Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém tříděí (hodot jsou varat zaku) b) př tervalovém tříděí (hodot jsou střed třídcích tervalů) Pro obě varat tříděí určíme () artmetcký průměr, () tpckou hodotu, (3) medá, (4) medál 47 5 3 3 4 7 5 6 6 Ad a) V tabulce je roztříděo = k = = dskrétích hodot. V souboru aměřeých hodot se vsktují pouze hodot,,, 3, 4, 5, 6 (a žádé jé!), každá v patřčém počtu opakováí. k () artmetcký průměr = = =, 8 (jde, až a zaokrouhleí, o přesou = hodotu) () tpcká hodota je varata s mamálí četostí, tj. ˆ = (odpovídající mamálí četost je 47) (3) medáová varata je varata, u které kumulatví relatví četost kp poprvé překročí 5 %. Kumulatví relatví četost v % jsou + 47 + 47 + 5 =, 8 %, = 535, %, = 75, 68 % atd. Hodota 5 % je poprvé překročea u varat, tj. ~ =. (4) medál je varata, která půlí úhr hodot zaku =. Je to ted varata, u íž je poprvé překročea hodota úhru. Tj. + 47 + 5 + 3 3 = 36 (pro varatu je součet je 97). Takže medálem, který půlí úhr hodot, je varata 3. Tpcká hodota, stejě jako medá a medál, jsou přesým hodotam. k = Ad b) V tabulce je roztříděo rověž hodot, tetokrát ovšem lbovolých reálých čísel. Blo vtvořeo k = 7 třídcích tervalů o šířce h =. Tabulka včetě vmezeí tervalů je (apříklad, je více možostí, které ovšem eovlví výsledk)
Vmezeí do,5 (,5,5> 47 (,5,5> 5 (,5 3,5> 3 3 (3,5 4,5> 4 7 (4,5 5,5> 5 6 Více ež 5,5 6 () artmetcký průměr má stejý postup výsledek jako v bodě a). Vzhledem k tomu, že je počítá ze středů tervalů, ejde o přesé číslo, ale pouze o odhad. () tpcká hodota leží uvtř tervalu s mamálí četostí (druhý terval, jeho dolí mez 47 je,5). Staovíme j jako ˆ =,5 + =, 47 5 (3) medá leží v tervalu, jehož kumulatví relatví četost poprvé přesáhe 5 % (druhý terval). Staovíme ho jako ~ 5, 8 =, 5 +, 43 4, 34 = (4) medál leží v tervalu, kde dojde k rozpůleí úhru hodot zaku (tj. opět tam, kde je poprvé překročea hodota polov úhru, tj. ) a jeho hodotu odhademe jako 97 5 48, 5 M =, 5 + =, 5 + =, 5 (prcp jako u medáu, je místo kumulatvích četostí pracujeme s úhr v absolutí ebo relatví podobě, apř. 48, 5 = ). 36 68 97 V tomto případě jsou všech výsledk pouze odhadovaé, ezáme skutečé hodot a vcházíme je z tabulk rozděleí četostí.. Graf kumulatví relatví četost Pro obě varat předchozí úloh zázoríme graf kumulatví relatví četost v %. + 47 + 5 Její hodot vz tabulka (apř. = 75, 68 apod.) kp,8 47 53,5 5 75,68 3 3 87,39 4 7 93,69 5 6 99, 6, Σ Bodové tříděí: Grafem je čára se stupňovtým průběhem. Hodota kumulatví četost se skokově měí v bodech odpovídajících jedotlvým varatám (vz obr. vlevo). Itervalové tříděí: Grafem je eklesající lomeá čára. Bod se vášejí prot horím hracím tervalů (z logk věc se kumulatví četost daého tervalu vztahuje k jeho
horí hrac, kol apř. k jeho středu!). Čáru přpojíme k vodorové ose v horí hrac fktvího tervalu, který předchází prví terval. Příslušý graf vz obrázek vpravo. Graf relatví kumulatví četost v % (a) bodové tříděí (b) tervalové tříděí 3. Artmetcký versus harmocký průměr Jeda tskára vtskla 8 stra rchlostí 3 stra za mutu, druhá vtskla 3 stra rchlostí 5 stra za mutu a třetí 9 stra rchlostí 45 stra za mutu. Vpočítat průměrou rchlost tsku ve straách za mutu ( ) a př výpočtu použít jak artmetcký, tak harmocký průměr. Zadáí s v případě potřeb upravíme. Zadáí uspořádáme do tabulk. Vaham ( ) jsou počt vtštěých stra. 3 8 5 3 45 9 Σ 57 Váh jsou počt vtštěých stra. Váha je ted velča z čtatele průměrovaé velč (poměrého čísla počet stra za mutu). Odpovídajícím průměrem je harmocký průměr 57 57 h = = = 4, 7 (stra za mutu). 8 3 9 4 + + 3 5 45 Pokud bchom hodlal použít artmetcký průměr, musel bchom jako váhu použít velču 8 3 9 ze jmeovatele, tj. dobu tsku v mutách. Tu staovíme jako = 6, = 6, =. Data 3 5 45 opět sestavíme do tabulk, kde váh jsou tetokrát dob tsku. 3 6 5 6 45 Σ 4 57 Artmetcký průměr je = ( 3 6 + 5 6 + 45 ) = = 4, 7 (stra za mutu). 4 4 Všměte s, že oba výsledk jsou stejé. 3
4. Harmocký versus geometrcký průměr Příklad Do určtého oboru studa blo do prvího semestru zapsáo apř. 4 studetů. Úbtk v jedotlvých ročích pětletého studa čl %, %, 4, %, 4,7 % a,9 % aktuálího stavu studetů (pro lepší představu ze 4 studetů zůstalo po prvím ročíku 3, z 3 po druhém ročíku zůstalo 88, z 88 po třetím ročíku 76, atd.). Určt celkový úbtek studetů v % a průměrý úbtek, přpadající a jede ročík studa. Jde o velču zřetězeou v čase (úbtek se vztahuje kol k prví, ale vžd k posledí předcházející hodotě). Hodot úbtků v % je třeba ovšem ejprve převést a bezrozměré růstové koefcet, tj. % úbtek odpovídá koefcetu,8 a podobě získáme hodot,9;,958;,953 a,98. Bezrozměré růstové koefcet zřetězeé v čase průměrujeme geometrckým průměrem a 5 ted g = 5, 8, 9, 958, 953, 98 =, 6449 =, 96 je průměrý koefcet růstu (ve skutečost poklesu) přpadající a jede rok studa. Teto výsledek převedeme a průměrý úbtek v % jako, 96 = 8, 4 %. Číslo pod odmocou představuje koefcet růstu (poklesu) za celou dobu studa. Podobě ted získáme, 6449 = 35, 5 %. O tom, že je to správě, se lehce přesvědčíme. Na koc studa z původího počtu 4 studetů zůstalo 58 studetů a ublo jch 4, což je 35,5 % z původího počtu. Příklad Jstá fakulta má 5 studjích oborů. Z počtu přjatých studetů prví ročík v jedotlvých oborech eabsolvovalo % (tj. 4 studetů z celkového počtu přjatých), % (tj. 5 z celkového počtu přjatých), 4, % (tj. celkového počtu přjatých), 4,7 % (tj. 4 z celkového počtu přjatých) a koečě,9 % (tj. z celkového počtu přjatých). Vpočteme průměrý úbtek v % přpadající a jede obor studa. Tetokrát ejde o data zřetězeá v čase. Vaham je počet studetů, kteří eabsolvoval, tj. velča z čtatele (*studet kteří eabsolvoval/přjatí studet) poměrého čísla. 4 + 5 + + 4 + 5 Použjeme ted harmocký průměr h = = =, 9 %. 4 5 4 4, 354 + + + + 4, 4, 7, 9 Úlohu lze ovšem vřešt po předchozím výpočtu počtu přjatých a jedotlvé obor, tj. 4 = a dále 5, 48, 85 a 53 přjatých studetů. V tomto případě b vaham bl velč, ze jmeovatele průměrovaého poměrého čísla. Použl bchom ted artmetcký průměr 5 = (, +, 5 +, 4 48 +, 47 85 +, 9 53) = =, 9 + 5 + 48 + 85 + 53 436 Vjádřeo v %, opět,9 %. Oběma způsob jsme se ted dopočetl, že průměrý úbtek studetů čl,9 %. 5. Rozklad rovce součtu čtverců odchlek u metod ejmeších čtverců Krtérum ejmeších čtverců je 435. Vberte vše, co je možé a u těchto případů vpočtěte de korelace a) ( ) = = 435 4
b)( ) = = 368 c) ( ) = 6 = d) ( ) = = Krtérum ejmeších čtverců je ( ) a rovce rozkladu součtu čtverců je = ( ) + ( ( ) = ) 435 ad a) 87 = 435 + 435 a de korelace =, 77 87 ad b) součet čtverců odchlek vrovaých hodot závsle proměé kolem průměru b musel být záporý, což eí možé 76 ad c) 6 = 76 + 435 a de korelace =, 537 6 ad d) 436 = + 435 a de korelace =, 48 436 6. Příklad s kovarací Příklad Záme var =,5 var, var( + ) = 35, var( ) = 575. Vpočtěte sdružeé regresí koefcet, korelačí koefcet a určete mamálí a mmálí možou hodotu kovarace pro teto případ. Nejprve vpočteme kovarac var( + ) var( ) = (var + var + cov ) (var + var cov ) = 4cov 35 575 cov = = 5,5 4 var( + ) =,5 var + var + cov =,5 var + cov Dále oba rozptl 35 =,5 var 5,5 var = 7, var = 55 5,5 5,5 oba regresí koefcet b = =, b = =, 3 55 7 a korelačí koefcet r =,,3 =, 46 Kovarace emůže být v absolutí hodotě větší, ež souč směrodatých odchlek (korelačí koefcet emůže v absolutí hodotě přesáhout hodotu jeda) Mamálí možá hodota kovarace je ted 7 55 = 8, 7 ( r = +) Mmálí možá hodota je pro áš případ 7 55 = 8, 7 ( r = ) 5
Příklad Určete rovce sdružeých regresích přímek ve směrcovém tvaru, pokud záte = 6, =, var = 56, var = 78 a dále var( ) = 58. Posledí výraz je uvede, ab blo možo určt kovarac 58 56 78 var( ) = var + var cov, z čehož cov = = Směrce přímek jsou b = =,4 b = =, 54 56 78 Přímk v trasformovaém tvaru Směrcový tvar =,4( 6) = 54,4,4 = 6,54( ) = 93,88,54 Pokud b blo zadáo apř. var( + ) = 58, lšl b se výsledek je kladým zamékem u obou regresích koefcetů (blo b cov = ). 7. Příklad a báz průměrého koefcetu růstu k = Možé tp příkladů, založeé a tom, že př zalost tří velč můžeme čtvrtou dopočítat. Př jakém průměrém měsíčím tempu přírůstku se počátečí hodota k.. daého roku k datu 3.. téhož roku (a) zdvojásobí, (b) klese a polovu = (ebo,5), = a ted (a) k = =, 59 (+5,9 %) ebo (b) k =,5 =, 944 ( 5,6 %). Čemu se rovala počátečí hodota ukazatele k.. daého roku, pokud př průměrém čtvrtletím koefcetu přírůstku,6 abla k 3.. hodot 598 Průměrý koefcet růstu je,6 + =,94 598 598,94 = 4 z toho = = 765, 9 4,94 3. Jaký počet celých plulých let postačí k tomu, ab př průměrém ročím tempu růstu 8 % vzrostla určtá velča (ejméě) o 5 %,8 =, 5 a ted,8 log,5 =, 5 z čehož = = 5, 7 což odpovídá šest log,8 celým dokočeým letům (zvýšeí bude čt 58,7 %), zatímco pět let b estačlo (zvýšeí je 46,9 %) Tto příklad lze dále růzě obměňovat. 8. Složeé de eteztí velč Možství tří stejorodých položek se ve srovávaém období prot základímu změlo takto: + %, 7 % a + %. 6
Verze : Jedotlvá možství ve srovávaém období čla 39,; 46,5 a 3,5. Určete složeý dvduálí de možství a uveďte ho ve stejém tvaru, v jakém jsou uvede ceové změ. Staovíme dvduálí možsteví de, které jsou,;,93 a,. Váh (možství) jsou ze srovávaého období (ted z čtatele deu), použjeme ted harmocký průměr 39, + 46,5 + 3,5 6, I = = =,56 39, 46,5 3,5 + +,,93, Ide uvedeme ve tvaru tempa přírůstku (stejě tak jsou uvede ceové změ), tj. +5,6 %. Verze : Jedotlvá možství v základím období čla 35, 5 a 5. Určete složeý dvduálí de možství a uveďte ho ve tvaru tempa přírůstku. Idvduálí možsteví de vz verze. Váh (možství) jsou ze základího období (ted ze jmeovatele deu), použjeme ted artmetcký průměr, 35 +,93 5 +, 5 6, I = = =,56 35 + 5 + Ide v podobě tempa růstu je ted 5,6 %. 39, Výsledk jsou stejé, protože pro jedotlvé položk platí =, a podobě pro 35 zbývající položk. 9. Složeé de teztí velč Průměrá cea tří stejorodých položek zboží v základím období čla 4 (ce možství jsou ze základího období). Pokud bchom ce srovávaého období vážl možstvím základího období, obdržel bchom průměrou ceu 5,5. Pokud bchom aopak ce základího období vážl možstvím srovávaého období, obdržel bchom průměrou ceu 3,5. Vpočtěte všech možé složeé de, které můžete a uveďte jejch ázv. p p p Máme zadáo p = = 4 = 5,5 = 3, 5 p 5,5 Z toho můžeme vpočítat = =, 65 což je de stálého složeí Lasperesova p 4 tpu p 3,5 a dále = =, 979 což je de struktur, rověž Lasperesova tpu. p 4 Žádé další de určt elze. Teto příklad má řadu varat, které se lší tím, co je kokrétě zadáo. Podle toho se rověž řídí růzý počet deů, které lze podle zadáí vpočítat. 7
. Souhré de Tp : Celková hodota ěkolka položek růzorodého zboží v základím období čla 4 ml. Kč (možství ce jsou ze základího období). Ve srovávaém období se tato hodota oprot základímu období zvýšla o %. Pokud bchom zboží v základím období ocel ceam srovávaého období, získal bchom hodotu 6 ml. Kč. Vpočtěte všech možé souhré de, které můžete a uveďte jejch ázv. Máme zadá hodotový de, a současě p = 4 p =, 4 = 6, 88 a p = 6 p 6,88 Můžeme vpočítat = =, 34, což je Paascheův možsteví de p 6 p p = 6 4 =,83, což je Lasperesův ceový de. Žádé další de elze určt. Pro kotrolu, =,83, 34 (hodotový de je rove souču ceového a možstevího, z chž jede je Lasperesův a druhý Paascheův). Teto příklad má řadu varat, které se lší tím, co je kokrétě zadáo. Podle toho se rověž řídí růzý počet deů, které lze podle zadáí vpočítat. Tp : Hodotový de je rove,5. Fsherův deálí ceový de je rove,3. Paascheův možsteví de je rove,9. Vpočtěte všech možé souhré de, které můžete a uveďte jejch ázv.,5 Určíme Fsherův deálí možsteví de =,947.,3,947 Určíme Lasperesův možsteví de =, 975.,9,5 Určíme Paascheův ceový de =, 8.,975,3 Určíme Lasperesův ceový de =,359.,8 Určl jsme ted všech možé souhré de, které přcházel v úvahu. Kotrola,5 =,3,947 =,359,9 =,975, 8 Teto příklad má řadu varat, které se lší tím, co je kokrétě zadáo. Podle toho se rověž řídí růzý počet deů, které lze podle zadáí vpočítat. 8