PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky rostějov 00

ravděpodobost a statistika Úvod Vytvořeý výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučováa v osovách a tematických pláech a gymáziích ižšího a vyššího stupě. Mohou ho však využít všechy středí a základí školy, kde je vyučová předmět matematika, a které mají dostatečé techické vybaveí a zázemí. Cílová skupia: odle chápáí a schopostí studetů je staovea úroveň áročosti vzdělávacího pláu a výukových materiálů. Zvláště výhodé jsou tyto materiály pro studety s idividuálím studijím pláem, kteří se emohou pravidelě zúčastňovat výuky. Tito studeti mohou s pomocí ašich výukových materiálů částečě kompezovat svou eúčast ve vyučovaém předmětu matematika, formou e-learigového studia.

ravděpodobost a statistika Obsah okusy, jevy... 5 Základí pojmy... 5 Operace s jevy... 6 Operace s jevy Variata... 7 Operace s jevy Variata... 0 Operace s jevy Variata C... 4 Souhré příklady k procvičeí... 6 Klasická pravděpodobost... 8 Klasická pravděpodobost Variata... 9 Klasická pravděpodobost Variata... Klasická pravděpodobost Variata C... 5 Souhré příklady k procvičeí... 8 Věty o pravděpodobostech... Věty o pravděpodobostech Variata... Věty o pravděpodobostech Variata... 5 Věty o pravděpodobostech Variata C... 40 Souhré příklady k procvičeí... 4 Statistika... 44 Důležité pojmy... 44 Rozděleí četostí a jeho grafické zázorěí... 45 Statistické diagramy... 46 Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata... 49 Výsledky variata... 55 Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata... 6 Výsledky variata... 64 Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata C... 66

4 ravděpodobost a statistika Výsledky variata C... 69 Charakteristiky polohy a variability... 7 Charakteristiky polohy a variability Variata... 7 Charakteristiky polohy a variability Variata... 76 Charakteristiky polohy a variability Variata C... 80 Souhré příklady k procvičeí... 8 Souhré příklady k procvičeí - výsledky... 85

ravděpodobost a statistika 5 okusy, jevy Základí pojmy áhodé pokusy - procesy, jejichž výsledek elze předem jedozačě určit. Závisí jedak a daých podmíkách, při kterých je provádě, jedak a áhodě možia všech možých výsledků pokusů (začíme, její libovolý prvek písmeem ) předpokládá se, že u každého áhodého pokusu je možo předem určit všechy možé výsledky, a to tak, že se avzájem vylučují a že jede z ich astae vždy jev - podmožia možiy všech možých výsledků jistý jev - jev, který při daém pokusu určitě astae (celá možia ) emožý jev - jev, který emůže astat (prázdá možia )

6 ravděpodobost a statistika Operace s jevy Nechť,. ro jevy, platí: je podjevem jevu sjedoceí jevů a astává právě tehdy, astae-li alespoň jede z jevů a průik jevů a astává právě tehdy, astaou-li oba jevy a současě opačý jev k jevu astává právě tehdy, když eastává jev, Je-li, azýváme jevy a disjuktí (avzájem se vylučují) říklad: Závodu v lukostřelbě se účastí děti (Iva, Jaa a Tomáš). Určete možiu všech možých výsledků závodu přízivých jevu. Jev začí, že Tomáš ebude posledí. Iterpretujte. Řešeí: Možých výsledků je!! 4, lze je popsat uspořádaým čtveřicemi. Z hlediska kombiatoriky budeme tvořit uspořádaé čtveřice bez opakováí ze tří písme (počátečí písmea jme dětí). I, T, J, J, T, I, T, I, J, T, J, I Jev je opačý jev, takže začí, že Tomáš bude posledí.

ravděpodobost a statistika 7 Operace s jevy Variata říklady: a Tupa hází třemi micemi. Určete možiu všech možých výsledků, které mohou astat, jestliže: a) se jedá o tři stejé mice. b) se jedá o mice růzých mě. Řešeí: a) Může padout paa ebo orel (ozačme písmey p a o). Mice od sebe elze rozlišit, takže budeme tvořit euspořádaé trojice ze dvou prvků (trojčleé kombiace s opakováím ze dvou prvků). Možých výsledků je 4. b) Může padout paa ebo orel (ozačme písmey p a o). Mice lze rozlišit, budeme tvořit uspořádaé trojice s opakováím ze dvou prvků. (čtyřčleé variace s opakováím ze dvou prvků). Možých výsledků je 8. říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: a) (p, p, p), (p, p, o), (p, o, o), (o, o, o) b) p, p, p p, p, o p, o, p p, o, o o, o, o o, p, o o, p, p o, o, p

8 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Házíme klasickou hrací kostkou. Jev X zameá, že a kostce padlo číslo větší ež dva. Jev Y zameá, že a kostce padlo liché číslo meší ež šest. Určete možiu možých výsledků a možiy X a Y.,,,4,5,6 ) Házíme dvěma růzě barevými klasickými hracími kostkami. Určete možiy W, X, Y, Z, jestliže: jev W vyjadřuje, že a obou kostkách pade liché číslo., X,4,5, Y,,5 W,,,,,5,,,,,,5, 5,, 5,, 5,5 jev X vyjadřuje, že součet, který padl a kostkách, bude rove čtyřem. jev Y vyjadřuje, že součet, který padl a kostkách, bude meší ež šest. X,,,,, Y,4, 4,,,,,,, jev Z vyjadřuje, že součet, který padl a kostkách, bude dělitelý pěti. Z,4, 4,,,,,, 4,6, 6,4, 5,5 ) Feka čeká tři štěňata. Vyjmeujte možiu všech možých výsledků, jestliže záleží a pořadí arozeí a pohlaví štěěte. F, F, F, F, F,, F,, F,,, F,, F,,, F, F F,,,,,, 4) Ve vesici jsou u příležitosti meziárodího de dětí pořádáy růzé soutěže. Jedou z ich je skákáí v pytli, kterého se letos v kategorii dětí mladších deseti let účastí čtyři dětí (děti ozačme písmey až D). Vyjmeujte všechy možé výsledky závodu z hlediska pořadí prvích dvou dětí v cíli. C,, C,, C, D, D,,,,, C,, D,,, D,, D, C,, D,, C 5) V pytlíku jsou čtyři kuličky (modrá, bílá, žlutá, čerá). Vytáheme ajedou dvě kuličky. Určete výsledky přízivé jevům a. a) Jev vyjadřuje, že eí vytažea modrá kulička. b, ž, b, č, ž, č b) Jev vyjadřuje, že je vytažea bílá kulička. b, ž, b, č, b, m 6) Máme tři růzé pytle (.,.,.) s míčky. V prvím pytli jsou červeé míčky, v druhém pytli jsou modré míčky a ve třetím pytli jsou modré i červeé míčky. Míčky téže barvy jsou erozlišitelé. Volíme jede pytel a z ěj vytáheme jede míček. Určete všechy

ravděpodobost a statistika 9 možé výsledky, jestliže ás zajímá jak barva vytažeého míčku, tak pytel, ze které byl míček vytaže. č,, m,, č,, m, 7) Tři růzé kusy oblečeí (triko, mikia, svetr) se mají umístit do tří poliček ve skříi. Do každé poličky jede kus oblečeí. Sestavte možiu všech možých výsledků pokusu. t, m, s, t, s, m, m, t, s, m, s, t, s, t, m, s, m, t 8) Dítě má v krabici dvě modré dvě červeé a jedu zeleou kostku. Kostky téže barvy jsou erozlišitelé. Dítě vytáhe áhodě dvě kostky, jedu po druhé, přičemž prví kostku do krabice evrátí. Sestavte možiu všech možých výsledků s ohledem a barvu kostky a pořadí, ve kterém byla vytažea. m, m, m, č, m, z, č, č, č, m, č, z, z, č, z, m 9) V botíku a zámku zbývají dva modré, dva žluté a dva červeé páry přezůvek. řezůvky téže barvy jsou erozlišitelé. Tři příchozí lidé vytáhou jede po druhém áhodě přezůvky a azují si je. Určete možiy,, C, které vyjadřují jevy: a) - lidé si vytáhli přezůvky stejé barvy. b) -třetí příchozí si vytáhl červeý pár přezůvek. m, m, č, m, ž, č, m, č, č, ž, ž, č, ž, m, č, ž, č, č, č, m, č, č, ž, č c) C-alespoň dva příchozí si vytáhli modré přezůvky. C m, m, č, m, m, ž, m, ž, č, m, č, m, ž, m, m, č, m, m

0 ravděpodobost a statistika Operace s jevy Variata říklady: ) Vysvětlete, co zameají jevy,,, když jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je meší ež 0, a jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je dělitelé dvěma. ) Do třídy. chodí chlapců a 6 děvčat. Do školího představeí áhodě vybereme skupiu 5 dětí. Určete počet všech výsledků přízivých jevům, jev spočívá v tom, že ve vybraé skupiě jsou chlapci a dívky, a jev spočívá v tom, že ve vybraé skupiě je alespoň jeda dívka. Jevy, Řešeí:, iterpretujte.,, kde ) Jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je větší ebo rovo deseti. Jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je buď meší ež deset ebo dělitelé dvěma. Jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je meší ež deset a zároveň dělitelé dvěma. ) Jev zameá, že ve výběru ebude žádá dívka. očet všech výsledků přízivých jevu! je: 79. Z hlediska kombiatoriky jde o kombiace bez opakováí. 5 7!5! Jev zameá, že ve výběru budou dívky a chlapci. očet všech výsledků přízivých jevu o kombiace bez opakováí. 6! 6! je: 00. Z hlediska kombiatoriky jde 9!! 4!! Jev zameá, že ve výběru budou buď tři chlapci a dvě dívky ebo samí chlapci. 6 očet výsledků přízivých jevu je: 79 00 09. 5 říklad: Variata Variata Variata C

ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Z výrobího pásu sjede za hodiu deset hotových aut. Dvě auta z těchto deseti mají ějakou výrobí vadu. Vysvětlete, co zameají jevy, `, `,, `, ` `, jestliže jev zameá, že při áhodém výběru tří aut, bude alespoň jedo vadé a jev zameá, že při áhodém výběru tří aut, ebude žádé vadé. `,` ) Vysvětlete, co zameají jevy,,,,, `,, `, ` ` `, když jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je sudé, a jev zameá, že áhodě vybraé přirozeé číslo je meší ež 8. [ `-áhodě vybraé přirozeé číslo je liché, -áhodě vybraé přirozeé číslo je sudé ebo meší ež 8, -áhodě vybraé přirozeé číslo meší ež 8 je sudé, ` -áhodě vybraé přirozeé číslo meší ež 8 je liché, `-áhodě vybraé přirozeé číslo je větší ebo rovo 8 ebo liché] ) Výtvarě dramaticky kroužek avštěvuje 5 dětí, z toho je deset dívek a pět chlapců. Náhodě vybereme 4 děti. Ozačme jevy: -mezi vybraými dětmi je právě jeda dívka, -mezi vybraými dětmi je alespoň jeda dívka, C-mezi vybraými dětmi je ejvýše jede chlapec. Iterpretujte ásledující jevy: `, C`,, C,, C, C`, C `, C `. C [ `-mezi vybraými dětmi eí žádá dívka, C`-mezi vybraými dětmi jsou alespoň dva chlapci,, - mezi vybraými dětmi jsou alespoň čtyři dívky,, C, C`-mezi vybraými dětmi jsou právě čtyři chlapci, C ` -mezi vybraými dětmi jsou ejvýše tři dívky, C `mezi vybraými dětmi eí žádá dívka] 4) Zaměstaec každé kaceláře musí a koci pracoví doby odevzdat klíč od své kaceláře do krabičky a vrátici. Klíče jsou očíslováy očíslovaých čísly,,, 49, 50. Vybereme z krabičky áhodě dva klíče. Nechť ozačuje jev, kdy vybereme dva

ravděpodobost a statistika klíče se sudými čísly, ozačuje jev, kdy alespoň a jedom vybraém klíči je liché číslo, C ozačuje jev, kdy liché číslo je ejvýše a jedom vybraém klíči. Určete výzam jevů `, `, C`, C, `, ` C`, C. `=, `=, C, C`-a obou vybraých kl. je liché číslo, `, ` 5) Na prví poličce v kihově je 8 růzých kih. utorem osmi z ich je Karel Čapek, deset kih apsala gatha Christie. Šárka si vybere 5 kih. Určete počet všech výsledků přízivých jevům,, `, ` kde jev zameá, že alespoň tři vybraé kihy apsal Karel Čapek, a jev zameá, že ejvýše tři vybraé kihy jsou od gathy Christie. Jevy `, ` iterpretujte. 76, 666, C` `, `-ejvýše dvě z vybraých kih apsal Karel Čapek, 59 `-alespoň čtyři vybraé kihy jsou od gathy Christie,9 6) Štěpá Hází třemi růzě barevými hracími kostkami. Jev začí, že a kostkách padla sudá čísla, Jev začí, že součet, který padl a kostkách, je větší ež čtráct, jev C začí, že a kostkách padla prvočísla. Určete počet všech výsledků přízivých jevům: a) [4] a) C [0] b) C [8] c) ` C [7] d) C ` [5] e) C [05] 7) Házíme čtyřikrát po sobě jedoeurovou micí. Jev začí, že paa pade alespoň jedou, jev začí, že paa pade víckrát ež orel, Jev C začí, že orel pade právě dvakrát, jev D začí, že výsledek všech hodů bude stejý. Určete počet všech výsledků přízivých jevům: a) [5; paa pade alespoň krát] b) C [6; orel pade právě krát] c) D [; paa pade právě 4krát] d) ` D [; výsledek všech hodů bude stejý] e) C ` [5; orel pade alespoň krát] C C

ravděpodobost a statistika f) D ` [4; paa pade právě krát] g) C D ` 6 ; Jevy iterpretujte. 8) ytlík obsahuje tři zeleé a pět bílých kuliček. Vytáheme čtyři kuličky-jedu po druhé, přičemž již vytažeé kuličky evracíme zpět do pytlíku. Kuličky téže barvy elze rozlišit. Jev zameá, že byly vytažey kuličky stejé barvy, jev zameá, že alespoň dvě vytažeé kuličky jsou zeleé, jev C zameá, že ejvýše tři vytažeé kuličky jsou zeleé. Určete počet všech výsledků přízivých jevům: a) [0] b) C ` ` [5] c) C [4] d) C ` ` [4]

4 ravděpodobost a statistika Operace s jevy Variata C říklad: Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Jev X zameá, že právě a jedé kostce pade čtyřka. Jev Y zameá, že a kostkách pade součet větší ež osm. omocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astae právě jede z jevů X, Y. b) astae alespoň jede z jevů X, Y. c) astae ejvýše jede z jevů X, Y. Řešeí: a) X 4,, 4,, 4,,,4,,4,,4, 4,5, 5,4, 4,6, 6,4 X` X Y,6, 6,, 5,5, 6,6, 5,6, 6,5 4,5, 5,4, 4,6, 6,4 Y` Y X Y` 4,, 4,, 4,,,4,,4,,4 X` Y,6, 6,, 5,5, 6,6, 5,6, 6,5 růik jevů X Y a X ` Y je prázdá možia. roto, jestliže astae jede z ich, druhý z jevů eastae, takže to, že astae právě jede z ich lze vyjádřit pomocí sjedoceí. b) To, že astae alespoň jede z jevů X a Y lze vyjádřit pomocí sjedoceí těchto jevů. c) Od možiy všech možých výsledků pokusu hodu dvěma kostkami odečteme ty pokusy, kde astaou oba jevy X a Y zároveň. To, že astaou oba jevy X a Y zároveň lze vyjádřit pomocí průik těchto jevů: X Y. říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: a) X Y X Y b) X Y c) X Y

ravděpodobost a statistika 5 říklady k procvičeí: ) Na soutěž v kresleí jsou ze skupiy 8 dětí vybráy 4 děti. Jev a zameá, že právě dvě z vybraých dětí jsou dívky. Jev zameá, že ejvýše dvě z vybraých dětí jsou dívky. ro jevy, pomocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astaly oba jevy. b) eastal žádý jev. ` ` c) astal ejvýše jede z těchto jevů. X Y ) Odra dostal od babičky k arozeiám 000 Kč a rozhodl si za ě koupit ová DVD do své sbírky filmů. eíze mu stačí a čtyři DVD. Jev zameá, že všecha koupeá DVD jsou z americké produkce, jev zameá, že alespoň dvě DVD jsou z odlišé produkce, ež je americká, jev C zameá, že právě dvě DVD jsou z americké produkce. ro jevy,, C pomocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astal je jev. ` C` b) astaly všechy tři jevy. C c) astaly alespoň dva jevy. C C d) astaly jevy a C a jev eastal. C ` e) eastal žádý z jevů. ` ` C` ) aka rozesílá druhou upomíku k hypotéce třem klietům K, L, M. Každou z upomíek áhodě vložíme do jedé ze tří obálek adepsaých jejich adresami. Nechť jev zameá, že žádá upomíka eí ve správé obálce, jev zameá, že ve správé obálce je je upomíka pro klieta K, jev C zameá, že ve správé obálce je ejvýše jeda upomíka. ro jevy,, C pomocí možiové symboliky vyjádřete, že a) astal alespoň jede jev. C b) astal je jev C. ` ` C a) astal ejvýše jede jev. b) astaly ejvýše dva jevy. C C C C

6 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) Házíme dvěma kostkami, které lze rozlišit. Ozačme jako jev situaci, kdy a obou kostkách pade číslo větší ež čtyři, a jako jev situaci, kdy a kostkách pade sudé číslo. Určete počet všech možých výsledků přízivých jevům: a) 0 b) ` 6 c) d) ` 0 e) ` Sestavte výčet všech možých výsledků přízivých jevu. 5,5, 5,6,,,,4,,6 4,6, 6,5, 6,, 6,4, 6,6, 4,, 4,4, ) Házíme třemi koruovými micemi. Jev začí, že paa padla víc ež jedou. Jev začí, že orel padl právě třikrát. Určete počet a sestavte výčet všech možých výsledků přízivých jevům: a) ` 4, ` p, p, o, p, o, p, o, p, p, p, p, p b) 5, p, p, o, p, o, p, o, p, p, p, p, p, o, o, o c) ` 4, ` o, o, p, o, p, o, p, o, o, o, o, o d) ` `, ` ` o, o, o ) Ve skříi jsou uskladěy hokejky a florbal. jsou bílé modré a červeé. Vytáheme ze skříě ajedou tři hokejky. Jev začí, že vytažeé hokejky měly stejou barvy, jev začí, že alespoň jeda vytažeá hokejka byla modrá, jev C začí, že právě dvě vytažeé hokejky byly modré. Určete počet a sestavte výčet všech možých výsledků přízivých jevům: a) ` C`, ` C` b, b, b, č, č, č b) ` C, ` C m, m, b, m, m, č c) ` C` 5, ` C` m, č, č, b, č, č, m, b, b, b, m, č, b, b, č d) ` C `, ` C ` b, č, č, b, b, č e) C `, C ` b, b, b, č, č, č

ravděpodobost a statistika 7 4) Do vědomostí soutěže jsou ze skupiy 5 dětí vybráy tři děti. Jev zameá, že byli vybrái samí chlapci, jev zameá, že byly vybráy samé dívky, jev C zameá, že byly vybráy dvě dívky a jede chlapec. Zapište v možiové symbolice ásledující jevy: a) ebyl vybraý žádý chlapec b) byl vybrá alespoň jede chlapec ` c) byly vybráy ejvýše dvě dívky ` d) byli vybrái dva chlapci a jeda dívka C ` 5) Sadra si v levých kihách akoupila 4 kížky. Jev zameá, že právě dvě mají tiskovou chybu, jev zameá, že žádá emá tiskovou chybu, jev C zameá, že alespoň dvě mají tiskovou chybu. Zapište v možiové symbolice ásledující jevy: a) ejvýše jeda kiha má tiskovou chybu C ` b) alespoň tři kihy mají tiskovou chybu C c) právě jeda kiha má tiskovou chybu ` C` d) právě tři kihy mají tiskovou chybu C ` e) alespoň dvě emají tiskovou chybu C C` 6) Dobrodružého etrémího závodu se účastí deset družstev. Závod dokočí čtyři družstva. Jev zameá, že čleem alespoň jedoho družstva, které dokočilo závod, je žea, jev zameá, že družstva, která dokočila závod, jsou čistě mužská, jev C zameá, že dvě družstva, která dokočila závod, obsahují žey. a) družstva, která dokočila závod, mohou mít jakékoli složeí z hlediska zastoupeí mužů a že. b) z družstev, která dokočila závod, obsahují žeu alespoň tři družstva ebo právě jedo družstvo. ` C`

8 ravděpodobost a statistika Klasická pravděpodobost ravděpodobost jevu v áhodém pokusu s koečou možiou všech výsledků, které jsou stejě možé, je rova podílu počtu všech možých výsledků pokusu: m výsledků přízivých jevu a počtu m m m. latí: i) pravděpodobost emožého jevu je rova ule 0 ii) pravděpodobost jistého jevu je rova jedé iii) pravděpodobost libovolého jevu je ezáporé číslo ejvýše rovo jedé 0 iv) pravděpodobost ` jevu opačého je říklad: Řešeí: Divadelí kroužek avštěvuje osm děvčat a deset chlapců, ze kterých áhodě vybereme skupiu tří osob. Jak je pravděpodobost, že ve skupiě budou dva chlapci a jeda dívka? Jev zameá, že ve výběru budou dva chlapci a jeda dívka. m 8 0 8! 7! 0!!8! 60 m 8 8! 5!! 86 m m 60 86 0,44 44,% ravděpodobost, že ve skupiě budou dva chlapci a jeda dívka je 44,%.

ravděpodobost a statistika 9 Klasická pravděpodobost Variata říklady: ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu stříbrým dolarem pade orel? ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzě barevými hracími kostkami pade součet větší ež jedeáct? ) V malé rodié firmě se za de vyrobí 5 výrobků, z ichž je 5 vadých. Jaká je pravděpodobost, že vybraý výrobek, který byl vyrobe v úterý, je vadý? Řešeí: ) Jev zameá, že padl orel. m m m m 0,5 50% ) Jev zameá, že a kostkách padl součet větší ež jedeáct.,,,,,,,4,,5,,6,,,,,..., 6,, 6,, 6,...,, 6,6 m m 6 6,6 6 m m 6,78% ) jev zameá, že vybraý výrobek je vadý. m 5 m 5 m m 5 5 0,098,98% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že pade orel, je 50%. ) ravděpodobost, že pade více ež jedeáct, je,78%. ) Výrobek je vadý s pravděpodobostí,98%.

0 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou pade číslo 6? ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou pade číslo větší ež a) jeda b) dva c) pět 6 5 6 6 d) šest 0 ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou epade číslo šest? 4) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou epade číslo meší ež a) tři 5 6 b) pět 5) Martia si a zábavě koupí 5 lístků do tomboly. Jakou má pravděpodobost hlaví výhry, jestliže v tombole je 68 lístků?,98% 6) David si v obchodě koupil fotoaparát. V obchodě mají a skladě šest fotoaparátů, z ichž je jede vadý. S jakou pravděpodobostí si David vybere vadý fotoaparát? 7) V okresí soutěži se koá soutěž ve střelbě. Vítěz zasáhl z 50 výstřelů 5-krát. Jakou 7 % měl pravděpodobost zásahu? 90 % 8) Eva strávila celý víked a oslavě u kamarádky a estihla se aučit a podělí test. ravděpodobost, že test ezvláde je proto 0,8. Jaká je pravděpodobost, že test zvláde? 0, 7 9) ravděpodobost správého tipu výsledku v testu je 5%. Jaká je pravděpodobost, že tip bude špatý? 75 %

ravděpodobost a statistika 0) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzými hracími kostkami pade součet a) sedm? 0, 7 b) pět? 0, ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzými hracími kostkami pade součet meší ež a) pět? 0, 67 b) čtyři? 0, 08 ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma růzými hracími kostkami pade součet větší ež a) deset? b) dvaáct? 0,08 0,07 ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu hrací kostkou pade sudé číslo? 4) Jaká je pravděpodobost, že při hrací hodu kostkou pade číslo dělitelé dvěma? 5) Z dvaceti dresů ozačeých čísly až 0 vybereme áhodě jede. Jaká je pravděpodobost, že jsme vybrali a) dres ozačeý sudým číslem? b) dres ozačeý prvočíslem? 0, 45 c) dres ozačeý číslem dělitelým čtyřmi? 6) V sáčku je šest čerých a osm bílých hliěých kuliček. Namátkou vybereme jedu kuličku. Jaká je pravděpodobost, že bude bílá? 0, 57 4

ravděpodobost a statistika Klasická pravděpodobost Variata říklady: ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu třemi Dolarem, Eurem a Koruě pade alespoň a jedé z těchto micí paa? ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu šesti růzými hracími kostkami padou samá sudá čísla? ) V šesté třídě a druhém stupi základí školy je 8 žáků, z ichž budou dva zkoušei. Řešeí: řipraveo a zkoušeí je 6 žáků. Jaká je pravděpodobost, že budou oba zkoušeí připravei? ) Jev zameá, že alespoň a jedé mici padla paa. m 7 m 8 m m 7 8 0,875 87,5% ) Jev zameá, že a kostkách padla samá sudá čísla. 6 6 6 m 46656 m 79 6 m 6 m 6 0,05,5% ) Jev zameá, že oba zkoušeí žáci jsou připravei. m 6 m 8 m m 6 8 6! 4!! 8! 6!! 40 756 0,7,7% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že při hodu třemi micemi pade alespoň a jedé z ich paa, je 87,5% ) ravděpodobost, že padou samá sudá čísla je,5%. ) ravděpodobost, že budou oba připravei je,7%.

ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Ve třídě soukromého gymázia je 6 dětí. Vybereme amátkou čtveřici žáků. Jaká je pravděpodobost, že vybereme a) je chlapce? 0, 067 b) je dívky? 0, 0 ) Ve. jsou žáci a začátku podělí hodiy zkoušei 4 žáci. Děti o víkedu slavily osmáctiy jedoho z ich, a tak je a zkoušeí připraveo je 8 žáků z žáků. Jaká je pravděpodobost, že budou všichi čtyři zkoušeí epřipravei? 0, 085 ) V sáčku je šest čerých korálků a osm růžových korálků. Namátkou vybereme korálky. Jaká je pravděpodobost, a) že budou všechy bílé? b) že ebudou všechy bílé? 0,54 0,846 4) Jaká je pravděpodobost, že při hodu modrou, zeleou, oražovou, žlutou a modrou hrací kostkou pade/ou a) a všech kostkách pětka? 0, 0009 b) samá lichá čísla? 0, 05 c) čísla větší ež tři? 0, 05 d) čísla meší ež tři? 0, 004 e) alespoň jedou šestka? 0, 598 f) pět stejých čísel? 0, 00077 5) Na fotbalový turaj se přihlásilo deset mužstev. K dispozici je jedié hřiště, a kterém se za prví de turaje stihlo odehrát 5 zápasů. Na začátku každého zápasu se losuje právo výběru stray hodem micí. Jaká je pravděpodobost, že během prvího de turaje a) byl výsledek všech hodů micí stejý. 6 b) paa padla právě třikrát. c) orel padl alespoň jedou. 5 6

4 ravděpodobost a statistika 6) V pouzdře je 9 čerých a 6 modrých propisek. Náhodě vybereme dvě z ich. Jaká je pravděpodobost, že vybereme dvě modré? 7) V misce je deset 0 švestek, z ichž je v pěti červ. Duša si z misky vezme 4 švestky. Jaká je pravděpodobost, že si vybral a) všechy dobré? 0, 94 b) alespoň jedu červavou? 0, 806 8) V obchodě je výprodej. Na hromadě triček je 8 triček velikosti M, trička velikosti S a 5 triček velikosti L. jaká je pravděpodobost, že při áhodém výběru triček vyberu je trička velikosti S. 0 9) Správou odpověď zaslalo během prvích deseti miut po zadáí otázky 5 mužů a 7 že. Z ich budou vylosovái tři výherci. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi ebude žea? 7

ravděpodobost a statistika 5 Klasická pravděpodobost Variata C říklady: ) Házíme šesti růzými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobost, že při hodu těmito kostkami pade postupka (tj.,,, 4, 5, 6)? ) V krabici jsou 4 červeé a 6 bílých kostek. Vytáheme jedu a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobost, že druhá vytažeá kostka je bílá? ) V košíku a ovoce se achází je 7 červeých jablek a 5 žlutých jablek. Dítě si áhodě Řešeí: vybere 4 kusy ovoce. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou právě žlutá jablka? ) Jev zameá, že padla postupka. m 6! 70 m 6 6 46656 m m 70 46656 0,054,54% ) Jev zameá, že druhá vytažeá kostka je bílá. m 9 6 m 0 9 m m 9 0 6 9 9 6 0 9 54 90 0,6 60% ) Jev zameá, že mezi vybraými kusy budou právě dvě žlutá jablka. m 7 5 m 4 m m 7 5 4 7! 5!!! 8!4! 5!!! 4 0,44 4,4% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že pade postupka je,54%. ) ravděpodobost, že druhá tažeá kostka je bílá, je 60%. ) ravděpodobost, že mezi vybraými jablky budou dvě žlutá je 4,4%.

6 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Házíme šesti růzými hracími kostkami. Jaká je pravděpodobost, že padou a) alespoň tři šestky 0, 06 b) alespoň čtyři šestky 0, 0087 ) Házíme pěti růzými kostkami. Jaká je pravděpodobost, že a kostkách pade postupka? ) (to zameá sestava,,, 4, 5 ebo,, 4, 5, 6) 0, 008 4) Házíme třemi růzými kostkami, jaká je pravděpodobost, že a kostkách epade postupka? (tj.,, ebo,, 4 ebo, 4, 5 ebo 4, 5, 6) 0, 889 5) Sbor avštěvuje 5 dětí, z toho 0 děvčat. Diriget vybere osm, které budou zpívat prví sloku písě. Jaká je pravděpodobost, že vybere 4 chlapce a 4 děvčata. 0, 6 6) V pytlíku je šest čerých a osm bílých hliěých kuliček. Namátkou vybereme kuličky. Jaká je pravděpodobost, že vybereme čeré a jedu bílou. 0, 7) Tereza dostala sáček, v ěmž bylo 5 červeých a 5 žlutých boboů. Nabídla kamarádce, která áhodě si ze sáčku vzala 4 boboy. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou právě dva žluté. 0, 476 8) Majitel obchodu s oblečeím dostává každý týde dodávku ového zboží. Dodávku přijme, jestliže po amátkové kotrole pěti kusů oblečeí emá ai jede kus vadu. Jaká je pravděpodobost, že dodávku přijme, jestliže má odebrat 5 kusů oblečeí, mezi imiž jsou tři vadé kusy. 0, 6 9) Do křížovkářské soutěže poslalo správou odpověď sedm mužů a deset že. udou vylosovái čtyři výherci. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou právě dvě žey. 0) Házíme třemi rozlišitelými kostkami. Jaká je pravděpodobost, že pade součet devět? ) Studet se a zkoušku stihl aučit pouze 4 z 60 otázek. Na zkoušce si bude tahat otázky. Jaká je pravděpodobost, že bude umět odpovědět právě a jedu otázku. ) a Vokatý si koupil áhradí díl do svého auta a vrakovišti. Neměl čas áhradí díl vyzkoušet, ale protože je stálý zákazík, tak se s majitelem vrakoviště dohodul, že si vezme tři kusy, zkusí, který fuguje, a zbývající mu další de přiveze azpět. Jaká je 0,97 0,57 0,88

ravděpodobost a statistika 7 pravděpodobost, že mezi třemi díly, které pa Vokatý dostal, jsou právě dva fukčí, když je a vrakovišti k dispozici deset těchto áhradích dílů, z toho tři vadé? 0, 55 ) V druhé třídě základí školy je 6 dětí. Čtyři z ich zapoměly vypracovat domácí úkol. aí učitelka si áhodě vybere pět dětí, kterým domácí úkol zkotroluje. Jaká je pravděpodobost, že dvě z vybraých dětí ebudou mít domácí úkol? 0, 4 4) V pytlíku je 5 bílých kuliček a 6 zeleých hliěých kuliček. Vytáheme jedu a dáme ji bokem, vytáheme druhou a dáme ji bokem. Jaká je pravděpodobost, že třetí tažeá kulička bude bílá? 0, 45 5) V krabici je 5 modrých, červeé a 6 zeleých kostek. Třikrát po sobě vytáheme jedu kostku. Kostky evracíme. Jaká je pravděpodobost, že prví tažeá kostka je modrá a posledí tažeá kostka je zeleá? 0, 65 6) Marie po příchodu do obchodu zjistila, že mají 6 souprav modrého povlečeí, 4 soupravy červeého povlečeí a 4 soupravy povlečeí se vzorem. Náhodě vybrala tři soupravy. Jaká je pravděpodobost, že jsou každá jié barvy? 0, 6

8 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) Klára jede a závody a balí si zavazadla. K ukráceí volého času si zabalí 0 DVD s filmy. Vybírat může ze 4 DVD. Jaká je pravděpodobost, že mezi DVD, která si vybrala a) bude film oogie Woogie 0, 8 b) ebude film oogie Woogie a bude film Temý rytíř. 0, 86 ) Zámek a kolo je možé otevřít trojmístým umerickým kódem. Určete pravděpodobost, že se zámek v případě ezalosti kódu podaří otevřít a) jedím áhodě zvoleým trojciferým číslem. 0 b) 5 áhodě zvoleými trojciferými čísly. 0, 05 ) V klobouku je 0 očíslovaých papírků (čísly až 0). Jaká je pravděpodobost, že bude vylosová papírek, a kterém je číslo dělitelé 4) jedeácti 5) pěti 6) Náhodě vybereme libovolé přirozeé trojciferé číslo, ve kterém se žádá číslice esmí opakovat. Jaká je pravděpodobost, že je vybraé číslo dělitelé a) dvěma b) pěti 7) Jaká je pravděpodobost, že libovolé přirozeé čtyřciferé číslo, ve kterém se eopakuje žádá cifra, má a místě jedotek a) ulu 5 5 9 b) osmičku 8 8 8) Jaká je pravděpodobost výhry prví cey ve sportce? 7,5 0 8 9) Je při hodu třemi růzými kostkami pravděpodobější součet 4 ebo?, 0,097,4 9

ravděpodobost a statistika 9 0) Na hřišti se sejde 8 dětí, které se rozhodou zahrát si volejbal, rozdělí se proto do tří skupi po šesti lidech. Jaká je pravděpodobost, že Tomáš a Michal budou hrát ve stejé skupiě? ) rví maturití de si studeti prví čtyřčleé skupiy, která skládá maturitu, vylosují v češtiě otázky. rví studet losuje jedu otázku z plého počtu 0 možých, druhý studet losuje jedu otázku z 9 možých, třetí studet losuje jedu otázku z 8 možých a posledí studet této skupiy losuje jedu otázku z 7 možých. Jaká je pravděpodobost, že druhý maturití de si jiá čtyřčleá skupia vylosuje a) tytéž otázky v tomtéž pořadí?,5 b) jié otázky? 0, 546 ) V ošatce jsou dva druhy ovoce (jahody a švestky). Jahod je 0 Vytáheme dva kusy ovoce. Kolik může být v ošatce švestek, jestliže je pravděpodobost, že byla vytažea 0 právě jeda jahoda a právě jeda švestka je. ) V obchodě jsou tři stejé poličky s triky. V prví poličce jsou hědá a 4 zeleá trika s dlouhým rukávem, v druhé poličce jsou 4 hědá a 5 zeleých trik s krátkým rukávem a v posledí poličce je 6 hědých a zeleá trika bez rukávu. Z áhodě zvoleé poličky si vezmeme jedo triko. Jaká je pravděpodobost, že bude zeleé? 0, 487 4) Učitel tělocviku si vede statistiku o výkoech dětí, které avštěvují jeho hodiy tělocviku, v běhu a 00 metrů. Jaká je pravděpodobost, že dítě avštěvující jeho hodiu a) bude mít čas do vteři? 0, 4 b) bude starší deseti let? 0, 468 stáří dítěte počet dětí s časem do vteři do 0 let 5 68 ad 0 let 0 počet dětí s časem ad vteři 5 5 7 0 6 8 5) Hodíme třikrát po sobě hrací kostkou. Jaká je pravděpodobost, že ve druhém a ve třetím hodu hodíme větší číslo ež v prvím hodu? 0, 55 6) Závodu v lyžováí se účastí i dva ejvětší rivalové Lukáš a Jidřich. ravděpodobost, že zvítězí Lukáš, je 4%, pravděpodobost, že zvítězí Jidřich, je 46%

0 ravděpodobost a statistika a pravděpodobost, že zvítězí ěkdo jiý, je 5%. Jiý výsledek astat emůže. Je to možé? 7) Všech 7 zaměstaců adárodí firmy mluví alespoň jedím cizím jazykem (aglicky ebo fracouzsky). glicky hovoří 0 zaměstaců, fracouzsky se domluví 5 zaměstaců. Určete pravděpodobost, že áhodě vybraý pracovík mluví a) je aglicky 0, 595 b) je fracouzsky 0, 89 c) oběma jazyky 0, 6 8) Hráč dostae 6 karet z balíčku kaastových karet (balíček čítá 04 karet). Jaká je e pravděpodobost, že mezi imi je všech osm desítek? 4,997 0 8 9) Do osmipatrové budovy vešlo aráz pět lidí. Výtah z důvodu zatopeí efuguje, takže všichi musí jít po schodech. Jaká je pravděpodobost, že každý jde do jiého patra. 0,05 0) Z balíčku kaastových karet (balíček čítá 04 karet), vybereme jedu kartu, podíváme se a i a vrátíme ji zpět. ak vytáheme druhou kartu. Určete pravděpodobost, že obě karty a) jsou stejé barvy 0, 5 b) jsou stejého druhu (apř. dvě desítky, dvě esa atd.) 0, 077

ravděpodobost a statistika Věty o pravděpodobostech ) ravděpodobost, že astae jede ze dvou avzájem se vylučujících jevů, (tj. ), je rova součtu jejich pravděpodobostí: ) ravděpodobost, že astae jede z jevů,, je ) Řekeme, že jevy a jsou ezávislé, jestliže platí 4) Řekeme, že jevy,, C jsou ezávislé, jestliže, C C, C C C a avíc 5) Mějme ezávislých pokusů, z ichž každý skočí buď zdarem s pravděpodobostí p, ebo ezdarem s pravděpodobostí q. otom pravděpodobost jevu, k C, že právě k pokusů bude zdařilých, je k k k p q, k 0,,,,. k říklad: Řešeí: Na táboře je v družstvu Rychlých šeků 5 dětí. Z toho je 8 dívek a 7 chlapců. Vybereme z ich amátkou trojčleou hlídku. Jaká je pravděpodobost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci? 7 8 Jev zameá, že v hlídce jsou právě dva chlapci, 5 7 Jev zameá, že v hlídce jsou právě tři chlapci, 5 Chceme vypočítat, že astae jede z jevů a. Jevy a se avzájem vylučují, takže použijeme vzorec z věty ).

ravděpodobost a statistika 7 8 7 5 0 455 0,446 44,6% ravděpodobost, že v hlídce budou alespoň dva chlapci, je 44,6%.

ravděpodobost a statistika Věty o pravděpodobostech Variata říklad: Házíme zeleou a žlutou kostkou. Najděte součet čtyři, a jev začí, že a žluté kostce padla pětka? Řešeí:,,,,, 6 6,5,,5,,5, 4,5, 5,5, 6,5 6 Ř, Jevy a se avzájem vylučují., jestliže jev začí, že a kostkách padl 6 Jev 6 4 0,5 astae s pravděpodobostí 5%. 5% říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: Jev astae s pravděpodobostí 5%.

4 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Házíme dvěma růzě zbarveými kostkami. Najděte, jestliže a) zameá, že a prví kostce padlo sudé číslo, Jev zameá, že a druhé kostce padlo liché číslo. [] b) začí, že a prví kostce padlo číslo větší ež čtyři, a jev začí, že a kostkách padl součet čtyři. c) zameá, že a prví kostce padlo číslo meší ež dva, a zameá, že a druhé kostce padlo liché číslo větší ež dva. [0,5] ) ři hodu kostkou můžou astat ásledující jevy: - padlo sudé číslo, - adlo liché číslo větší ebo rovo ež třem, C- adlo liché číslo meší ež tři. Vypočítejte a) 5 6 5 b) C c) C ) Jaká je pravděpodobost, že při hodu třemi růzými kostkami padou samá prvočísla ebo samé šestky? [0,0]

ravděpodobost a statistika 5 Věty o pravděpodobostech Variata říklady: ) V obchodě mají a skladě 4 otebooků stejého druhu a začky, z ichž je pět vadých. Za jede de byly prodáy tři otebooky z této řady. Jaká je pravděpodobost, že byl prodá alespoň jede vadý? ) Házíme třemi kostkami, jaká je pravděpodobost, že padou samá lichá čísla ebo samá čísla meší ež 4? ) Házíme třemi kostkami. Jev začí, že a prví kostce pade trojka. Jev začí, že a druhé kostce pade liché číslo. Jev C začí, že a třetí kostce pade číslo větší ež dva. Rozhoděte, zda jsou jevy,, C ezávislé. 4) Dva střelci Wag a oetti se v disciplíě trap rozstřelují o olympijský broz. a Wag Řešeí: zasáhe cíl s pravděpodobostí 95%. a oetti zasáhe cíl s pravděpodobostí 9%. Jaká je pravděpodobost, že při jedom výstřelu každého z ich a) zasáhou oba. b) žádý ezasáhe cíl. c) Wag zasáhe cíl, oetti ezasáhe cíl. ) jev zameá, že mezi třemi prodaými byl právě jede vadý otebook, 5 4 9 5! 4! 9! 7!! 4!!! 855 04 jev zameá jev zameá, že mezi třemi prodaými byly právě dva vadé otebooky, 5 9 4 5!!! 9! 8! 4!!! 90 04 jev C zameá, že mezi třemi prodaými byly právě tři vadé otebooky, C 5 4 5!!! 4!!! 0 04 Chceme vypočítat, že astae jede z jevů,, C. Jevy se avzájem vylučují.

6 ravděpodobost a statistika C C 855 04 90 04 0 04 050 04 ravděpodobost, že byl prodá alespoň jede vadý otebook, je 5,%. 0,5 (5,%) ) jev zameá, padla samá lichá čísla, 6 jev zameá, že padla čísla meší ež čtyři, 6 jev zameá, že a kostkách padla lichá čísla meší ež čtyři, 6 Chceme vypočítat, že astae jede z jevů a. růik jevů a eí prázdá možia, takže použijeme vzorec s věty ). 6 6 6 46 6 0, (,%) ravděpodobost, že padou samá lichá čísla ebo čísla meší ež čtyři, je,%. ) Jestliže platí vztahy z věty 4), jevy,, C jsou ezávislé. Tyto vztahy ověříme. 6 6 C,,,,, 5 6 4 C C,,,4,,5, 6 6 9 C 6 C,,,4,,5 4 6,6,,,,4.,5,6, 5,, 5,4. 5,5,, 5,6 C 6 8 C,,,,,4,,,5,,6,,,,,,4.,,5,,,6,,5,,,5,4.,5,5,,5,6 6 C 6 9 C C C C 6 8 C

ravděpodobost a statistika 7 4) jev zameá, že pa Wag zasáhl cíl, 95% jev zameá, že pa oetti zasáhl cíl, 9% jev ` zameá, že pa Wag ezasáhl cíl, ` 0, 05 jev ` zameá, že pa oetti ezasáhl cíl, ` 0, 09 a) Chceme spočítat, že astaou oba dva jevy a zároveň. Jevy a jsou ezávislé (to, že jede zasáhe, eovliví pravděpodobost toho, že zasáhe druhý). latí: 0,95 0,9 0,8645 (86,45%) b) Chceme spočítat, že astaou oba dva jevy ` a ` zároveň. Jevy ` a ` jsou ezávislé. ` ` ` ` ` latí: ` ` ` ` 0,05 0,09 0,0045 (4,5%) c) Chceme spočítat, pravděpodobost, že astaou oba dva jevy a ` zároveň. Jevy a `jsou ezávislé. ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` 0,95 0,09 0.0855 8,55% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) ravděpodobost, že byl prodá alespoň jede vadý otebook, je 5,%. ) ravděpodobost, že padou samá lichá čísla ebo čísla meší ež čtyři, je,%. ) Jevy,, C jsou ezávislé. 4) a) ravděpodobost, že oba zasáhou, je 86,45%. b) ravděpodobost, že oba dva střelci ezasáhou cíl, je 4,5%. c) ravděpodobost, že pa Wag zasáhe cíl a pa oetti e, je 8,55%.

8 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Závodu horských kol se účastí žáci dvou místích sportovích škol. rví škola vyslala do závodu dětí a druhá škola 8 dětí. Jaká je pravděpodobost, že a stupích vítězů uvidíme alespoň dvě děti z prví základí školy? Jak se změí pravděpodobost, že a stupích vítězů uvidíme alespoň dvě děti z prví základí školy, jestliže počet dětí vyslaých prví školou je 8 a druhou? Výsledky vyjádřete v procetech. [65,6%, zmeší se o,% ] ) ges zjistila, že při stěhováí dala použitá a epoužitá DVD do stejé krabice. Ví, že epoužitých měla 66 a použitých. Jaká je pravděpodobost, že při áhodém výběru čtyř DVD vytáhe alespoň dvě použitá? [0,48] ) Firma dodala 0 dresů velikosti M a 6 dresů velikosti L. treér družstva dorosteců vybere áhodě 5 dresů pro své svěřece. Jaká je pravděpodobost, že vybral alespoň dva dresy velikosti L. [0,754] 4) Jaká je pravděpodobost, že při hodu dvěma kostkami padou a) samá prvočísla ebo samá čísla meší ež pět. b) samá čísla dělitelá třemi (beze zbytku) ebo samá čísla větší ež tři. 5) Jaká je pravděpodobost, že při hodu třemi růzými kostkami pade a) součet ejvýše tři ebo samá stejá čísla. b) samá sudá čísla ebo samá stejá čísla. c) součet právě jedeáct ebo samá lichá čísla větší ež dva. [a) 0,69, b) ] [a), b) 0,9, c) 0,079] 6 6) Házíme dvěma růzě barevými kostkami (modrou a čerou). Rozhoděte, zda jevy v ásledujících případech jsou ebo ejsou ezávislé. a) Jev začí, že a kostkách padl součet šest. Jev začí, že a kostkách padla je lichá čísla. b) Jev začí, že a kostkách padl součet sedm. Jev začí, že a čeré kostce padlo číslo větší ež tři. c) Jev začí, že a kostkách padl součet pět. Jev začí, že a kostkách padla je lichá čísla. [a) e, b) + c) ao]

ravděpodobost a statistika 9 7) Na čtyřletém gymáziu propad v průměru 6% žáků z agličtiy a 0% žáků z fracouzštiy. Z obou jazyků ajedou propadá 5% žáků. Jsou jevy žák propade z agličtiy a žák propade z fracouzštiy ezávislé? [ejsou] 8) ravděpodobost, že se driaa zúčastí kurzu břišího tace je 5%, zatímco Eliška se kurzu zúčastí s pravděpodobostí 4%. ravděpodobost, že se a kurz přihlásí obě je 0,5%. Jsou jevy driaa se zúčastí kurzu a Eliška se zúčastí kurzu ezávislé? 9) Házíme třemi růzými kostkami (ozačme je, y, z). Jsou ásledující jevy ezávislé? : součet hodot, které padly a kostkách a y, je šest. : a kostce z padla hodota trojka [jsou] C: a kostce padla čtyřka [ejsou] 0) Určete pravděpodobost, že ve dvou hodech kostkou pade v prvím hodu prvočíslo a ve druhém liché číslo. [ ] ) Kateřia přijde a smluveou schůzku včas s pravděpodobostí 70%, Romaa a i přijde včas s pravděpodobostí 85%. Jaká je pravděpodobost, že a) přijdou obě včas. b) obě přijdou pozdě. c) Romaa přijde včas a Kateřia pozdě. [a) 0,595, b) 0,045, c) 0,55] ) V sáčku je 7 štítků s číslem jeda a 0 štítků s číslem dva. Marti si ze sáčku vybere jede štítek, podívá se a číslo a vrátí štítek zpět. Lukáš přijde jako druhý, vytáhe štítek, podívá se a číslo a vrátí štítek zpět. Jaká je pravděpodobost, že a) si oba vytáhli štítek s číslem jeda. b) si oba vytáhli štítek s číslem dva. c) Marti si vytáhl štítek s číslem jeda a Lukáš si vytáhl štítek s číslem dva. [a) 0,7, b) 0,46, c) 0,4]

40 ravděpodobost a statistika Věty o pravděpodobostech Variata C říklady: ) Na začátku hodiy jsou v matematice zkoušei u tabule dva žáci (Marti a Libor). Libor spočítá příklad správě s pravděpodobostí 70%. Marti spočítá příklad správě s pravděpodobostí 6%. Jaká je pravděpodobost, že alespoň jede z ich spočítá příklad správě? ) Karolía si v zahradictví koupila cibulky okrasých květi. ravděpodobost, že cibulka vzejde, je 85%. Jaká je pravděpodobost, že z pěti cibulek vzejdou právě tři? Řešeí: ) Jev začí, že Libor spočítá příklad správě, 0, 7 Jev začí, že Marti spočítá příklad správě, 0, 6 ` 0, ` 0, 9 Jevy a jsou ezávislé. lespoň jede z ich správě zameá, že příklad spočítají správě oba ebo Libor ho spočítá správě a Marti špatě ebo Libor ho spočítá špatě a Marti správě. Rovice bude tvaru: ` ` ` ` 0,7 0,6 0,7 0,9 0, 0,6 0,88 88,% Další způsob řešeí: ` ` 0,88 88,% ravděpodobost, že alespoň jede z ich spočítá příklad správě, je 88,%. ) Jev začí, že vzejdou právě tři cibulky, 0,85 Jev začí, že právě dvě cibulky evzejdou, 0,85 0,5 k k p k q k 5 5!!! 0,85 0,5 0,8,8% říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: ) ravděpodobost, že alespoň jede z ich spočítá příklad správě, je 88,%. ) ravděpodobost, že vzejdou tři cibulky je,8%.

ravděpodobost a statistika 4 říklady k procvičeí: ) Martia a eta píšou semiárí práci. Martia ji dokočí včas s pravděpodobostí 5%, eta ji dokočí včas s pravděpodobostí 65%. Jaká je pravděpodobost, že alespoň jeda z ich dokočí semiárí práci včas? Výsledek vyjádřete v procetech. [7,75%] ) V košíku je 5 žlutých jablek a 6 červeých jablek. Namátkou vybereme jablka. Jaká je pravděpodobost, že alespoň dvě vybraá budou žlutá? [ ] ) Matěj a Deis střílí prakem a terč. Matěj zasáhe s pravděpodobostí 60% a Deis zasáhe s pravděpodobostí 45%. Jaká je pravděpodobost, že alespoň jede z ich zasáhe terč? [0,78] 4) Na výlet lodí jede 0 dětí, z ichž je děvčat a 8 chlapců. Namátkou z ich vybereme trojici. Jaká je pravděpodobost, že v í budou alespoň dva chlapci? [0,96] 5) Mila odpoví a otázku špatě s pravděpodobostí 75%. Jaká je pravděpodobost, že ze tří otázek zodpoví právě dvě špatě? [0,4] 6) V přijímacím testu a vysokou školu je 80 otázek. Každá otázka má 4 možé odpovědi, ze kterých je právě jeda správá. V okamžiku, kdy je ohlášeo posledích deset miut a vypracováí testu, Tomášovi zbývá zodpovědět ještě 0 otázek. Rozhode se proto, volit odpovědi áhodě. Jaká je pravděpodobost, že zodpoví správě právě 6 otázek? Vyřešte příklad, jestliže každá otázka má pět správých odpovědí. [0,68, 0,09] 7) Jaká je pravděpodobost, že z dvaácti prvích servisů jich deset bude ve správé části teisového kurtu, jestliže a) úspěšost teistova prvího servisu je 65%. [0,09] b) úspěšost teistova prvího servisu je 7%. [0,9] 8) Úmrtost a choleru je 50%. Jaká je pravděpodobost, že ze 5 akažeých jich 7 emoc přežije? [0,0] 9) ravděpodobost, že obchodí zástupce prodá pojištěí je 6%. Jaká je pravděpodobost, že prodá pojištěí alespoň čtyřem klietům, když jich za jede de avštíví devět? [0,6]

4 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) V plátěém pytlíku je šest bílých a tři červeé kuličky. Vybereme amátkou dvě kuličky. Jaká je pravděpodobost, že budou mít stejou barvu? [0,5] ) Terč je rozděle a dvě pásma (čeré a bílé). Zásah do čerého pásma je oceě třemi body a zásah do bílého pásma je oceě jedím bodem. ravděpodobost, že se střelec trefí do čerého, je %, že se trefí do bílého, je 58%. Jaká je pravděpodobost, že a) zasáhe terč? [0,9] b) ezasáhe terč? ) ravděpodobost, že se porouchá geerátor a výroba bude muset být zastavea, je 0%. ravděpodobost, že se porouchá pás a výroba bude muset být přerušea, je 4%. Jaká je pravděpodobost, že při současé práci obou těchto zařízeí, [0,] a) dojde k přerušeí výroby. [0,4] b) edojde k přerušeí výroby. [0,86] 4) Ve školím autobuse jede 6 dětí, z toho 4 chlapců a dívek. Vybereme amátkou čtveřici dětí. Jaká je pravděpodobost, že mezi imi budou a) alespoň tři chlapci. [0,59] b) ejvýše dvě děvčata. [0,76] 5) Studet prvího ročíku ekoomické vysoké školy musí v prvím semestru absolvovat tyto předměty: mikroekoomie, základy účetictví, matematika, marketig, základy iformatiky. Mikroekoomii zvláde s pravděpodobostí 65%, základy účetictví zvláde s pravděpodobostí 95%, matematiku s pravděpodobostí 45%, marketig s pravděpodobostí 60% a základy iformatiky s pravděpodobostí 50%. Jaká je pravděpodobost, že studet euspěje v matematice ebo základech iformatiky a v ostatích předmětech uspěje? [0,77] 6) Jaká je pravděpodobost, že při hodu pěti micemi a vše pade orel? [,%] 7) V obchodě prodají výrobek s vadou s pravděpodobostí %. Jaká je pravděpodobost, že sedm za sebou prodaých výrobků bude bez vady a další dva prodaé budou vadé? okusy považujeme za vzájemě ezávislé. [7%] 8) Střelkyě ze vzduchové pušky zasáhe devítku s pravděpodobostí 95%. Jaká je pravděpodobost, že osmkrát po sobě zasáhe devítku a poté dvakrát po sobě devítku ezasáhe? okusy považujeme za vzájemě ezávislé. [0,006] 9) iatloista zasáhe terč s pravděpodobostí 80%. Jaká je pravděpodobost, že z pěti terčů tři zasáhe a dvakrát mie? [0,048]

ravděpodobost a statistika 4 0) Čláek do odborého časopisu hodotí ezávisle a sobě dvě osoby. rví dá kladé staovisko s pravděpodobostí 80%, druhá se vysloví kladě s pravděpodobostí 85%. Čláek bude redakcí přijat, jestliže kladé staovisko dá alespoň jede z hodotitelů. Jaká je pravděpodobost, že čláek bude přijat? [0,97] ) Jaká je pravděpodobost, že v rodiě s pěti dětmi, mají alespoň čtyři děvčata? [0,875] ) Jevy a jsou ezávislé. ravděpodobost, že astae jev, je 0%, pravděpodobost, že astaou oba jevy současě, je 45%. Vypočtěte pravděpodobost, že astae jev. ) Jevy a jsou ezávislé. latí ` a. Určete a. 5 4 [ [0,5] 9 5, ] 0 9 4) Kolik dětí je třeba porodit, aby pravděpodobost, že se arodí chlapec, byla větší ež 0,9. 5) Jaká je pravděpodobost, že v rodiě s třemi dětmi, jsou právě dvě dcery? ravděpodobost arozeí dcery je 0,5. [0,9] 6) Určete pravděpodobost, že áhodě zvoleé dvojciferé číslo je dělitelé 0 ebo 5. 7) Tři ezávislé pokusy a a C astávají s pravděpodobostí 0,6 a 0,8 a 0,7. Určete pravděpodobost, že [4] [0,] a) eastae jev. [0,] b) eastae žádý z jevů,, C. [0,04] c) astae alespoň jede z jevů,, C. [0,976]

44 ravděpodobost a statistika Statistika Důležité pojmy statistický soubor je eprázdá koečá možia objektů, které mají společé vlastosti (apř. skupia osob) rozsah souboru () je počet prvků daé možiy statistická jedotka je prvek statistického souboru statistický zak () je společá vlastost statistických jedotek (u osob je to apříklad věk, barva vlasů) hodota zaku ( jedotlivé údaje zaku,,, )

ravděpodobost a statistika 45 Rozděleí četostí a jeho grafické zázorěí bsolutí četost j je počet statistických jedotek, jímž přísluší stejá hodota zaku. oz.: součet absolutích četostí je rove rozsahu souboru r j j Relativí četost v j je podíl absolutí četosti zaku a rozsahu souboru oz.: součet relativích četostí je rove jedé v. r j j v j. j Tabulka rozděleí četostí:tabulka, ve které je každé hodotě zkoumaého zaku přiřazea její četost Zak * bsolutí četost * * r r

y y 46 ravděpodobost a statistika Statistické diagramy Spojicový diagram (polygo četosti): závislost absolutí četosti a hodotě zaku 4.5 4.5.5.5 0.5 0 4 5 Sloupcový diagram (histogram četosti): používá se, jsou-li hodoty zaku sdružey v itervaly, itervaly tvoří základy sloupku, odpovídající četosti tvoří jejich výšky 45 40 5 0 5 0 5 0 5 0 4 8 6

ravděpodobost a statistika 47 Kruhový diagram: hodoty zaku jsou zázorěy kruhovými výsečemi, jejichž obsahy jsou přímo úměré relativím četostem. čtvrt. %. čtvrt. 5%. čtvrt. 64%

48 ravděpodobost a statistika říklad: Řešeí: V roce 00 bylo v ČR zaměstaých celkem 4764,9 tisíc osob. Z toho 8,75 bylo zaměstaých v primárí sféře, 9,6% lidí ašlo zaměstáí v sekudárí sféře, 55,5% lidí ašlo zaměstáí v terciálí sféře a u 0,% lidí ebylo možo zařadit do žádé z těchto sfér. Určete tabulku rozložeí četostí, akreslete kruhový diagram. Nejprve určíme tabulku rozložeí četostí se všemi údaji, které jsou zámé ze zadáí. primárí sféra absolutí četost 8,75 s sekudárí sféra terciálí sféra t ostatí o relativí četost v 9,6% 55,5% 0,% p Nezámé údaje lze dopočítat pomocí vzorce v p p 8,75 4764,9 0,048 4,8% v j j. s v s 0,96 4764,9 886,9004 t v t 0,555 4764,9 644,595 o v 0 0,00 4764,9 4,7649 Kompletí tabulka rozložeí četostí je tvaru zaměstaci zaměstaci zaměstaci ostatí v primárí sféře v sekudárí sféře v terciálí sféře absolutí četost 8,75 886,9004 644,595 4,7649 relativí četost 4,8% 9,6% 55,5% 0,% kruhový diagram zaměstaců podle sektorů ostatí 0,% zaměstaci v terciálí sféře 55,5% zaměstaci v primárí sféře 4,8% zaměstaci v sekudárí sféře 9,6%

ravděpodobost a statistika 49 Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata říklady: ) Celkový počet porodů za rok 00 byl 8945. V tabulce jsou porody rozděley podle počtu arozeých dětí. Doplňte tabulku. Zázorěte spojicovým diagramem počet porodů podle počtu arozeých dětí. očet arozeých dětí 4 očet porodů 87887 55 v j ) V roce 000 bylo dokočeo 5 07 bytů. V tabulce jsou dokočeé byty rozděley podle formy výstavby. Doplňte tabulku. Zázorěte kruhovým diagramem podíl dokočeých bytů podle formy výstavby. Formy výstavby družsteví komuálí idividuálí ostatí Dokočeé byty 69 669 579 odíl dokočeých bytů,5% 6,5% 4,% Řešeí: ) Spočítáme relativí četost podle vzorce počty porodů dle arozeých dětí. v v v v 4 87887 8945 55 8945 8945 8945 doplěá tabulka: 0,98 0,07 0,000 0,0000 očet arozeých dětí 4 očet porodů 87887 55 j v j j, kde je 8945 a absolutí četosti jsou v 0, 98 0,07 0,000 0,0000

počet porodů 50 ravděpodobost a statistika spojicový diagram počtu porodů podle počtu arozeých dětí: 00000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 0000 0000 0000 0 4 počet dětí ) Využijeme toho, že platí r j j r a v, kde je celkový počet postaveých bytů. j j 4 j j 507 69 669 579 507 507 0899 408 4 v j j 0,05 0,65 v 0,4 v 0,4 0,568 doplěá tabulka: Formy výstavby družsteví komuálí idividuálí ostatí Dokočeé byty 69 669 408 579 odíl dokočeých bytů,5% 6,5% 56,8% 4,%

ravděpodobost a statistika 5 Kruhový diagram počtu dokočeých bytů podle formy výstavby: ostatí 4,% družsteví,5% komuálí 6,5% idividuálí 56,8% říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) v,98 v 0,07 v 0,000 0, 0000 0 v4 ) 408 v 0, 568

5 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Doplňte tabulky rozděleí četostí. Zakreslete polygo četostí a kruhový diagram. a) velikost 4 Četost 5 0 5 5 Relativí četost b) velikost 4 Četost 0 0 5 Relativí četost 0% [a) výsledky, b) výsledky] ) Tabulky udávají možství vytěžeých listatých dřevi v ČR podle druhů dřevi. Doplňte relativí četosti a zázorěte je kruhovým diagramem. a) Druh dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, Ostatí dřeviy vrba, osika Možství ( m ) 5 484098 5456 647 596 759 077 4676 6999 b) Druh dřeviy Možství dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí 44684 7599 70 466 7490 47 94866 046 8000 ( m )

ravděpodobost a statistika 5 c) Druh dřeviy Možství dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí 6 57979 7064 56 5488 46 05909 4906 77 ( m ) [a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky] ) Tabulky uvádějí výši měsíčího kapesého žáků 5. třídy základí školy s rozděleím četostí. Doplňte relativí četosti. Nakreslete spojicový diagram. a) výše kapesého 00 00 500 000 počet 0 5 b) výše kapesého 00 400 700 000 počet 5 0 [a) výsledky, b) výsledky] 4) Soukromou jazykovou školu avštěvuje 0 osob. Každá osoba se učí právě jede jazyk. Rozděleí četostí je dáo tabulkou: a) Jazyk gličtia Špaělštia fracouzštia Italštia Relativí četost 46,875% 7,85% 4,75% 0,975% b) Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia Ruštia Relativí četost 0,55 0,5 0,5 0,05 c) Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia číštia Relativí četost 0,75%,75%,5% 0,05 Doplňte absolutí četosti. [a) výsledky, b) výsledky, c) výsledky]

54 ravděpodobost a statistika 5) U pětiset maželských párů starších třiceti let byl zkoumá počet dětí. Lidé špatě vyplili dotazíky, a tak se podařilo získat pouze údaje uvedeé v ásledující tabulce. a) očet dětí jiak Četost 50 5 Relativí četost 4% b) očet dětí jiak Četost 5 Relativí četost 4% 0,0 Je-li to možé, tabulky doplňte. [a) výsledky, b) výsledky]

četost ravděpodobost a statistika 55 Výsledky variata a velikost 4 Četost 5 0 5 5 Relativí četost 0,8 0, 0, 0,08 spojicový diagram 0 0 0 0 4 velikost kruhový diagram 8% % 8% % b velikost 4 Četost 0 45 0 5 Relativí četost 0% 45% 0% 5%

četost 56 ravděpodobost a statistika 50 40 0 0 0 0 spojicový graf 4 velikost kruhový diagram 0% 5% 0% 45% a Druh dřeviy Možství ( m ) Relativí četost dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí 5 484098 5456 647 596 759 077 4676 6999 7% 4% 5% % % % 9% 4% 6%

ravděpodobost a statistika 57 míra těžby dřevi v závislosti a druhu dub buk jasa javor lípa olše bříza topol, vrba, osika ostatí 4% 6% % 9% % 5% % 4% 7% b Druh dřeviy Možství ( m ) Relativí četost dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí 44684 7599 70 466 7490 47 94866 046 8000 4% 4% 4% % 4% % % 6% 5% míra těžby dřevi v závislosti a druhu dub buk jasa javor lípa olše bříza topol, vrba, osika ostatí 6% 5% % % 4% % 4% 4% 4%

58 ravděpodobost a statistika c Druh dřeviy Možství ( m ) Relativí četost dub buk jasa javor lípa olše bříza Topol, vrba, osika Ostatí 6 57979 7064 56 5488 46 05909 4906 77 6% 44% 5% % 4% % 8% 4% 6% míra těžby dřevi v závislosti a druhu dub buk jasa javor lípa olše bříza topol, vrba, osika ostatí 4% 6% % 8% % 4% 5% 4% 6% a výše kapesého 00 00 500 000 počet 0 5 Relativí četost 0, 0, 0,5 0,07

počet počet ravděpodobost a statistika 59 6 4 0 8 6 4 0 spojicový graf 00 00 500 000 výše kapesého b výše kapesého 00 400 700 000 počet 5 0 Relativí četost 5 spojicový graf 0 5 0 00 400 700 000 výše kapesého 4a Jazyk gličtia Špaělštia fracouzštia Italštia Četost 50 5 0 5 Relativí četost 46,875% 7,85% 4,75% 0,975%

60 ravděpodobost a statistika 4b Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia Ruštia četost 76 80 48 6 Relativí četost 0,55 0,5 0,5 0,05 4c Jazyk gličtia ěmčia fracouzštia číštia četost 08 08 00 4 Relativí četost 0,75,75%,5% 0,05 5a očet dětí jiak Četost 0 50 5 5 Relativí četost 4% 70% 5% % 5b očet dětí jiak Četost 0 60 5 5 Relativí četost 4% 7% % %

ravděpodobost a statistika 6 Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata říklady: ) Celkový počet rozvodů v roce 006 byl 45. Tabulka zobrazuje počet rozvodů podle délky trváí maželství. Doplňte ji a akreslete grafy. Délka trváí 0- -5 6-9 0-4 5-9 0-70 maželství (roky) očet rozvodů 80 7 Míra rozvodovosti 7,8% 8,% 7,4% Řešeí: ) Nejprve doplíme údaje tam, kde chybí pouze jede řádek. oužijeme vzorec v j j, kde je 45. ak doplíme absolutí a relativí četost ve sloupečku -5 let pomocí vzorců 4 j j 4 a v. j j 80 7 v 0,04 v 6 0, 45 45 0,78 45 5578 0,8 45 568 0,74 45 5479 4 5 6 j j 45 80 5578 568 5479 7 45 6066 6 v j j 0,04 v 0,78 0,8 0,74 0, v 0,9 Doplěá tabulka: Délka trváí 0- -5 6-9 0-4 5-9 0-70 maželství (roky) očet rozvodů 80 6066 5578 568 5479 7 Míra rozvodovosti 4,% 9,% 7,8% 8,% 7,4%,%

počet rozvodů 6 ravděpodobost a statistika Vzhledem k tomu, že jsou hodoty zaku sdružey v itervaly, použijeme histogram pro zázorěí závislosti počtu rozvodů a délce trváí maželství. Hodoty a ose jsou zaokrouhley a střed itervalu. Druhý graf bude kruhový. očet rozvodů v závislosti a délce trváí maželství Míra rozvodovosti v závislosti a délce trváí maželství 8000 6000 4000 000 0 0.5 4 7.5 7 45 délka trváí maželství 0-70,% -5 9,% 5-9 6-9 7,4% 7,8% 0-4 8,% 0-4,% říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: ) v,04 v 0,9 0, 0 v4 6066 5578 4 568 5 5479

ravděpodobost a statistika 6 říklady k procvičeí: ) Tabulka udává počet účastíků jedotlivých kategorií a mistroství republiky v jízdě a koloběžce. Zakreslete histogram. [výsledek] Kategorie (dle věku) 5-7 7-9 9-4 4-8 8-0 0-45 45-60 60-0 očet účastíků 5 50 5 65 0 5 0 ) Rozděleí četostí studetů čtvrtých ročíků sportovího gymázia podle výšky je zachyceo v tabulce. Doplňte relativí četosti, zakreslete histogram. a) Výška (cm) 50-60 60-70 70-80 80-90 očet 0 40 65 5 b) Výška (cm) 60-70 70-80 80-90 90-00 očet 8 40 50 [a) výsledky, b) výsledky] ) Tabulka udává počet obyvatel ČR v roce 00závislosti a věku. Tabulku doplňte. Zakreslete histogram. Jaký byl celkový počet obyvatel ČR v tomto roce? věk očet 00 (v tis.) Relativí četost 00 0-4 554 4-65 70% 65-0 5 % [výsledek]

počet počet 64 ravděpodobost a statistika Výsledky variata očet účastíků v závisloti a věku 70 60 50 40 0 0 0 0 5-7 7-9 9-4 4-8 8-0 0-45 45-60 60-0 věk a Výška (cm) 50-60 60-70 70-80 80-90 očet 0 40 65 5 Relativí četost 0,07 0,7 0,4 0, očet studetů v závislosti a výšce 00 50 0 50-60 60-70 70-80 80-90 výška b Výška (cm) 60-70 70-80 80-90 90-00 očet 8 40 50 Relativí četost 0,7 0,9 0,6 0,08

počet počet ravděpodobost a statistika 65 očet studetů v závislosti a výšce 60 40 0 0 60-70 70-80 80-90 90-00 výška věk očet 00 (v tis.) Relativí četost 00 0-4 554 5% 4-65 75 70% 65-0 554 5% celkem 060 počet obyvatel v ČR v závisloti a věku 8000 6000 4000 000 0 0-4 4-65 65-0 věk

66 ravděpodobost a statistika Rozděleí četosti a jeho grafické zázorěí Variata C říklady: ) Rozběhy závodu a 00 metrů běželo 0 závodíků? Závodíci dosáhli časů: 9,86; 8.99; 9,5; 9,0; 9,06; 8,89; 9,; 9,00; 9,65; 9,6; 9,5; 8,99; 8,98; 9,4; 9,9; 9,; 9,40; 9,0; 9,09; 9,6; 9,; 9,0; 9,0; 0,0; 8,95; 9,6; 9,8; 9,7; 9,55; 8,8. Zvolte délku rozpětí itervalu 0, sekudy a uspořádejte časy do tabulky rozděleí četostí. Spočítejte relativí četosti. Zázorěte grafy. ) očet zaměstaců ve výzkumu a vývoji v roce 995 byl 47500. Z toho 4,9% Řešeí: zaměstaců bylo zaměstáo v podikatelské sféře, 9,% zaměstaců bylo zaměstáo ve vládím sektoru, 8% zaměstaců bylo zaměstáo ve vysokoškolském sektoru a 0% zaměstaců bylo zaměstáo v soukromém eziskovém sektoru. V roce 007 bylo ve výzkumu zaměstáo 708 lidí s podíly v sektorech 4,6%, 0,%, 5,8% a 0,%. Vypočtěte absolutí četosti zaměstaců pracujících v jedotlivých sektorech a sestrojte tabulku četostí. ) Nejhorší čas je 0,0 a ejlepší je 8,8, takže itervalů bude šest. ro výpočet relativí četosti použijeme vzorec v v 5 8 0 0 0,67 0,067 tabulka rozděleí četostí: v v v j 6 j 0 0 0. rví graf bude histogram, druhý graf bude kruhový. 0, 0,0 v 7 0 0, v 4 0 0,067 Iterval 8,8-9,0 9,0-9, 9,4-9,44 9,45-9,65 9,66-9,86 9,87-0,07 očet časů 8 0 7 Relativí četost 0,67 0, 0, 0,067 0,067 0,0

počet ravděpodobost a statistika 67 počet závodíků v závisloti a čase 5 0 5 0 8.9 9. 9.4 9.55 9.76 9.97 9,45-9,65 6,7% 9,66-9,86 6,7% 9,4-9,44,% 8,8-9,0 6,7% 9,0-9,,% 9,87-0,07,% čas ) roceta lidí pracující v jedotlivých sférách jsou relativí četosti, absolutí četosti dopočítáme j pomocí v j a sestavíme tabulku rozděleí četostí. 0,49 47500 077,5 0,9 47500 8, 5 /995 /995 0,8 47500 00 0 /995 4 /995 0,46 708 86,6 0,0 708 485, 44 / 007 / 007 4 / 007 0,58 708 66,998 0,00 708 9, 4 / 007 Tabulka rozděleí četostí: Sektor očet 995 očet 007 Relativí četost 995 Relativí četost 007 odikatelský 077,5 86,6 0,49 0,46 Vládí 8,5 485,44 0,9 0,0 Vysokoškolský 00 66,998 0,8 0,58 Soukromý eziskový 0 9,4 0 0,00 říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: ) v 0,67 v 0, v 0,v4 0, 067 v 5 0067 v 6 0, 0 ) 077, 5 8, 5 00 0 /995 /995 /995 4 /995 86,6 485, 44 66, 998 / 007 4 / 007 9,4 / 007 / 007

68 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) V obchodě specializujícím se a prodej večerích šatů zazameávali kvůli optimalizaci objedávek velikosti prodaých šatů s tímto výsledkem: 6, 44, 8, 8, 8, 40, 4, 44, 8, 4, 8, 44, 46, 44, 8, 8, 40. Sestavte tabulku rozděleí četostí jedotlivých hodot zaku velikost a určete relativí četosti pro jedotlivé velikosti. Sestrojte odpovídající polygo četostí rozděleí četostí. [výsledek] ) Treéři zjišťovali věk hráčů mužstva prví fotbalové ligy. yly zjištěy tyto hodoty: 5, 4, 7,, 6, 4, 5, 6, 7,, 9,,, 5, 6, 9, 0, 4, 5. Určete rozsah souboru, sestavte tabulku rozděleí četostí jedotlivých hodot zaku věk, určete relativí četosti a zázorěte je do grafu [výsledek] ) V roce 000 bylo v televizi odvysíláo celkem 7 568 hodi. Z toho 9,5% bylo zpravodajství, 4,9% byly vzdělávací pořady,,7% připadlo a kulturu, 40,4% vysílacího času připadlo zábavým pořadům, 0,6% ábožeským pořadům, % připadlo a reklamu a 9,9% a ostatí blíže especifikovaé pořady. Vypočtěte absolutí četosti vysílacích hodi jedotlivých druhů pořadů. Sestrojte tabulku četostí. [výsledek] 4) Na prví stupeň školy dochází v školím roce 00/00 5 žáků. ětia z ich chodí pěšky, třetiu dovezou rodiče autem a zbytek jezdí autobusem. Další školí rok (00/00) školu avštěvuje také 5 žáků. očet dětí chodících pěšky se zvýší o 5, autobusem jezdí o jedoho žáka méě. Vypočtěte absolutí a relativí četosti žáků jezdících do školy v roce 00/00 podle druhu dopravího prostředku. [výsledek]

počet ravděpodobost a statistika 69 Výsledky variata C C Velikost 6 8 40 4 44 46 očet 7 4 Relativí četost 0,06 0,4 0, 0, 0, 0,06 8 počet prodaých šatů v závisloti a velikosti 6 4 0 6 8 40 4 44 46 velikost

70 ravděpodobost a statistika C Věk 7 9 0 4 5 6 7 9 6 očet 4 Relativí počet (%) 5, 5, 5, 5, 5,6 0,5 5, 5, 5, 0,5 5, Míra zastoupeí fotbalistů daého věku v mužstvu % 6 % 7 % % 6 % 5 5% 7 % 9 % % 4 4% 0 % C Typ pořadu zpravodajství vzdělávací kultura zábava ábožeství reklama ostatí očet hodi 699,6 860,8 650,06 7097,47 05,408 75,68 79, Relativí počet (%) 0,95 0,049 0,07 0,404 0,006 0,0 0,099 4C Druh dopravího prostředku chůze auto utobus očet žáků 4 6 Relativí četost,7% 0,4% 45,9%

ravděpodobost a statistika 7 Charakteristiky polohy a variability Charakteristika polohy: číslo charakterizující průměrou hodotu sledovaého zaku (aritmetický průměr, geometrický průměr, harmoický průměr, modus, mediá) Charakteristika variability: číslo charakterizující promělivost sledovaého zaku (rozptyl, směrodatá odchylka) ritmetický průměr _ je součet hodot zaku zjištěých u všech jedotek souboru, děleý počtem všech jedotek souboru. _ j j Geometrický průměr G z kladé hodoty zaku je -tá odmocia ze součiu hodot zaku. G Harmoický průměr H z eulových hodot statistického souboru je podíl rozsahu souboru a součtu převráceých hodot zaku. Modus Mediá Mod je ejčastěji se vyskytující hodota mezi zaky. H Med je prostředí čle mezi zaky, jestliže je uspořádáme podle velikosti. oz. je-li liché, určíme mediá podle vzorce: Med je-li sudé, je mediá aritmetickým průměrem dvou hodot kolem středu : Med

7 ravděpodobost a statistika Rozptyl s je průměr druhých moci odchylek od aritmetického průměru. s j j _ Směrodatá odchylka s je druhá odmocia z rozptylu. s s říklad: V tabulce je dá počet obyvatel ČR k.. od roku 996 do roku 00. Vypočítejte průměrý počet obyvatel ČR za období 996 až 00. rok 996 997 998 999 000 00 00 00 očet obyvatel 009 099 090 078 067 006 00 0 k.. (tis) Řešeí: udeme počítat aritmetický průměr za osm období, takže =8. _ 8 8 j j 009 844 099 068 090 078 067 006 00 růměrý počet obyvatel ČR za období 996 až 00 byl 068. 0

ravděpodobost a statistika 7 Charakteristiky polohy a variability Variata říklady: ) Tabulka udává HD (Hrubý domácí produkt) v ČR od roku 000 do roku 005. Vypočtěte aritmetický geometrický a harmoický průměr HD v ČR od roku 000 do roku 005. Rok 000 00 00 00 004 005 HD (mil. Kč) 8969 54 4644 5770 8476 9886 ) Vypočtěte modus a mediá ze souboru písme:,,, C, D, E, F, E,, C, D, E,,, C, D, E, F, E, E, D, C,,,. ísmeo C D E F očet Řešeí: ) ůjde o dosazováí do vzorců, kde =6 a 8969, 54, 4644, 5770, 8476, 9886,. 4 5 6 6 j j 8969 54 4644 5770 8476 9886 5659,5 G G 6 8969 54 4644 5770 8476 9886,747 0 6 8 H H 8969 54 4644 6 5770 8476 9886 55779,578

74 ravděpodobost a statistika ) Sestavíme si tabulku, kde prví řádek bude písmeo a druhý jeho početí zastoupeí v souboru. ísmeo C D E F očet 6 4 4 6 Modus je ejčastěji vyskytující se hodota mezi zaky, takže Mod E. bychom vypočítali mediá, musíme zaky uspořádat podle velikosti. ísmeo F C D E očet 4 4 6 6 očet prvku souboru je 5, takže je liché a Med D. říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: _ 6 8 G,747 0 ) 5659, 5 ) Mod E 55779, 578 Med D H

ravděpodobost a statistika 75 říklady k procvičeí: ) Tabulka udává průměrou ošetřovací dobu od roku 000 do roku 008. Vypočtěte aritmetický průměr ošetřovací doby od roku 000 do roku 008. rok 000 00 00 00 004 005 006 007 008 růměrá délka ošetřovací doby ve dech 8,7 8,5 8, 8, 8, 8,0 7,8 7,7 7,4 [8,09,] ) Tabulka udává průměrou výši měsíčích důchodů mužů a že v ČR od roku 999 až do roku 008. Vypočítejte aritmetický průměr průměré celkové měsíčí výše důchodů od roku 999 až do roku 008. Rok 999 000 00 00 00 004 005 006 007 008 Výše důchodu muži 6557 6885 7595 76 790 8 8660 957 9784 075 Výše důchodu žey 59 575 696 6 649 6600 700 74 798 8784 ) Závodíci při skoku do dálky dosáhli těchto výkoů: 7,80, 7,65, 8,5, 8,. Vypočítejte aritmetický, harmoický a geometrický průměr těchto hodot a porovejte jejich velikosti. [757,85] [7,955, 7,949, 7,946, ejvětší je aritmetický a ejmeší harmoický průměr] 4) Vypočítejte modus a mediá souboru hodot, 5, 6,,, 5,, 6,,,,,. 5) Určete media a modus zaku z ásledující tabulky rozděleí četostí: 4 i 5 7 8 6 i [,] [, ] 6) Tabulka udává počet arozeých štěňat v chovatelské staici za prvích šest měsíců. Určete modus a media. a) Měsíc lede úor březe dube květe Červe očet štěňat 5 8 6 0 5 b) Měsíc lede úor březe dube květe Červe očet štěňat 5 8 6 0 5 [a) dube, červe,b) dube, červe]

76 ravděpodobost a statistika Charakteristiky polohy a variability Variata říklady: ) Třetí ročíky gymázia psali čtvrtletí práci z matematiky v jede týde. Jedičku dostalo 5 žáků, dvojku 5 žáků, trojku žáků, čtverku žáků a pětku 9 žáků. Spočítejte aritmetický průměr zámek. ) Tabulka udává počet obyvatel ČR starších patácti let s vysokoškolským vzděláím. Tabulka je z období 004 až 008. Spočítejte rozptyl a směrodatou odchylku. Rok 004 005 006 007 008 očet (tis.) 86, 907, 954,6 974,8 050,0 Řešeí: ) vytvoříme tabulku rozložeí četostí Zámka 4 5 počet 5 5 9 Jestliže počítáme aritmetický průměr z tabulky rozděle četostí, musíme každou hodotu * j ásobit její četostí, takže vzoreček má tvar _ j * j j. Dále už je dosazujeme, je počet žáků třetích ročíků, kteří psali čtvrtletí práci. _ 8 5 5 4 5 9 60 8,7 ) Vzorec pro výpočet rozptylu je s j j _, takže si ejprve spočítáme aritmetický průměr, a pak dosadíme. _ j j 5 86, 907, 954,6 974,8 050,0 949,74 s j 954,6 5 j _ 949,74 766,56 5 974,8 86, 88,696 949,74 949,74,696 907, 050,0 68,006 949,74 949,74 Směrodatá odchylka je druhá odmocia z rozptylu, takže 005,0676 407,04 s s 407,04 6,54

ravděpodobost a statistika 77 říklad: Variata Variata Variata C Výsledky řešeí: _ ), 7 ) s 407,04 6, 54 s

78 ravděpodobost a statistika říklady k procvičeí: ) Z tabulky rozděleí četostí určete aritmetický a geometrický průměr. a) b) 4 5 6 i 6 5 8 i 0,5,5,5 i 6 5 8 i [40,, 8, ] [0,7, 9,06] ) Skupia 5 brigádíků česala a letí brigádě ovoce. Tabulka uvádí rozděleí asbíraého možství. Vypočtěte aritmetický průměr. a) b) Možství (kg) 0 5 0 5 40 počet 8 7 6 ) Možství (kg) 0-4 5-9 0-4 5-9 40-46 počet 8 7 6 [a) 48,b) 58,4 ] V roce 006 maturovali a církevím gymáziu 4 třídy. Třídy ozačme W, X, Y, Z. Ve třídě ozačeé W maturovalo 7 žáků s průměrou zámkou,6, Ve třídě X maturovalo 0 žáků s průměrou zámkou,9, ve třídě Y maturovalo 8 žáků s průměrou zámkou,5 a v posledí třídě maturovalo 6 lidí s průměrou zámkou,7. Určete aritmetický průměr průměrých zámek z maturity ve všech třídách dohromady. [,]

ravděpodobost a statistika 79 4) Spočítejte rozptyl a směrodatou odchylku z tabulky rozděleí četostí: a) b) C D i 5 4 6 i 4 i 6 8 i [,875,,54] [,875, 4,7] 5) Kamila házela dvacetkrát po sobě šesti kostkami. V každém hodu si zazameala, kolikrát padla jedička. Rozděleí četostí tohoto zaku je dáo tabulkou: a) b) očet jediček 0 4 5 6 četost 0 6 0 0 očet jediček 0 4 5 6 četost 8 4 0 Určete rozptyl a směrodatou odchylku. [a),45,,8, b) 8,58,,9]

80 ravděpodobost a statistika Charakteristiky polohy a variability Variata C říklady: ) Zuzaa jela a kole avštívit svoji kamarádku. rví poloviu cesty se pohybuje rychlostí 0 km//h, ale a jejím koci píche a zbytek musí dojít pěšky. Zbytek cesty se pohybuje rychlosti 6 km/h. Určete průměrou rychlost. ) Návštěvost plaveckého cetra se během druhého roku provozu zvýšila o dvacet procet, Řešeí: další rok růst pokračoval, ávštěvost se zvýšila o dalších dvaáct procet. Jaký byl průměrý ročí koeficiet růstu ávštěvosti za prví dva roky provozu? ) K výpočtu průměré rychlosti je vhodé použít vzorec pro výpočet harmoického H průměru. 0 6 0 Zuzaa se pohybuje průměrou rychlostí 0km/h. ) K určeí průměrého tempa růstu používáme geometrický průměr. V tomto případě se jedá o dvě období. prví rok + 0% druhý rok +% G,,,59 růměrý ročí koeficiet růstu za prví dva roky provozu byl,59. říklad: Variata Variata Variata C Výsledek řešeí: ) 0km/h ),59

ravděpodobost a statistika 8 říklady k procvičeí: ) Karel svaří dva pláty kovu za dvě miuty, avlovi to trvá a miutu déle. Jak dlouho trvá v průměru svařeí dvou plechů dohromady? Kolik plechů svaří oba muži za deset miut? [,4] ) Eva ozdobí jedu váočí baňku za 5 miut, lea to zvláde za miuty a Vlastě to trvá 6 miut. Jak dlouho trvá v průměru ozdobeí jedé baňky? [4,9] ) Helea si vyjela a výlet a koi. rví poloviu vyjížďky se pohybuje rychlostí km/h, ale kůň je uaveý a musí zpomalit a rychlost 7 km/h. Jakou průměrou rychlostí Helea a vyjížďce jede? [8,84] 4) Závodík v běhu a 500 metrů běží prví kolo rychlostí 0 km/h, v druhé pětistovce zvolí a 8 km za hodiu a v posledí pětistovce se vzepe k rychlosti 5 km/h. Jakou průměrou rychlostí závodík běžel? [0,6] 5) Tabulka vyjadřuje růst ce jistých komodit v roce 99 až 997. Vypočtěte průměré ceové idey jedotlivých komodit za daé období (obdobím je míě průměr podílů hodot za dvě po sobě jdoucí období). Rok 99 994 995 996 997 Chléb 9,6 0,,9 5,74 6, ivo 0 5,8 5,94 6,9 6,5 6,88 ezi 8,79 9, 9,05 0,99,9 [,4,,0,,04] 6) Cea lístků a hokej se v prví etraligové sezoě zvýšila o 70%. Další rok byly lístky zovu zdražey o dalších 0%. Na další sezou zůstala cea lístků stejá. Vypočtěte ročí koeficiet růstu cey lístků za prví tři etraligové sezoy klubu. [,]

8 ravděpodobost a statistika Souhré příklady k procvičeí ) Tabulka udává pořadí mužstev florbalové ligy po kolech. Určete: a) průměrý počet braek obdržeých všemi mužstvy v jedom kole b) průměrý počet braek obdržeých jedím mužstvem ve všech kolech. pořadí mužstvo Zápasy Výhry Remízy rohry Skóre ody. Tatra 9 :7 58. Vítkovice 7 0 5 6:7 54. oleslav 5 5 :98 46 4. Chodov 8 :99 4 5. ulldogs 8 0:9 7 6. Future 0 0:99 4 7. Liberec 0 9:5 0 8. Sparta 8 :8 6 9. Ostrava 6 0:5 0. ardubice 4 5 8:0 8. Havířov 4 4 4 80: 7. Zojmo 7 8:9 [a) 58,64,b) 07,5] ) Určete, jak se změí aritmetický průměr, jestliže se každá hodota zmeší o pět procet. [zmeší se také o pět procet] ) Z prvího lomu je deě vytěžeo 6 tu kamee, z druhého lomu se deě vytěží 58 tu kamee. Určete průměrý výos z obou lomů, jestliže v prvím lomu těží káme dělíků a v druhé lomu ho těží 0 dělíků. 4) Dokažte, že pokud vyásobíme každou hodotu zaku třemi, tak směrodatá odchylka [60,7] vzroste třikrát. _ j 9s j s

ravděpodobost a statistika 8 5) Chemické olympiády se zúčastilo studetů, z ichž získalo více ež 50 bodů. Základí škola z řítluk a olympiádu vyslala dětí, z ichž dva získali více ež padesát bodů. Je výsledek dětí z řítluk v počtu dětí, které mají více ež 50 bodů, horší ebo lepší ež výsledek všech účastíků? [horší] 6) Graf udává uživatele jedotlivých druhů prohlížečů mezi skupiou 57 8 uživateli. Sestrojte příslušou tabulku rozděleí četostí a polygo četostí. Ostatí 5% Safari % prohlížeče Opera 5% Mozilla 0% Iteret Eplorer 46% Firefo % [výsledky] 7) V prodejě sledovali počet prodaých učebic cizího jazyka v závislosti a obtížosti (.,.,.) s tímto výsledkem:.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,. a) určete rozsah souboru b) Určete absolutí a relativí četosti zaku obtížost. [a) 9, b) výsledek ] 8) Krmá směs pro koě byla smícháa ze dvou druhů krmiva a to v poměru 0 kg z prvího pytle v ceě 50 kč/kg a 5 kg z druhého pytle v ceě 90 kč/kg. Jaká bude cea kg směsi? [4] 9) Kolik kilogramů kukuřice v ceě 5 kč/kg musíme smíchat s 0 kg kvalitější kukuřice v ceě 48 kč/kg, aby kg výsledé směsi byl za ceu 5 kč/kg. []