ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY OKRUHY S MALÝM POČTEM PRVKŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Michaela Neužilová Učitelství pro základí školy, obor Ma-CH Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 018

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatě s použitím uvedeé literatury a zdrojů iformací. Plzeň, 8. červa 018... vlastoručí podpis

Děkuji vedoucímu mé diplomové práce doc. RNDr. Jaroslavu Horovi, CSc. za odboré vedeí, ceé rady a čas, který mi věoval.

Zde se achází origiál zadáí diplomové práce

Obsah Úvod 6 Historické pozámky o vývoji teorie grup 7 Základí pojmy teorie grup 7 Lagrageova věta 10 Cyklické grupy 10 Grupy prvočíselých řádů 14 Grupy řádu 4 16 Grupy řádu 6 18 Některé grupové kostrukce 0 Koečé komutativí grupy Koečé ekomutativí grupy 7 Základí pojmy teorie okruhů malých řádů 37 Okruhy s cyklickou aditiví grupou 39 Nekomutativí okruhy 43 Nekomutativí okruhy řádu 4 45 Izomorfí okruhy řádu 4 48 Komutativí okruhy řádu 4 50 Závěr okruhů 5 Závěr 54 Resumé 55 Sezam literatury 56 Sezam tabulek 57 5

Úvod Jak již z ázvu vyplývá, tato práce se zaměřuje a okruhy s malým počtem prvků. Diplomová práce zpracovává téma týkající se koečých algebraických struktur (kokrétě okruhů malých řádů, ale je zde obsažeo i téma týkající se grup). Teprve a vysoké školy se studeti v hodiách (semiářích a předáškách) sezamují podrobě s růzými algebraickými strukturami buďto s jedou ebo i se dvěma operacemi. Je jasé, že teorie grup, okruhů a dalších algebraických struktur je budováa od jedodušších po složitější struktury. I z toho plye důležitost koečých struktur malých řádů. Stejě tak je jasé, že tyto struktury slouží studetům k pochopeí a získáí představy o probíraé látce. Zalost těchto příkladů pomáhá studetům získat kokrétí představu o probíraé teorii a zároveň jsou studeti vybavei jedoduchými příklady probíraých struktur. Ty mohou studetům pomoci pochopit defiice a věty, které budou při rozvíjeí teorie ásledovat. Ale je pravdou, že s ěkterými strukturami se mohou setkat již žáci a základí škole, aiž by věděli, že s ěčím takovým pracují. Tato práce avazuje a zalosti, které studeti získají z hodi algebry a shruje základí vlastosti koečých grup malých řádů a koečých okruhů malých řádů. Zároveň se v teorii grup sezámíme s Sylowovými větami, které jsou velmi důležité. Veškeré defiice a věty jsem převzala doslově ebo s mešími úpravami tak, aby odpovídaly pojmům teorie grup a okruhů s malým počtem prvků, ze zdrojů, které jsou uvedey v závěru práce v sezamu použité literatury. 6

Historické pozámky o vývoji teorie grup Prví poděty ke studiu teorie grup jsou z doby, kdy byla itezivě studováa řešitelost obecých algebraických rovic -tého stupě. Mezi prví matematiky, kteří se zabývali studiem grup substitucí (v deší termiologii grupy permutací kořeů), byli Lagrage, Ruffii a Cauchy. Klasické strukturálí věty byly zcela pochopitelě objevey až později. Na jaře roku 187 orský matematik M. L. Sylow publikoval v Matematische Aale čláek, který byl azvaý Theoremes sur les groupes de substitutio, který obsahovala deší Sylowovy věty. Nový důkaz těchto vět alezl v roce 1877 G. Frobeius. Hlaví větu o koečých Abelových grupách, které jsou direktími součty cyklických grup (včetě jedozačých faktorů) dokázali G. Frobeius a L. Stickelberger v roce 1879. Řadu klasických výsledků pak získal i O. Hölder (apříklad čláek Die Gruppe der Orduge p 3, pq, p 4 v Matematische Aale v roce 1893). Velmi dlouhou dobu však byly studováy pouze koečé grupy, aebo alespoň třídy grup s jistou podmíkou koečosti (tzv. koečě geerovaé grupy apod.). Zřejmě prvím, kdo opustil i tyto podmíky a otevřel studium ekoečých grup v plé obecosti, byl O. J. Schmidt, což byl zakladatel ruské školy teorie grup (kiha Abstraktí teorie grup, Kyjev 1916). Základí pojmy teorie grup Defiice 1 Algebraickou strukturu (M, ) azýváme grupou právě tehdy, když je tato struktura asociativí, má jedotkový prvek a k jakémukoli prvku z M existuje v M iverzí prvek. Defiice Algebraickou strukturu G 1 (M 1, 1) azýváme podgrupou grupy G (M, ) právě tehdy, když M1 M,1 M, kde 1 ozačuje jedotkový prvek grupy G, a dále (, ) a bm1 a 1b M1, 1 a M 1. (Začíme G1 G). 7

Věta o charakterizaci podgrupy Mějme grupu G (M, ) a M1 M, potom G 1 (M 1, 1) je podgrupou G právě tehdy, když: a) k M : k M 1 1 1 k, k M : k k M b) 1 1 1 1 1 Je zámo, že obě tyto podmíky lze spojit do jedé, a to: k, k M : k k M. 1 1 1 1 1 1 Defiice 3 Nechť H je podgrupou grupy G, k G. Potom možiu kh kh, h H (respektive Hk hk, h H ) azveme levou (respektive pravou) třídou grupy G podle podgrupy H, která je určeá prvkem k. Příklad 1 Máme grupu G shodostí v roviě reprodukujících rovostraý trojúhelík ABC (to zameá G I O1 O O3 H,,,,R,R,. Podgrupu H ozačme jako rotaci I, R, R,. Utvořme všechy levé třídy grupy G podle podgrupy H. Řešeí: Máme IH RH I, R, R O1 H O1, O, O3 R, R, I OH O, O1, O3 R H R, I, R O H O, O, O 3 3 1 Ukazuje se, že každé dvě levé (respektive pravé) třídy se buď rovají, ebo jsou disjuktí. Vzikl ám tedy rozklad možiy I, O 1, O, O 3,R,R a třídy. To platí obecě. Věta 1 Pro každé dvě levé třídy grupy G podle podgrupy H platí, že se buď rovají, ebo jsou disjuktí. 8

Důkaz Mějme dvě třídy kh, lh, které ejsou disjuktí. Existuje tedy prvek a, který má vlastost akh lh. Dále mějme y kh, který je libovolý. Je y kh pro jistý h H, obdobě i a kh1 lh 1 1 1 1 pro jisté prvky h1, h H. Dále také máme k lh h h l h h h lh, to zameá, že kh lh. Podobým způsobem se ukáže ikluze kh lh, proto tedy platí kh lh. Důkaz obdobé věty o pravých třídách je aalogický, proto ho ebudeme rozebírat. Ještě si všiměme, že pokud h H, potom hh H. Podgrupa H představuje jedu z levých (respektive pravých) tříd grupy G podle H. Věta Mohutost možiy R všech avzájem růzých levých tříd grupy G podle podgrupy H je rova mohutosti možiy S všech avzájem růzých pravých tříd grupy G podle podgrupy H. Důkaz Defiujme zobrazeí R Stak, že pro každé g G položíme ( gh) 1 Hg. Pro prvky r, s G platí rovost rh sh právě tehdy, když 1 s r H, eboli právě tehdy, když 1 1 1 s ( r ) H, a tedy právě když Hr Hs 1 1. To zameá, že je opravdu korektě defiovaé zobrazeí, ale také to, že je ijekce. Protože je zřejmě projektiví, tak je věta dokázáa. Defiice 4 Mohutost možiy všech růzých levých (popřípadě pravých) tříd grupy G podle podgrupy H je azýváa jako idex podgrupy H v grupě G a je začea G Z Z5 Z10. Defiice 5 Je-li G: H 0 o ekoečý idex v G., řekeme, že H je koečého idexu v G. V opačém případě jde 9

Defiice 6 Zobrazeí : H G azveme homomorfismem grup ( H, ), ( G, ) právě tehdy, když platí: ( r, sh) : ( r s) ( r) ( s). Defiice 7 Pokud je :( H, ) (G, ) homomorfismem grup a je-li zároveň bijekce, potom zobrazeí azýváme izomorfismus a říkáme, že grupa ( H, ) je izomorfí s grupou ( G, ). (Píšeme H G). Lagrageova věta Lagrageova 1 věta přesě a jasě vymezuje řády podgrup, které jsou možé. Věta 3 Je-li H podgrupou koečé grupy G, potom platí, že o( G) o( H ) G : H o (G) a oh ( ) začí řád grupy G a H.. Přičemž Důsledek Lagrageovy věty Buď G koečá grupa, g ϵ G. Potom og ( ) dělí o (G), což zameá, že řád prvku g dělí řád grupy G. Cyklické grupy Defiice 8 Mějme M jako podmožiu grupy G. Průik všech podgrup grupy G, které obsahují možiu M, azveme podgrupou geerovaou možiou M a ozačíme ji {M}. Pokud M G, potom M azveme možiou geerátorů grupy G. Grupu G, která je geerovaá možiou g azýváme cyklická grupa. Píšeme G g. 1 Joseph-Louis Lagrage (původím jméem Giuseppe Lodovico Lagragia) byl fracouzský matematik a astroom (ovšem italského původu). Zasloužil se o výzamé rozviutí matematické aalýzy, teorie čísel, klasické a ebeské mechaiky. 10

Věta 4 Nechť M je podmožia grupy G. Je-li M, potom M e (to zameá, že eprázdá možia geeruje triviálí podgrupu). Je-li ale M, potom e1 e e M m1 m m ; mi M, ei Z, i 1,,, N. (Neprázdá možia geerátorů M ageeruje tedy možiu slov koečé délky tvořeých celočíselými mociami prvků možiy M. Důkaz V prví části je {M}průik všech podgrup, které obsahují, to zameá, že je to průik všech podgrup grupy G. Je tedy zřejmé, že je teto průik jedotkovou podgrupou ( e, ). e1 e Ve druhé části ozačíme H m1 m ; mi M, ei Z, N. Nechť A je podgrupa grupy G, která obsahuje možiu M, pak A utě musí obsahovat možiu slov H, tz. H A a také H M tak by platilo M. Pokud bychom ještě dokázali ikluzi H M, H a bylo by vše vyřešeo. Samotá možia M je ale podmožiou možiy slov H (smíme psát ʺslovaʺ mi délky l s expoetem l, ukažme, že možia H s operací je podgrupou grupy G. mi M ). Dále také e1 e e Jsou-li k f1 f f x m1 m m k a y m l 1 m m l dva prvky z H, potom 1 fl fl y ml m1 1 e1 ek fl f1, a x y m m m m, což je také prvek možiy H, 1 k l 1 to zameá slovo koečé délky utvořeé z moci prvků možiy M s celočíselými expoety. Je tedy H grupa, která obsahuje možiu M, proto H obsahuje {M}, H M Tím je důkaz rovosti H M hotový.. Z věty plye, že se tedy jedá o grupy, které jsou tvořeé celočíselými mociami geerátoru g. Lemma 1 Nechť G je grupa, x G. Potom 1 1 ( x ) ( x ) pro každé přirozeé číslo. Prvek 1 ( x ) budeme začit x. 11

Důkaz Platí 1 1 ( ) ( ) x x x x e. Proto 1 1 ( x ) ( x ) podle věty o iverzím prvku. Věta 5 Nechť a je cyklická grupa. Potom všechy celočíselé mociy prvku a jsou avzájem růzé a cyklická grupa takové, že bude platit a a, a,, a e m. a je ekoečá, aebo existuje přirozeé číslo. A přitom platí m a e právě tehdy, když Příklad V možiě komplexích čísel řešte rovici 4 x 1. Ukažte, že možia všech kořeů této rovice spolu s operací ásobeí komplexích čísel tvoří cyklickou grupu. 4 Řešeí: Tato rovice ( x 1) má v možiě komplexích čísel právě 4 kořey (1, -1, i, -i). Dostaeme tedy čtyřprvkovou grupu. 1 i -1 -i 1 1 i -1 -i i i -1 -i 1-1 -1 -i 1 i -i -i 1 i -1 Z této tabulky sado zjistíme, že jde o grupu cyklickou, protože geerátory jsou i (respektive i). Například i 1 i, i 1, i 3 i, i 4 1. Tato cyklická grupa obsahuje také kromě evlastích podgrup i cyklickou podgrupu řádu, geerovaou prvkem -1. 1

Věta 6 Nechť a je koečá cyklická grupa řádu. Potom m a a právě tehdy, když platí ( m, ) 1. (Pro připomeutí symbolem ( m, ) 1 je ozačová ejvětší společý dělitel čísel m), Příklad 3 Určete počet geerátorů cyklické grupy a řádu 10. Řešeí: V možiě čísel 1,,3, 4,5,6,7,8,9,10 jsou čtyři čísla, která ejsou soudělá s číslem 10 (tz. že jejich ejvětší společý dělitel je 1). Jsou to čísla 1, 3, 7, 9. Je (10) 4 a geerátory grupy a jsou v tomto případě prvky 3 7 9 a, a, a, a. Dále si ještě povšiměme, jak vypadá podgrupa grupy a geerovaá kupříkladu prvkem a. To zameá a a 4 4 6 8 a a, a, a, a, e, a 3 a 6, a 4 a 8, 5 10 a a e. Z toho vidíme, že je cyklická podgrupa řádu 5 grupy a. Stejým způsobem můžeme dále zjistit, že a 5 a 5, a 10 e je také cyklickou podgrupou řádu grupy a. Tvrzeí 1) Každá podgrupa cyklické grupy je také cyklická. ) Pokud je a koečá cyklická grupa řádu a d přirozeé číslo, které dělí, d m, potom a obsahuje jedu jediou podgrupu řádu d, a to m a. Z tohoto tvrzeí tedy vyplývá, že koečá cyklická grupa a řádu má právě tolik rozlišých podgrup, kolik přirozeých dělitelů má číslo. 13

Grupy prvočíselých řádů Věta 7 Každá grupa prvočíselého řádu je cyklická. Důkaz Buď G grupa prvočíselého řádu p a g 1 její libovolý prvek. Podle důsledku Lagrageovy věty dělí řád prvku g prvočíslo p, a tedy řád prvku g je rove p (protože p je prvočíslo a je tedy dělitelé pouze jedičkou a samo sebou). Potom ovšem platí g G. Věta 8 řádu. Grupa G emá žádé vlastí podgrupy právě tehdy, pokud je grupou prvočíselého Důkaz Mějme G (grupa prvočíselého řádu) a 1H G echť je podgrupou grupy G. Dále buď 1 h H G h H, libovolý prvek. Dle důkazu předchozí věty platí, že takže je tedy zřejmé, že G H. Grupa tedy emá vlastí podgrupy. Tím je dokázáo, že má-li grupa prvočíselý řád, emá vlastí podgrupy, jde tedy o implikaci. Teď zbývá dokázat implikaci, tedy to, že z eexistece vlastích podgrup vyplývá prvočíselost grupy. Nechť tedy G emá žádé vlastí podgrupy. Je-li 1g G libovolý prvek, je tedy g G a G je cyklická. Vzhledem k tomu, že ekoečá cyklická grupa má dokoce ekoečě moho vlastích podgrup, musí tedy být G koečou cyklickou grupou. Kdyby byl řád grupy G složeým číslem a d by byl vlastí dělitel og ( ), obsahovala by grupa G vlastí podgrupu g d. Z toho plye, že je tedy cyklickou grupou prvočíselého řádu. Tím jsme dokázali celou ekvivaleci a důkaz věty je tedy hotov. Defiice 9 Podgrupu G1 ( M1, ) grupy G( M, ) azveme ormálí podgrupou, pokud ( )( ) 1 u M v M1 u v u M1. (Začíme G1 G). 14

POZNÁMKA: Každá podgrupa komutativí grupy je ormálí podgrupou. 1 a G jsou vždy ormálí podgrupy grupy G. Je- li G: H, potom je H G. Defiice 10 Grupu G azveme jedoduchou grupou, pokud emá vlastí ormálí podgrupy. V teorii grup mají jedoduché grupy velmi důležitou roli. Z předchozích vět a defiic je jasé, že jsme získali popis všech grup řádů, 3, 5, 7, 11, 13. Pro lepší představu je vhodé uvést ěkteré operačí tabulky. G 1 u 1 1 u u u 1 Tabulka 1: Cyklická grupa řádu H 1 u u 1 1 u u u u u 1 u u 1 u Tabulka : Cyklická grupa řádu 3 I 1 u u u 3 u 4 1 1 u u u 3 u 4 u u u u 3 u 4 1 u u u 3 u 4 1 u u 3 u 3 u 4 1 u u u 4 u 4 1 u u u 3 Tabulka 3: Cyklická grupa řádu 5 15

Prví tabulka představuje prvočíselou cyklickou grupu G řádu dva, druhá tabulka představuje prvočíselou cyklickou grupu H řádu tři a třetí tabulka představuje prvočíselou cyklickou grupu I řádu pět. Z těchto tabulek lze vyčíst ěkteré vlastosti popisovaé struktury. Na prví pohled je jasé, že struktury jsou komutativí, protože tabulky jsou souměré podle diagoály. Dále jsou také ekvivaletí, že prvky ozačeé jako 1, jsou opravdu jedotkové prvky, pro k které platí vždy předpis u 1, kde k je řád prvočíselé cyklické grupy. I v jiém začeí lze velmi jedoduše rozlišit, který prvek je jedotkový (eutrálí) a to tak, že v řádku (popřípadě sloupci), v jehož záhlaví je teto prvek, se reprodukuje celé záhlaví tabulky. Další cyklické grupy prvočíselých řádů už ebudeme popisovat tabulkou, protože tyto tabulky jsou aalogické s uvedeými a kostruují se zcela stejým způsobem, liší se pouze počtu řádků podle toho, o jakou grupu se jedá. Dále také proto, že tyto tabulky už by byly velmi obsáhlé. Grupy řádu 4 Při studiu grup řádu 4 a později řádu 8 využijeme ásledující lemma. Lemma Buď G taková grupa, ve které pro každý prvek u platí (komutativí) grupa. u 1, potom G je Abelova Důkaz Nechť u, v jsou dva libovolé prvky z G. Je 1 ( uv) uvuv, vyásobíme-li prvkem vu zleva, dostaeme rovost vu vuuvuv. Vzhledem k tomu, že u 1, dostáváme vu v1 vuv, jedička je eutrálí prvek, a tedy vu vvuv a jelikož víme, že v 1, dostaeme rovost vu uv a komutativost je ověřea. Grupy řádu 4 lze rozdělit do dvou skupi a to podle toho, se kterou ze dvou základích grup jsou izomorfí. 16

H 1 u u u 3 1 1 u u u 3 u u u u 3 1 u u u 3 1 u Prví skupiu tvoří grupy, ve kterých existuje prvek řádu čtyři. Tyto grupy jsou cyklické grupy řádu 4 a lze je popsat touto operačí tabulkou. Jsou tedy izomorfí s grupou H. u 3 u 3 1 u u G 1 u v uv 1 1 u v uv u u 1 uv v v v uv 1 u uv uv v u 1 Pokud grupa G eobsahuje prvek řádu čtyři, potom podle důsledku Lagrageovy věty mají všechy ejedotkové prvky řád dva a podle lemmatu je G komutativí. Ozačíme-li u, v dva ejedotkové prvky z G, u uv v, potom v G musí platit u v 1, vu. Tyto relace ám dovolují apsat operačí tabulku. Touto Cayleyho tabulkou je dáa tzv. Kleiova čtyřgrupa. Díky předpokladu, že v G eexistuje prvek řádu 4, je jasé, že tato grupa eí izomorfí se čtyřprvkovou cyklickou grupou. Až a izomorfismus tedy existují dvě grupy řádu 4. 17

Grupy řádu 6 K teorii grup řádu šest budeme přistupovat podobě jako u grup řádu čtyři. I 1 u u u 3 u 4 u 5 1 1 u u u 3 u 4 u 5 u u u u 3 u 4 u 5 1 u u u 3 u 4 u 5 1 u u 3 u 3 u 4 u 5 1 u u Existuje cyklická grupa I řádu šest a grupy s í izomorfí. Z její operačí tabulky opět můžeme vyčíst její vlastosti. A tato tabulka ukazuje její kostrukci. u 4 u 4 u 5 1 u u u 3 u 5 u 5 1 u u u 3 u 4 Je-li G ecyklická grupa řádu šest, potom podle důsledku Lagrageovy věty mají její ejedotkové prvky řád dva ebo tři. Nejprve si ukážeme, že v G musí existovat prvek řádu tři. V opačém případě by v G existovaly pouze ejedotkové prvky řádu dva, apříklad u v. Potom vy ale G musela utě obsahovat Kleiovu čtyřgrupu H, což ale podle Lagrageovy věty eí možé. V G tedy musí existovat prvek u 1 takový, že platí 3 u 1. Kromě prvků ahlédeme, že také proto tedy možosti Kdyby totiž eplatilo ke sporu, protože 1, u, u v musí ještě G obsahovat další prvek w a sado w 1. Připomeňme si, že v grupě platí záko kráceí zleva i zprava, w w, w uw i w u w vedou ke sporu s tím, že w 1, u i u. w 1, potom by řád prvku w byl tři, a tedy 3 w uw 1 x a také možost w 3 w 1. Ale w u vede 3 u vede ke sporu 1 w u w y. Platí tedy w 1. Podobě lze dokázat rovosti x y 1. Určíme si ještě, čemu je rove prvek wu. Možosti wu 1 w, wu u, Kdyby uw wu, potom po vyásobeí prvkem u wuw 1 yx x xy x y wu u i wu w uw zleva dostaeme, což je spor. Musí tedy platit vedou ihed ke sporu. wu u w y. Nyí můžeme apsat operačí tabulku této grupy (po provedeí ěkolika pomocých výpočtů). 18

G 1 u v w x y 1 1 u v w x y u u v 1 x y w v v 1 u y w x w w y x 1 v u x x w y u 1 v y y x w v u 1 Z operačí tabulky je vidět, že jde o ekomutativí algebraickou strukturu. Zbývá pouze ověřit, zda jde o grupu. Toto ověřeí lze provést bezprostředě a základě operačí tabulky, ale apříklad ověřeí asociativosti je (vzhledem k řádu grupy) poměrě áročé. Vidíme ale, že zobrazeí defiovaé: (1) Id, (u) (13), (v) (13), (w) (1), (x) (3), (y) (13) je izomorfismem G a S 3, kde S 3 je symetrická grupa stupě tři. Defiice 11 Symetrickou grupou stupě rozumíme možiu všech permutací možiy M 1,,3,, společě s operací skládáí permutací defiovaou jako: ( i) ( ( i)), kde i 1,,3,,. 1 1 Využíváme zámého pozatku, že skládáí zobrazeí a speciálě permutací je asociativí. Díky tomu eí uté ověřovat asociativost pro všechy trojice prvků, což by dalo začou práci. Tím získáváme teto závěr: Každá grupa řádu šest je tedy izomorfí buďto s cyklickou grupou řádu šest, abo se symetrickou grupou řádu šest. 19

Některé grupové kostrukce Je zřejmé, že s rostoucím řádem vzrůstají i potíže s kostrukcí grup. V ásledující defiici je uvede způsob, jak lze z meších grup vytvářet větší. Defiice 1 Mějme grupy A, B. Možia G všech uspořádaých dvojic ( ab,, ) a A, b B, spolu s biárí operací ( a1,b 1) ( a,b ) ( a1a,b 1 b ) je opět grupou, kterou azveme vější direktí souči grup A, B a začíme ji AB G. POZNÁMKA: Teto pojem můžeme sado zobecit a koečý počet grup A1, A, A3,, A. K pojmu direktího součiu lze dojít ještě i jiým způsobem. Připomeňme se, že spojeím A B dvou podgrup A a B grupy G rozumíme ejmeší podgrupu grupy G obsahující A i B, to zameá A B A B G A B AB BA, BA ab, a A, b B. Je-li buď A G., aebo B G, potom Defiice 13 Mějme dvě ormálí podgrupy A, B grupy G. Pokud AB G a AB 1, řekeme, že G je vitřím direktím součiem grup A, B, a začíme ho AB G. Lemma 3 Grupa G je direktím součiem svých podgrup A, B právě tehdy, když platí: (( a A,b B):ab ba) a libovolý prvek g G lze apsat jedozačě až a pořadí ve tvaru g ab, a A,b B. Neí potřeba rozlišovat mezi vitřím a vějším direktím součiem, což dokážeme velice sado: Mějme dvě grupy A, B a G A B je jejich direktí souči. Ozačíme-li A ( a,1), a A, je zobrazeí (a) (a,1) izomorfismem A a A, podobě i B B. Rovost ( a,1)(1, b) (a, b) (1, b)(a,1) ukazuje, že G je vitřím direktím součiem svých podgrup A, B a je-li G vějším direktím součiem svých podgrup A, B, a je-li G 0

vějším direktím součiem svých grup A, B, potom G G (zobrazeí ( a, b) ab, přitom A A a B B). Věta 9 Direktí souči dvou grup esoudělých řádů m, je cyklickou grupou řádu m. Důkaz Buď A a cyklická grupa řádu m a B b cyklická grupa řádu. Potom G A B obsahuje prvky tvaru, 0 s, a tedy o( G) m. Nyí x y ab, 0 r m m m m ukažme, že prvek ab má v G řád m. Je tedy ( ab) a b 1. Kdyby pro jisté t bylo t mt mt mt ( ab) 1, potom by bylo 1 ( ab) a b, takže /mt a vzhledem k ( m, ) 1 /t. Aalogicky se ukáže, že m/t, a tedy m, / t. Čísla m, jsou však esoudělá, a proto m, m. Řád prvku ab v G je proto tedy m a G ab. 1

Koečé komutativí grupy Defiice 14 Abelova grupa G, která emá prvky ekoečého řádu, se azývá periodická (eboli torzí) grupa. Věta10 Nechť G je libovolá Abelova grupa. Potom možia 0 G g G, o( g) p, N, kde p je prvočíslo, je podgrupou grupy G. p Důkaz r s Mějme a, b G, dále echť o( a) p, o(b) p, r s. Potom i 1 og ( ) p r a ab G p pr pr pr, protože ab a b 1 r, proto tedy o( ab) p. 1 g G p, protože Defiice 16 Koečá grupa řádu p, N, kde p je prvočíslo, je azýváa p-grupou. Věta 11 kompoet. Každá grupa, která je periodická, je direktím součiem svých p-primárích Věta 1 Nechť G je Abelova grupa a x je její prvek maximálího řádu cyklická grupa x direktím součiem v G, to zameá že k p. Potom je G x A. (Fakt, že x je k prvek maximálího řádu v G zameá, že pro všecha g G platí, že o( g) p.) Věta 13 Každá koečá Abelova p-grupa je direktím součiem grup cyklických.

Důkaz Mějme cyklickou grupu G řádu p. Buď G grupa řádu p, >1, a předpokládejme, že každá Abelova p-grupa řádu mešího ež p již je direktím součiem cyklických grup. Je-li x G prvek maximálího řádu v G, potom je G x A. Ovšem ale A je podle idukčího předpokladu direktím součiem cyklických grup, což tedy zameá, že je důkaz dokoče. Věta 14 Je-li G koečá Abelova p-grupa a je-li G direktím součiem cyklických grup G Z Z Z Z m1 m m3 m p p p p, potom jsou čísla 1 3 jedozačě. m, m, m,, m určea grupou G Nechť G je koečá Abelova grupa. Užitím vět 11 a 13 zajistíme existeci direktího rozkladu, přičemž řády cyklických direktích čiitelů jsou určey grupou jedozačě (podle věty 14). Tyto řády cyklických direktích čiitelů azveme ivariaty grupy G. Dvě koečé Abelovy grupy jsou izomorfí právě tehdy, když mají stejé soustavy ivariatů. Ke každé soustavě ivariatů existuje určitá koečá komutativí grupa, jejíž soustava ivariatů se rová předem daé soustavě ivariatů. Postup pro alezeí všech komutativích grup řádu : m1 m m a) Je-li p r 1 p p r zápis čísla v kaoickém tvaru, je G podle věty 11 direktím součiem svých p i -primárích kompoet G, i 1,,3,,r. Potom řád pi kompoety G pi je jistě p, kde i 1,,3,,r. m i i b) Dle věty 13 je každá grupa G pi direktím součiem cyklických grup řádů mi 1, m, m i i 3,, mi s i i i i p p p p, kde mi m 1 i m i m 3 i m si i, kde i 1,,3,,r Pro alezeí všech možých direktích rozkladů kompoety alézt všecha vyjádřeí čísla, si G pi je tedy uté m i ve tvaru součtu ěkolika sčítaců z N. N. (Připouštíme i součet o jedom sčítaci m i 1 m.) i c) K evetuálímu zjedodušeí direktího rozkladu grupy G využijeme větu 11. Teď již můžeme sado popsat komutativí grupy eprvočíselých řádů. 3

Příklad 4 4 : možé součty jsou, 1+1 možé ivariaty: a) b) 1 1, G1 Z Z G Z4 Dostaeme grupy, který už jsme sestrojili v předchozím textu. V případě a) jde o Kleiovu čtyřgrupu, v případě b) jde o cyklickou grupu řádu čtyři. Příklad 5 6 : možé ivariaty: a) 1 1,3, G6 Z Z3 Z6 dle věty 9. Existuje pouze jediá komutativí grupa řádu šest, a to cyklická grupy. Příklad 6 8: možé součty: 3,3 111 1 možé ivariaty: a) b) c) 3 1, 1 1 1,, a) Dostaeme cyklickou grupu řádu 8. b) Těmito ivariaty je určea grupa G Z4 Z. Nechť je prví cyklická grupa 4 geerovaá prvkem u, u 1, druhá prvkem v, v 1,uv G 1 u u u 3 v uv u v u 3 v 1 1 u u u 3 v uv u v u 3 v u u u u 3 1 uv u v u 3 v v u 3 u 3 1 u u u 3 v v uv u v v v uv u v u 3 v 1 u u u 3 uv uv u v u 3 v v uv u u 3 1 u v u v u 3 v v uv u u 3 1 u u 3 v u 3 v v uv u v u 3 1 u u vu. 4

c ) Takto je určeá grupa H ZZ Z. Prví grupa je geerovaá prvkem u, druhá v a třetí w a platí u v w, uv vu, uw wu, vw wv. H 1 u v w uv uw vw uvw 1 1 u v w uv uw vw uvw u u 1 uv uw v w uvw vw v v uw 1 vw u uvw w uw w w uw vw 1 uvw u v uv uv uv v u uvw 1 vw uw w uw uw w uvw u vw 1 uv v vw vw uvw w v uw uv 1 u uvw uvw vw uw uv w v u 1 Příklad 7 9 : možé ivariaty: a) b) 3 1 1 3,3 a) Tímto způsobem je určea cyklická grupa řádu 9. b) Dostaeme grupu G Z3 Z3. Nechť je prví cyklická grupa geerovaá prvkem u a druhá prvkem v. Nutě musí platit, vzhledem k řádu grupy: jedoduché sestrojit operačí tabulku této grupy. u v 3 3 G 1 u u v v uv u v uv u v 1 1 u u v v uv u v uv u v u u u 1 uv uv u v v u v v u u 1 u u v u v v uv v uv v v uv u v v 1 uv u v u u v v uv u v 1 v u u uv u v uv uv u v v uv u u v v u 1 u v u v v uv u v u v uv 1 u uv uv u v v u uv u 1 u v v u v u v v uv u u v 1 u v uv 1. Je tedy poměrě 5

Příklad 8 10 : možé ivariaty: a) 1 1,5 G Z Z5 Z10 Existuje pouze jeda komutativí grupa řádu 10, a to cyklická grupa. Příklad 9 1 : možé ivariaty: a) b) 1,3 1 1 1,,3 a) Tím získáme G Z4 Z3 Z 1, což zameá, že jde o cyklickou grupu řádu 1. b) Tímto způsobem získáme grupu H Z Z Z3. Také platí, že Z Z3 Z6 a tedy H Z Z6. Defiující relaci můžeme zapsat takto: u v 1, uv vu. 6 H 1 u v v v 3 v 4 v 5 uv uv uv 3 uv 4 uv 5 1 1 u v v v 3 v 4 v 5 uv uv uv 3 uv 4 uv 5 u u 1 uv uv uv 3 uv 4 uv 5 v v v 3 v 4 v 5 v v uv v v 3 v 4 v 5 1 uv uv 3 uv 4 uv 5 u v v uv v 3 v 4 v 5 1 v uv 3 uv 4 uv 5 u uv v 3 v 3 uv 3 v 4 v 5 1 v v uv 4 uv 5 u uv uv v 4 v 4 uv 4 v 5 1 v v v 3 uv 5 u uv uv uv 3 v 5 v 5 uv 5 1 v v v 3 v 4 u uv uv uv 3 uv 4 uv uv v uv uv 3 uv 4 uv 5 u v v 3 v 4 v 5 1 uv uv v uv 3 uv 4 uv 5 u uv v 3 v 4 v 5 1 v uv 3 uv 3 v 3 uv 4 uv 5 u uv uv v 4 v 5 1 v v uv 4 uv 4 v 4 uv 5 u uv uv uv 3 v 5 1 v v v 3 uv 5 uv 5 v 5 u uv uv uv 3 uv 4 1 v v v 3 v 4 6

Příklad 10 14 : možé ivariaty: a) 1 1,7 Tímto způsobem získáme grupu H Z Z7 Z14, což zameá, že jde o cyklickou grupu řádu 14. (Operačí tabulku ebudeme sestrojovat, protože by byla velmi obsáhlá.) Příklad 11 15: možé ivariaty: a) 1 1 3,5 Tímto způsobem získáme grupu H Z3 Z5 Z15, a stejě jako v předchozím příkladu se jedá o jediou grupu, a to cyklickou grupu řádu 15. Těmito příklady jsme dokázali popsat všechy komutativí grupy řádu, pro 15. Koečé ekomutativí grupy V této části se budeme věovat ekomutativím grupám řádu 8 a 9. Osmiprvková ekomutativí grupa G esmí obsahovat prvek řádu 8 (protože by se z í stala grupa komutativí), ale ai esmí mít ejedotkové prvky řádu. Grupa G tedy obsahuje prvek řádu 4, ozačíme ho apříklad u. Potom tedy grupa U u je cyklickou grupou řádu 4, tedy G: U. Je velmi dobře zámé, že platí ásledující tvrzeí: Mějme podgrupu H grupy G takovou, že G: H, potom H G. Proto tedy U G a faktor-grupa G/ U je řádu. Nechť vgje takový prvek, že v U, potom platí, že vu v U U, a proto Tím jsme ukázali, že v u, v v 1. Pokud by bylo v U. U. V úvahu připadají ásledující možosti v v u, v u, 3 u, potom by grupa v byla cyklickou grupou řádu 8, která by obsahovala prvky v, u, uv, u, u v, u 3, u 3 v, 1, což by byl spor. Pokud by bylo v u 3, potom by zase v byla cyklickou grupou řádu 8, která by obsahovala prvky v, u 3, u 3 v, u, u v, u 3, u, uv, 1. Zůstaly tedy pouze dvě možosti, a to v u a v 1. 7

Přičemž avíc platí U G, proto tedy 1 v uv 1 vede ke sporu uv 1 v uv v, u 1 a vztah pádem byla komutativí grupou. Nakoec z u 1, to zameá možost, a to u v 1 3 v uv u. v, U. Opět mohou astat čtyři možosti, ale 1 v uv u zameá, že uv vu a G by tím 1 1 1 v uv u máme v u v v uv v uv u 1 u 1, což vede opět ke sporu. Zbyla tedy pouze jeda jediá Tím se dá ukázat, že mohou existovat dvě ekomutativí grupy řádu 8, které jsou zadaé relacemi: a) b) u v 1, uv u 4 4 u 1, v u, v uv u 3 1 3 a) V tomto případě si převedeme zápisy typu vu, 1,,3 a tvar r s uv. Dále je v v 1, vuv 3 u, vu 3 u v a 3 3 3 vu vu u u vu u u v u v, 3 vu uv. 1 u u u 3 v uv u v u 3 v 1 1 u u u 3 v uv u v u 3 v u u u u 3 1 uv u v u 3 v v u u u 3 1 u u v u 3 v v uv u 3 u 3 1 u u u 3 v v uv u v v v u 3 v u v uv 1 u 3 u u uv uv v u 3 v u v u 1 u 3 u u v u v uv v u 3 v u u 1 u 3 u 3 v u 3 v u v uv v u 3 u u 1 8

b) V tomto případě si sado odvodíme ásledující rovosti vu 3 u v, vu u v, vu Jako prvky grupy H (pokud tedy existuje) jsou prvky 1, u, u, u 3, v, uv, u v, u 3 v. 3 uv. H 1 u u u 3 v uv u v u 3 v 1 1 u u u 3 v uv u v u 3 v u u u u 3 1 uv u v u 3 v v u u u 3 1 u u v u 3 v v uv u 3 u 3 1 u u u 3 v v uv u v v v u 3 v u v uv u u 1 u 3 uv uv v u 3 v u v u 3 u u 1 u v u v uv v u 3 v 1 u 3 u u u 3 v u 3 v u v uv v u 1 u 3 u Opět si můžeme ukázat, že jak v případě a), tak i v případě b) jsme získali ekomutativí grupy. Tyto dvě grupy ejsou izomorfí. Existují dvě eizomorfí ekomutativí grupy řádu 8. Nyí si popíšeme grupu kvaterioů. Existuje i jiá možost jak zadat tuto grupu (kromě tabulky), a to taková, že a možiě 1, 1, a, a,b, b,c, c rozšíříme ásobeí komplexích čísel ještě o pravidla: ca b ac. a b c 1, ab c ba, bc a cb, 9

Q 8 1-1 a -a b -b c -c 1 1-1 a -a b -b c -c -1-1 1 -a a -b b -c c a a -a -1 1 c -c -b b -a -a a 1-1 -c c b -b b b -b -c c -1 1 a -a -b -b b c -c 1-1 -a a c c -c b -b -a a -1 1 -c -c c -b b a -a 1-1 Z tabulky je patré, že tabulka grupy G a tabulka grupy kvaterioů Q 8, že obě tyto grupy jsou izomorfí. Grupa kvaterioů je zajímavá i tím, že se sice jedá o ekomutativí grupu, ale každá její podgrupa je ormálí podgrupou grupy Q 8. Defiice 16 Mějme grupu G. Možia S s G, sg gs g S se azývá cetrum grupy G. Věta 15 Nechť je cetrum z libovolé grupy G komutativí podgrupou grupy G. Potom každá podgrupa cetra grupy G je ormálí podgrupou grupy G. Věta 16 cetra S. Každá koečá p-grupa má etriviálí cetrum, to zameá, že prvočíslo p dělí řád Grupa řádu 9 je tzv. 3-grupa. Cetrum této grupy je podgrupa, a to s ohledem a větu 16 buďto tříprvková, aebo devítiprvková. V druhém případě je však S G, a G je komutativí. Nekomutativí grupa G by musela utě mít tříprvkové cetrum, 3 v 1. Poté také musí existovat u G, ale zároveň u S. Ovšem také u v S, S a prvek u je 30

řádu 3 v G. Dále také platí u v 1, v S, z čehož plye uv vu. Z toho také plye x y možost uvést všechy součiy prvků u, v do tvaru uv, kde 0x a 0 y, takže devítiprvková grupa G obsahuje pouze prvky tohoto tvaru. Ovšem prvek u komutuje s každým prvkem ve tvaru x y uv, z čehož plye, že u S, přičemž dochází ke sporu. Na závěr můžeme kostatovat, že eexistuje žádá ekomutativí grupa řádu 9. Další část věujeme studiu ekomutativích grup řádu pq, kde p, q jsou avzájem růzá prvočísla. Defiice 17 Mějme grupu G řádu se azývá Sylowovská p-grupa grupy G. a pb, kde ( pb, ) 1. Potom každá podgrupa grupy G řádů a p Defiice 18 Nechť G je grupa, g, h G. Prvek h je kojugová prvkem g právě tehdy, když existuje takový prvek k G, že 1 h k gk. Podobě podgrupy H, I grupy G jsou kojugováy v G právě tehdy, když existuje prvek k G takový, že I 1 k Hk. Věta 17 Nechť G je koečou grupou řádu a a p je prvočíslo, které dělí a. Potom G obsahuje sylowovskou p-podgrupu. věty: Pro sestavováí operačích tabulek grup řádu pq je za potřebí využít Sylowovy Prví Sylowova věta Každá p-podgrupa A koečé grupy B je obsažea v ěkteré sylowovské p- podgrupě grupy B. Druhá Sylowova věta Každé dvě sylowovské p-podgrupy koečé grupy B jsou kojugovaé. 31

Třetí Sylowova věta Mějme koečou grupu B a p je prvočíslo, které dělí řádgrupy B. Potom počet všech sylowovských p-podgrup grupy B dělí oba ( ) je rove 1 zp, kde z je ějaké určité záporé číslo. Připomeňme si, že v případě, kdy grupa B obsahuje sylowovskou p-podgrupu P, musí být podle druhé Sylowovy věty kojugováa sama se sebou. Pro každé b B je potom 1 b Pb P a sylowovská p-podgrupa P je v tomto případě ormálí podgrupou grupy B. Nyí si popíšeme grupu řádu 10. Desetiprvková grupa B obsahuje sylowovské 5-podgrupy, kterých je podle třetí Sylowovy věty 1 5, 0,1,, 10. V tomto případě vyhovuje pouze 0, což zameá, že v B existuje jediá sylowovská 5-podgrupa U. Navíc U je ormálí podgrupou grupy B a zároveň a zároveň 1 5 dělí 5 pětiprvkovou cyklickou grupou s geerátorem u. Proto tedy U u, u 1 a U B. Grupa U zároveň obsahuje sylowovské -podgrupy. Těchto podgrup je 1 m, m 0,1, a zároveň 1 mdělí 10. V tomto případě vyhovuje m 0 a m. a) m 0 Grupa B má jediou sylowovskou -podgrupu v, v 1, v B. Podgrupy u a ormálí podgrupy grupy B esoudělých řádů, obě jsou cyklické, což zameá, že B u v je cyklická grupa řádu 10. v jsou b) m Grupa B má pět sylowovských -podgrup. Jedu z ich ozačíme v, v 1. U B, proto 1 v uv U, to zameá, že 1 k v uv u, kde k 1,,3,4,5. Dále také platí, že u v uv v v uvv v u v v uv v 1 1 1 k 1 1, uv v 1 (teto čiitel se k-krát opakuje) == k u, a protože prvek u je řádu 5, dává vyhovují k 1 ebo k 4. Pokud by u při děleí číslem 5 zbytek 1. Této podmíce 1 v uv komutativí grupu. Zbývá ám tedy je možost k 4. u, potom by bylo uv vu a dostali bychom 3

Mějme tedy tyto defiující relace: typu k vu, k 1,,3,4 5 u 1, v 1, 1 4 v uv u. Převedeme si ještě zápisy r s, do tvaru uv. Vyásobíme posledí z defiujících relací prvkem v zleva a dostaeme 4 vu uv. Dále potom: 3 3 5 4 4 4 vu vu u vu u uvu u v 5 4 3 3 3 vu vu u vu u uvu u v 5 4 4 vu vu u vu u uvu u v Opět lze ověřit, že uvedeými defiujícími relacemi 5 u 1, v 1, 1 4 v uv u je opravdu daá grupa. 1 u u u 3 u 4 v uv u v u 3 v u 4 v 1 1 u u u 3 u 4 v uv u v u 3 v u 4 v u u u u 3 u 4 1 uv u v u 3 v u 4 v v u u u 3 u 4 1 u u v u 3 v u 4 v v uv u 3 u 3 u 4 1 u u u 3 v u 4 v v uv u v u 4 u 4 1 u u u 3 u 4 v v uv u v u 3 v v v uv u v u 3 v u 4 v 1 u 4 u 3 u u uv uv v u 4 v u 3 v u v u 1 u 4 u 3 u u v u v uv v u 4 v u 3 v u u 1 u 4 u 3 u 3 v u 3 v u v uv v u 4 v u 3 u u 1 u 4 u 4 v u 4 v u 3 v u v uv v u 4 u 3 u u 1 Existují dvě eizomorfí grupy řádu 10, jeda je ekomutativí a druhá je cyklická. Nyí si popíšeme grupu řádu 14. Grupy, které mají 14 prvků, obsahují sylowovské 7-podgrupy, kterých je 1 7m, a zároveň 1 7m dělí 14. V tomto případě vyhovuje pouze m 0. Existuje tedy jeda jediá sylowovská 7-podgrupa, která je ormálí podgrupou 33

grupy B. Ozačíme ji u, 7 u 1. Grupa B má dále také 1 r V úvahu přicházejí tyto možosti: r 0, aebo r 3. sylowovských -podgrup. a) r 0 V tomto případě existuje jeda jediá sylowovská -podgrupa ormálí podgrupou grupy B. Je tedy patré, že cyklická grupa. v, v 1, která je B u v, což zameá, že B je b) r 3 V tomto případě existuje 7 sylowovských -podgrup. Jeda z ich je v, v 1. Podgrupa v sice eí ormálí podgrupou grupy B, ale u už ao, z toho vyplývá, že 1 k v uv u, kde k je určité přirozeé číslo, k < 8. Stejě jako v případě grupy řádu 10 můžeme odvodit u 1 k u, což zameá, že k 1mod7. Tím dostaeme, že 1 k 6. Prví z možostí vede ke komutativí grupě B. Její defiující relace jsou: v 1, 6 vu 1 6 v uv u. Převedeím zápisu z tvaru uv, vu u v, vu 5 u v, vu 4 3 u v, vu 3 4 x vu do tvaru 6 u v vu u v. 5 k ebo uvzískáme tyto relace: 7 u 1, 34

1 u u u 3 u 4 u 5 u 6 v uv u v u 3 v u 4 v u 5 v u 6 v 1 1 u u u 3 u 4 u 5 u 6 v uv u v u 3 v u 4 v u 5 v u 6 v u u u u 3 u 4 u 5 u 6 1 uv u v u 3 v u 4 v u 5 v u 6 v v u u u 3 u 4 u 5 u 6 1 u u v u 3 v u 4 v u 5 v u 6 v v uv u 3 u 3 u 4 u 5 u 6 1 u u u 3 v u 4 v u 5 v u 6 v v uv u v u 4 u 4 u 5 u 6 1 u u u 3 u 4 v u 5 v u 6 v v uv u v u 3 v u 5 u 5 u 6 1 u u u 3 u 4 u 5 v u 6 v v uv u v u 3 v u 4 v u 6 u 6 1 u u u 3 u 4 u 5 u 6 v v uv u v u 3 v u 4 v u 5 v v v u 6 v u 5 v u 4 v u 3 v u v uv 1 u 6 u 5 u 4 u 3 u u uv uv v u 6 v u 5 v u 4 v u 3 v u v u 1 u 6 u 5 u 4 u 3 u u v u v uv v u 6 v u 5 v u 4 v u 3 v u u 1 u 6 u 5 u 4 u 3 u 3 v u 3 v u v uv v u 6 v u 5 v u 4 v u 3 u u 1 u 6 u 5 u 4 u 4 v u 4 v u 3 v u v uv v u 6 v u 5 v u 4 u 3 u u 1 u 6 u 5 u 5 v u 5 v u 4 v u 3 v u v uv v u 6 v u 5 u 4 u 3 u u 1 u 6 u 6 v u 6 v u 5 v u 4 v u 3 v u v uv v u 6 u 5 u 4 u 3 u u 1 Existují dvě eizomorfí grupy řádu 14, přičemž jeda z ich je cyklická grupa a grupa G, která je určeí relacemi 7 u 1, v 1 a 1 6 v uv u. Na závěr si probereme grupu řádu 15. Grupa řádu 15 obsahuje sylowovskou 5-podgrupu, a to pouze jediou, která je ormálí podgrupou grupy B. To samé platí pro sylowovské 3-podgrupy. Protože (3,5) 1, existuje až a izomorfismus pouze jeda jediá grupa řádu 15, kterou můžeme dostat jako direktí souči cyklických grup řádu 3 a řádu 5. Můžeme tedy kostatovat, že eexistuje žádá ekomutativí grupa řádu 15. Pozameejme ještě, že v obecém případě pro grupy řádu pq, kdy p <q jsou prvočísla, platí tvrzeí: a) Vždy existuje cyklická grupa řádu pq. 35

b) V případě, pokud p dělí q-1, existuje také ekomutativí grupa, která je defiováa p q operacemi u 1, v 1, kogruece q k 1mod q. 1 k v uv u, přičemž číslo k 1 je ějakým řešeím V této části jsme se věovali komutativím a ekomutativím grupám řádů 15. Závěry můžeme shrout do ásledující tabulky: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 Počet grup řádu 1 1 1 1 5 1 1 5 1 1 Komutativí grupy 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 Nekomutativí grupy 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 0 1 0 36

Základí pojmy teorie okruhů malých řádů Defiice 19 Nechť okruh R, je eprázdá možia se dvěma operacemi, pro které platí: a) R je Abelova grupa b) x, y, z R : x y z x y x z c) x, y, z R : x y z x z y z. POZNÁMKA: Pokud je R, okruh, potom Abelova grupa R aditiví grupou okruhu R a R je multiplikativí grupou okruhu R. Defiice 0 Mějme okruh R,, který azveme triviálím okruhem právě tehdy, když má je jede prvek. V opačém případě se teto okruh azývá etriviálí. Defiice 1 Mějme okruh R,, který azveme asociativím okruhem, pokud tuto vlastost má jeho multiplikativí grupou, tedy pokud platí:,, : x y z R x y z x y z. Defiice Mějme okruh R,, který azveme komutativím okruhem, jestliže má tuto vlastost jeho multiplikativí grupou, tedy pokud platí: x, y, R : x y y x. Defiice 3 Pokud je R asociativí okruh, potom multiplikativí grupou je pologrupa a mluvíme o multiplikativí pologrupě okruhu R,. 37

Defiice 4 Prvek a R azveme levým (popřípadě pravým) jedotkovým prvkem okruhu R,, pokud a x x (popřípadě x a x ). Defiice 5 Mějme okruh, R. Dále prvek b R azveme zleva (popřípadě zprava) dělící, pokud zleva (popřípadě zprava) dělí každý prvek multiplikativího grupoidu R. Pokud je každý eulový prvek okruhu R, zleva (popřípadě zprava) dělící, potom R, azveme okruhem s levým (popřípadě pravým) děleím. POZNÁMKA: Nulový prvek je dělící právě tehdy, když R, je triviálím okruhem. Defiice 6 Číslo k N azveme charakteristikou okruhu R,, pokud km 0 pro každé m R a pokud k je ejmeším číslem v N s touto vlastostí. Pokud v N eexistuje takové číslo, potom charakteristikou okruhu rozumíme 0 N0 (v obou případech použijeme začeí char( R ) a také platí, že char( R) R. Defiice 7 Mějme okruh R,. Neprázdou podmožiu A možiy R azveme podokruhem okruhu R, právě tehdy, když A je současě podgrupa aditiví grupy a podgrupou multiplikativího okruhu R. Používáme začeí A R. Defiice 8 Mějme okruhy R, a, A. Zobrazeí : R A azveme homomorfismem okruhů, pokud je zároveň homomorfismus aditivích grup a multiplikativích grupoidů. Což zameá, že x, y R ( x y) ( x) ( y) (x y) (x) (y). 38

Bijektiví homomorfismus okruhů azveme izomorfismem okruhů. Okruhy s cyklickou aditiví grupou Aditiví grupy okruhů jsou abelovské, a jelikož jsou řádu mešího ež 8, jsou všechy cyklické, tedy až a jedu grupu z řádu 4 (jde o tzv. Kleiovu čtyřgrupu V). Proto má smysl teto cyklický případ diskutovat zvlášť. Nejprve uveďme, že každý okruh, jehož aditiví grupa je cyklická, je utě komutativí. Pokud má aditiví grupa okruhu geerátor u, pak každý prvek může být vyjádře ve tvaru u u u u u, kde je celé číslo, a potom pokud je apříklad prvek v 1u a prvek w u, pak v w ( u) ( u) ( ) u ( u) ( u) w v. Všechy okruhy, které si určíme, 1 1 1 budou komutativí, s výjimkou těch, které mají aditiví grupu V. Určováí všech diskutovaých okruhů bude jede problém. Dalším úkolem je však popsat všechy vzájemě izomorfí okruhy. Mějme okruh X řádu, který má cyklickou aditiví grupu C a geerátor x. Dále echť x kx, kde 0 k 1. Celá čísla a k určují okruh jedozačě, protože ( k x)( k x) ( k k ) x ( k k k) x. Obdobě 1 1 1 mějme okruh Y s aditiví grupou 0 l 1. C a geerátorem y, a echť y l y, kde Dále také předpokládejme, že : X Y je izomorfismus, kde platí () x m y. Protože je zobrazeí X a Y, tak musí existovat k 1x X takové, že ( k 1x) y ; což zameá, že y ( k 1x) k1( x) k1m y. Z toho plye, že musí platit km 1 1mod, takže km 1 1 musí být ásobkem čísla. Speciálě, ejvětší společý dělitel (m, ) je rove jedé. Vzhledem k tomu, že je okruhovým homomorfismem, kmy ( kx) ( x ) ( x) ( x) m y m ly, proto (m, ) = 1, můžeme vydělit m a máme k ml km m l mod. Protože mod. Na koec (k, ) dělí k i, proto dělí i ml; ale (m, ) = 1 a proto (k, ) dělí l. Naopak každý dělitel čísel l i, musí utě dělit k. Z toho plye, že ( k, ) ( l, ). 39

Věta 18 Buď X a Y dva izomorfí okruhy s aditiví grupou respektive y, kde x k x a y l y. Potom platí ( k, ) ( l, ). C geerovaou prvky x, Obráceá věta platí také. Jsou-li tedy X a Y dva okruhy, které mají aditiví grupu C a geerátory x, respektive y, kde potom jsou X a Y izomorfí okruhy. x k x a y l y, a pokud ( k, ) ( l, ), Sloučeím těchto tvrzeí získáme utou a postačující podmíku pro to, aby okruhy se stejou aditiví grupou byly izomorfí. Jako důsledek dostaeme počet avzájem růzých okruhů. POZNÁMKA: Existuje tolik růzých (eizomorfích) okruhů, které mají aditiví grupu C, kolik je dělitelů čísla. Každé kladé číslo má dělitele 1 a. Uvažujme, že platí x 1 x x. Pak ( k1x)( kx) ( k1k ) x ( k1k ) x (k1 k ) x, kde (k1 k ) představuje zbytek při děleí čísla kk 1 číslem. Z toho vyplývá, že okruh je izomorfí okruhu Z při zobrazeí k x k. Dále předpokládejme, že x 1 x 0. Potom platí ( k1x)( kx) ( k1k ) x 0, čímž získáváme triviálí okruh Pozameejme, že O, ve které je souči dvou libovolých prvků vždy rove ule. Z je komutativí okruh s jedotkou (pro ), zatímco O ejspíš jedotku emá. Jestli je 1, potom okruh obsahuje pouze samotý ulový prvek a Z a O splývají. Pokud je prvočíslo, jsou 1 a jediými děliteli čísla a proto O jsou jedié možé okruhy s aditiví grupou,3,5,7. C. Tím jsme vyřešili případy, kdy Pokud je 4, potom existují tři dělitelé a tři okruhy. Třetí okruh je dá relací Z a x x (uveďme, že ejvětší společý dělitel (1,4) (3,4), proto tedy x 3x, což dává zovu Z 4 ) a je komutativí, etriviálí a emá jedotkový prvek. Pokud 6, potom existují čtyři okruhy. Dva z ich odpovídají okruhům dříve popsaým, třetí a čtvrtý jsou určey relacemi defiovaý relací dvojic ab,, kde a Z3 a b O x x x a x 3x. Okruh, který je x ztotožíme s Z3 O. Pokud vezmeme možiu uspořádaých. Jestli ozačíme x jako uspořádaou dvojici,1, 40

potom máme,1,1 1, 0,1,1 relací x 3x ám dá Z O3. Obdobě okruh, který je defiovaý, kde 1,1 x. Je tedy zřejmé, že ze čtyř okruhů Z 6, O 6, Z O3 a Z3 O má pouze Z 6 jedotkový prvek. Každé objeveí se triviálího okruhu stačí k vyloučeí takového prvku. Což platí eje pro 6, ale pro jakékoli přirozeé. Věta 19 C je Až a izomorfismus, jediý okruh X, který má jedotkový prvek a aditiví grupu Z. Důkaz Buď x geerátor grupy C, kde x k x, a echť jx je jedotkový prvek. Potom platí, tedy jk 1mod. Proto je ejvětší společý dělitel x ( jx) x jx jkx ( k, ) 1 (1, ) a X Z. Dodatek k větě 18 umožňuje alezeí ásledujících vztahů pro ( ) počet okruhů s aditiví grupou C. Pokud je mociou prvočísla p (apříklad p a ), potom a1 a a ( ) a 1 umožňuje spočítat počet dělitelů čísla. Pokud p i 1 p Kp i je rozklad a1 a a čísla a mociy prvočísel, potom ( ) ( p1 ) ( p ) ( p i i ). Jiak řečeo, je multiplikativí fukce. Opět lze sado určit počet dělitelů čísla. Spojeím obou výsledků v jede získáme ásledující tvrzeí: Věta 0 Až a izomorfismus, počet avzájem růzých okruhů, které mají cyklickou aditiví a1 a a grupu C, kde p i 1 p Kp i, je dáo výrazem ( ) ( a11)(a 1) ( a i 1). Dle věty 19 má pouze jede z těchto okruhů jedotkový prvek. 41

Pro ilustraci uvedeme hodotu ( ) pro ěkolik hodot. 1 3 4 5 6 7 8 9 ( ) 1 3 4 4 3 10 11 1 13 14 15 16 17 18 ( ) 4 6 4 4 5 6 19 0 1 p-prvočíslo ( ) 6 4 8 4

Nekomutativí okruhy V [1] Erickso dokázal ásledující výsledek: Věta 1 Buď přirozeé číslo, > 1. Potom existuje ekomutativí okruh řádu právě tehdy, když je dělitelé čtvercem přirozeého čísla. To zajišťuje existeci ekomutativího okruhu řádu 4. Důkaz Důkaz rozdělíme a tři části. Nejdříve ahlédeme, že pokud je edělitelé čtverem, potom okruh řádu je komutativí. Poté zkostruujeme okruh řádu prvočíslo. A akoec zkostruujeme ekomutativí okruh řádu číslo, k >1. p, kde p je k p, kde k je přirozeé Prví část důkazu plye ze základí věty o koečě geerovaých Abelových grupách. Uvažujme, že je edělitelé čtvercem a echť X je aditiví grupa okruhu řádu. Z toho plye, že X může být reprezetováa jako direktí součet cyklických grup. Protože je X koečá, tak i všechy tyto cyklické grupy jsou koečé. Základí věta ám také umožňuje volit tyto cyklické grupy tak, aby řád každé grupy dělil řád grupy ásledující, což zameá, že X C C 1 C, kde i 1 >1 a 1 i. Teď 1 i, a pokud i >1, potom je dělitelé čtvercem, jestli 1. Tedy i = 1 a X C. Jak jsme už viděli, každý okruh, který má aditiví cyklickou grupu musí být komutativí. Buď p prvočíslo, potom utvořme direktí součet grupy C p opět s C p. Tím získáme aditiví grupu s p prvky. Abychom mohli zkostruovat ekomutativí okruh R s touto aditiví grupou, musíme si zvolit geerátor a grupy (0, a ) geerují R (při aditivím zápisu). C p. Poté uspořádaé dvojice ( a,0) a Nadefiujme si ásobeí těchto uspořádaých dvojic tak, že výsledkem ásobeí x y je vždy levý čiitel x, tedy: ( a,0) ( a, O) ( a,0) (0, a) ( a,0) a také (O, a) (0, a) (0, a) ( a, O) (0, a). 43

Obecě potom ásobeí v R budeme defiovat rozšířeím právě uvedeého s využitím distributivích zákoů, což zameá: kkrát lkrát ( ka, la) ( ra, sa) ( a,0) ( a,0) ( a,0) (0, a) (0, a) (0, a) ( a,0) ( a,0) ( a,0) (0, a) (0, a) (0, a) ( k( r s) a, l( r s) a) rkrát skrát Na druhou strau máme ( ra, sa) ( ka, la) ( r ( k l) a, s( k l) a). Násobeí eí komutativí. Na druhou strau se dá sado ověřit asociativost. R je tedy ekomutativím okruhem, který má řád p. ebo jako Na závěr je možé defiovat ekomutativí okruh řádu kp apříklad jako Zk R, kde R je právě sestrojeý ekomutativí okruh, který má Ok R p prvků. Takto defiovaý okruh je zřejmě ekomutativí, protože obsahuje podokruh, který je izomorfí s R. Jako příklad ekomutativího okruhu řádu p zvolme p. Mějme R, který obsahuje uspořádaé dvojice (0,0), ( u,0), (0, u ) a ( uu, ), kde u je geerátor C. Pro stručost a usaděí ozačíme tyto prvky 0, abca,, získáme tabulky: 0 a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a 0 a a 0 b 0 b b 0 c 0 c c 0 44

Nekomutativí okruhy řádu 4 Jedou jediou ecyklickou komutativí grupou mešího řádu ež je 8 je tzv. Kleiova čtyřgrupa V. To je posledí zbývající případ. Buď R okruh s takovouto aditiví grupou. Získáme ásledující tabulky: 0 u v u v 0 0 u v u v u u 0 u v v v v u v 0 u u v u v v u 0 0 u v u v 0 0 0 0 0 u 0 a 1 v 0 a 3 4 u v 0 a1 a3 a a a 1 a a a 3 4 a a4 a1 a a3 a4 Okruh R defiujeme jedozačě, jestli-že bude zadáa každá z hodot a1, a, a3, a 4. Budeme tedy začit R jako ( a1, a, a3, a 4). Na prví pohled, pokud jsou 4 možosti pro každé a i, máma tady co čiit s 56 případy. Ovšem teto počet se síží použitím asociativího zákoa a zbytek rozdělíme do izomorfích případů. Distributiví záko esíží počet případů, protože R byl kostruová za předpokladu, že teto záko bude platit. 45

POZNÁMKA: Dále budeme pro zápis operací okruhu R používat běžé operace sčítáí a ásobeí. Asociativí záko a( bc) ( ab) c, a, b, c R jistě platí, pokud ěkterý z prvků je 0. Dále také platí-li pro a, b, c u, v a u v,b u, c v, potom ( u v) ( uv) u( uv) v( uv) (distributiví záko), potom ejspíše platí obecě. Například mějme případ, kdy ( uu) v ( vu) v(asociativí záko pro uv, ) ( uu vu) v (distributiví záko) (( u v) u) v (distributiví záko) a proto asociativí záko platí pro u v, u, v v tomto pořadí. Obecý asociativí záko může být ahrazeý ásledujícími osmi podmíkami: uuu u x1 x1 u (1) vuu v x1 x3 u () uuv u x x1 v (3) vuv v x x3 v (4) uvu u x3 x u (5) vvu v x3 x4 u (6) uvv u x4 x v (7) vvv v x4 x4 v (8) Rozeberme si komutativí a ekomutativí případ zvlášť. Nejprve uvažujme, že R je ekomutativí, potom existuje 4434 19 teoretických možostí pro x1, x, x3, x 4, protože zamítáme, aby vu x3 bylo rovo uv. Ovšem pokud x1 v ebo x1 u v, potom je R komutativí z (1). Proto x1 0 ebo x1 u, a obdobě dostaeme z (8), že x4 0 ebo x4 v. Důsledkem toho zbývá už je 43 48 případů. Dále pokud x u v, potom z (3) u( u v) x1v, tedy x1 x x1v. 46

Právě jsme tím dokázali, že x1 0 ebo x1 u. To implikuje x 0 ebo x1 x x, ale oboje esmí platit. (Podrobě: x1 0 x 0; x1 u u x uv, x1 x x, x1 0) Proto platí, že x u v, a obdobě (ze (6) x3 u v. Na závěr, pokud x1 x4 0, potom z (3) a (7) 0 u x x v. Jedím jediým řešeím je tedy x 0. (Jako příklad x u 0 uv 0 x, čím se dostáváme ke sporu.) Zůstalo ám tedy 3131 18 případů. Vziklou situaci můžeme shrout takto: x 1 0 u u x v 0 v x 3 Cokoli z trojice 0, u, v, x 4 ale avzájem růzé Uvažujme tak, že x1 0 a x4 x v ebo x3 v. Potom z () a (3) vyplývá, že ux 0 x3u. Pokud by v, potom bychom dostali okamžitě spor. Zbylé dva možé případy jsou (0,0, uv, ) ebo (0, u,0, v ). Přičemž oba dva dávají okruh. Obdobě, pokud x1 u a x4 0, potom x u ze (7) a x3 získáme dva okruhy, a to okruh ( uv,,0,0) a okruh ( u,0, v,0). Posledích šest případů vychází z toho, že x1 u a x4 u ze (6). Opět v. Rovosti (4) a (5) jsou ásledující: vx x3v a ux3 xu. Pokud položíme x 0, potom se zredukují tyto rovosti a x3v 0 ux3. Proto jediá možost řešeí je x3 0, ale ta emůže ikdy astat, protože R je ekomutativí okruh. Obdobě x3 0 dává spor. Zbývají tedy možosti ( u, u, v, v ) a ( u, v, u, v ), které ám dají okruhy. 47

Izomorfí okruhy řádu 4 Každý okruhový izomorfismus je také zároveň izomorfismem odpovídajících si aditivích grup těchto okruhů. Grupový izomorfismus Kleiovy grupy musí být ve tvaru permutace a tříprvkové možiě u, v, u v w. Jak už je ve zvyku, budeme těchto šest permutací zapisovat do tvaru cyklů: Id (idetita), ( uv, ), ( vw,, ) ( w,u), ( u, v, w ), ( u, w, v ). Uvažujme, že ( x1, x, x3, x 4) je okruhem R řádu 4 a echť je okruhovým izomorfismem R a R. Pak pro každé x i zobrazeí a ( ) pro i 1,,3,4. V tomto okamžiku můžeme určit čtveřice, které dávají charakterizaci okruhu, který je obrazem původího okruhu při shora uvedeém izomorfismu. Například mějme ( wu, ). Potom ( u) w, (v) v a ( w) u. Sestavíme tabulku multiplikativího zobrazeí : (0) (u) (v) ( w) x i (0) (0) (0) (0) (0) (u) (v) ( w) (0) (0) (0) ( x1 ) ( x) x1 x ( ) ( x3) ( x4) x3 x4 ( x1 x3) 4 ( ) ( x x ) ( x1 x x3 x4 ) 48

Po dosazeí odpovídajících sis hodot a po úpravě získáváme: 0 u + v v u 0 0 0 0 0 u + v 0 ( x1 ) ( x) x1 x ( ) ( ) v 0 ( x3) ( x4) x3 x4 ( ) ( ) u 0 ( x1) ( x3) ( x) ( x4) x1 x x3 x4 ( ) ( ) ( ) ( ) Pokud tabulku uspořádáme běžým způsobem, získáme ásledující výsledek: 0 u v u + v 0 0 0 0 0 u 0 ( x1 ) ( x) ( x3) ( x4) ( x) ( x4) x1 x3 ( ) ( ) v 0 ( x3) ( x4) ( x4) x3 ( ) u + v 0 ( x1) ( x) ( x) x1 ( ) Okruh je urče čtveřicí ( ( x1 ) ( x) ( x3) ( x4), ( x) ( x4), ( x3) ( x4), ( x4) ). Uvažujme, že máme okruh R, který bude urče čtveřicí ( u, v, u, v ). Potom za pomoci izomorfismu ( w,u) získáme ( w v w v, v v, w v, v), což zameá, že ( u, v, u, v) (0,0,u,v). Výše uvedeým způsobem lze určit obrazy okruhů při izomorfismech těmito permutacemi: Idetita ( ( x1 ), ( x), ( x3), ( x4)) (, ) uv x4 x3 x x1 (, ) ( ( ), ( ), ( ), ( )) vw x1 x1 x x1 x3 x1 x x3 x4 ( ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )) 49