Jedoduchá leárí závlot Regreí fuce: ),...,, ( 0 m f Předpolad: Fuce je leárí v parametrech: ) (... ) 0 ( 0 f f m m f 0 ()... f m () regreor 0... m regreí parametr určujeme METODOU NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Regreí fuce je ted fucí m ezámých parametrů 0,,..., m, jejíž hodot muíme alézt ta, a lo plěo rtérum ejmeších čtverců: m ) (. Etrém této fuce ajdeme ta, že ajdeme prví parcálí dervace potupě podle všech m ezámých parametrů, položíme je rov ule a vzlou outavu leárí ormálích rovc řešíme. Pro vhutí e dervováí vužjeme pravdla, defujícího j-tou ormálí rovc jao m j j j j j f f f 0 0 ) ( ) ( ) ( f f ) (, ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 f f ) (, ) 0 ( 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 Přílad: Př ledováí závlot oahu ílov v mléce (v relatvím vjádřeí) () a ojemu produce v 000 l () l zjště áledující údaje, teré jou uvede v taulce: 3,39 3,4 3,4 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,47 3,48 79 74 7 70 69 66 64 6 6 58. Setrojte odový dagram (EXCEL, UNISTAT). Zvolte vhodý tp fuce, určete její rovc a záladě MNČ
Bodový dagram t. ltrů 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 3,38 3,4 3,4 3,44 3,46 3,48 3,5 proceto ílov Leárí regree Výled regree Platý počet pozorováí: 0, 0 Vechá Závle proměá: ílov Koefcet Směrodatá cha t-tatta Výzam. Dolí 95% Horí 95% Kotata 3,7454 0,006 35,7640 0,0000 3,708 3,7699 t. ltrů -0,0045 0,000-8,6095 0,0000-0,0049-0,004 Rezduálí oučet čtverců 0,000 Směrodatá cha 0,003 Průměr Y 3,440 Směrodatá odchla Y 0,094 Korelačí oefcet 0,995 Čtverec R 0,9903 Upraveé R-vadrát 0,989 F(,8) 88,504 Výzamot F 0,0000 Dur-Watoova tatta,3 Log fce věrohodot 44,6905 Potlačeá tatta 0,000 Ide determace: I ( ) ( ) 0,9903 Ide orelace: I I 0,995
Sdružeé regreí přím Setrojte odový graf, vpočtěte ílu závlot a rovce družeých regreích příme pro leárí vztah mez výdaj za mao a maé výro () a výdaj za pečvo () v ouoru vraých domácotí. * 4 37 488 6 38384 0 průměr 3,3 5 458 90 5 09764 průměr 8 3 56 768 9 65536 průměr 0,89 78 78 6084 průměr 7954 4 60 040 6 67600 0 40 4 4040 4 368 47 6 3544 3 60 780 9 67600 5 453 65 5 0509 4 8 4 996 33 80 08 5 948998 Setrojeí odového grafu pro závle a ezávle proměou. Bodový graf Výdaje za mao 500 400 300 00 00 0 0 3 4 5 Výdaje za pečvo Regreí oefcet Aolutí čle a ( ) a ( )
080 3,3 8 5 0 0,89 505 6, 93,478 a 8 93,478 3,3 6,478 08 0 3,3 8 948998 0 7954 505 53758 0,009788 a 3,3 0,009788 8 0,53976 Sdružeé regreí přím: a 6,478 93, 478 a 0,53976 0, 009788 Pouem počátu ouřadcové outav do odu, de e družeé regreí přím protíají (je to v průměrech a ) dotaeme regreí přím v traformovaém tvaru: 8 93,478( 3,3) ( ) 3,3 0,009788( 8) ( ) Jelož jou regreí oefcet eouměřtelé, provádí e - doažeí rovatelot lou růzých regreích příme ormováí regreích oefcetů jejch áoeím podílem měrodatých odchle: β Vpočetl jme tzv. ormovaý Beta-oefcet, terý je pro oě přím tejý a ezáví a zvoleých měrých jedotách. Dopějeme ěmu ormováím oou velč: Z Y U X
Održíme družeé regreí přím v ormovaém tvaru: z β u z 0, 957 u u β z u 0, 957 z Z rozladu rozptlu pro metodu ejmeších čtverců vple oefcet determace, terý je zvláštím případem deu determace pro přímočarou závlot. (Zae může ýt vjádře v procetech.) I β r I 0,957 0,958 K vjádřeí íl přímočaré závlot louží druhá odmoca oefcetu orelace a tou je oefcet orelace: r [ ][ ] ± r 080 3,3 8 [ 5 0 0,89][ 948998 0 7954] 505 573,37 0,95654 Sdružeé regreí přím 500 450 400 výdaje za mao 350 300 50 00 50 00 50 0 0 3 4 5 6 výdaje za pečvo
Závlot lovích (valtatvích) zaů Naším úolem je zjtt, zda etuje závlot (popř. ja je lá) mez dvěma otázam z maretgového průzumu Uplatěí aolvetů eoomcé fault v pra. A. Kde v oučaé doě pracujete?. ve tátím podu. v čeé ouromé frmě 3. v zahračí č adárodí frmě v pracovím poměru 4. v družtvu 5. ouromě podám, oho ezamětávám 6. ouromě podám a zamětávám další oo 7. já forma B. Odpovídáte ve vé fuc za prác jých?. ao. e Na záladě odpovědí repodetů (aolvetů aší fault) la etavea otgečí taula. Odpovědot ANO NE SOUČET ŘÁDKU PRACOVIŠTĚ 8 0 6 5 4 3 4 6 5 3 6 0 7 Součet loupce 36 58 94 Kde za A (otáza č. ) aývá omě a až a 7 a můžeme jej považovat apř.za ezávle proměý za, a za B (otáza č. ) aývá omě až a půjde o závle proměý za. K výpočtu uazatele potřeujeme zát romě utečých četotí (zjštěých průzumem) četot teoretcé (vpočítaé za předpoladu ezávlot oou zaů), u terých platí, že čím více e udou lšt od těch utečých tím lější ude závlot oou zaů. j j, de, j jou přílušé orajové četot a je rozah ouoru.
Na záladě tohoto vztahu vpočítáme teoretcé četot pro všech četot utečé. Očeávaé ao e četot 7,6596,3404 5,70 5,979 3 9,9574 6,046 5,489,85 6 0,7660,340 7 0,7660,340 Míru tezt vzájemé závlot dvou lovích zaů v otgečí taulce měří Čtvercová otgece χ. χ r ( j j ) j j Čtvercová otgece může aývat lovolých ezáporých hodot, ejme chop určt pomocí této mír ílu závlot, proto otruujeme růzé mír otgece, teré z í vcházejí: Průměrá čtvercová otgece Φ : Mamálí možá hodota je opět růzá. Φ χ Pearoův oefcet otgece P: P Φ χ Φ χ Naývá hodot z tervalu <0, ), hodot jeda emůže d doáhout. Hodota je závlá a rozměrech taul. Čuprovův oefcet otgece T: T Φ ( r )( ) Je z tervalu <0, > pouze pro čtvercové otgečí taul (r ). Cramérův oefcet otgece C: C m Φ { r ; } Je z tervalu 0 C ez ohledu a velot taul.
Vpočítejte uvedeé mír otgece pro aš taulu a vjádřete e o íle závlot mez otázam. (Utat) Statta Chí-vadrát,859 Stupě volot 5,0000 Pravotraá pravděpodoot 0,05 Průměrá čtvercová otgece Fí 0,363 Fí 0,369 Cramerovo V 0,369 Pearoův oefcet otgece 0,3464 Somerova delta (l) -0,3597 Somerova delta (řád) -0,478 Goodma-Krualova Gama -0,507 Kedallovo tau -0,985 Kedallovo tau c -0,3400 Měřeí aocace zvláští případ otgečí závlot pro r, zvláští případ orelačí závlot dvou zaů, z chž aždý aývá pouze dvou hodot ula a jeda. Přílad: V ovocém adě l provede potř ovocých tromů prot červvot ovoce. Ze 450 tromů jch lo potřem ošetřeo 335, eošetřeo zůtalo 5. V aocačí taulce jou uvede výled ošetřeí tromů vzhledem červvot ovoce. Červvot ANO NE Součet Potř 0 ANO 0 33 * 335 NE 0 0 53 00 6 0* 5 Součet N* 65 *0 385 450 Kde * v deu říá, že četot jou čítá pře de zau, terý je ahraze hvězdčou. K měřeí tezt aocačí závlot e používá oefcet aocace, terý je oefcetem orelace v případě ula-jedčových velč (e tejým vlatotm):
V * * * 0* * *0 V 450 335 65 335 65 5 385 0,57 Na záladě výledu můžeme mluvt o egatví tředí závlot mez potřem a červvotí ovoce. Staoveí velot výěrového ouoru Klacá úvaha o velot ouoru je, že čím je výěrový ouor větší, tím přeější výled lze zíat. Tato předtava je prává je za podmíe, teré e v pra málod podaří plt:. Podíl utečě prošetřeých výěrových jedote eměl závet a velot výěrového ouoru. Neměla etovat žádá evýěrová, tematcá cha.tet homoget rozptlů Směrodatá cha výěru je to měrodatá odchla výěrové charatert ( µ ) matematcá ú prava σ pro výěr ez opaováí áoíme opravým oefcetem σ N N Směrodatou odchlu záladího ouoru σ pouze odhadujeme: ma m a záladě pravdla 6 gma σ 6 eo pomocí měrodaté odchl výěrového ouoru počítaé ze tupňů volot ( ) potom ( ) ( )
Poud máme měrodatou odchlu počítaou z hodot, použjeme opravý oefcet Příputá cha výěru ( ) ouč měrodaté ch a oefcetu polehlvot (ormovaé velč tadardzovaého eo Studetova rozděleí) pro <30 t pro >30 u α α ám říá, jaou pravděpodootí e ude vtovat měrodatá cha Staoveí rozahu výěrového ouoru u α σ t α výěr opaováím: platí, chceme-l odhadovat průměr Stupě volot měří protor (volot) výledů výěrů jedot formací Achom pochopl ázev tupě volot, uvažujme výěr rozahu pozorováí, apř. a 5. Průměr pa ude 8 a odchl 3 a -3. Druhá odchla je záporým evvaletem prví. Zatímco prví odchla je volá, druhá je příě determováa. Je zde ted tupeň volot pro odchl. Oecě pro výěr velot je prvích - odchle volých, zatímco poledí je příě determováa požadavem, že oučet všech odchle je rove 0; ( ) 0. Určete mmálí rozah výěrového ouoru pro odhad artmetcého průměru záladího ouoru, jetlže záte: 9, 0,975 3, 40 u 0,975,960, 96 9 3 34 57 35, vzorů Ta.III - Kvatl u p ormovaého ormálího rozděleí.
Určete počet vzorů, teré muíte vrat, jetlže chcete odhadout průměrou hmotot vzoru přeotí p 0,95 a přeotí a),5 g ) g c) 0, g Předvýěr 5 vzoů potl tto výled: 6 g, 0 t 0,975,064 taulová hodota pro 4 t. volot Ta.V - Kvatl t p Studetova rozděleí - přeot a), 064 6 5, ), 064 6 c), 064 6 0, 68 6 69, vzorů, vzorů 53 36 54, vzorů 3834 00 3834 U rozáhlého ouoru vajec má ýt odhaduta průměrá hmotot přeotí a a) g ) 0,5 g c) 0, g Ja rozáhlý má ýt výěr vajec, a la doažea požadovaá přeot pravděpodootí p 0,99? Předvýěr 5 vajec potl tto výled: 0 g, 58 t 0,995,797 taulová hodota pro 4 t. volot a),797 0 78,3 79 ),797 0 3,9 33 0,5 vzorů vzorů,797 0 c) 783,00 783 0, vzorů
Bodový odhad odhadujeme záladí charatertu (T) pomocí výěrové charatert (t) jao jedé čílo Pravděpodoot ezchého odhadu je rova 0. Ch e dopouštíme pravděpodootí. Itervalový odhad odhad přílušé charatert (T) záladího ouoru pomocí tervalu odhad je reprezetová tzv. tervalem polehlvot (ofdečím tervalem), terý daou pravděpodootí ude oahovat utečou hodotu odhadovaé charatert záladího ouoru. Tato pravděpodoot e azývá polehlvotí odhadu a začí e - α. Čím větší pravděpodoot, tím je odhad polehlvější. Pravděpodoot opačého jevu, tj - ( - α) α e azývá rzo odhadu. Iterval polehlvot pro tředí hodotu vcházíme z ormálího (>30) eo Studetova ( 30] rozděleí P [ u de: α µ u α ] α příp. P( t α µ t α ) α Iterval polehlvot pro rozptl P ( ) ( ) σ χ α χ α α Iterval polehlvot pro měrodatou odchlu P ( ) ( ) σ χ χ α α α Odhaděte pravděpodootí 0,95 pomocí ooutraého tervalu polehlvot průměrou hmotot žvě arozeých elat, dž u 00 áhodě vraých jedců l zjště tto hmotot: hmotot (g),7,8,9,0,
počet elat 7 0 45 8 0 00,,094 90, 4, 363, 58 363, 58, 904 3, 6358 3, 65 0, 0, 00 0,03 Taul: vatl u p ormovaého ormálího rozložeí: u 0,975,960 0,03 0,03 P [,904,96 µ,904,96 ] 0,95 00 00 P (,884 µ,9) 0,95 Odhaděte pravděpodootí 0,95 pomocí ooutraého tervalu polehlvot průměrou hmotot všech jale určté odrůd, dž u 00 vzorů áhodě vraých lo zjštěo: hmotot (g) 40 45 50 55 60 počet jale 0 8 45 6 00, 49,75 4975 45075 4075 49, 75 450, 75 45, 065 5, 6875 00 5,07, u 0,975,960 5,07 5,07 P [ 49,75,96 µ 49,75,96 ] 0,95 00 00 P ( 48,76 µ 50,74) 0,95 Odhaděte varaltu hmotot jale pravděpodootí 0,95. v99, χ 0,0573,34 χ 0,9758,45 v00, χ 0,0574,0 χ 0,9759,60 99 5, 6875 P 8, 45 σ 99 5, 6875 73, 34 0, 95
[ 9,8 34,67] 0, 95 P σ [ σ ] P 4, 45 5, 89 0, 95 Určete ooutraý terval polehlvot artmetcého průměru záladího ouoru, jetlže záte: 5, 50, v 4 t 0,975,064, α 0,05 3,46 3,46 P [ 50,064 µ 50,064 ] 0,95 5 5 P( 48, 57 µ 5, 43) 0, 95
Tetováí tattcých hpotéz Stattcá hpotéza - určtý předpolad o tattcých datech vloveý dřív, ež došlo e zoumáí dat. Tetováí - procedura vedoucí zamítutí eo ezamítutí hpotéz v podmíách ejtot. Tet výzamot - mlem tetováí je ověřt, zda rozdíl mez utečou (aměřeou) a předpoládaou hodotou je tattc výzamý. Potup. Formulace hpotéz taoveí ulové hpotéz H 0 apř. H 0 µ µ H 0 µ - µ 0 a la ověřtelá, muí ýt zformulováa v egatvím mlu H alteratví hpotéza přjmeme j, jetlže epřjmeme H 0 už j etetujeme ooutraé jedotraé. Vola hlad výzamot α hlada výzamot - pravděpodoot chého zamítutí pravdvé hpotéz α 0 (α 0,05; α 0,0) 3. Provedeí áhodého výěru, výpočet tetového rtéra T a taoveí jeho rozděleí 4. Vhodoceí tetu T vp < T ta H 0 e ezamítá (rozdíl je tattc evýzamý) T vp > T ta H 0 e zamítá (rozdíl je tattc výzamý eo voce výzamý) Ch př tetováí. Cha prvího druhu (pravděpodoot α) - ché zamítutí H 0. Cha druhého druhu (pravděpodoot β) - ché ezamítutí eprávé H 0 Tet parametrcé - velč v ormálím rozložeí, odhad para-metrů eparametrcé - ezáme záo rozložeí velč, vchází z velotího tříděí jedote podle zoumaých zaů Tetováí homoget rozptlu H 0 σ σ... σ σ σ u dvou rozptlů: H 0 σ
tetové rtérum F u více rozptlů: ma o - a - tupích volot m a) výěr mají tejý rozah: Davdův tet V( ), - výěr větším rozptlem - výěr meším rozptlem q ma m Cochraův tet (, ) ma ) výěr mají růzý rozah:,3059 χ log log C evet. B ( ) l ( ) l C, Bartletův tet ( ) ( ) ( ) de (,..., ) je etraý výěrový rozptl ( ),, C 3 ( ) Tetováí průazot rozdílu mez průměr H 0 µ µ... µ µ Předpoladem použtí tetu je potvrzeí ormalt rozděleí a homoget rozptlů.. Tetujeme průměr záladího ouoru (µ) a výěrového ( ): µ, : t( ) µ µ ( ) ( ). Tetujeme průměr výěrových ouorů (, ): a) tejé rozah ( ) t ( ) ( ) ( ) ( )
) růzé rozah ( ) t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Výpočtový tvar pro čtverec odchle: ( ) 3. Párový t-tet (tetováí průazot rozdílu mez dvěma průměr závlých ouorů) hodoceí a záladě rozdílů mez jedotlvým pár, taže e ze dvou výěrových ouorů původích hodot dotae jedý ouor rozdílů. t ( ) de d d µ d d 0 d d d d ( ) d d ( d d ) d ( ) ( ) d H 0 E(D) 0 Náhodá velča D má ormálí rozložeí e tředí hodotou E(D) a dperzí D (D). Máme rozhodout a (hladě výzamot α 0,05), zda dvě váh pracují e tejou áhodou chou. Máme dpozc vžd 7 měřeí od aždé váh, přčemž 0,98 a 0,098. H 0 σ σ 0, 98 F-tet F 4, 08 0, 098 υ 6, υ 6, α 0,05 F ta 4,8 (př α 0,0 F ta 8,47) F vp < F ta ezamítáme H 0 Rozptl jou homogeí.
Předchozí přílad doplíme o další váhu e tejým počtem měřeí a zjštěou 3 0,06. K ověřeí hpotéz H 0 σ σ σ použjeme tet rtéra Q Cochraův tet 0,06 q ( 3,6) 0, 465 0,98 0,098 0,06 3 - počet rozptlů, υ 6 - tupě volot α 0,05 q ta(3,6) 0,6770 F vp < F ta ezamítáme H 0. Rozptl jou homogeí (áhodá cha měřeí eí závlá a použté váze). Automat má dávovat rmou mě po 00 g. Techcá otrola vrala áhodě 50 vzorů, u terých la zjštěa přeá hmotot. Rozhoděte, zda e hmotot mě tattc průazě elší od požadovaé orm. Hmotot (g) 96 98 00 0 04 Σ Počet vzorů 7 9 9 3 50. 67 84 900 306 08 498. 645 7856 90000 3 636 48587 498 50 98, 56 48587 98, 56 3, 37 upraveo opravým oefcetem 50 ( ) 3, 37 50 3, 44 49 85, ( ) 85, 0, 6 50 98, 5 00 t( 49 ) 5, 496 ** 0, 6 t vp > t ta zamítáme H 0. t ta(0,975),00 t ta(0,995),68 Rozhoděte, zda e průazě lší déla laů odrůd pšece oecé, pětovaé ve tejých podmíách, dž u 00 vzorů aždé odrůd lo zjštěo: 69, 5mm, 4, 8mm 66, mm, 3, 90mm
4,8 3, 90 0, 48 0, 390 00 00 69, 5 66, 3, 4 t ( 98 ) 5, 94 ** 0, 48 0, 39 0, 57 t ta(0,975),960 t ta(0,995),576 t vp > t ta zamítáme H 0. Déla laů e voce průazě lší. Zjtěte, zda etuje průazý rozdíl v hmotot ooových ořechů vpětovaých a růzých mítech otrova. Z aždého míta je ozáme jý počet měřeí. 0 3, 500, 30 ( 0, 350g ) 8, 400 0, 800 ( 0, 300g ) ( ) t( 0 8 ) 0, 350 0, 3 t 6 0, 05 80 ( ) ( ) 8[ 0, 005 0, 08] 0 8 0 8 3, 5 0 8, 3 0, 446 0, 8 3, 4 8 t ta6(0,975), t vp < t ta ezamítáme H 0. Mez hmototí ooových ořechů z růzých mít el proázá rozdíl. Přílad a párový t-tet Je třea porovat metod určováí oahu curu (%) v ulvách curov. Blo áhodě vráo 5 ulev a pro aždou z ch lo oěm metodam taoveo % curu. Rozdíl (dferece) mez oěm metodam l: Čílo.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. vzoru Dferec e 0, 0, 0 0, 0, 5-0, 0, 4 0, - 0,3-0, 0, 0,3-0, Zjtěte, zda etuje průazý rozdíl v určováí % curu mez oěm metodam. d, d 0, 8, d 0, 073 5 0, 0, -0,
d aeo 0, 8 5, 54 d ( ) 0, 059 d 0 8 5 d 0 073 0 05, 5,, 4 d d 0, 05 0, 8 0, 059 5 3, 873 0 073 t( 4 ), 0 059,, 4 t ta4(0,975),45 t vp < t ta ezamítáme H 0. Neí průazý rozdíl mez metodam.
Aalýza rozptlu Model louží tomu, a e jch používalo, ol tomu, a e jm věřlo. Her Thel metoda tetováí průazot rozdílu mez průměr ěola ouorů a oě ezávlých (porováváme dva a více výěrů a chceme zjtt, zda tto výěr mohou vcházet ze polečého záladího ouoru, zda zjštěé odchl lze vvětlt jao áhodé) hodoceí opouů polí pouctví prává vola upořádáí pouu:. louží ověřeí účot ověřovaých záahů, tj. fatorů a ledovaý pouý materál. louží podchceí eotrolovatelých zdrojů promělvot (půdí rozdíl) 3. louží e ížeí vlvu áhodých zdrojů promělvot vzlých eotrolovatelým vlv (počaí, pošozeí, cha). vhodé matematco tattcé zhodoceí úolem je rozčlet celovou varaltu a dílčí lož (podle vlvu jedotlvých ledovaých fatorů) a a ložu rezduálí (elze vvětlt ezámé, áhodé fator) A. Taula upořádáí dat (jedofatorová) Jedofatorová aalýza rozptlu Pozorováí Fator A Celem (jedc) a a a a a j j Součt Y. Y. Y. Y.. Průměr..... Rozptl ( j ) Fator A má počet úroví a, a,, a a. Fator B má počet úroví,,,. Fator R má počet úroví r, r,, r r. Naměřeé hodot e začí, apř.,,3 oecě,j, Součt e začí Y Tečová mola - zajšťuje přeot a výtžot
r oučt pro úroveň fatoru A: Y.. j, pro úroveň fatoru B: Y pro opaováí R: Y a.. j j j a. j. r, oučet všech aměřeých hodot: Y j... a r j Odoě (ale malým píme) e začí průměr pro jedotlvá rtéra, apř...,.j.,.., Nemůže dojít záměě, protože aměřeá hodota má vžd všech de vplěé (emá teču) -,j, B. Tetováí homoget rozptlu. Cochraův tet (pro tejý rozah výěrových ouorů) H 0 σ σ... σ σ Q ma Tetové rtérum (, ), porováváme taulovou hodotou q 0,05 (0,0) pro počet výěrů a - tupňů volot. Bartlettův tet (pro růzé rozah ouorů) > 6 H 0 σ σ... σ σ l 0 χ N log log C Tetové rtérum ( ) ( ) ( ) j,, de Taula: ( ) - počet výěrů, rozah χ - Pearoovo rozděleí ( - tupňů volot) (,..., ) je etraý výěrový rozptl C 3 ( ) C. Rozlad rozptlu a tupňů volot Začeí: - počet pozorováí celem - počet pozorováí ve upě a - počet up j - hodota jedoho pozorováí (v -té upě j-tý jedec)
Celový Sup Rezduálí a ( j ) j a ( ) a ( j ) j S T S A S e - a - - a υ T υ A υ e Průměrá čvercová odchla MS (Mea Square) průměrý čtverec ( dílčí rozptl) D. Taula aalýz rozptlu Zdroj varalt Součet čtverců Stupě volot Průměrý čtverec Tetové rtérum Sup S A MS A Fator A S A υ A MS A F υ MS Jedc Rezduum e S e υ e MS Celem S T υ T Vhledáme taulovou hodotu F pro α 0,05 eo α 0,0 pro tupě volot čtatele (tj. up) a - a tupě volot jmeovatele (tj. rezdua) - a F vp > F ta H 0 e zamítá E. Výpočtový tvar S K S T a j j ( Y Y Y ) K Y. K... a A a Se ST S A de K Y (orece) Začeí: výzamý rozdíl (α 0,05) voce výzamý rozdíl (α 0,0) F. Metod áledého tetováí. Metoda mmálí průazé dferece MS Středí cha dferece d ( ) d t α d e e A Se υ e e
t ta pro - α a tupeň volot rezdua Výpočet mmálího rozdílu, terý můžeme ozačt za průazý. Tueův tet D Q ( ). de.. - tředí cha MS e Q - rtcé hodot q tudetzovaého rozpětí podle počtu úroví fatoru (a) a tupňů volot rezdua ( - a) Výžva a a a 3 a 4 a 5 a 4 a 3 a Vhodotí e v taulce rozdílů průměrů 3. Grafcá metoda Pomocí ofdečích tervalů olem průměru (průazý rozdíl mez těm, teré e epřerývají) 35 Rozdíl mez a 3 malý, mez a 3 průazý 30 3 4. Scheffeho metoda otratů ejpřeější metoda a odhaleí průazého rozdílu otrat: ψ(pí) µ µ p µ p, de,,, p jou otat a platí p Př porováí tředích hodot volíme, - Bodový odhad otratu ɵψ je: ψ.. p p Směrodatá cha otratu ɵψ je: Tetová charaterta: 0 MS e p ɵψ
t ɵ ψ ɵ S ψ F υ α υ υ > S otrat je průazý A A e (, ), de υ A - tupě volot up υ e - tupě volot rezdua Fα (υa, υe) - taulová hodota F-rozděleí Dvoufatorová aalýza rozptlu Každá pouá jedota je podroea dvěma způoům tříděí oučaě - loupcové a řádové tříděí. V průečíu řádu a loupce: je vžd jedo pozorováí je růzý počet pozorováí je tejý počet pozorováí A.Taula upořádáí vtupích dat A () Fator j Celem a B (j) j j j a j j Součet průměr Y.... Y.... j,, a j,,,, a.. (počet pozorováí celem) (počet pozorováí ve upě) Dílčí promělvot je dáa úrověm fatoru A, fatoru B, (omacem oou fatorů teracem) a rezduálím vlv. Počítáme ANOVU ez terací. B. Rozlad oučtu čtverců a tupňů volot Celem Fator A Fator B Rezduum S T S A S B S e - a - - --(a-)-(-) υ T υ A υ B υ e j Y.j..j. Y.. Y......
C. Taula aalýz rozptlu dvoufatorové Zdroje varalt Součt čtverců Stupě volot Průměrý čtverec Tetové rtérum FatorA S A υ A MS FatorB S B υ B MS Rezduum S e υ e MS Celem S T υ T A B e S A MS F υ MS A SB MS F υ MS B Se υ e A e B e D. Výpočtový tvar S K S S T A B a j a Y Y a j j K j Se ST S A SB K a Y K orece Vícefatorový pou zachcuje terac fatorů, tz. jejch vzájemé polupůoeí. Např. fator úrově (a) a 3 úrově () 6 omací a a a a a 3 a 3 Úolem aalýz rozptlu: Rozčlet celovou varaltu a dílčí lož (podle vlvu jedotlvých fatorů) a a ložu rezduálí (elze vvětlt). Potup př rozladu rozptlu. vpočítáme celový průměr, tj průměr všech výledů pouu a určíme odchl jedotlvých hodot pozorováí od tohoto průměru, teré umocíme a druhou a ečteme celový oučet čtverců - S T ST ( j ) j
. vpočítáme průměr jedotlvých up podle fatorů. Určíme odchl těchto průměrů od celového a jejch čtverce, pro aždý fator dotaeme tzv. vadratcou ložu - S A, S B, ( ) A / S 3. Odečteím všech vadratcých lože od celového oučtu čtverců zůtae loža rezduálí - S e (evvětleá, áhodá) Rozlad oučtu čtverců / / ( j ) ( ) ( j ) j j S T celový S A up S e rezduálí - celový počet prvů - počet pozorováí ve upě - počet up j - hodota aměřeá v -té upě u j-tého jedce čtatelová loža rozptlu jmeovatel tupě volot (υ) υ (-) υ A, υ B, υ e odpovídá celovému počtu pozorováí ( - ) počt tupňů volot jedotlvých up tupě volot rezdua Rozlad tupňů volot - - - St. v. celem St. v. up St. v. rezdua Lze vpočítat průměré čtvercové odchl - MS Tetovým rtérem je hodota Fher-Sedecorova rozděleí F Taula aalýz rozptlu: MS MS A e Zdroj varalt Součet čtverců Fator A S A ( ) S / / Rezduum (e) Se ( j ) j Celem ST ( j ) j Stupě volot υ - - - Průměrý čtverec MS S A MS A MS e Tetové rtérum F MS A F MS Se e H 0 e zamítá F vp > F ta
Pratcé pozám: oučet čtverců S emůže ýt záporý orečí čle louží e zjedodušeí výpočtu (moca celového oučtu děleá počtem všech měřeí) Tečová mola - zajšťuje přeot a výtžot Máme rovat výoot 4 odrůd uuřce. Achom mohl použít aalýzu rozptlu, muíme ověřt homogetu rozptlu. Výled pouu: a a a 3 a 4 45 35 33 4 46 33 34 4 49 35 43 44 34 4 34 44 4 44 4 4 46 34 34 4 4 5 9 Σ 8478 34 578 5890 () 3,5,0 0,4,55 (-) 4,67 0,5,75 ( ) ( ) Bartlettův tet C 3 4 0 4 ( ) 4 5 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 4, 67 4 0, 5 5, 75 9 0 4, 9987, 887 [ [ ]] χ ( ) l 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 log, 9987 4 log 4, 6 log 5 log 0, 5 9 log, 75,, 887 H 0 e ezamítá rozptl jou homogeí χ ta(3) 7,8 (α 0,05)
Jou ledová odrůd ječmee př 3 úrovích výžv. Srovejte počet zr a rotlě. Fator A Fator B Celem up. A 3 99 03 04 a 00 0 98 07 0 08 35 03 05 05 a 3 07 07 06 05 04 04 06 06 93 Celem up. B 84 85 835 58 05,5 06,375 04,375 05,33 a, 3, 4 (a.. ) 4 K 58 668, 66 4 S T 66648 668, 66 365, 34 ( ) ( ) S A 3 4 35 93 668 66, 555 67849 668, 66 397074 668, 66 664,83 668, 66 40,7 ( ) S B 84 85 835 668, 66 4 ( 708964 740 6975) 668, 66 8 30390 668, 66 6698,75 668, 66 6,09 8 S e 365, 34 40, 7 6, 08 09, 08
. Jedofatorová aalýza Zdroj varalt Součet čtverců S Stupě volot υ Sup (B) výžva 6,09 Průměrý čtverec MS 6, 09 8, 045 349,5 6, Tetové rtérum F 8, 045 0, 48 6, 63 Jedc (e) rezduum 349,5 63 Celem 365,34 3 F ta(,) 3,49/5,85 Neí průazý rozdíl v úrov výžv ječmee.. Dvoufatorová aalýza Zdroj varalt Součet čtverců S Stupě volot υ Sup (A) odrůda 40,7 Sup (B) výžva 6,09 Jedc (e) rezduum 09,08 0 Celem 365,34 3 F A-ta(,0) 4,35/8,0 F B-ta(,0) 3,49/5,85 Voce průazý rozdíl mez odrůdam ječmee. Metod áledého tetováí: 3. Scheffeho metoda otratů p MSe 6063 taula otratů ψ 8 Úroveń výžv. Kotrat ɵψ (rozdíl průměrů) Průměrý čtverec Tetové rtérum F MS 40, 7 40, 7 40, 7 3, 4* * 0, 454 6, 09 8, 045 8, 045 0, 77 0, 454 09, 08 0, 454 0 t ɵ ψ ɵ ψ Výzamot otratu 05,5 - - - 06,375,5 0,55 t < S 3 04,375 0,875 0,43 t < S 06,375 - - - 3 04,375,000 0,98 t < S
Nejou průazé rozdíl (což ám už řela taula aalýz rozptlu) Pouďte, zda e 5 pleme hodoceých v poue odlšuje v mléčé užtovot (př zachováí tejých podmíe chovu). Z aždého plemee lo vráo 0 rav. A. Taula vtupích dat Jedc Sup (plemeo),,, a 3 4 5 j,,, 0 8 8 0 6 0 3 3 8 6 0 0 8 4 3 7 8 0 5 7 8 4 0 0 5 6 0 7 4 0 7 7 0 7 8 8 8 0 9 9 0 6 8 0 9 4 9 0 46 Y. 00 76 6 06 90 Y.. 498. 0,0 7,6,6 0,6 9,0.. 9,96 a a 03 59 638 50 838 j B. Cochraův tet homoget rozptlů: 03 0 0 3 0 3 56 0, 3,0, 9 59 0 7 6 44 6 0,,,44, 9 3 638 0 6 5 04 5 6 0,, 5,04, 9 4 50 0 0 6 64 93 0,,,64, 9 5 Q 838 0 9 80 3 0,,80, 9 ma a (, ) (, ) 5, 6 q 5 9 0, 3333 6, 8 Taula Cochraova tatta q ta(5,9) 0,44 H 0 ezamítáme, rozptl jou homogeí. 550
E. Výpočtový tvar K Y 498.. 4960, 08 50 S K 50 4960, 08 89, 9 S T A a j j ( ) a Y. K 00 76 6 06 90 4960, 08 38, 7 0 Se ST S A 89, 9 38, 7 5, D.Taula aalýz rozptlu Zdroj varalt Součet čtverců Stupě volot Průměrý čtverec Tetové S υ MS rtérum F Sup 38,7 4 34,68 0,3** (plemeo) Jedc (e) 5, 45 3,36 Celem 89,9 49 F ta(4,45),6 / 3,8 **Voce průazý rozdíl. F. Metod áledého tetováí a) mmálí průazá dferece (Leat Square Dfferece - LSD) MSe 3, 36 0, 898 d ( d ) t α 0 d t 0,975(45),0 (d),0. 0,898,65 porováme taulou t 0,995(45),68 (d),68. 0,898,0 porováme taulou Taula rozdílů průměrů a a a 3 a 4 a,00,4 3,6,6 a 3 0,6 3,0,0 a 4,6 5 a 5,4 ) Tueův tet MSe 3,36 0,5797. D Q. 0. Q 5,45(0,05) 4,0 Q 5,45(0,0) 4,90 Q - hodot tudetzovaého rozpětí podle počtu úroví fatoru D (0,05) 4,0. 0,5797,33 porováme taulou D (0,05) 4,90. 0,5797,84 porováme taulou
podle tupňů volot rezdua Taula rozdílů průměrů a a a a 3 a 4 a,00,4 3,6,6 a 3 0,6 3,0,0 a 4,6 5 a 5,4 Tet je příější! c) Scheffeho metoda otratů p MS e, ɵ ψ, 3 36 0 0 898 S F υ α υ υ A A e (, ), de υ A - tupě volot up F 0,05(4,45),6 S 4,6 3, porováme taulou F 0,0(4,45) 3,8 S 4 3, 8 3, 90 porováme taulou t ɵ ψ ɵ ψ > S t > S 0,05 otrat je výzamý t > S 0,0 otrat je voce výzamý, -, ɵψ rozdíl průměrů! Taula otratů t a a a 3 a 4 a 5,,7 4,39,95 a 4 0,73 3,66,44 a 3 3,7 6, a,93 Je ejpříější ze všech metod! SHRNUTÍ Rozdíl up Hodoceí průazot rozdílu LSD Tue Scheffe - -3-4 -5-3 -4-5 3-4 3-5 4-5
d 9.4 (FYTO) Ověřte, zda mez 5 odrůdam rév vé etuje průazý rozdíl v cueratot. (0 vzorů od aždé odrůd) A. Taula vtupích dat Čílo vzoru Fator A (odrůd),,, a Jedc 3 4 5 j,,, 6 3 9 5 0 9 6 3 7 3 8 4 7 4 8 3 6 5 5 3 8 8 487 6 6 0 0 7 7 7 6 8 5 0 0 3 6 9 7 9 9 4 7 0 9 8 8 478 Součet (Σ)Y. 65 0 95 5 70 Y.. 965 Průměr. 6,5 9,5,5 7,0 9,3 a 739 446 387 5073 900 a j 8955 B. Cochraův tet homoget rozptlu 3 4 5 Q 739 0 6 5 65 83 0,,,65, 9 446 0 6 78 0,,6, 9 387 0 9 5 45 6 0,,,45, 9 5073 0 5 05 7 0,,,05, 9 900 0 7,0 0 0,,0, 9 ma a (, ) (, ) q 83, 0, 44 5 9 7, 5 Taula Cochraova tatta q ta(5,9) 0,44 H 0 ezamítáme, rozptl jou homogeí.
E. Výpočtový tvar K Y 965 864,5 ( a. 50 ) S K 8955 864, 5 330, 5 S T A a j j ( ) a Y. K 65 0 95 5 70 864, 5 63 0 Se ST S A 330, 5 63 67, 5 D.Taula aalýz rozptlu Zdroj varalt Součet čtverců Stupě volot Průměrý čtverec Tetové S υ MS rtérum F Odrůd (A) 63 4 65,75 43,83** Jedc (e) 67,5 45,5 Celem 330,5 49 F ta(4,45),6 / 3,8 **Voce průazý rozdíl. F. Metod áledého tetováí a) mmálí průazá dferece (Leat Square Dfferece - LSD) d MSe, 5 0 55 0 t 0,975(45),06 t 0,995(45),693, ( ) d t d α (d),06. 0,55,088 porováme taulou (d),693. 0,55,48 porováme taulou Taula rozdílů průměrů d a a a 3 a 4 a 5 0,5 4,5 5,5 a 4 6,5 3 a 3 3,5 a 4,5 ) Tueův tet MSe,5 0,39 D Q.. 0. Q 5,45(0,05) 4,03 D (0,05) 4,03. 0,39,573 porováme taulou Q 5,45(0,0) 4,90 D (0,05) 4,90. 0,39,9 porováme taulou Q - hodot tudetzovaého rozpětí (Ta. 8,9) podle počtu úroví fatoru
podle tupňů volot rezdua Taula rozdílů průměrů a a a a 3 a 4 a 5 a 4 a 3 a Tet je příější! c) Scheffeho metoda otratů p MS e, ɵ ψ, 5 0 0 55 S υ A Fα ( υ A, υ e ) de υ A - tupě volot up F 0,05(4,45),6 S 4,6 3, porováme taulou F 0,0(4,45) 3,8 S 4 3, 8 3, 90 porováme taulou t ɵ ψ ɵ ψ > S t > S 0,05 otrat je výzamý t > S 0,0 otrat je voce výzamý, -, ɵψ rozdíl průměrů! Taula otratů t a a a 3 a 4 a 5 0,9 7,7 4,55 0 a 4 0,9,73 5,45 a 3 5,45,73 a 8,8 Je ejpříější ze všech metod! SHRNUTÍ Rozdíl up Hodoceí průazot rozdílu LSD Tue Scheffe - -3-4 -5-3 -4-5 3-4 3-5 4-5
d) ofdečí terval olem průměrů up α ± t 0, 83 0, 48 0, 78 0, 4 3 0, 6 0, 40 4 0, 7 0, 34 5 0, 0, 333 MS e 5,54 < µ < 7,47 5, < µ < 7,80 0,65 < µ <,95 9,63 < µ <,37 8,59 < µ 3 < 0,4 8,0 < µ 3 < 0,80,73 < µ 4 < 3,7,39 < µ 4 < 3,6 6,5 < µ 5 < 7,75 5,9 < µ 5 < 8,08 t 0,975(9),6 t 0,995(9) 3,50 95% 99% Grafcé zázorěí ofdečích tervalů
Výled z programu UNISTAT ver. 5. 6 F-tet Datová proměá: dojvot Dílčí výěr vrá: plemeo plemeo Příp. Průměr Směrodatá odchla Směrodatá cha H 30 39,5333,9447 0,5376 CS 0 30,500,9967 0,4465 Celem 50 35,800,609 0,369 F(9,9),750 Pravotraá pravděpodoot 0,0405 95% Kofdečí terval 0,9055 <> 4,8530 Datová proměá: dojvot Dílčí výěr vrá: plemeo plemeo Příp. Průměr Směrodatá odchla Směrodatá cha H 30 39,5333,9447 0,5376 J 8,667,6967 0,4898 Celem 4 33,486,6605 0,405 F(9,) 3,0 Pravotraá pravděpodoot 0,087 95% Kofdečí terval 0,9638 <> 7,4556 Datová proměá: dojvot Dílčí výěr vrá: plemeo plemeo Příp. Průměr Směrodatá odchla Směrodatá cha CS 0 30,500,9967 0,4465 J 8,667,6967 0,4898 Celem 3 5,788,89 0,3345 F(9,),3849 Pravotraá pravděpodoot 0,947 95% Kofdečí terval 0,47 <> 3,886 t-tet (pol.rozptl) Datová proměá: dojvot Dílčí výěr vrá: plemeo plemeo Příp. Průměr Směrodatá odchla Směrodatá cha CS 0 30,500,9967 0,4465 J 8,667,6967 0,4898 Celem 3 5,788,89 0,3345 t-tatta 7,488 Stupě volot 30,0000 dvoutraá pravděpodoot 0,0000 Rozdíl mez průměr,0833 95% Kofdečí terval 0,67 <> 3,4944
t-tet (růzé rozptl) Datová proměá: dojvot Dílčí výěr vrá: plemeo plemeo Příp. Průměr Směrodatá odchla Směrodatá cha H 30 39,5333,9447 0,5376 CS 0 30,500,9967 0,4465 Celem 50 35,800,609 0,369 t-tatta 3,838 Stupě volot 47,9695 dvoutraá pravděpodoot 0,0000 Rozdíl mez průměr 9,833 95% Kofdečí terval 7,7679 <> 0,7988 Datová proměá: dojvot Dílčí výěr vrá: plemeo plemeo Příp. Průměr Směrodatá odchla Směrodatá cha H 30 39,5333,9447 0,5376 J 8,667,6967 0,4898 Celem 4 33,486,6605 0,405 t-tatta 9,3787 Stupě volot 34,4860 dvoutraá pravděpodoot 0,0000 Rozdíl mez průměr,3667 95% Kofdečí terval 9,508 <> 3,5 Tet homoget rozptlů Pro dojvot Tetovací tatta Výzam. tříděo podle plemeo Bartlettův tet chí-vadrát 5,875 0,0545 Bartlett-Boův F tet,96 0,0537 Cochraovo C (ma var/um var) 0,558 0,09 Hartleovo F (ma var/m var ) 3,0 Leveův F tet,58 0,0884 Aalýza rozptlu Přítup: Klacý epermet Závle proměá: dojvot Zdroj varalt Součet čtverců St. vol. Průměrý čtverec Stat F Výzam. Hlaví efet 4050,036 05,08 33,9 0,0000 plemeo 4050,036 05,08 33,9 0,0000 Vvětleo 4050,036 05,08 33,9 0,0000 Cha 358,883 59 6,083 Celem 4408,99 6 7,77
Mohoáoá porováváí Tue-HSD Pro dojvot, tříděo podle plemeo Středí vadratcá cha: 6,08768365895, Stupě volot: 59 ** ozačuje výzamě odlšé pár. Párový tet je výzamý, poud q hodota je větší ež taulová hodota q. Supa Příp. Průměr J CS H J 8,667 ** ** CS 0 30,500 ** ** H 30 39,5333 ** ** Srováí Rozdíl Směrodatá cha q Stat Taula q Výzam. Dolí 95% Horí 95% Výlede H - J,3667 0,844 35,8697 3,400 0,0000 9,343 3,390 ** CS - J,0833 0,9006 8,9750 3,400 0,0000 9,98 4,485 ** H - CS 9,833 0,70 8,4399 3,400 0,0000 7,576 0,995 ** Deí dojvot tří pleme rav 50 45 40 35 Deí dojvot 30 5 0 5 0 5 Holt CS Jere 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9
JEDNODUCHÁ NELINEÁRNÍ KORELAČNÍ ZÁVISLOST Adtví tp: 0 leárí (příma) 0 3 0 3 0 0 0 vadratcý (paraola.t.) ucý (paraola 3.t.) lomeý.t. (hperola.t.) lomeý.t. (hperola.t.) odmocý 0 log logartmcý Multplatví tp: 0 ( log log 0 log ) epoecálí 0 mocý ( log log 0 log )