Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 + 3. : [ a b (a b) (a+b) ] 3. Vyjádřete racionální lomenou funkci jako součet polynomu a racionální ryze lomené funkce: 5 4 +3 + +4 3 4 + 3 + 3+ + 3 + 4. 3. Řešte rovnice: 5 = 4 (f) 3 + 3 = 0 + 4 7 = 0 (g) 3 + 3 + 5 + = 5 3 +3 + 5 + +3 + = 4 (g) log ( 3) = log ( 3) 3 5 7 + = 3 (h) sin cos = 0 + 4 = (i) cos cos = sin sin. 4. Řešte soustavy rovnic: + y = 3 + y = 6 + y + z = 6 + z = 4 3y + z = 7 + y = 5 3 + y = 6. 5. Řešte nerovnice: 5 > 4 (f) + > 8 + 3 > 0 (g) log < 3 3 (h) log 4 log + < 5 6 5 < 6 (i) cos 3 +4 < cos. Příklady jsou vybrány z nejrůznějších pramenů např.: B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment Praha 003 (překlad z ruštiny). Z. Došlá J. Kuben: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Brno 004. L. Fuchsová: Matematická analýza (Diferenciální počet funkcí jedné proměnné). MU Brno Brno 99. Dále pak z více i méně dostupné středoškolské i vysokoškolské literatury vlastních poznámek...
6. Řešte soustavy nerovnic: + y > 6 3 y < 4 < 7 + 3 0 < log 3 < cotg < 3 3 sin. 7. Doplňte následující tabulku a daná komplení čísla zakreslete v Gaussově rovině: Algebraický tvar Goniometrický tvar Eponenciální tvar z = 6 + i6 3 z 3 = ( cos π 3 + i sin π 3 ) z = 4e i 8. Pro komplení čísla z předchozí úlohy: určete z z z 3 a vyjádřete je ve všech tvarech (algebraický goniometrický eponenciální) vypočtěte z z (obě čísla vyjádřete v algebraickém tvaru) vypočtěte z z 3 (obě čísla vyjádřete v goniometrickém tvaru) vypočtěte z z 3 (obě čísla vyjádřete v eponenciálním tvaru) vypočtěte z z 3 (f) vypočtěte z z 3 (obě čísla vyjádřete v algebraickém tvaru) (obě čísla vyjádřete v goniometrickém tvaru) (g) vypočtěte (z ) 57 (číslo z vyjádřete ve tvaru pro nějž bude výpočet nejjednodušší) (h) vypočtěte z (číslo z vyjádřete ve tvaru pro nějž bude výpočet nejjednodušší). 9. Dokažte že pro libovolná komplení čísla platí: (z + z ) = (z ) + (z ) z z = z z (z z ) = (z ) (z ) z = z z z z = z z (f) Rez = z+z Imz = z z. 0. V komplením oboru řešte rovnice: 7 3 + 5 = 0 3 + 8 = 0 ( + i) + 7i = 0.. Popište a v Gaussově rovině zakreslete množinu kompleních čísel pro něž platí: Rez > 0 Imz = 0 z + i = 3
z = z + i z + z + i = 5.. Určete definiční obory obory hodnot a základní vlastnosti (sudost lichost periodicita omezenost intervaly na nichž roste klesá...) funkcí a načrtněte jejich průběh: + 6 (f) + 5 + 3 7 (g) 4 8 (h) log (3 ) + 3 + 4 (i) ) 3 + (j) sin. 3. Určete intervaly na nichž jsou funkce prosté a určete na nich funkce inverzní: 3 + 7 e e 3 cos. ( 4. Zapište ve tvaru zlomku číslo 0 635. 5. Dokažte že číslo je iracionální. 6. Určete supremum množiny A = { a R a = ( ) n n n+ n N}. 7. Dokažte že pro libovolné množiny A B C platí: A B = B A A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) (f) A (B C) = (A B) (A C) (g) A (B C) = (A B) (A C) (h) A (B C) = (A B) (A C).. Obecné vlastnosti reálných funkcí. Elementární funkce. Polynomy. A. Rozklad racionálních ryze lomených funkcí na parciální zlomky. Rozložte na parciální zlomky: + ( +) 0 ( 4 5)( +) + + (+) ( +) 5 +3 3 +. (+) ( ++) 3
B. Základní vlastnosti funkcí (periodické sudé liché rostoucí klesající prosté omezené...). Rozhodněte zda jsou následující funkce periodické. Pokud ano určete jejich nejmenší periodu: f () = sin D f = R f () = konst. D f = R { 0 Q f () = sin + cos D f = R f () = I D f = R { 0 Q f () = sin π + sin D f = R (f) f () = I D f = Q. 3. Rozhodněte zda jsou následující funkce sudé či liché (zdůvodněte!): f () = D f = R f () = e e D f = R f () = D f = R + 0 (f) f () = e e e +e arctg ( + ) D f = R f () = D f = R (g) f () = + sin D f = R f () = +3 D f = R (h) lineární kombinace sudých/lichých funkcí. 4. Rozhodněte zda (event. na jakých intervalech) jsou funkce rostoucí/klesající/nerostoucí/ neklesající/monotónní/ryze monotónní (určete rovněž definiční obory funkcí): f () = f () = f () = 3 + + 3 f () = + f () = 6 + 4 (f) f () = e. 5. U funkcí zadaných v příkladu 4. rozhodněte zda jsou omezené zdola/omezené shora/omezené. C. Inverzní funkce 6. Určete intervaly na nichž jsou funkce prosté a sestrojte na nich funkce inverzní: f () = ++ f () = e e f () = +4+5 f () = ln ( + 6 + 0) f () = + (f) f () = arctg ( + ). D. Spojité funkce 7. Zjistěte kde jsou spojité zprava/spojité zleva/spojité následující funkce: f () = ( +)( ) f () = 4 f () = 6 + 3 5 3 + f () = + 4 +8 f () = 3 (f) f () = ( 4)( 3 ) (g) tg π +. 4
sin > 0 8. Rozhodněte zda je funkce f () = 6 = 0 < 0 zprava/spojitá zleva/spojitá. v bodě = 0 spojitá 9. Rozhodněte zda je funkce f () = zprava/spojitá zleva/spojitá. { 0 < v bodě = spojitá 0. Dokažte že polynom P () = 3 3 + má v intervalu [ 3] (alespoň jeden) kořen. E. Elementární funkce. Určete definiční obory funkcí: f () = tg f () = ln ( + ) f () = arcsin ( 5) f () = ln ++ + f () = arccos + (f) f () = log + 3.. Načrtněte grafy funkcí: f () = arcsin (sin ) f () = arcsin ( + 3 f () = sin (arcsin) f () = arccos ( ) 3+4. f () = cos (arccos) 3. Řešte rovnice: arctg + = π 3arcsin ( ) = π. arctg + = π 3 4. Upravte: 5. Dokažte: F. Polynomy 6. Určete: f () = sin (3arcsin ) f () = tg (arctg ). arcsin + = arctg arcsin + arccos = π. P () a P ( ) pro P () = 5 + 4 3 + + 5 P (3) pro P () = 6 5 + 3 3 4 +. 7. V reálném oboru rozložte: P () = 3 + 6 + + 6 P () = 6 + P () = 5 +. ) 5
3. Limity funkcí. Vypočtěte jednostranné limity a v každé z částí (h) interpretujte získané výsledky: lim + lim lim + ( ) lim ( ) lim 0+ ln lim 0 ln lim + arctg lim arctg lim + ln lim ln (f) (g) (h) lim 0+ sin lim 0 sin lim 0+ lim + lim 0 lim.. Rozhodněte a zdůvodněte zda eistují následující limity: lim ln 3 lim 0 +0 e lim 3 3 7 lim 0. 3. Vypočtěte limity (pokud eistují): limitu Dirichletovy funkce v libovolném bodě lim 3 +3 + 3 + lim 4 + 3 + + 5 +5 lim 6 + 3 + + 5 +5 lim 3 3 +7 +3 (f) lim 3 + 4 7 5 6 + 7 3 (g) lim +3+ 3 ++ (h) lim 4 3 + + 5 4 +++ + (i) lim 3 + 3 (j) lim ( + + + ) (k) lim ( 4 + 8 + 3 4 + ) Další příklady na výpočty limit budou řešeny v paragrafu L Hospitalovo pravidlo. 6
(l) lim ( + + ) ( (m) lim 3 3 + + ) ( (n) lim 3 3 + 3 + 8 + ) (o) lim ( + + ) (p) lim 0 ( sin ) (q) lim 0 ( tg ) (r) (s) ( ) lim 0 sin + [ lim π sin ( π ] ) π ( ) 3 +4 (t) lim cos log (u) lim 0 sin sin. 4. Určete konstanty a a b (vlastní reálná čísla) tak aby platilo: lim ( + + a b) = 0 lim ( + a b ) = 0. 4. Posloupnosti reálných čísel A. Opakování. Následující posloupnosti určete rekurentně: { } n(n+) n= {3n } n= {n} n= {} n=.. Následující posloupnosti určete předpisem pro n-tý člen (správnost výsledku dokažte matematickou indukcí): a n+ = ( ) n an a n+ = a n+ = a n a n(n+)(n+) = a n+ = ( a n ) a = a n+ = a n a =. 3. Dokažte že posloupnost { } 3n je rostoucí. n+ n= 4. Pro která čísla p je posloupnost { } np klesající? n+ n= 7
5. Určete které z následujících posloupností jsou aritmetické resp. geometrické a určete diferenci resp. kvocient: { n} n= {3 } n= {3 n } n= {( )n } n=. 6. Pro aritmetickou resp. geometrickou posloupnost stanovte podmínky na diferenci resp. kvocient aby posloupnost byla rostoucí/klesající/nerostoucí/neklesající. 7. Kolik členů posloupnosti { 3 4...} dává součet větší než 0? 8. Kolik členů aritmetické posloupnosti v níž a 0 = 8 a a 5 = 8 musíme sečíst aby součet byl větší než 00 a menší než 0? 9. Na kolik procent původního tlaku klesne tlak v recipientu vývěvy po 50 zdvizích pístu klesne-li při jednom zdvihu o 4%? 0. Mezi čísla 4 a 08 vložte dvě čísla tak aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost.. Rozhodněte zda jsou následující posloupnosti shora omezené/zdola omezené/omezené: { n} {3 n= n} n= {3 n } n= { } n n= {n + 7} n= (f) {( )n } n=. B. Hromadné body posloupností limita superior limita inferior. Určete hromadné body limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = ( ) n + n { 3 4...} { 3 3 4...} a n = [3 + ( ) n ] n n+ a n = [ ] + ( )n C. Limity posloupností n 3n +. 3. Určete které z posloupností zadaných v předchozí úloze jsou konvergentní resp. divergentní. 4. Vypočtěte lim n ++3+...+n n. 8
5. Určete (pokud eistují) limity následujících posloupností 3 : a n = n a n = n 3 n 3 n + a n = n (f) a n = n lnn a n = ( ) n n (g) a n = n+ pn+ n+ p R a n = (h) a n = sin n+n. sin n n 5. Diferenciální počet A. Výpočty derivací funkcí geometrický význam derivace. Vypočtěte a upravte derivace zadaných funkcí. U funkcí v levém sloupci určete rovněž jejich definiční obory a definiční obory derivací. sin cos (n) sin (o) arccos + sin (p) arctan + + 5 3 3 + (q) + arcsin (f) 3 (r) + arcsin + 3 + (s) ln 4 + ( +) 3 arctan 3 (g) ep ( ) (t) arcsin + + arctan (h) ep ( 5 + ) (u) + + 3 arctan (i) A tan (+) (v) + arcsin + ln ( + ) (j) ln + (w) + 4 ln 4(+ 4 ) 4 + 4 (k) ln ( + + ) () + ln ( + + ) (l) log 4 (y) + + ln ( + + ) (m) log (z) (+) 7 ln + 6 + 3 arctan 3. 3 Dále lze počítat některé limity z příkladu 3. oddílu 5. (které a proč?) 9
. Vypočtěte a upravte derivace zadaných funkcí: f () = + (f) f () = arcsin f () = + (g) f () = + + ln + + f () = sin [sin (sin )] (h) f () = ( ) + e ln +e +e + f () = ln sin +sin (i) f () = ln ( e + + e ) f () = ( +) arctg ln (j) f () = + arctg. 3. Rozhodněte zda má funkce f () = 4. Rozhodněte zda má funkce f () = { 0 < 0 { + 0 < 0 v bodě =0 derivaci. v bodě =0 derivaci. 5. Najděte koeficienty a b aby funkce f () = spojitá a měla v něm derivaci. 6. Odvoďte vztah pro f (n) (): { 0 a + b > 0 byla v bodě = 0 f () = f () = e f () = ln ( ) (f) f () = f () = sin (g) f () = ln f () = cos sin (h) f () =. 7. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = ln v bodě 0 =. 8. Najděte bod v němž je třeba ke grafu funkce y = sestrojit normálu aby procházela bodem ( 0). 9. Na parabole y = najděte bod v němž je tečna rovnoběžná s přímkou procházející průsečíky grafu paraboly s osami soustavy souřadnic. 0. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = 3 v bodě 0 =.. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = + v bodě 0 =.. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = e v jeho průsečíku s osou. 0
B. L Hospitalovo pravidlo 3. Vypočtěte limity: lim 0 e sin lim 0 cos sin 3 lim 0 e e sin lim 0 3 6+6 sin 5 lim 0+ ln (f) lim ln ln ( ) (g) lim ( π arctg ) ln (h) lim 0+ sin ln ( (i) lim 0 ) e ( ) (j) lim 0 cotg ( (k) lim + ) ln (l) lim 0+ ( ) tan (m) lim (n) lim 0+ sin (o) lim 0+ (sin ) (p) lim ( + ) ln (q) lim + (ln ) (r) π tan lim ( ). C. Etrémy funkcí vyšetřování průběhu funkcí 4. Najděte lokální etrémy funkcí: f () = 3 6 f () = f () = e. 5. Najděte globální (absolutní) etrémy funkcí na daných intervalech: f () = 3 3 36 8 [ 3 6]
f () = ln [ e] f () = [0 5] f () = + 3 + 3 ln [ ]. 6. Pod jakým úhlem vzhledem k vodorovné rovině musíme vrhnout těleso počáteční rychlostí v 0 aby dopadlo co nejdále? Odpor vzduchu zanedbáváme. 7. Určete rozměry obdélníkového výběhu o největší ploše: k jeho oplocení je k dispozici 00 m pletiva jednu stranu tvoří stěna budovy. 8. Do půlkruhu o poloměru r vepište obdélník maimálního obsahu. 9. Do kruhu o poloměru r vepište rovnoramenný trojúhelník o největším obsahu. 0. Určete rozměry válce který má při daném povrchu maimální objem.. Ze čtvercového plechu se stranou a se zhotoví krabička tak že se v rozích vystřihnou stejné čtverce. Jaká musí být strana vystřiženého čtverce aby byl obsah krabičky maimální?. Do daného rovnoramenného trojúhelníku vepište pravoúhelník maimálního obsahu. 3. Dvě chodby o šířkách a a b na sebe kolmo navazují. S jakou délkou tyče můžeme ještě vodorovně projít? 4. Silážní jáma má mít tvar kvádru s objemem 00 m 3. Délka má být čtyřnásobkem šířky. m základny je dvakrát levnější než m stěny. Jaké mají být rozměry jámy aby stavba vyšla co nejlevněji? 5. Vyšetřete průběhy funkcí: f () = + f () = ( ) + f () = arctg + f () = e + f () = arccos + (f) f () = ln ( + + ) (g) f () = +4+3 (h) (i) (j) f () = arcsin + f () = ln + f () = ln ++ +.
D. Taylorův rozvoj 6. Pomocí diferenciálu zjistěte o kolik se přibližně zvětší hodnota funkce f () = 3 + + jestliže místo = vezmeme = 0. 7. Představme si že kolem rovníku je natažen drát. Nyní obtočíme rovník ve vzdálenosti 0 cm. O kolik metrů drátu budeme potřebovat víc? 8. Pomocí diferenciálu odhadněte jaká je změna obsahu kruhové výseče o středovém úhlu α = 60 o a poloměru m při zvětšení poloměru o cm. 9. Z teorie relativity známe vztah pro kinetickou energii částice o klidové hmotnosti m 0 pohybující se rychlostí v E k = mc m 0 c kde m = m 0 v c a c je rychlost světla. Užitím výsledku předchozí úlohy ukažte že pro v c přejde tento vztah v klasický vzorec E k = m 0v. 30. Pro spektrální objemovou hustotu záření absolutně černého tělesa o termodynamické teplotě T platí tzv. Planckův vyzařovací zákon ρ P (ν T ) = 8πν c 3 hν kt kde ν je frekvence záření h (resp. k) je Planckova (resp. Boltzmannova) konstanta a c je rychlost světla. Ukažte že pro malé frekvence nebo vysoké teploty (tj. pro hν kt ) můžeme tento vztah přepsat do přibližného tvaru (tzv. Rayleighův-Jeansův zákon) (Konstantu úměrnosti rovněž určete.) 3. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte: e hν ρ RJ (ν T ) = konst. ν T. sin 8 o 3 98 e 005. 3. Určete Maclaurinův rozvoj funkcí: f() = sin f() = cos f() = log ( + ) f() = e f() = ( + ) a. 33. Řešte příklad 3. užitím Taylorova polynomu třetího stupně. 34. Spočtěte na čtyři desetinná místa přesně sin 8 o. 35. Vypočtěte číslo e s chybou menší než 0 3. E. Křivky v rovině Tečné vektory normálové vektory binormálové vektory křivosti poloměry křivosti oskulační kružnice viz cvičení z Mechaniky a molekulové fyziky 3
6. Integrální počet A. Základní integrační metody. Vypočtěte a upravte následující jednoduché integrály (upravte a počítejte přímo): ( + 3 + 5) d sin d +3 d tan d d (+3) (f) cos d.. Vypočtěte a upravte následující integrály (použijte substituční metodu I): sin cos d 3 8 + d cotan d d a b + d (f) ln d. ++ 3. Vypočtěte a upravte následující integrály (rozložte na parciální zlomky): d ( ) ( +) 3 4 d. ( 6) 4. Vypočtěte a upravte následující integrály (použijte substituční metodu II vhodné substituce vyhledejte v literatuře): a d sin +cos d d (5+ d ) 3 ( ). 3+ 5. Vypočtěte a upravte následující integrály (použijte metodu per partes): ln d 3 sin d arctan d e sin 3 d e 3 d (f) cos (ln ) d. 6. Odvoďte rekurentní formuli pro integrál I n = d ( + ) n tj. vyjádřete jej prostřednictvím integrálů I n I n... Použijte metodu per partes. 4
B. Speciální integrační postupy 7. Užítím vhodných metod vypočtěte a upravte následující integrály: d +cos ( ) d d sin cos d 3 d + 4 + (f) (g) (h) (i) (j) + 9 d + d sin cos +sin 4 d d +3 cos sin ( ) cos d. C. Aplikace 8. Vypočtěte obsah obrazce omezeného grafy: y = = y y = y = 3. 9. Vypočtěte délku křivky y = ln pro [ ] 3 8. 0. Vypočtěte délku křivky = a (t sin t) = a ( cos t) t [0 π].. Vypočtěte objem tělesa omezeného rovnicemi z = + y z =.. Vypočtěte objem kužele o výšce v a poloměru r. 5