Zde nastává komplikace, neboť os, nejsou hlavní a jsou možné dvě možnosti výpočtu: 1. Vše přetransformovat do hlavních os, a použít (4.8)-(4.10) 2. Použít složitější vorce (4.13)-(4.14). ento případ bude použit dále ve formě tabulk. Výsledk jsou na obr. 4.8. abulka 4.1: Výpočet vrcholů jádra nerovnoramenného úhelníku [mm]. Osa N N c c 105,8 0-62.3-94,2-6,0 0-61,2-226,2-9,3 29,1-174,2 0 37,8 25,8-22,1 0

4.1. JÁRO PRŮŽZU 107 PŘÍKL 4.4 Nakreslete hlavní centrální os průřeů obr. 4.9 a vkreslete jádra těchto průřeů. a a a a (a) (b) (c) (d) (e) (f) Obráek 4.9: Průře pro vkreslení jader. Řešení: Nejprve odhadneme hlavní centrální os. Pro smetrické průře bude jedna osa vžd osou smetrie, pro ostatní průře os odhadneme. Pro úhelník a) budou os, více stočen doprava, neboť pravá část k ose je protáhlá. Neutrální osa odpovídá téměř prostému ohbu s tlakem, proto i vrchol jádra bude ležet téměř na ose. Osa protíná osu v kladné části, proto vrchol bude ležet v části áporné, vi (4.8). Osa opět odpovídá téměř prostému ohbu s tlakem. Odhadneme průsečík dalších os s osami,. Výsledkem je šestiúhelníkové jádro průřeu. I-průře b) odpovídá obrsem obdélníku. Ve směru je více hmot vdáleno od těžiště, proto i vrchol jádra budou dále než 1/6 výšk v obdélníku, naopak ve směru je více hmot na stojině a vrchol, budou blíže. Smetrický úhelník c) má hlavní osu na rovině smetrie. Neutrální osa odpovídá prostému ohbu s tlakem Rovnostranný trojúhelník d) má pro bod souřadnici c = h/6 a jádro průřeu je sobědoboné průřeu, vi 4.1. Kruhový průře e) má poloměr jádra r/4. Průře f) se pro výpočet jádra podobá obdélníku, akorát vrchol bude blíže těžišti. PŘÍKL 4.5 Proveďte analýu napětí předpjatého želeobetonového nosníku podle obr. 4.11. Prostý nosník je předepnut silou P a v příčném směru rovnoměrně atížen. Vkreslete vlášť moment od předpínací síl P a od spojitého atížení q. Vkreslete průběh normálového napětí nad podporou a uprostřed nosníku. Řešení: Pro výpočet napětí budou třeba vnitřní síl a průřeové charakteristik. Předpínací síla působuje konstantní normálovou sílu N p i moment od předpětí M p, spojité atížení vvodí poue moment M q. Vnitřní síl nabývají hodnot, vi obr. 4.11. N p = 2500 kn (4.55) M p = (0,735 0,15) 2500 = 1462,5 knm (4.56) M q,s = 1 8 100 122 = 1800 knm (4.57)

108 KPIOL 4. MIMOSŘNÝ H NO LK F F (a) (b) (c) (d) (e) (f) Obráek 4.10: Jádra průřeů obr. 4.9. q = 100 kn/m 0,8 P=2500 kn N p a x s 12 m -2500 kn b P=2500 kn 0,15 0,735 0,565 0,15 0,15 P 0,3 0,8 0,2 1,3 M p -1462,5 knm 0,4 [m] M q 1800 knm Obráek 4.11: Geometrie předpjatého nosníku, průře a průběh vnitřních sil. Průřeové charakteristik předpjatého I průřeu vcháí =0,4 m 2 (4.58) I = 1 12 0,4 0,33 0,4 0,3 (0,735 0,15) 2 1 12 0,15 0,83 0,15 0,8 (0,735 0,7) 2 1 12 0,8 0,23 0,2 0,8 0,465 2 = 0,083643 m 4 (4.59)

4.1. JÁRO PRŮŽZU 109 Nad podporami se projeví poue účinek předpětí, neboť M q (0) = M q (12) = 0 knm. Z rovnice napětí nad podporami le vpočítat hodnot při dolních i horních vláknech průřeu, vi obr. 4.12. Protože průběh vnitřních sil od předpětí je konstatní po celém nosníku, bude mít i napětí od předpětí σ p na celém nosníku shodný tvar. σ p () = 2500 0,4 1462,5 [kpa,m] = 6,25 17,49 [MPa,m] 0,083643 (4.60) σ p (0,735) = 19,11 MPa (4.61) σ p ( 0,565) = 3,63 MPa (4.62) σ p (0) = 6,25 MPa (4.63) Všimněte si, že předpínací síla P působí cela jistě mimo jádro průřeu a vniká tah i tlak. Zbývá určit průběh napětí uprostřed nosníku σ s. Zde vužijeme principu superpoice a určíme nejprve průběh napětí σ q poue od spojitého atížení M q. σ q () = 1800 [kpa,m] = 21,52 [MPa,m] 0,083643 (4.64) σ q (0,735) = 15,82 MPa (4.65) σ q ( 0,565) = 12,16 MPa (4.66) Přičtením napětí od předpětí ískáme napětí výsledné σ p σ q = σ s, vi obr. 4.12. 0,735 0,565 σ q [MPa] -12,16 M P -6,25 P M q = σ p [MPa] 3,63-6,25 σ s [MPa] -8,53 [m] -19,11 15,82-3,29 Obráek 4.12: Normálové napětí od předpětí σ p a uprostřed nosníku σ s. Uvedený příklad je čistě akademický, neboť se většinou snažíme vtvořit plně předpjatý průře v každém průřeu nosníku. Zde vcháí nad podporami tahová napětí, která b se musela achtit měkkou betonářskou výtuží. Zároveň potřebujeme vžd reervu v tlakovém napětí (například -2 MPa), ab nedošlo k jeho překročení ani při mimořádných událostech. Zde se nabíí umístit další předpínací síl tak, ab jejich výslednice ležela v jádře průřeu - například další předpínací sílu do horní pásnice. akovýmto působem jsou dnes konstruován střešní předpjaté vaník na velké ropon. alší možností eliminace tahových napětí nad podporou je použití kabelovývh kanálků a akřivených předpínacích kabelů. Jejich vhodným vedením le účinně kompenovat přímo vliv atížení q. V našem případě le použít kompenaci konstantního atížení kabelem parabolického průběhu, který kopíruje tvar ohbového momentu M q. Spojité příčné atížení p od akřiveného kabelu s osovou silou N 0 je p = N 0 κ N 0 2 w x 2 (4.67)

110 KPIOL 4. MIMOSŘNÝ H NO LK které při parabolickém tvaru kabelu dá konstatní příčné atížení. akovýto nosník bude namáhán poue konstatním tlakovým napětím v každém bodě. Při reálném návrhu a posouení b blo ještě třeba uvažovat trát předpětí vlivem smrštění a dotvarování betonu či ařivením kabelu. aké je třeba posoudit prostorovou stabilitu předpjatého prvku kvůli vnesenému předpětí. o jsou áležitosti dalších studijních předmětů.