Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi v oblasti obecého popisu diskrétích sigálů a systémů. V kapitolách íže alezete základí defiičí vztahy, ejdůležitější vlastosti a základí slovík korespodecí, se kterými budeme v oblasti diskrétích systémů a sigálů ejčastěji pracovat. Uvedeý text eí úplým a vyčerpávajícím popisem zahrujícím problematiku Z- trasformace. Toto lze alézt v dalších prameech, zejméa pak v [2], [3], [], aj.. Defiičí vztahy Z-trasformace defiuje korespodeci mezi diskrétí posloupostí x[], představující v ašem případě diskrétí sigál, a komplexí fukcí komplexí proměé X(z), kterou azýváme z-obrazem daé poslouposti. Symbolicky budeme začit obvykle ásledujícími způsoby. Defiičí vztah Z-trasformace je potom Z x[] } () x[] Z X(z) } (2) x[] X(z) (3) Z x[] } x[]z, (4) kde v tomto případě mluvíme o tzv. uilaterálí formě, kdy suma se počítá v mezích od do. Daá ekoečá suma obecě koverguje v oblasti, která představuje vější oblast v z-roviě, která je vymezea kružicí, viz obr. Problematika zcela obecé formulace iverzí Z-trasformace přesahuje rámec tohoto textu. Detaily lze alézt v odkazovaých prameech. V ašich aplikacích budeme pracovat především s dále defiovaým základím slovíkem Z-trasformace. Existuje také bilaterálí tvar, kde daá defiičí suma se počítá v mezích od do, aplikacích pro číslicové zpracováí sigálů se však setkáváme většiou pouze s tvarem uilaterálím.
Obrázek : Obecá oblast kovergece z-trasformace.2 Souvislost Z-trasformace a Fourierovy trasformace Jestliže x[] představuje diskrétí sigál (posloupost vzorků), Fourierova trasformace diskrétího sigálu (spektrum) je defiováa jako X(e jθ ) Jestliže defiice Z-trasformace je daá jako x[]e jθ ( X(f) ). (5) x[]z (6) je zřejmé, že spektrálí reprezetaci sigálu dostaeme substitucí z e jθ za podmíky kovergece Fourierovy trasformace pro daý sigál. Jelikož hodoty z pro z e jθ leží a jedotkové kružici, je zřejmé, že toto bude splěo v případě, že oblast kovergece Z-trasformace obsahuje jedotkovou kružici, viz obr. 2. spektrum X(e jθ ) existuje spektrum X(e jθ ) eexistuje Obrázek 2: Závislost existece spektra a oblasti kovergece Z-trasformace daého sigálu..3 Příklady trasformace základích sigálů.3. Jedotkový impuls x[] δ[] 5 2
x[] δ[], if,, if Výpočet Z-obrazu: δ[]z z (8) Oblast kovergece je v tomto případě rova celé komplexí roviě, viz obr. 3, eboť výše spočítaá suma je rova pro libovolou hodotu proměé z. (7) ROC Obrázek 3: Oblast kovergece jedotkového impulsu.3.2 Jedotkový skok x[] u[] 5, if, x[] u[], if < (9) ( z z. z () Výpočet výše uvedeé ekoečé sumy, představuje součet ekoečé geometrické řady s kvocietem q z, tj. x[], pokud q <. () q Z uvedeé podmíky je také zřejmé, že daá řada koverguje pouze pokud q z <. Pro proměou z tedy musí platit z >. Oblast kovergece je tedy vymezeá jedotkovou kružicí, která do oblasti kovergece epatří, viz obr. 4. To je v souladu s eexistecí Fourierovy reprezetace jedotkového skoku, eboť pro daou posloupost ekoverguje součet absolutích hodot. Z-obraz daé poslouposti je také možé vyjadřit dvěma způsoby, a to v pricipu jako racioálí lomeou fukci proměé z, či jako racioálí lomeou fukci proměé. Uvedeý druhý tvar abývá výzamu především při výpočtu ulových bodů a pólů fukce X(z), eboť tato fukce je samozřejmě v pricipu fukcí proměé z. z z z z 3 z z. (2)
ROC Obrázek 4: Regio kovergece jedotkového skoku.3.3 Expoeciálí posloupost (expoeciálí impuls) a 5 x[] a, if,, if < (3) ( a z ) az ( ) az az Z-trasformace je v tomto případě dáa součtem geometrické řady s kvocietem q az. Podmíka kovergece je v tomto případě rova az < resp. z > a, viz obr. 5, kde je zobrazea oblast kovergece pro expoecálí impuls (.75). Na obr. 6 si můžeme všimout situace pro posloupost (.5), která představuje sigál rostoucí ade všechy meze, pro ějž elze alézt spektrum. S podobými sigály se můžeme setkat především a výstupech estabilích diskrétích systémů. (4) ROC Obrázek 5: Oblast kovergece expoeciálího pulsu pro a.75 2 Základí vlastosti Z-trasformace V této části jsou připomeuty ejzákladější vlastosti Z-trasformace, a základě kterých můžeme alézt další korespodece pro obecější poslouposti, odvozeé z výše uvedeých základích. 4
a 5 ROC Obrázek 6: Diskrétí posloupost a oblast kovergece expoeciálího pulsu pro a-.5 2. Liearita A x [] + B x 2 [] A X (z) + B X 2 (z) (5) Na základě této vlastosti alezeme obraz obecé koečé poslouposti, obraz harmoických posloupostí, apod. Větu o liearitě uplatíme také při zpěté trasformaci racioálí lomeé fukce. 2.2 Věta o posuutí x[ o ] X(z) z o (6) Větu o posuutí uplatíme hledáí obrazu koečé poslouposti a zejméa pak při převodu diferečí rovice do Z-oblasti, tj. apř. máme-li diferečí rovici y[] x[] + 3x[ ] + x[ 2], 5y[ ], 4y[ 2], (7) její reprezetace v z-oblasti je Y (z) X(z) + 3X(z)z + X(z)z 2, 5Y (z)z, 4Y (z)z 2. (8) 2.3 Násobeí expoeciálou v časové oblasti a x[] X(z/a) (9) Aplikaci této věty alezeme především při hledáí reprezetace pro expoeciálě tlumeé sigály (apř. tlumeou siusovku). Její ejjedodušší aplikaci si lze představit i v souvislosti korespodece jedotkového skoku a expoeciálího pulzu, tj. u[] a a u[] z (2) ( ) z az a (2) 5
2.4 Obraz kovoluce x [] x 2 [] k x [k]x 2 [ k] X (z) X 2 (z) (22) Uvedeou vlastost využíváme především při výpočtu obecé odezvy diskrétího systému (tj. při filtraci sigálu), kokrétě apř. při výpočtu impulzové odezvy systému. 2.5 Výpočty dalších výzamých korespodecí 2.5. Posloupost koečé délky x[] M x[] b, if <, M >,, otherwise (23) x[] b δ[] + b δ[ ] + b 2 δ[ 2] +... + b M δ[ M] (24) b + b z + b 2 z 2 +... + b M z M (25) 2.5.2 Obraz harmoických kmitů - siu a kosiu cos ω, if, x[], if < (26) x[] cos ω ( e jω + e jω) (27) 2 ( ) 2 e jω z + e jω z ( 2 ejω z + e jω z 2 (e jω + e jω )z ) ( e jω z )( e jω z ) 2 (e jω + e jω )z + z 2 cos ω z 2 cos ω z + z z(z cos ω) (28) 2 z 2 2 cos ω z + Obraz kosiové poslouposti je tedy v Z-oblasti reprezetová racioálí lomeou fukcí 2. řádu s reálými koeficiety závislými a kmitočtu daé harmoické složky. Podobě lze odvodit reprezetace pro siovou posloupost s ulovým či obecým fázovým posuvem, a to a základě platosti ásledujících vztahů x[] si ω 2j ( e jω e jω), (29) x[] si(ω + ϕ) cos ϕ si ω + si ϕ cos ω. (3) Výsledé korespodece lze alézt dále souhrě v tabulce základích korespodecí. 6
2.5.3 Obraz tlumeých harmoických kmitů Pokud záme korespodeci pro etlumeý harmoický průběh x[] si(ω + ϕ) if,, if < (3) si ϕ + si(ω ϕ) z (32) 2 cos ω z + z 2 je vzájemá korespodece pro tlumeé kmity dáa aplikací věty o ásobeí expoeciálou (věty o substituci), tj. x[] a si(ω + ϕ) if,, if < (33) z si ϕ + si(ω ϕ) a si ϕ + a si(ω ϕ) z 2 cos ω z + z 2 (34) 2a cos ω z a a + a 2 z 2 Obdobě velmi sado lze odvodit korespodece pro tlumeý sius resp. kosius s ulovým fázovým posuvem. 2.6 Zpětý obraz racioálí lomeé fukce Zpětý obraz racioálí lomeé fukce hledáme a základě platosti věty o liearitě. Máme-li obecě racioálí lomeou fukci ve tvaru M b k z k k N a k z k k M z N k N z M k b k z M k a k z N k, (35) kde M < N, lze ji převést do součiového tvaru M ( c k z ) k, (36) N ( d k z ) k kde c k jsou ulové body fukce X(z), tj. kořey čitatele, a d k jsou póly fukce X(z), tj. kořey jmeovatele daé reprezetace. Uvedeý příklad platí pro jedoduché kořey v čitateli i jmeovateli. Teto tvar je pak možé rozložit a parciálí zlomky, tj. získáváme ásledující součtový tvar M ( c k z ) k N ( d k z ) k N k A k ( d k z ), (37) 7
pro ějž již záme dílčí korespodece pro jedotlivé parciálí zlomky, tj. v uvedeém případě N x[] A k (d k ). (38) k V obecém případě mohou být kořey komplexí a ásobé. V případě komplexích kořeů se bude pro racioálí lomeou fukci s reálými koeficiety jedat o dvojice komplexě združeých kořeů, pro které je možé pracovat s parciálími zlomky 2. řádu s reálými koeficiety, což reprezetuje harmoické kmity v časové oblasti, viz výše. V případě ásobých kořeů uplatňujeme další vlastosti Z-trasformace. Tuto situaci s ásobými póly již ebudeme v ašich úlohách řešit. Referece [] A. V. Opeheim, R. W. Shafer, ad J. R. Buck. Discrete-Time Sigal Processig. Secod Editio. Pretice Hall, 999. [2] J. Veit. Itegrálí trasformace. SNTL, druhé editio, 983. [3] R. Vích. Trasformace Z a ěkterá její použití. SNTL Praha, 983. 8
A Elemetárí slovík Z-trasformace Časová oblast - x[] pro,, 2,..., Operátorová oblast - X(z) δ[] u[] z z z a az z z a b δ[] + b δ[ ] + b 2 δ[ 2] +... b + b z + b 2 z 2 +...... + b M δ[ M]... + b M z M cos ω si ω si(ω + ϕ) a cos ω a si ω a si(ω + ϕ) cos ω z 2 cos ω z + z 2 z(z cos ω) z 2 2 cos ω z + si ω z 2 cos ω z + z 2 si ω z z 2 2 cos ω z + si ϕ + si(ω ϕ) z 2 cos ω z + z 2 z (si ϕ + si(ω ϕ) z) z 2 2 cos ω z + a cos ω z 2a cos ω z + a 2 z 2 a si ω z 2a cos ω z + a 2 z 2 si ϕ + a si(ω ϕ) z 2a cos ω z + a 2 z 2 9