APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít integrálního počtu V této kpitole uvádíme stručný přehled těch nejěžnějších plikcí určitých integrálů v geometrii ve fyzice Budeme se zývt výpočtem délek, oshů ojemů Během dosvdní školní docházky jste si vytvořili jistou intuitivní předstvu, co je to délk křivky, osh nějkého geometrického orzce či ojem těles Seznámili jste se se vzorci pro výpočet délky úsečky neo kružnice, dovedete vypočítt osh trojúhelník, odélník, čtverce, kruhu, ojem krychle, kvádru, jehlnu, koule dlších orzců či těles Jistě máte předstvu, že prvidelný pětiúhelník má určitý osh, i když neznáte vzorec pro jeho výpočet Dovedete všk tento pětiúhelník rozložit n konečný počet trojúhelníků po určité námze yste vypočítli osh pětiúhelník jko součet oshů těchto trojúhelníků Vzniká otázk, jk definovt oshy oecnějších orzců, které nelze rozložit n konečný počet trojúhelníků Vzhledem k určení rozshu těchto studijních mteriálů není možné přesně zvést pojmy délk, osh ojem Precizním zvedením těchto pojmů se zývá teorie míry, což je poměrně náročná mtemtická prtie Pro potřey inženýrské pre vystčíme s jednoduchými ojekty, kde je intuitivně jsné, že mjí určitou délku, osh, resp ojem Budeme se zývt výpočtem těchto veličin Při řešení geometrických fyzikálních úloh postupujeme ve dvou krocích: Převedeme řešení úlohy n výpočet určitého integrálu Tento určitý integrál vypočítáme Osh rovinné olsti Cíle Seznámíte se se zákldní plikcí určitého integrálu výpočtem oshu křivočrého lichoěžník oshu složitějších rovinných olstí - 45 -
Osh rovinné olsti Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol ), kde je výpočet oshu křivočrého lichoěžník užitý jko motivce zvedení určitého integrálu Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu Výkld Vět Nechť je funkce f ( ) integrovtelná n intervlu <, > je n něm nezáporná Pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f ( ), přímkmi Důkz: =, = osou pltí P= f( ) d Tvrzení plyne z definice Riemnnov určitého integrálu (definice ) Or Osh křivočrého lichoěžník pro nezápornou funkci ( f ( ) 0) Uvedený vzth pro osh křivočrého lichoěžník pltí pro nezápornou funkci f ( ) n intervlu <, > Z definice určitého integrálu je zřejmé, že pro funkci f ( ), která je nopk n intervlu < >, nekldná ( f ( ) 0), ude určitý integrál f( ) d 0, proto osh křivočrého lichoěžník ohrničeného zdol grfem funkce = osou ude P= f( ) d= f( ) d (or ) f ( ), přímkmi =, - 46 -
Osh rovinné olsti Or Osh křivočrého lichoěžník pro nekldnou funkci ( f ( ) 0) V oecném přípdě může funkce f ( ) liovolně měnit znménko Při výpočtu oshu plochy ohrničené grfem funkce f ( ) osou n intervlu <, > je nutno rát části nd osou kldně části pod osou záporně Pokud ychom vypočetli integrál f ( d ) n celém intervlu, odečítly y se kldné záporné části (or ) g( ) Or Osh plochy mezi osou grfem funkce f ( ) se znménky Větu můžeme zoecnit n přípd, kdy je orzec zdol ohrničen dlší funkcí Vět Nechť jsou funkce f ( ) g( ) integrovtelné pltí g( ) f( ) pro kždé <, > Pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného zdol grfem funkce g( ), shor grfem funkce f ( ) přímkmi =, = pltí P= f( ) g( ) d ( ) - 47 -
Důkz: Jsou-li oě funkce f ( ) g( ) Osh rovinné olsti nezáporné, je osh uvžovného křivočrého lichoěžník roven rozdílu oshu plochy pod grfem funkce f ( ) oshu plochy pod grfem funkce g( ), viz or 4 P= f( ) d g( ) d= f( ) g( ) d ( ) Or 4 Osh plochy mezi funkcemi g( ) f ( ) n intervlu <, > Oecně y mohly funkce f ( ) g( ) protínt osu (část orzce y ležel pod osou ) V tomto přípdě stčí k oěm funkcím přičíst vhodnou konstntu C, y yly oě funkce f ( ) nezmění + C g ( ) + C nezáporné Osh uvžovného křivočrého lichoěžník se tím P = f ( ) + C d g( ) + C d = f ( ) d + Cd g( ) d Cd = f ( ) g( ) d [ ] [ ] ( ) Poznámky Z důkzu věty vyplývá, že při výpočtu oshu křivočrého lichoěžník mezi grfy dvou funkcí g ( ) f( ) není důležité, zd tento orzec neo jeho část leží pod osou Vět je speciálním přípdem věty pro g( ) = 0 Grfem funkce y = f( ) je křivk Tto funkce (křivk) může ýt dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t y = ψ () t pro t < α, β > Proměnnou t nzýváme prmetr (ve fyzice mívá ovykle význm čsu funkce ϕ () t ψ () t mohou udávt -ovou y-ovou souřdnici pohyujícího se odu) Pro výpočet oshu křivočrého lichoěžník (or ) - 48 -
Osh rovinné olsti ohrničeného funkcí dnou prmetrickými rovnicemi můžeme modifikovt větu následujícím způsoem: Vět Nechť funkce f je dán prmetrickými rovnicemi = ϕ() t y = ψ () t, přičemž funkce ϕ () t ψ () t jsou spojité pro t < α, β > Je-li funkce ϕ () t ryze monotonní má spojitou Důkz: derivci n intervlu < α, β >, přičemž ϕ( α ) = ϕ( β ) =, pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f, přímkmi β P = ψ() t ϕ () t dt α =, = osou pltí Je-li funkce = ϕ() t ryze monotonní n intervlu < α, β >, pk k ní eistuje inverzní funkce t ϕ = ( ) Rovnici křivky můžeme proto psát ve tvru y = ψϕ ( ( )) = f( ) Uvžovná ploch ude mít osh P = f( ) d = ψϕ ( ( )) d Odtud sustitucí = ϕ() t, ze které plyne d = ϕ () t dt, dostneme β P = ψ() t ϕ () t dt α Řešené úlohy Příkld Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného křivkou y = 6 osou Řešení: U příkldů tohoto typu je doré si udělt náčrtek Je zdán kvdrtická funkce, tedy grfem ude prol Nejprve uprvíme rovnici proly, ychom nlezli její vrchol y = 6 = ( 6 ) = ( ) +9 Z rovnice y 9 = ( ) je zřejmé, že vrchol proly je v odě V = (,9) rmen proly udou orientován směrem dolů - 49 -
Osh rovinné olsti (or 5) Řešením rovnice = 0 = 6 6 = 0 dostneme průsečíky dné proly s osou : Or 5 Grf funkce y = 6 Hledný osh je 6 P= (6 ) d= = 08 6 = 6 0 0 6 Příkld Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného křivkou y = sin, osou přímkmi = 0, = π Řešení: N intervlu < 0,π > je 0, všk funkce sin ude měnit znménko Proto ude sin 0 pro < 0, π >, sin 0 pro < π,π > sin 0 pro < π,π > (or 6) Hledný osh ude sestávt ze tří částí: Or 6 Grf funkce y = sin - 50 -
Osh rovinné olsti π π π P= sin d sin d+ sin d 0 π π Potřenou primitivní funkci k funkci y = sin nlezneme metodou per prtes: u = sin v= sin d= = cos + cos d= sin cos u = cos v = Dosdíme příslušné meze: P = [ sin cos ] π [ sin cos ] π [ sin cos ] π 0 π + π = [ ] [ ] [ ] = 0 π ( ) 0+ 0 0 π 0 + π( ) + 0 π( ) 0+ π = π + π + 5π = 9π Příkld Odvoďte vzorec pro výpočet oshu kruhu o poloměru R Řešení: Vzorec pro výpočet oshu kruhu jistě znáte už ze zákldní školy Dosud jste všk neměli dosttečné znlosti, yste mohli dokázt pltnost tohoto vzorce Střed kruhu umístíme do počátku, což nemá vliv n osh kruhu Rovnice hrniční kružnice ude + y = R Pro jednoduchost vypočteme osh jedné čtvrtiny kruhu ležící v prvním kvdrntu potom výsledek vynásoíme čtyřmi Pro < 0, R > z rovnice kružnice dostneme y = R Pro osh celého kruhu ude pltit Or 7 Osh čtvrtiny kruhu R 4 P= R počítli Podívejte se n příkld 47 Použijeme sustituční metodu: 0 d Podoný integrál jsme již - 5 -
Osh rovinné olsti sustituce: π = sin R R t P= 4 R d= d = R cost dt = 4 R R sin t Rcost dt = 0 0 0 0, π R π π π π + cost 0 0 0 0 = = 4R sin t costdt = 4R cos t dt = 4R dt = R ( + cos t) dt π sin t π = R t+ = R 0 = π R 0 Poznámk Při úprvě (výpočet odmocniny sin t = cos π t ) jsme využili toho, že pro < 0, > je cos 0 Příkld 4 Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného křivkmi y = + y = Řešení: Je zřejmé, že funkce y = ude vždy kldná největší hodnoty nude pro = 0 + Grfem druhé funkce je prol (or 8) Or 8 Orzec ohrničený křivkmi y = + y = - 5 -
Nejprve musíme nlézt průsečíky dných křivek Řešíme rovnici Osh rovinné olsti + = Po úprvě dostneme 4 + = 0, tedy ( )( + ) = 0 Uvedená rovnice má dv reálné kořeny = = Podle věty je osh olsti ohrničené dnými křivkmi roven π P= d= d= rctg = = 6 4 6 0 + + 0 Poznámk Využili jsme toho, že olst je souměrná podle osy y (integrnd je sudá funkce) Příkld 5 Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného osou Řešení: jedním oloukem prostá cykloidy π Prostá cykloid je křivk, kterou opisuje od pevně spojený s kružnicí o poloměru při kotálení kružnice po přímce (or 9) Tto cykloid má prmetrické rovnice: = t ( sin t), y = ( cos t), t R První olouk cykloidy dostneme pro prmetr t < 0, π > Or 9 První olouk cykloidy Protože d = ( cos t) dt, dostneme z věty π π π = P= ( cos t) ( cos t) dt = ( cos t) dt = ( cos t+ cos t) dt 0 0 0-5 -
Osh rovinné olsti π π + cost t sint 0 0 [ ] = ( cos t+ ) dt = t sin t π π π + + = + = 4 Poznámk Body uvnitř kružnice y při kotálení kružnice po přímce opisovly zkrácenou cykloidu myšlené ody vně tzv prodlouženou cykloidu Cykloid se v přírodě technice ojevuje n nečekných místech v různých zjímvých souvislostech Npříkld vlny n vodě mjí tvr cykloidy, s oliou se využívjí cykloidiální ozuená kol v převodovkách, cykloid snese největší ztížení, což má využití v mostních tunelových konstrukcích (nové tunely pržského metr, tunel Mrázovk), dále je užíván cykloidiální výřez n crvingových lyžích Kontrolní otázky Uveďte vzorec pro výpočet oshu orzce ohrničeného osou grfem funkce y = f( ), která protíná osu ve dvou odech Jk se liší vzthy pro výpočet oshu křivočrého lichoěžník ohrničeného grfem funkce f ( ), přímkmi =, = osou pro nezápornou pro nekldnou funkci f ( )? Jk vypočítáme osh rovinného orzce ohrničeného dvěm funkcemi g ( ) f( )? 4 Jk vypočítáme osh rovinného orzce ohrničeného dvěm funkcemi, pokud celá olst leží pod osou (tj g ( ) f( ) < 0)? 5 Jk vypočítáte osh orzce ohrničeného funkcí y = sin osou pro < 0, π > 6 Určete prmetr k tk, y osh olsti ohrničené prolou y = přímkou y = k yl roven 9 7 Odvoďte vzorec pro výpočet oshu elipsy o poloosách (Prmetrické rovnice této elipsy jsou = cost, y = sin t, t <0, π >) Úlohy k smosttnému řešení Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného křivkmi ) y = 4 ; y =0 ) y = 6 ; y = 0-54 -
Osh rovinné olsti c) e) y = 4 ; y = d) y = ; y = f) y = + 4 ; + y= y = ; = y g) y = 6; y = + 5+ 4 h) y = ; y = 4 π i) y = 4; + y = 5 j) y = tg ; y = 0; = 4 k) y = sin ; y = l) y = e ; y = e ; = ln π Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného křivkmi ) y = ln ; y = ln ) c) y = rcsin ; y = 0; = 0; = d) e) y = ; = ; = 0; y = 0 f) Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného y sin ; y cos ; π π = = = ; = 4 4 8 y = ; y = 4 + 4 y = ; y = ; y = ; 0 ) prolou = +, její tečnou v odě (,5) souřdnicovými osmi y ) křivkou y = e, její tečnou v odě (0,) přímkou = c) grfem funkce y = + 6 pro osou d) prolou y = 6+ 8 jejími tečnmi v odech (, ) (4,0) 4 Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného osou křivkou zdnou prmetrickými rovnicemi ) = t, y = t t ; t ) = sin t, y = cos t; 0 t π = sin t, y = cos t; 0 t π = t sin t, y= cos t ; 0 t π c) ( ) ( ) d) = sin t, y = cos t; 0 t π e) = t t, y = t t ; 0 t - 55 -
Osh rovinné olsti Výsledky úloh k smosttnému řešení ) π k) ; l) ; ) 6; c) 6 ) e ; ) ; d) 9 ; e) 9 ; f) ; g) 4 ; c) π 4 ; d) π ; e) ; h) 8 5 ln ; i) 8ln ; j) ; ln ; f) ln + ) 8 ; ) e ; c) 86 ; d) 9 7 4 ) ; ) π ; c) π ; d) 7 π 7 ; e) 4 5 8 5 Kontrolní test Vypočtěte osh rovinné olsti ohrničené křivkmi y = 6 + y 7 = 0 ) 5 6ln6, ) 5 6ln6 +, c) 5 ln 6, d) 5 ln 6 + Vypočtěte osh rovinné olsti ohrničené křivkmi y = + 4+ 4 y 8 4 = + ) 44, ) 7, c) 6, d) 08 Vypočtěte osh rovinné olsti ohrničené křivkmi y = + y = 0 ) 4, ) 9, c) 8, d) 6 4 Vypočtěte osh rovinné olsti dné nerovnostmi + y 8 y ) + π, ) 4 + π, c) 8 + π, d) 8 + π 5 Vypočtěte osh rovinné olsti ohrničené křivkmi y = tg, y = cos y = 0 ) ln, ) ln, c) + ln, d) ln + 6 Vypočtěte osh rovinné olsti dné nerovnostmi y 4, ) 6, ) 0, c) 40, d) y 4y 7 Vypočtěte osh rovinné olsti ohrničené křivkmi y = rctg, y = rccotg = 0 π π π ) ln, ) + ln, c), d) ln - 56 -
8 Vypočtěte osh rovinné olsti ohrničené křivkmi k : = cos t, y = sin t, k : = cos t, y = sin t, > > 0 konst, pro Osh rovinné olsti π π t <, > π π ) π ( ), ) π ( ), c) ( ), d) ( ) 9 Vypočtěte osh smyčky křivky = t, y = t t, t ) 6 5, ) 7 5, c) 6 5 0 Vypočtěte osh rovinného orzce ohrničeného křivkmi ) c) (ln + + ln ), ) ln ( + ln ), 6 8 8 6 (ln ln ) +, d) 6 8 (ln + ln ) 6 8, d) 5 ln y = y = ln 4 Výsledky testu ); ); d); 4 ); 5 c); 6 d); 7 ); 8 c); 9 ); 0 d) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčném přípdě je tře prostudovt kpitolu znovu Shrnutí lekce Z definice Riemnnov určitého integrálu vyplývá, že integrál f ( d ) pro nezápornou funkci f ( ) n intervlu grfem funkce <, > dává osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor f ( ), přímkmi =, = osou Jestliže funkce f ( ) n uvedeném intervlu protíná osu, je nutno rozdělit orzec n části nd osou n části pod osou, kde jsou hodnoty určitého integrálu z dné funkce záporné Při výpočtu oshu rovinného orzce ohrničeného zdol grfem funkce důležité, zd orzec neo jeho část leží pod osou g( ) shor grfem funkce f ( ) pro <, > není - 57 -