Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ..7/../8.) z přispění finnčních prostředků EU státního rozpočtu České republiky. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Motivce obsh plochy pod křivkou Předpokládejme, že funkce f je nezáporná spojitá n intervlu, b. Jký je obsh rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmi x = x = b? Obsh této množiny můžeme přibližně vypočítt pomocí součtu obshů obdélníků tkto: Intervl, b rozděĺıme n několik podintervlů kždý z těchto podintervlů tvoří zákldnu obdélník. Z kždého podintervlu vybereme libovolný bod hodnot funkce f v tomto bodě určuje výšku obdélník. Určíme obshy všech tkto získných obdélníků sečteme. Výpočet bude tím přesnější, čím budou obdélníky užší (tj. zákldny menší) ( tedy čím větší bude počet obdélníků). Hledný obsh plochy je tedy roven limitě součtu obshů těchto obdélníků, pokud se délky záklden všech obdélníků bĺıží k nule ( počet obdélníků se bĺıží nekonečnu). Tkovou limitu lze definovt i pro obecnější funkce (nejen nezáporné spojité) nzývá se určitý integrál. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Normou dělení D (ozn. ν(d)) rozumíme délku největšího z děĺıcích intervlů, tj. ν(d) = mx{x i x i, i =,,..., n}. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Konstrukce určitého integrálu Necht f je funkce, která je definovná ohrničená n intervlu, b. Dělením intervlu, b (ozn. D) rozumíme množinu bodů D = {x, x, x,..., x n }, pro něž pltí = x < x < x < < x n = b. Intervly x, x, x, x,..., x n, x n se nzývjí děĺıcí intervly tohoto dělení. Normou dělení D (ozn. ν(d)) rozumíme délku největšího z děĺıcích intervlů, tj. ν(d) = mx{x i x i, i =,,..., n}. Z kždého děĺıcího intervlu vyberme libovolné číslo: ξ x, x, ξ x, x,..., ξ n x n, x n. Množinu Ξ = {ξ, ξ,..., ξ n } těchto čísel nzýváme výběr reprezentntů dělení D sumu (která v přípdě kldné funkce předstvuje součet obshů n obdélníků) σ(f, D, Ξ) = n f(ξ i )(x i x i ) nzýváme integrální součet příslušný funkci f, dělení D výběru reprezentntů Ξ. i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Integrální součet: ξ ξ ξ ξ 4 ξ 5 ξ 6 = x x x x x 4 x 5 x 6 = b σ(f, D, Ξ) = f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) +f(ξ 4 )(x 4 x ) + f(ξ 5 )(x 5 x 4 ) + f(ξ 6 )(x 6 x 5 ) 6 = f(ξ i )(x i x i ) i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Jemnější dělení: ξ ξ ξ ξ n = x x x x n x n = b σ(f, D, Ξ) = f(ξ )(x x ) + f(ξ )(x x ) + + f(ξ n )(x n x n ) n = f(ξ i )(x i x i ) i= Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6
Definice (Riemnnův určitý integrál) Necht f je funkce definovná ohrničená n intervlu, b. Funkce f se nzývá (Riemnnovsky) integrovtelná n, b, jestliže pro libovolou posloupnost dělení D, D, D,..., D n,..., pro kterou pltí lim ν(d n) = (tj. norm dělení tedy délky všech děĺıcích intervlů se bĺıží n k nule, pokud n se bĺıží k nekonečnu) pro libovolnou posloupnost Ξ, Ξ, Ξ,..., Ξ n,... příslušných výběrů reprezentntů existuje stejná limit lim σ(f, D n, Ξ n ). n Hodnot této limity se nzývá Riemnnův určitý integrál z funkce f n, b znčí se f(x) dx. Číslo se nzývá dolní mez integrálu číslo b se nzývá horní mez integrálu. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6
Funkce f je tedy Riemnnovsky integrovtelná n, b, pokud se pro stále jemnější dělení (norm dělení se bĺıží nule) ustlují hodnoty integrálních součtů (při libovolném výběru reprezentntů) kolem nějké hodnoty (která se nzývá Riemnnův určitý integrál). Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Pojmy neurčitý určitý integrál je potřeb rozlišovt, kždý vyjdřuje něco jiného: Neurčitý integrál je množin funkcí. Určitý integrál je limit (číslo). Přestože neurčitý určitý integrál vyjdřují kždý něco jiného, uvidíme, že mezi těmito pojmy existuje vzájemný vzth, který umožňuje počítt určitý integrál s využitím neurčitého integrálu. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 8 / 6
Vět (Postčující podmínky pro integrovtelnost) Necht funkce f splňuje lespoň jednu z podmínek: f je spojitá n, b, f je monotonní n, b, f je n intervlu, b ohrničená má zde nějvýše konečný počet bodů nespojitosti. Pk je funkce f n, b integrovtelná, tj. existuje určitý integrál f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 9 / 6
Vlstnosti určitého integrálu Vět (Aditivit homogenit vzhledem k integrndu) Necht f g jsou funkce integrovtelné n, b, c R. Pk funkce f ± g cf jsou tké integrovtelné n, b pltí: [f(x) ± g(x)] dx = cf(x) dx = c f(x) dx ± f(x) dx. g(x) dx, Vět (Aditivit vzhledem k integrčnímu oboru) Necht f je funkce definovná n, b necht c (, b). Pk je funkce f integrovtelná n, b právě tehdy, když je integrovtelná n kždém z intervlů, c c, b pltí: f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Vět Necht f g jsou funkce integrovtelné n, b necht f(x) g(x) pro x, b. Pk f(x) dx Z předchozí věty vyplývá, že pokud g(x), pk tedy integrál z nezáporné funkce je nezáporný. g(x) dx. g(x) dx, Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Výpočet určitého integrálu Vět (Newton - Leibnizov formule) Necht f je funkce integrovtelná n, b necht F je primitivní funkce k funkci f spojitá n, b. Pk f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Předchozí vět říká, že pro výpočet určitého integrálu z funkce f n, b stčí njít primitivní funkci F k funkci f, spočítt rozdíl hodnot F (b) F (). Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x = + 9 + ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld [ x x dx = ] = = 9. sin x dx = [ cos x ] π = cos π + cos =. x dx = ( x) dx + x dx = ] [ x + [ x ] = + 9 + = 5. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v = x v = x Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v = x v = x [ x = ] ln x x x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x = 4 ln ln v [ = x x v = x = x dx ] ln x x x dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln x dx = ln Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln = ln [ 4 ] x dx = ln Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht funkce u, v mjí spojité derivce n, b. Pk pltí: u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx. Příkld x ln x dx = u = ln x u = x v [ = x x v = x = ] ln x x x dx [ ] x = 4 ln ln x dx = ln = ln [ 4 ] = ln 4. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Vět (Substituční metod pro určitý integrál) Necht f je funkce spojitá n, b necht funkce ϕ má spojitou derivci ϕ n α, β. Dále předpokládejme, že ϕ(x) b pro x α, β. Pk β α f[ϕ(x)]ϕ (x) dx = ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. Vzorec v předchozí větě lze použít zlev doprv (. substituční metod) nebo zprv dolev (. substituční metod). V některých konkrétních přípdech se může stát, že dolní mez vyjde po trnsformci větší nebo rovn horní mezi. Z tohoto důvodu zvádíme následující rozšíření: Rozšíření Symbol f(x) dx lze rozšířit i n přípdy, kdy b tkto: f(x) dx =, f(x) dx = b f(x) dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6
Při výpočtu určitého integrálu s použitím substituční metody máme dvě možnosti: S použitím předchozí věty trnsformujeme nejenom funkci le tké meze integrálu poté plikujeme Newton-Leibnizovu formuli s těmito novými mezemi přímo n primitivní funkci k trnsformovné funkci (tj. do primitivní funkce již původní proměnnou zpět nedoszujeme). Předchozí větu nepoužijeme, njdeme neurčitý integrál (tedy po substituci se vrátíme zpět k původní proměnné) poté plikujeme Newton-Leibnizovu formuli s původními mezemi. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = t dt Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π = sin π sin Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Příkld Vypočtětě sin x cos x dx. S použitím trnsformce mezí: t = sin x sin x cos x dx = dt = cos x dx t = sin = t = sin π = = [ t t dt = ] =. Bez trnsformce mezí: sin x cos x dx = t = sin x dt = cos x dx = t dt = t = sin x + c. Tedy [ sin sin x x cos x dx = ] π = sin π sin =. Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 7 / 6
Geometrické plikce určitého integrálu Obsh plochy pod křivkou mezi dvěm křivkmi Necht f je nezáporná spojitá funkce n, b. Obsh S rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmi x = x = b je roven: S = f(x) dx Necht f g jsou spojité funkce necht f(x) g(x) pro x, b. Obsh S rovinné množiny ogrničené grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x = x = b je roven: S = [f(x) g(x)] dx (Znménk funkcí f g jsou libovolná.) Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 8 / 6
Objem rotčního těles I Necht f je nezáporná spojitá funkce n, b. Objem V těles, které vznikne rotcí rovinné množiny ohrničené grfem funkce y = f(x), osou x přímkmu x = x = b kolem osy x je roven: V = π f (x) dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 9 / 6
Objem rotčního těles II Necht f g jsou nezáporné spojité funkce necht f(x) g(x) pro x, b. Objem V těles, které vznikne rotcí rovinné množiny ohrničené grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x = x = b kolem osy x je roven: V = π [ f (x) g (x) ] dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Uvedených vzorců lze využít i k výpočtu ploch nebo objemů rotčních těles jiných tvrů, to tk, že dnou rovinnou plochu rozděĺıme n několik ploch, které již budou tvru poždovného ve výše uvedených vzorcích. Všechny tyto dílčí plochy (objemy) spočteme pk sečteme. S = S + S = c [f(x) h(x)] dx + c [g(x) h(x)] dx Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld (Objem kužele) Odvod te vzorec pro výpočet objemu kužele s poloměrem podstvy r výškou v. Řešení: Kužel získáme, pokud necháme kolem osy x rotovt trojúhelník viz obrázek: V = π v ( r v x ) dx = πr v v x dx = πr v [ x ] v = πr v v = πr v Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Příkld (Objem koule) Odvod te vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r. Řešení: Rovnice kružnice o poloměru r středem v počátku je x + y = r. Horní půlkružnice je grfem funkce y = r x, dolní půlkružnice je grfem funkce y = r x. Kouli získáme, pokud necháme rotovt půlkruh kolem osy x. Pro výpočet je pohodlnější necht rotovt pouze čtvrtkruh kolem osy x. Tím získáme objem poloviny koule výsledek vynásobíme dvěm. r V = π = π r (r x ) dx = π [r x x ] r = π r (r r (r x ) dx ) = 4πr Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví / 6
Fyzikální plikce určitého integrálu Necht hmotná rovinná oblst je ohrničen grfy funkcí y = f(x), y = g(x) přímkmi x =, x = b, přičemž g(x) f(x) n, b. Předpokládejme, že oblst má kostntní plošnou hustotu ρ. Pk pro následující veličiny pltí: Hmotnost oblsti: Sttické momenty k osám x, y: Těžiště: m = ρ [f(x) g(x)] dx S x = ρ [ f (x) g (x) ] dx, S y = ρ x [f(x) g(x)] dx T = [ ] Sy m, Sx m Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 4 / 6
Příkld (Těžiště) Vypočtěte souřdnice těžište trojúhelník s vrcholy [, ], [, ], [, ]. Předpokádáme, že plošná hustot ρ je konstntní. Hmotnost trojúhelník: [ ] x m = ρ x dx = ρ = ρ 9 = ρ Sttické momenty: S x = ρ 4 9 x dx = [ ] x 9 ρ = 9 ρ 9 = ρ S y = ρ Těžiště: T = S y m =, x x dx = ρ x dx = ρ [ x T = S x m = = T = [, ] ] = ρ 9 = 6ρ Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 5 / 6
Využití systémů počítčové lgebry Využití systémů Sge, Mxim, Wolfrm Alph: http://user.mendelu.cz/mrik/kdemie/integrlni-pocet.html Geometrické plikce Mtemtické výpočty online (MAW): http://um.mendelu.cz/mw-html/index.php?lng=cs&form=geom Simon Fišnrová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 6 / 6