Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.



Podobné dokumenty
Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Planetární geografie zadání Vzdálenosti na Zemi odevzdání

Matematické metody v kartografii. Jednoduchá azimutální zobrazení. Azimutální projekce. UPS. (10.)

Teorie sférické trigonometrie

Matematické metody v kartografii. Členění kartografických zobrazení. Zobrazení z elipsoidu na kouli (5.)

Zobrazení. Geografická kartografie Přednáška 4

Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy

Srovnání konformních kartografických zobrazení pro zvolené

I. 4. l Hospitalovo pravidlo

Funkce zadané implicitně

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

Matematické metody v kartografii. Jednoduchá válcová zobrazení. Válcové projekce. Gaussovo zobrazení. (6.+7.)

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Základy kartografie. RNDr. Petra Surynková, Ph.D.

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

2.8 Zobecnění vztahů mezi zatížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut zatížený v rovině) df x =f x.ds df z =f z.ds. M+dM x. ds=r.dϕ.

Matematika 1 pro PEF PaE

4. Matematická kartografie

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

Euklidovský prostor Stručnější verze

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii. Volba a identifikace zobrazení. Zobrazení použitá v ČR. Kritéria pro hodnocení kartografických zobrazení(13)

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

1 Topologie roviny a prostoru

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Matematické metody v kartografii. Nepravá zobrazení. Polykónická zobrazení. (11.)

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATIKA rozšířená úroveň

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Otázky z kapitoly Stereometrie

Kulová plocha, koule, množiny bodů

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Transformace dat mezi různými datovými zdroji

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

6. Střídavý proud Sinusových průběh

Cyklometrické funkce

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

Kapitola 7: Integrál. 1/17

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin cos 9 = 1 0, ( 0, ) = 1 ( 0, ) + 6 0,

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

Souřadnicové systémy Souřadnice na referenčních plochách

4.3.3 Goniometrické nerovnice I

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

Matematika v proměnách věků. IV

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Matematická analýza III.

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

Funkce. Vlastnosti funkcí

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

GA06 Deskriptivní geometrie pro obor Geodézie a kartografie Úvod do kartografie.

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

Kapitola 7: Integrál.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

4.3.1 Goniometrické rovnice

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

Leoš Liška.

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

Transkript:

Matematické metody v kartografii Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.

. Přehled důležitých křivek V matematické kartografii existují důležité křivky, které jdou po povrchu referenční plochy. Mají využití při navigaci, námořní či letecké dopravě. Ve vybraných kartografických zobrazeních se zobrazují jako přímky, tato zobrazení používána v minulosti pro námořní navigaci. Ve vybraných kartografických zobrazeních se zobrazují jako úsečky, přímky, či polopřímky. Křivky: Geodetická křivka (elipsoid) Ortodroma (koule->gč) Loxodroma

. Loxodroma Vlastnosti: Křivka, která protíná poledníky pod konstantním azimutem A. Délka l=. Není nejkratší spojnicí dvou bodů na referenční ploše (s výjimkou rovníku). Spirálovitě se blíží k severnímu/jižnímu pólu, kterého však nikdy nedosáhne. V kartografických zobrazeních se zobrazuje jako obecná křivka. V Mercatorově zobrazení se zobrazí jako úsečka => použití pro námořní navigaci. Využití: letecká, námořní doprava (dnes při navigaci používán GPS) Pro: A=0 -> loxodroma splývá s poledníkem A=90 -> loxodroma splývá s rovnoběžkou

3. Loxodroma, znázornění Počáteční bod loxodromy P Koncový bod loxodromy P Azimut loxodromy A Délka loxodromy dl Výchozí podmínka: tga R cos( u) dv Rdu Řešení separací proměnných: tga dv du cos u u v ln(tg( )) tga k 4 k integrační konstanta

4. Loxodroma, odvození Určení integrační konstanty k: Podmínka: loxodroma prochází body P =[u,v ] a P =[u,v ]. Po dosazení: v k v v Délka loxodromy: u ln(tg( )) tga 4 (ln(tg( u u )) ln(tg( 4 Rdu dl cos A ( u u) l R cos A ( v v ) l R cos u ))) tga 4 loxodroma totožná s rovnoběžkou

5. Výpočet bodů na loxodromě varianty zadání: Zadáno P [u, v ], P [u,?], hledáme: v,l Zadáno P [u, v ], P [?, v ], hledáme : u,l ) ) 4 ( arctg( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ln tg tg tg A v v A v v e u tg u u tg e u tg u tg u tg A v v A u u v v tg ))) 4 ln(tg( )) 4 (ln(tg(

6. Loxodroma (azimutální zobrazení) Znázornění loxodromy v azimutálním ekvidistantním zobrazení: P=[50,5], A=70, krok, 000 bodů

7. Loxodroma (kuželové zobrazení) Znázornění loxodromy v kuželovém ekvidistantním zobrazení: P=[50,5], A=70, krok, 000 bodů

8. Loxodroma (Werner-Staabovo zobrazení) Znázornění loxodromy v nepravém zobrazení: Werner-Staabovo P=[50,5], A=70, krok, 000 bodů

9. Loxodroma (Mercatorovo zobrazení) Znázornění loxodromy v Mercatorově zobrazení: P=[50,5], A=70, krok, 000 bodů.

0. Ortodroma Vlastnosti: Nejkratší spojnice dvou bodů na kouli (je to geodetická křivka na kouli) Ortodroma na rozdíl od loxodromy protíná poledníky pod různými azimuty. Vrací se do bodu, ze kterého vychází. Představuje hlavní kružnici, tj. průsečnici roviny procházející středem koule a koule. Poledník je ortodroma, rovnoběžka s výjimkou rovníku není ortodromou. Její délka je vždy kratší než délka loxodromy (s výjimkou rovníku a poledníku). V kartografických zobrazeních se zobrazuje jako obecná křivka. V gnomonické projekci se zobrazí jako úsečka. Zobrazení, u kterých se zobrazí téměř jako úsečka (malé vzdutí) nazýváme ortodromickými. Použití: geodézie, letecká či námořní doprava.

. Znázornění ortodromy a loxodromy Vlevo ortodroma, vpravo srovnání ortodromy a loxodromy. Výpočty parametrů ortodromy řešením sférického trojúhelníku.

. Průběh ortodromy Ortodroma vychází z výchozího bodu a na rozdíl od loxodromy se do něj vrací. Její délka je vždy konečná. Maximální a minimální zeměpisná šířka v bodě P m => nejjižnější a nejsevernější bod. V bodě Pm má ortodroma azimut 90. Rovník protíná ve dvou bodech se symetrickými hodnotami v.

3. Clairautova věta Popisuje chování ortodromy na sféře. Vyjádřena Clairautovou rovnicí. Clairautova rovnice: Součin sinu azimutu a kosinu zeměpisné šířky je konstantní a je roven kosinu maximální zeměpisné šířky ortodromy. cos usin A konst cos u max Praktický důsledek Clairautovy rovnice: Vztah mezi hodnotami kartografického pólu a maximální zeměpisné šířky/délky ortodromy: kartografický pól leží na poledníku procházející bodem P m. u 90 u v k k v m m 80

4. Výpočet souřadnic kartografického pólu z bodů ortodromy Známe li zeměpisné souřadnice dvou bodů ležících na ortodromě, můžeme určit souřadnice kartografického pólu. Postup se používá při výpočtu kartografického pólu při znalosti polohy bodů na nezkreslené (dotykové) rovnoběžce (ortodroma). Vyjdeme ze dvou sférických trojúhelníků: T: P,S,K T: P,S,K Sestavíme dvojici rovnic cos(90) sin( u cos(90) sin( u tg( u tg( v k k ) cotg( u ) )sin( u )sin( u )sin( u tg( u)cos( v tg( u )sin( v k k ) s cos( u ) cos( u k ) ) tg( u ) tg( u )cos( u )cos( u )cos( v) )sin( v ) k k )cos( v )cos( v v v K K ) )

4.. základní geodetická úloha Výpočet parametrů ortodromy dané počátečním bodem, délkou a azimutem počátečního bodu. Zadáno P =[u, v ], l, A Hledáme: P =[u, v ], A Řešení: l sin u sin u cos cosu R l sin A sin v sin R cos u sin(80 A ) cos u sin v l sin R sin l R cos A

5.. základní geodetická úloha Výpočet parametrů ortodromy dané počátečním a koncovým bodem. Zadáno P =[u, v ], P =[u, v ], l, A Hledáme: l, A, A Řešení: l cos sin u sin u cos u cos u R sin v sin A cosu l sin R sin v sin(80 A ) cos u l sin R cos( v)

6. Ortodroma (azimutální zobrazení) Znázornění ortodromy v azimutálním zobrazení. P=[50,5], A=70, krok

7. Ortodroma (kuželové zobrazení) Znázornění ortodromy v kuželovém zobrazení. P=[50,5], A=70, krok

8. Ortodroma (gnomonická projekce) Znázornění ortodromy v gnómonické projekci. P=[50,5], A=70, krok

9. Dvě ortodromy (Werner-Staabovo zobrazení) Znázornění ortodromy ve Werner-Staabově zobrazení. O : P=[50,5], A=70, krok O : P=[50,5], A=0, krok

0. Přímý a zpětný normálový řez na elipsoidu. Na elipsoidu máme dvojici bodů P a P. Bod P označme jako počáteční, bod P jako koncový. Oba řezy označujeme jako vzájemné. Přímý a zpětný normálový řez nejsou totožné!!! Přímý normálový řez: Z bodu P do P. Rovina tvořena trojúhelníkem P, V, P. Zpětný normálový řez: Z bodu P do P. Rovina tvořena trojúhelníkem P, V, P.

. Přímý a zpětný normálový řez na elipsoidu.

. Geodetická křivka Vlastnosti geodetické křivky: Nejkratší spojnice dvou bodů na elispoidu Její normála je v každém okamžiku totožná s normálou plochy. Poledníky protíná pod různými azimuty. Stejně jako ortodroma probíhá v intervalu mezi extrémní severní a jižní rovnoběžkou. Na rozdíl od ortodromy se nevrací do původního bodu, vlní se mezi oběma rovnoběžkami. Její délka je nekonečná. Mezi dvěma body existuje právě jedna geodetická křivka. Výjimkou jsou poledníky, mezi dvěma póly existuje nekonečně mnoho geodetických křivek s azimutem A=90.

. Znázornění geodetické čáry Parametry geodetické křivky: A azimut přímého řezu A azimut zpětného řezu A azimut geodetické křivky úhel mezi oběma řezy úhel mezi přímým řezem a geodetickou křivkou 3

3. Rovnice geodetické křivky Md cos A ds N cosd sin A ds ds M d N cos d Tyto rovnice představují diferenciální rovnice geodetické křivky