/65
/65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv rovic I.... 0. Soustv rovic II.... 0. Součet geometrické poslouposti I.... 5. Součet geometrické poslouposti II.... 6. Součet ekoečé řdy... 7. Užití geometrické poslouposti... Souřdice bodů v roviě v prostoru.... Vzdáleost bodů v roviě.... Vzdáleost bodů v prostoru.... Střed úsečky v roviě.... Střed úsečky v prostoru... 5 5. Určeí souřdice bodu v roviě pro dou vzdáleost... 5 6. Určeí bodu úsečky pro dý střed... 5 7. Užití vzdáleosti středu úsečky... 6 Vektory v roviě v prostoru... 7. Délk těžice v trojúhelíku, obsh prvoúhlého trojúhelík... 7. Vektory v roviě z dých bodů, vektory kolmé... 7. Sklárí souči vektorů - kolmost... 8. Úhel vektorů v roviě... 8 5. Úhel vektorů v prostoru... 9 6. Úhel v trojúhelíku... 9 7. Vektory v prostoru z dých bodů, ásobeí vektoru číslem... 9 Rovice přímky v roviě.... Prmetrická rce přímky stry trojúhelík.... Prmetrická rce přímky t c -.... Prmetrická rce přímky v c -.... Prmetrická rce osy stry trojúhelík... 5. Obecá rce přímky stry trojúhelík... 6. Obecá rce přímky t bc.... 7. Obecá rce přímky v bc.... 5 8. Obecá rce osy stry trojúhelík... 6 9. Prmetrická rce rovoběžky se strou trojúhelík... 6 0. Obecá rce rovoběžky se strou trojúhelík... 7. Prmetrická obecá rce přímky t c -... 7. Prmetrická rce přímky dé bodem směrem... 7. Prmetrická rce přímky dé bodem ormálou... 8. Prmetrická rce přímky dé dvěm body... 8 5. Obecá rce přímky dé bodem ormálou... 8 6. Obecá rce přímky dé bodem směrem... 9 7. Obecá rce přímky dé dvěm body... 9 8. Úhel vektorů... 9 Vzájemá poloh dvou přímek v roviě... 0 9. Růzoběžé - obecá obecá přímk... 0 0. Růzoběžé - prmetrická obecá přímk... 0. Rovoběžé - prmetrická obecá... 0. Totožé - prmetrická obecá...
/65. Totožé - prmetrická prmetrická... Těžiště, střed kružice opsé, vzdáleost bodu od přímky.... Těžiště trojúhelík... 5. Střed kružice opsé... 6. Vzdáleost bodu od přímky... 5 Obsh trojúhelík... 6 7. Obsh trojúhelík... 6 Výrzy s fktoriálem... 7. Úprvy čísel... 7. Kráceí zlomků... 7. Sčítáí zlomků... 9. Úprvy kombičích čísel... 0 5. Důkzy... Rovice s fktoriálem.... Rovice s fktoriálem.... Rovice s kombičími čísly.... Rovice s vytýkáím.... Růzé... Permutce, vrice, kombice... 6. Vrice bez opkováí... 6. Vljk... 6. Permutce... 7. Vrice s opkováím... 7 5. Vrice bez, s opkováím - čísl s ulou či podmíkou... 8 6. Dělitelost... 9 7. Kombice... 9 8. Kombice bodů... 50 9. Permutce s opkováím... 50 0. Kombice s opkováím... 5. Růzé... 5 Biomická vět (5)... 5. Obecá biomická vět... 5. Zákldí biomický rozvoj I.... 5. Zákldí biomický rozvoj II.... 5. Užití biomické věty I... 5 5. Užití biomické věty II... 5 6. Určeí biomického čleu... 5 7. Určeí biomického koeficietu... 5 Klsická prvděpodobost... 56. Mice ebo děti.... 56. Prvděpodobost výběru ze skupiy... 56. Prvděpodobost výběru ze skupiy se součiem... 58. Kostk kostičky... 58 5. Prvděpodobost výběru dvojciferého čísl... 59 6. Prvděpodobost výběru čísl... 59 7. Hod dvěm kostkmi... 60 8. Hod třemi kostkmi... 6 9. Růzé... 6 Podmíěá prvděpodobost ()... 6. Prvděpodobost doplňkového jevu - vrice... 6. Prvděpodobost doplňkového jevu - kombice... 6. Násobeí prvděpodobostí... 6. Násobeí prvděpodobostí... 6 5. Sčítáí prvděpodobostí - vrice... 6 6. Sčítáí prvděpodobostí - kombice... 6 7. Růzé... 6 Mgr. Václv Horský, 006
/65 Aritmetická posloupost. Soustv rovic, součet ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 VH:, d, S0 5 ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 5 0 VH: 0, d, S0 90 ) Určete součet dvácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 5, d, S VH: 96 ) Určete součet deseti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 5 6 0 VH:, d, S0 5 5) Určete součet osmi čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 5 6 VH:, d, S8 6) Určete součet dvácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 5 0 6 7 VH:, d, S 0 7) Určete součet jedeácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 7 5 6 9, d, S VH: 8) Určete součet třiácti čleů ritmetické poslouposti, je-li dáo: 6 0 7 VH:, d, S 60 9) V ritmetické poslouposti určete osmý čle, je-li dáo: 7 88 VŠE:, d, 8 0) V ritmetické poslouposti určete jedeáctý čle, je-li dáo: 5 0 9 6 VŠE:, d, 9 ) V ritmetické poslouposti určete desátý čle, je-li dáo: 5 9 6 VŠE:, d, 0 ) V ritmetické poslouposti určete devátý čle, je-li dáo: 7 9 VŠE:, d, 9 5
5/65 ) V ritmetické poslouposti určete S 8, je-li dáo: 8 d 5 5 Rdl: 7 5, d 5, S8 5 ) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: d 6 d, 69 Rdl:, S 5) V ritmetické poslouposti určete S 9, je-li dáo: d 9 87 Rdl: 5, d, S9 6) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: d 8 7 Rdl: 9, d 8, S 7) V ritmetické poslouposti určete S 5, je-li dáo: 7 8 5, d 5, S5 Rdl: 570 8) V ritmetické poslouposti určete S 7, je-li dáo: 87 8 7 5, d 7, S7 Rdl: 57 9) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: 0 0, d 6, S Rdl: 76 0) V ritmetické poslouposti určete S, je-li dáo: 5 0, d, S Rdl: 57 ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: Rdl:, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: 8 9 6 5 7 Rdl: 7, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: 9 9 Rdl:, d ) V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo: 5 7 Rdl: 8, d. AP - předpis ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5:
6/65 75 Rdl: 7, d, S5 ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 5 Rdl: d, S 80 5, 5 5 ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Rdl: eí ritmetick á ) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 5 5, 5 5 Rdl: d, S 0 5) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: 65 Rdl:, d, S5 6) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM:, d, S 875 str.89/.-) 5 7) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-b) 8) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-c) 9) Je-li dá posloupost ritmetická, určete d S 5: Sb-MM: eí ritmetick á str.89/.-d). AP - součet ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 65 Sb-MM: 0 0, 0, str.89/.-b) ) Určete, je-li dáo:
7/65, d, S 0 VH: 0 0,, 0 ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 56 VH: 56 0,, ) Určete, je-li dáo:, d, S 5 VH: 90 0, 0, 9 5) Určete, d, je-li dáo:,, S 87 Sb-MM:, d str.89/.-) 6) Určete, je-li dáo:, d, S 0 0 0, 0, VH: 7) Určete, je-li dáo:, d, S 7 0,, VH: 8) Určete, je-li dáo:, d, S 5 88 0,, VH: 9 9) Určete, je-li dáo:, d, S 7 6 0,, VH: 9 0) Určete, je-li dáo:, d, S VH: 0,, ) Určete, je-li dáo:, d, S 8 8 0, 8, UO: 6 ) Určete, je-li dáo: 0, d, S 56 VH: 8 0,, 7. AP - prvoúhlý trojúhelík ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je m. Určete délky zbývjících str. Rdl: 9m, m, 5m ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je dm. Určete délky zbývjících str. Sb-MM: 8dm, dm, 0dm str.89/.5 ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Nejkrtší str je cm. Určete délky zbývjících str.
8/65 VH: cm, 6cm, 0cm ) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Přepo má délku 0 mm. Určete délky zbývjících str. VH: 6mm, 8mm, 0mm 5) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Přepo má délku 5 cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, 8cm, 5cm 6) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Nejkrtší str je cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, cm, 5cm 7) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs je 6 cm. Určete délky zbývjících str. VH: cm, 6cm, 0cm 8) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Krtší odvěs je 6 cm. Určete délky zbývjících str. Rdl: 6cm, 8cm, 0cm 9) Délky str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Rozdíl délek odvěse je 5 cm.. Určete délky zbývjících str. Rdl: 5cm, 0cm, 5cm. Součet čísel v itervlu ) Určete součet všech sudých přirozeých čísel meších ež 50. Rdl: 7, S 7 5550 ) Určete součet všech lichých přirozeých čísel meších ež 50. Rdl: 75, S 75 565 ) Určete součet všech přirozeých dvojciferých čísel. Rdl: 90, S 90 905 ) Určete součet všech přirozeých trojciferých čísel. Rdl: 900, S 900 9550 5) Určete součet všech přirozeých dvojciferých čísel, dělitelých pěti. Rdl: 8, S 8 95 6) V ritmetické poslouposti,,..., 7 je, d Vypočtěte: 8 8 8... 8 7 S 7, S7, 8 7 7 7 Rdl: 7) Vypočtěte, když i je imgiárí jedotk: 6 i i i i... i 080 Rdl: S 6 080, i 8) Určete součet 5 8... 6 9 ritmetické poslouposti Nydl: S 00 7050 9) Určete součet 5... 5 7 ritmetické poslouposti Nydl: S 99 58 0) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu 5 ;
9/65 VH: 0; S 0 80 ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: =, S = 8 7 ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: = 0, S 0 = 8 90 ) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu 5 ; VH: =, S = 8 77 ) Njděte součet všech sudých přirozeých čísel v itervlu ; VH: = 5, S 5 = 9 660 5) Njděte součet všech lichých přirozeých čísel v itervlu ; VH: = 6, S 6 = 9 96
0/65 Geometrická posloupost. Soustv rovic I. ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 8 5 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 8, 5 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 96 VH:, q ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 8 6 VH:, q 5) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 8 6 VH:, q 6) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, Sb-MM:, q str.89/.7-) 7) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 6 q, Sb-MM: 6, q str.89/.7-b) 8) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 8 6 Sb-MM:, q str.89/.7-d). Soustv rovic II. ) Určete prvích šest čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 5, 60 Sb-MM: 5, q str.89/.7-e) ) Určete součet devíti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6 7, q, S9 VH: 7 ) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 7 9 5 6, q, S5 VH: 9 ) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 5, 6 5, q, S5 VH: 5) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:
/65 8, 6 8 5 VH:, q, S5 6) Určete součet deseti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo:, 6, q, S0 VH: 7) Určete součet sedmi čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 7 6 8, 6 VH:, q, S7 5 8) Určete součet pěti čleů geometrické poslouposti, jestliže je dáo: 6,, q, S5 VH:. Součet geometrické poslouposti I. ) V geometrické poslouposti je, q 5. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S. VŠE: ) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 55. VŠE: 5 ) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 6. VŠE: ) V geometrické poslouposti je 5, q 6. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S 5. VŠE: 5) V geometrické poslouposti je, q. Určete ejmeší přirozeé číslo, pro které je S. VŠE: 6 5. Součet geometrické poslouposti II. ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 8 VH: ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 5 5 VH: 7 ) Určete druhý čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S
/65 9 VH: 7 5) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: 8 6) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: 6 7) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S 5 VH: 5 7 8) Určete třetí čle geometrické poslouposti v íž je dáo: q, S VH: 7 7 6. Součet ekoečé řdy ) Určete součet ekoečé řdy: 6 8... UO: 6, q, S ) Určete součet ekoečé řdy: 0 0, 0,0 0,00... VH: 0, q 0, S 9 ) Určete součet ekoečé řdy: 0... 00 0 00, q 0, 00 VH: 00 S 9 ) Určete součet ekoečé řdy: 0 0 0 0 0... 8 9 7 000 VH: 0, q, S 5 5) Určete součet ekoečé řdy: 5 5 0 5 5 8... VH: 0, q, S 0 6) Vypočtěte:... Rdl:, q, S 7) Vypočtěte:... Rdl:, q, S 8) Vypočtěte: 8 log log log log... Rdl: log, q, S log 9) Vypočtěte: 5 5 5 8 5 6 5...
/65 Rdl: 5, q, S 0 0) Vypočtěte:... 8 6 Rdl:, q, S 0 7. Užití geometrické poslouposti ) Kolik si půjčil kliet od bky, jestliže po letech dluží částku 097 8,- Kč při % úroku? = 650 000,- Kč ) Město má 50 000 obyvtel předpokládý ročí přírůstek, %. Kolik obyvtel lze očekávt z 0 let? = 8 69 ) Částk 50 000,- Kč je vlože účet s %-ím ročím úročeím. Jká částk bude účtu z 0 let? = 7 0,- Kč ) Automobil ztrácí kždý rok 5 % své hodoty. Jká bude hodot utomobilu po letech, jestliže jeho původí ce čií 550 000,- Kč? = 0,- Kč 5) Stroj ztrácí kždý rok 0 % své hodoty. Jká byl jeho ákupí ce, jestliže po -ti letech má hodotu 0 68 Kč,-? = 0 00,- Kč 6) Jká bude po 7 letech výše vkldu 00 000,- Kč účtu se složeým ročím úročeím %? 8 = 68 96,- Kč 7) Jká byl výše vkldu, jestliže po 6-ti letech je účtě 569 9,- Kč, při ročím úročeí %? = 50 000,- Kč 8) Porodost v České republice klesá průměrě o,5 % ročě. V roce 998 se rodilo 8 8 dětí. Jký bude předpokládý počet rozeých dětí v roce 00? = 00 9) V bce si půjčíte 500 000,- Kč s úrokem %. Kolik bude váš dluh po 5-ti letech? 6 = 88 7,- Kč
/65 Souřdice bodů v roviě v prostoru. Vzdáleost bodů v roviě ) Vypočítejte vzdáleost bodů C=[; ] D=[; -]. CD = 7 ) Vypočítejte vzdáleost bodů R=[-; 5] S=[; ]. RS = 6 ) Vypočítejte vzdáleost bodů X=[-; -] Y=[-; ]. XY = 9 ) Vypočítejte vzdáleost bodů B=[-; ] D=[5; -]. BD = 65 5) Vypočítejte vzdáleost bodů P=[7; ] Q=[-5; -]. PQ = 6) Vypočítejte vzdáleost bodů K=[5; 7] L=[; ]. KL = 5 7) Vypočítejte vzdáleost bodů U=[; ] V=[; -]. UV = 5 8) Vypočítejte vzdáleost bodů M=[; -] N=[; -]. MN = 0. Vzdáleost bodů v prostoru ) Vypočítejte vzdáleost bodů A=[-; ; 6] B=[-; -; ]. AB = 7 ) Vypočítejte vzdáleost bodů X=[; ; 0] Y=[; 5; ]. XY = ) Vypočítejte vzdáleost bodů B=[; ; -] D=[-; ; ]. BD = ) Vypočítejte vzdáleost bodů U=[-; -; 5] V=[-5; -; ]. UV = 5) Vypočítejte vzdáleost bodů K=[; ; -5] L=[; ; -]. KL = 6) Vypočítejte vzdáleost bodů C=[; ; ] D=[; ; ]. CD = 7) Vypočítejte vzdáleost bodů R=[5; -; -] S=[; 0; ]. RS = 7 8) Vypočítejte vzdáleost bodů P=[-; -; -5] Q=[; ; -]. PQ = 0. Střed úsečky v roviě ) Jsou dáy body A=[; ] B=[8; 5]. Vypočítejte souřdice středu úsečky AB. S AB =[5; ] ) Jsou dáy body U=[; -] V=[; 5]. Vypočítejte souřdice středu úsečky UV. S UV =[; ] ) Jsou dáy body C=[; -] D=[5; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky CD. S CD =[; ]
5/65 ) Jsou dáy body M=[-; ] N=[5; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky MN. S MN =[; ] 5) Jsou dáy body K=[-; -] L=[; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky KL. S KL =[-/; -] 6) Jsou dáy body X=[0; 5] Y=[-; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky XY. S XY =[-/; ] 7) Jsou dáy body P=[; -] Q=[; ]. Vypočítejte souřdice středu úsečky PQ. S PQ =[5/; 0]. Střed úsečky v prostoru ) Jsou dáy body A=[; -; ] B=[0; 5; -9]. Vypočítejte souřdice středu úsečky AB. S AB =[; ; -] ) Jsou dáy body U=[; 0; 5] V=[-; ; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky UV. S UV =[; ; -] ) Jsou dáy body K=[; 5; ] L=[0; -; -9]. Vypočítejte souřdice středu úsečky KL. S KL =[; ; -] ) Jsou dáy body C=[; -; ] D=[; 5; 7]. Vypočítejte souřdice středu úsečky CD. S CD =[; ; 5] 5) Jsou dáy body X=[-8; ; ] Y=[; 5; 0]. Vypočítejte souřdice středu úsečky XY. S XY =[-; ; ] 6) Jsou dáy body P=[0; -7; ] Q=[-8; 5; -]. Vypočítejte souřdice středu úsečky PQ. S PQ =[-; -; 0] 5. Určeí souřdice bodu v roviě pro dou vzdáleost ) Jsou dáy body A=[; ], B=[-; ]. Určete číslo tk, by AB = 5. =, = ) Jsou dáy body R=[; ], S=[; ]. Určete číslo tk, by RS = 8. =, = 5 ) Jsou dáy body Q=[; -], P=[; -]. Určete číslo tk, by QP = 0. = -, = 5 ) Jsou dáy body E=[-; ], F=[; ]. Určete číslo tk, by EF = 5. =, = - 5) Jsou dáy body A=[-; ], B=[; ]. Určete číslo tk, by AB =. NŘ 6) Jsou dáy body X=[; ], Y=[; ]. Určete číslo tk, by XY =., = 7) Jsou dáy body A=[-; ], C=[; -]. Určete číslo tk, by AC = 7. NŘ 8) Jsou dáy body U=[; -], V=[; -]. Určete číslo tk, by UV =. = 0, = 9) Jsou dáy body G=[7; ], H=[-5; ]. Určete číslo tk, by GH =. = -, = 6 0) Jsou dáy body T=[; -], U=[-; ]. Určete číslo tk, by TU =6., = - 6. Určeí bodu úsečky pro dý střed ) Jsou dáy bodu A=[; -; ] S=[; ; 0]. Určete bod B tk, by bod S byl střed úsečky AB.
6/65 B=[; ; -] ) Jsou dáy bodu K=[; ; ] S=[-; 0; ]. Určete bod L tk, by bod S byl střed úsečky KL. L=[-; -; -] ) Jsou dáy bodu U=[-; -6; -5] S=[-; -; -]. Určete bod V tk, by bod S byl střed úsečky UV. V=[; 0; ] ) Jsou dáy bodu P=[; -; ] S=[; ; 0]. Určete bod Q tk, by bod S byl střed úsečky PQ. Q=[; 6; -] 5) Jsou dáy bodu C=[-; ; -] S=[-; ; ]. Určete bod D tk, by bod S byl střed úsečky CD. D=[-; 5; ] 6) Jsou dáy bodu R=[-; ; 7] S=[-/; ; 5/]. Určete bod T tk, by bod S byl střed úsečky RT. T=[; 5; -] 7) Jsou dáy bodu M=[; ; -] S=[; ; -]. Určete bod N tk, by bod S byl střed úsečky MN. N=[-; 5; -] 7. Užití vzdáleosti středu úsečky ) N ose určete bod P, který má od bodů A=[8; -5; 0] B=[; -; ] stejou vzdáleost. P=[7; 0; 0] ) V trojúhelíku A=[; -], B=[7; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) Vypočtěte obvod trojúhelíku ABC o vrcholech A=[-; ], B=[0; -], C=[; ]. o = 0 +5 ) Dokžte, že trojúhelík o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7] je prvoúhlý. pro délky str musí pltit Pythgorov vět 5) Dokžte, že trojúhelík o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ] je prvoúhlý. pro délky str musí pltit Pythgorov vět 6) N ose z určete bod R, který má od bodů K=[; -; -5] třikrát větší vzdáleost ež od bodu L=[; ; ]. R =[0; 0; ], R =[0; 0; /] 7) N ose z určete bod R, který je stejě vzdále od bodů P=[-; ; 7], Q=[; 5; -]. R=[0; 0; /9] 8) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t. S BC =[; -], AS BC = 5 9) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t b. S AC =[0; 0], BS AC = 5 0) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7]. S = / 0 0 = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ]. S = / 5 0 = 5
7/65 Vektory v roviě v prostoru. Délk těžice v trojúhelíku, obsh prvoúhlého trojúhelík ) V trojúhelíku A=[; -], B=[7; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 ) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t. S BC =[-; -], AS BC = 50 5) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t b. S AC =[-; ], BS AC = 0 6) V trojúhelíku A=[-; 5], B=[-6; -], C=[0; -] určete délku těžice t c. S AB =[-5; ], CS AB = 50 7) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t. S BC =[; -], AS BC = 5 8) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t b. S AC =[0; 0], BS AC = 5 9) V trojúhelíku A=[-; -], B=[; -], C=[; ] určete délku těžice t c. S AB =[; -], CS AB = 0 0) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech K=[0; 0], L=[; ], M=[; 7]. S = / 0 0 = 0 ) Vypočtěte obsh prvoúhlého trojúhelíku o vrcholech A=[; ], B=[6; ], C=[; ]. S = / 5 0 = 5. Vektory v roviě z dých bodů, vektory kolmé ) Jsou dáy body A=[; ], B=[; ], C=[; 0], D=[-; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: r CA s DC v BC w AC r CA (-; ), s DC (; -), v BC (-; -), w AC (; -) ) Jsou dáy body T=[; 0], U=[-; ], V=[; ], W=[; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: TU b VT c TW d WT TU (-; ), b VT (0; -), c TW (; ), d WT (-; -) ) Jsou dáy body E=[-; ], F=[0; ], G=[; ], H=[; -]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: u GF v HF w EG s GH
8/65 u GF (-; ), v HF (-; 5), w EG (; 0), s GH (; -) ) Jsou dáy body P=[-; 0], Q=[; ], R=[; ], T=[; ]. Určete souřdice vektorů vektory k im kolmé: RT b PQ u QP s PR RT (-; ), b PQ (; ), u QP (-; -), s PR (6; ). Sklárí souči vektorů - kolmost ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. u = (; ), v = (-; ) u = (; -5), v = (-5; -) u = (; 0; ), v = (; ; ) u = (-; -; -), v = (-; -; -) VH: -; 0; 6; ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. = (-; -), b = (-; -) = (; ), b = (-; -) = (; -; ), b = (-; ; ) = (; ; ), b = (; 6; -) VH: ; -0; -; 0 ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. s = (; ), = (-; ) s = (; -), = (-; -) s = (; 5; 9), = (-5; ; 0) s = (-; -; ), = (; -; -) VH: -; 0; 0; 0 ) Vypočítejte sklárí souči dých vektorů rozhoděte zd jsou vzájem kolmé. v = (-; -), w = (; -) v = (; 5), w = (-; ) v = (; 5; ), w = (0; -; 0) v = (-; ; ), w = (; ; -) VH: 0; 7; -5; 0. Úhel vektorů v roviě ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: = (-; -), b = (-; -),7 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů:
9/65 s = (; ), = (-; ) 98, ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5), w = (-; ) 67,6 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; ), v = (-; ) 9,7 5. Úhel vektorů v prostoru ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: = (; -; ), b = (-; ; ) 0,5 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (-; -; -), v = (-; -; -) 8, ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5; ), w = (0; -; 0) 55,9 ) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; 0; ), v = (; ; ) 59,5 6. Úhel v trojúhelíku 5) Vypočítejte velikost úhlu v trojúhelíku A=[-; -5], B=[-7; 5], C=[-; ]. = (-; -), b = (-; -),7 6) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: s = (; ), = (-; ) 98, 7) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: v = (; 5), w = (-; ) 67,6 8) Vypočítejte velikost úhlů vektorů: u = (; ), v = (-; ) 9,7 7. Vektory v prostoru z dých bodů, ásobeí vektoru číslem ) Jsou dáy body K= [-; ; 0], L= [; ; ]. Určete: ) souřdice vektorů u LK b) souřdice vektorů v KL c) délku úsečky KL d) střed úsečky KL VH: u LK (6; -; ), v LK (-6; ; -), KL = 56, S KL = [; ; ] ) Jsou dáy body A=[-; ; ], B=[; 0; ]. Určete:
0/65 ) souřdice vektorů s AB b) souřdice vektorů u BA c) délku úsečky AB d) střed úsečky AB VH: s AB (; -; ), u BA (-; ; -), AB =, S AB = [-; ; ] ) Jsou dáy body P=[; -; 5], Q=[6; 0; -]. Určete: e) souřdice vektorů PQ f) souřdice vektorů b QP g) délku úsečky PQ h) střed úsečky PQ PQ (; ; -6), b QP (-; -; 6), PQ =, S PQ = [5; -; ] ) Jsou dáy body D=[; 6; -5], E=[; 0; -]. Určete: i) souřdice vektorů DE j) souřdice vektorů w ED k) délku úsečky ED l) střed úsečky ED DE (; -6; ), w ED (-; 6; -) ), ED = 56, S PQ = [; ; -]
/65 Rovice přímky v roviě. Prmetrická rce přímky stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = - - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = + t, y = - - t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = + t, y = - t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - t, y = - t. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = 5 + t, y = + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = 5 + t, y = + t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. Speciál c: = - + 0t, y = - - t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky BC. : = + t, y = 5 + 5t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky AC. b: = + t, y = 5 + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky AB. c: = - + t, y = - t.. Prmetrická rce přímky t c - ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [, ], t b : = + t, y = + 5t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t. S BC = [, -], t : = + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c.
/65 S AB = [-, -], t c : = 5 + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, ], t c : = - - t, y = + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [-, 5], t b : = - + t, y = + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovic přímky íž leží těžice t. Speciál S BC = [-, ], t : = + t, y =. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [, -], t c : = + t, y = - - t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [5, -], t b : = + t, y = - + t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou obecou rovici přímky íž leží těžice t. Speciál S BC = [, -], t : =, y = + t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t. S BC = [, 0], t : = - - t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [0, ], t b : = - + t, y = -5 + 8t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, -], t c : = + 5t, y = 5 + 7t.. Prmetrická rce přímky v c - ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = -5 + t, y = 6 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = + t, y = - + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = - t, y = + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = 6 - t, y = -5 + t.
/65 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = - + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. Speciál v : = - + t, y = 0 - t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. Speciál v c : = 5 + t, y = + 0t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v. v : = - + 5t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v b. v b : = - + t, y = -5 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici přímky íž leží výšky v c. v c : = + t, y = 5 + t.. Prmetrická rce osy stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AC = [-, 5], o b : = + t, y = + t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S BC = [, -], o : = + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S AB = [-, -], o c : = - + t, y = - - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AB = [-, ], o b : = - + t, y = + t. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S AC = [-, 5], o : = - - t, y = 5 + t. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S BC = [-, ], o c : = - - t, y = + t. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AB = [, -], o b : = + t, y = - + t. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC. S AC = [5, -], o : = 5 + t, y = - - t. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; 0], B=[-; -], C=[5; ]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S BC = [, -], Speciál o c : = + t, y = - + 0t. 0) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry BC.
/65 S BC = [, 0], o : = + 5t, y = 0 - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AC. S AC = [0, ], o b : = 0 + t, y = - t. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište prmetrickou rovici osy stry AB. S AB = [-, -], o c : = - + t, y = - - t. 5. Obecá rce přímky stry trojúhelík ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky BC. : + y + = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky AC. b: + y - = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky AB. c: - y + 7 = 0. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky BC. : + y + = 0. 5) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky AC. b: + y - = 0. 6) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky AB. c: - y + 7 = 0. 7) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky BC. : 5 - y - 5 = 0. 8) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky AC. b: - y + 9 = 0. 9) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[-; ], B=[-; -5], C=[; 5]. Npište obecou rovici přímky AB. c: y + 8 = 0. 6. Obecá rce přímky t bc. ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [-, ], t c : + y - 9 = 0 ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[-; ], C=[-5; 6]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t b. S AC = [-, 5], t b : - y + = 0 ) Jsou dáy vrcholy trojúhelíku A=[; ], B=[; -], C=[6; -5]. Npište obecou rovici přímky íž leží těžice t c. S AB = [, -], t c : + y - 9 = 0