. Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + +
- - - + + + = = + + - Prvidlo tohoto výpočtu se nzývá Srrusovo prvidlo. Pozor!!! Toto prvidlo pltí pouze pro determinnty mtic x.
Vlstnosti determinntů Co děljí s determinntem elementární řádkové úprvy mtice? Vět: Nechť A je čtvercová mtice typu n xn. - Jestliže změníme dv různé řádky (sloupce) mtice A, pk determinnt výsledné mtice je -. - Jestliže některý řádek (sloupec) mtice A násobíme nenulovým číslem u, pk determinnt výsledné mtice je u(). - Jestliže násobek jednoho řádku (sloupce) přičteme k jinému řádku (sloupci), pk determinnt výsledné mtice je.
Rozvoj determinntu Definice: Nechť A je čtvercová mtice stupně n. Pk determinnt mtice stupně n-, která vznikne vynecháním i-tého řádku j-tého sloupce v mtici A se nzývá (i,j) subdeterminnt mtice A znčí se S ij (A). Doplněk (i,j) mtice A, který znčíme D ij (A), je determinnt, pro který pltí: D ij (A) = (-) i+j S ij (A). Mnemotechnická pomůck pro doplňování znmének: + - + - +... - + - + -... + - + - +... - + - + -......
Příkld: A = - - S (A) = det - D (A) = - det - S (A) = det - D (A) = + det -
Lplceův rozvoj Vět : Determinnt mtice A = ( ij ) stupně n lze spočítt rozvedením pomocí složek některého řádku nebo některého sloupce. - Rozvoj pomocí složek i-tého řádku je následující: = i D i (A) + i D i (A) + + in D in (A). - Rozvoj pomocí složek j-tého sloupce je následující: = j D j (A) + j D j (A) + + nj D nj (A). Slovy: Determinnt počítáme tk, že si vybereme určitý řádek (sloupec) po řdě násobíme kždou jeho složku doplňkem k této složce všechny tyto součiny sečteme.
Příkld : Vypočítejte determinnt mtice A, kde A = Řešení: Determinnt rozvedeme pomocí složek druhého řádku: = (-)D (A) + D (A) + (-) D (A) + D (A) = -(-)det +.det - (-)det + + det = Dále nebudeme pokrčovt. - - - - - - - - - - - - -
Opkování: Vlstnosti determinntů Vět: Nechť A je čtvercová mtice typu n xn. - Jestliže změníme dv různé řádky (sloupce) mtice A, pk determinnt výsledné mtice je -. - Jestliže některý řádek (sloupec) mtice A násobíme nenulovým číslem u, pk determinnt výsledné mtice je u(). - Jestliže násobek jednoho řádku (sloupce) přičteme k jinému řádku (sloupci), pk determinnt výsledné mtice je.
= = 0 5 =. -0-0 -0 + - - 0 0-0 - + 0.D (B) + 0.D (B) + 0.D (B) = (-0) = 5-5 -0-6 = (-0) 0 0 = -(-0) =0.(-).6 = -80(- ) = -9 - -5 - -9 6 - = 900 Při výpočtu je vhodné si v některém řádku (sloupci) vytvořit co nejvíce nul pk determinnt pomocí tohoto řádku (sloupce) rozvést. -0-7 5-5 - 5-5 -7 - -7
Vět: Nechť A je čtvercová mtice. A je invertibilní, právě když deta 0. tzn. A není invertibilní, právě když deta = 0.
Crmerovo (čti: Krmerovo) prvidlo. Vět : Nechť Ax = b je soustvnrovnic o n neznámýchx, x,...x n, jejíž 0. Pk pro její řešení pltí: x x xn x =, x =,..., x n =. V české litertuře bývá zvykem oznžit = D, Crmerovy vzorce pk vypdjí následovně: det = D x x td. A D D D n x x x x =, x =,..., x n =. D D D
Příkld : Řešte pomocí Crmerových formulí následující soustvu tří rovnic o třech neznámýchx, y z: x + y + z = x + y z= - x y z = -6 Řešení: Nejprve spočítáme determinnt mtice soustvy (mtice koeficientů): = - = -, x = -, x = - - - 6 - - x = 8 = y y = = = z = z = - = x y z = -