Goniometrie a trigonometrie Vzorce pro goniometrické funkce Nyní si řekneme něco o velmi důležitých vlastnostech a odvodíme si také některé velmi důležité vzorce pro výpočty s goniometrickými funkcemi. sin x + cos x = 1 1 tgx.cotgx = 1 sin x = sinx 3 cosx = cos x 4 sinx = sinx cosx 5 cosx = cos x sin x 6 sinx + y = sinx cosy + cosx siny 7 cosx + y = cosx cosy sinx siny 8 sinx y = sinx cosy cosx siny 9 cosx y = cosx cosy + sinx siny 10 π sinx = cos x π cosx = sin x sinx + siny = sin sinx siny = cos cosx + cosy = cos cosx cosy = sin cos sin cos x y x y x y x y sin 1 cosx sin = 1 + cosx cos = 11 1 13 14 15 16 17 18 1
Poznámka: Všechny vzorce se také dají odvodit pomocí Eulerovy formule, my však půjdeme názornější a méně složitější formou důkazů. V první řadě si odvodíme z obrázku následující funkce součtu úhlů, ze kterých nám poté bude vyplývat pár dalších později uvedených vzorců: sinx + y = sinx cosy + cosx siny 19 cosx + y = cosx cosy sinx siny 0 Důkaz. 19 Důkaz bude o trochu delší, ovšem i přesto ho zvládneme, jelikož nepůjde o těžké úvahy. Vše se bude opírat o následující obrázek bez újmy na obecnosti můžeme zvolit délku AF = 1: F 1 α D E A β α B C V obrázku máme na sobě spojené dva úhly α a β, jejichž goniometrický součet se teď pokusíme odvodit. V obrázku máme zobrazený ještě jednou úhel α a to vpravo nahoře. Jeho umístění vyplývá z toho, že AED = α, proto DEF = 90 α, proto nutně EF D = α. Nyní si provedeme několik úvah je nutné znát spojitost mezi goniometrickými funkcemi a pravoúhlým trojúhelníkem: víme že AF = 1. Potom jistě platí: sinβ = EF cosβ = AE cosα = F D F D = cosα sinβ sinβ sinα = EC EC = sinα cosβ cosβ CE = BD Nyní už můžeme jistě říci, že: sinα + β = BD + F D = sinα cosβ + cosα sinβ Důkaz. 0 Nyní můžeme pokračovat pro cosinus: cosα = F D F E sinα = DE EF cosα = AC AE F E = cosα sinβ cosα DE = sinα sinβ AC = cosα cosβ = sinβ
DE = BC cosα + β = AC BC = cosα cosβ sinα sinβ Obě předchozí rovnice můžeme modifikovat pro rozdíl úhlů: sinx y = sinx cosy cosx siny 1 cosx y = cosx cosy + sinx siny Důkaz. 1 Platí že: sinα β = sinα + β = sinα cos β + cosα sin β Kde s využitím vzorců 3.1 a 3. obdržíme: sinα cos β + cosα sin β = sinα cosβ cosα sinβ Důkaz. cosα β = cosα + β = cosα cos β + sinα sin β Kde s využitím vzorců 3.1 a 3. obdržíme: cosα cos β sinα sin β = cosα cosβ + sinα sinβ Nyní si popišme vlastnost obou funkcí: Důkaz. 3 Vyplývá přímo z vlastnosti funkce, že je lichá. Důkaz. 4 Vyplývá přímo z vlastnosti funkce, že je sudá. sin x = sinx 3 cosx = cos x 4 Nyní dvě důležité identity: sin x + cos x = 1 5 tgx.cotgx = 1 6 Důkaz. 5 Varianta A - Vyplývá přímo z definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku a Pythagorovy věty - viz video "Základní goniometrické vzorce"v tématu "Goniometrie a trigonometrie". Varianta B - Vycházíme z toho že cos0 = cosx + x cosx + x = cosx cos x sinx sin x cos0 = cos x + sin x 1 = cos x + sin x Důkaz. 6 tgx.cotgx = sinx cosx.cosx sinx = 1 3
Nyní rovnice pro posun funkcí: π sinx = cos x π cosx = sin x 7 8 Důkaz. 7 Varianta A - Vyplývá přímo z grafu obou funkcí. Varianta B - Podle součtového vzorce platí: cos π x = cos π cos x sin π sin x = 0 sin x = sinx Důkaz. 8 Varianta A - Vyplývá přímo z grafu obou funkcí. Varianta B - Podle součtového vzorce platí: sin π x = sin π cos x + cos π sin x = cos x + 0 = cosx Nyní rovnice pro dvojnásobek úhlu, tedy: sinx = sinx cosx 9 cosx = cos x sin x 30 Důkaz. 9 Platí že: sinα = sinα + α = sinα cosα + cosα sinα = sinα cosα Důkaz. 30 cosα = cosα + α = cosα cosα sinα sinα = cos α sin α Nyní rovnice pro součet a rozdíl sinů a cosinů: sinx + siny = sin cos sinx siny = cos sin cosx + cosy = cos cos cosx cosy = sin sin Důkaz. 31 Nechť x + y = α, x y = β, z čehož vyplývá x = α + β, y = α β, proto: sinx + y + sinx y = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy cosx siny = sinx cosy Proto: α + β α β sinα + sinβ = sin cos Důkaz. 3 Obdobně jako v důkazu 31 31 3 33 34 4
Důkaz. 33 Obdobně jako v důkazu 31 Důkaz. 34 Obdobně jako v důkazu 31 Důkaz. 35 cosx = cos Z toho plyne: sin x x = 1 cosx = cos x 1 cosx sin = 1 + cosx cos = sin x 1 cosx x sin = Důkaz. 36 Obdobně jako v předchozím případě. = 1 sin x 35 36 5