Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

Transkript

1 Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické úlohy, a dosáhne ještě víc, bude-lijeřešit. Brahmagupta. Opakování: úpravy algebraických výrazů, rovnice a nerovnice.upravtedanývýrazaurčetepodmínky,zakterýchmádanývýrazsmysl: a) ( y y +y) : ( ) y [ 0, y 0, ±y; ] y y b) ( + ( ) 4 5) 5 0 [ Ê; ] c) [ 6 ]. Řešte v Ê následující rovnice a nerovnice: a) + <0,0 [ (,0; 0,99)] b) < [ (0; 3 )] c) 3 =6 [ { ;7}] d) + =5 [ {±3}] e) +3+ =+4 [ { ;}] f) + = [ 0; ] g)sin = h)3+ <0 [ { π 6 +kπ,5 π+kπ, k }] 6 [ 0] i) + 0 [ ( ; ) ;+ )] j) 5 [ ;5 ] k)+ ln =0 [= e ] 3.ŘeštevÊ,resp. Ê 3 následujícísoustavyrovnic: a) 9 + y = y = c) 3 y + z = + y + z = 5 6y z = 9 4. Určete definiční obor funkce: a) f()= 3 4 b) + 3 y = 4 + y = 3 [ ( ;) (6;+ )]

2 b) f()= ( )(+) c) f()= +5+6 [ ( ;0 (;+ )] [ ( ; 3) ( ;+ )] d) f()=ln( 4 ) [ ( 6;)]. Komplení čísla. Určete reálnou a imaginární část kompleních čísel: a) z= +i i + i +i [z= i] b) z= +i 3 i +(i )(4 i) [z= 3 +3i] c) z= i + +i + i [z= i]. Vypočítejte: 3i a) i+5 [ 0 9 b) ( 3 i) 5 [ 3 3.Vypočítejte(+i) 6 pomocía)moivreovyvěty b)binomickévěty. [ 8 i] 4. Převed te komplení číslo na goniometrický tvar: a) z=+ 3i. [(cos π 3 + isin π 3 )] b) z= [cos 7π+ 4 isin7π] 4 c) z= i 3 +i. [ ( cos 3π+ 4 isin3 4 π) ] 5.Řeštev rovnici z 3 =+i. 6.Vypočítejtereálnýparametr ctak,abyrovnice 6+c=0mělakomplení kořen, jehož imaginární část je rovna. Určeteobakořenyrovnice. [c=3; =3 i, =3+i] 7.Určetevšechnareálnáčísla btak,abyprokompleníčísla z=3 biplatilo z > 0. Tato čísla znázorněte v Gaussově rovině. 8. Která komplení čísla vyhovují rovnici a) z. z+ z=6+i [{+i, +i}] b) z 4 = z [{0, ±, ±i}] c) z 4z+6=0 [{ ± i}] d) z iz+6=0? [{3i, i}]

3 3. Důkazy.Dokažte,žečíslo n jeiracionálníprokaždépřirozené n.. Dokažte, že prvočísel je nekonečně mnoho. 3. Dokažte, že součet třetích mocnin tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný devíti. 4.Dokažte,žeprovšechnapřirozenáčísla nje n 3 ndělitelnéšesti. 5.Dokažte,žeprovšechnapřirozenáčísla nje n 7 ndělitelnésedmi. 6.Dokažte,žeprokaždépřirozené nječíslo n 4 +3n dělitelnéčtyřmi. 7.Dokažteprovšechnapřirozená n:jestližečíslo n +nenídělitelnétřemi,pakje třemi dělitelné číslo n. 8. Dokažte binomickou větu: (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k 9.Dokažte,žečíslodělíprokaždépřirozené nčíslo4 n+ +5 n. 0.Matematickouindukcídokažte,žeprokaždé n Æplatí a)++ +n= n(n+) b) + + +n = 6 n(n+)(n+) c) n 3 =(++ +n) d) n! < ( ) n+ n,pro n e) (n+)=(n+) f) g) n(n+) = n n (n )(n+) = n n+.dokažte,žepro ϕ Êan Æplatí: (cosϕ+isin ϕ) n =cosnϕ+isin nϕ.

4 . Matematickou indukcí dokažte vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnostisprvnímčlenem a =akvocientem q.rozlištepřípad q=aq. 3.Uvažujtearitmetickouposloupnost a n+ = a n + d, d Ê.Matematickouindukcí dokažte vzorec pro n-tý člen této posloupnosti. 4. Dokažte, že libovolnou částku peněz větší než 4Kč vyjádřenou v celých korunách lze sestavit jen užitím dvoukorun a pětikorun. 5.Fibonaccihoposloupnost {F n }=,,,3,5,8,3,...jedefinovánarekurentnětakto: F =, F =, F n+ = F n+ + F n pro n Æ. Dokažte,žeplatíidentita n F i = F i+. i= 6. Je dáno n navzájem různoběžných přímek v rovině, z nichž žádné tři neprochází jedním bodem. Na kolik částí rozdělí všechny tyto přímky rovinu? Své tvrzení řádně dokažte! 4. Funkce a jejich vlastnosti. Načrtněte grafy následujících funkcí: a) f ():y= ( ) b) f ():y= ln c) f 3 ():y=( 3) + d) f 4 ():y= + + e) f 5 ():y=sin( π )+ f) f 6():y=cos g) f 7 ():y= + + h) f 8():y=tg(+π) i) f 9 ():y=(+) 3 4 j) f 0 ():y=log (+) 3 k) f ():y= cotg l) f ():y=tg m) f 3 ():y= o) f 5 ():y= sin sin cos cos cos n) f 4 ():y= cotg cotg p) f 6 ():y=sin +sin q) f 7 ():y=lnsin r) f 8 ():y=ln(lnsin )

5 . Rozhodněte, které vlastnosti funkce má a které nemá: je/ není periodická/ sudá/ lichá/ omezená. a) f():y= cos b) f():y=ln( +5) c) f():y=ln( +5) d) f():y= Rozhodněte, které vlastnosti funkce má a které nemá: je/ není rostoucí/ klesající/ nerostoucí/ neklesající. a) y=e + b) y=ln( ) c) y= ( ) +3, (; ). 4. Rozhodněte, které funkce jsou na svém definičním oboru prosté: a) f()= e + [ano, Ê] b) f()=+log [ano, >0] c) f()=+. [ne, Ê] 5. K následujícím funkcím(na příslušném definičním oboru) stanovte inverzní funkci: a) f()= e +, Ê; [f ()= ln( ); (; )] b) f()=+log, >0; [f ()=0 ; Ê] c) f()=+, 0; [f ()= ; ] d) f()= +, 0; [f ()= ; ] e) f()=ln( ), D(f); [f ()=( e ) ; ( ;ln ] f) f()=ln( 5), D(f); [f ()= 5 ( e ); Ê] 6. Rozhodněte, které funkce jsou na svém definičním oboru periodické: a) f()=e cos b) f()=3cos4 c) f()=5+5sin( ) d) f()=cose. [a)b)c)periodické] 7. U periodických funkcí z předchozího příkladu tohoto odstavce určete jejich primitivní(nejmenšíkladnou)periodu. [a) p=π b) p= π c) p=4π]

6 Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série II. 5. Cyklometrické funkce. Určete následující hodnoty: a)arcsin60,arcsin0,arcsin b)arccos π,arccos,arccos c)arctg0,arctg,arctg 3 d)arccotg( ),arccotg0,arccotg( 3).. Nakreslete grafy funkcí: a) arcsin(sin ) b)cos(arccos). 3. Určete definiční obor a obor hodnot funkcí: Látce rozumíte bezpečně teprve tehdy, kdyžjsteschopnýjivysvětlitvlastníbabičce. A. Einstein a) f():y=arccos( ) [D(f)= 0;4, H(f)= 0;π ] b) f():y=arccos +5 [D(f)= ;, H(f)= 5;5+π ] c) f():y=arctg [D(f)=R\{0}, H(f)=( π ; π )\{0}] d) f():y=ln(arctg( )) [D(f)=( ; ), H(f)=( ;ln π )] e) f():y=arcsin(ln ) [D(f)= e ; e, H(f)= π ; π ] f) f():y=arctg. [D(f)= 0;), H(f)= π 4 ; π )] 4. K daným funkcím najděte funkci inverzní: a) f():y=arccos( ) [f ()=cos +, D(f )= 0;π ] b) f():y=arccos +5 [f ()neeistuje, f()neníprostá] c) f():y=arctg [f ()=cotg, D(f )=( π ; π )\{0}] d) f():y=ln(arctg( )) [f ()= ( tge ), D(f )=( ;ln π )] e) f():y=arcsin(ln ) [f ()=e sin, D(f )= π ; π ] f) f():y=arctg. [f ()=( cotg ), D(f )= π 4 ; π )]

7 5. Ověřte platnost následujících identit: a) 0; arcsin =arccos b) ; arcsin +arccos = π c) R arcsin + =arctg d) ( ;) arctg =arcsin. y Π y Π y arcsin 0 Π y arccos Π 0 y y Π Π Π 0 y arctg y arccotg Π 0

8 Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série III.. Supremum a infimum Látce rozumíte bezpečně teprve tehdy, kdyžjsteschopnýjivysvětlitvlastníbabičce. A. Einstein.Zjistěte,zdamnožina Mjeomezená(resp.omezenáshoranebozdola)aurčetejejí infimum a supremum. Zjistěte, zda eistuje maimum a minimum dané množiny: a) M= {4} b) M= { 3,9, 3, π,,ln} 3 c) M= 5,5π d) M=( 5,5π) e) M= 5,5π) f) M= Æ g) M=( ; π) h) M= É i) M= Ê j) M= { n ; n Æ} k) M= { ; n Æ} n l) M= {, 3,4 n+,...,,...; n Æ} 3 n m) M= {n m ; n Æ, m Æ} n) M= {n m ; m Æ, n > m}. Vyšetřete eistenci suprema a infima množiny A: a) A={sin, Ê} b) A={, Ê} + c) A={arctg, Ê} d) A={arccos, ; } e) A={arccos, ( ;)} f) A={arccos, 0;)} 3. Vyšetřete eistenci suprema a infima množiny M a podle definice dokažte, že jde skutečně o infimum/ supremum: a) M= { n n+ [sup M=, inf M=] 3 b) M= { n+3, n Æ} n+ [sup M=, inf M=] c) M= { ( )n, n Æ}. [sup n M=, inf M= ] 4. Uved te příklad množiny, která má supremum, ale nemá maimum. 5. Uved te příklad množiny, která má infimum, ale nemá minimum.. Limita posloupnosti n+. Dokažte podle definice, že =. n n. Dokažte, že 0 a < a= n an = a > neeistuje a ( ).

9 00n 3. Vypočtěte itu n n Ověřte, že 5. Vypočtěte ity: 000 a) n n n 3 n n+ n nm =0 [Limitaposl.vevlastnímboděnemásmysl!] pro m É n nm =+ pro m É +. n n 000n 000 n + 3 n sin(n!) n+ ( ) n +3 n e) [a)0 b)0 c)0 d)0 e) n ( ) n+ +3 ] n Vypočtěte ity: a) n (n 3 n +n ) n 3 n n n 3 + e) n ( n 5 +3n n 5 3n + n (n 4 n 3 n 5 +4) n n + n 3 n 3 ) f) n 3n n+ 5n [a)+ b) c) d)0 e)4 f)+ ] 7. Vypočtěte ity: ( a) ) n n n + n+ + n n + + +n n e) n (n 3) 0 (3n+) 30 (n+) 50 ( ++ +n n ) n n+ n n 3 n 4 f) n n 3 +6n n 7n+7 8. Vypočtěte ity: a) n ( ) n! n n n [a) b) c)+ d) e) ( ) 30 3 f)+ ] 4 n n n n 3 4 n n 5 n 9. Dokažte pomocí věty o itě vybrané posloupnosti, že n sin nneeistuje.

10 0. Vypočtěte ity: n+ n+ n a) n n+ n + n n n e) n ( n+ n) n n+ 3 n+ 4 n n+ ( n(n+a) n), a Ê n f) n ( ) n n( n+ n). Důležité příklady it: [a) b) c)0 d) a e)0 f)neeistuje] n n n n n n k an=0 a >, k Æ; a n n! =0 log a n =0 a >0, k Æ; n n k a= a >0; n n!=+.. Dokažte, že n n n=. 3. Vypočtěte ity: a) n k= n k(k+) 4. Vypočtěte ity: [návod:aplikacevěty odvoupolicajtech ] n n k= n + k. a) n n A n + B n + C n, A, B, C >0 n sgn(n 3 000n +) n n ln n+n 3 + n +en +5 n log n+n 4 +5 n + n 3 4 n n (n+)!+(n+)! (n+)! (n+)! 5. Vypočtěte ity: (n+)(n +) (n m +) a) n [(mn) m +] m+ n ln(n+) ln n

11 n (sin(ln(n+)) sin(ln n)) n ln(+e 3n ) ln(3+e 3n ) 6. Vypočtěte ity: [a) m m (m+) b)0 c)0 d)] a) n ln(+ n+ 3 n) ln(+ 3 n+ 4 n) n 3n 3 cos(n) n 3 + n n4 +3n n 3 n3 + n n (n +)sinn 3n 3 7. Vypočtěte ity: ( a) + ) 8n+7 n n ( n 5 3 sin n cosn) n n ( 3 n 3 + n 3 ) n 3 3n3 + n n k n n, Ê k= 8. Najděte itu posloupnosti zadané rekurentně: a) a =, a = +,...,a n+ = +a n b) a >0, a n+ = (a n + ) an c) a =, a n+ = +a n. 9. Vypočtěte ity: ( p a) a 0 +0,85 ) kn, k Æ, a 0 >0 n 00 n { n n 365+ n cosnr 4 cosnr + 00 cosnr n}, R=90, N

12 Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série IV. Bez příkladů, pouček a cvičení seničemuneučí,ledanesprávně. Jan Ámos Komenský. Limita funkce V následujících úlohách vypočtěte ity:. a) a) n n 3. a) (+)(+)(+3) (+m) n (+n) m e) m n ( m g) n ) m n ( ( 3 + ) ). 4 [a) 3 b)0 c) 5 d) 3 8 ] [a) 49 4 b) n (n+)] (+)(+)...(+n) ( ) 0 ( 3 +6) 0 n+ (n+)+n f) ( ) h) ( 3 ) + [a)6 b),f) n mn (n+) c) (n m) d) ( ) 0 3 e) m g) (m n) h) ] n 4 4. a) ( + ) ( ) ( ) ( e) 3 ++ f) ) g) + h) n +

13 a+ a i) a + a j) ( ) [a) 3 3 b), c) 3 d) 4 e) 4 f) g) h) n i) a j)0] 5. m + n + α α= m n α < 0 α > m > n..., m < n a) m +a n +b cos 7. a) tg cos π tg tga a a [a) a m b n b) 3 ] [a)neeistuje b) π c) d)+tg a] 8. a) + sin π sin n sin m [a)neeistuje b)0 c) ± n m (sin + sin ) + a sin sina a (vzávislostinaparitě n, m) d) cos a sin a ] 9. a) cos 3 cos sin coscoscos3 cos [a) b) c)4 d)0] ln(+3 ) 0. a) ln(+ ) a log a log a a cos cos + cos cos + ln(cosa) ln(cos b) ( )log [a)0 b) a b c) alog a. a) + sgn d) log] arctg(ln ) + arccotg

14 ( e) ) + f) e arctg + g) ln h) ( ) tg [a)+ b) π c) d) π e) f)0 g)+ h) ]. a) arccotg(e ) + arctg(sin ) + arccotg(e ) + arcsin [a) π b)0 c)+ d) π ] ( 3. a) (sin ) ) tg π ( ) ( ) +tg sin +a +sin a [a)e b) c) d)e a ] ( ) π 4. a) arcsin + + arcsin ln(+) arctg π + 4 ( d) arctg π ) [a) b) c) d) ] log α 5. a), α, β >0 + β + + α log β, α, β >0 + e +ln e) ln(e 3 +e 3 ) [a)0 b)0 c)0 d) e) e 3 ] α eβ, α, β >0 ln(+e ) 6. a) e) arccotg(e sin ) + ln( ) ( ) sin cos +tg + f) sin ln ++ [a) 5 b)neeistuje c)4 d) e) π f)0]

15 sin 7. a) sin ( c) 5 [a)0 b)e c)e d)e] ln(a+) ln a 8. a) 0 log log0 log 0 ( ) 3 3+ ) + (+), a >0 + [a) a b)+ c) d)neeistuje] 9. a) sin π π e) g) ln ( ) + + ( 9 +( ) e + arctg cos + ln ( arctge ) + 9 ( ) ( + f) + ) [a)0 b) c) d) e) f) 3 g) 3 ] ( ) + + ) 0. a) 9+ ( ) arcsin π+arccotg [a) 9 b) 5 c) d)3]. a) esin cos π 6 sin +sin sin 3sin + log( +) log( 0 + +) 3 + sin(+) cos cos3 [a) b)4 c) 3]

16 Příklady ke cvičením z matematické analýzy pro učitele ZS008/009 SérieV.. Derivace funkce jedné reálné proměnné. Vypočtěte následující derivace: a) f (π), f()= +cos b) f (0), f()=tg(sin ) c) f (), f()=ln(+ + ) d) f (), f()=0 e) f ( 3), f()= +3 f) f ln (), f()=e g) f (), f()=(arctg) h) f (), f()=.. Ve kterých bodech mají křivky o rovnicích Matematika nám neslúži len na poznávanie prírody, alejetiežmohutnýmnástrojomnajejovládnutie. Štefan Schwarz y= 3 ay=3 4+ rovnoběžnétečny? [(, ),(,0)] 3. Dokažte, že funkce f()=arctg +arcsin + jepro (0; )konstantníaurčetehodnotutétokonstanty. 4. Dokažte, že funkce f()=arcsin 4+ arcsin(8 ) je konstantní. Určete hodnotu této konstanty a definiční obor funkce f. 5. Vypočtěte derivace následujících funkcí ve všech bodech definičního oboru: a) f()=arcsin arcsin( ) b) f()=3 3 3 ( ) c) f()=+ arccos d) f()= +.

17 . L Hospitalovo pravidlo Vypočtěte ity:. a) π arctg ln(+ ) lnsin a, a, b >0 + lnsin b [a) ln4 ln5 b) c) d)0] ln +. a) ( e )cotg ( π cotg π ) cos ( ) e +sin sin [a) b) c) d),alel Hnelzepoužít] 3. a) (sin π) ln e [a) b)e c)0 d) ] ( 4. a) cotg ) + (sin ) ln + cos sin ( ) π arctg cosh cos [a)0 b) c) d)] 5. a) e e sin { α ln + } [a) b) c)e α d)] ( + ) tg sin 6. ln(+) sin 6+ 3 [6]

18 Příklady ke cvičením z matematické analýzy pro informatiky ZS 009/00- Série VIII. To,costojízasdělení,sevejdedodvoutřířádků. Zbytekjsouvysvětlivkyknejasnýmformulacím.. Průběh funkce Při vyšetřování průběhu funkce postupujte podle těchto kroků:. definiční obor;. průsečíky grafu s osami souřadnými; 3. spojitost v bodech definičního oboru; sudost, lichost; 4. ity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti, pokud eistují; 5.asymptotyv av,vertikálníasymptoty; 6. eistence a hodnota oboustranné derivace, resp. jednostranných derivací; 7. maimální intervaly, na nichž je funkce monotónní; 8. etrémy a lokální etrémy; 9. maimální intervaly, na nichž je funkce konkávní, resp. konvení, inflení body; 0. nakreslete graf funkce a určete obor hodnot. Vyšetřete průběhy následujících funkcí: a) f()= +4 b) f()= c) f()=e d) f()= ln e) f()= ln f) f()= ln g) f()=e h) f()= e i) f()=arctg(ln ) j) f()= arctg k) f()= + + m) f()= + l) f()= + n) f()= e