Ekoomicko-matematické metody II Rozhodováí a ozhodovací modely Vybaé aplikace - Řízeí a všech jeho úovích - Zemědělství - Hazadí hy - Běžá každodeí ozhodutí Poblém k zamyšleí - Lze systematicky bohatout - haím a hacích automatech? - sázeím a spotoví události? - haím ulety? - haím pokeu? - sázeím v číselých loteiích? Rozhodovací poces - Poces řešeí ozhodovacích poblémů - poces volby výběu ozhodutí - Má dvě stáky - věcou: co řešíme; - poceduálí: jak postupujeme. - Postupy mohou být - omativí: saha ajít ejlepší řešeí; - deskiptiví: saha popsat systém a aalyzovat jeho ukazatele. Fáze ozhodovacího pocesu - Itelligece - zkoumáí eality, idetifikace a defiice poblému, defiice systému - Desig - kostukce modelu, shomážděí dat, ávhy řešeí - Choice - výbě řešeí modelu - Implemetatio: řešeí eálého poblému Teoie ozhodováí - Cíl: volba ejlepšího ozhodutí - Rozhodutí - čií iteligetí ozhodovatel; - čiěo yí. - Výsledek ozhodutí - ovlivě působeím eovladatelého faktou; - zám v budoucu. Kompoety modelu - Alteativy ozhodutí - Stavy okolostí - Rozhodovací kitéium - Vekto izika (je-li zám) Jistota, iziko a ejistota - Rozhodováí za jistoty - pavděpodobost ealizace jistého stavu okolostí je ova a pavděpodobosti ostatích stavů okolostí jsou ovy ule. - Rozhodováí za izika - pavděpodobosti ealizace stavů okolostí jsou odhadováy či zámy. - Rozhodováí za úplé ejistoty - pavděpodobosti ealizace stavů okolostí jsou ezámé ebo je za ezámé považujeme. Rozhodovací tabulka Rozhodovací stom Modely kofliktích situací - Teoie he - koflikt iteligetích háčů; - oběma staám záleží a výsledku. - Teoie ozhodováí - ha poti eiteligetímu háči; - potiháči ezáleží a výsledku; - hy poti příodě. - -
Příklad Počet ávštěvíků víkedové kultuí akce záleží a tom, jaké bude počasí. Stákař ví, že si u ěj v půměu koupí každý ávštěvík páek. Zisk z každého podaého páku je Kč. Pokud mu ale ějaké páky zbudou, ztáta z každého epodaého páku je 5 Kč. Kolik páků si má stákař akoupit před víkedovou akcí, aby maximalizoval zisk? Pofil izika Poblém stákaře - Doplěí: podle předpovědi počasí byly staovey pavděpodobosti astáí jedotlivých stavů okolostí takto: Domiace alteativ - Domiace podle výplat - ejsilější typ domiace - mi(v aj ) max(v bj ) A domiuje B podle výplat - Domiace podle stavů okolostí - v aj v bj po všecha j A domiuje B podle stavů okolostí - Domiace podle pavděpodobostí - pofil izika Výbě alteativ - Rozhodováí za jistoty - Rozhodováí za ejistoty - maximaxové pavidlo - Waldovo - maximiové pavidlo - Huwitzovo pavidlo - Savageovo pavidlo miimálí ztáty - Laplaceovo pavidlo edostatečé evidece - Rozhodováí za izika - pavidlo EMV - očekávaé hodoty výplaty - pavidlo EOL - očekávaé možé ztáty - pavděpodobost dosažeí aspiačí úově - -
Modely teoie he Nomálí tva hy Rozviutý tva hy Vybaé aplikace - Maažeské ozhodováí - Stategie podikáí - Spotoví utkáí - Malé hy Kofliktí situace - Teoie he - koflikt iteligetích háčů; - oběma staám záleží a výsledku. - Teoie ozhodováí - ha poti eiteligetímu háči; - potiháči ezáleží a výsledku; - hy poti příodě. Teoie he - Cíl: volba ejlepšího chováí v ámci kofliktu - Ha pobíhá v čase - ha patie stategie tah; - opakuje se x eopakuje se; - dva ebo více háčů; - vytvářejí x evytvářejí koalice; - s koečým x ekoečým počtem stategií; - s kostatím (ulovým) x ekostatím součtem. Kompoety modelu - Dva háči - Možia stategií každého háče - Kitéium hy - výplaty po každou dvojici stategií; - výplatí matice; - ulový, kostatí, ekostatí součet. Výplatí matice Příklad Dvě televizí staice se ozhodují, jaký typ pogamu asadit do hlavího vysílacího času v učitý de, kdy se a televizi dívá 5 mil. diváků. V tabulce jsou výsledky půzkumu počet diváků z těch 5 mil., kteří by se dívali a televizí staici A v případě kombiací jedotlivých pořadů: Řešitelost hy - Základí věta teoie maticových he Každá maticová ha je řešitelá - existují optimálí stategie háčů a cea hy. - Stategie zaučující ejlepší možý výsledek háčů, když eudělají chybu - Čistá stategie - jedozačě učeá stategie háče - Smíšeá stategie - pouze elativí četost použití stategie při opakováí hy - Čistá stategie je speciálí případ smíšeé stategie, vekto s = (,,,,,., ) Postup řešeí he - Staoveí stategií háčů a sestaveí výplatí matice - Pokus o řešeí hy v obou čistých stategií - Pokud ha emá sedlový bod, řešeí hy v obou smíšeých stategií - 3 -
Řešeí v obou čistých stategií Kostukce modelu LP příklad Po takto upaveé zadáí a háče (televizi A): Postup - Nalezeí dolí cey hy - Nalezeí hoí cey hy - Pokud se cey ovají, existuje alespoň jede sedlový bod, tj. ha má řešeí v obou čistých stategií,3x +,8x +,7x 3 x + 4x + x 3,5x +,5x + 3x 3 z = x + x + x 3 MIN x, x, x 3 Řešeí v obou smíšeých stategií - Neexistece sedlového bodu - V případě opakováí kofliktu je uté stategie střídat - Cíl: alézt optimálí elativí četosti používáí jedotlivých stategií - Postředek: pomocý model lieáího pogamováí - vzpomíáte si, z čeho se skládá model LP? Kostukce modelu LP picipy - Vždy kostuujeme z hlediska jedoho háče - Nutá podmíka: kladé hodoty ve výplatí matici - pokud ejsou, přičteme k celé matici vhodou kostatu - Po háče (má stategie v řádku): - poměé: elativí četosti volby stategií i ; - podmíky: každá stategie má přiést výhu alespoň w; - účelová fukce: w MAX - podmíky ezápoosti. - Úpava do tvau vhodého po výpočet (viz tabule) - Výsledky - háč : hodoty bázických ozhodovacích poměých; - háč : duálí cey ebázických doplňkových poměých; - ezapomeout a zpětou tasfomaci. - 4 -
Vybaé aplikace - Výbě a ákup užitých předmětů ebo služeb - Výbě pacovíků a pacoví místo - Výběová řízeí a veřejé zakázky - Hodoceí efektivosti - Staoveí pořadí závodíků ve vícebojích Vícekiteiálí ozhodováí Typy modelů - Vícekiteiálí optimalizačí model - přípustá řešeí jsou vymezea pouze implicitě (omezujícími podmíkami); - optimalizace podle dvou a více účelových fukcí; - příklad: optimalizace potfolia. - Model vícekiteiálí aalýzy vaiat - všechy přípusté vaiaty lze explicitě vypsat; - vybíáme podle dvou a více kitéií; - příklady: podle staoveého cíle (viz dále). Cíl řešeí modelů VAV - Nalezeí jedié kompomisí vaiaty, kompomisího řešeí - Nalezeí učitého počtu kompomisích vaiat - Rozděleí možiy řešeí a efektiví a eefektiví - Uspořádáí všech řešeí od ejlepšího k ejhošímu Kompoety modelu - vaiaty a i, i =,, m; - kitéia f j, j =,, ; - kiteiálí matice Y = (y ij ); - váhy kitéií v j, j =,,,. Maticový zápis modelu - Podle směu pefeece - maximalizačí kitéium; - miimalizačí kitéium. - Podle vyjádřeí pefeece - měřitelá (objektiví); - eměřitelá (subjektiví). Váhy kitéií - Vyjadřují elativí důležitost kitéia - Zapisují se číselě ve fomě omalizovaého váhového vektou - Nomalizace: - b j je kvatitativě vyjádřeá ifomace od uživatele, viz dále - Výsledek: desetiá čísla z itevalu od do, součet je ove jedé - Itepetace: jaký díl ze % připadá a daé kitéium - NEJSOU DŮLEŽITÉ ROZDÍLY MEZI VAHAMI KRITÉRIÍ, ALE POMĚRY VAH Gafické zobazeí - Hvězdicové (polygoálí) zobazeí - Každé kitéium má svoji osu - špaté hodoty u středu; - dobé hodoty ke kaji. - Spojeím pozic vaiaty a osách kitéií vziká její polygo - Lze využít po posouzeí domiovaosti vaiat Vaiaty speciálí případy Kompomisí vaiata - temí optimálí řešeí obvykle emá smysl; - přijatelé ozhodutí, elativě výhodý kompomis. Domiovaá vaiata - jeda vaiata domiuje duhou, pokud je podle všech kitéií hodocea alespoň tak dobře jako vaiata domiovaá a alespoň v jedom kitéiu je ostře lepší; - a domiuje a s (y, y,, y ) (y s, y s,, y s ) j: y j >y sj. Ideálí a bazálí vaiata - ideálí vaiata H = (h,, h ) je vaiata složeá z ejlepších hodot všech kitéií současě; - bazálí vaiata D = (d,, d ) je vaiata složeá z ejhoších hodot všech kitéií současě. Kitéia klasifikace Ifomace o pefeeci objektů - Ite a ita kiteiálí pefeece - pefeece jedotlivých kitéií; - hodoceí vaiat podle každého kitéia. - Základí typy ifomací o pefeeci objektů - žádá ifomace; - omiálí ifomace aspiačí úově; - odiálí ifomace kvalitativí uspořádáí; - kadiálí ifomace kvatitativí. - 5 -
Žádá ifomace - Možé pouze po váhy kitéií - Picip: kitéium je tím důležitější, čím více přispívá k ozlišeí vaiat - Nevýhoda: uto zát kiteiálí matici v okamžiku staoveí vah kitéií - Etopická metoda Nomiálí ifomace - Pacujeme s aspiačími hodotami kitéií - Aspiačí úoveň: ejhoší přípustá hodota kitéia, aby vaiata byla akceptovatelá - Vhodé po edukci ozsáhlých souboů vaiat (předvýbě) - Picip páce: expeimetováí s hodotami, aby zůstal požadovaý počet vaiat - Metody páce s aspiačími úověmi - kojuktiví metoda; - disjuktiví metoda. Odiálí ifomace - Metoda pořadí - objekty ohodotíme pořadovými čísly podle pefeecí; - stejá pefeece objektů půměá pořadová čísla; - pořadová čísla převedeme a bodové hodoceí; - bodové hodoceí omalizujeme. - Metoda kvalitativího páového poováí - objekty poováváme páově - každý s každým; - pefeece se vyjadřuje pouze stupi lepší x hoší ; - ekvivalece se vyjadřuje stupěm stejé. - Zápis pefeece - tabulka páového poováí (hodoty,5 ); - Fulleův tojúhelík (zvýazěí pefeovaého objektu). - Odvozeí vah - podklad: počet vítězých poováí ; - váhy: omalizace. Kadiálí ifomace - Bodovací metoda - objekty ohodotíme bodově a staoveé škále; - stejá pefeece objektů stejé bodové hodoceí; - bodové hodoceí omalizujeme. - Saatyho metoda - založea a páovém poováí důležitosti objektů; - povádí se v Saatyho matici. - Stupice - ovoceost; - 3 slabá pefeece; - 5 silá pefeece; - 7 velmi silá pefeece; - 9 absolutí pefeece. - Saatyho matice čtvecová, ecipočí - Váhy omalizovaý geometický půmě řádků Saatyho matice Vícekiteiálí aalýza vaiat výbě kompomisí vaiaty Kofiguace modelu VAV - Chybý postup (viz ůzé BP) - Začu defiicí kitéií. Zvolím si jich aspoň, ezapomeu vymezit kitéium Ostatí faktoy. Staovím jim důležitost podle vlastího uvážeí alespoň ve třech ůzých sadách vah. Vezmu softwae a model popočítám podle všech metod, kteé tam ajdu (aspoň 5). Použiju všechy sady vah. Všechy výsledky sečtu dohomady a mám ejobjektivější dosažitelý výsledek, kteý dopoučím k ealizaci. - Takhle v žádém případě e!!! Kofiguace modelu VAV Itelligece - Spávý postup: uto espektovat fáze ozhodovacího pocesu - Itelligece - chaakteistika zkoumaého objektu; - popis edostatků současého stavu; - idetifikace poblému a cíle jeho řešeí. - Výstupy po VAV - cíl ozhodováí; - pofil ozhodovatele. - 6 -
Kofiguace modelu VAV Desig - Staoveí kitéií ozhodováí - musí vycházet z cíle řešeí poblému. - Na soubo kitéií klademe tyto požadavky - úplost: esmí být zaedbá žádý důležitý aspekt ozhodováí; - opeacioalita: každé kitéium musí mít jasě staoveý obsah a míu; - vyloučeí duplicit: každý důležitý aspekt ozhodováí je epezetová pávě jedím kitéiem; - miimálí ozsah: vyloučit kitéia s vahou blížící se ule, ale e a úko úplosti soubou kitéií. - Staoveí vah kitéií - musí vycházet z cíle řešeí poblému; - musí vycházet z pofilu ozhodovatele; - stačí jeda sada, pokud je to přípusté, lze ve fázi Choice doplit aalýzou citlivosti. - Nejlépe Saatyho metodou ebo aspoň metodou bodovací, metodu pořadí používat pouze v ouzi - Staoveí metody výběu kompomisí vaiaty - Volba závisí a - ifomaci o pefeeci mezi vaiatami a kitéii; - ozsahu soubou vaiat a kitéií; - míře sahy elimiovat lidský fakto při povedeí výběu. - Kofiguace metody výběu - vyžaduje-li volbu paametů; - hodoty paametů musí vycházet z pofilu ozhodovatele. - Staoveí možiy vaiat - po každou vaiatu musí být uvedea stučá chaakteistika; - vaiata musí být ohodocea z hlediska všech kitéií. - Výstup fáze desig po VAV - model VAV připaveý k aplikaci vybaé metody. Kofiguace modelu VAV Choice - Popočet modelu pomocí zvoleé metody - Pokud je to přípusté lze dále - povést aalýzu citlivosti vzhledem ke změám vah; - v případě ejedozačého výsledku ověřit dopoučeí pomocí jiého přístupu (uto opakovat fázi Desig). - Výstup fáze Choice po VAV - vaiata dopoučeá k ealizaci. Přehled metod - Metoda aspiačích úoví - omiálí ifomace; - iteačí, páce s astaveím aspiačích úoví; - vhodá po předvýbě v případě ozsáhlé úlohy. - Metoda pořadí - odiálí ifomace; - kostukce matice pořadových čísel; - vhodá po oietačí učeí okuhu dobých vaiat. - Metoda bodovací - kadiálí ifomace; - kostukce matice bodových hodoceí; - uté dodžet stejé bodové stupice po všecha kitéia; - vhodá po staoveí kompomisí vaiaty v případě, že eí možost použití objektivější metody. Pokočilé metody VAV - Fukce užitku - Metoda vážeého součtu - Metoda bazické vaiaty - Miimalizace vzdáleosti od ideálí vaiaty - Metoda TOPSIS - Aalýza pefeečích vztahů - Metoda PROMETHEE - Metoda AHP - Mezí mía substituce - Metoda postupých substitucí Užitek, fukce užitku - Každé ohodoceí vaiaty je možo vyjádřit ve fomě užitku, kteý tato vaiata přiáší - Dílčí hodoty užitku lze sloučit do celkového užitku vaiaty a podle toho vaiaty vybíat - Metody jsou poměě objektiví, pacují s předložeými daty bez zásahu uživatele Dílčí fukce užitku - Dílčí fukce užitku převádí ohodoceí řešeí do itevalu, - Může mít ůzý půběh - 7 -
Metoda vážeého součtu - Založeá a lieáí fukci užitku - Vytvoříme omalizovaou kiteiálí matici dílčích užitků R = ( ij ), jejíž pvky získáme pomocí vzoce yij dj ij = h d j - Po jedotlivé vaiaty vypočteme celkový užitek k u(a ) = i j j= v j ij Příklad Pokočilé kocepty výběu kompomisí vaiaty Pokočilé metody VAV - Fukce užitku - Metoda vážeého součtu - Metoda bazické vaiaty - Miimalizace vzdáleosti od ideálí vaiaty - Metoda TOPSIS - Aalýza pefeečích vztahů - v hieachii - metoda AHP - podle pefeečích fukcí - metoda PROMETHEE - Mezí mía substituce - Metoda postupých substitucí Příklad Vybete ejlepší automobil podle cey, objemu zavazadlového postou a spotřeby. Metoda bazické vaiaty - Nomalizujeme kiteiálí hodoty vzhledem k vybaé (bazické) hodotě y B - Maximalizačí kitéium - Miimalizačí kitéium ij ij = = - Po jedotlivé vaiaty vypočteme celkový užitek y y u( a ) i y ij B j y B j ij k = j= v j ij Příklad Metoda TOPSIS - Saha ajít řešeí, kteé je - co ejdále od bazálí vaiaty; - co ejblíže ideálí vaiatě. - Nomalizace kiteiálí matice ij = i= ij - Nikdy epřevádět povahu kitéií mi --> max - Zohleděí vah kitéií v omalizovaé matici - Staoveí ideálí a bazálí vaiaty H a D - Výpočet vzdáleostí všech vaiat od ideálí vaiaty m y ij w = v y ij ij j k + i = ij j j= d ( w h ) - 8 -
- Výpočet vzdáleostí všech vaiat od bazálí vaiaty - Staoveí elativí vzdáleosti vaiat od bazálí vaiaty Metoda TOPSIS - příklad k i = ij j j= d ( w d ) c i = d d i + i + di Metoda AHP příklad Kvatifikace 3. úově Saatyho metoda Metoda PROMETHEE - Založea a vyhodocováí vztahů mezi všemi dvojicemi vaiat z hlediska všech kitéií - Po každé kitéium je zvolea pefeečí fukce a její paamety Aalytický hieachický poces (Metoda AHP) - Základem je hieachická stuktua úlohy Kitéium Cíl aalýzy Kitéium Vaiata Vaiata Vaiata m Úoveň Kitéium Úoveň Úoveň 3 - Lze přidat další úově (apř. subkitéia, expety) - Metoda založeá a postupém ozvhu vah - vychází ze staoveé hieachické stuktuy poblému; - pvky a vyšší úovi hieachie předávají svoji váhu k ozděleí pvkům a ižší úovi hieachie. - Velice dobře umožňuje pacovat s eměřitelými kitéii - Pacá po ozsáhlejší úlohy Metoda AHP příklad: Hieachie úlohy - Po každou dvojici vaiat a všecha kitéia učíme itezitu pefeecí - Po j-té kitéium - P j (a, a s ) = Q(d j ), pokud je hodoceí vaiaty a lepší ež hodoceí vaiaty a s ; - P j (a, a s ) =, pokud ikoliv. - Globálí pefeečí idex (GPI): P(a, a s ) = Σv j.p j (a, a s ) - Staoveí uspořádáí vaiat: čistý tok - kladý tok půmě hodot řádků matice GPI; - zápoý tok půmě hodot sloupců matice GPI; - čistý tok ozdíl mezi kladým a zápoým tokem. - 9 -
Metoda PROMETHEE příklad Volba pefeečích fukcí - cea: č. 5, p = 5, q = 5; - kuf: č. 3, p = 3; - spotřeba: č. 3, p =,6. Metoda postupých substitucí - Picip: vyplatí se dát více/méě peěz za lepší/hoší užité vlastosti poduktů a služeb? - Idifeečí křivka: spojice bodů vaiat se stejou hladiou pefeece - Poováváme vaiaty vždy podle dvou kitéií - řídící kitéium vyřazujeme z hodoceí; - ekvivalizovaé kitéium sloučeí ifomací z obou kitéií, používáme po další hodoceí. - Po kitéií potřebujeme - koků - Volba dvojice kitéií - Staoveí základí idifeečí křivky - Ekvivalizace hodot řídícího kitéia - Vyloučeí řídícího kitéia z ozhodováí - Ekvivalizovaé kitéium vstupuje do dalšího hodoceí - Ukočeí: zůstalo pouze kitéium Vybaé přístupy k hodoceí efektivosti. Metoda DEA. Paktické aplikace - Řízeí lidských zdojů - Měřeí výkoosti ogaizace ebo její části - Výko státí spávy - Meziáodí sováváí Pojem efektivosti - Musíme vždy vědět, jakou efektivost zkoumáme - Základem je kocept 3E - Ecoomy dělat věci hospodáě; - Efficiecy dělat věci účiě; - Effectiveess dělat věci účelě. - Dál se budeme zabývat zejméa měřeím účiosti - hospodáost přiděleí zdojů a jejich šetřeí; - účelost dáa stategickou úoví řízeí. Metoda DEA - Data Evelopmet Aalysis - Hodotí pomě vstupy/výstupy - Měří efektivost objektů (tzv. podukčích jedotek) v ámci daého soubou - ozděluje jedotky a efektiví a eefektiví; - poovává jedotky vzhledem k ejlepším jedotkám; - udává, v čem a jak zlepšit eefektiví jedotky, aby se staly efektivími. Metoda DEA kompoety - Podukčí jedotky (DMU - DMU p ) jedotlivé hodoceé objekty vaiaty - Vstupy (X X m ) miimalizačí kitéia - Výstupy (Y Y ) maximalizačí kitéia - Spotřeba vstupů (x x pm ) a podukce výstupů (y y p ) kiteiálí matice - Techická efektivost DMU (φ - φ p ) agegovaé kitéium účiosti tasfomace Metoda DEA - vstupí údaje - -
Metoda DEA pojetí efektivosti - Relativí mía efektivosti vážeá suma výstupů efektivost = vážeá suma vstupů - Jedotka je efektiví, jestliže spotřebovává elativě malé možství vstupů k podukci elativě velkého možství výstupů - Po všechy podukčí jedotky počítáme elativí techickou efektivost j= Φk =, k =,,... p m v x i= u y jk ik jk ik - jako pomě vážeé sumy vstupů a vážeé sumy výstupů - Váhy astavujeme tak, aby φ k bylo maximálí - Efektivost jedotek dále ovlivňuje zvoleý typ výosů z ozsahu - Výosy z ozsahu mohou být - kostatí; - ostoucí; - klesající; - eostoucí; - eklesající; - pomělivé. Vituálí jedotka a pee jedotky - Vždy se učují vzhledem k vybaé podukčí jedotce - Vituálí jedotka hypotetická (ěkdy eálá) efektiví jedotka, kteá vyjadřuje efektiví spotřebu vstupů a podukci výstupů po eefektiví jedotku - Pee jedotky eálé efektiví jedotky, jejichž vážeý součet učuje daou vituálí jedotku Příklad Šest obchodích zástupců uzavřelo za sledovaé období kotakty ve stejé výši 5 mil. Kč. Jejich mzdy a celková ajetá vzdáleost za sledovaé období jsou v tabulce: Vstupově oietovaý model CCR Řešeí příkladu tis. Km 7 6 5 4 3 Dolejšová Aděl Cik Eliášová Buda Fulíová 3 4 tis. Kč Základí typy modelů DEA - S kostatím výosem z ozsahu - CCR autoři Chaes, Coope, Rhodes; - lieáí výos z ozsahu; - vstupově ebo výstupově oietovaý. - S pomělivým výosem z ozsahu - BCC autoři Bake, Chaes, Coope; - po částech lieáí výos z ozsahu; - opět vstupově ebo výstupově oietovaý. - Dále se budeme zabývat pouze modely CCR Zjistěte, kteří obchodí zástupci hospodařili se svými zdoji efektivě. U eefektivích avhěte káceí zdojů. - -
Vstupově oietovaý model CCR - Hledá efektiví možství vstupů odpovídající daým výstupům - Po každou jedotku staoví idividuálí váhy vstupů a výstupů - jedotka maximalizuje svůj koeficiet techické efektivosti Φ H ; - váhy emohou být zápoé; - při použití tohoto soubou vah po všechy jedotky esmí být žádý koeficiet techické efektivosti větší ež jeda. Matematický zápis modelu - Každá podukčí jedotka má svůj vlastí model - Po H-tou podukčí jedotku: Φ H j = m = ih i= u u v,v ih j= m ih i= y x jk ik u v y x ih MAX po k =,,..., p Výsledek modelu - Efektivost zkoumaé jedotky - Φ H =, potom je jedotka efektiví; - Φ H <, potom je jedotka eefektiví. - Váhy vstupů hodoty poměých v i - Váhy výstupů hodoty poměých u j - Pee jedotky viz ebázické doplňkové poměé - Vituálí jedotka - lieáí kombiace pee jedotek; - koeficiety jejich duálí cey. - Po úpavě model lieáího pogamováí - Stále po H-tou podukčí jedotku: Φ m ih i= m u H = i= v,v v j = x ih ih ih x u = ik + y j = MAX u y jk po k =,,..., p Příklad V dalším období pacovali obchodí zástupci s ásledujícími paamety: Zhodoťte efektivost vyaložeých ákladů a čiost těchto zástupců. Model LP pa Aděl Likosa Kompletí výsledky Model LP pa Aděl Φ = 4u MAX v + 5v = v 5v + 4u 8v 3v + 5u v 3v + 5u 7v 6v + 5, 5u 3v 5v + 8u 4v v + 5u u, v, v Výsledek pa Aděl Likosa Itepetace po paa Aděla Efektivost = 7% Pee jedotky: Cik, Dolejšová Vituálí jedotka: - mzda: 3 97 Kč - ajeto: 3 5 Km - -
Výstupově oietovaý model CCR - Někdy ám až tak ezáleží a zdojích, ale chceme odpovídající výko - Hledá se tedy efektiví možství výstupů odpovídající daým vstupům - Po každou jedotku se staoví idividuálí váhy vstupů a výstupů - jedotka miimalizuje svůj koeficiet techické efektivosti Φ H ; - váhy emohou být zápoé; - při použití tohoto soubou vah po všechy jedotky esmí být žádý koeficiet techické efektivosti meší ež jeda. Matematický zápis modelu - Každá podukčí jedotka má opět svůj vlastí model - Po H-tou podukčí jedotku: Φ H m i= j= u ih m vih xih i= = MIN u y j= v x u ik jk, v ih y po k =,,..., p Výsledek modelu - Koeficiet efektivosti zkoumaé jedotky - Φ H =, potom je jedotka efektiví; - Φ H >, potom je jedotka eefektiví. - Váhy vstupů hodoty poměých v i - Váhy výstupů hodoty poměých u j - Pee jedotky viz ebázické doplňkové poměé - Vituálí jedotka - lieáí kombiace pee jedotek; - koeficiety jejich duálí cey. - Po úpavě model lieáího pogamováí - Stále po H-tou podukčí jedotku: H ih ih i= j= m m Φ = v x MIN = v x + u y po k =,,..., p u ih ik jk i= j= u, v ih y Příklad Uzejte obchodím zástupcům jejich vstupy ve II. období, ale pověřte jejich efektivost z hlediska uzavřeých kotaktů Neefektivím obchodím zástupcům učete výko odpovídající efektivímu vyaložeí zdojů Model LP pa Aděl Likosa Kompletí výsledky Model LP pa Aděl Φ = v + 5v MIN 4u = v 5v + 4u 8v 3v + 5u v 3v + 5u 7v 6v + 5,5u 3v 5v + 8u 4v v + 5u u, v, v Výsledek pa Aděl Likosa Itepetace po paa Aděla Efektivost = 43% (měl by zvýšit výstup o 43%) Pee jedotky: Cik, Dolejšová Vituálí jedotka: - kotakty: 5,74 mil. Kč Metoda DEA - výhody a evýhody Výhody - idividuálí model po každou jedotku; - dobře itepetovatelé výsledky; - evyžaduje agegovatelost vstupů a výstupů; - dobře si poadí s měkkými faktoy (sociálí, eviometálí, apod.) jako vstupy a výstupy. Nevýhody - platost výsledků je omezea a daou skupiu objektů; - ezkoumá se efektivost teoetická, ale paktická; - áočé a učí zpacováí výpočtu (odpadá při použití vhodého softwau). - 3 -
Vícekiteiálí optimalizace Vybaé aplikace Pakticky vše je možé hodotit vícekiteiálě - zemědělství podukčí x mimopodukčí fukce; - ivestice výos x izikovost; - pojektové řízeí čas x áklady; - dopaví poblémy čas x spotřeba paliva; - apod. Model poblém ivestoa x akcie (mil. Kč) x podílové fody (mil. Kč) x + x (mil. Kč) x (mil. Kč) x (mil. Kč) z = 6x + 4x MAX ( tis. Kč) z = x + x MIN (mil. b.) x, x 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 Vícekiteiálí ozhodováí - Vícekiteiálí optimalizačí model - možia přípustých řešeí je ekoečá. - Model vícekiteiálí aalýzy vaiat - možia přípustých řešeí je koečá. Vícekiteiálí optimalizace - Cíl: alézt řešeí, kteé bude co ejlepší z hlediska více kitéií - Kitéia mohou být potichůdá řešeí eí optimálí, pouze kompomisí - Techicky se jedá o model vícekiteiálího lieáího pogamováí Zápis modelu T z ( x) = c x MAX T z ( x) = c x MAX... T z ( x) = c x MAX k k Ax b x Hledáí kompomisu - Paciálí optimalizace alezeí dílčích optimálích řešeí - Staoveí ideálí a bazálí vaiaty - Růzé přístupy k hledáí kompomisího řešeí - agegace kiteiálích fukcí; - převod kiteiálích fukcí a omezující podmíky; - cílové pogamováí. Paciálí optimalizace - Dílčí optimálí řešeí - optimalizace podle jedotlivých kiteiálích fukcí (bez ohledu a fukce ostatí); - výsledky zapisujeme do kiteiálí tabulky. - Ideálí hodoty kitéií -> ideálí vaiata - Bazálí hodoty kitéií-> bazálí vaiata Paciálí optimalizace ivesto Ideálí vaiata H = (56; 4) Bazálí vaiata D = (4; 8) Příklad poblém ivestoa Ivesto se ozhoduje o ozložeí ivestice o výši maximálě mil. Kč mezi akcie a podílové fody (PF). Požaduje akoupit akcie za miimálě mil. Kč a miimálě mil. Kč uložit do PF. Ivesto předpokládá výos z ivestice Kč do akcií ve výši 6 hal., z ivestice Kč do PF ve výši 4 hal. Ivesto si dále ohodotil izikovost Kč ivestovaé do akcií dvěma body (do PF jedím bodem). Jak má ivesto ozložit ivestici, aby za daých podmíek maximalizoval výos a záoveň miimalizoval izikovost svého potfolia? - 4 -
Agegace kiteiálích fukcí - Součtová agegace uto ošetřit 3 aspekty - Růzé jedotky kiteiálích fukcí - omalizace ceových koeficietů poměých. - Váhy kiteiálích fukcí - eí utý omalizovaý vekto vah; - ásobíme jimi omalizovaé ceové koeficiety. - Povaha kiteiálí fukce - maximalizačí fukce přičítáme; - miimalizačí fukce odčítáme; - výsledá fukce je maximalizačí. Agegace kiteiálích fukcí ivesto Vaiata váhy : Nomalizace (6; 4) (,6;,4) (; ) 3 (/3; /3) Váhy.(,6;,4) = (,6;,4). (/3; /3) = (/3; /3) Povaha a agegace z A: = +(,6;,4) - (/3; /3) z A: = -,67x +,67x MAX Převod kiteiálích fukcí a omezující podmíky - Převod všech kiteiálích fukcí a omezeí komě jedé - Levá staa omezující podmíky - dáa předpisem kiteiálí fukce. - Staoveí hodoty pavé stay - v itevalu daém ideálí a bazálí hodotou daého kitéia. - Staoveí typu omezeí - maximalizačí fukce požadavková OP; - miimalizačí fukce kapacití OP. - Kompomisí řešeí optimalizace podle kiteiálí fukce epřevedeé a omezeí Převod kitéia a omezeí ivesto Ivesto je ochote přijmout iziko do výše mil. bodů. Nová omezující podmíka x + x (mil. bodů) Optimalizujeme výos z = 6x + 4x MAX ( tis. Kč) Agegace kiteiálích fukcí ivesto Vaiata váhy :3 Nomalizace (6; 4) (,6;,4) (; ) 3 (/3; /3) Váhy.(,6;,4) = (,6;,4) 3. (/3; /3) = (; ) Povaha a agegace z A:3 = +(,6;,4) - (; ) z A:3 = -,4x -,6x MAX z A:3 =,4x +,6x MIN - 5 -
Cílové pogamováí - Staoveí cíle po všechy kiteiálí fukce - z itevalu daého ideálí a bazálí hodotou daého kitéia. - Miimalizace odchylek od zvoleých cílů - edosažeí: odchylkové poměé ; - překočeí: odchylkové poměé p. - Cílové omezující podmíky - levá staa: předpis kiteiálí fukce a odchylkové poměé; - pavá staa: cíl; - typ podmíky: učeí (pávě ovo). - Nové kitéium: miimalizace odchylek od cílů - oboustaé: z = + p mi; - jedostaé: pealizujeme pouze hoší ež cílové hodoty, ale překočeí cílů ám evadí; - s váhami: váhy použijeme jako ceové koeficiety odchylkových poměých. Cílové pogamováí ivesto Staoveé cíle Cílové omezující podmíky z = 4 ( tis. Kč) 6x + 4x + - p = 4 ( tis. Kč) z = (mil. bodů) x + x + - p = (mil. b.) Nová kiteiálí fukce (oboustaá pealizace odchylek) z = + + p + p MIN Nová kiteiálí fukce (jedostaá pealizace odchylek) z = + p MIN Nová kiteiálí fukce (oboustaá pealizace odchylek s váhami :3) z = + 3 + p + 3p MIN Nová kiteiálí fukce (jedostaá pealizace odchylek s váhami 5:) z = 5 + p MIN x, x,,, p, p Staoveé cíle z = 4 ( tis. Kč) z = (mil. bodů) Nová kiteiálí fukce z = + + p + p MIN x, x,,, p, p Lze takto vyřešit gaficky Cílové pogamováí - ivesto Staoveé cíle z = 48 ( tis. Kč) z = (mil. bodů) Nová kiteiálí fukce z = + + p + p MIN x, x,,, p, p 9 8 7 6 5 4 3 Cíl iziko Přímky cílů se epotíají v možiě přípustých řešeí Cíl výos 3 4 5 6 7 8 9 Gaficky obtížé, uto simplexem - 6 -
Stuktuí aalýza Výzam stuktuích modelů - Bilace vztahů mezi jedotlivými hospodářskými souboy (odvětvími) - aalýza miulého stavu systému - Pláováí čiosti systému, využití výobích zařízeí apod. - Možost sledovat vliv změ v systému při zachováí výchozích elací. - Vyčísleí vlivu hodotových změ - popočty ceových úpav - Učeí podmíek hospodářské stability a ovováhy systému, ikoliv alezeí optimálího stavu. Klasifikace stuktuích modelů Třídící zak Typ modelu Oblast použití Vazba a okolí otevřeý poblematika ávazosti zkoumaého systému a jié systémy uzavřeý Stuktuí aalýza picip Každé odvětví učitého systému je záoveň - spotřebitelem - poduktů od jiých odvětví; - části své vlastí podukce; - pimáích čiitelů (vstupy z okolí). - dodavatelem vlastí podukce - po ostatí odvětví; - po sebe; - po podej fiálí podukce. poblematika vitří stuktuy systému Fakto času statický statistická bilace Rozsah ifomací dyamický áodohospodářská bilace dílčí bilace (odvětvová, podiková) pespektiví plá statistický ozbo a pláováí aalýza vztahů mezi výobími pocesy Měé jedotky atuálí aalýza mateiálových toků hodotové tvoba ce Kvadaty modelu stuktuí aalýzy I. kvadat výobí spotřeby matice meziodvětvových (edogeích) toků. II. kvadat koečé spotřeby exogeí (vější) toky podukce - ozděleí fiálí podukce (čtyři sektoy: spotřeba obyvatelstva, celospolečeská spotřeba, ivestičí výstavba a zahaičí obchod III. kvadat pimáích čiitelů spotřeba živé páce, akoupeých mateiálů, eegie, suovi apod. (apř. odpisy, mzdy, zisky včetě daí). IV. kvadat údaje o tocích pimáích zdojů ve fiálí spotřebě. Otevřeý stuktuí model x = (x, x,..., x ) T vekto celkové podukce X = (x ij ), i =,...,, j =,..., matice výobí spotřeby mezipoduktu y = (y, y,..., y ) T vekto fiálí podukce z = (z, z,..., z ) T vekto celkové spotřeby pimáích čiitelů Z = (z kj ), k =,...,, j =,..., matice spotřeby pimáích čiitelů v jedotlivých odvětvích Rozdělovací ovice j= j= x + y = x, i =,..., ij i i z = z, k =,..., kj k Stuktuí aalýza model Iput-output tabulka Příklad zadáí Podik se zabývá ostliou a živočišou výobou a ověž povozuje vlastí pekáu. Komě toho, že část své podukce spotřebuje ve výobě, ještě sleduje exteí vstupy: mzdy a mateiálové áklady a zisk před odpisy a daěmi. Techicko-ekoomické koeficiety Nomy spotřeby pimáích čiitelů x A = a = eboli x = a x ( ) ij ij ij ij j x j z M = m = eboli z = m x ( ) kj kj kj kj j x j - 7 -
Rozdělovací ovice x = Ax + y z = Mx x - Ax = y y = (E - A)x Jaká bude fiálí podukce? Příklad řešeí - Vliv požadavku avýšeí fiálí podukce ostlié výoby o % a ostatí paamety systému - ová fiálí podukce: y = (; 7; 7) T - ová celková podukce: x = (9,3; 8,4;,) T ová matice X ová matice Z,6 3,5 4, 5,3 5,,, 5, 5, 46,6 5,4 5, 3,77 5,3, Leotiefova matice (E-A) učuje vypodukovaou fiálí podukci z jedotky celkové podukce x = (E - A) - y Jaká bude celková podukce? Ivezí Leotiefova matice (E-A) - učuje požadovaou celkovou podukci potřebou po jedotku fiálí podukce, obsahuje potřebu spotřeby. Příklad Matice (E-A) (E-A) - M,888889 -,375 -,4 -,5556,9375 -,65,75 Fiálí podukce jedotlivých odvětví y = (; 7; 7) T,5648,537,6679,6853,9656,3655,57,9376,336379 Učete ásledující údaje: - fiálí podukci jedotlivých odvětví; - vliv sížeí celkové podukce pekáe o % a ostatí paamety systému; - vliv požadavku avýšeí fiálí podukce ostlié výoby o % a ostatí paamety systému. Vliv sížeí celkové podukce pekáe o % a ostatí paamety systému ová celková podukce: x = (9; 8; 9) T ová fiálí podukce: y = (4; 7; 6,5) T ová matice X ová matice Z 3 36 5 5 5,5 45 5 3,5 3 5 8,5,35,5,333333,875, - 8 - Smíšeá úloha Jde o úlohu, kdy je u ěkteých odvětví záme pláovaou celkovou podukci a u zbývajících pláovaou fiálí podukci. x k y k x =, y = xe ye záme x k a y e A A = A Výchozí model - ozděleá matice A Vede a řešeí soustavy ovic o ezámých Příklad kk ek A A ke ee xk Akk Ake xk yk =. + xe Aek Aek xe ye Po výše uvedeý podik staove ásledující plá: celková podukce ostlié výoby celková podukce živočišé výoby fiálí podukce pekáe 6 Učete zbývající hodoty celkové a fiálí podukce a ostatí paamety v systému
Příklad řešeí Soustava lieáích ovic =,* +,375* +,4*x3 + y =,56* +,63* + x3 + y x3 = * +,63* +,5x3 + 6 Řešeí x3 = 9 y = 7,889 y = 6,944 ová matice X ová matice Z, 45, 36, 5,56 7,5,, 7,5,5 5, 37,5 3,5 33,33,5 8, Uzavřeý stuktuí model - Vitří ovováha systému - podukce každého vyobeého poduktu se pávě ová požadovaému možství Ceové idexy z aj I aj = z aj = zaj. I z aj Příklad: Amotizace v pvím odvětví stoupe o %, v ostatích odvětvích zůstae ezměěá. Jak se zěí vekto amotizace? z a =, ( 5 5 ). = ( 5,5 5) Příklad Jak se změí cey podukce jedotlivých odvětví, jestliže zisk před odpisy a daěmi v pvím odvětví vzoste o %, ve duhém o % a ve třetím o 5%? Mzdové a mateiálové áklady se eměí. aj Ax = x tedy (E - A)x = - Náklady a výobu j-tého výobku esmí být větší ež jeho cea (podmíka etability) p T A p T eboli p T (E - A) (p vekto ce výobků jedotlivých odvětví) Popočty ceových změ podmíky: - Záme meziodvětvovou bilaci v peěžím vyjádřeí - Platí předpoklad, že typický ozsah podukce se v důsledku změ ce, mezd, zisků eměí Výsledky Nedostatky stuktuích modelů - Nelze dobře zobazit záměu suovi, techologií ebo kapacit. - Neespektují při popočtu kapacití, suoviová a jiá omezeí. - Nejsou to modely optimalizačí. - Nelze zjistit, je-li ovovážý stav, o kteý usilujeme, výhodý Základí model v maticovém zápisu ˆ T I p = XA ˆ I p + RI ˆ a + MI ˆ + m X Zˆ I + když tam budou další pimáí čiitelé, pokačuje se stejým způsobem dále T ( ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ) I = E A X RI + MI + ZI p aj mj zj z X Diagoálí matice celkové podukce I p Idex ce podukce odvětví I a Idex amotizace I m Idex mezd I z Idex zisku A T Taspoovaá matice techických koeficietů R Diagoálí matice amotizace M Diagoálí matice mezd Z Diagoálí matice zisku - 9 -
Stochastické pocesy I. Základí pojmy, Beoulliho posloupost, Makovské řetězce Vybaé aplikace Obecě: všude, kde působí fakto áhody Odhad pavděpodobosti pouchy ebo pojisté události Obova a zálohováí pouchových částí stojů Výpočty v pojišťovictví Pogózy volebích výsledků, účiosti maketigových kampaí Defiice stochastického pocesu Stochastický poces je fukce dvou poměých, jeda z ich je áhodá a duhá eáhodá. X(t) = F(t,e) teplota podělí e áhodý jev t eáhodá veličia (obvykle čas) Realizace stochastického pocesu Realizace áhodého pocesu je eáhodá fukce. (ahoře ve spojitém čase, dole v diskétím čase) e = e (, ) = x( t) F t e - 5 5 5 - -3-4 -5-6 -7 - -3-4 -5-6 -7 teplota podělí - 5 5 5 Nejdůležitější paamety Středí hodota=středí hodotě odpovídajícího půseku Rozptyl =ozptylu odpovídajícího půseku Pulsace=cetovaý stochastický poces Koelačí fukce o { ( )}, x ( t) E X t { } o ( ) D{ X ( t) } = E ( X ( t) x ( t )) = E X t ( ) ( ) X = X t x t { } (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o = E{ X ( t ) X ( t )} k t t = E X t x t X t x t = (, ) Nomovaá koelačí fukce=koelačí koeficiet t t Čleěí stochastických pocesů Příklady stochastických pocesů = σ k ( t, t ) ( t ) σ ( t ) 4 Půsek stochastického pocesu Půsek stochastického pocesu je áhodá veličia. Má středí hodotu a ozptyl. 8 6 4 teplota podělí - teplota úteý teplota středa -4 t = t F t e X t ( ) ( ), = -8-6 - -
Defiice pavděpodobosti Rozvoj: od 7 stol. (hazadí hy) Mía očekávatelosti výskytu áhodého jevu Klasická (Laplaceova) defiice: o koečý počet ůzých výsledků; o všechy výsledky jsou stejě možé; o žádé dva výsledky emohou astat současě. Statistická defiice: o N áhodých pokusů; o výskyt jevu A v K případech. Další defiice: o geometická defiice, o Kolmogoova defiice, m P( A) = K P( A) N Výpočty Pay-off odds o Poováme odds PROTI a pomě výplaty a ivestice o Pokud odds PROTI > V /W, ivestici zamíteme Implied pay-off odds (spekulativí) o Pokud odds PROTI > V /W, ivestici zatím ezamíteme o Vypočteme utou celkovou výplatu V > odds PROTI * W o Dodatečá výplata V = V V o Pokud usoudíme, že jsme schopi ji získat, ivestici přijmeme Revese implied pay-off odds (spekulativí) o Pokud odds PROTI < V /W, ivestici zatím epřijmeme Zvážíme dodatečá izika a možosti ztát Obvykle vede a ový model Vyjádřeí pavděpodobosti Relativí četost o desetiým číslem p <; >; o v pocetech. Šace (odds) o pomě pavděpodobostí astáí a eastáí jevu; o :, :5, atd., obecě x:y. Vztah mezi elativí četostí a šací x p = x + y Úzké spojeí s teoií ozhodováí o picip EMV bude fugovat vždy; o po oietačí popočty je ěkdy šace vhodější. Pavděpodobost a ozhodováí Šace a zisk výplaty (Pay-off odds, lze spočítat) o Získáí beefitu (výplaty) V je závislé a áhodém jevu A, kteý astae s pavděpodobostí p(a), a podmíěo ivesticí W Šace s dodatečou výplatou (Implied pay-off odds, spekulativí) o Získáí beefitu (výplaty) V je závislé a áhodém jevu A, kteý astae s pavděpodobostí p(a), a podmíěo ivesticí W. V případě astáí jevu A lze kalkulovat s dodatečou výplatou ve výši V, tj. celkem poté ealizujeme výplatu V = V + V Šace s dodatečou ztátou (Revese implied pay-off odds, spekulativí) o Získáí beefitu (výplaty) V je závislé a áhodém jevu A, kteý astae s pavděpodobostí p(a), a podmíěo ivesticí W. V případě astáí jevu A však musíme kalkulovat s dodatečými áklady ve výši V, tj. celkem poté ealizujeme výplatu V = V - V Příklady Tží cea ojetého automobilu ve fukčím stavu je 35 tis. Kč. Poouchal se moto, opava bude stát 5 tis. Kč, ale pavděpodobost úspěchu opavy je pouze p = /3. Vyplatí se echat si auto opavit? Dvě politické stay (A, B) se ucházejí o přízeň stejé skupiy voličů. Současý stav je 6/4 po A. Staa B uvažuje o zveřejěí kompomitující ifomace a leadea A (pavdivost ifomace p =,6). V případě epokázáí pavdivosti ifomace iskuje zechuceí % bodů svých voličů, kteří by učitě přešli k A. V případě pavdivosti % bodů voličů A učitě přejde k B a další voliči spíše přejdou k B. Je výhodé ifomaci zveřejit? Ivesto má EUR. Může ivestovat ihed s čistým výosem,4% p.a. při iflaci Euozóy,3%, ebo může spekulovat a vydáí ové emise státích dluhopisů ČR (p =,9) a ivestovat s čistým výosem % p.a. při iflaci,4%. Vyplatí se ivestoovi počkat? Řešeí příkladů Opava automobilu o Odds poti: : =,5 < pay-off odds 35/5 =,3 echat opavit Volby o Odds poti: 4:6 =,67 > pay-off odds / =,5 ezveřejňovat, ale: o Otázka: Kolik dalších voličů bychom museli získat, aby se to vyplatilo? Je to eálé? o / >,67 > 3,33 Pokud eálě dokážeme získat další 3,33% bodu voličů, ifomaci se vyplatí zveřejit. Ivesto o Odds poti: :9 =, > pay-off odds,6/, = 6 počkat, ale: o Nehozí devalvace/zvýšeí iflace CZK? o Těžko spočítat s ozumou spolehlivostí. - -
Beoulliho posloupost počet ezávislých pokusů celkem k počet pokusů při ichž astae jev A p pavděpodobost, že astae jev A q=-p pavděpodobost, že jev A eastae Pavděpodobost, že se jev A uskutečí pávě k-kát je: Příklad Hod micí Vypočítejte pavděpodobost, že při hodech mici pade pávě 5x oel. p pavděpodobost, že pade oel při jedotlivém hodu q pavděpodobost, že epade oel 5 5 p5 { oel},5.,5 k k pk { A} = p q ; q = p k Beoulliho posloupost - příklad Pavděpodobosti, že oel pade -x k k pk { A} = p q ; q = p k = = 5.9.8.7.6 =,35.,35 =,46..3.4.5,5,,5,,5 { } k k pk A p q p p { pade } { pade } 3 Příklad - Klíčivost seme Uvažujme klíčivost kukuřice 96%. Jaká je pavděpodobost, že z zasetých seme jich vyklíčí 9? =; k=9; p=,96; q=,4 Řešeí: =,77 = k 3 5 5 6 = 3..,347 = = 6 6 6 36 3 5 5 6 = = 3.. =,694 6 6 36 6 3 3 5 p3 { pade 6} = =.. =, 46 3 6 6 6 p + p + p =, 4 Z zasetých seme vyklíčí 9 s pavděpodobostí 7,7%. pp., že vyklíčí pávě seme, je,66. pp., že vyklíčí alespoň 9 seme, je,94. Makovské řetězce Makovská vlastost Stav v okamžiku + závisí pouze a stavu v okamžiku. Podmíěá pavděpodobost přechodu p ij Pavděpodobost přechodu ze stavu i v okamžiku do stavu j v okamžiku + 4 6 8 Příklad : Hod kostkou Vypočítejte pavděpodobost, že při 3 hodech kostkou pade alespoň jeda šestka. p pavděpodobost, že pade šestka při jedotlivém hodu q pavděpodobost, že epade šestka Budeme sčítat pavděpodobosti, že pade, ebo 3 šestky. Matice přechodu Makovského řetězce Vždy čtvecová Součet řádků se ová P p p K p p p p K M M M M p p K p = - -
Vekto absolutích pavděpodobostí Vekto pavděpodobostí jedotlivých stavů v učitém okamžiku V okamžiku : vekto počátečích pavděpodobostí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p m = p m, p m,..., p m, m =,,,... Výpočty absolutích pavděpodobostí vekto absolutích pavděpodobostí (řádkový) ásobíme maticí přechodu: Příklad : Opava stoje Stoj může být buď v povozu (stav P), ebo v opavě (stav O). Pavděpodobost, že se stoj během de poouchá je,. Pavděpodobost, že stoj bude během de opave je,7. Na začátku sledováí je stoj v povozu. Výpočet limitích pavděpodobostí ( ) ( ) p() = p P p() = p P M ( ) p( ) = p P Absopčí stav pokud se do ěj Makovský řetězec jedou dostal, emůže se dostat do jiého stavu Tvalý stav systém se do ěj vací s pavděpodobostí Přechodý stav pavděpodobost ávatu do tohoto stavu je meší ež Tvalý ulový stav tvalý stav se azývá ulový, jestliže počet koků po ávat má ekoečě velkou středí hodotu (azývá se také ekuetí ulový) Tvalý eulový stav tvalý stav, po ež má počet koků po ávat koečou středí hodotu pokud ávat může astat kdykoliv, jedá se o egodický stav pokud ávat může astat po učitém počtu koků, jedá se o peiodický stav Možé stavy Makovských řetězců Reguláí řetězec koveguje limití pavděpodobosti existují Učete, jaké povahy jsou ásledující stavy: Egodický stav stav, kteý je tvalý, eí ulový a eí peiodický Nepodstatý stav přechod ze stavu s i do stavu s j je možý přechod opačým směem eí možý Podstatý stav stav, kteý eí epodstatý vzájemě dosažitelé stavy jsou sousledé Uzavřeá třída skupia vzájemě dosažitelých stavů Reguláí řetězec všechy stavy jsou egodické a tvoří jedu uzavřeou třídu takový řetězec je eozložitelý Rozložitelý řetězec změou pořadí stavů lze vytvořit jedotkovou submatici ebo submatice Někteé řetězce se po učitém počtu koků dostaou do stavu, kdy se v dalších okamžicích eměí = kovegují. Jejich stav je potom a čase ezávislý. Limití pavděpodobosti - příklad p p + + = p p = p + p p p + p p p = p p p = p p + p p + p p =,8 p =, p +,7 p +,3 p, p +,7 p =, p,7 p = - 3 -, p,7 p = p + p = 7 p = ; p = 9 9
Příklad - Výpočet limitích pavděpodobostí: Je daá matice přechodu Výsledek limití pavděpodobosti - Egodické pavděpodobosti: p=(,88;,9;,9;,9) - Oba stoje ve stavu poucha odpovídá stavu s4 a jeho dlouhodobá pavděpodobost je,9%. Soustava ovic Jedu z ovic (),(),(3) můžeme vyechat z důvodu lieáí závislosti apř. () a řešíme soustavu tří ovic o třech ezámých p =, 9 p +,5 p +,p 3 p =,5 p +,4 p +,5 p 3 p =,5 p +,p +,4 p 3 3 = p + p + p 3 Aplikace Makovských etězců:modely posté obovy - Stále stejý počet jedotek v soubou - Poouchaá jedotka se eopavuje ahazuje se ovou - Během jedoho časového koku jedotka buď: - Zestáe - Selže a je ahazea ovou Příklad 3 - Dva idetické stoje Po zlepšeí spolehlivosti stoje byl istalová ještě jede idetický stoj, kteý se ale v případě fugováí pvího stoje epoužívá. Na koci každého pacovího de se povozovaý stoj kotoluje. Pavděpodobost pouchy během de je, a ezávisí a době, po jakou byl epřetžitě v povozu. Opava tvá vždy přesě dva dy. Poouchaý stoj se ahazuje záložím pokud teto eí také poouchaý. Spočítejte pavděpodobost, že budou oba stoje ve stavu poucha. Postup:. Přesá defiice možých stavů systému:. Sestaveí matice přechodu 3. Výpočet absolutích pavděpodobostí po dí 4. Zhodoceí, zda řetězec koveguje, vekto limitích pavděpodobostí. s oba stoje v povozu s jede stoj. de v opavě, duhý stoj v povozu s3 jede stoj. de v opavě, duhý stoj v povozu s4 jede stoj. de v opavě, duhý stoj. de v opavě Matice podmíěých pavděpodobostí přechodu a, i =,,..., T i a =, i = T +, T +,... i T i i= a = a = V T = i= ia Matice přechodu i = = T T = a T = a + a +... + a, i =,,..., T i i+ i+ T = a, i =,,..., T i i i V T = i= i stav 3 K T a K a a 3 3 a T K K M M M M M M M K T T T T T K,,..., T q = V V V Půměá věková stuktua N N NT N =,,..., V V V - 4 -
Model obovy: příklad V call-cetu pacuje 5 osob. Zaměstaci se často měí a ikdo tam evydží víc ež 4 oky. Nábo ových zaměstaců se povádí půběžě a áklady se odhadují a,- Kč a získáí a zaučeí ového zaměstace. Jaké jsou půměé áklady a ábo za jede ok Výpočty pavděpodobostí - Pavděpodobost, že v čase t astae pávě k událostí! = (cokoli) = - Pavděpodobost, že v čase t eastae žádá událost { ( ) } { ( ) f } P N t = λt = e, t P N t λt ( = e Lpavděp.,že alespo jeda astae { ( ) } k ( t), t P N t = k = e t k! λ λ Ročí počet odcházejících Matice přechodu: Půměá životost: Výpočty pavděpodobostí - Pavděpodobost, že v čase t astae ejvýše k- událostí { } k j= ( λt) λt P Sk > t = e, t j! j +,+,+,5=,35 Počet přijatých každý ok: /,35=,74,74*5=37 Náklady: 37* = 74 Kč Stochastické pocesy II Poissoův poces, Systémy homadé obsluhy Vybaé aplikace - Zjišťováí počtu zákazíků, stávíků - Vytížeí obsluhy, potřeba pacovíků - Potřeba lékařů a pohotovosti - Optimalizace počtu poklade v povozu - Návhy kapacity a ávazosti výobích liek Poissoův poces - Čítací (diskétí) poces, kteý zkoumá počet učitých jevů v daém itevalu. - Pavděpodobost, že astae alespoň jeda událost v čase x. - Distibučí fukce po itevaly po sobě jdoucích událostí je expoeciálí. - X čas, kteý uplye mezi (-) výskytem a -tým výskytem e základ přiozeého logaitmu λ...itezita Poissoova pocesu - Pavděpodobost, že v čase t astae alespoň k událostí Příklad autobus Autobus č. 47 jezdí půměě 6x za hodiu. Autobus č. 7 jezdí půměě x za hodiu. a) Jaká je pavděpodobost, že během 6 miut pojede alespoň x autobus č. 47? b) Jaká je pavděpodobost, že během 6 miut pojede alespoň x autobus č. 7? c) Jaká je pavděpodobost, že pojedou oba? d) Jaká je pavděpodobost, že epojede žádý? Výpočet a),45 b),63 c) pp, že pojedou oba:,45.,63=,85 d) pp, že epojede žádý: (-,45)(-,63) = =,8 Jaká je pp., že pojede aspoň jede? { } k j= ( λt) λt P Sk t = e, t j! j P λx { X p x} = e, x - 5 -