NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Bylo uvedeno, že rozdíl F (b) F () funkčních hodnot primitivní funkce k f má jistý geometrický smysl, to velikost plochy mezi osou x grfem f n intervlu (, b) (pro nezápornou spojitou funkci). Později se ukáže, že má tento rozdíl mnoho jiných plikcí pro zjišt ování globální hodnoty pomocí součtu mličkých nekonstntních hodnot. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu: Ploch pod první částí grfu funkce se bere s kldným znménkem, ploch nd druhou částí se záporným. Získá se celková elektrická náročnost. Proto je pro počítání ploch podobných záležitostí vhodná následující definice, kde se n rozdíl od geometrické interpretce nepředpokládá, že f je spojitá nezáporná. 1
Definice je vhodná pro integrci funkcí, které mjí primitivní funkci. Tím jsou vynechány jednoduché funkce typu signum, monotónní funkce se skoky pod. V dlší kpitole bude proto uveden znčně obecnějsí definice. Výpočet těchto obecnějších integrálů bývá le většinou sveden k výpočtu integrálů z této kpitoly (nebo jsou použity nějké triky). Proto je následujícímu speciálnímu integrálu věnován větší pozornost. DEFINICE. DEFINICE URČITÉHO INTEGRÁLU Necht funkce f je definován n intervlu (, b) jsou splněny následující tři podmínky: 1. f má n (, b) primitivní funkci F ; 2. existují lim x + F (x) = F ( + ), lim x b F (x) = F (b ); 3. rozdíl F (b ) F ( + ) má smysl. Pk se rozdíl F (b ) F ( + ) nzývá Newtonův integrál funkce f n (, b). Znčení b F (b ) F ( + ) = (N) f(x) dx, kde se nzývá dolní mez b horní mez integrálu. Rozdíl F (b ) F ( + ) se čsto znčí symbolem [F (x)] b x= nebo jen [F (x)] b, [F ] b,. Dále se formálně definuje b (N) f(x) dx = (N) f(x) dx, pro b >, b c (N) f(x) dx = pro libovolné c. c V této kpitole budou probírány jen Newtonovy integrály, proto bude slovo,,newtonův" písmeno,,n" u integrálu někdy vynecháváno. N rozdíl od neurčitého integrálu z kpitoly o primitivních funkcích se tento integrál nzývá určitý, protože jeho hodnotou není množin funkcí, le jedno určité číslo. Předchozí definice říká, kdy má integrál smysl. Jeho hodnot může být i nevlstní. Pokud je hodnot b f(x) dx vlstní, říká se, že integrál konverguje. Množin všech funkcí, které mjí konvergentní integrál n intervlu (, b), se znčí N(, b). POZOROVÁNÍ. Necht existuje b f(x) dx. 2
Jestliže c < d b, pk existuje d c f(x) dx. Jestliže < c < d < b, pk f N(c, d). Pro kždé c (, b) je Pro kždé x (, b) je b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c d dx x f(t) dt = f(x). Z kpitoly o primitivních funkcí je známo, že kždá spojitá funkce n intervlu tm má primitivní funkci (viz větu o konstrukci primitivní funkce). Následující tvrzení popisuje jednoduché přípdy, kdy nvíc existuje i integrál. VĚTA. (Integrál spojité funkce) 1. Kždá spojitá omezená funkce n omezeném intervlu náleží do N(, b). 2. Kždá spojitá nezáporná funkce f n intervlu (, b) má integrál b f(x) dx ( ten je nezáporný). Důkz. Necht F je primitivní funkce k f n (, b) (t existuje). Zbývá ukázt, že existují limity F v krjních bodech rozdíl těchto limit má smysl. To je zřejmé, pokud je f spojitá n [, b] (pk je i F spojitá n [, b]). Pro důkz prvního tvrzení stčí dokázt, že existuje vlstní lim F (x) (pro bod b je důkz obdobný), což x + znmená, že pro libovolnou posloupnost x n z (, b) klesjící k je posloupnost {F (x n )} cuchyovská. To vyplývá z věty o střední hodnotě: F (x n ) F (x m ) sup{ f(x) ; x (, b)} x n x m. Důkz je též sndný pro druhé tvrzení, nebot F je neklesjící (její derivce je nezáporná) tedy má limity v krjních bodech, což je supremum, resp. infimum, hodnot F tedy i jejich rozdíl má smysl je nezáporný. Nyní bude upřesněn geometrická interpretce z kpitoly o primitivních funkcích. VĚTA. (Newton versus Riemnn) Necht f je spojitá funkce n kompktním intervlu [, b] pro kždé n N je zvoleno nějké rozdělení = x < x 1,n <... < x kn,n = b intervlu [, b] tkové, že délky jednotlivých intervlů nepřeshují 1/n. Pk pro libovolně zvolená čísl c i,n [x i 1,n, x i,n ] je k n b lim f(c i,n )(x i,n x i 1,n ) = f(x) dx. n i=1 Důkz. Necht ε je libovolné kldné číslo. Podle věty o stejnoměrné spojitosti funkce n kompktním intervlu existuje n N tk, že f(x) f(y) < ε jkmile x y < 1/n x, y [, b]. Nyní se vezme libovolné rozdělení = x < x 1,m <... < x km,m = b popsné ve znění věty, které má délky intervlů nejvýše 1/n. 3
V motivčním úvodu bylo ukázáno, že b f(x) dx = k m i=1 f(c i )(x i,m x i 1,m ) pro nějké body c i (x i 1,m, x i,m ) (uvědomte si, že předpokld nezáporné funkce byl v motivci použit jen n geometrické znázornění ploch, nikoli n výpočet sumy). Pltí tedy b f(x) dx k m f(c i,m )(x i,m x i 1,m ) i=1 k m f(c i ) f(c i,m ) (x i,m x i 1,m ) ε(b ). i=1 Příslušné obdélníčky n obrázku odpovídjí k n f(c i,n )(x i,n x i 1,n ). i=1 Pro nespojité funkce nemusí chrkterizce v předchozí větě pltit, le přesto může limit uvedených součtů existovt. Tímto způsobem se dá definovt jiný druh integrálu (tzv Riemnnův, viz Poznámky). Poznámky 1: 1. Uvědomte si, že určitý integrál je číslo (možná závislé n prmetru). kdežto neurčitý integrál je množin funkcí. Tto skutečnost je nznčen slovy,,určitý",,neurčitý". Je zřejmé, že v oznčení integrálu není důležité jk je oznčen proměnná, tj., b f(x) dx = b f(t) dt pod. Pokud nemůže dojít k omylu, může se proměnná vynecht píše se jen b f. Stejně tk nehrje roli, jestli je f definován v krjních bodech nebo ne, pokud no, zd je tm spojitá. 4
V krjních bodech jsou potřeb jen limity. 2. Newtonův integrál b f neexistuje (neboli nemá smysl), jestliže bud f nemá n (, b) primitivní funkcí, nebo tm má primitivní funkci F, le t bud nemá limitu v jednom z krjních bodů, nebo tyto limity existují jejich rozdíl nemá smysl (tj. limity jsou nevlstní se stejnými znménky). Všechny tyto přípdy mohou nstt. U spojité funkce f nemůže nstt první přípd. 3. Vlstnost b f(x) dx = c f(x) dx + b cf(x) dx se nzývá ditivní vlstnost integrálu. Indukcí lze tvrzení dokázt pro konečně mnoho sčítnců (n konečně mnoh disjunktních intervlech pokrývjících (, b) ž n konečně mnoho bodů). 4. Geometrický popis integrálu dává možnost jk definovt plochu nějkých oblstí v rovině, to množin bodů, které se ncházejí mezi osou x grfem funkce. Protože integrál ze záporné funkce je záporné číslo, ploch uvedené množiny je integrál z bsolutní hodnoty dné funkce. Odečítáním lze počítt plochy mezi grfy dvou funkcí. 5. Riemnnův integrál. Necht funkce f je definován n kompktním intervlu [, b]. Jestliže vždy existuje limit součtů ve větě o geometrickém popisu integrálu, nzývá se tto limit Riemnnův integrál funkce f n [, b], znčení (R) b f(x) dx. Uvedené součty se nzývjí Riemnnovy součty. Dokázná vět říká, že pro spojité funkce existují Newtonův i Riemnnův integrál jsou si rovny. Existují všk funkce, které mjí jeden integrál nemjí druhý. Pokud má funkce ob integrály, jsou si rovny. Z definice Riemnnov integrálu je vidět, že ji lze jen výjimečně použít k výpočtu integrálu. Nvíc v této definici vznikjí problémy, pokud f není definován v krjních bodech, nebo je neomezená, nebo celý intervl je neomezený. Proto bude v dlším textu pro výpočet integrálu používán jen Newtonův integrál. Nicméně je dobré mít n pměti přístup k integrálu přes Riemnnovy součty, protože ty dávjí návod, jk integrál používt v plikcích (viz kpitolu o plikcích integrálu). V definici Riemnnov integrálu lze změnit způsob konvergence dostne se velmi obecný integrál, který nezávisle popsli Kurzweil Henstock v letech 1955 7. Známější je Lebesgueův integrál, který je obecnější než Riemnnův speciálnější než Kurzweilův integrál. Existují funkce, které mjí Newtonův integrál nemjí Lebesgueův integrál obráceně. Zmíněné obecné integrály lze sestrojit i pomocí zobecněných primitivních funkcí (viz následující kpitol). Konec poznámek 1. 5
Příkldy 1: 1. Spočtěte pomocí definice: π sin x dx = 2, e x dx = 1, xe x2 dx = 1 2, e x π/2 cos(bx) dx = 2 + b 2 pro >, cos x cos 3 x dx = 4 π/2 3. 2. Pomocí derivce integrálu spočtěte d dx x e t dt, s d dx cos x sin x cos(πt 2 ) dt, lim x + x cos t2 dt x, lim x + x tg t dt tg x. sin t dt Ukžte, že je-li f kldná spojitá funkce n [, + ), je následující funkce proměnné y rostoucí: y xf(x) dx y. f(x) dx 3. Spočtěte plochu mezi grfem funkce x 3 4x osou x n intervlu ( 2, 2) plochu mezi grfy funkcí x 2, 2x 1 n intervlu (, 2). 4. Zkuste spočítt x 2 dx pomocí limity Riemnnových součtů. Konec příkldů 1. Otázky 1: 1. Zjistěte, zd existují Newtonovy integrály z následujících funkcí: 1. sign x n ( 1, 1); 2. cos x x 2 n (, 1); 3. x n (, + ); 4. 1 x2 n ( 1, 1). Existují Riemnnovy integrály z předchozích 4 funkcí, použijeme-li příslušné uzvřené intervly, pokud je to možné? 2. Zjistěte u následujících funkcí, zd existují Newtonův i Riemnnův integrál nebo jen jeden, nebo žádný. 1. Dirichletov funkce n [, 1]; 2. Riemnnov funkce n [, 1]; 3. sign x n [ 1, 2]; 4. f n [, 1], kde f() =, f(x) = ( 1) n pro x (1/n + 1, 1/n], n N; 5. f() =, f(x) = sin(1/x) pro x > n [, 1]. 3. Uved te příkld spojité nezáporné funkce n (, 1), která tm má nevlstní Newtonův integrál. Uved te příkld spojité omezené funkce n (, + ), která tm má nevlstní Newtonův integrál. Uved te příkld spojité neomezené funkce n (, 1), která tm má vlstní Newtonův integrál. 4. Ukžte, že ve větě o existenci integrálu lze předpokld spojitosti funkce nhrdit předpokldem existence primitivní funkce. 5. Zformulujte dokžte tvrzení o ditivitě integrálu pro libovolný konečný počet integrálů. 6. Uved te příkld, že rovnost tvrzení o ditivitě integrálu nepltí, předpokládá-li se pouze, že má prvá strn smysl. 7. Uved te příkld spojité funkce f n (, b), která tm nemá Newtonův integrál, le má vlstní Newtonovy integrály d c f(x) dx pro libovolná c, d (, b). 8. Je-li f lichá f existuje, pk f =. Ukžte, že bez předpokldu o existenci integrálu nemusí tvrzení pltit že nestčí předpokládt, že f má primitivní funkci. 6
Je-li f sudá f existuje, pk f = 2 f. Ukžte, že nestčí předpokládt existence f (stčí, pokud je f vlstní nebo pokud má f primitivní funkci). Konec otázek 1. Cvičení 1: Příkld. Spočtěte Řešení. Pomocí definice spočteme π sin x dx. π sin x dx = [ cos x] π = lim ( cos x) lim x π ( cos x) = 2. x + Tdy se už nikdo nikoho neptá, jk se počítjí limity, pozná spojitost, hledá primitivní funkce sčítjí celá čísl.... SORRY. Příkld. Dokžte, že Riemnnov funkce má Riemnnův integrál n intervlu [, 1]. Řešení. Necht je dáno ε (, 1). Pouze v konečně mnoh "zlobivých" bodech intervlu [, 1] je Riemnnov funkce větší než ε/2. Oznčme si jejich počet k. Zjevně k >. Zvolme n tk mlé, by 2kn < ε/2. Vezměme rozdělení = x < x 1,n <... < x kn,n = 1 intervlu [, 1] tkové, že délky jednotlivých intervlů nepřeshují 1/n. Pk pro libovolně zvolená čísl c i,n [x i 1,n, x i,n ] je lim n k n i=1 f(c i,n )(x i,n x i 1,n ) < ε. PROČ? 7
Jsně. N intervlech neobshujících "zlobivé" body je funkce nejvýš rovn ε/2, to v součtu přes intervl [, 1] dá nejvýš ε/2. N intervlech obshujících "zlobivé" body je funkce nejvýš rovn 1, to v součtu přes mximálně 2k intervlů šířky nejvýš 1/n dá nnejvýš 2kn < ε/2, jk jsme si chytře zřídili. Dokázli jsme, že k ε jsme nšli n tk, že příslušný součet uvžovný v limitě leží v intervlu (, ε). A to je nulová limit jko Brno. A ten integrál je si nulový. Příkld. Oznčme Spočtěte S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n. lim S n. n 8
Řešení. Npíšeme S n = 1 n n k=1 1 1 + k n vidíme, že se jedná o riemnnovský součet příslušný funkci n intervlu [, 1] při dělení n n dílků. Tedy podle věty Newton versus Riemnn pltí lim n S n = 1 f(x) = 1 1 + x 1 1 + x dx = [log(1 + x)]1 = log 2. Tedy, když zdvojnásobíme počet sčítnců v divergentní hrmonické řdě, zvedne se částečný součet si o log 2. Příkld. Spočtěte lim x x cos t2 dt x. Řešení. Funkce v čitteli i jmenovteli splňují předpokldy l Hospitlov prvidl typu /. Můžeme tedy počítt lim x x cos t2 dt x l H = cos x 2 lim x 1 = 1. Nebát se počítt. Příkld. Spočtěte d dx ( x 2 ) 1 + t 2 dt. Řešení. Necht F je primitivní funkce k f. Uvědomme si, že b f(t) dt = [F (t)] b = F (b) F (). 9
Tedy d db ( ) b f(t) dt = f(b). Podobně ϕ(x) f(t) dt = [F (t)] ϕ(x) = F (ϕ(x)) F (). Tedy podle věty o derivování složené funkce ( ) d ϕ(x) f(t) dt = f(ϕ(x))ϕ (x). dx V nšem přípdě Konec cvičení 1. d dx ( x 2 ) 1 + t 2 dt = 1 + x 4 2x. Učení 1: 1 x dx? = x2 2. Hnb!!! 1 x dx C = 1 2? 1
Až n konstntu? sin x dx = ±1. Primitivní funkce tkhle osciluje, le integrál to nedává... rcsin x dx =... 11
Definiční obor již pokořil nejednoho zálesák. Konec učení 1. Definice integrálu dává i návod, jk integrál počítt. VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU Zjistí se primitivní funkce, spočtou se její limity v krjních bodech jejich rozdíl je hledný integrál. Jk je vidět z předchozí kpitoly, čsto je třeb při výpočtu primitivní funkce používt mnoh substitucí pk je nutné se vrcet pomocí inverzních funkcí k původní proměnné těchto substitucí. Nebo při několik použitích integrce po částech se ve výsledku může hromdit mnoho funkcí. Následující vlstnosti určitých integrálů nznčují jiný možný postup, totiž, že není třeb se vrcet při substituci k výchozí proměnné, nebo při integrci po částech lze spoň průběžně doszovt některé hodnoty zkrcovt tím zápis. Který z uvedených dvou postupů je lepší, není možné obecně stnovit. Volb postupu závisí n zkušenosti řešitele. Následující vlstnosti budou uvedeny jen pro přípdy, kdy je Newtonův integrál vlstní. Obecnější přípdy budou zmíněny v Poznámkách. VĚTA. (Vlstnosti Newtonov integrálu) 1. Jestliže f, g N(, b), α, β R, pk αf + βg N(, b) pltí. b b b (αf + βg) = α f + β g 12
2. Necht c (, b). Náleží-li f do N(, c) i do N(c, b) je spojitá v bodě c, pk f N(, b) b c b f = f + f c. 3. Je-li g, h N(, b) h f g n (, b) f má primitivní funkci n (, b), pk f N(, b) b b b h(x) dx f(x) dx g(x) dx. 4. Je-li f N(, b), je b f(x) dx = lim bn n n f(x) dx, kde n b n b lim n =, lim b n = b. 5. Necht F, G jsou primitivní funkce k f, g resp., n (, b). Potom b b F g = [F G] b fg dx, jestliže prvá strn má smysl je vlstní. 6. Necht f má primitivní funkci n svém definičním oboru. Potom b β f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, α je-li jedn strn konečná, kde ϕ má derivci n (α, β), zobrzuje tento intervl do D(f), přičemž ϕ(α + ) =, ϕ(β ) = b. Důkz. 1. Důkz prvního tvrzení proved te smi. 2. Uvedené podmínky znmenjí, že primitivní funkce F 1, F 2 k f n (, c), (c, b) resp., mjí v c vlstní limity. Posunutím npř. F 2 o rozdíl těchto limit dodefinováním příslušné hodnoty v c vznikne primitivní funkce k f n (, b), pokud je f spojitá v c (kde je potřeb spojitost?). Zbytek důkzu je zřejmý. 3. Necht F, G, H jsou primitivní funkce pro f, g, h. Z rovností F (b ) = (G F )(b ) + G(b ) = (F H)(b ) + H(b ) vyplývá, že F (b ) existuje je vlstní (uvědomte si, že funkce G F F H jsou neklesjící). Podobně pro F ( + ). 4. Pro f N(, b) plyne výsledek přímo z definice Newtonov integrálu. 5. Necht H je primitivní funkce k fg n (, b). Pk F G H je primitivní funkce k F g n (, b). Zbytek důkzu je zřejmý. 6. Necht F je primitivní funkce k f n D(f). Pk F ϕ je primitivní funkce k (f ϕ)ϕ n α, β. Jestliže má b f(x) dx smysl, plyne rovnost z věty o limitě složené funkce. Pokud existuje β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt, rovná se [F ϕ] β α, což je totéž jko [F ] b. Předchozí vět tvoří zákld pro počítání určitých integrálů, tedy počítání délek, povrchů, objemů všehomír. DŮSLEDEK. Necht funkce f, g jsou definovány n intervlu (, b). 13
1. b f(x) dx, pokud f N(, b), f(x) n (, b); 2. inf f(x) (b ) b f(x) dx sup f(x) (b ), pokud f N(, b) (, b) je omezený; x (,b) x (,b) 3. b f(x) dx b f(x) dx, pokud f, f N(, b). Celkem užitečné odhdy. Poznámky 2: Následující poznámky k jednotlivým vlstnostem uvedeným ve větě se týkjí oslbení předpokldů n existenci místo konvergence n možnost předpokládt smysl jen jedné strny při rovnostech. Vlstnost 1. Existence (nebo i konvergence) integrálu n levé strně nemá vliv n existenci prvé strny. Vezme-li se libovolná funkce f n (, b) zvolí se α = 1, β = 1, g = f, pk integrál n levé strně je roven bez ohledu n existenci f nebo smyslu rozdílu f f. Má-li smysl prvá strn, má smysl i levá strn rovnjí se. Vlstnost 2. Sndno se nleznou příkldy, kdy rovnost nepltí, jestliže prvá strn má smysl, le je nevlstní nebo f není spojitá v c. Důležitost této vlstnosti bude vidět v dlší kpitole, kde bude zobecněn Newtonův integrál. Vlstnost 3. K této vlstnosti lze jen dodt smozřejmý fkt, že existence uvedených integrálů nvzájem nesouvisí musí se předpokládt. Njděte příkld, kdy b h(x) dx =, b g(x) dx = + b f(x) dx neexistuje. Pokud se předpokládá existence b f(x) dx, pk vlstnost 3 pltí i pro nevlstní hodnoty integrálů (nvíc se zřejmým zjednodušením, npř. je-li b h(x) dx = + není pro rovnost b f(x) dx = + nutná funkce g). 14
Vlstnost 4. Tto vlstnost je důležitá nepltí pro některé jiné integrály (npř. pro Riemnnův nebo Lebesgueův integrál). Pltí i opčné tvrzení, tj. jestliže lim bn n n f(x) dx pro libovolná n b n b s vlstností lim n =, lim b n = b, pk existuje b f(x) dx = A. Je-li intervl (, b) omezený, stčí podmínku předpokládt jen pro jednu volbu posloupností { n }, {b n }. Vlstnost 5. Stčí předpokládt smysl prvé strny, nemusí být vlstní. Vlstnost 6. Existují příkldy, kdy f nemá primitivní funkci pro vhodnou funkci ϕ splňující předpokldy konverguje β α f(ϕ(t)ϕ (t) dt. Předpokld existence primitivní funkce pro f je tedy podsttný. Pokud je f definován n větším intervlu I obshujícím (, b) ϕ zobrzuje (α, β) do I, přičemž stále pltí ϕ(α + ) =, ϕ(β ) = b nebo, b prohozené, substituční vět pltí. Pokud se pro výpočet určitého integrálu používá substituce, bývá výhodnější použít substituci pro určitý integrál než pro neurčitý. Jsou jednodušší předpokldy není nutné se vrcet k původní proměnné pomocí inverzní funkce. N to myslete i o půlnoci! Ve třetím tvrzení Důsledku mohou nstt ob přípdy, kdy jeden z uvedených integrálů existuje druhý neexistuje. Musí se tedy předpokládt smysl obou strn. Bývá výhodnější použít integrci po částech pro Newtonův integrál než pro neurčitý integrál to zvláště v přípdech, kdy tímto použitím výpočet nekončí jsou nutné dlší úprvy. 15
Kdo má prxi, ví svoje. Konec poznámek 2. Příkldy 2: 1. Spočtěte integrály (po částech nebo substitucí) 1 π π/2 1 lg x dx, x sin x dx, cos 3 x sin x dx, 1 x 2 1 + x dx, 2. Kde je chyb v následujícím výpočtu pomocí substituce tg x = t π dx 1 + 3 cos 2 x = 1 dt 1 + 3/(1 + t 2 ) 1 + t 2 =? 3. Kde je chyb v následující úprvě π/2 cos x cos 3 x dx = π/2 π/2 π/2 (poslední integrovná funkce je lichá). 4. Vypočtěte Konec příkldů 2. 2 2 + rctg x dx. π/2 cos x(1 cos 2 x) dx = cos x sin x dx =, π/2 cos x 3 11 x dx, x dx, sin 11 x dx. 3 11 Otázky 2: 1. Uved te příkld situce, kdy má smysl c f(x) dx + b c f(x) dx pro nějké c (, b), le integrál b f(x) dx neexistuje. V jkých přípdech tto situce může nstt? 2. Njděte příkld funkce f n (, 1), která je nulová ž n několik bodů, kde má hodnotu 1 příkld rostoucí funkce ϕ zobrzující intervl (, 1) n sebe, která má všude derivci t je rovn nule ve vhodných bodech tk, že f(ϕ(t))ϕ (t) je nulová funkce. 3. Njděte příkldy funkcí f, že existuje pouze jeden z integrálů f, f. Konec otázek 2. Cvičení 2: Zkusíme per prtes pro určitý integrál 16
Příkld. Spočtěte I n = x n e x dx, n. Řešení. Pro n = dostneme přímým výpočtem I = e x dx = [ e x ] = 1. Pro n N počítáme pomocí per prtes I n = + x n e x dx P P = f(x) = x n g(x) = e x f (x) = nx n 1 g (x) = e x P = P x R x R + x n 1 e x dx = ni n 1. P P = [ x n e x ] + + n Dostli jsme rekurentní vzth I n = ni n 1. Tedy mtemtickou indukcí dostneme I n = n!. Hezké. Substituování je hrčk, pokud umíte substituovt. Podíváme se n to. Příkld. Spočtěte 3 2x 3 1 x 2 dx. Řešení. Substituce je zřejmá: 3 2x 3 1 x 2 dx S = = 1 x 2 = t S : 2x dx = dt x (, 3), t (1, 8) [ 3 ] 8 4 t 4 3 = 3 1 4 8 4 3 + 3 4. 8 = S 3 t dt = 1 17
Tímto zápisem ušetříme "vrcení substituce". Je to to smé. Nešlo použít x = sin t? Nešlo, jko zkušený jenom vypdáš. Joke. Příkld. Spočtěte 1 x + x dx. 18
Řešení. Počítáme x + x dx 1 x = sin t S = S : dx = cos t dt = S x ( 1, ), t ( π/2, π) π = (sin t + sin t ) cos t dt = (sin t sin t) cos t dt + π/2 π/2 π/2 π + (sin t + sin t) cos t dt + (sin t + sin t) cos t dt = π/2 = + 1 1 =. Všimněte si, že jsme zbytečně integrovli přes intervl [ π/2, π] místo [ π/2, ]. Tím jsme použili hodnoty integrovné funkce v intervlu [, π], který nemá co do činění se zdným integrálem. Jeho vliv se ukázl nulový (1-1=). N intervlu [, π/2] jsme si něco nhrbli, le n [π/2, π] jsme to museli vrátit. To je život. To se u substituce v Newtonově integrálu smí. Jenom musíme mít zručeno, že funkce f, která se integruje je k dispozici pro integrování všude tm, km se dostne t substituce. Konec cvičení 2. Učení 2: 19
t dt =. Do- 1 log x 1 x dx = S [log x = t] = S vedu. Nedovedu. Konec učení 2. EXISTENCE A KONVERGENCE URČITÉHO INTEGRÁLU Jk bylo uvedeno n zčátku kpitoly, rozlišuje se podobně jko u řd existence konvergence integrálu. Podobně se též zvádí bsolutní konvergence; oproti řdám se přidává podmínk existence primitivní funkce, by příslušné výrzy měly vůbec smysl: DEFINICE. Newtonův integrál b f(x) dx konverguje bsolutně, jestliže f má n (, b) primitivní funkci f N(, b), konverguje nebsolutně, jestliže f N(, b), f / N(, b). POZNÁMKA. Stejně jko u řd lze i v tomto přípdě očekávt, že bsolutně konvergentní integrál konverguje. VĚTA. (Absolutní konvergence) Absolutně konvergentní integrál je konvergentní. Důkz. Necht F, G jsou primitivní funkce k f, f resp., n (, b) necht b f(x) dx konverguje. Protože f + f 2 f f + f má primitivní funkci F + G, která je neklesjící, existuje b (f(x) + f(x) ) dx podle vlstnosti (3) tento integrál konverguje. Použitím vlstnosti (1) se dostne konvergence integrálu b f(x) dx. Opk nepltí. 2
Pltí pro nezáporné funkce, smozřejmě. VĚTA. (Kritéri konvergence) 1. Je-li f omezená spojitá n omezeném intervlu (, b), konverguje integrál b f(x) dx bsolutně. 2. Srovnávcí kritérium: Necht funkce f je spojitá n (, b) f g n (, b). Jestliže g N(, b) pk i f N(, b). 3. Necht funkce f, g, g jsou spojité g je nvíc monotónní n [, b). Dirichletovo kritérium: Jestliže f má omezenou primitivní funkci n (, b) N(, b). Abelovo kritérium: Jestliže f N(, b) g je omezená, pk f g N(, b). 4. Integrální kritérium konvergence řd: lim x b g(x) =, pk fg Necht f je spojitá nerostoucí n [k, ). Pk f N(k, + ) právě když n=k f(n) konverguje. Důkz. 1. Důkz plyne z věty o Newtonově integrálu spojité funkce. 2. Konvergence b f(x) dx plyne z existence (viz věty o Newtonově integrálu spojité funkce) z vlstnosti (3). 3. Jsou splněny předpokldy pro použití integrce per prtes: b b f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x) dx. Bod nečiní potíže. Protože je g monotónní omezená, má v b vlstní limitu. V přípdě Dirichletov kritéri je F omezená lim x b g(x) = tedy lim x b F (x)g(x) =. V přípdě Abelov kritéri existuje vlstní lim x b F (x) tedy i lim x b F (x)g(x). Zbývá ukázt konvergenci b F (x)g (x) dx. V obou přípdech je F omezená tedy F g K g n [, b). Protože g je monotónní, nemění g znménko b g (x) dx konverguje právě když konverguje b g (x) dx. Poslední integrál se ovšem rovná lim g(x) g(). x b 4. Podle tvrzení druhého důsledku, je pro kždé přirozené n > k n n+1 n f(n) f(x) dx f(n + 1). i=k k i=k Z těchto nerovností plyne výsledek limitováním všech výrzů pro n. 21
N st je způsobů konvergence, kritéri si musíme pečlivě volit. Následující důsledky (první je důsledkem srovnávcího kritéri, druhý Abelov kritéri) uvádějí ekvivlence pro konvergenci integrálů. DŮSLEDEK. 1. (nelimitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b). Jestliže existují kldná čísl K, L tk, že n [, b) pltí Kf(x) g(x) Lf(x), pk f N(, b) právě když g N(, b). f(x) 2. (limitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b). Jestliže lim x b g(x) právě když g N(, b). (, ), pk f N(, b) Ještě je tu "symetrická verze" Abelov kritéri. DŮSLEDEK. Necht n [, b) jsou funkce f, g, g, h, h spojité g(x)/h(x) konverguje pro x b monotónně k nenulovému vlstnímu číslu. Pk pk fg N(, b) právě když fh N(, b). Poznámky 3: 22
Pro zjištění konvergence integrálu b f pro funkci f spojitou n (, b) je vhodný následující postup : 1. Jestliže jsou body, b vlstní f v nich má vlstní limity, b f konverguje podle prvního tvrzení věty. 2. Pokud nenstne přípd v 1, rozdělí se (je-li to nutné) (, b) nějkým vnitřním bodem n dv intervly, by pouze jeden z krjních bodů nových intervlů byl šptný, tj. bud to byl nevlstní bod nebo vlstní integrovná funkce v něm neměl vlstní limitu. Necht je dobrý bod b šptný.. Jestliže f nemění o b zlev znménko, je vhodné se snžit použít srovnávcí kritérium, npř. srovnt f s (x b) p. b. Jestliže f mění u b zlev nekonečněkrát znménko, je vhodné použít Dirichletovo nebo Abelovo kritérium. Je nutné si uvědomit, že srovnávcí kritérium Abelovo kritérium mjí (viz Důsledky) formulce s ekvivlencí to není u Dirichletov kritéri. Integrální kritérium se spíše používá pro zjištění konvergence řdy pomocí známé konvergence integrálu. Konec poznámek 3. Příkldy 3: 1. Funkce e x2 má n (, + ) jediný šptný bod, to +. U tohoto bodu je funkce kldná. Ke srovnání se použije nerovnost e x2 e x pro x 1, tkže lze z funkci g ze srovnávcího kritéri zvolit g(x) = { e x 2, pro x 1; e x, pro x 1. 23
2. V integrálu + (x + x 4 ) 1/3 dx se intervl (, + ) rozdělí npř. bodem 1. V intervlu (, 1) je šptný bod, kde funkce nemění znménko v Důsledku srovnávcího kritéri lze z g volit x 1/3 tto funkce má n (, 1) konvergentní integrál. V intervlu (1, + ) je šptným bodem nevlstní bod, u kterého funkce nemění znménko v Důsledku srovnávcího kritéri lze z g volit x 4/3 tto funkce má n (1, + ) konvergentní integrál. Podle ditivní vlstnosti integrálu je i původní integrál konvergentní. 3. V integrálu + sin x x dx je šptná jedině horní mez u ní funkce stále mění znménko. Použije se Dirichletovo kritérium. Z funkci f se vezme sin x, která má omezenou primitivní funkci cos x. Z funkci g se vezme 1/x, která monotónně konverguje k v +. Výsledkem je konvergence původního integrálu. 4. Zjistěte, pro jké prmetry (reálná čísl α, β,...) konvergují integrály π 1 cos x x α dx, + + x α rctg β sin x x dx, x α dx. 5. Ukžte, že integrál + e x x p 1 dx konverguje pro p >. 6. Ukžte, že integrál + x β rctg(αx) dx konverguje pro α = nebo β ( 2, 1). 7. Podle integrálního kritéri ověřte pro která p konvergují řdy n p, 1/(n lg p n). Nezpomínejte ověřit podmínky kritéri (monotónnost!). Konec příkldů 3. Otázky 3: 1. Dokžte podrobně ob důsledky srovnávcího Abelov kritéri. 2. Njděte příkld, že integrální kritérium nepltí, vynechá-li se v předpokldech podmínk monotónnosti funkce f. Mně to někdy vynechává různé věci. Konec otázek 3. 24
Cvičení 3: Budeme zkoumt konvergenci integrálů. Příkld. Zjistěte konvergenci 1 1 + x 3 dx. Řešení. Integrovná funkce f je spojitá n intervlu [, ). Tím je zručen existence primitivní funkce F n [, ) existence konečné hodnoty F (+). Zbývá zjistit existenci konečnost F ( ). Budeme zkoumt konvergenci integrálu pomocí srovnávcího kritéri n [1, ). Zvolíme g(x) = 1 x3. Funkce g je spojitá n intervlu [1, ). Tím je zručen existence primitivní funkce G n [1, ). Spočteme Tedy g N(1, ). 1 1 x 3 dx = [ ] 1 2x 2 1 Funkce f g jsou n okolí obě nezáporné. Spočítáme limitu lim x f(x) g(x) = lim x 1 1+x 3 1 x 3 = ( 1 2 ) = 1 2. = lim x x 3 l H = 1. 1 + x 3 Pomocí limitní verze srovnávcího kritéri f N(1, ) právě když g N(1, ). Tedy f N(1, ) existuje konečná limit F ( ). Tedy f N(, ). Bylo předem vidět, že funkce se chová u nekonečn jko 1/x 3 o té je známo, že její integrál u nekonečn konverguje. Místo počítání limity f/g stčilo udělt odhd f g. 25
Já bych tu f prostě zintegrovl (mám moře čsu). Celkově to bylo moc upovídné. Stčí říct, že u nuly je to spojité u nekonečn se to chová jko konvergentní 1/x 3. A si n požádání npst... Existuje velice užitečná škál funkcí, se kterými neznámé funkce srovnáváme: U nekonečn nezlobí velké exponenty: U nuly nezlobí mlé exponenty: α > 1 1 xα N(1, ). α < 1 1 xα N(, 1). 26
Funkce 1/x zlobí všude: Funkce 1/x 2 zlobí u nuly: Funkce 1/ x zlobí u nekonečn: 27
Funkce logritmus exponenciál jsou hodné, (pokud nemusí jink zlobit). Podíváme se n bsolutní konvergenci. Absolutní tref... Příkld. Zjistěte, pro které hodnoty prmetru α konverguje (bsolutně) integrál π sin x x α dx. 28
Řešení. Funkce f(x) = sin x α x n intervlu [π, ) spojitá, oznčme si její primitivní funkci F. Bude nás zjímt chování f F u nekonečn. Budeme zkoumt 3 přípdy: PŘÍPAD 1: Pro α > 1 máme triviální odhd f(x) 1 x α bsolutní konvergenci hledného integrálu podle srovnávcího kritéri (pro α > 1 je 1/x α N(π, )). PŘÍPAD 2: Pro α máme odhd F ((n + 1)π) F (nπ) = = (n+1)π nπ (n+1)π nπ sin x x α sin x x α dx = (n+1)π dx sin x dx = 2. nπ Tedy funkce F nemá konečnou limitu v nekonečnu integrál nekonverguje. Of topic : Má F nevlstní limitu? PŘÍPAD 3: Pro α (, 1] je funkce f rovn součinu dvou činitelů: První činitel je sin x má omezenou primitivní funkci n [π, ). Druhý činitel je funkce 1/x α, která je n [π, ) spojitá monotónní s limitou. Podle Dirichletov kritéri pro konvergenci integrálu má funkce f konvergentní integrál n [π, ). 29
V přípdě 3 zbývá zkusit, zd je konvergence bsolutní. Oznčme G(x) = x π f(t) dt. Odhdneme G((n + 1)π) G(nπ) = (n+1)π sin x nπ x α dx 1 (n+1)π ((n + 1)π) α sin x dx nπ 2 (n + 1)π. Tedy monotónní funkce G nemá konečnou limitu: G(nπ) 2 ( 1 π 2 + 1 3 + + 1 ) n, pro n. Tedy f N(π, ). Pro α (, 1] integrál z f konverguje n [π, ) nebsolutně. Jde jenom o pozornost zkušenost. Když Dirichletovo kritérium nic neříká, musíme to zkusit jink, nebo oveřit divergenci. 3
Tkhl vypdá funkce pro α = 1. Nebsolutní konvergence. Kopečky se u nekonečn skoro vyrovnávjí: To smé pltí i pro dlší dv obrázky, kde se grf funkce s klesjícím α pěkně "nfukuje". 31
O co vlstně u té bsolutní nebsolutní konvergence jde? Jde o konečnou plochu kopečků, které dělá funkce nd pod osou. Když mjí kldné kopečky konečnou plochu záporné tké, jde o bsolutní konvergenci. Když mjí kldné kopečky nekonečnou plochu záporné tké, jde o nebsolutní konvergenci. 32
Tento obrázek ukzuje hory jezer. Komise měl zjistit, jestli mjí větší objem hory než jezer. Zčl zlev hory bourt zsypávt jezer. V nekonečnu to zjistí... Jestli mjí hory i jezer nekonečný objem, bude záležet n tom, jk jsou hory jezer rozmístěn. Absolutní konvergenci řd jsem úspěšně zpomněl, le tohle mi něco připomíná. V příkldu π sin x x α dx. se pomocí α různým způsobem nfukovly kopečky funkce sinus. Výpočty nebyly jednoduché. 33
Já místo funkce sinus používám šikovné trojúhelníčky, které utíkjí k nekonečnu. Šikovnou volbou velikosti trojúhelníčků sestrojíme funkci, která má (ne)bsolutně konvergentní integrál u nekonečn: Šikovnou volbou velikosti trojúhelníčků sestrojíme funkci, která má (ne)bsolutně konvergentní integrál u nuly nebo nekonečn podle potřeby: Příkld. Zjistěte, zd konverguje (bsolutně) integrál + sin e x dx. 34
Řešení. Integrál převedeme substitucí e x = t n sin t t dt. U nuly jde integrovná funkce spojitě dodefinovt, u nekonečn podle Dirichlet. Tedy nebsolutní konvergence jko minule. Konec cvičení 3. Učení 3: Není nebsolutně nekonvergentní? Ach ty definice... Konec učení 3. 35