FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři textu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (hlvní utor) Doc. RNDr. Jromír BAŠTINEC, CSc. Mgr. Helen DURNOVÁ, Ph.D. Mgr. Mrtin ŘEZÁČ
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 1 Obsh 0.1 Oznčení..................................... 9 1 Zákldní pojmy mtemtické logiky teorie množin 10 1.1 Zákldní mtemtické pojmy......................... 10 1. Množin................................. 10 1. Elementy mtemtické logiky......................... 11 1. Kvntifikátory.............................. 11. Tvrzení, věty, logické symboly..................... 11 1.3 Definice, věty, druhy důkzů.......................... 11 1.4 Číselné množiny................................. 1 1.5 Intervly..................................... 1 1.6 Zákldní vlstnosti komplexních čísel..................... 1 1. Algebrický tvr komplexního čísl.................. 1. Trigonometrický tvr komplexního čísl................ 14 3. Exponenciální tvr komplexního čísl................. 15 4. De Moivreov vět........................... 16 5. Odmocňování komplexního čísl.................... 16 1.7 Zvedení pojmu funkce, inverzní funkce, funkce dvou více proměnných.. 17 1. Speciální typy funkcí.......................... 17 1.8 Inverzní funkce................................. 19 1.9 Trigonometrické funkce............................. 0 1.10 Inverzní trigonometrické funkce........................ 1.11 Exponenciální logritmické funkce...................... 1.1 Hyperbolické inverzní hyperbolické funkce................. 3 1.13 Definice funkce komplexní proměnné..................... 4 1.14 Mnohočleny rcionální funkce........................ 5 Mtice determinnty. Soustvy lineárních rovnic jejich řešení. 3.1 Mtice...................................... 3. Determinnt................................... 34.3 Hodnost mtice................................. 37.4 Mticová lgebr................................ 38.5 Soustvy lineárních rovnic zákldní pojmy................. 4.6 Řešení soustv lineárních lgebrických rovnic................ 43.7 Gussov eliminční metod.......................... 47 3 Vektorové prostory 49 3.1 Vektorový prostor................................ 49 3. Báze, dimenze, souřdnice............................ 5 3.3 Trnsformce souřdnic............................. 54
MATEMATIKA 1 4 Sklární, vektorový smíšený součin 57 4.1 Sklární součin................................. 57 4. Ortogonální průmět............................... 60 4.3 Vektorový počet v E 3 - vektorový smíšený součin.............. 6 5 Anlytická geometrie lineárních kvdrtických útvrů 66 5.1 Lineární útvry v E 3............................... 66 1. Přímk.................................. 66. Rovin.................................. 66 3. Polorovin, polopřímk, úsečk.................... 67 4. Vzájemná poloh dvou přímek..................... 67 5. Vzájemná poloh přímky roviny................... 68 6. Vzájemná poloh dvou rovin...................... 69 5. Anlytická geometrie lineárních útvrů..................... 69 1. Vzdálenost bodu od přímky...................... 69. Příčk mimoběžek........................... 69 5.3 Knonické tvry kuželoseček.......................... 70 5.4 Knonické tvry kvdrik............................. 7 5.5 Kuželosečky kvdriky zákldní vlstnosti................ 7 6 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 79 6.1 ε - okolí..................................... 79 6. Limit funkce.................................. 79 6.3 Prvostrnná levostrnná limit funkce. Limit zprv zlev...... 81 6.4 Nevlstní limit funkce............................. 8 6.5 Dlší přípdy limit............................... 8 6.6 Některé věty o limitách............................. 8 6.7 Limit složené funkce.............................. 83 6.8 Některé známé limity.............................. 84 6.9 Spojitost funkce................................. 84 6.10 Některé vlstnosti spojitých funkcí...................... 86 6.11 Odstrnitelná nespojitost............................ 86 6.1 Klsifikce nespojitostí............................. 87 6.13 Funkce spojité n uzvřeném intervlu.................... 88 6.14 Tečn ke křivce................................. 89 6.15 Derivce..................................... 89 6.16 Fyzikální význm derivce........................... 90 1. Okmžitá rychlost........................... 90 6.17 Derivce zákldních elementárních funkcí................... 91 6.18 Diferenciál funkce................................ 9 6.19 Derivce inverzní funkce............................ 93 6.0 Derivce diferenciály vyšších řádů...................... 93 6.1 Numerické derivování.............................. 94 6. Derivování s progrmem MAPLE V...................... 95 6.3 Tylorovy polynomy.............................. 95
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 3 6.4 Tylorův vzorec................................. 96 6.5 Inverzní trigonometrické funkce jejich derivce............... 96 6.6 Derivce hyperbolických funkcí........................ 97 6.7 Derivce inverzních hyperbolických funkcí.................. 98 6.8 Klsifikce funkcí................................ 98 6.9 Některé věty o diferencovtelných funkcích.................. 99 6.30 Testování monotónnosti funkce........................ 100 6.31 Extrémy funkcí................................. 101 6.3 Nutné podmínky pro extrémy......................... 101 6.33 Konvexnost konkávnost křivky. Inflexní body................ 101 6.34 Asymptoty křivky................................ 10 6.35 Obecné schém pro vyšetřování průběhu funkce............... 10 6.36 Některé numerické metody řešení nelineárních rovnic soustv rovnic... 103 1. Metod půlení (Metod rozdělování úsečky n dv stejné díly)... 103. Metod proporciálních částí...................... 104 3. Newtonov metod (Metod tečen).................. 105 4. Iterční metod............................. 105 5. Iterční metod pro soustvu dvou rovnic.............. 107 6. Přibližný výpočet............................ 107 7. Řešení rovnic pomocí progrmu MAPLE V.............. 108 6.37 Vektorová funkce sklárního rgumentu.................... 110 1. Vektorová funkce. Hodogrf....................... 110. Limit spojitost vektorové funkce.................. 111 3. Derivce vektorové funkce....................... 11 4. Zákldní prvidl pro derivování vektorové funkce.......... 11 5. Aplikce v mechnice.......................... 113 6.38 Komplexní funkce reálné proměnné...................... 113 1. Definice komplexní funkce....................... 113. Derivce komplexní funkce reálné proměnné............. 114 7 Diferenciální počet funkcí více proměnných 115 7.1 Diferenciální počet funkcí více proměnných.................. 115 1. Funkce v R n............................... 115. Limit funkce.............................. 116 3. Spojitost funkce............................. 118 4. Prciální derivce............................ 118 5. Geometrický význm prciální derivce................ 119 6. Grdient................................. 119 8 Diferenciální počet funkcí více proměnných. 11 7. Prciální derivce vyšších řádů.................... 11 8. Nezávislost smíšených derivcí n pořdí derivování......... 11 9. Diferencovtelná funkce. Totální diferenciál.............. 1 10. Diferenciály vyšších řádů........................ 14 11. Rovnice tečné roviny k ploše...................... 15
MATEMATIKA 1 4 1. Geometrická interpretce totálního diferenciálu funkce dvou proměnných................................. 16 13. Aplikce totálního diferenciálu n přibližné výpočty......... 17 14. Derivce složené funkce......................... 18 15. Směrová derivce............................ 19 16. Tylorův vzorec............................. 130 17. Implicitní funkce............................ 131 18. Výpočet derivce vyšších řádů pro implicitní funkce......... 13 19. Dlší přípdy pro výpočet derivcí.................. 133 0. Extrémy funkcí více proměnných................... 134 1. Dosttečné podmínky pro extrémy funkcí více proměnných..... 134. Dosttečné podmínky pro obecný přípd............... 135 3. Určení mximální minimální hodnoty funkce n uzvřené oblsti. 136 4. Vázné extrémy............................. 137 9 Integrální počet funkcí jedné proměnné - Neurčitý integrál 139 9.1 Primitivní funkce (ntiderivce) neurčitý integrál............. 139 9. Zákldní tbulk integrálů........................... 140 9.3 Některé vlstnosti integrálů.......................... 141 10 Integrální počet funkcí jedné proměnné - dvě zákldní integrční metody čsto užívné integrční postupy 14 10.1 Substituční integrční metod......................... 14 10. Integrce po částech (per prtes)....................... 143 10.3 Integrce podílu dvou mnohočlenů (rcionálních lomených funkcí)..... 143 10.4 Integrce některých ircionálních funkcí.................... 146 10.5 Integrce trigonometrických funkcí...................... 148 11 Integrální počet funkcí jedné proměnné - určitý integrál jeho plikce150 11.1 Výpočet plochy obrzce omezeného křivkou................. 150 11. Určitý integrál.................................. 15 11.3 Vlstnosti určitého integrálu.......................... 15 11.4 Odhd určitého integrálu. Vět o střední hodnotě............... 154 11.5 Derivce integrálu vzhledem k horní mezi................... 154 11.6 Newton-Leibnizov vět (Zákldní vzorec integrálního počtu)........ 154 11.7 Integrce per prtes pro učité integrály.................... 155 11.8 Metod substituce pro určité integrály.................... 155 11.9 Numerické integrování............................. 155 1. Úvod................................... 155. Obdélníkové prvidlo.......................... 156 3. Lichoběžníkové prvidlo........................ 156 4. Simpsonovo prvidlo (prbolické prvidlo).............. 157 5. Složené kvdrtické formule...................... 157 6. Odhd chyb kvdrtických formulí.................. 159 11.10Nevlstní integrály............................... 160
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 5 1. Nevlstní integrály vlivem intervlu.................. 161. Nevlstní integrály vlivem funkce................... 16 11.11Aplikce určitého integrálu........................... 163 1. Obsh rovinného obrzce........................ 163. Délk oblouku.............................. 163 3. Objem těles.............................. 164 4. Objem rotčního těles......................... 165 5. Obsh rotční plochy.......................... 165 11.1Integrce s progrmem MAPLE V....................... 165 1. Anlytická integrce s progrmem MAPLE.............. 165. Určité integrály s progrmem MAPLE................ 166 1 Dvojrozměrný vícerozměrný integrál (křivkový plošný integrál) 167 1.1 Integrální počet funkcí více proměnných................... 167 1. Objem křivostěnného válce....................... 167. Definice dvojného integrálu...................... 168 3. Některé vlstnosti dvojného integrálu................. 169 4. Vyčíslení hodnoty dvojného integrálu................. 170 5. Trojný integrál............................. 17 6. Geometrický fyzikální význm trojného integrálu......... 173 7. Vyčíslení hodnoty trojného integrálu................. 173 8. Křivkové integrály........................... 174 9. Křivkové integrály práce....................... 177 10. Nezávislost křivkového integrálu n cestě............... 178 11. Greenov vět.............................. 180 1. Důsledek Greenovy věty........................ 180 13. Obsh plochy.............................. 180 14. Obsh plochy v prvoúhlých souřdnicích............... 181 15. Plošné integrály............................. 18 16. Vět o divergenci............................ 184 17. Stokesov vět............................. 185 13 Vícerozměrný integrál II 187 18. Metod substituce pro dvojné integrály................ 187 19. Dvojný integrál v polárních souřdnicích............... 187 0. Metod substituce pro trojný integrál................. 188 1. Cylindrické souřdnice......................... 189. Sférické souřdnice........................... 190
Seznm obrázků 1.1.1 A B................................... 10 1.1. A B................................... 10 1.1.3 A \ B.................................... 10 1.6.1 Komplexní číslo z = x + iy v komplexní rovině............. 13 1.6. z, z - čísl komplexně sdružená...................... 13 1.6.3 Trigonometrický tvr komlexního čísl................. 14 1.6.4 z 1 + z, z 1 z............................. 15 1.6.5 Řešení z 5 = 1............................... 17 1.7.1 Funkce rostoucí.............................. 18 1.7. Funkce klesjící.............................. 18 1.7.3 Funkce nerostoucí............................. 18 1.7.4 Funkce neklesjící............................. 18 1.7.5 Funkce lichá................................ 19 1.7.6 Funkce sudá................................ 19 1.7.7 Funkce periodická............................. 19 1.8.1 Funkce inverzní.............................. 0 1.9.1 Funkce sinus................................ 1 1.9. Funkce cosinus............................... 1 1.9.3 Funkce tngens.............................. 1 1.9.4 Funkce cotngens............................. 1 1.10.1 Funkce Arcsin, Arccos.......................... 1.10. Funkce Arctg, Arccotg.......................... 1.11.1 Funkce exponenciální........................... 3 1.11. Funkce logritmická............................ 3 1.1.1 Funkce sinh, cosh............................. 3 1.1. Funkce tgh, cotgh............................. 3 5.3.1 Kružnice: (x m) + (y n) = r................... 71 5.3. Elips: (x m) + (y n) = 1........................ 71 b 5.3.3 Hyperbol: (x m) (y n) = 1...................... 71 b 5.3.4 Prbol: (y n) = p(x m)..................... 7 5.4.1 Koule: x + y + z = 1.......................... 74 5.4. Elipsoid: x 4 + y + z = 1........................ 74 5.4.3 Jednodílný hyperboloid: x + y z = 1................ 74 5.4.4 Dvojdílný hyperboloid: x + y z = 1................ 75 6
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 7 5.4.5 Eliptický prboloid: x + y z = 0.................. 75 5.4.6 Hyperbolický prboloid: x y z = 0............... 76 5.4.7 Kuželová ploch: x + y z = 0.................... 76 5.4.8 Eliptická válcová ploch: x + y = 1.................. 76 5.4.9 Hyperbolická válcová ploch: x y = 1................ 77 5.4.10 Prbolická válcová ploch: y = px.................. 77 6..1 Grf funkce sin 1............................. 80 x 6.13.1 Weierstrssov vět............................ 88 6.9.1 Význm Rolleovy věty.......................... 100 6.9. Význm Lgrngeovy věty........................ 100 6.36.1 Konvergující iterční proces....................... 106 6.36. Divergující iterční proces........................ 106 7.1.1 Horní polokoule rotční prboloid.................. 116 11.1.1 Určitý integrál - ploch obrzce 1.................... 150 11.1. Určitý integrál - ploch obrzce.................... 151 11.1.3 Určitý integrál - ploch obrzce 3.................... 15 11.9.1 Obdélníkové prvidlo........................... 156 11.9. Lichoběžníkové prvidlo......................... 157 11.9.3 Simpsonovo prvidlo........................... 158 11.11.1 Ploch obrzce mezi dvěm křivkmi.................. 163 11.11. Délk oblouku............................... 164 11.11.3 Objem těles............................... 164 1.1.1 Objem těles - dvojný integrál...................... 167 1.1. Objem těles - dvojný integrál...................... 168
Seznm tbulek 5.3.1 Knonické tvry koželoseček.......................... 70 5.4.1 Knonické tvry kvdrik............................ 73 8
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 9 0.1 Oznčení N množin přirozených čísel Z množin celých čísel R množin reálných čísel Q množin rcionálních čísel I množin ircionálních čísel C množin komplexních čísel P n (x) polynom n-tého stupně proměnné x A m,n mtice typu m, n (s m řádky n sloupci) A = ( ij ) mtice s prvky ij I jednotková mtice O nulová mtice det A = A determinnt mtice A A 1 mtice inverzní k mtici A dj A mtice djungovná k mtici A A ks lgebrický doplněk prvku ks hod (A) hodnost mtice A (R n, +,.) vektorový prostor všech uspořádných n-tic dim P dimenze prostoru P. sklární součin vektorů, b x norm vektoru x konec důkzu A lineární obl množiny A MA A mtice přechodu od báze A k bázi A b vektor je ortogonální n vektor b f V = g zúžení funkce n podmnožinu A B krtézský součim množin A, B b vektorový součin vektorů, b [, b, c] smíšený součin vektorů, b, c
π π π π π π π sin x cos x tgx cotgx rccosx rcsinx rctgx Kpitol 1 rccotgx sinhx coshx Zákldní tghx pojmy tghx mtemtické tghx logiky cotghx cotghx teorie množin x x x cotghx P Sn Definujeme: ξ 0 ξ 1 ξ i 1 Sjednocení (součet) množin ξ i 1 A B: A B (A + B), ξ n 1 Rozdíl množin A B: A ξ\ n 1 B (A B), f(ξ 0 Průnik ) (součin) množin f(ξ A 0 ) B: A B (AB). f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) A f(ξ n 1 ) h h B π sin x cos x tgx cotgx rccosx rcsinx rctgx rccotgx sinhx coshx 3 x 3 x 3 x ( 1 )x ( 1 ( 1 )x ( 1 3 )x ( 1 )x 3 )x ( 1 3 )x log 1.1 x log Zákldní mtemtické x log pojmy x log 3 x log 3 x log 3 x log 1 x log 1 x log 1 x 1. log 1 xmnožin log 1 x log 1 x 3 V sin mtemtice 1 3 nzýváme jkýkoliv sin 1 3 soubor či systém objektů sin 1 x x xmnožin. Můžeme npříkld mluvit α o množině všech stromůα n psece, o množině husα psoucích se n louce či o množině β všech celých čísel. β β f(α) Znčí-li A množinu všech f(α) předmětů x je jeden z těchto f(α) předmětů, říkáme, že x je prvkem f(β) množiny A (x ptří dof(β) A) píšeme x A. f(β) Není-li ξ y prvkem A, píšeme yξ A nebo y A. ξ f() Jestliže pro libovolné x máf() vzth x A vždy z následek f() vzth x B, potom říkáme, žef(b) množin A je obsžen v Bf(b) nzýváme ji podmnožinou f(b) množiny B. V tom přípdě píšeme y = x A B. Relce A = y B= jex speciálním přípdem relce y = x A B. Pltí-li A B tkép S1 B A, pk píšeme A = B. P S1 P S1 PJe S nutné zvést tké pojem Pprázdné S množiny neobshující P S žádné prvky. Tuto množinu znčíme P Si. P Si P Si P Sn ξ 0 ξ 1 f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) A f(ξ n 1 ) h h B π sin x cos x tgx cotgx rccosx rcsinx rctgx rccotgx sinhx coshx P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) A f(ξ n 1 ) h h B Obrázek 1.1.1: A B Obrázek 1.1.: A B Obrázek 1.1.3: A \ B 10
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 11 1. Elementy mtemtické logiky 1. Kvntifikátory Z zákldní kvntifikátory povžujeme následující dv: Existenční kvnitfikátor: (existuje); npř. x R : x + = 5 Obecný kvntifikátor: (pro všechny, pro kždé); npř. x R : x 1 < x.. Tvrzení, věty, logické symboly Jko tvrzení lze oznčit npř. výrok Knih je bílá. Mtemtická vět, resp. mtemtické tvrzení je prvdivý mtemtický výrok, který má význm v mtemtické teorii. Mtemtickou větu nzýváme tké prvidlo (obshuje-li návod k výpočtu) nebo lemm (jedná-li se o pomocnou větu). Je-li tvrzení prvdivé, říkáme, že výrok pltí, npř. + 3 = 5. O neprvdivém tvrzení (neprvdivé formuli, kontrdikci) mluvíme tehdy, když výrok nepltí, npř. x < 100. Rozlišujeme následující typy výroků: Konjunkce: (, zároveň); npř. (x > 5) (x 6) = 5 < x 6 Disjunkce: (pltí jedno nebo druhé nebo obojí); npř. (x > 5) (x 6) = x R Implikce: = (jestliže... pk); npř x = 1 = x = ±1 Ekvivlence: (tehdy jen tehy); npř. x > 0 x 0 Negce: x > 0 = x 0 1.3 Definice, věty, druhy důkzů Důkz přímý: Pro důkz tvrzení P = Q sestvíme řetězec prvdivých implikcí P = P 1 = P =... = P n = Q. Důkz nepřímý: Dokážeme (přímo) obměnu implikce P = Q, tedy Q = P. Důkz sporem: Vyjdeme z negce P dokzovného tvrzení P pomocí prvdivých implikcí odvodíme tvrzení neprvdivé. Tedy původní tvrzení P je prvdivé. Důkz mtemtickou indukcí: Tento důkz používáme pro dokzování tvrzení typu pro všechn n N, resp. pro všechn n n 0 pltí P. Důkz sestává ze dvou částí: v prvním kroku dokážeme tvrzení pro n 0 ve druhém (indukčním) kroku dokážeme, že pltí-li výrok P pro n, pk pltí i pro n + 1.
MATEMATIKA 1 1 1.4 Číselné množiny Definujeme následující číselné množiny: N množin přirozených čísel; N = {1,, 3,... } Z množin celých čísel (celá čísl); Z = N {0, 1,, 3,... } Q množin rcionálních čísel; { m n }, m, n Z, n 0 Q + množin ircionálních čísel (npř., e (zákld přirozeného logritmu), π (Ludolphovo číslo), log 5,... ) R množin reálných čísel C množin komplexních čísel {(, b) : R, b R}, i komplexní jednotk, i = 1, z = + ib C. Pltí: R = Q Q +, N Z Q R C. 1.5 Intervly Budeme interpretovt čísl jko body (celočíselné nebo reálné osy) nopk body přímky jko čísl. Množin čísel x splňujících nerovnosti x b (resp. < x < b) se nzývá uzvřený (resp. otevřený) intervl s koncovými body b. Anlogicky definujeme intervly polootevřené, polouzvřené nekonečné: uzvřený intervl: [, b] nebo <, b >, x b otevřený intervl: (, b) nebo ], b[, < x < b polootevřený (polouzvřený) intervl: [, b), x < b ( (, b], < x b) nekonečné intervly: (, ), (, ], (, ), (, ), [, ). 1.6 Zákldní vlstnosti komplexních čísel 1. Algebrický tvr komplexního čísl Číslo z = x + iy, kde x y jsou libovolná reálná čísl i je imginární jednotk, se nzývá lgebrický tvr komplexního čísl. Pk x se nzývá reálná y imginární část komplexního čísl z.
P Si sin x Fkult elektrotechniky komunikčních P Sn cos x technologií VUT v Brně 13 ξ 0 tgx ξ cotgx 1 ξ i 1 rccosx Im(z) ξ n 1 rcsinx f(ξ 0 ) rctgx f(ξ 1 ) rccotgxy z f(ξ i 1 ) sinhx f(ξ n 1 ) coshx tghx h h cotghx x Re(z) x Obrázek 1.6.1: Komplexní číslo z = x + iy v komplexní rovině 3 x ( 1 )x Podle definice jsou si dvě( 1 3 komplexní )x čísl rovn tehdy jen tehdy, jsou-li si rovny jejich reálné imginární části. log xpotom je rovnost log 3 x log x 1 + iy 1 = x + iy 1 x ekvivlentní dvěm rovnostem log 1 x 3 sin 1 x 1 = x y 1 = y. α Komplexní číslo z = x + iy lze zobrzit β jko bod v rovině xy, n jejíž ose x je znázorněn reálná část z n ose y imginární f(α) část z (viz. obr.1.6.1). Pro účely tohoto zobrzení se os x nzývá reálná os os f(β) y se nzývá imginární os, rovin Oxy se pk nzývá komplexní rovin. ξ Komplexní číslo si lze předstvit f() tké jko vektor, jehož počátek je totožný s počátkem soustvy souřdnic konec s f(b) bodem, n nějž se zobrzí dné komplexní číslo. Souřdnice vektoru n osách x y znázorňují y = x reálnou imginární část komplexního čísl z. Je-li y = 0, pk komplexní číslo P S1 z = x+i0 = x je reálné číslo znázorněné bodem reálné osy; je-li nopk x = 0, číslo z P= S 0 + iy = iy se nzývá ryze imginární je znázorněno bodem (0, y) ležícím n imginární ose. P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h z z Obrázek 1.6.: z, z - čísl komplexně sdružená Číslo komplexně sdružené (viz. obr.1.6.) s dným komplexním číslem z = + ib znčíme z je definováno jko z = ib.
cotgx MATEMATIKA 1 rccosx rcsinx 14 rctgx rccotgx Operce odčítání je definován sinhx jko operce inverzní ke sčítání; tj. z = + ib se nzývá rozdíl mezi komplexními coshxčísly z 1 = 1 + ib 1 z = + ib, pltí-li = 1 nd b = b 1 b. tghx Operce dělení komplexních cotghxčísel je definován jko operce inverzní k operci násobení. Komplexní číslo z = + ib x se nzývá kvocientem komplexních čísel z 1 = 1 + ib 1 z = + ib, pltí-li z 1 = z 3 x z. Řešením této rovnice (z předpokldu, že z 0) dostáváme z = z 1 = ( 1 1 + ib ( 1 1 ib = 1 + b 1 b z + ib ib + + i b 1 1 b 3 )x b +. log b x log 3 x. Trigonometrickýlogtvr 1 x komplexního čísl log 1 x 3 Jelikož je komplexní číslo definováno jko dvojice čísel reálných, je přirozené zobrzovt sin 1 komplexní číslo z = + ib jkox bod v rovině xy s krtézskými souřdnicemi x = y = b. Tuto rovinu nzveme komplexní α rovinou; os x se nzývá reálná os, os y se nzývá imginární os komplexní β roviny. Je tké možné definovt pozici bodu v rovině f(α) pomocí polárních souřdnic (ρ, ϕ), kde ρ je vzdálenost bodu od počátku souřdnic ϕ f(β) je úhel, který svírá vektor průvodič s kldnou poloosou osy x. Kldný směr pro měření úhlu ϕ je směr proti pohybu hodinových ξ ručiček. Využijeme-li vzthu mezi krtézskými f() polárními souřdnicemi f(b) x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, y = x dostáváme tkzvný trigonometrický (nebo polární) tvr zápisu komplexního čísl: P S1 P S P Si z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ). P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 b z ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h ϕ ρ Obrázek 1.6.3: Trigonometrický tvr komlexního čísl Vzdálenost ρ se nzývá modul nebo bsolutní hodnot z; úhel ϕ se nzývá rgument nebo mplitud z (viz. obr.1.6.3). Obvykle používáme znčení ρ = z, ϕ = Argz. Je-li z = + ib, pk ρ = + b, tg(ϕ) = b.
cotgx Fkult elektrotechniky komunikčních rccosx technologií VUT v Brně 15 rcsinx rctgx rccotgx Argument komplexního čísl je jednoznčně definován ž n periodu π. Je vhodné oznčit jko rg z hodnotu rgumentu sinhx v intervlu coshx tghxϕ 0 rg z π + ϕ 0, kde ϕ 0 je libovolné pevně zvolené cotghx číslo (npř. ϕ 0 = 0 nebo ϕ 0 = π). Pk x 3 x ( 1 )x Argz = rg z + kπ (k = 0, ±1, ±,... ). Hodnot rg z se nzývá hlvní hodnot rgumentu. V následujícím budeme používt ϕ 0 = 0. ( 1 3 )x Argument komplexního čísllog z = x0 není definován jeho modul je roven nule. Dvě nenulová komplexní čísl log 3 jsou x si rovn tehdy jen tehdy, když jsou si rovny jejich log 1 x moduly hodnoty rgumentů se buďto rovnjí, nebo se liší o násobek π. log 1 x 3 sin 1 x 3. Exponenciální tvr komplexního čísl α Exponenciální tvr (exponenciální β oznčení) komplexního čísl f(α) z = ρe iϕ f(β) lze získt z trigonometrického tvru ξ užitím tzv. Eulerovy formule: f() e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. f(b) Podle prvidel násobení dostáváme pro z 1 = ρ 1 e iϕ 1 z = ρ e iϕ y = x z 1 z = ρ 1 ρ e i(ϕ 1+ϕ ) P S1 (1.6.1) P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.6.4: z 1 + z, z 1 z z 1 z = ρ 1 ρ e i(ϕ 1 ϕ ). z z 1 + z z 1 z z 1 z 1 + z Operce sčítání odčítání komplexních čísel odpovídjí opercím s vektory: součet dvou komplexních čísel (vektorů) z 1 z je vektor z 1 + z. Anlogicky se sestrojí vektor z z 1 jko rozdíl vektorů z z 1. Tk okmžitě dostáváme trojúhelníkové nerovnosti z 1 + z z 1 + z, z 1 z z 1 z.
MATEMATIKA 1 16 4. De Moivreov vět Ze vzthu (1.6.1) lehce dostáváme tk zvnou De Moivreovu větu: kde n je kldné celé číslo. z n = [ρ(cos ϕ + i sin ϕ)] n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ), 5. Odmocňování komplexního čísl Komplexní číslo z 1 = n z se nzývá n-tou odmocninou komplexního čísl z, jestliže pltí z = z n 1. Je-li z 1 = ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) potom podle De Moivreovy věty (nebo Eulerovy formule) z n 1 = ρ n 1(cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ). Je-li z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), pk ρ = ρ n 1 = ρ 1 = n ρ ϕ = nϕ 1 = ϕ 1 = ϕ n. Jk bylo výše uvedeno, rgument komplexního čísl je definován jednoznčně ž n periodu π. Z toho důvodu dostáváme pro rgument komplexního čísl z 1 ϕ k = ϕ n + πk ; k = 0, 1,..., n 1, n kde ϕ je jedn z hodnot rgumentu komplexního čísl z. Tedy existují různá komplexní čísl která, umocněná n n-tou, jsou rovn témuž komplexnímu číslu z. Moduly těchto komplexních čísel jsou stejné jsou rovny n ρ, jejich rgumenty se liší o násobky π/n. Počet různých hodnot n-tých odmocnin komplexního čísl z je n. Body v komplexní rovině odpovídjící různým hodnotám n-té odmocniny komplexního čísl z leží ve vrcholech prvidelného n úhelník vepsného do kruhu o poloměru n ρ se středem v bodě z = 0. Odpovídjící hodnoty ϕ k získáme tk, že z k dosdíme hodnoty k = 0, 1,..., n 1. Klsická nlýz položil problém rozšíření reálných čísel tkovým způsobem, by výsledkem nejen elementárních opercí sčítání násobení, le tké operce odmocňování bylo číslo z téže (rozšířené) číselné množiny. Jk vidíme, komplexní čísl tento problém řeší. Dostli jsme vzorec n ( z = n ρ cos ϕ + kπ + i sin ϕ + kπ ), n n Příkld 1 Njděte všechny hodnoty i. Řešení. Nechť z = i = e iπ/. Pk z k = cos π/ + kπ k = 0, 1,..., n 1. + i sin π/ + kπ, k = 0, 1
sin 1 x Fkult elektrotechniky komunikčních α technologií VUT v Brně 17 β f(α) f(β) ξ z 0 = cos π 4 + i sin π f() 4 = (1 + i), f(b) z 1 cos 5π 4 + i sin 5π y = x 4 = (1 + i). Příkld Grficky znázorněte všechn řešení z 5 = 1. Řešení. P Si 3 P S1 P S P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 z z 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.6.5: Řešení z 5 = 1 z 3 z 4 z 0 1.7 Zvedení pojmu funkce, inverzní funkce, funkce dvou více proměnných Nechť D f je číselná množin nechť je dán jistý předpis, podle něhož kždému číslu x D f přiřdíme (jedinou) hodnotu y. Pk říkáme, že n množině D f je definován (jednohodnotová) funkce píšeme: y = f(x), (x D f ). Pk y nzýváme hodnotou funkce (funkcí, závisle proměnnou), x rgumentem (nezávisle proměnnou). D f nzýváme definičním oborem funkce ( domin ), H f nzýváme oborem hodnot funkce ( imge ), y H f, H f = f(d f ). Dále říkáme, že funkce f zobrzuje množinu D f n množinu H f f nzýváme zobrzením. Pojem funkce může být tké chápán geometricky. 1. Speciální typy funkcí Definice 1 Funkce, pro niž pltí: se nzývá prostá. x 1, x D f (x 1 x ) = f(x 1 ) f(x ) Příkld 3 Jsou funkce y = x, y = cos x, y = x 1 jednohodnotové funkce ve svých definičních oborech D f? (Viz grfy funkcí.)
logtgx 3 x logtgx 3 x log 1 x log 1 cotgx cotgxx logmatematika 1 x 1 log 1 x rccosx 18 3 rccosx 1 3 rcsinxx rcsinx 1 x rctgx α rctgx α rccotgx Definice β Funkce f(x) je (n intervlu rccotgx I): β sinhx f(α) sinhx f(α) rostoucí, jestliže x 1, x I, x 1 < x : f(x 1 ) < f(x ) coshx f(β) coshx f(β) tghxξ tghxξ klesjící, jestliže x 1, x I, x 1 < x : f(x 1 ) > f(x ) cotghx f() cotghx f() f(b) x nerostoucí, jestliže x 1, x I, x 1 < x f(b) : f(x x 1 ) f(x ) y = 3 x y = 3 x ( 1 )x neklesjící, jestliže x 1, x I, x 1 < x( 1 : )x f(x 1 ) f(x ). P S1 ( 1 3 )x P S P Si P Sn log x log 3 x log 1 x ξ 0 log 1 x 3 ξ sin ξ 1 i 1 x ξ n 1 α β f(ξ 0 ) f(α) f(ξ 1 ) f(ξ f(β) i 1 ) ξ f(ξ n 1 ) f() h f(b) h y = x y f(x) f(x ) f(x 1 ) x 1 x Obrázek 1.7.1: Funkce rostoucí P S1 x P S1 P S P Si ( 1 3 )x log x logp 3Sn x y log 1 x ξ 0 log 1 x 3 ξ sin 1 ξ i 1 x ξ n 1 α f(x 1 ) f(ξ 0 β) f(x) f(α) f(ξ 1 ) f(x ) f(ξ f(β) i 1 ) ξ x 1 x f(ξ n 1 ) f() h f(b) h y = x Obrázek 1.7.: Funkce klesjící P S1 x P S P S P Si P Sn y P Si P Sn y ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h f(x 1 ) f(x ) f(x) x 1 x x ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h f(x ) f(x 1 ) x 1 x f(x) x Obrázek 1.7.3: Funkce nerostoucí Obrázek 1.7.4: Funkce neklesjící Definice 3 Rostoucí klesjící funkce se nzývjí ryze monotónní. Definice 4 Funkce f(x) se nzývá omezená, jestliže M R x D f : f(x) M.
log 1 x cotgx log 1 x log 1 x rccosx log 1 x Fkult 3 elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 19 sin 1 3 rcsinx sin 1 x x rctgx α rccotgx α β Příkld 4 Jsou funkce f(x) = x β, f(x) = sin x omezené? f(α) sinhx f(α) f(β) coshx Definice 5 Funkce f(x) se nzývá: f(β) tghx ξ ξ f() lichá, jestližecotghx x D f : f(x) = f( x), f() f(b) x f(b) sudá, jestliže x 3 x D f : f(x) = f( x), y = x ( 1 periodická, jestliže )x ω > 0, ω R, x P S1 D f : f(x + ω) = f(x). y = x P S1 P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h ( 1 3 )x log x log 3 x Obrázek 1.7.5: Funkce lichá y log 1 log 1 3 x x sin 1 x α β f(α) f(β) ξ f() f(b) y = x P S1 P S f(x) x P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.7.6: Funkce sudá y f(x) x P Si P Sn y ξ 0 ξ 1 ξ i 1 f(x) ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h x Obrázek 1.7.7: Funkce periodická 1.8 Inverzní funkce Uvžujme libovolnou funkci y = f(x) definovnou n množině E oznčme E 1 = f(e) obrz E. Přiřďme kždému y E 1 množinu všech x E, pro něž y = f(x). Dostáváme funkci x = ϕ(y) definovnou n E 1. Funkce ϕ(y) se nzývá funkce inverzní k f(x).
( 1 3 )x MATEMATIKA 1 log x 0 log 3 x log 1 x log 1 x Budeme předpokládt, 3 že inverzní funkce je jednohodnotová. Tkto dostáváme zřejmé identity: ϕ[f(x)] = x, sin 1 x E f[ϕ(y)] = y, y E 1. Někdy je pohodlné oznčit funkci inverzní k f symbolem fα 1. Pk f 1 f(x) = x, x E ff 1 (y) = y, y E 1. β f(α) f(β) Příkld 5 f(x) = x, f 1 (x) = x, (y = x, x = y), x 0 ξ f() y = kx, k 0, k R, y = f(b) 1x, k y = x y = rccos x je inverzní k y = cos x n [0, π]. P S1 P S P Si P Sn y x ξ 0 ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h x x Obrázek 1.8.1: Funkce inverzní Vět 1.8.1 Grfy inverzních funkcí f(x), f 1 (x) jsou symetrické podle osy y = x. Důkz. Nechť y = f(x), y = g(x) f[g(x)] = x. Je-li b = f(), pk g(b) = body [, b], [b, ] jsou symetrické podle osy y = x. 1.9 Trigonometrické funkce Funkce sinus: sin α, Funkce kosinus: cos α, Funkce tngens: tgα, funkce kotngens: cotgα.
sin f(α) x sin f(α) x cos f(β) Fkult x elektrotechniky komunikčních technologií cos f(β) x VUT v Brně 1 tgx ξ ξ cotgx f() f() rccosx f(b) rccosx f(b) rcsinx y = x rcsinx y = x rctgx rctgx P S1 P S1 rccotgx rccotgx P S P S sinhx P Si sinhx P Si coshx P Sn y coshx P Sn y tghx tghx ξ 0 1 1 ξ cotghx sin x cotghx 0 ξ 1 ξ i 1 x ξ n 1 3 x ( 1 )x f(ξ 0 ) ( 1 3 )x f(ξ 1 ) log x f(ξ i 1 ) log 3 x log 1 x f(ξ n 1 ) log h 1 x 3 h 1 sin 1 x Obrázek α 1.9.1: Funkce sinus β f(α) f(β) ξ f() f(b) y = x P S1 P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 π y tgx π x ξ 1 ξ i 1 x ξ n 1 3 x ( 1 )x f(ξ 0 ) ( 1 3 )x f(ξ 1 ) log x f(ξ i 1 ) log 3 x log 1 x f(ξ n 1 ) log h 1 x 3 h 1 cos x sin 1 x Obrázek α 1.9.: Funkce cosinus β f(α) f(β) ξ f() f(b) y = x P S1 P S P Si P Sn ξ 0 ξ 1 π y cotgx π x ξ i 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) π π x ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) π π x f(ξ i 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h f(ξ n 1 ) h h Obrázek 1.9.3: Funkce tngens Obrázek 1.9.4: Funkce cotngens
3 x ( 1 )x MATEMATIKA 1 ( 1 3 )x ( 1 3 )x log x log x log 1.10 3 x log 1 x log Inverzní trigonometrické 3 x log 1 x funkce log 1 x log 1 x 3 sin 1 3 y = rcsin x (rkus sinus) je inverzní k sin funkci y = sin x; x x rcsin(sin x) x, sin(rcsin x) x, x D f = [ 1, 1]. α α β y = rccos x (rkus kosinus) je inverzní kβ funkci y = cos x; f(α) rccos(cos x) x, cos(rccos x) x, x f(α) D f = [ 1, 1]. f(β) f(β) ξ y = rctg x (rkus tngens) je inverzní k ξfunkci y = tg x; f() rctg(tg x) x, tg(rctg x) x, x Df() f = (, + ), f(b) f(b) y = x y = rccotg x (rkus kotngens) je inverzní y = x k funkci y = cotg x; P S1 rccotg(cotg x) x, cotg(rccotg x) x, P S1 x D f = (, + ). P S P S P Si P Si P Sn y P Sn y ξ 0 π ξ 0 π ξ 1 ξ 1 rccotgx rccosx ξ i 1 ξ i 1 π ξ n 1 rcsinx ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h π 1 0 1 π π x 3 x ( 1 )x f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h 0 π rctgx x Obrázek 1.10.1: Funkce Arcsin, Arccos Obrázek 1.10.: Funkce Arctg, Arccotg 1.11 Exponenciální logritmické funkce y = x (exponenciální funkce), D f = R, > 0, R, y = log x (logritmická funkce) D f = (0, ) je inverzní k exponenciální funkci. y = x x = log y. Definice 6 y = log x jestliže y = x; > 0, 1, x > 0. Následující vzorec je užitečný: log β α = log γ α log γ β Je-li = 10, pk log 10 x = log x; je-li = e, pk log e x = ln x.
f() f() sin f(b) x sin f(b) x Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 3 cos y = x cos y = x tgx P S1 tgx P S1 cotgx P S cotgx P S P Si y P rccosx rccosx Si y P Sn P rcsinx rcsinx Sn rctgx ξ 3 x 0 rctgx ξ ( 1 ξ 0 log x rccotgx 3 )x 1 rccotgx ξ 1 ξ i 1 ξ sinhx i 1 1 log 3 x ξ n 1 ξ 3 coshx n 1 tghx f(ξ ( 1 x 0 ) 0 1 3 x )x f(ξ 0 ) cotghx f(ξ 1 ) f(ξ 1 ) 1 f(ξ i 1 ) 1 log 1 x f(ξ 3 i 1 ) x x log 1 x f(ξ n 1 ) 3 h x ( 1 )x h ( 1 3 )x 1 0 1 f(ξ n 1 ) 3 x h x ( 1 )x h ( 1 3 )x log x log x log Obrázek 1.11.1: Funkce exponenciální Obrázek 1.11.: Funkce logritmická 3 x log 3 x log 1 x log 1 x log 1 x log 1 x 3 3 sin 1 sin 1 x x αdefinice 7 α β sinh x = ex e β x (hyperbolický sinus), f(α) f(α) f(β) cosh x = ex +e x f(β) (hyperbolický kosinus), ξ ξ f() tgh x = sinh x e x (hyperbolickýf() tngens), cosh x e x +e f(b) x f(b) y = x cotgh x = cosh x +e x (hyperbolický y = kotngens). x sinh x e x e x P S1 P S1 P S P S P Si y P Si y P Sn π P Sn π cotghx ξ 0 coshx ξ 0 1.1 Hyperbolické inverzní hyperbolické funkce ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h sinhx π π 1 π 0 π x ξ 1 ξ i 1 ξ n 1 f(ξ 0 ) f(ξ 1 ) f(ξ i 1 ) f(ξ n 1 ) h h π 1 0 1 π tghx π x Obrázek 1.1.1: Funkce sinh, cosh Obrázek 1.1.: Funkce tgh, cotgh
MATEMATIKA 1 4 Inverzní hyperbolické funkce: y = rgsinh x (je funkce inverzní k y = sinh x) y = rgcosh x (je funkce inverzní k y = cosh x) y = rgtgh x (je funkce inverzní k y = tgh x) y = rgcotgh x (je funkce inverzní k y = cotgh x) Některé vzorce: cosh x sinh x = 1, cosh x = cosh x + sinh x, sinh x = sinh x cosh x, cosh 1 x = 1 tgh x, sinh x = tgh x 1 tgh x. 1.13 Definice funkce komplexní proměnné Předpokládejme, že je dán vektorová funkce sklárního rgumentu, jejíž průmět n osu z je identicky roven nule pro všechny hodnoty prmetru t. Pk A(t) = x(t) i + y(t) j (1.13.1) křivk r = A(t) leží celá v rovině Oxy. V tomto přípdě je příhodné povžovt vektor r = x i + y j z geometrickou reprezentci komplexního čísl z = x + iy mluvit místo o vektorové funkci r(t) = x(t) i+y(t) j o komplexní funkci z(t) = x(t)+iy(t) reálné proměnné t. Vektor i není totožný s imginární jednotkou. Definice 8 Jestliže je kždé hodnotě prmetru t přiřzeno určité komplexní číslo z(t) = x(t) + iy(t), (1.13.) kde x(t) y(t) jsou funkce nbývjící reálných hodnot, z(t) se nzývá komplexní funkce reálného rgumentu t. Prmetr t nbývá hodnot z dného intervlu. Grf komplexní funkce z(t) = x(t) + iy(t) je, podle definice, křivk s prmetrickými rovnicemi x = x(t), y = y(t); tedy, hodogrfy vektorové funkce (1.13.1) komplexní funkce (1.13.) jsou shodné. Příkld 6 Pro funkci z(t) = t + it, t (, + ) máme x = t y = t. Hodogrfem je prbol y = x. Pokud t nbývá hodnot od do +, body prboly se pohybují tk, že kldná část osy y zůstává vždy vlevo.
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 5 1.14 Mnohočleny rcionální funkce Definice 9 Polynomem n-tého stupně proměnné x nzveme výrz P n (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0, kde n N n,..., 1, 0 jsou libovolná reálná či komplexní čísl, přičemž n 0. Polynomu může být zpsán i ve tvru P n (x) = 0 + 1 x + + n 1 x n 1 + n x n. Podle toho, z jké množiny bereme koeficienty i, i = 1,,..., n, mluvíme o polynomu celočíselném, reálném, rcionálním, komplexním, td. Polynomy můžeme sčítt, násobit číslem, násobit mezi sebou dělit. Nechť pro n m máme P n (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0, potom Q m (x) = b m x m + b m 1 x m 1 + + b 1 x + b 0, P n (x) + Q m (x) = ( 0 + b 0 ) + ( 1 + b 1 )x + + ( m + b m )x m + m+1 x m+1 + + n x n, kde Pro n m pltí αp n (x) = (α n )x n + (α n 1 )x n 1 + + (α 1 )x + (α 0 ), P n (x) Q m (x) = c n+m x n+m + + c 1 x + c 0, c k = i+j=k i b j, i = 0, 1,..., n, j = 0, 1,..., m. P n (x) Q m (x) = S n m(x) + R k(x) Q m (x), kde R k (x) je zbytek stupně k < m, což můžeme zpst ve tvru P n (x) = S n m (x)q m (x) + R k (x). Definice 10 Polynom D(x), který dělí beze zbytku polynomy P n (x) Q m (x) se nzývá společným dělitelem polynomů P n (x) Q m (x). Polynom D(x), který má ze všech společných dělitelů nejvyšší stupeň, se nzývá největší společný dělitel polynomů P n (x) Q m (x). Eukleidův lgoritmus Nechť jsou dány nenulové polynomy P, Q, stupeň P = st (P ) > st (Q). Polynom P vydělíme polynomem Q dostneme částečný podíl S zbytek R 1, st (R 1 ) < st (Q): P = QS + R 1.
MATEMATIKA 1 6 Nyní vydělíme polynom Q zbytkem R 1 získáme částečný podíl S 1 zbytek R, st (R ) < st (R 1 ), Q = R 1 S 1 + R. Vydělíme polynom R 1 zbytkem R dostneme R 1 = R S + R 3. Pokrčujeme dále, ž v k-tém kroku dostneme R k = R k 1 S k 1 + R k. Protože st (R k ) < st (R k 1 ) < < st (R ) < st (R 1 ) < st (Q) < st (P ), po konečném počtu t kroků dostneme R t = R t 1 S t 1 + R t, R t 1 = R t S t + 0. Z poslední rovnosti plyne, že polynom R t je dělitelem polynomu R t 1. Doszením do předposlední rovnosti dostneme R t = R t S t S t 1 + R t = R t (S t S t 1 + 1), neboli R t je i dělitelem polynomu R t tk můžeme pokrčovt dále ukázt, že všechny polynomy R j, j < t jsou dělitelné polynomem R t, tedy i P Q jsou dělitelné R t. Obráceně, nechť je polynom D společným dělitelem polynomů P Q. Potom D bude dělitelem polynomu R 1. Jestliže D dělí Q R 1, potom dělí i R. Jestliže dělí R 1 R, dělí i R 3, td., polynom D tedy musí dělit i R t. R t je tedy největším společným dělitelem polynomů P Q. Definice 11 Číslo α je kořenem polynomu P n (x), jestliže pltí P n (α) = n α n + n 1 α n 1 + + 1 α + 0 = 0. Vět 1.14.1 Zákldní vět lgebry Kždý polynom s reálnými nebo komplexními koeficienty stupně n 1 má spoň jeden kořen, obecně komplexní. Vět 1.14. Bézoutov Číslo α je kořenem polynomu P n (x) stupně n 1 právě tehdy, když P n (x) = (x α)q n 1 (x), kde Q n 1 (x) je vhodný polynom stupně n 1. Důsledek 1 Kždý polynom P n (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0, stupně n 1 s (komplexními) kořeny α 1, α,..., α n, přičemž kořeny nemusí být nvzájem různé, se dá rozložit n součin kořenových činitelů P n (x) = n (x α 1 )(x α )... (x α n ).
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 7 Definice 1 Násobností kořene α rozumíme počet, kolikrát se α vyskytuje v rozkldu n kořenové činitele. Důsledek Kořen α polynomu P n (x) má násobnost k, jestliže P n (x) je dělitelný polynomem (x α) k, le není dělitelný polynomem (x α) k+1. Vět 1.14.3 Hornerovo prvidlo Pro výpočet hodnoty polynomu P n (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 v bodě x = α nebo pro určení koeficientů b i polynomu Q n 1 (x) = b n 1 x n 1 + + b 1 x + b 0 vzniklého dělením polynomu P n (x) členem (x α) používáme tohoto postupu: x = α n n 1... 1 0 b n 1 b n... b 1 b 0 r, kde pltí b n 1 = n, b n = b n 1 α + n 1,...... b 1 = b α +, b 0 = b 1 α + 1, r = b 0 α + 0 = P n (α) Důsledek 3 Jestliže při použití Hornerov prvidl dostneme r = 0, potom je α kořenem polynomu P n (x). Vět 1.14.4 Vietovy vzorce Mezi koeficienty kořeny polynomu pltí vzthy P n (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 = n (x α 1 )(x α )... (x α n ) n 1 = n (α 1 + α + + α n ), n = n (α 1 α + α 1 α 3 + + α α 3 + + α n 1 α n ),...... 0 = ( 1) n n (α 1 α... α n ). Důsledek 4 Kždý kořen dělí bsolutní člen.
MATEMATIKA 1 8 Vět 1.14.5 Mějme polynom s celočíselnými koeficienty P n (x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0. Celé číslo α může být kořenem, jestliže α dělí bsolutní člen 0. Rcionální číslo p (kde p je celé číslo q je přirozené číslo nesoudělné s p) může být q kořenem polynomu P n (x), jestliže p dělí bsolutní člen 0 q dělí koeficient u nejvyšší mocniny n. Definice 13 Nechť P n (x) Q m (x) jsou polynomy. Jejich podíl R(x) = P n(x) Q m (x) nzveme rcionální funkcí lomenou. Je-li n < m, mluvíme o rcionální funkci ryze lomené. Vět 1.14.6 Kždá rcionální neryze lomená funkce R(x) se dá jednoznčně vyjádřit ve tvru R(x) = F (x) + G(x), kde F (x) je polynom stupně n m G(x) je rcionální funkce ryze lomená. Vět 1.14.7 O rozkldu n prciální zlomky Mějme reálnou ryze lomenou rcionákní funkci R(x) = P n(x) Q m (x), n < m, s rozkldem jmenovtele n kořenové činitele nd R Q m (x) = m (x α 1 ) k 1 (x α ) k... (x α r ) kr (x +p 1 x+q 1 ) s 1 (x +p x+q ) s... (x +p v x+q v ) sv, kde α i, i = 1,,..., r jsou reálné kořeny násobnosti k i kvdrtický trojčlem x + p j x + q j j = 1,,..., v, p j 4q j < 0, reprezentuje dvojici komplexně sdružených kořenů s násobností s j. Potom + v j=1 R(x) = r i=1 ( ) Ai1 (x α i ) + A i (x α i ) + + A iki + (x α i ) k i ( Mj1 x + N j1 (x + p j x + q j ) + M jx + N j (x + p j x + q j ) + + M ) js j x + N jsj, (x + p j x + q j ) s j kde všechny koeficienty A ik, M js, N js jsou reálná čísl.
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 9 Příkld 7 Rozložte n prciální zlomky rcionální lomenou funkci R(x) = 6x + 7x + 4 x 3 + 3x 1. Řešení: Rozložíme jmenovtele n součin kořenových činitelů (nejlépe pomocí Hornerov schémtu). ( x 3 + 3x 1 = x 1 ) (x + 1). Máme jeden prostý reálný kořen x = 1 jeden reálný kořen x = 1, který má násobnost. Dosdíme podle předchozí věty dostneme: 6x + 7x + 4 x 3 + 3x 1 = A x 1 + B x + 1 + C (x + 1). Neznámé koeficienty určíme tk, že celou rovnici vynásobíme jmenovtelem rcionální funkce (t.j. polynomem x 3 + 3x 1) uprvíme: 6x + 7x + 4 = A(x + 1) + B(x 1 )(x + 1) + C(x 1 ), 6x + 7x + 4 = A(x + x + 1) + B(x 1)(x + 1) + C(x 1), 6x + 7x + 4 = A(x + x + 1) + B(x + x 1) + C(x 1). Srovnáním koeficientů polynomů n obou strnách rovnice dostneme soustvu rovnic: 6 = A + B 7 = 4A + B + C 4 = A B C Soustv má jediné řešení Rozkld n prciální zlomky má proto tvr A =, B = 1, C = 1. 6x + 7x + 4 x 3 + 3x 1 = x 1 + 1 x + 1 1 (x + 1). Příkld 8 Rozložte n prciální zlomky rcionální lomenou funkci F (x) = 16x3 15x + 6x + 5 (x 1) (x + x + 5). Řešení: Jmenovtel má jeden reálný kořen x = 1 násobnosti dvojici komplexně sdružených kořenů. Rozkld n prciální zlomky bude mít tvr: 16x 3 15x + 6x + 5 (x 1) (x + x + 5) = A x 1 + B ( ) x 1 + Cx + D x + x + 5.
MATEMATIKA 1 30 Po vynásobení společným jmenovtelem dostneme ( 16x 3 15x +6x+5 = 4A x 1 ) ( (x +x+5)+4b(x +x+5)+4(cx+d) x 1. ) Po úprvě dostneme soustvu rovnic, která má řešení Rozkld n prciální zlomky má tedy tvr A = 0, B = 1, C = 4, D = 0. 4 16x 3 15x + 6x + 5 (x 1) (x + x + 5) = 1 (x 1) + 4x x + x + 5. Vět 1.14.8 Mějme reálnou ryze lomenou rcionální funkci jejíž jmenovtel má pouze prosté kořeny R(x) = P n(x) Q m (x), n < m, Q m (x) = m (x λ 1 )(x λ )... (x λ m ), Potom kde R(x) = L 1 (x λ 1 ) + L (x λ ) + + L m (x λ m ), L i = P n(λ i ), i = 1,,..., m. Q m(λ i ) Příkld 9 Rozložte n prciální zlomky rcionální lomenou funkci R(x) = x + 1 (x 1)(x + x 6). Řešení: Rozložíme jmenovtele n součin kořenových činitelů. (x 1)(x + x 6) = (x + 1)(x 1)(x + 3)(x ). Všechny kořeny jsou reálné prosté. Rozkld bude mít tvr x + 1 (x 1)(x + x 6) = A x + 1 + B x 1 + C x + 3 + Po vynásobení rovnice jmenovtelem (x 1)(x + x 6) dostneme D x. x + 1 = A(x 1)(x + 3)(x ) + B(x + 1)(x + 3)(x ) + C(x + 1)(x 1)(x )+ +D(x + 1)(x 1)(x + 3).
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 31 Do poslední rovnice postupně doszujeme jednotlivé kořeny. Pro x 1 = 1 dostneme po doszení: ( 1) + 1 = A( 1 1)( 1 + 3)( 1 ) + B( 1 + 1)( 1 + 3)( 1 ) + C 0 + D 0, Pro x = 1: Pro x = 3: = A( )()( 3), A = 1 6. 1 + 1 = A(1 1)(1 + 3)(1 ) + B(1 + 1)(1 + 3)(1 ) + C 0 + D 0, = B()(4)( 1), B = 1 4. ( 3) + 1 = A 0 + B 0 + C( 3 + 1)( 3 1)( 3 ) + D 0, 10 = C( )( 4)( 5), C = 1 4. Pro x = : + 1 = A 0 + B 0 + C 0 + D( + 1)( 1)( + 3), 5 = D(3)(1)(5), D = 1 3. Konečný rozkld má tedy tvr x + 1 (x 1)(x + x 6) = 1 6(x + 1) 1 4(x 1) 1 4(x + 3) + 1 3(x ).
Kpitol Mtice determinnty. Soustvy lineárních rovnic jejich řešení..1 Mtice Definice 14 Nechť m, n jsou přirozená čísl. Jestliže kždé uspořádné dvojici (i, j) {1,,..., m} {1,,..., n} přiřdíme prvek ij R, obdržíme reálnou mtici typu (m, n) nd R. Čísl i, j jsou indexy, i je řádkový j je sloupcový index. Mtice zpisujeme jko 11 1... 1n 1... n A = ( ij ) =.... m1 m... mn Mtice budeme oznčovt velkými písmeny. Speciální typy mtic: Mtice řádková B = ( 1,,..., n ). Mtice sloupcová C = 1. n. 11 0... 0 0... 0 Mtice digonální ij = 0 i j, D =.... 0 0... mm. 3
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 33 Prvky ii i = 1,,..., min(m, n) tvoří hlvní digonálu. Mtice D je typu (m, m), obecně může mít digonální mtice buď ještě dlší sloupce, v nichž budou smé nuly, nebo dlší řádky, v nichž budou opět smé nuly. Jestliže m = n, potom mluvíme o čtvercové mtici řádu m. 1 0... 0 0 1... 0 Mtice jednotková I =..... 0 0... 1 Mtice jednotková je tedy čtvercová digonální mtice, která má n hlvní digonále smé jedničky. Mtice nulová O = ( ij ), ij = 0 i, j. 11 1... m1 Mtice trnsponovná A T 1... m =.... 1n n... mn. Mtice symetrická ij = ji i, j. Mtice téhož typu (m, n) nd R budeme znčit R m,n. Definice 15 Mtice A = ( ij ) je rovn mtici B = (b kl ), jsou-li obě mtice stejného typu stejnolehlé prvky se sobě rovnjí, tj. A R m,n, B R m,n, ij = b ij, i {1,,..., m}, j {1,,..., n}. Definice 16 Součtem dvou mtic A, B R m,n je mtice C R m,n tková, že c ij = ij + b ij. Číselným násobkem α R mtice A R m,n je mtice B R m,n tková, že b ij = α ij. Lineární kombincí mtic A 1, A,..., A k R m,n s koeficienty λ 1, λ,..., λ k nzveme mtici A = λ 1 A 1 + λ A + + λ k A k. Definice 17 Mějme rovnost λ 1 A 1 + λ A + + λ k A k = O (.1.1) kde O je nulová mtice. Mtice A 1, A,..., A k nzveme lineárně závislé, pokud λ i 0, i = 1,,..., k rovnost (.1.1) pltí. Mtice A 1, A,..., A k nzveme lineárně nezávislé, pokud rovnost (.1.1) pltí tehdy jen tehdy, když λ i = 0 pro i = 1,,..., k. Důsledek 5 Jsou-li A 1, A,..., A k lineárně závislé, potom lespoň jedn z nich je lineární kombincí zbývjících. Je-li některá z mtic A 1, A,..., A k lineární kombincí zbývjících, jsou mtice A 1, A,..., A k lineárně závislé. Je-li některá z mtic A 1, A,..., A k nulová, jsou mtice A 1, A,..., A k lineárně závislé.
MATEMATIKA 1 34 Příkld 10 Mtice A 1 = 1 0 0, A = závislé, protože pltí A 1 + A A 3 = O. 0 1 1 1, A 3 = Příkld 11 Určete lineární závislost či nezávislost mtic 1 A 1 = 0, 1 A =, A 3 = 0 0 Řešení: Sestvíme si lineární kombinci těchto vektorů podle definice 17: Dosdíme λ 1 1 0 0 λ 1 A 1 + λ A + λ 3 A 3 = + λ 1 0 λ 1 + λ λ + λ 3 λ 3 + λ 3 = 0 1 1 0 0 0 0 0 0. =. Srovnáním stejnolehlých prvků dostneme soustvu rovnic λ 1 + λ = 0, λ + λ 3 = 0, λ 3 = 0, 0 1 1 0 0 0., 1 0 jsou lineárně která má řešení λ 1 = λ = λ 3 = 0. Podle definice 17 jsou mtice A 1, A, A 3 lineárně nezávislé.. Determinnt Definice 18 Permutce je zobrzení množiny {1,,..., n} n sebe. Definice 19 Inverzí v permutci (i 1, i,..., i n ) rozumíme kždý výskyt tkové dvojice čísel, že větší stojí před menším, tj. vlevo od něj. Příkld 1 Permutce (, 3, 1) má dvě inverze 1 3 1.
Fkult elektrotechniky komunikčních technologií VUT v Brně 35 Definice 0 Determinnt čtvercové mtice A řádu n je číslo 11 1... 1n 1... n det A = A = = ( 1) t(j).... 1j1 j... njn, (j 1,j,...,j n) n1 n... nn kde sčítáme přes všechny permutce (j 1, j,..., j n ) množiny {1,,..., n} t(j) je rovno počtu inverzí v permutci (j 1, j,..., j n ). Příkld 13 Křížové prvidlo pro výpočet determinntu mtice druhého řádu: b c d = d bc. Příkld 14 Srrusovo prvidlo pro výpočet determinntu mtice třetího řádu: b c d e f = ek + bfg + cdh ceg fh bdk. g h k Poznámk 1 Pro determinnty mtic vyšších řádů podobný vzorec neexistuje. Vět..1 Vlstnosti determinntů: 1. V definičním vyjádření determinntu mtice A se vyskytuje člen ( i1 j 1 i j... inj n ) se znménkem (+) pokud mjí permutce (i 1, i,..., i n ), (j 1, j,..., j n ) součsně sudý počet inverzí nebo součsně lichý počet inverzí; se znménkem ( ) pokud má jedn permutce sudý druhá lichý počet inverzí.. det A = det (A T ), t.j. ekvivlence řádků sloupců. 3. Záměnou dvou sloupců mtice A se hodnot determinntu změní n opčnou. 4. Determinnt mtice, která má dv stejné sloupce, je roven nule. 5. Společný násobek všech prvků sloupce se může vytknout před determinnt. 6. Nechť prvky s-tého sloupce mtice A jsou lineární kombince prvků tvru is = βb is + γc is, potom A = β A b + γ A c, kde mtici A b získáme z mtice A nhrzením s-tého sloupce prvky b is ponecháním osttních beze změny mtici A c získáme obdobně nhrzením s-tého sloupce mtice A prvky c is ponecháním osttních beze změny. 7. Jestliže některý sloupec mtice A je lineární kombincí zbývjících, potom A = 0. 8. Hodnot determinntu se nezmění, pokud přičteme k jednomu sloupci lineární kombinci zbývjících.